資源簡介

專題03 指對冪等函數(shù)值大小比較的深度剖析
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 5
05 核心精講·題型突破 6
題型一：直接利用單調(diào)性 6
題型二：引入媒介值 7
題型三：含變量問題 8
題型四：構(gòu)造函數(shù) 9
題型五：數(shù)形結(jié)合 10
題型六：特殊值法、估算法 11
題型七：放縮法 12
題型八：同構(gòu)法 13
重難點突破：泰勒展開、帕德逼近估算法 14
指、對、冪形數(shù)的大小比較問題是高考重點考查的內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題，命題形式主要以選擇題為主．每年高考題都會出現(xiàn)，難度逐年上升．
考點要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計 考情分析
指對冪比較大小 掌握指對冪大小比較的方法與技巧 2024年北京卷第9題，5分 2024年天津卷第5題，5分 2022年新高考I卷第7題，5分 2022年天津卷第5題，5分 2022年甲卷第12題，5分 2021年II卷第7題，5分 2021年天津卷第5題，5分 預(yù)測2025年高考趨勢，指對冪比較大小或以小題壓軸，預(yù)計： （1）以選擇、填空題型呈現(xiàn)，側(cè)重綜合推理。 （2）構(gòu)造靈活函數(shù)比較大小將成為考查熱點。
（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大?。?br/>（2）指、對、冪大小比較的常用方法：
①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大??；
③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大??；
④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定．
（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常見函數(shù)的麥克勞林展開式：
①
②
③
④
⑤
⑥
1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當(dāng)時，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
10．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)，，．則（ ）
A． B． C． D．
題型一：直接利用單調(diào)性
【典例1-1】設(shè)，則的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·高三·黑龍江雞西·期中）已知函數(shù)，，的零點分別為，則的大小順序為（ ）
A． B．
C． D．
利用指對冪函數(shù)的單調(diào)性判斷
【變式1-1】已知，比較a，b，c的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】已知，（為自然對數(shù)的底數(shù)），比較，，的大?。? ）
A． B．
C． D．
1．（2024·江西新余·一模）故，，，則a，b，c的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
2．已知實數(shù)a，b滿足，則（ ）
A． B． C． D．a(chǎn)，b的大小無法判斷
題型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】三個數(shù)，，的大小順序是（ ）
A． B．
C． D．
尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定．
【變式2-1】已知，，，比較，，的大小為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
題型三：含變量問題
【典例3-1】[新考法]若，，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（2024·高三·河北邢臺·期中）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
對變量取特殊值代入或者構(gòu)造函數(shù)
【變式3-1】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)且，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
1．（多選題）若，且，則下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
題型四：構(gòu)造函數(shù)
【典例4-1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
構(gòu)造函數(shù)比大小是高考數(shù)學(xué)的重點題型，它可以從“形”與“數(shù)”兩個角度入手解題。
“形”的構(gòu)造：不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相似時，我們可以構(gòu)建一個函數(shù)，通過分析這個函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，”判斷．
“數(shù)”的構(gòu)造：觀察到待比較式子間數(shù)與數(shù)的關(guān)系后，我們可據(jù)此構(gòu)造函數(shù)．
【變式4-1】[新考法]設(shè)函數(shù)，，在上的零點分別為，則的大小順序為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】已知，，，試比較，，的大?。? ）
A． B． C． D．
1．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，則a、b、c滿足的大小關(guān)系式是（ ）.
