資源簡介

專題01 集合和常用邏輯用語
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 5
05 核心精講·題型突破 7
題型一：集合的基本概念 7
題型二：集合間的基本關系 8
題型三：集合的運算 9
題型四：充分條件與必要條件 10
題型五：全稱量詞與存在量詞 12
重難點突破：以集合為載體的創新題 13
有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系與運算，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．近年來試題加強了對集合計算和化簡能力的考查，并向無限集方向發展，考查學生的抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意運用數軸法和特殊值法解題，應加強集合表示方法的轉化和化簡的訓練．
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
集合的基本概念 理解集合，掌握基本要素 2023年上海卷第13題，4分 預測2025年高考，多以小題形式出現，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為： （1）以選擇題或填空題形式出現，考查學生的綜合推理能力． （2）熱點是集合間的基本運算、數軸法的應用和體現集合的語言工具作用．
集合的運算 熟練掌握集合的并、交、補集運算方法 2024年北京卷第1題，5分 2024年甲卷（文）第2題，5分 2024年天津卷第1題，5分 2023年 I卷第1題，5分 2022年I卷第1題，5分 2021年I卷第1題，5分
充分條件與必要條件 理解充分必要，掌握邏輯判斷，熟練應用題解 2024年北京卷第5題，5分 2024年甲卷（理）第9題，5分 2024年天津卷第2題，5分 2023年天津卷第2題，5分 2022年天津卷第2題，5分 2021年甲卷第7題，5分
1、集合中的邏輯關系（備注：全集為）
（1）交集的運算性質．
，，，，，．
（2）并集的運算性質．
，，，，，．
（3）補集的運算性質．
，，，，．
補充性質：．
（4）結合律與分配律．
結合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的補補的并”，“并的補補的交”．
2、由個元素組成的集合的子集個數
的子集有個，非空子集有個，真子集有個，非空真子集有個．
3、容斥原理
．
4、從集合與集合之間的關系上看
設．
（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小大”．
（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；
（3）若，則與互為充要條件．
1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
2．（2024年上海秋季高考數學真題）定義一個集合，集合中的元素是空間內的點集，任取，存在不全為0的實數，使得．已知，則的充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024年北京高考數學真題）設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
5．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024年天津高考數學真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．（2023年北京高考數學真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
11．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
14．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
15．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
16．（2022年新高考全國II卷數學真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
17．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
題型一：集合的基本概念
【典例1-1】（2024·廣東·模擬預測）若，則m可能取值的集合為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新鄉·三模）下列集合中有無數個元素的是（ ）
A． B． C． D．
集合是由一些確定的、不同的東西組成的全體，元素是集合的組成對象。集合具有確定性、互異性和無序性。常用列舉法、描述法、語言描述法和韋恩圖法表示集合。解題技巧包括利用數軸、檢驗元素互異性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，對于解決集合問題具有重要意義。
【變式1-1】（2024·高三·江西贛州·期中）已知、，若，則的值為（ ）
A． B．0 C． D．或
【變式1-2】（2024·四川樂山·三模）已知集合，則集合的元素個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式1-3】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知集合，則集合的元素個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．無窮多個
1．[新考法]集合,則以下可以是的表達式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合的元素之和為1，則實數a 所有取值的集合為（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
3．已知集合，，則中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知集合，若，則（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
題型二：集合間的基本關系
【典例2-1】（2024·河南·模擬預測）已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·寧夏·模擬預測）設集合
，則（ ）
A． B．
C． D．
（1）判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達式中尋找兩集合的關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系，這體現了合情推理的思維方法．
（2）已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素的關系，進而轉化為參數滿足的關系，解決這類問題常利用數軸和韋恩圖輔助分析．
【變式2-1】（2024·江西新余·模擬預測）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）若集合，則集合A的真子集有（ ）個.
A．7 B．15 C．31 D．63
【變式2-3】（2024·貴州遵義·模擬預測）已知集合，，
若集合且，則的子集的個數為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【變式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模擬預測）已知集合為全集的子集，，則（ ）.
A． B．
C． D．
1．已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）已知，則的值可以為（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
3．（多選題）已知集合，，集合滿足，則（ ）
A．， B．集合可以為
C．集合的個數為7 D．集合的個數為8
4．（多選題）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
題型三：集合的運算
【典例3-1】已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知全集，則（ ）
A． B． C． D．
凡是遇到集合的運算（并、交、補）問題，應注意對集合元素屬性的理解，數軸和韋恩圖是集合交、并、補運算的有力工具，數形結合是解集合運算問題的常用思想.
