資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題02 不等式與復(fù)數(shù)
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識(shí)梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測(cè) 6
05 核心精講·題型突破 13
題型一：基本不等式二元式 13
題型二：和式與積式 16
題型三：柯西不等式二元式 20
題型四：齊次化與不等式最值 24
題型五：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 27
題型六：復(fù)數(shù)的幾何意義 31
重難點(diǎn)突破：不等式與復(fù)數(shù)新定義問(wèn)題 35
有關(guān)不等式的高考試題，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，其應(yīng)用范圍涉及高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，且常考常新，但考查內(nèi)容卻無(wú)外乎大小判斷、求最值和求最值范圍等問(wèn)題，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)表示及其幾何意義是高考的必考內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，分值5分，考題難度為低檔..
考點(diǎn)要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
基本不等式 掌握基本不等式的應(yīng)用 2024年北京卷第9題，5分 2023年上海卷第6題，4分 2022年上海卷第14題，5分 2022年新高考II卷第12題，5分 2021年上海卷第16題，5分 2023年天津卷第13題，5分 預(yù)測(cè)2025年高考，多以小題形式出現(xiàn)，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判斷，求取值范圍問(wèn)題；預(yù)測(cè)2025年高考仍將以復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算為主要考點(diǎn)，其中復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義是最可能出現(xiàn)的命題角度！
復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 熟練掌握并靈活應(yīng)用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則 2024年新高考甲卷第1題，5分 2023年新高考I卷第2題，5分 2023年新高考甲卷第2題，5分 2023年新高考乙卷第1題，5分 2022年新高考II卷第2題，5分
復(fù)數(shù)的幾何意義 理解復(fù)數(shù)的幾何意義，能直觀應(yīng)用 2023年新高考II卷第1題，5分 2023年上海卷第11題，5分 2022年新高考乙卷第2題，5分
1、幾個(gè)重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”）．
特例：（同號(hào)）．
（3）其他變形：
①（溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式）
②（溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式）
③（溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式）
④重要不等式串：即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．
（2）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即積為定值，和有最小值”．
3、常見(jiàn)求最值模型
模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
4、對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用
（1）復(fù)數(shù)，復(fù)平面上的點(diǎn)及向量相互聯(lián)系，即；（2）由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．
1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，
對(duì)于選項(xiàng)AB：可得，即，
根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：例如，則，
可得，即，故D錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，
可得，即，故C錯(cuò)誤，
故選：B.
2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得.
故選：C.
3．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若，則（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【解析】由，則.
故選：A
4．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】若，則.
故選：C.
5．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?
故選：C.
6．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）已知，的最小值為 ．
【答案】12
【解析】,
當(dāng)且僅當(dāng),即或時(shí),等號(hào)成立,
故的最小值為12.
故答案為：12.
7．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ．
【答案】
【解析】.
故答案為：.
8．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，，
由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，.
故選：D
9．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
故選：C.
10．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得，
則.
故選：B.
11．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br/>則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.
故選：A.
12．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，
得,即
故選:
13．（多選題）（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）若x，y滿(mǎn)足，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；
由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；
因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此
，所以當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC．
14．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)， ．
【答案】/
【解析】[方法一]：余弦定理
設(shè)，
則在中，，
在中，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)取最小值時(shí)，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
，
[方法三]：余弦定理
設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
[方法四]：判別式法
設(shè)，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時(shí)
所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.
15．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.綜上，.
［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）
由，可得．
根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù) ，則，
令，解得 ，由 知 .
在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ，
又因?yàn)?，所以 .
故選：A.
【點(diǎn)評(píng)】法一：通過(guò)基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；
法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．
16．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，
故選：C.
法2：不妨設(shè)，則，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
則，
故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，
故選：C.
17．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；
對(duì)于B，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；
對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；
對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)椋遥绠?dāng)，，D不符合題意．
故選：C．
18．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）若，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
題型一：基本不等式二元式
【典例1-1】[新考法]（2024·浙江寧波·一模）不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，需滿(mǎn)足是的一個(gè)根，
即，且，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
所以的最小值為.
故選：A.
【典例1-2】（2024·陜西寶雞·二模）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【解析】由可得，因，則，
于是
因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，時(shí)，的最小值為.
故選：D.
如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
不等式可變形為：或，其中．
【變式1-1】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A．13 B． C． D．8
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，即
因?yàn)樵谥本€上，所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為.