A． B． C． D．
3．設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
題型五：數(shù)形結(jié)合
【典例5-1】函數(shù)，，的零點分別為，，，則，，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】實數(shù)滿足，，，則，，的大小為（ ）
A． B．
C． D．
轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)
【變式5-1】[新考法]已知函數(shù).設(shè)，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．若實數(shù)a，b，c滿足，則下列不等關(guān)系中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是函數(shù)圖象上兩個不同的點，則下列4個式子中正確的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
題型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知、是函數(shù)圖象上不同的兩點，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例6-2】已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
估算要比較數(shù)值的大致范圍，從而判斷其大小關(guān)系。
【變式6-1】設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
題型七：放縮法
【典例7-1】（2024·高三·四川德陽·開學(xué)考試）已知，，，比較a，b，c的大小為（ ）
A． B．
C． D．
【典例7-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
放縮法比較指對冪大小，關(guān)鍵在于合理估計與調(diào)整?？赏ㄟ^適當(dāng)放大或縮小數(shù)值，轉(zhuǎn)化為更易比較的形式，如利用指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮，或結(jié)合均值不等式等。需注意保持放縮方向的一致性，以確保比較結(jié)果的準(zhǔn)確性。
【變式7-1】（2024·浙江杭州·一模）對，不等式恒成立，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式7-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)，,，則下列大小關(guān)系正確的是 （ ）
A． B． C． D．
題型八：同構(gòu)法
【典例8-1】[新考法]已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．無法確定，的大小
【典例8-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，大小不確定
同構(gòu)法比較指對冪大小，核心在于構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)的函數(shù)。通過變形使待比較式具有相同函數(shù)形式，利用函數(shù)單調(diào)性或圖像直觀比較大小。關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別并構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，簡化比較過程。
【變式8-1】（2024·高三·江西·期中）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系式中可能正確的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
1．若正數(shù)，，滿足（為自然對數(shù)底數(shù)），則（ ）
A． B． C． D．
2．已知正數(shù)，，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
3．（多選題）已知，且滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
重難點突破：泰勒展開、帕德逼近估算法
【典例9-1】[新考法]若，則滿足的大小關(guān)系式是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
帕德逼近估算法比較指對冪大小，即通過構(gòu)造有理函數(shù)逼近原函數(shù)，利用逼近函數(shù)的性質(zhì)來估計原函數(shù)值的大小，從而比較指對冪的大小。關(guān)鍵在于選擇合適的逼近階數(shù)，以確保逼近的精度和有效性。
【變式9-1】已知，則（ ）
【變式9-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
1．設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
，則（ ）
A． B． C． D．
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目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 5
05 核心精講·題型突破 11
題型一：直接利用單調(diào)性 11
題型二：引入媒介值 13
題型三：含變量問題 15
題型四：構(gòu)造函數(shù) 18
題型五：數(shù)形結(jié)合 23
題型六：特殊值法、估算法 27
題型七：放縮法 30
題型八：同構(gòu)法 35
重難點突破：泰勒展開、帕德逼近估算法 40
指、對、冪形數(shù)的大小比較問題是高考重點考查的內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題，命題形式主要以選擇題為主．每年高考題都會出現(xiàn)，難度逐年上升．
考點要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計 考情分析
指對冪比較大小 掌握指對冪大小比較的方法與技巧 2024年北京卷第9題，5分 2024年天津卷第5題，5分 2022年新高考I卷第7題，5分 2022年天津卷第5題，5分 2022年甲卷第12題，5分 2021年II卷第7題，5分 2021年天津卷第5題，5分 預(yù)測2025年高考趨勢，指對冪比較大小或以小題壓軸，預(yù)計： （1）以選擇、填空題型呈現(xiàn)，側(cè)重綜合推理。 （2）構(gòu)造靈活函數(shù)比較大小將成為考查熱點。
（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大?。?br/>（2）指、對、冪大小比較的常用方法：
①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大?。?br/>③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大??；
④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定．
（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常見函數(shù)的麥克勞林展開式：
①
②
③
④
⑤
⑥
1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的定義域為R，，且當(dāng)時，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為當(dāng)時，所以，
又因為，
則，
，
，
，
，則依次下去可知，則B正確；
且無證據(jù)表明ACD一定正確.
故選：B.