【變式3-1】（2024·高三·黑龍江佳木斯·期中）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有名同學參加語文、數學、英語興趣小組.已知僅參加一個興趣小組的同學有人，同時參加語文和數學興趣小組的同學有人，同時參加數學和英語興趣小組的同學有人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有人，則同時參加這三個興趣小組的同學有人 .
【變式3-3】（2024·江西九江·模擬預測）設，若，，則集合 ．
1．（多選題）設為全集，集合滿足條件，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選題）已知集合均為的子集，若，則（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，若，則 ；若，則的取值范圍為 .
4．（2024·高三·重慶沙坪壩·開學考試）設集合，集合，若，則的取值范圍為 .
題型四：充分條件與必要條件
【典例4-1】（2024·高三·福建寧德·期中）對任意實數,“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例4-2】若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
抓住關鍵詞:大必小充.即小范圍推大范圍時，大范圍是必要條件，小范圍是充分條件.
【變式4-1】（2024·吉林·模擬預測）已知是的導函數，則“”是“是函數的一個極值點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式4-2】（2024·吉林長春·模擬預測）設，則使成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（多選題）（2024·山東臨沂·二模）已知a，，則使“”成立的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的所有取值組成的集合是 .
1．若不等式成立的一個充分不必要條件是，則實數的取值范圍為 ．
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（多選題）若，則“”成立的充分不必要條件可以為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，集合其中是的充分不必要條件，則的取值范圍是 ．
題型五：全稱量詞與存在量詞
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林長春·模擬預測）已知定義域為的函數不是偶函數，則（ ）
A． B．
C． D．
（1）含有一個量詞的命題的否定：先否定量詞(即“任意”變“存在”、“存在”變“任意”).再否定結論；
（2）清楚命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫出命題否定的前提；
（3）注意命題的否定與否命題的區別；
（4）當的真假不易判斷時，可轉化為去判斷的真假.
【變式5-1】已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】命題“”為假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·高三·江蘇連云港·開學考試）若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是 .
【變式5-4】（2024·高三·河北承德·開學考試）已知命題；命題，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
1．已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是 ．
2．若命題：“，”為假命題，則實數a的取值范圍為 .
3．若命題“”為真命題，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．命題“，”的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
重難點突破：以集合為載體的創新題
【典例6-1】（2024·廣東·模擬預測）對于非空數集，定義，將稱為“與的笛卡爾積”．記非空數集的元素個數為，若是兩個非空數集，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【典例6-2】（2024·高三上海模擬）已知是等差數列，，存在正整數，使得，，.若集合中只含有4個元素，則t的可能取值有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
1、集合的創新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉化.
2、集合的創新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，要根據這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解.
【變式6-1】（2024·高三·四川·開學考試）定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集且，那么稱子集族構成集合的 一個劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個數為（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【變式6-2】（2024·高三·北京海淀·開學考試）設集合． 對于集合的子集A，若任取A中兩個不同元素，有，且 中有且只有一個為，則稱A是一個“好子集”．下列結論正確的是（ ）
A．一個“好子集”中最多有個元素 B．一個“好子集”中最多有個元素
C．一個“好子集”中最多有個元素 D．一個“好子集”中最多有個元素
【變式6-3】（2024·湖南懷化·二模）給定整數，有個實數元素的集合，定義其相伴數集，如果，則稱集合為一個元規范數集．（注：表示數集中的最小數）．對于集合，則（ ）
A．是規范數集，不是規范數集 B．是規范數集，是規范數集
C．不是規范數集，是規范數集 D．不是規范數集，不是規范數集
1．稱平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為正整數的點為好整點，記為集合包含的好整點的個數．若，則正整數的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
2．（多選題）若平面點集滿足：任意點，存在，都有，則稱該點集是階聚合點集．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則是3階聚合點集
B．存在對任意正數，使不是階聚合點集
C．若，則不是階聚合點集
D．“”是“是階聚合點集”的充要條件
3．（多選題）對任意，記，并稱為集合A，B的對稱差．例如：若，，則．下列命題中，為真命題的是（ ）
A．若且，則 B．若且，則
C．若且，則 D．存在，使得
4．（多選題）群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中．有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“．”是G上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條件：
①對所有的a、，有；
②、b、，有；
③，使得，有，e稱為單位元；
④，，使，稱a與b互為逆元．
則稱G關于“·”構成一個群．則下列說法正確的有（ ）
A．關于數的乘法構成群
B．自然數集N關于數的加法構成群
C．實數集R關于數的乘法構成群
D．關于數的加法構成群
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題01 集合和常用邏輯用語
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 5
05 核心精講·題型突破 12
題型一：集合的基本概念 12
題型二：集合間的基本關系 15
題型三：集合的運算 18
題型四：充分條件與必要條件 22
