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2025年高考數學二輪復習(新高考通用)專題22概率與統計的綜合應用與高級分析(講義)(學生版+解析)

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2025年高考數學二輪復習(新高考通用)專題22概率與統計的綜合應用與高級分析(講義)(學生版+解析)

資源簡介

專題22 概率與統計的綜合應用與高級分析
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 6
05 核心精講·題型突破 14
題型一:求概率及隨機變量的分布列與期望 14
題型二:超幾何分布與二項分布 18
題型三:概率與其它知識的交匯問題 23
題型四:期望與方差的實際應用 29
題型五:正態分布與標準正態分布 35
題型六:統計圖表及數字特征 40
題型七:線性回歸與非線性回歸分析 46
題型八:獨立性檢驗 53
題型九:與體育比賽規則有關的概率問題 62
題型十:決策型問題 68
題型十一:遞推型概率命題 74
題型十二:條件概率、全概率公式、貝葉斯公式 82
重難點突破:高等背景下的概統問題 87
概率統計在高考中具有舉足輕重的地位,是新高考卷及眾多省市高考數學的必考題型。其考查重點涵蓋古典概型、相互獨立事件的概率計算、條件概率、超幾何分布與二項分布、正態分布的應用、統計圖表與數字特征的解析、回歸分析方法的運用、離散型隨機變量的分布列以及期望與方差在實際問題中的應用等方面。
近年來,高考中的概率統計解答題往往緊密聯系社會實際,以現實生活場景為命題背景,強調知識的綜合運用和實踐能力的考察。這要求考生不僅具備收集、整理和分析數據的能力,還能從繁雜的數據中提煉出對解決問題有價值的信息,進而建立數學模型,并運用數學原理和工具來有效解決實際問題。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
統計圖表及數字特征 掌握統計圖表繪制,理解數字特征應用 2023年乙卷第17題,12分 2023年II卷第19題,12分 2022年II卷第19題,12分 預測2025年高考數學解答題的可能趨勢如下: (1)該題預計將以解答題的壓軸題形式呈現,全面考查考生的數學抽象思維、數學建模能力、邏輯推理能力以及數學運算技能這四大核心素養。 (2)題目的熱點內容預計將與體育比賽規則相關的概率問題,以及在高等數學背景下的概率統計問題密切相關。
期望與方差 理解期望方差概念,熟練進行計算應用。 2024年II卷第18題,17分 2023年上海卷第19題,14分 2023年I卷第21題,12分 2022年甲卷第19題,12分 2021年I卷第18題,12分
獨立性檢驗 掌握獨立性檢驗,解決分類變量問題。 2023年甲卷第17題,12分 2022年I卷第20題,12分
(一)涉及的概率知識層面
主要考查隨機變量的概率分布與數學期望,一定要根據有關概念,判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨立事件還是獨立重復試驗,以便選擇正確的計算方法,進行概率計算及離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算,也要掌握幾種常見常考的概率分布模型:離散型有二項分布、超幾何分布,連續型有正態分布.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力,
1、離散型隨機變量的期望與方差
一般地,若離散型隨機變量的分布列為
稱為隨機變量的均值或數學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
稱為隨機變量的方差,它刻畫了隨機變量與其均值的偏離程度,其算術平方根為隨機變量的標準差.
(1)離散型隨機變量的分布列的性質
①;②.
(2)均值與方差的性質
若,其中為常數,則也是隨機變量,

(3)分布列的求法
①與排列、組合有關分布列的求法.由排列、組合、概率知識求出概率,再求出分布列.
②與頻率分布直方圖有關分布列的求法.可由頻率估計概率, 再求出分布列.
③與互斥事件有關分布列的求法.弄清互斥事件的關系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.
④與獨立事件(或獨立重復試驗)有關分布列的求法.先弄清獨立事件的關系,求出各個概率,再列出分布列.
(4)常見的離散型隨機變量的概率分布模型
①二項分布; ②超兒何分布.
2、常見的連續型概率分布模型
正態分布.
(二)概率分布與不同知識背景結合考查對實際問題的解決能力
1、與數列結合的實際問題
2、與函數導數結合的實際問題
3、與分段函數求最值、解不等式結合的實際問題
4、與統計結合的實際問題
5、與其他背景結合的實際問題
1.(2024年北京高考數學真題)某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況,從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份,記錄并整理這些保單的索賠情況,獲得數據如下表:
賠償次數 0 1 2 3 4
單數
假設:一份保單的保費為0.4萬元;前3次索賠時,保險公司每次賠償0.8萬元;第四次索賠時,保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率;
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
(i)記為一份保單的毛利潤,估計的數學期望;
(ⅱ)如果無索賠的保單的保費減少,有索賠的保單的保費增加,試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與(i)中估計值的大小.(結論不要求證明)
【解析】(1)設為“隨機抽取一單,賠償不少于2次”,
由題設中的統計數據可得.
(2)(ⅰ)設為賠付金額,則可取,
由題設中的統計數據可得,
,,


故(萬元).
(ⅱ)由題設保費的變化為,
故(萬元),
從而.
2.(2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題)某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成,比賽具體規則如下:第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次,若3次都未投中,則該隊被淘汰,比賽成績為0分;若至少投中一次,則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次,每次投籃投中得5分,未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.
(1)若,,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.
(2)假設,
(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大,應該由誰參加第一階段比賽?
(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大,應該由誰參加第一階段比賽?
【解析】(1)甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分,則甲第一階段至少投中1次,乙第二階段也至少投中1次,
比賽成績不少于5分的概率.
(2)(i)若甲先參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為,
若乙先參加第一階段比賽,則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為,


,應該由甲參加第一階段比賽.
(ii)若甲先參加第一階段比賽,比賽成績的所有可能取值為0,5,10,15,




記乙先參加第一階段比賽,比賽成績的所有可能取值為0,5,10,15,
同理

因為,則,,
則,
應該由甲參加第一階段比賽.
3.(2023年北京高考數學真題)為研究某種農產品價格變化的規律,收集得到了該農產品連續40天的價格變化數據,如下表所示.在描述價格變化時,用“+”表示“上漲”,即當天價格比前一天價格高;用“-”表示“下跌”,即當天價格比前一天價格低;用“0”表示“不變”,即當天價格與前一天價格相同.
時段 價格變化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用頻率估計概率.
(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率;
(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的.在未來的日子里任取4天,試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率;
(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響.判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大.(結論不要求證明)
【解析】(1)根據表格數據可以看出,天里,有個,也就是有天是上漲的,
根據古典概型的計算公式,農產品價格上漲的概率為:
(2)在這天里,有天上漲,天下跌,天不變,也就是上漲,下跌,不變的概率分別是,,,
于是未來任取天,天上漲,天下跌,天不變的概率是
(3)由于第天處于上漲狀態,從前次的次上漲進行分析,上漲后下一次仍上漲的有次,不變的有次,下跌的有次,
因此估計第次不變的概率最大.
4.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為,.試驗結果如下:
試驗序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記,記的樣本平均數為,樣本方差為.
(1)求,;
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果,則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高,否則不認為有顯著提高)
【解析】(1),


的值分別為: ,

(2)由(1)知:,,故有,
所以認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.
5.(2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率;
(2)求第次投籃的人是甲的概率;
(3)已知:若隨機變量服從兩點分布,且,則.記前次(即從第1次到第次投籃)中甲投籃的次數為,求.
【解析】(1)記“第次投籃的人是甲”為事件,“第次投籃的人是乙”為事件,
所以,
.
(2)設,依題可知,,則

即,
構造等比數列,
設,解得,則,
又,所以是首項為,公比為的等比數列,
即.
(3)因為,,
所以當時,,
故.
6.(2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為;誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為.假設數據在組內均勻分布,以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.
(1)當漏診率%時,求臨界值c和誤診率;
(2)設函數,當時,求的解析式,并求在區間的最小值.
【解析】(1)依題可知,左邊圖形第一個小矩形的面積為,所以,
所以,解得:,

(2)當時,

當時,
,
故,
所以在區間的最小值為.
7.(2022年新高考全國II卷數學真題)在某地區進行流行病學調查,隨機調查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖:

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表);
(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率;
(3)已知該地區這種疾病的患病率為,該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人,若此人的年齡位于區間,求此人患這種疾病的概率.(以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率,精確到0.0001).
【解析】(1)平均年齡
(歲).
(2)設{一人患這種疾病的年齡在區間},所以

(3)設“任選一人年齡位于區間[40,50)”,“從該地區中任選一人患這種疾病”,
則由已知得:
,
則由條件概率公式可得
從該地區中任選一人,若此人的年齡位于區間,此人患這種疾病的概率為.
8.(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)某地經過多年的環境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:)和材積量(單位:),得到如下數據:
樣本號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
根部橫截面積 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材積量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并計算得.
(1)估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;
(2)求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(精確到0.01);
(3)現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值.
附:相關系數.
【解析】(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值
據此可估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積為,
平均一棵的材積量為
(2)