2．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為在上遞增，且，
所以，
所以，即，
因為在上遞增，且，
所以，即，
所以，
故選：D
3．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，
對于選項AB：可得，即，
根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯誤；
對于選項D：例如，則，
可得，即，故D錯誤；
對于選項C：例如，則，
可得，即，故C錯誤，
故選：B.
4．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
5．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，故.
故選：D.
6．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，
又因為 ，所以 .
故選：A.
【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．
7．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)
因為當(dāng)
故，故，所以；
設(shè)，
，所以在單調(diào)遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因為當(dāng)，
取得：，故
，其中，且
當(dāng)時，，及
此時，
故 ，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設(shè)，則，，
，計算得，故選A.
[方法四]：構(gòu)造函數(shù)
因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；因為當(dāng)，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．
8．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：構(gòu)造法
設(shè)，因為，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設(shè)，則,
令，，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故
9．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故選：D.
10．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即.
故選：C.
11．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)，，．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比較與的大小關(guān)系.
記，則，，
由于
所以當(dāng)0所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，即；
令，則，，
由于，在x>0時，，
所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b綜上，，
故選：B.
[方法二]：
令
，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減
令
，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增
綜上，，
故選：B.
題型一：直接利用單調(diào)性
【典例1-1】設(shè)，則的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得， .
因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則.故，
即.
故選：A
【典例1-2】（2024·高三·黑龍江雞西·期中）已知函數(shù)，，的零點分別為，則的大小順序為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函數(shù)解析式可知三個函數(shù)在定義域上均為單調(diào)遞增函數(shù).
∵，，故，
∵，，故，
，故，
∴.
故選：B.
利用指對冪函數(shù)的單調(diào)性判斷
【變式1-1】已知，比較a，b，c的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，因為，
所以，綜上，.
故選：C.
【變式1-2】已知，（為自然對數(shù)的底數(shù)），比較，，的大?。? ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由三角函數(shù)線可得：不等式，
則，
又函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，
則，
所以，
綜上所述：，
故選D．
1．（2024·江西新余·一模）故，，，則a，b，c的大小順序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以，
故選：D
2．已知實數(shù)a，b滿足，則（ ）
A． B． C． D．a(chǎn)，b的大小無法判斷
【答案】A
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則由，得，
又，所以.
故選：A
題型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知，則a，b，c的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，則.
故選：A
【典例2-2】三個數(shù)，，的大小順序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，
所以最大，
因為，所以，
因為，所以，則，所以，
即.
故選：B
尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判定．
【變式2-1】已知，，，比較，，的大小為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知，
.
故選：B
【變式2-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，，，
所以，所以.
故選：A.
1．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，而，
則，又，
所以.
故選：D
2．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可得：，，，
因為，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
可得，所以．
故選：D.
3．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，，
所以.
故選：B
題型三：含變量問題
【典例3-1】[新考法]若，，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
因為，所以，即．
同理，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，即．
因為，所以．
因為，所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，即，
所以．
方法二：
由，令，，
則，，，．
因為，所以．
故選：B．
【典例3-2】（2024·高三·河北邢臺·期中）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以在上均單調(diào)遞增，
所以，即，
對于，構(gòu)造函數(shù)，
易知時，，即此時函數(shù)單調(diào)遞增，則，
所以，
因為在上單調(diào)遞增，所以，
綜上.
故選：A
對變量取特殊值代入或者構(gòu)造函數(shù)
【變式3-1】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】對于A中，因為，可得，又因為，所以，
可得，解得，所以A不正確；
對于B中，由，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因為所以，所以B正確，
對于C中，由函數(shù)，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因為時，因為，可得，
所以，即，所以C正確；
對于D中，由，所以，可得，所以D正確.
故選：BCD.
【變式3-2】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)且，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
則
因為，所以，則，
因為，所以．
故選：A．
1．（多選題）若，且，則下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因為，所以，則，
又由于，所以，，，則，故B正確；
因為，所以，故C正確；
當(dāng)，，時，可，故A錯誤；
當(dāng)，，時，，故D錯誤.