題型五：全稱量詞與存在量詞 26
重難點突破：以集合為載體的創新題 29
有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系與運算，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分．近年來試題加強了對集合計算和化簡能力的考查，并向無限集方向發展，考查學生的抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意運用數軸法和特殊值法解題，應加強集合表示方法的轉化和化簡的訓練．
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
集合的基本概念 理解集合，掌握基本要素 2023年上海卷第13題，4分 預測2025年高考，多以小題形式出現，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為： （1）以選擇題或填空題形式出現，考查學生的綜合推理能力． （2）熱點是集合間的基本運算、數軸法的應用和體現集合的語言工具作用．
集合的運算 熟練掌握集合的并、交、補集運算方法 2024年北京卷第1題，5分 2024年甲卷（文）第2題，5分 2024年天津卷第1題，5分 2023年 I卷第1題，5分 2022年I卷第1題，5分 2021年I卷第1題，5分
充分條件與必要條件 理解充分必要，掌握邏輯判斷，熟練應用題解 2024年北京卷第5題，5分 2024年甲卷（理）第9題，5分 2024年天津卷第2題，5分 2023年天津卷第2題，5分 2022年天津卷第2題，5分 2021年甲卷第7題，5分
1、集合中的邏輯關系（備注：全集為）
（1）交集的運算性質．
，，，，，．
（2）并集的運算性質．
，，，，，．
（3）補集的運算性質．
，，，，．
補充性質：．
（4）結合律與分配律．
結合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的補補的并”，“并的補補的交”．
2、由個元素組成的集合的子集個數
的子集有個，非空子集有個，真子集有個，非空真子集有個．
3、容斥原理
．
4、從集合與集合之間的關系上看
設．
（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小大”．
（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；
（3）若，則與互為充要條件．
1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題
C．p和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】B
【解析】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，
對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，
綜上，和都是真命題.
故選：B.
2．（2024年上海秋季高考數學真題）定義一個集合，集合中的元素是空間內的點集，任取，存在不全為0的實數，使得．已知，則的充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構成空間的一個基底，
對A，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故A錯誤；
對B，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故B錯誤；
對C， 由空間直角坐標系易知三個向量不共面，可構成空間的一個基底，
則由能推出，
對D，由空間直角坐標系易知三個向量共面，
則當無法推出，故D錯誤.
故選：C．
3．（2024年北京高考數學真題）設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為，可得，即，
可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.
故選：B.
4．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【解析】對A，當時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
5．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
則，
故選：D
6．（2024年天津高考數學真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】根據立方的性質和指數函數的性質，和都當且僅當，所以二者互為充要條件.
故選：C.
7．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依題意，等差數列中，，
顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故選：B
8．（2023年北京高考數學真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】解法一：
因為，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因為，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因為，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
9．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，則.
故選：A.
10．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【解析】當時，例如但，
即推不出；
當時，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
11．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為整數集，，所以，．
故選：A．
12．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得，則，選項A正確；
，則，選項B錯誤；
，則或，選項C錯誤；
或，則 或，選項D錯誤；
故選：A.
13．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：因為，而，
所以 ．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以 ．
故選：C．
14．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因為，則有：
若，解得，此時，，不符合題意；
若，解得，此時，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
15．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）記為數列的前項和，設甲：為等差數列；乙：為等差數列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】方法1，甲：為等差數列，設其首項為，公差為，
則，
因此為等差數列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即為常數，設為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數列，設數列的首項，公差為，即，
則，因此為等差數列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數列，即，
即，，
當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，
于是，又為常數，
因此為等差數列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
16．（2022年新高考全國II卷數學真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：直接法
因為，故，故選：B.