故選：C
【變式1-2】[新考法]（2024·廣西柳州·一模）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br/>若，則對(duì)任意的，，
則當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；
若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，不合乎題意；
若，則當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，不合乎題意.
所以，，此時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，.
所以，對(duì)任意的，，合乎題意，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故選：D.
1．（多選題）（2024·浙江·一模）已知，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】ACD
【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C選項(xiàng)正確；
∵，∴，∴，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
2．（多選題）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，A正確；
因?yàn)椋裕裕珺錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，C錯(cuò)誤；
由整理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，D正確．
故選：AD．
3．[新考法]設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的定義域?yàn)椋?br/>令，得，
①當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意，；
②當(dāng)時(shí)，，由，得，
要使任意，恒成立，則，
所以；
③當(dāng)時(shí)，，由，得，
要使任意，恒成立，則，
所以；
綜上，，即.
又，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.
所以的最小值為.
故選：A.
題型二：和式與積式
【典例2-1】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋瑒t，所以．
又，
即，即，解得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
即的取值范圍為.
故選：D．
【典例2-2】已知，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為.
故選：A.
已知式 目標(biāo)式 方法選取
和式 積式 基本不等式
積式 和式 基本不等式
和式 和式 柯西不等式
積式 積式 柯西不等式
【變式2-1】（2024·四川綿陽(yáng)·一模）已知，且滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【答案】D
【解析】，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：D
【變式2-2】（2024·山西·三模）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：A.
【變式2-3】（多選題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，得，
即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
對(duì)于D，，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．
故選：BCD.
1．（多選題）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A,,則,計(jì)算可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故A正確；
對(duì)于B,，當(dāng)且僅當(dāng),即,有最小值4，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,，解得,當(dāng)且僅當(dāng),有最大值為，故C正確；
對(duì)于D，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng),有最小值為，故D正確.
故選：ACD.
2．（多選題）已知，，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋裕?br/>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確；
故選：BCD．
3．（多選題）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．的最大值為2
B．的最小值為1
C．的最大值為2
D．的最小值為1
【答案】AC
【解析】由，可得，令，，所以，，
對(duì)于A，則，當(dāng)時(shí)，取最大值為2，故A正確
對(duì)于B，
當(dāng)時(shí)，的最大值為1，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C、D，由B可得，由，則，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC
4．（多選題）（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最小值為 D．的取值范圍為
【答案】BC
【解析】正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，，
對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：BC
題型三：柯西不等式二元式
【典例3-1】[新考法]（多選題）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一種在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中廣泛使用的不等式，它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于證明其他不等式，也可以用于解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.以下是柯西不等式的原始形式：
①對(duì)于所有實(shí)數(shù)和，有.
②等式條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.運(yùn)用柯西不等式，判斷以下正確的選項(xiàng)有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】AD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)柯西不等式.
因?yàn)椋裕?
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
A選項(xiàng)正確.
對(duì)于B選項(xiàng)，令，，則.
根據(jù)柯西不等式.
即.當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)柯西不等式.
因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于D選項(xiàng)，令，，則.
根據(jù)柯西不等式.
因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).
所以，D選項(xiàng)正確.
故選：AD.
【典例3-2】（多選題）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
即當(dāng)時(shí)，，
，解得：，可能的取值為.
故選：BCD.
設(shè)，，，，有 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
【變式3-1】存在正數(shù)使得不等式成立，則的最大值是 .
【答案】3
【解析】解:由柯西不等式可知
由能成立.
故答案為：3.
【變式3-2】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以，得，
所以或（舍去），
即的最小值為.
故答案為：
1．已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為 .
【答案】10
【解析】由柯西不等式可得，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)即也即時(shí)取得等號(hào)，
故答案為：
2．[新考法]設(shè)角、均為銳角，則的范圍是 ．
【答案】
【解析】因?yàn)榻恰⒕鶠殇J角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因?yàn)椋?br/>所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
令，，，
所以 .
則的范圍是：.
故答案為：
3．已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】由柯西不等式
而，所以時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：.
題型四：齊次化與不等式最值
【典例4-1】[新考法]若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是 .
【答案】4
【解析】設(shè)，則，即，
若，則，而，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，顯然與矛盾，所以，
由上，由，即，則，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，，即，時(shí)，目標(biāo)式最小值為4.