故選：BC.
2．（多選題）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A選項中，因為，故在R上單調(diào)遞減，故，
因為在上單調(diào)遞增，故，綜上，，A正確；
B選項中，由于，而已知，所以B不正確；
C選項中，，
設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以在上遞增，這樣，故C正確；
D選項中，取，，則，，
又，故，所以D錯誤.
故選：AC.
題型四：構(gòu)造函數(shù)
【典例4-1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，
設(shè)，
則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
所以，，
又因為，
所以.
故選：D.
【典例4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，，，
由，令得，令得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因為，所以，所以；
因為，所以，所以；
令，且，則，
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，所以，
因為，且，所以，所以.
故選：B
構(gòu)造函數(shù)比大小是高考數(shù)學(xué)的重點題型，它可以從“形”與“數(shù)”兩個角度入手解題。
“形”的構(gòu)造：不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相似時，我們可以構(gòu)建一個函數(shù)，通過分析這個函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，”判斷．
“數(shù)”的構(gòu)造：觀察到待比較式子間數(shù)與數(shù)的關(guān)系后，我們可據(jù)此構(gòu)造函數(shù)．
【變式4-1】[新考法]設(shè)函數(shù)，，在上的零點分別為，則的大小順序為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，，所以在上單調(diào)遞增，
又因為，所以存在使得，
所以，
因為，，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
又因為，
又，，所以，所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以存在使得，所以最大，
因為，所以，
，，
又，
.
故選：B．
【變式4-2】已知，，，試比較，，的大?。? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)
則當(dāng)時單調(diào)遞減，
故
故進(jìn)而，
設(shè)
由于函數(shù)和均為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，
因此，
故，
故，
因此，
故選：B
1．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即，
又因為在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，，可得；
令，則，，
構(gòu)建，
則，
可知在上遞減，則，即；
綜上所述：.
故選：C.
2．若，，，則a、b、c滿足的大小關(guān)系式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】顯然，即，而，
設(shè)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，
則，即當(dāng)時，，因此；
設(shè)，求導(dǎo)得，
令，，
則函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，則當(dāng)時，，
從而，而，即有，
所以.
故選：A
3．設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以；
因為函數(shù)單調(diào)遞增，，所以，即，則，所以；
構(gòu)造函數(shù)，則，
令，則，
顯然在上單調(diào)遞增，所以，
故在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，
從而，故有，整理得，
所以，故．
故選：B
題型五：數(shù)形結(jié)合
【典例5-1】函數(shù)，，的零點分別為，，，則，，，的大小順序為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，即，
令，即，
令，即，分別作出，，和的圖象，
如圖所示：
由圖象可知：，所以.
故選：.
【典例5-2】實數(shù)滿足，，，則，，的大小為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，令，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由條件可知，
且，，，故有，
如下圖所示，作出函數(shù)簡圖，可知，由，
故選：D
轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)
【變式5-1】[新考法]已知函數(shù).設(shè)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，
令，
則，
所以為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，如圖所示，
因為，
所以不妨設(shè)，
設(shè)點，
則的直線方程為，
如圖，因為，
所以兩式相加得，
又因為，
所以，
所以，
即.
故選：C.
【變式5-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，畫出的圖象，
故為下凸函數(shù)，
當(dāng)時，
所以，．
設(shè)，畫出圖象，
故為上凸函數(shù)，當(dāng)時，
所以，
同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出和的圖象，
又在R上單調(diào)遞減，故，所以．
設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，
所以時，
所以，，
所以，同理可得，，
相加得，，
所以．
故選：A
1．若實數(shù)a，b，c滿足，則下列不等關(guān)系中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，易知，
設(shè)直線l：，作出，，直線l圖象，
如圖：當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
所以不可能成立，
故選:
2．已知是函數(shù)圖象上兩個不同的點，則下列4個式子中正確的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【解析】如圖所示，設(shè)，的中點為，
點在函數(shù)的圖象上，且軸，則，
由圖知點在的左側(cè)，即，故①錯誤，②正確；
則，即，
即，故③正確，④錯誤.