[方法二]：【最優解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
17．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
題型一：集合的基本概念
【典例1-1】（2024·廣東·模擬預測）若，則m可能取值的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，則，
由，得，此時，符合題意；
或，此時，符合題意；或，則，此時，符合題意，
所以m可能取值的集合為.
故選：B
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新鄉·三模）下列集合中有無數個元素的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于A，因為，，則，，故A 錯誤；
對于B，因為，，則，
所以，故B錯誤；
對于C，，，所以，故C錯誤；
對于D，有無數個元素.故D正確.
故選：D.
集合是由一些確定的、不同的東西組成的全體，元素是集合的組成對象。集合具有確定性、互異性和無序性。常用列舉法、描述法、語言描述法和韋恩圖法表示集合。解題技巧包括利用數軸、檢驗元素互異性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，對于解決集合問題具有重要意義。
【變式1-1】（2024·高三·江西贛州·期中）已知、，若，則的值為（ ）
A． B．0 C． D．或
【答案】C
【解析】由 且，則，
∴，于是，解得或,
根據集合中元素的互異性可知應舍去，
因此，,
故．
故選：C.
【變式1-2】（2024·四川樂山·三模）已知集合，則集合的元素個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由題意知，，，
當，時，，
當，時，，
所以，
所以集合中的元素個數為4.
故選：C.
【變式1-3】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知集合，則集合的元素個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．無窮多個
【答案】C
【解析】由，可得，
所以集合的元素個數為個.
故選：C
1．[新考法]集合,則以下可以是的表達式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對于選項A，因為，所以，，，，不滿足集合的互異性，所以選項A錯誤，
對于選項B，因為，所以，不滿足集合的互異性，所以選項B錯誤，
對于選項C，因為，所以，，，，所以選項C正確，
對于選項D，因為，所以，，，，后面再求導，導數均為，不滿足集合的互異性，所以選項D錯誤，
故選：C.
2．已知集合的元素之和為1，則實數a 所有取值的集合為（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【解析】因為集合的元素之和為1，
所以一元二次方程有等根時，可得，即，
當方程有兩不相等實根時，，即，
綜上，實數a 所有取值的集合為.
故選：D
3．已知集合，，則中的元素個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由題意，，
當，
當，
當，
當，
當，
當，
由集合中元素滿足互異性，所以.
故選：B
4．已知集合，若，則（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
【答案】C
【解析】，
，解得或，
當時，，
不滿足集合中元素的互異性，舍去.
當時，，
此時，滿足題意.
綜上，.
故選：C.
題型二：集合間的基本關系
【典例2-1】（2024·河南·模擬預測）已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，若，
則若，則滿足題意；
若，且，則，
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：
【典例2-2】（2024·寧夏·模擬預測）設集合
，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，A錯；，B錯；
，D錯，C正確．
故選：C．
（1）判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達式中尋找兩集合的關系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系，這體現了合情推理的思維方法．
（2）已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素的關系，進而轉化為參數滿足的關系，解決這類問題常利用數軸和韋恩圖輔助分析．
【變式2-1】（2024·江西新余·模擬預測）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故.
故選：A.
【變式2-2】（2024·四川成都·模擬預測）若集合，則集合A的真子集有（ ）個.
A．7 B．15 C．31 D．63
【答案】C
【解析】由題意可知：集合，共5個元素，
所以集合A的真子集有個.
故選：C.
【變式2-3】（2024·貴州遵義·模擬預測）已知集合，，
若集合且，則的子集的個數為（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解析】由條件可知，，，，，，，
所以集合，集合的子集的個數為個.
故選：C
【變式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模擬預測）已知集合為全集的子集，，則（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴.
故選：C.
1．已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，，，
則，易知12的倍數一定是6的倍數，故A正確，C錯誤；
因，即，故D錯誤；
對于B項，任取，因，則，故B錯誤．
故選：A．
2．（多選題）已知，則的值可以為（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
【答案】AC
【解析】當時，由得，滿足，所以；
當時，由得，滿足，所以；
當時，由得，不滿足；
綜上，則或256.
故選：AC.
3．（多選題）已知集合，，集合滿足，則（ ）
A．， B．集合可以為
C．集合的個數為7 D．集合的個數為8
【答案】AC
【解析】由題意得，，又.