故答案為：4
【典例4-2】設(shè)，則的最大值為 .
【答案】
【解析】，
，
令
又，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
,
在上單調(diào)遞減，
時(shí)，
的最大值為.
故答案為：
關(guān)于齊次化，就是將不等式最值轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根分布，從而實(shí)現(xiàn)不等式與函數(shù)方程的無(wú)縫切換。
【變式4-1】已知，，，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】∵，，，∴，且，
則
令 ，
原式
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，故的最小值為.
故答案為：
【變式4-2】已知正實(shí)數(shù)a，b，c，，則的最大值為 ，的最小值為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b，滿(mǎn)足，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
由正實(shí)數(shù)a，b，滿(mǎn)足，可得，
所以
，
而，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)
故答案為：；
1．（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【解析】由，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.
故選：C.
2．[新考法]已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，，則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，故有最小值.
故選：D.
3．（2024·黑龍江·二模）已知實(shí)數(shù)，且，則取得最大值時(shí)，的值為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】又，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，或取等號(hào)，
所以或.
故選：D
題型五：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
【典例5-1】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以，即，
所以.
故選：B
【典例5-2】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，
則.
故選：D.
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
，
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．
（3）．
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
【變式5-1】[新考法]（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕?br/>故，
因?yàn)椋裕?br/>故選：B
【變式5-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足若，則=（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
故選：D
【變式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，為純虛數(shù)，則這樣的復(fù)數(shù)共有（ ）個(gè).
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：設(shè)，則的實(shí)部為且虛部不為，
，
則，，
因?yàn)椋剩矗?br/>則有，解得或或，
當(dāng)時(shí)，，則，舍去；
當(dāng)時(shí)，，即，則，舍去；
當(dāng)時(shí)，，則，
故，即，共有兩個(gè).
綜上所述，這樣的復(fù)數(shù)共有兩個(gè).
法二：設(shè)的輻角為，，
表示將復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
由幾何圖形的對(duì)稱(chēng)性：與在復(fù)平面內(nèi)應(yīng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，
則解得：或或或，
易知：時(shí)，，舍去，
故，故有兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)滿(mǎn)足題意.
故選：B.
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．3 B． C．4 D．5
【答案】B
【解析】由，
則，
所以.
故選：B.
2．[新考法]（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知虛數(shù)滿(mǎn)足，且是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對(duì)A，因?yàn)椋剩驗(yàn)闉樘摂?shù)，故，故A正確；
對(duì)B，由可得，故，故B正確；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立，故C正確；
對(duì)D，，因?yàn)椋?br/>故，故D錯(cuò)誤.
故選：D
3．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知方程（其中為虛數(shù)單位）的兩根分別為，，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)方程的根為，
代入方程，,整理得，
故，則，
不妨令，，
對(duì)于A：因?yàn)椋矗蔄錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C:,
，
因此，,故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D：,故D正確.
故選:D.
4．[新考法]（2024·黑龍江佳木斯·三模）復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br/>，
所以，①
因?yàn)椋裕?br/>所以化簡(jiǎn)①可得，
所以虛部為，
故選：D.
題型六：復(fù)數(shù)的幾何意義
【典例6-1】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】C
【解析】設(shè)，
因?yàn)椋?br/>所以，
其幾何意義為任意一點(diǎn)到點(diǎn)于的距離和為，
又點(diǎn)和之間的距離小于，符合橢圓定義，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.
故選：C.
【典例6-2】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：A
復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
【變式6-1】已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】復(fù)數(shù)，其中且，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在直線上，
的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
其最小值為點(diǎn)到直線的距離，最小值為.
故選：D
【變式6-2】已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．
B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是
C．
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕?br/>所以，又，A錯(cuò)誤；
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，B錯(cuò)誤；
由知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，
又，因此，C正確；
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此，D錯(cuò)誤，
故選：C．
【變式6-3】設(shè)的實(shí)部與虛部相等，且實(shí)部不為，的虛部是實(shí)部的倍，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”是“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，，
若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，
則，
所以的實(shí)部，虛部，故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，
所以“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”可以推出“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限”；
若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，由上可知，
所以且，可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，
所以“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限”可以推出“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”；
由上可知，屬于充要條件，
故選：C.