故選：B.
題型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知、是函數(shù)圖象上不同的兩點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意不妨設(shè)，因為是增函數(shù)，所以，即．
，
則，即，A正確，B錯誤；
取，，則，，，C錯誤．
取，，則，，，D錯誤．
故選：A.
【典例6-2】已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，又，故不能確定，
反例為：，，此時，，A錯誤，
因為，所以，又函數(shù)為增函數(shù)，
所以，故，B正確，
當(dāng)時，，C錯誤，
當(dāng)時，，D錯誤.
故選：B.
估算要比較數(shù)值的大致范圍，從而判斷其大小關(guān)系。
【變式6-1】設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，得，．
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，則，故排除A，B．
因為，，，
所以，所以，
所以．
故選：D．
【變式6-2】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由題意可得，
令函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，
由可得，即可得；
對于A，由，可得，故，故A正確；
對于B，分別取，，則故B錯誤；
對于D，分別取，，，故D錯誤；
對于C，因為，，則 ，故C正確.
故選：AC．
1．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
又，所以，
，則，，
所以，所以.
故選：A.
2．已知，，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，所以．
故選：A．
3．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
， ，
， ，
.
故選：D.
題型七：放縮法
【典例7-1】（2024·高三·四川德陽·開學(xué)考試）已知，，，比較a，b，c的大小為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
因為，
所以，即，
所以，且，
所以，
又因為，
所以，
綜上，，
故選：D.
【典例7-2】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可構(gòu)造函數(shù)，
則，令，解得，
因此可得當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，
可知在處取得極小值，也是最小值，所以，
即，故，即
當(dāng)時，有，所以，可得；
令，
則，
故在上單調(diào)遞增，
可得，即，
取，則，所以，可得；
綜上可得，.
故選：A
放縮法比較指對冪大小，關(guān)鍵在于合理估計與調(diào)整。可通過適當(dāng)放大或縮小數(shù)值，轉(zhuǎn)化為更易比較的形式，如利用指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮，或結(jié)合均值不等式等。需注意保持放縮方向的一致性，以確保比較結(jié)果的準(zhǔn)確性。
【變式7-1】（2024·浙江杭州·一模）對，不等式恒成立，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【解析】由得，
對于選項A、B，若，可令，不等式可化為，
當(dāng)時，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
∴，
當(dāng)時，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
∴，
∴，
當(dāng)時，，
要使恒成立，則需，即恒成立，
∴，
綜上可得，不存在使得不等式恒成立，選項A、B錯誤.
對于選項C、D，若，
∵
∴，
∴，
要使不等式恒成立，則需，
∵函數(shù)在為增函數(shù)，
∴函數(shù)有相同的零點，
由得，由得，，
∴，即，
∴，
∴，選項D正確.
故選D.
【變式7-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】構(gòu)造，，
則對恒成立，則在單調(diào)遞增，
此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
所以，則；
構(gòu)造，，
則對恒成立，則在單調(diào)遞減，
此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
所以，則；
構(gòu)造，，
則對恒成立，則在單調(diào)遞減，
此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
所以，則；
則，；
下面比較b和c的大?。?br/>設(shè)，，，
設(shè)，，，
易知在上單調(diào)遞增，則，
所以在上單調(diào)遞減，，
即在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，
由，則，即，則，
綜上所述，
故選：D.
1．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，，
，
，等號取不到，
，
，
，
，
令，
∵，∴單調(diào)遞減，且，
，可得
于是 ，
，
故選：A.
2．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因，
故，即；
又，
故，即.
故有即.
故選：A.