所以，，故A正確；
當時，不滿足，B錯誤，
集合的個數等價于集合的非空子集的個數，
所以集合的個數為，故C正確，D錯誤，
故選：AC.
4．（多選題）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根據Venn圖可知，
對于A，顯然，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，則，故C正確；
對于D，，或 ，
則，故D正確.
故選：ACD
題型三：集合的運算
【典例3-1】已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，解得或，
故或，又，所以 .
故選：C
【典例3-2】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知全集，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知全集，
,集合中沒有，
若，則，則，與條件矛盾，故，
同理可得，
則.
故選：D.
凡是遇到集合的運算（并、交、補）問題，應注意對集合元素屬性的理解，數軸和韋恩圖是集合交、并、補運算的有力工具，數形結合是解集合運算問題的常用思想.
【變式3-1】（2024·高三·黑龍江佳木斯·期中）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，解得，則，
.
故選：C
【變式3-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有名同學參加語文、數學、英語興趣小組.已知僅參加一個興趣小組的同學有人，同時參加語文和數學興趣小組的同學有人，同時參加數學和英語興趣小組的同學有人，同時參加語文和英語興趣小組的同學有人，則同時參加這三個興趣小組的同學有人 .
【答案】
【解析】以集合、、表示分別參加語文、數學、英語興趣小組的學生，如下圖所示：
設同時參加這三個興趣小組的同學有人，由圖可得，解得.
故答案為：.
【變式3-3】（2024·江西九江·模擬預測）設，若，，則集合 ．
【答案】
【解析】因為
因為
因為,
如果,則與已知矛盾，所以.
所以.
故答案為：
1．（多選題）設為全集，集合滿足條件，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】當，，，時，滿足，
此時，不是的子集，所以A、B不一定成立；
，，所以C不一定成立；
對于D，若，則，但，因為，
所以，于是，所以，
同理若，則，，
因此，成立，所以D成立.
故選：ABC.
2．（多選題）已知集合均為的子集，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因為集合 均為的子集，且，
畫出韋恩圖，如圖所示：
結合圖像：由，所以A正確；由 ，所以B錯誤；
由 ，所以C錯誤；由，所以D正確.
故選：AD.
3．已知集合，若，則 ；若，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】即，
則，
所以，
若，則，
，
若，，
則，故的取值范圍為.
故答案為：；.
4．（2024·高三·重慶沙坪壩·開學考試）設集合，集合，若，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由題意得，故，
因為，所以，故的取值范圍是.
故答案為：
題型四：充分條件與必要條件
【典例4-1】（2024·高三·福建寧德·期中）對任意實數,“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】對于函數，根據均值不等式（當且僅當時取等號），
則.
當即時取等號，但是，所以
判斷充分性:
若，因為時，那么，所以充分性成立.
判斷必要性:
若，當時，顯然，所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
【典例4-2】若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
是的必要不充分條件，
，
故選：B．
抓住關鍵詞:大必小充.即小范圍推大范圍時，大范圍是必要條件，小范圍是充分條件.
【變式4-1】（2024·吉林·模擬預測）已知是的導函數，則“”是“是函數的一個極值點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】根據極值點的定義，是函數的一個極值點可得，
但是時，不一定是函數的一個極值點，
比如，，滿足，但在R上單調遞增，
即不是函數的極值點，
故“”是“是函數的一個極值點”的必要不充分條件，
故選：B
【變式4-2】（2024·吉林長春·模擬預測）設，則使成立的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】對于A，，故是的充要條件；
對于B，由得，能推出，反之不成立，
所以是的充分不必要條件；
對于C，由無法得到之間的大小關系，反之也是，
所以是的既不充分也不必要條件；
對于D，由不能推出，反之則成立，所以是的必要不充分條件．
故選：B．
【變式4-3】（多選題）（2024·山東臨沂·二模）已知a，，則使“”成立的一個必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】對于A，當時，滿足，但不滿足，
所以是的不充分條件，是的不必要條件，故A錯誤；
對于B，當時，滿足，但不滿足，
所以是的不充分條件；
當時，，
所以，所以，
所以是的充分條件，是的必要條件，故B正確；
對于C，當時，滿足，但不滿足，
所以是的不充分條件；
當時，，所以，
所以是的充分條件，是的必要條件，故C正確；
對于D，當時，滿足時，但即不滿足，
所以是的不充分條件，是的不必要條件，故D錯誤；
故選：BC.