1．（2024·山西太原·一模）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【解析】設(shè)，
因?yàn)椋裕磟在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為圓C：，如圖，
又，
所以表示圓C上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，
所以為，
故選：B．
2．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面原點(diǎn)，若（i為虛數(shù)單位），向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且模伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后與向量重合，則（ ）
A．的虛部為 B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C． D．
【答案】C
【解析】由可知，則逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后相應(yīng)點(diǎn)為，
所以，即，其虛部為，故A錯(cuò)誤；
，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，
則，故D錯(cuò)誤.
故選：C
3．（多選題）（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則下列為真命題的是（ ）
A．若，則點(diǎn)Z在圓上
B．若，則點(diǎn)Z在橢圓上
C．若，則點(diǎn)Z在雙曲線上
D．若，則點(diǎn)Z在拋物線上
【答案】BD
【解析】表示點(diǎn)與之間的距離，
表示點(diǎn)與之間的距離，記，，
對(duì)于A，，表示點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在線段的中垂線上，故A錯(cuò)誤；
或由，整理得，所以點(diǎn)在，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由得，這符合橢圓定義，故B正確；
對(duì)于C，若，，這不符合雙曲線定義，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，整理得，點(diǎn)在拋物線，故D正確．
故選：BD．
重難點(diǎn)突破：不等式與復(fù)數(shù)新定義問(wèn)題
【典例7-1】定義:正割，余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（　　）
A．1 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由已知可得，
即.
因?yàn)椋裕?br/>則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故，
故選：D.
【典例7-2】（多選題）一般地，對(duì)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，），在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊的對(duì)應(yīng)角為，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，因此，我們稱(chēng)此種形式為復(fù)數(shù)的三角形式，r稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的模，稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的輻角.為使所研究的問(wèn)題有唯一的結(jié)果，我們規(guī)定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，，為z的實(shí)部，為z的輻角的主值，則（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因?yàn)椋?復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,
所以點(diǎn)Z在以為圓心、以r為半徑的圓上或圓內(nèi).
對(duì)于選項(xiàng)A，B，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示點(diǎn)Z與的距離，
又點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，
所以的最大值為，A正確，
的最小值為，B正確，
對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)作以 為圓心，為半徑的圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為，
設(shè)，則或，
所以，所以，所以C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，設(shè)，有（其中是z的輻角的主值），
由于，所以，所以D正確.
故選：ABD.
面對(duì)不等式新定義問(wèn)題，首要步驟是準(zhǔn)確理解題目中給出的新定義，把握其本質(zhì)含義。接著，運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)，如傳遞性、可加性、可乘性等，對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)。同時(shí)，注意結(jié)合新定義的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)變換和邏輯推理，將復(fù)雜不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的形式。
復(fù)數(shù)新定義問(wèn)題，需深入理解復(fù)數(shù)概念及其幾何意義，熟練運(yùn)用四則運(yùn)算，結(jié)合題目新定義，靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的模、輻角、共軛等性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算，注意復(fù)數(shù)運(yùn)算的特殊性，確保解題步驟邏輯清晰、嚴(yán)謹(jǐn)無(wú)誤。兩類(lèi)問(wèn)題均需注重方法選擇和邏輯推導(dǎo)。
【變式7-1】（多選題）（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)系的擴(kuò)充是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要內(nèi)容，1843年，數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)．四元數(shù)的產(chǎn)生是建立在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上的，和復(fù)數(shù)相似，四元數(shù)是實(shí)數(shù)加上三個(gè)虛數(shù)單位，和，而且它們有如下關(guān)系：．四元數(shù)一般可表示為，其中為實(shí)數(shù)．定義兩個(gè)四元數(shù)：，那么這兩個(gè)四元數(shù)之間的乘法定義如下：．關(guān)于四元數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，且，則
【答案】AD
【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋裕蔄正確；
對(duì)于B：設(shè)，由兩個(gè)四元數(shù)之間的乘法定義得，
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：設(shè)，
則
當(dāng)，有，
所以與不一定相等，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：設(shè)，
因?yàn)椋?br/>所以，解得，
所以，故D正確，
故選：AD．
【變式7-2】（2024·青海西寧·二模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類(lèi)中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋郑?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故選：C
【變式7-3】定義：為實(shí)數(shù)x，y中較小的數(shù)，已知，其中x，y均為正實(shí)數(shù)，則a的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)的最大值為1；
當(dāng)，即時(shí)，，
綜上所述，的最大值為1.