(3)設該林區這種樹木的總材積量的估計值為,
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,
可得,解之得.
則該林區這種樹木的總材積量估計為
題型一:求概率及隨機變量的分布列與期望
【典例1-1】蛇年來臨之際,某商場計劃安排新春抽獎活動,方案如下:1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球,2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球,顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球,再從2號不透明的盒子取出1個小球,若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語,則這位顧客中獎,反之沒有中獎,每位顧客只能進行一輪抽獎.已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為,且顧客取出小球的結果相互獨立.
(1)求顧客中獎的概率;
(2)若小明一家三口參加這個抽獎活動,求小明全家中獎次數的分布列及數學期望.
【解析】(1)顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”的概率為,
顧客取出的2個小球的字樣組成“安康”的概率為,
顧客取出的2個小球的字樣組成“和順”的概率為,
綜上,顧客中獎的概率為;
(2)設小明全家中獎的次數為,
則,,


,則的分布列為
0 1 2 3
所以.
【典例1-2】隨著教育部的“雙減政策”落地,為了豐富高中基礎年級學生的課余生活,2025年元旦期間,某校師生舉行一場驚心動魄的足球比賽;由教師代表隊、高一學生代表隊和高二學生代表隊組成、得分規則為:球隊勝一場積3分,平一場積1分,負一場積0分.由教師代表隊與高一學生代表隊和高二學生代表隊的兩場比賽.根據前期比賽成績,教師代表隊與高一學生代表隊比賽:教師代表隊勝的概率為,平的概率為,負的概率為;由教師代表隊與高二學生代表隊比賽:教師代表隊勝的概率為,平的概率為,負的概率為,且兩場比賽結果相互獨立.
(1)求教師代表隊與高二學生代表隊比賽獲得積分超過教師代表隊與高一學生代表隊比賽獲得積分的概率;
(2)用表示教師代表隊兩場比賽獲得積分之和,求的分布列與期望.
【解析】(1)設事件“教師代表隊與高二學生代表隊比賽獲得積分為3分”,
事件“教師代表隊與高二學生代表隊比賽獲得積分為1分”,
事件“教師代表隊與高二學生代表隊比賽獲得積分為0分”,
事件“教師代表隊與高一學生代表隊比賽獲得積分為3分”,
事件“教師代表隊與高一學生代表隊比賽獲得積分為1分”,
事件“教師代表隊與高一學生代表隊比賽獲得積分為0分”,
事件“教師代表隊與高二學生代表隊比賽獲得積分超過教師代表隊與高一學生代表隊比賽獲得積分”,
,,,
則,
教師代表隊與高二學生代表隊比賽獲得積分超過教師代表隊與高一學生代表隊比賽獲得積分的概率為.
(2)由題意可知的所有可能取值為0,1,2,3,4,6.
,,
,,
,.
的分布列為
0 1 2 3 4 6

求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟:
(1)根據題中條件確定隨機變量的可能取值;
(2)求出隨機變量所有可能取值對應的概率,即可得出分布列;
(3)根據期望的概念,結合分布列,即可得出期望(在計算時,要注意隨機變量是否服從特殊的分布,如超幾何分布或二項分布等,可結合其對應的概率計算公式及期望計算公式,簡化計算)
【變式1-1】年末某商場舉辦購物有獎活動:若購物金額超過1000元,則可以抽獎一次,獎池中有9張卡片,“福”“迎”“春”卡各2張,“蛇”卡3張,每次抽獎者從中隨機抽取4張卡片,抽到“蛇”卡獲得2分,抽到其他卡均獲得1分,最終得7分的人可得120元獎金,最終得4分的人可得60元獎金,其他最終得分的人可得20元獎金.已知小鐘獲得一次抽獎機會.
(1)求小鐘抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1張的概率;
(2)記小鐘的中獎金額為,求的分布列及數學期望.
【解析】(1)由題可得小鐘抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1張的概率為.
(2)由題可知的所有可能取值為20,60,120.
的分布列為
20 60 120
1.為了讓高三同學們在緊張的學習之余放松身心,緩解壓力,激發同學們的競爭意識,培養積極向上的心態,為高三生活增添一抹別樣的色彩,某校高三(1)班利用課余時間開展一次投籃趣味比賽.已知該班甲同學每次投籃相互獨立,每次投籃命中的概率為,且次投籃至少命中次的概率為.
(1)求;
(2)若甲同學連續投籃次,每次投進記分,未投進記分,記甲同學的總得分為,求的分布列和數學期望;
(3)若甲同學投籃時出現命中就停止投籃,且最多投籃次,設隨機變量為投籃的次數,證明:.
【解析】(1)由題知兩次均未投中的概率為,即,解得.
(2)易知甲同學連續投籃次有:次均未命中,恰好命中次,命中次,次全命中,
所以的可能取值為,
又,,
,,
所以的分布列為
.
(3)易知隨機變量可能取值為,
又易知,
所以,


所以


又易知,所以.
題型二:超幾何分布與二項分布
【典例2-1】高三(1)班有名同學,在某次考試中總成績在分(含分)以上的有人:甲、乙、丙、丁;在分—分之間的有人:戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申.其中數學成績超過分的有人:甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)從該班同學中任選一人,求在數學成績超過分的條件下,總成績超過分的概率;
(2)從數學成績超過分的同學中隨機抽取人.
①采取不放回抽樣方式抽取,記為成績在分—分之間的同學的個數,求的分布列和期望;
②采取放回抽樣方式抽取,記為成績在分—分之間的同學的個數,求的值.(直接寫出結果)
【解析】(1)解法一:記事件所抽取的學生的數學成績超過分,則,
記事件所抽取的學生的總成績超過分,則,
所以.
即任取一人,在數學成績超過分的條件下,總成績超過分的概率為;
解法二:數學成績超過分的有人,其中包含總成績超過分以上的有人,
所以任取一人,在數學成績超過分的條件下,總成績超過分的概率為
(2)①名數學成績超過分的同學包含個總成績在分之間的,
所以所有可能的取值為:、、、,
,,
,.
所以的分布列為:
.
②名數學成績超過分的同學包含個總成績在分之間的,
按可放回抽樣的方式隨機抽取,則隨機變量,所以.
【典例2-2】在某地區進行高中學生每周戶外運動調查,隨機調查了名高中學生戶外運動的時間(單位:小時),得到如下樣本數據的頻率分布直方圖.
(1)求的值,估計該地區高中學生每周戶外運動的平均時間;(同一組數據用該區間的中點值作代表)
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配,在,兩組內的學生中,采用分層抽樣的方法抽取了人,現從這人中隨機抽取人進行訪談,記在內的人數為,求的分布列和期望;
(3)以頻率估計概率,從該地區的高中學生中隨機抽取名學生,用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內的概率,當最大時,求的值.
【解析】(1)由已知,解得,
所以平均數為
.
(2)這名高中學生戶外運動的時間分配,
在,兩組內的學生分別有人,和人;
所以根據分層抽樣可知人中在的人數為人,在內的人數為人,
所以隨機變量的可能取值有,,
所以,,
則分布列為
期望;
(3)由頻率分布直方圖可知運動時間在內的頻率為,
則,
若為最大值,則,
即,
即,解得,
又,且,則.
超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應用廣泛的概率模型,實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決.
一般地,在含有件產品的件產品中,任取件,其中恰有件次品,則事件發生的概率為,其中,且,稱為超幾何分布列.
一般地,在次獨立重復試驗中,用表示事件發生的次數,設每次試驗中事件發生的概率為,則.此時稱隨機變量服從二項分布,記作,并稱為成功概率.此時有.
【變式2-1】某校為了解高三學生每天的作業完成時長,在該校高三學生中隨機選取了100人,對他們每天完成各科作業的總時長進行了調研,結果如下表所示:
時長(小時)
人數(人) 3 4 33 42 18
用表格中的頻率估計概率,且每個學生完成各科作業時互不影響.
(1)從該校高三學生中隨機選取1人,估計該生可以在3小時內完成各科作業的概率;
(2)從樣本“完成各科作業的總時長在2.5小時內”的學生中隨機選取3人,其中共有人可以在2小時內完成各科作業,求的分布列和數學期望;
(3)從該校高三學生(學生人數較多)中隨機選取3人,其中共有人可以在3小時內完成各科作業,求.
【解析】(1)設“從該校高三學生中隨機選取1人,這個學生可以在3小時內完成各科作業”為事件,
則.
(2)樣本中“完成各科作業的總時長在2.5小時內”的學生有(人),其中可以在2小時內完成的有3人,的所有可能取值為0,1,2,3.
,,,,
∴的分布列為:
∴.
(3)由題意得,,
∴.
1.同學們,你們知道排球比賽的規則和積分制嗎 其規則是:每局25分,達到24分時,比賽雙方必須相差2分,才能分出勝負;每場比賽采用“5局3勝制”(即有一支球隊先勝3局即獲勝,比賽結束);比賽排名采用積分制,積分規則如下:比賽中,以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分,負隊積0分;以3∶2取勝的球隊積2分,負隊積1分.甲、乙兩隊近期將要進行比賽,為預測它們的積分情況,收集了兩隊以往6局比賽成績:
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假設用頻率估計概率,且甲,乙每局的比賽相互獨立.
(1)估計甲隊每局獲勝的概率;
(2)如果甲、乙兩隊比賽1場,求甲隊的積分X的概率分布列和數學期望;
(3)如果甲、乙兩隊約定比賽2場,請比較兩隊積分相等的概率與的大小(結論不要求證明).
【解析】(1)由表可知:6場比賽甲贏了4場,則甲每局獲勝的頻率為,
用頻率估計概率,所以甲隊每局獲勝的概率為.
(2)隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3,
可得:,,
,,
所以的分布列為
0 1 2 3
所以數學期望.
(3)記“甲、乙比賽兩場后,兩隊積分相等”為事件,
設第場甲、乙兩隊積分分別為,,則,,2,
因兩隊積分相等,所以,即,則,
而,