【變式4-4】已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的所有取值組成的集合是 .
【答案】
【解析】依題意，，，顯然，
由“”是“”的充分不必要條件，得，
當時，，符合題意，當時，方程的根為和，
顯然，否則，不符合題意，因此，解得，此時，符合題意，
所以實數的所有取值組成的集合是.
故答案為：
1．若不等式成立的一個充分不必要條件是，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由，
因為不等式成立的一個充分不必要條件是，
所以有，等號不同時成立，，
當時，是不等式成立的充要條件，不符合題意，
所以，實數的取值范圍為.
故答案為：.
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，滿足，但推不出，即“”不是“”的充分條件；
當時，或，總有成立，即“”是“”的必要條件，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選：A
3．（多選題）若，則“”成立的充分不必要條件可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由解得，，即，
對A，因為推不出，能推出，
所以是的必要不充分條件，A錯誤；
對B，因為能推出，不能推出，
所以是的充分不必要條件，B正確；
對C，因為能推出，不能推出，
所以是的充分不必要條件，C正確；
對D，因為不能推出，不能推出，
所以是的既不充分也不必要條件，D錯誤；
故選:BC.
4．已知集合，集合其中是的充分不必要條件，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為是的充分不必要條件，
所以，
因為不等式的解集為，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
題型五：全稱量詞與存在量詞
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命題“”的否定為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為“”的否定是“”.
故選：C
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林長春·模擬預測）已知定義域為的函數不是偶函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】定義域為的函數是偶函數，
所以不是偶函數．
故選：D．
（1）含有一個量詞的命題的否定：先否定量詞(即“任意”變“存在”、“存在”變“任意”).再否定結論；
（2）清楚命題是全稱命題還是特稱命題，是正確寫出命題否定的前提；
（3）注意命題的否定與否命題的區別；
（4）當的真假不易判斷時，可轉化為去判斷的真假.
【變式5-1】已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命題為假命題，
在上無解，
即與，函數圖象沒有交點，
由圖可知：或，
命題為真命題，則，解得，
綜上所述：實數a的取值范圍為.
故選：C
【變式5-2】命題“”為假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，“”為真命題，即在上恒成立，
令，，則在上恒成立，
即在上恒為增函數，則，故.
故選：A.
【變式5-3】（2024·高三·江蘇連云港·開學考試）若命題“”是假命題，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】根據題意可得“”是真命題，
當，即時，命題成立；
當時，得，解得，
綜上，符合題意的實數的取值范圍是.
故答案為：.
【變式5-4】（2024·高三·河北承德·開學考試）已知命題；命題，則（ ）
A．和都是真命題 B．和都是真命題
C．和都是真命題 D．和都是真命題
【答案】C
【解析】對于命題，因為，所以，所以命題為真命題，為假命題；
對于命題，當時，，，不成立，
所以命題為假命題，為真命題.
故選：C.
1．已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題意得“，”是真命題，故，
因為，所以m的取值范圍是．
故答案為：
2．若命題：“，”為假命題，則實數a的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由題意可知，題“”為真命題，
當時，由可得，不符合題意，
當時，根據題意知不等式恒成立則，
解之可得.
故答案為：
3．若命題“”為真命題，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若命題“”為真命題，
則，解得，
所以a的取值范圍是.
故選：A.
4．命題“，”的否定為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
因此命題“，”的否定是，.
故選：A
重難點突破：以集合為載體的創新題
【典例6-1】（2024·廣東·模擬預測）對于非空數集，定義，將稱為“與的笛卡爾積”．記非空數集的元素個數為，若是兩個非空數集，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】設，，
則 ，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值是.
故選：B
【典例6-2】（2024·高三上海模擬）已知是等差數列，，存在正整數，使得，，.若集合中只含有4個元素，則t的可能取值有（ ）個
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】當時，，根據周期性知集合最多有3個元素，不符合；
當時，，取，此時，滿足條件；
當時，，即，即，
所以，或，（舍），
故解得，此時在單位圓上的5等分點，
取到的，，，，，不可能取到4個不同的正弦值，故不滿足；
當時，，取，此時，滿足條件；
當時，，取，此時，滿足條件；
當時，，取，此時，滿足條件；
故選：C
1、集合的創新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉化.