故選：C
1．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）定義復(fù)數(shù)的大小關(guān)系：已知復(fù)數(shù)，，，，，．若或（且）,稱(chēng)．若且,稱(chēng)．共余情形均為．復(fù)數(shù)u，v，w分別滿(mǎn)足：，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，若，因?yàn)椋瑒t無(wú)解，
所以，將代入，可得，
，即，
所以，解得，所以，
又因?yàn)椋?br/>設(shè)，所以，
所以，
所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
所以，從而最大，故B錯(cuò)誤；
若，，則，
所以當(dāng)，或，
時(shí)，則，C正確；
若，此時(shí)，則，A正確；
若，此時(shí)，則，D正確；
故選：ACD.
2．（多選題）在復(fù)數(shù)域內(nèi)，大小成為了沒(méi)有意義的量，那么我們能否賦予它一個(gè)定義呢，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，我們通常用絕對(duì)值來(lái)描述大小，而復(fù)數(shù)域中也相應(yīng)的有復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)來(lái)代替絕對(duì)值，于是，我們只需定義復(fù)數(shù)的正負(fù)即可，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的“長(zhǎng)度”即為模長(zhǎng)，規(guī)定在復(fù)平面軸上方的復(fù)數(shù)為正，在軸下方的復(fù)數(shù)為負(fù)，在軸上的復(fù)數(shù)即為實(shí)數(shù)大小.“大小”用符號(hào)+“長(zhǎng)度”表示，我們用來(lái)表示復(fù)數(shù)的“大小”，例如：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)表示一個(gè)圓
B．若，則方程無(wú)解
C．若為虛數(shù)，且，則
D．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】A：根據(jù)已知條件表示模長(zhǎng)為1，在復(fù)平面位于軸上方的復(fù)數(shù)，所以并不是一個(gè)圓，故A錯(cuò)誤；
B：若，則方程為一個(gè)實(shí)數(shù)，所以無(wú)解，故B正確；
C：若為虛數(shù)，且，設(shè)，則，
所以，所以，故C正確；
D：設(shè)，
根據(jù)復(fù)數(shù)的新定義有，
所以，且，
所以，
所以是，
所以，故D正確；
故選：BCD.
3．（多選題）（2024·新疆·模擬預(yù)測(cè)）早在公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類(lèi)中項(xiàng)，后人在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一個(gè)基本不等式鏈，即已知正實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．已知，且，請(qǐng)利用上述不等關(guān)系，判斷下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的最小值為2 B．的最大值為
C．的最大值為6 D．的最小值為
【答案】ABD
【解析】因?yàn)椋遥?br/>對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋傻茫?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為2，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋傻茫?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為6，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為，故D正確；
故選：ABD.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專(zhuān)題02 不等式與復(fù)數(shù)
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識(shí)梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測(cè) 6
05 核心精講·題型突破 8
題型一：基本不等式二元式 8
題型二：和式與積式 9
題型三：柯西不等式二元式 10
題型四：齊次化與不等式最值 11
題型五：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 12
題型六：復(fù)數(shù)的幾何意義 14
重難點(diǎn)突破：不等式與復(fù)數(shù)新定義問(wèn)題 15
有關(guān)不等式的高考試題，是歷年高考重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)之一，其應(yīng)用范圍涉及高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，且常考常新，但考查內(nèi)容卻無(wú)外乎大小判斷、求最值和求最值范圍等問(wèn)題，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)表示及其幾何意義是高考的必考內(nèi)容，題型多為選擇題或填空題，分值5分，考題難度為低檔..