所以

因為,所以兩隊積分相等的概率小于.
題型三:概率與其它知識的交匯問題
【典例3-1】如圖,一只螞蟻從正方體的頂點出發沿棱爬行,記螞蟻從一個頂點到另一個頂點為一次爬行,每次爬行的方向是隨機的,螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為,沿正方體的側棱爬行的概率為.

(1)若螞蟻爬行5次,求螞蟻在下底面頂點的概率;
(2)若螞蟻爬行5次,記它在頂點出現的次數為,求的分布列與數學期望.
【解析】(1)記螞蟻爬行次在底面的概率為,則它前一步只有兩種情況:在下底面或在上底面,
結合題意易得,,
是等比數列,首項為,公比為,

則,
(2)結合題意易得:,
當時,螞蟻第3次、第5次都在處,
當時,螞蟻第3次在處或第5次在處,
設螞蟻第3次在處的概率為,
設螞蟻第5次在處的概率為,
設螞蟻不過點且第3次在的概率為,設螞蟻不過點且第3次在的概率為,
設螞蟻不過點且第3次在的概率為,由對稱性知,,
,又,
得,


的分布列為:
0 1 2
的數學期望.
【典例3-2】在三維空間中,單位立方體的頂點坐標可用三維坐標表示,其中.而在維空間中,單位立方體的頂點坐標可表示為維坐標,其中.在維空間中,設點,定義維向量,數量積,為坐標原點,即.
(1)在3維空間單位立方體中任取兩個不同頂點,求的概率;
(2)在維單位立方體中任取兩個不同頂點,記隨機變量.
(i)當時,若最大,求的值;
(ii)求的分布列及期望值.
【解析】(1)記“”為事件,
滿足題意的兩點坐標為,
則.
(2)(i)當隨機變量時,坐標與中有個對應的坐標值均為1即,剩下個坐標值滿足,此時所對應情況數為種
即,
當時,設,要使得最大,
則,
即,所以;
因此,即,
綜上可知,時取最大值.
(ii)由(i)可知,,
故分布列為:
0 1 … …
… …
所以

設,則,
令可知,
設,則,
令可知,,
故.
在知識交匯處設計試題是高考命題的指導思想之一,概率作為高中數學具有實際應用背景的主要內容,除與實際應用問題相交匯,還常與排列組合、函數、數列等知識交匯.求解此類問題要充分理解題意.根據題中已知條件,聯系所學知識對已知條件進行轉化.這類題型具體來說有兩大類:
1、所給問題是以集合、函數、立體幾何、數列、向量等知識為載體的概率問題.求解時需要利用相關知識把所給問題轉化為概率模型,然后利用概率知識求解.
2、所給問題是概率問題,求解時有時需要把所求概率轉化為關于某一變量的函數,然后利用函數、導數知識進行求解;或者把問題轉化為與概率變量有關的數列遞推關系式,再通過構造特殊數列求通項或求和.
【變式3-1】為提高學生的思想政治覺悟,激發愛國熱情,增強國防觀念和國家安全意識,某校進行軍訓打靶競賽.規則如下:每人共有3次機會,擊中靶心得1分,否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為,且滿足:如果第n次射擊擊中靶心概率為p,那么當第n次擊中靶心時,第次擊中靶心的概率也為p,否則第次擊中靶心的概率為.
(1)求甲選手得分X的分布列及其數學期望;
(2)有如下定義:設X是一個隨機變量,x是任意實數,函數,稱為X的分布函數,對于任意實數,,有.因此,若已知X的分布函數,我們就知道X落在任一區間上的概率.
(i)寫出(1)中甲選手得分X的分布函數(分段函數形式);
(ii)靶子是半徑為2的一個圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,假如選手射擊都能中靶,以Y表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量Y的分布函數.
【解析】(1)甲選手得分X的取值可為0,1,2,3,
,.
,,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
X的數學期望是.
(2)(i)X的分布函數為;
(ii)設隨機變量Y的分布函數為,
若,此時;
若,由題意設,
當時,有,又因為,
所以,即,
所以;
若,此時,
綜上所述,.
1.在長方體中,已知,從該長方體的八個頂點中,任取兩個不同的頂點,用隨機變量表示這兩點之間的距離.
(1)求隨機變量的概率;
(2)求隨機變量的分布列.
【解析】(1)如圖,
由于從長方體的八個頂點中,任取兩個不同的頂點的取法總共有種,
又的情況有兩類:
當時,即取矩形,或矩形,或矩形,或矩形的對角線的兩個端點,每個矩形有種取法,共有種取法;
當時,取長方體的體對角線的兩個端點,共有種取法,
故隨機變量的概率是.
(2)依題意,隨機變量的所有可能取值為.
當時,即取正方形和正方形的邊所對棱的兩個端點,共有種取法,則;
當時,即取正方形和正方形的對角線的兩個端點,每個正方形有種取法,共有種取法,則;
當時,即取棱長為的棱的兩個端點,共有種取法,則;
由(1)知,當時,;當時,.
故隨機變量的分布列為
題型四:期望與方差的實際應用
【典例4-1】現有兩種投資方案,一年后投資盈虧的情況如下:
方案一:投資股市:
投資結果 獲利 不賠不賺 虧損
概率
方案二:購買基金:
投資結果 獲利 不賠不賺 虧損
概率
(1)當時,求的值;
(2)若要將萬元錢進行投資,決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種,已知,,那么選擇哪種投資方案,才能使得一年后投資收益的數學期望較大?給出結果并說明理由.
【解析】(1)“購買基金”后,投資結果有“獲利”、“不賠不賺”和“虧損”三種,且三種投資結果相互獨立,
則,且,
所以,解得;
(2)假設選擇“投資股票”方案進行投資,且記為投資股票的獲利金額單位:萬元,
隨機變量的分布列為:
則;
假設選擇“購買基金”方案進行投資,且記為購買基金的獲利金額單位:萬元,
隨機變量的分布列為:
則;

選擇“投資股市”,才能使得一年后的投資收益的數學期望較大.
【典例4-2】某企業有甲,乙兩條生產線,每條生產線都有,,三個流程,為了比較這兩條生產線的優劣,經過長期調查,可知甲生產線的,,三個流程的優秀率分別為0.9,0.9,0.8,乙生產線的,,三個流程的優秀率分別為0.8,0.85,0.92.已知每個流程是否優秀相互獨立.
(1)求甲生產線的三個流程中至少有一個優秀的概率.
(2)為了評估這兩條生產線哪個更優秀,該企業對,,三個流程進行賦分.當流程優秀時,賦30分,當流程不優秀時,賦0分;當流程優秀時,賦40分,當流程不優秀時,賦0分;當流程優秀時,賦50分,當流程不優秀時,賦0分.記甲生產線的,,流程的賦分分別為,,,乙生產線的,,流程的賦分分別為,,,計算與,并據此判斷甲、乙哪條生產線更優秀.
【解析】(1)設甲生產線的流程優秀分別記為事件,
甲生產線的三個流程中至少有一個優秀為事件,
則,
所以.
(2)由題設,易知;