2、集合的創新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，要根據這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解.
【變式6-1】（2024·高三·四川·開學考試）定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集且，那么稱子集族構成集合的 一個劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個數為（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【答案】B
【解析】依題意，，
的2劃分為，共3個，
的3劃分為，共1個，
故集合的所有劃分的個數為4.
故選：B.
【變式6-2】（2024·高三·北京海淀·開學考試）設集合． 對于集合的子集A，若任取A中兩個不同元素，有，且 中有且只有一個為，則稱A是一個“好子集”．下列結論正確的是（ ）
A．一個“好子集”中最多有個元素 B．一個“好子集”中最多有個元素
C．一個“好子集”中最多有個元素 D．一個“好子集”中最多有個元素
【答案】A
【解析】則 三者為1或0，
若 三者均為0，則此時A中只有1個元素，即，
不合要求，舍去，
若 三者中有1個0，則，有3個元素，滿足要求，
若 三者中有2個0，或沒有0，則此時不滿足，
綜上，一個“好子集”中最多有個元素.
故選：A
【變式6-3】（2024·湖南懷化·二模）給定整數，有個實數元素的集合，定義其相伴數集，如果，則稱集合為一個元規范數集．（注：表示數集中的最小數）．對于集合，則（ ）
A．是規范數集，不是規范數集 B．是規范數集，是規范數集
C．不是規范數集，是規范數集 D．不是規范數集，不是規范數集
【答案】C
【解析】集合中，，則，
即的相伴數集中的最小數不是1，因此不是規范數集；
集合，，
，
即的相伴數集中的最小數是1，因此是規范數集.
故選：C
1．稱平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為正整數的點為好整點，記為集合包含的好整點的個數．若，則正整數的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
【答案】B
【解析】一方面：由題意，，使得不等式恒成立，
注意到
，
等號成立當且僅當，即，
所以正整數應該滿足，
另一方面：當時，
我們證明：成立，
證明過程如下：
注意到，
所以，
，記，則，，
，
即成立，
綜合以上兩方面，可知正整數的最小值是1977.
故選：B.
2．（多選題）若平面點集滿足：任意點，存在，都有，則稱該點集是階聚合點集．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則是3階聚合點集
B．存在對任意正數，使不是階聚合點集
C．若，則不是階聚合點集
D．“”是“是階聚合點集”的充要條件
【答案】ACD
【解析】對于A，由可得，故是3階聚合點集，即A正確；
對于B，對任意的點集，總存在，使得是1階聚合點集，故B錯誤；
對于C，因，而，故不是階聚合點集，即C正確；
對于D，因是階聚合點集等價于，
因，可得，又因，依題意可得，反之也成立，
故“是階聚合點集”是“”的充要條件，即D正確.
故選：ACD.
3．（多選題）對任意，記，并稱為集合A，B的對稱差．例如：若，，則．下列命題中，為真命題的是（ ）
A．若且，則 B．若且，則
C．若且，則 D．存在，使得
【答案】AB
【解析】A選項，且，則，
故，且中元素不能出現在中，故，A正確；
B選項，且，則，
即與是相同的，所以，B正確；
C選項，因為，所以，故，C錯誤；
D選項，，
其中，，
故，
而，
故，D錯誤.
故選：AB
4．（多選題）群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中．有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“．”是G上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條件：
①對所有的a、，有；
②、b、，有；
③，使得，有，e稱為單位元；
④，，使，稱a與b互為逆元．
則稱G關于“·”構成一個群．則下列說法正確的有（ ）
A．關于數的乘法構成群
B．自然數集N關于數的加法構成群
C．實數集R關于數的乘法構成群
D．關于數的加法構成群
【答案】AD
【解析】對于A選項，對所有的、，有，且滿足①乘法結合律；
②，使得，有；
③，，有，故A正確；
對于B選項，①自然數滿足加法結合律；
②，使得，有；
但是對于，，不存在，使，故B錯誤；
對于C選項，對所有的、，有，
①實數滿足加法結合律； ②，使得，有；
但對于，，不存在，使，故C錯誤；
對于D選項，對所有的、，可設，，，，，，
則，
①滿足加法結合律，即、、，有；
②，使得，有；
③，設，，，，使，故D正確．
故選：AD．
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