考點(diǎn)要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
基本不等式 掌握基本不等式的應(yīng)用 2024年北京卷第9題，5分 2023年上海卷第6題，4分 2022年上海卷第14題，5分 2022年新高考II卷第12題，5分 2021年上海卷第16題，5分 2023年天津卷第13題，5分 預(yù)測(cè)2025年高考，多以小題形式出現(xiàn)，不等式在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判斷，求取值范圍問(wèn)題；預(yù)測(cè)2025年高考仍將以復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算為主要考點(diǎn)，其中復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義是最可能出現(xiàn)的命題角度！
復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 熟練掌握并靈活應(yīng)用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則 2024年新高考甲卷第1題，5分 2023年新高考I卷第2題，5分 2023年新高考甲卷第2題，5分 2023年新高考乙卷第1題，5分 2022年新高考II卷第2題，5分
復(fù)數(shù)的幾何意義 理解復(fù)數(shù)的幾何意義，能直觀應(yīng)用 2023年新高考II卷第1題，5分 2023年上海卷第11題，5分 2022年新高考乙卷第2題，5分
1、幾個(gè)重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”）．
特例：（同號(hào)）．
（3）其他變形：
①（溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式）
②（溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式）
③（溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式）
④重要不等式串：即
調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）．
2、均值定理
已知．
（1）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．
（2）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即積為定值，和有最小值”．
3、常見(jiàn)求最值模型
模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
4、對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用
（1）復(fù)數(shù)，復(fù)平面上的點(diǎn)及向量相互聯(lián)系，即；（2）由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．
1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若，則（ ）
A． B． C．10 D．
4．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
5．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024年上海市1月春考數(shù)學(xué)試題）已知，的最小值為 ．
7．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ．
8．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
13．（多選題）（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）若x，y滿(mǎn)足，則（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)， ．
15．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
16．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）若，則的最小值為 ．
題型一：基本不等式二元式
【典例1-1】[新考法]（2024·浙江寧波·一模）不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【典例1-2】（2024·陜西寶雞·二模）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．
如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
不等式可變形為：或，其中．
【變式1-1】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A．13 B． C． D．8
【變式1-2】[新考法]（2024·廣西柳州·一模）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
1．（多選題）（2024·浙江·一模）已知，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
2．（多選題）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[新考法]設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型二：和式與積式
【典例2-1】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
已知式 目標(biāo)式 方法選取
和式 積式 基本不等式
積式 和式 基本不等式
和式 和式 柯西不等式
積式 積式 柯西不等式
【變式2-1】（2024·四川綿陽(yáng)·一模）已知，且滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【變式2-2】（2024·山西·三模）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（多選題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（多選題）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．有最大值 B．有最大值4
C．有最大值 D．有最小值
2．（多選題）已知，，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選題）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．的最大值為2
B．的最小值為1
C．的最大值為2
D．的最小值為1
4．（多選題）（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為1
C．的最小值為 D．的取值范圍為
題型三：柯西不等式二元式
【典例3-1】[新考法]（多選題）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一種在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中廣泛使用的不等式，它是由法國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于證明其他不等式，也可以用于解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.以下是柯西不等式的原始形式：
①對(duì)于所有實(shí)數(shù)和，有.
②等式條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.運(yùn)用柯西不等式，判斷以下正確的選項(xiàng)有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【典例3-2】（多選題）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
設(shè)，，，，有 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
【變式3-1】存在正數(shù)使得不等式成立，則的最大值是 .
【變式3-2】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為 .
1．已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為 .
2．[新考法]設(shè)角、均為銳角，則的范圍是 ．
3．已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為 ．
題型四：齊次化與不等式最值
【典例4-1】[新考法]若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是 .
【典例4-2】設(shè)，則的最大值為 .
關(guān)于齊次化，就是將不等式最值轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根分布，從而實(shí)現(xiàn)不等式與函數(shù)方程的無(wú)縫切換。
【變式4-1】已知，，，則的最小值為 .
【變式4-2】已知正實(shí)數(shù)a，b，c，，則的最大值為 ，的最小值為 ．
1．（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．12 B． C． D．
2．[新考法]已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龍江·二模）已知實(shí)數(shù)，且，則取得最大值時(shí)，的值為（ ）
A． B． C． D．或
題型五：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
【典例5-1】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
【典例5-2】若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A． B． C． D．
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
，
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．
（3）．
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
【變式5-1】[新考法]（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則 （ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足若，則=（ ）
A． B．1 C．2 D．
【變式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足：，為純虛數(shù)，則這樣的復(fù)數(shù)共有（ ）個(gè).