由,即乙生產線更優秀.
數學期望反映的是隨機變量取值的平均水平,而方差則是反映隨機變量取值在其平均值附近的離散程度.現代實際生活中,越來越多的決策需要應用數學期望與方差來對事件發生大小的可能性和穩定性進行評估,通過計算分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現偏差的大小,從而決定要選擇的最佳方案.
(1)若我們希望實際的平均水平較理想,則先求隨機變量的期望,當時,不應認為它們一定一樣好,還需要用來比較這兩個隨機變量的方差,確定它們的偏離程度.
(2)若我們希望比較穩定性,應先考慮方差,再考慮均值是否相等或接近.
(3)方差不是越小就越好,而是要根據實際問題的需要來判斷.
【變式4-1】超輕黏土是一種集藝術性 趣味性 創造性于一體的手工造型材料.某小學為了豐富校園文化生活,舉行了超輕黏土制作比賽活動.本次活動是在各班中選拔表現突出的學生,以班級為單位參加比賽.班級選拔共有6節課,每節課完成情況相互獨立.每節課學生需獨自完成3個動物作品與3個植物作品,若評優作品不少于5個,則將該學生評為“優秀制作人”.最后4節課中,被評為“優秀制作人”的次數不少于3次的學生將代表班級參加比賽.已知小章前2節課制作的作品中,有5個動物作品與4個植物作品為評優作品.
(1)從小章前2節課制作的作品中隨機抽取3個動物作品與3個植物作品,求其中至少有5個作品為評優作品的概率.
(2)若小章經過課后練有所提高,最后4節課每節課動物作品與植物作品為評優作品的概率分別為,且,以最后4節課中小章被評為“優秀制作人”的次數的數學期望為依據,試預測小章是否能代表班級參加比賽.
【解析】(1)設“其中至少有5個作品為評優作品”為事件,由題可知,所有可能的情況為:
①動物作品有2個為評優作品,植物作品有3個為評優作品的概率為,
②動物作品有3個為評優作品,植物作品有2個為評優作品的概率為,
③動物作品有3個為評優作品,植物作品有3個為評優作品的概率為.
所以.
(2)最后4節課中,每節課小章被評為“優秀制作人”的概率均為.
由, 得,即,
所以,,
所以,所以.
令,,,
則,
所以在上單調遞減,所以.
易知,所以,
所以小章不能代表班級參加比賽.
1.組合投資需要同時考慮風險與收益.為了控制風險需要組合低風險資產,為了擴大收益需要組合高收益資產,現有兩個相互獨立的投資項目A和B,單獨投資100萬元項目A的收益記為隨機變量X,單獨投資100萬元項目B的收益記為隨機變量Y.若將100萬資金按進行組合投資,則投資收益的隨機變量Z滿足,其中.假設在組合投資中,可用隨機變量的期望衡量收益,可用隨機變量的方差衡量風險.
(1)若,,求Z的期望與方差;
(2)已知隨機變量X滿足分布列:
X … …
… …
隨機變量Y滿足分布列:
Y … …
… …
且隨機變量X與Y相互獨立,即,,.求證:;
(3)若投資項目X是高收益資產,其每年的收益滿足:有30%的可能虧損當前資產的一半;有70%的可能增值當前資產的一倍.投資項目是低風險資產,滿足.試問能否滿足投資第1年的收益不低于17萬,風險不高于500?請說明理由.
【解析】(1)由為二項分布可知:
,,
當時,,,
故組合投資的期望為3,方差為2.91.
(2)因為,
所以,
因為

所以

因為,
由于獨立,所以,
從而
而,
同理,
故,
從而.
(3)由(1)得,,
所以,

于是,

由于,,
故滿足投資第1年的收益不低于17萬,風險不高于500.
題型五:正態分布與標準正態分布
【典例5-1】高中生堅持跑操有利于增強體質.某高中實踐活動小組經過調查所在學校學生堅持跑操的次數與綜合體測成績等信息,得到如下數據:該學校有的學生每月平均堅持跑操的次數超過40次,這些學生中,綜合體測成績達到“及格”等級的概率為,而每月平均堅持跑操的次數不超過40次的學生的綜合體測成績達到“及格”等級的概率為.
(1)若從該學校任意抽取一名學生,求該學生綜合體測成績達到“及格”等級的概率;
(2)已知該實踐活動小組的6名學生中有4名學生綜合體測成績達到“及格”等級,從這6名學生中抽取2名學生,記為抽取的這2名學生中綜合體測成績達到“及格”等級的人數,求隨機變量的分布列和數學期望.
(3)經統計:該校學生綜合體測得分近似服從正態分布,若得分,則綜合體測成績達到“優秀”等級,假設學生之間綜合體測成績相互獨立.現從該校所有學生中抽取40名學生,記為這40名學生中綜合體測成績達到“優秀”等級的人數,求的數學期望.(結果四舍五入保留整數)
參考數據:若隨機變量服從正態分布,則,,
【解析】(1)設事件“抽取1名學生每月平均堅持跑操的次數超過40次”,
則“抽取1名學生每月平均堅持跑操的次數不超過40次”,
事件“抽取1名學生綜合體測成績達到“及格”等級” ,
由全概率公式: ,
∴從該學校任意抽取一名學生,該學生綜合體測成績達到“及格”等級的概率為
(2)的可能取值為0,1,2 ,
, ,,
∴的分布列為:
0 1 2

(3), ,
,,
∴的數學期望約為6人.
【典例5-2】“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征,是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑,正被廣泛采用.一般地,對于一次成功的考試來說,所有考生得考試成績應服從正態分布.某單位準備通過考試(按照高分優先錄取的原則)錄用300人,其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數為2000名,考試滿分為400分.記考生的成績為,且,已知所有考生考試的平均成績,且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求的值.(結果保留位整數)
(2)該單位的最低錄取分數約是多少?(結果保留為整數)
(3)考生甲的成績為286分,若甲被錄取,能否獲得高薪職位?若不能被錄取,請說明理由.
參考資料:①當時,令,則.
②當,,,,.
【解析】(1)依題意,令,則,
所以可得,,

又因為,則,解得;
(2)由(1)可得,
設最錄取分數為,則,
,,所以,
即最低錄取分數線為分.
(3)考生甲的成績為分分,
所以甲能被錄取概率為,
表明不低于考生甲的成績的人數約為總人數的,約有,
即考生甲大約排在第名,排在名之前,所以甲能獲得高薪.
解決正態分布問題有三個關鍵點:(1)對稱軸標準差分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值;由,分布區間的特征進行轉化,使分布區間轉化為特殊區間,從而求出所求概率.注意在標準正態分布下對稱軸為.
【變式5-1】某市舉行了一次大型宣傳活動,結束后組辦方分別從7個不同的地方的問卷調查中各隨機抽取了相同數量的數據(人均得分)構成一個樣本,依據相關標準,該樣本中各地抽取的數據構成數列(n為各地區的編號),且由各地的數據可以認為各地人均得分服從正態分布,μ近似為抽取的樣本中7個地方人均得分的平均值(得分的平均值四舍五入并取整數).
(1)利用正態分布的知識求.
(2)組辦方為此次參加問卷調查的市民制訂如下兩種獎勵方案.
方案一:(ⅰ)得分不低于μ的可以獲贈2次隨機話費,得分低于μ的可以獲贈1次隨機話費.
(ⅱ)每次獲贈的隨機話費和對應的概率為
獲贈的隨機話費/元 50 100
概率
方案二:參加此次問卷調查的市民可獲得價值100元的大型晚會入場券.
參加此次問卷調查的市民可選擇其中一種獎勵方案.
①市民小李參加了此次問卷調查,他選擇了方案一,記X(單位:元)為他獲贈的話費,求X的分布列及數學期望.
②僅從獎勵的價值考慮,如果你參加了問卷調查,你選擇參加獲贈隨機話費活動,還是獲得價值100元的大型晚會入場券?用統計中相關知識做出決策.
(附:若,則,,)
【解析】(1)樣本中各地的人均得分分別為,,,,,,,
所以7個地方人均得分的平均值為,即μ可取123,所以.