3．設(shè)，,，則下列大小關(guān)系正確的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
從而，即，，
所以，，
從而當(dāng)時，，
，
所以.
故選：B.
題型八：同構(gòu)法
【典例8-1】[新考法]已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．無法確定，的大小
【答案】C
【解析】令，則，
當(dāng)時，，，
故恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，，
由零點存在性定理得，
令，則，
由上面的求解可知在上單調(diào)遞增，
且存在，使得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
故零點，使得，
所以.
故選：C
【典例8-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，大小不確定
【答案】B
【解析】由可知，，
移項可得，
即，
當(dāng)時，，此時，即，故A錯，B對，
當(dāng)時，，此時，即，故A錯，B對，
當(dāng)時，，此時，即，故C，D錯，
故選：B.
同構(gòu)法比較指對冪大小，核心在于構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)的函數(shù)。通過變形使待比較式具有相同函數(shù)形式，利用函數(shù)單調(diào)性或圖像直觀比較大小。關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識別并構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，簡化比較過程。
【變式8-1】（2024·高三·江西·期中）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A選項，當(dāng)時，，因為，所以A錯誤；
C選項，，由，得，
令，則，
，由，得，由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且時，，當(dāng)時，，
因為，由，得，即，所以，選項C正確；
B選項，由C知，則，即，所以B錯誤；
D選項，因為，所以，得，D錯誤.
故選：C.
【變式8-2】（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系式中可能正確的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
【答案】ABC
【解析】由
得，
令，則分別在和上單調(diào)遞增，
令，則分別在和上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，的值域為，當(dāng)時，的值域為，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故選項A正確．
令，則方程
可化為，
由換底公式可得，
顯然關(guān)于b的方程在上有解，所以，使，故選項B正確．
當(dāng)時，因為，所以．
又在上單調(diào)遞增，所以．
因為，
令，則在上單調(diào)遞增．
因為，所以，
從而，所以．
綜上所述，，故選項C正確．
當(dāng)時，因為，所以．
又在上單調(diào)遞增，所以．
因為．
令，則在上單調(diào)遞增，
因為，所以，
從而，所以．
綜上所述，，故選項D錯誤．
故選：ABC．
1．若正數(shù)，，滿足（為自然對數(shù)底數(shù)），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，顯然在上單調(diào)遞增，
又，，為正數(shù)，所以，即，所以，
令，則在上單調(diào)遞增，又，即，所以，
綜上可得.
故選：D
2．已知正數(shù)，，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，即，所以，
令，，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
所以，所以，
則有，所以；
由得，即，
所以，
因為，所以，即，故．
故選：A.
3．（多選題）已知，且滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】等式，等號兩邊同除以，
可得，
所以，
所以，
所以，
構(gòu)造函數(shù)，則，
顯然，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
所以，即．
而，而，
故，故，故D正確.
故選：AD．
重難點突破：泰勒展開、帕德逼近估算法
【典例9-1】[新考法]若，則滿足的大小關(guān)系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以.
設(shè)，
在上單調(diào)遞增，
所以，所以當(dāng)時，，
則，即.
設(shè)，
，
所以在上單調(diào)遞增，，
所以在上單調(diào)遞增，，
所以當(dāng)時，，即，
所以，
而，所以，所以.
故選：A
【典例9-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得，
，，綜上，．
故選：B
帕德逼近估算法比較指對冪大小，即通過構(gòu)造有理函數(shù)逼近原函數(shù)，利用逼近函數(shù)的性質(zhì)來估計原函數(shù)值的大小，從而比較指對冪的大小。關(guān)鍵在于選擇合適的逼近階數(shù)，以確保逼近的精度和有效性。
【變式9-1】已知，則（ ）
【答案】A
【解析】設(shè)，則，，
，計算得，故選A．
【變式9-2】已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
綜上，．
故選：B．
1．設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故選
，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，故選B
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