A． B． C． D．
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則（ ）
A．3 B． C．4 D．5
2．[新考法]（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知虛數(shù)滿(mǎn)足，且是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知方程（其中為虛數(shù)單位）的兩根分別為，，則有（ ）
A． B． C． D．
4．[新考法]（2024·黑龍江佳木斯·三模）復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
題型六：復(fù)數(shù)的幾何意義
【典例6-1】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
【典例6-2】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
【變式6-1】已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【變式6-2】已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）
A．
B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是
C．
D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則
【變式6-3】設(shè)的實(shí)部與虛部相等，且實(shí)部不為，的虛部是實(shí)部的倍，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限”是“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
1．（2024·山西太原·一模）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．3
2．已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且O為復(fù)平面原點(diǎn)，若（i為虛數(shù)單位），向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且模伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后與向量重合，則（ ）
A．的虛部為 B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C． D．
3．（多選題）（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則下列為真命題的是（ ）
A．若，則點(diǎn)Z在圓上
B．若，則點(diǎn)Z在橢圓上
C．若，則點(diǎn)Z在雙曲線上
D．若，則點(diǎn)Z在拋物線上
重難點(diǎn)突破：不等式與復(fù)數(shù)新定義問(wèn)題
【典例7-1】定義:正割，余割.已知為正實(shí)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，則的最小值為（　　）
A．1 B．4 C．8 D．9
【典例7-2】（多選題）一般地，對(duì)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，），在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊的對(duì)應(yīng)角為，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，因此，我們稱(chēng)此種形式為復(fù)數(shù)的三角形式，r稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的模，稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的輻角.為使所研究的問(wèn)題有唯一的結(jié)果，我們規(guī)定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，，為z的實(shí)部，為z的輻角的主值，則（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．
D．
面對(duì)不等式新定義問(wèn)題，首要步驟是準(zhǔn)確理解題目中給出的新定義，把握其本質(zhì)含義。接著，運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)，如傳遞性、可加性、可乘性等，對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)。同時(shí)，注意結(jié)合新定義的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)變換和邏輯推理，將復(fù)雜不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的形式。
復(fù)數(shù)新定義問(wèn)題，需深入理解復(fù)數(shù)概念及其幾何意義，熟練運(yùn)用四則運(yùn)算，結(jié)合題目新定義，靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的模、輻角、共軛等性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算，注意復(fù)數(shù)運(yùn)算的特殊性，確保解題步驟邏輯清晰、嚴(yán)謹(jǐn)無(wú)誤。兩類(lèi)問(wèn)題均需注重方法選擇和邏輯推導(dǎo)。
【變式7-1】（多選題）（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)系的擴(kuò)充是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要內(nèi)容，1843年，數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)．四元數(shù)的產(chǎn)生是建立在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上的，和復(fù)數(shù)相似，四元數(shù)是實(shí)數(shù)加上三個(gè)虛數(shù)單位，和，而且它們有如下關(guān)系：．四元數(shù)一般可表示為，其中為實(shí)數(shù)．定義兩個(gè)四元數(shù)：，那么這兩個(gè)四元數(shù)之間的乘法定義如下：．關(guān)于四元數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，且，則
【變式7-2】（2024·青海西寧·二模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類(lèi)中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】定義：為實(shí)數(shù)x，y中較小的數(shù)，已知，其中x，y均為正實(shí)數(shù)，則a的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
1．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）定義復(fù)數(shù)的大小關(guān)系：已知復(fù)數(shù)，，，，，．若或（且）,稱(chēng)．若且,稱(chēng)．共余情形均為．復(fù)數(shù)u，v，w分別滿(mǎn)足：，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）在復(fù)數(shù)域內(nèi)，大小成為了沒(méi)有意義的量，那么我們能否賦予它一個(gè)定義呢，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，我們通常用絕對(duì)值來(lái)描述大小，而復(fù)數(shù)域中也相應(yīng)的有復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)來(lái)代替絕對(duì)值，于是，我們只需定義復(fù)數(shù)的正負(fù)即可，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的“長(zhǎng)度”即為模長(zhǎng)，規(guī)定在復(fù)平面軸上方的復(fù)數(shù)為正，在軸下方的復(fù)數(shù)為負(fù)，在軸上的復(fù)數(shù)即為實(shí)數(shù)大小.“大小”用符號(hào)+“長(zhǎng)度”表示，我們用來(lái)表示復(fù)數(shù)的“大小”，例如：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)表示一個(gè)圓
B．若，則方程無(wú)解
C．若為虛數(shù)，且，則
D．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍為
3．（多選題）（2024·新疆·模擬預(yù)測(cè)）早在公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類(lèi)中項(xiàng)，后人在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一個(gè)基本不等式鏈，即已知正實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．已知，且，請(qǐng)利用上述不等關(guān)系，判斷下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的最小值為2 B．的最大值為
C．的最大值為6 D．的最小值為
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