所以.
(2)①由題意可得X所有可能的取值為50,100,150,200,
得50元的情況為得分低于μ,概率為.
得100元的情況為有1次機會且獲得100元或有2次機會且2次均獲得50元,概率為

得150元的情況為有2次機會且2次機會中有1次獲得100元、1次獲得50元,概率為

得200元的情況為有2次機會且2次均獲得100元,概率為.
所以X的分布列為
X 50 100 150 200
P
故.
②由①知,所以應選擇獲得價值100元的大型晚會入場券.
1.2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節,其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍,本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質量指標(單位:g)服從正態分布,其中,.比賽賽制采取單循環方式,即每支球隊進行11場比賽,最后靠積分選出最后冠軍,積分規則如下(比賽采取5局3勝制):比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積3分,負隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分,負隊積1分.9輪過后,積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊,1班排球隊積26分,2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊,設每局比賽1班排球隊取勝的概率為.
(1)令,則,且,求,并證明:;
(2)第10輪比賽中,記1班排球隊3:1取勝的概率為,求出的最大值點,并以作為的值,解決下列問題.
(ⅰ)在第10輪比賽中,1班排球隊所得積分為,求的分布列;
(ⅱ)已知第10輪2班排球隊積3分,判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后,無論最后一輪即第11輪結果如何,1班排球隊積分最多)?若能,求出相應的概率;若不能,請說明理由.
參考數據:,則,,.
【解析】(1),又,
所以.
因為,根據正態曲線對稱性,,
又因為,所以.
(2),
.
令,得.
當時,,在上為增函數;
當時,,在上為減函數.
所以的最大值點,從而.
(ⅰ)的可能取值為3,2,1,0.
,,
,,
所以的分布列為
3 2 1 0
(ⅱ)若,則1班10輪后的總積分為29分,2班即便第10輪和第11輪都積3分,
則11輪過后的總積分是28分,,所以,1班如果第10輪積3分,
則可提前一輪奪得冠軍,其概率為.
題型六:統計圖表及數字特征
【典例6-1】為慶祝“五一”國際勞動節,某校舉辦“五一”文藝匯演活動,本次匯演共有40個參賽節目,經現場評委評分,分成六組:第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,第六組,得到如下頻率分布直方圖:
(1)估計所有參賽節目評分的第85百分位數(保留1位小數);
(2)若評分結束后只對所有評分在區間的節目進行評獎(每個節目都能獲獎,只有一等獎和二等獎),其中每個節目獲評為一等獎的概率為,獲評為二等獎的概率為,每個節目的評獎結果相互獨立.
(ⅰ)設參評節目中恰有2個一等獎的概率為,求的極大值點;
(ⅱ)以(ⅰ)中作為p的值,若對這部分評獎節目進行獎勵,已知一等獎節目獎金為500元,若要使得總獎金期望不超過1400元,請估計二等獎獎金的最大值.
【解析】(1)由頻率分布直方圖可知,
評分為的節目的頻率為,
因為前四組的頻率為:;
前五組的頻率為:;
則第85百分位數占第五組的比例為,
所以,
∴估計所有參賽節目評分的第85百分位數為91.7;
(2)(i)評分在的節目的頻數為,
∴,
∴,
∵, ∴當時,單調遞增,
當時,單調遞減,
當時,,所以取得極大值,
∴的極大值點;
(ii)設獲得一等獎的節目數為隨機變量X,總獎金為Y,
易知,,∴,
設二等獎獎金為a元,則,
∴,解得,
∴二等獎獎金的最大值為100元.
【典例6-2】睡眠是守衛健康的忠臣,小周同學就高三同學睡眠問題展開了一次調研活動:
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合計/人
(3,4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4
(5,6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12
(6,7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2
(1)小周同學調查了振興中學高三隨機十個班級的單個學生睡眠平均時長所在區間的人數分布,請補全這張統計表(橫向代表班級序號,縱向代表平均睡眠時長所在區間,框內數據代表人數)與直方圖并通過直方圖估計振興中學高三同學睡眠的分位數(作圖不要求寫出過程);
(2)之后,小周同學收集了隨機名同學的具體平均睡眠時長,這些數據中男生有人,平均睡眠時長與睡眠時長方差分別為與;女生有人,平均睡眠時長與睡眠時長方差分別為與,請根據以上數據計算出這名同學的睡眠時長總方差.
(3)睡眠連續性得分是判斷睡眠質量的分數度量,一般算合格.臨近大型考試,小周同學用智能手表測出了考試前一周他的睡眠連續性得分,請根據圖表得出兩條有效信息并為他提出一條可行的睡眠建議.
【解析】(1)圖表如圖:
由圖可知,從左到右各組的頻率分別為,
則,
所以60%分位數位于組內,設為,
得,解得,
所以60%分位數為6.475.
(2),
.
(3)信息:①臨近考試時睡眠連續性得分呈下降趨勢;
②考試前3天睡眠連續性得分均不合格.
建議:調整心態、規律作息、不要緊張、自信迎考.
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合計/人
(3,4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 60
(5,6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 120
(6,7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 14
1、制作頻率分布直方圖的步驟.
第一步:求極差,決定組數和組距,組距
第二步:分組,通常對組內數值所在區間取左閉右開區間,最后一組取閉區間;
第三步:登記頻數,計算頻率,列出頻率分布表;
第四步:畫頻率分布直方圖.
2、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點.
(1)直方圖中各小矩形的面積之和為1;
(2)直方圖中縱軸表示,故每組樣本的頻率為組距
(3)直方圖中每組樣本的頻數為頻率總體個數.
3、用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數的方法.
(1)眾數為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標;
(2)中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標;
(3)平均數等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和.
【變式6-1】某景點奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在國慶黃金周期間的日銷售量數據,如下表(單位:杯):
10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
甲 60 65 66 65 67 66 63
乙 57 62 63 62 64 63 60
丙 55 60 61 60 62 61 58
(1)從10月1日至7日中隨機選取一天,求該天甲款奶茶日銷售量大于65杯的概率;
(2)從乙、丙兩款奶茶的日銷售量數據中各隨機選取1個,這2個數據中大于60的個數記為,求的分布列和數學期望;
(3)記乙款奶茶日銷售量數據的方差為,表格中所有的日銷售量數據的方差為,試判斷和的大小.(結論不要求證明)
【解析】(1)對于甲款奶茶,7天中共有3天銷量大于65,
設為:“該天甲款奶茶日銷售量大于65杯”,則.
(2)設為:“乙款奶茶日銷售量大于60杯”,為:“丙款奶茶日銷售量大于60杯”,
則,,
而可取,則,
而,故,
故的分布列為:
故.
(3)乙款奶茶日銷售量數據的平均值為,
故,
同理可得表格中所有的日銷售量數據的平均值為,
,而,故.
1.某廠研制了一種生產高精產品的設備,為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高,用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品,得到各件產品該項指標數據如下:
舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為 和,樣本方差分別記為 和.
(1)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果,則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高,否則不認為有顯著提高)
(2)假設該廠計劃用新設備全面投產,若生產一系列產品的指標數據不少于10.3即為質量優秀產品,以表中的頻率估計概率,現從該廠生產的一批產品中隨機抽取100件產品進行質量抽檢,求抽檢的產品中質量優秀產品的件數ξ的數學期望.
【解析】(1),



依題意,,
所以,所以新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.
(2)從表中數據可得產品的指標數據不少于10.3在10次中有6次,
所以從中取一件產品為優秀的概率為,
所以隨機變量ξ服從,
所以抽檢的產品中質量優秀產品的件數ξ的數學期望為.
題型七:線性回歸與非線性回歸分析
【典例7-1】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一,其產卵數與溫度有關.現收集到一只紅鈴蟲的產卵數(個)和溫度的8組觀測數據,制成圖l所示的散點圖,現用兩種模型①,②分別進行擬合,由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析,進一步得到圖2所示的殘差圖.
根據收集到的數據,計算得到如下值:表中;;;
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
(1)根據殘差圖,比較模型①、②的擬合效果,哪種模型比較合適?
(2)求出關于的回歸方程.附:對于一組數據,,…,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,,
【解析】(1)模型①更合適.
模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中,且帶狀區域的寬度比模型②帶狀寬度窄,
所以模型①的擬合精度更高,回歸方程的預報精度相應就會越高,故選模型①比較合適.
(2)令與溫度x可以用線性回歸方程來擬合,則.
于是, ,
因此關于的線性回歸方程為,即,
所以產卵數y關于溫度x的回歸方程為.
【典例7-2】隨著國內人均消費水平的提高,居民的運動健身意識不斷增強,加之健康與解壓需求的增長,使得健身器材行業發展趨勢強勁,下表為年中國健身器材市場規模(單位:百億元),其中年年對應的代碼依次為.
年份代碼
中國健身器材市場規模
(1)由上表數據可知,可用指數型函數模型擬合與的關系,請建立關于的歸方程(,的值精確到);
(2)數據顯示年購買過體育用品類的中國消費者中購買過運動防護類的占比為,用頻率估計概率,現從年購買過體育用品類的中國消費者中隨機抽取人,記購買過運動防護類的消費者人數為,求的分布列及數學期望.
參考數據:
其中,.
參考公式:對于一組數據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
【解析】(1)兩邊同時取自然對數得.
設,所以,
因為,,,
所以.
把代入,得,
可得,.
所以,
即關于的回歸方程為.
(2)由題意,得的所有可能取值依次為,,,,,且,
,,
,,

所以的分布列為
0 1 2 3 4
.
線性回歸分析的原理、方法和步驟:
(1)利用圖表和數字特征可以對數據做簡單的分析,但是用回歸直線方程可以對數據的未來值進行預測.在選取數據觀察的時候,要注意大量相對穩定的數據比不穩定的數據更有價值,近期的數據比過去久遠的數據更有價值.
(2)判斷兩組數據是否具有線性相關關系的方法:散點圖,相關系數.
(3)相關指數與相關系數在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量,都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量.
(4)利用換元法,可以將一元非線性回歸轉化為線性回歸.
【變式7-1】某校高一新生共1000人,男女比例為1:1,經統計身高大于170cm的學生共600人,其中女生200人.該校為了解高一新生身高和體重的關系,在新生中隨機抽測了10人的身高(單位:cm)和體重(單位:kg)作為一個樣本,所得樣本數據如下表所示:
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180
體重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84
(1)在對這10個學生組成的樣本的檢測過程中,采用不放回的方式,每次隨機抽取1人檢測
(ⅰ)若已進行了三次抽取,求抽取的這三人中至少有兩人體重大于74kg的概率;
(ⅱ)求第一次抽取的學生體重大于79kg且第二次抽取的學生身高大于175cm的概率;
(2)由表中數據的散點圖和殘差分析,編號為5的數據殘差過大,確定其為離群點,所以應去掉該數據后再求經驗回歸方程.已知未去掉離群點的樣本相關系數約為0.802,請用樣本相關系數說明去掉離群點的合理性(相關系數r保留三位小數).
參考公式及數據:樣本相關系數
,,,,.
【解析】(1)(ⅰ)記抽取的這三人中至少有兩人體重大于74kg為事件M,則,得.
(ⅱ)記第一次抽取的學生體重大于79kg為事件A,第二次抽取的學生身高大于175cm為事件B.
因為樣本中學生身高大于175cm的有4人,身高大于175cm且體重大于79kg的有2人,
身高小于175cm且體重大于79kg的有1人,
所以.
(2)設未去離群點的樣本相關系數為,去掉離群點后的樣本相關系數為,則.
去掉離群點后,,,
,,




因為,且相比更接近1,所以y與x的線性相關性更強,所以去掉離群點是合理的.
【變式7-2】某省級示范學校高三的一次考試后,為了調查學生們的偏科程度,在實驗班隨機抽取8名同學,比較物理成績x與數學成績y,得到下表(單位:分):
學生號 1 2 3 4 5 6 7 8
x 98 84 87 94 81 91 85 100
y 135 124 113 125 116 120 132 135
(1)求出y關于x的回歸方程(精確到0.01);
(2)若相關系數r滿足,則我們可以認為y與x之間具有較強的線性相關關系,計算這8名學生的物理成績和數學成績是否具有較強的線性相關關系?
(附:,,,,,相關系數)
【解析】(1)設y關于x的回歸方程為,由題設有,
,,
故所求回歸方程為:;
(2)由,
故這8名學生的物理成績和數學成績不具有較強的線性相關關系.
1.習近平總書記指出:要完整、準確、全面貫徹新發展理念,加快構建新發展格局,著力推動高質量發展.某部門在對新發展理念組織了全面學習后,對同一組的5名員工采取如下考核制度:在本季度末,由部門其他人對這5名員工進行投票,并統計5名員工本季度創造的營業收入.現將這5名員工所得票數x與本季度創造的營業收入單位:千元用數對表示:,,,,
(1)求x與y的相關系數
(2)若將本季度創造的營業收入最少的員工移除出組,請根據該小組剩余人員的數據求y關于x的線性回歸方程.
參考公式:①相關系數②在利用最小二乘法求得的線性回歸方程的中,,
參考數據:,,,,
【解析】(1)由題可知,,
所以
(2)由題可知,需將營業收入為60千元的員工移除出組,剔除數據后的,
,,
,,
所以,

故y關于x的線性回歸方程為
題型八:獨立性檢驗
【典例8-1】“八段錦”,起源于北宋,已有八百多年的歷史. 古人把這套動作比喻為“錦”,意為五顏六色,美而華貴. 體現其動作舒展優美,視其為“祛病健身,效果極好,編排精致,動作完美”,此功法分為八段,每段一個動作,故名為“八段錦”. 作為傳統養生功法,對人體有著很多的益處. 為了繼續推廣“八段錦”,吸引更多的老年市民練習“八段錦”,促進老年市民的延年益壽,市老體協統計了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 歲的均為老年人)練習“八段錦”的情況,采用簡單隨機抽樣的方法抽取了練習“八段錦”的 200 位老年人,得到了性別與年齡的有關數據,并整理得到以下列聯表:
類型 年齡 (歲) 合計
男性 36 111
女性 25
合計 200
(1)補全 列聯表,并依據小概率值 的獨立性檢驗,能否認為老年人的性別與年齡是否大于 65 歲有關聯
(2)在這 200 位老年人隨機抽取一位,求在該老人年齡大于 65 歲的情況下,為女性老年人的概率.
附: ,其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【解析】(1)補全 列聯表如下:
類型 年齡 (歲) 合計
男性 36 75 111
女性 64 25 89
合計 100 100 200
零假設為 : 老年人的性別與年齡是否大于 65 歲無關聯.
根據列聯表中的數據, 得
依據小概率值 的獨立性檢驗,推斷 不成立,即老年人的性別與年齡是否大于 65 歲有關聯,該推斷犯錯誤的概率不大于 0.001 .
(2)設事件 “抽取的一位老年人年齡大于 65 歲”,事件 “抽取的一位老年人為女性老年人”,
法一: 所求概率為 .
法二: 所求概率為 .
【典例8-2】新能源汽車越來越引起廣大消費者的關注,目前新能源汽車的電池有石墨烯電池、三元鋰電池、鉛酸電池等,其中鉛酸電泡有技術成熟.成本較低、高倍率放電的特點,而石墨烯電池可以減少熱量對電池的損害,提高電池的使用壽命,石墨烯電池應用到新能源汽車上.對整個汽車行業將是根本性的改變.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好,在社會上隨機調查了500名駕駛者,年齡在60周歲以下的為年輕駕駛者,年齡在60周歲及以上的為中老年駕駛者,其中被調查的年輕駕駛者中偏好鉛酸電池車的占,得到以下的列聯表:
偏好石墨烯電池車 偏好鉛酸電池車 合計
中老年駕駛者 200 100
年輕的駕駛者
合計 S00
(1)根據以上數據,完成列聯表.依據小概率的獨立性檢驗,能否認為駕駛者對這兩種電池的電動車的偏好與年齡有關:
(2)用頻率估計概率,在所有參加調查的駕駛者中按年輕駕駛者和中老年駕駛者進行分層抽樣,隨機抽取5名駕駛者,再從這5名駕駛者中隨機抽取2人進行座談,記2名參加座談的駕駛者中來自偏好石墨烯電池電動車的中老年駕駛者的人數為,求的分布列和數學期望.
參考公式:,其中.
參考數據:
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】(1)被調查的年輕駕駛者人數為,
其中偏好鉛酸電池車的年輕的駕駛者人數為.
偏好石墨烯電池車的年輕的駕駛者人數為,
所以列聯表為:
偏好石墨烯電池車 偏好鉛酸電池車 合計
中老年駕駛者 200 100 300
年輕的駕駛者 80 120 200
合計 280 220 500
零假設:駕駛者對使用這兩種電池的新能源汽車的偏好與年齡無關,
根據列聯表中的數據可以求得
由于,
根據小概率值的獨立性檢驗,我們推斷不成立,即認為駕駛者對使用這兩種電池的新能源汽車的偏好與駕駛者的年齡有關.
(2)因為所有參加調查的駕駛者中,中老年駕駛者和年輕駕駛者的比為,
所以由分層抽樣知,隨機抽取的5名駕駛者中,中老年駕駛者有3人,年輕駕駛者有2人.
根據頻率估計概率知,中老年駕駛者偏好石墨烯電池電動車的概率為,偏好鉛酸電池電動車的概率為,
從選出的5名駕駛者中隨機抽取2人進行座談,則可能的取值為0,1,2.
“3名被抽取的中老年駕駛者中,恰好抽到人參加座談”記為事件,
則.
“參加座談的2名駕駛者中是偏好石墨烯電池電動車中老年駕駛者的人數恰好為人”記為事件,
則,





所以



故的分布列如下:
0 1 2

解獨立性檢驗應用問題的注意事項.
(1)兩個明確:①明確兩類主體;②明確研究的兩個問題.
(2)在列聯表中注意事件的對應及相關值的確定,不可混淆.
(3)在實際問題中,獨立性檢驗的結論僅是一種數學關系表述,得到的結論有一定的概率出錯.
(4)對判斷結果進行描述時,注意對象的選取要準確無誤,應是對假設結論進行的含概率的判斷,而非其他.
【變式8-1】隨機數廣泛應用于數據加密、安全通信、金融等領域.計算機中的隨機數是由算法產生的,其“隨機性”的優劣取決于所采用的算法.某工廠計劃生產一種隨機數發生器,這種發生器的顯示屏能顯示1,2,3,4中的一個數字,每按一次數字更新按鈕后,顯示屏上的數字將等可能地更新為另三個數字中的一個.在試生產階段,采用兩種不同算法,生產出相應算法的甲、乙兩種隨機數發生器.為評估兩種算法的優劣,從這兩種隨機數發生器中隨機抽取150件進行檢驗,得到數據餅圖如下:
(1)已知這150件發生器中,乙種發生器的三級品為2件.在答題卡中填寫列聯表;依據小概率值的獨立性檢驗,能否認為甲、乙兩種發生器的一級品率存在差異
一級品 非一級品 合計


合計
(2)若發生器顯示屏的初始顯示數字為1,記按次數字更新按鈕后得到的數字為,.
(i)求,;
(ii)檢測一個發生器是否為一級品的方案為:每件被測發生器需進行100輪測試,每輪測試共按10次數字更新按鈕;表示100輪測試得到“”的頻率,規定滿足的被測發生器為一級品.若某件發生器經100輪測試后得到,能否判斷該發生器為一級品
附:,
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】(1)根據題意可得列聯表:
一級品 非一級品 合計
甲 26 24 50
乙 70 30 100
合計 96 54 150
零假設為:甲、乙兩批發生器的一級品率沒有差異.
根據列聯表中的數據,經計算得

根據小概率值的獨立性檢驗,推斷不成立,
所以可以認為甲、乙兩批發生器的一級品率存在差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
(2)(i)依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數字為1”,
由全概率公式,得
.
(ii)由全概率公式,得

所以,
即,且,
所以是首項為,公比為的等比數列,
所以,即.
所以.
因為,所以該發生器為一級品.
解法二:(i)依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數字為1”,“按次按鈕后顯示的數字為2”,
“按次按鈕后顯示的數字為3”,“按次按鈕后顯示的數字為4”,
則,且,,,兩兩互斥.
依據題意得,,
.
由全概率公式,得
.
(ii)
所以,
即,且,
所以是首項為,公比為的等比數列.
所以,即.
所以.
因為,所以該發生器為一級品.
解法三:(i)依題意可得.
記“按次按鈕后顯示的數字為1”,
由全概率公式,得
.
.
.
.
.
.
.
.
.
因為,所以該發生器為一級品.
1.一家調查機構在某地隨機抽查1000名成年居民對新能源車與燃油車的購買傾向,得到如下表格:
傾向于購買燃油車 傾向于購買新能源車 合計
女性居民 150 250 400
男性居民 350 250 600
合計 500 500 1000
(1)依據小概率值的獨立性檢驗,分析對新能源車與燃油車的購買傾向是否存在性別差異;
(2)從傾向于購買燃油車的居民中按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取10人,再從中抽取4人進行座談,求在有女性居民參加座談的條件下,恰有2名男性居民也參加座談的概率;
(3)從所有參加調查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性,采用分層隨機抽樣的方法抽出12人,再從中隨機抽取3人進行座談,記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數為,求的分布列與數學期望.
參考公式:,其中.
參考數據:
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】(1)零假設為:對新能源車與燃油車的購買傾向不存在性別差異;
易知,
所以依據小概率值的獨立性檢驗,我們推斷假設不成立,
即認為對新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異,此推斷犯錯誤的概率不大于;
(2)根據表中數據可知按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取10人中3人為女性,7人為男性;
再從中抽取4人進行座談,共有種,
其中有女性居民參加座談的情況共有種;
恰有2名男性居民參加座談的情況共有種;
因此在有女性居民參加座談的條件下,恰有2名男性居民也參加座談的概率為

(3)從所有參加調查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性,
采用分層隨機抽樣的方法抽出12人,可知抽取結果如下表:
傾向于購買燃油車 傾向于購買新能源車
男性居民 7 5
再從中隨機抽取3人進行座談,記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數為,
的所有可能取值為;
所以,;
,,
的分布列如下:
0 1 2 3
數學期望.
題型九:與體育比賽規則有關的概率問題
【典例9-1】某籃球俱樂部由籃球Ⅰ隊和Ⅱ隊組成.Ⅰ隊球員水平相對較高,代表俱樂部參加高級別賽事;Ⅱ隊是Ⅰ隊的儲備隊,由具有潛力的運動員組成.為考察Ⅰ隊的明星隊員甲對球隊的貢獻,教練對近兩年甲參加過的60場與俱樂部外球隊的比賽進行統計:甲在前鋒位置出場12次,其中球隊獲勝6次;中鋒位置出場24次,其中球隊獲勝16次;后衛位置出場24次,其中球隊獲勝18次.用該樣本的頻率估計概率,則:
(1)甲參加比賽時,求Ⅰ隊在某場與俱樂部外球隊比賽中獲勝的概率;
(2)為備戰小組賽,Ⅰ隊和Ⅱ隊進行10場熱身賽,比賽沒有平局,獲勝得1分,失敗得0分.已知Ⅰ隊在每場比賽中獲勝的概率是p(),若比賽最有可能的比分是7∶3,求p的取值范圍;
(3)現由Ⅰ隊代表俱樂部出戰小組賽,小組共6支球隊,進行單循環賽(任意兩支隊伍間均進行一場比賽),若每場比賽均派甲上場,在已知Ⅰ隊至少獲勝3場的條件下,記其獲勝的場數為X,求X的分布列和數學期望.
【解析】(1)設“甲擔任前鋒”;“甲擔任中鋒”;“甲擔任后衛”;
“某場比賽中該球隊獲勝”.
則:,,,
,,,
由全概率公式可得:

所以甲參加比賽時,Ⅰ隊在某場與俱樂部外球隊比賽中獲勝的概率是.
(2)設這10場比賽,Ⅰ隊獲勝的場數是k,則P(Ⅰ隊獲勝k場),
由題意,時,P(Ⅰ隊獲勝k場)最大,
所以有,解得,
所以p的取值范圍為.
(3)由題意,Ⅰ隊一共需要打5場比賽,
設“5場比賽中Ⅰ隊獲勝i場”(,4,5),“5場比賽中Ⅰ隊至少獲勝3場”,
;;
,則,

同理可得,

則X的分布列為:
X 3 4 5
P
.
【典例9-2】甲、乙兩名同學進行籃球投籃比賽,比賽規則如下:兩人投籃的次數之和不超過5,投籃命中則自己得1分,該名同學繼續投籃,若投籃未命中則對方得1分,換另外一名同學投籃,比賽結束時分數多的一方獲勝,兩人總投籃次數不足5但已經可以確定勝負時比賽就結束,兩人總投籃次數達到5次時比賽也結束,已知甲、乙兩名同學投籃命中的概率都是,甲同學先投籃.
(1)求甲同學一共投籃三次,且三次投籃連續的情況下獲勝的概率;
(2)求甲同學比賽獲勝的概率.
【解析】(1)用A表示甲投籃命中,表示甲投籃未命中,
用B表示乙投籃命中,表示乙投籃未命中,
記甲同學連續投籃了三次并贏得了比賽的事件為M,
則.
(2)①剩余兩次投籃,甲、乙比分3:0獲勝的概率是;
②剩余一次投籃,甲、乙比分3:1獲勝的概率是:
(也可用);
③不剩余投籃,前4次投籃甲、乙比分2:2獲勝的概率是:

(也可用),
故甲獲勝的概率是.
1、在與體育比賽規則有關的問題中,一般都會涉及分組,處理該類問題時主要借助于排列組合.對于分組問題,要注意平均分組與非平均分組,另外,在算概率時注意“直接法”與“間接法”的靈活運用.
2、與體育比賽有關的問題中最常見的就是輸贏問題,經常涉及“多人淘汰制問題”“ 三局兩勝制問題”“ 五局三勝制問題”“ 七局四勝制問題”,解決這些問題的關鍵是認識“三局兩勝制”“ 五局三勝制”等所進行的場數,贏了幾場與第幾場贏,用互斥事件分類,分析事件的獨立性,用分步乘法計數原理計算概率,在分類時要注意“不重不漏” .
3、在體育比賽問題中,比賽何時結束也是經常要考慮的問題,由于比賽賽制已經確定,而比賽的平均場次不確定,需要對比賽的平均場次進行確定,常用的方法就是求以場數為隨機變量的數學期望,然后比較大小.
4、有些比賽會采取積分制,考查得分的分布列與數學期望是常考題型,解題的關鍵是辨別它的概率模型,常見的概率分布模型有:兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態分布,要注意分布是相互獨立的,超幾何分布不是,值得注意的是,在比賽中往往是偽二項分布,有的只是局部二項分布.
【變式9-1】一項沒有平局的對抗賽分為兩個階段,參賽者在第一階段中共參加2場比賽,若至少有一場獲勝,則進入第二階段比賽,否則被淘汰,比賽結束;進入第二階段比賽的參賽者共參加3場比賽.在兩個階段的每場比賽中,獲勝方記1分,負方記0分,參賽者參賽總分是兩個階段得分的總和,若甲在第一階段比賽中每場獲勝的概率都為,在第二階段比賽中每場獲勝的概率都為,每場比賽是否獲勝相互獨立.已知甲參賽總分為2分的概率為.
(1)求;
(2)求甲參賽總分X的分布列和數學期望.
【解析】(1)甲參賽總分為分有兩種情況:
第一種情況是在第一階段兩場比賽一勝一負(概率為),
然后在第二階段三場比賽一勝兩負(概率為).
第二種情況是在第一階段兩場比賽全勝(概率為),
然后在第二階段三場比賽全負(概率為).
根據甲參賽總分為分的概率為,可列出方程:
先計算組合數,.
方程變為.
化簡得.即.
因式分解得.
解得或,因為,所以.
(2)甲參賽總分的可能取值為,,,,,.
包括:在第一階段兩場全輸,概率為.
包括:在第一階段一勝一負(概率為),
然后在第二階段三場全輸(概率為),所以.
:前面已求出為.
包括:在第一階段兩場全勝(概率為),
然后在第二階段一勝兩負(概率為),此時.
也包括在第一階段一勝一負(概率為),
然后在第二階段兩勝一負(概率為).此時.
則.
包括:在第一階段兩場全勝(概率為),
在第二階段兩勝一負(概率為),此時.
也包括在第一階段一勝一負(概率為),
然后在第二階段三場全勝(概率為),此時.
則.
包括:在第一階段兩場全勝(概率為),
然后在第二階段三場全勝(概率為),所以.
所以的分布列為:
1 2 3 4 5
根據數學期望公式,
1.第19屆杭州亞運會-電子競技作為正式體育競賽項目備受關注.已知某項賽事的季后賽后半段有四支戰隊參加,采取“雙敗淘汰賽制”,對陣表如圖,賽程如下:
第一輪:四支隊伍分別兩兩對陣(即比賽1和2),兩支獲勝隊伍進入勝者組,兩支失敗隊伍落入敗者組.
第二輪:勝者組兩支隊伍對陣(即比賽3),獲勝隊伍成為勝者組第一名,失敗隊伍落入敗者組;第一輪落入敗者組兩支隊伍對陣(即比賽4),失敗隊伍(已兩敗)被淘汰(獲得殿軍),獲勝隊伍留在敗者組.
第三輪:敗者組兩支隊伍對陣(即比賽5),失敗隊伍被淘汰(獲得季軍);獲勝隊伍成為敗者組第一名.
第四輪:敗者組第一名和勝者組第一名決賽(即比賽6),爭奪冠軍.假設每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5,每場比賽之間相互獨立.問:

(1)若第一輪隊伍和隊伍對陣,則他們仍能在決賽中對陣的概率是多少?
(2)已知隊伍在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中,敗了兩場,求在該條件下隊伍獲得亞軍的概率.
【解析】(1)由題意可知,第一輪隊伍和隊伍對陣,則獲勝隊伍需要贏得比賽3的勝利,失敗隊伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利,他們才能在決賽中對陣,
所以所求的概率為.
(2)設表示隊伍在比賽中勝利,表示隊伍在比賽中失敗,
設事件:隊伍獲得亞軍,事件隊伍所參加的所有比賽中敗了兩場,
則事件包括,且這五種情況彼此互斥,
進而

事件包括,且這兩種情況互斥,
進而,
所以所求事件的概率為.
題型十:決策型問題
【典例10-1】2020年1月15日,教育部制定出臺了《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》(也稱“強基計劃”),選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生,由試點高校自主命題,校考過程中通過筆試后才能進入面試環節.
(1)為了更好地服務于高三學生,某研究機構對隨機抽取的5名高三學生的記憶力和判斷力進行統計分析,得到下表數據:
6 8 9 10 12
2 3 4 5 6
請用相關系數說明該組數據中與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合,并求關于的線性回歸方程(精確到0.01);
(2)現有甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立,若某考生報考甲大學,每門筆試科目通過的概率均為,該考生報考乙大學,每門筆試科目通過的概率依次為、、,其中,根據規定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校,若以筆試過程中通過科目數的期望為依據作出決策,求該考生更希望通過乙大學筆試時的取值范圍.
【解析】(1)根據表格中的數據,可得
,,



可得相關系數,
故與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合,
又由,
可得.
綜上回歸直線方程.
(2)通過甲大學的考試科目數,則,
設通過乙大學的考試科目數為,則可能的取值為0、1、2、3,
則,



所以,
因為該考生更希望通過乙大學的筆試考試,
所以,即,
又由,解得,
即為該考生更希望通過乙大學的筆試時的范圍為.
【典例10-2】某農產品經銷商計劃分別在甲、乙兩個市場銷售某種農產品(兩個市場的銷售互不影響),為了了解該種農產品的銷售情況,現分別調查了該農產品在甲、乙兩個市場過去10個銷售周期內的銷售情況,得下表:
銷售量 銷售周期個數 市場 3噸 4噸 5噸
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)從過去10個銷售周期中隨機抽取一個銷售周期,求甲市場銷售量為4噸的概率;
(2)以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率.設(單位:噸)表示下個銷售周期兩個市場的總銷售量,求隨機變量概率分布列;
(3)在(2)的條件下,設該經銷商計劃在下個銷售周期購進噸該產品,在甲、乙兩個市場同時銷售,已知該產品每售出1噸獲利1000元,未售出的產品降價處理,每噸虧損200元.以銷售利潤的期望作為決策的依據,判斷與應選用哪一個.
【解析】(1)設甲市場銷售量為4噸的事件為A,則.
(2)設甲市場銷售量為噸的概率為,乙市場銷售量為噸的概率為,
則由題意得,,;
,,,
設兩個市場總需求量為的概率為,所有可能的取值為6,7,8,9,10,





所以的分布列如下表:
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
(3)由(2)知,,,
當時,銷售利潤,當時,,當時,,
因此的分布列為:
0.06
則元;
當時,,,,
銷售利潤,當時,,
當時,,當時,,
因此的分布列為:
0.06 0.71
則元;
因為,所以應選.
求解決策型問題的求解流程為:
第一步:先確定函數關系式;
第二步:列出分布列,求出期望;
第三步:根據期望進行最后的決策.
【變式10-1】某綜藝節目,5位嘉賓輪流參與抽獎.四個一模一樣的箱子,只有一個箱子有獎品.抽獎規則為主持人請嘉賓在四個箱子中選擇一個,若獎品在此箱子里,則獎品由嘉賓獲得.前一位嘉賓抽獎結束后,主持人重新布置箱子,邀請下一位嘉賓抽獎.
(1)記X為5位嘉賓中的中獎人數,求X的分布列,均值和方差;
(2)主持人宣布游戲升級,新的抽獎規則是:當嘉賓選好一個箱子后,主持人(他知道哪個箱子有獎品)會打開一個嘉賓沒有選擇的空箱子給嘉賓看,此后嘉賓可以選擇換一個箱子或者不換.嘉賓做出選擇后,主持人再打開嘉賓最終選中的箱子,揭曉嘉賓是否中獎.嘉賓的哪種決策會有更大可能抽中獎品?請說明理由.
【解析】(1)由題意知,每位嘉賓中獎的概率為,不中獎的概率為,
則服從二項分布,
所以,


所以的分布列為:
0 1 2 3 4 5
數學期望為,
方差為;
(2)不換箱子時中獎概率:
嘉賓第一次選擇箱子時,中獎概率為;
換箱子時中獎概率:
設4個箱子分別為,有獎品的箱子為,
當嘉賓先選箱,主持人會在箱中打開一個空箱子,
此時嘉賓換箱子后,就選不中獎品,其概率為0;
當嘉賓先選或或箱子,概率為,
此時主持人打開另一個空箱子,嘉賓換箱子后一定能選中有獎品的箱,
其概率為,所以換箱子的中獎概率為.
所以,故嘉賓換箱子會有更大可能抽中獎品.
1.在一個系統中,每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度,而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度,為了增加系統的可靠度,人們經常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備).已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備,兩臺備用設備)的配置,這三臺設備中,只要有一臺能正常工作,計算機網絡就不會斷掉.系統就能正常工作.設三臺設備的可靠度均為,它們之間相互不影響.
(1)要使系統的可靠度不低于0.992,求的最小值;
(2)當時,求能使系統正常工作的設備數的分布列;
(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7,根據以往經驗可知,計算機網絡斷掉可給該產業園帶來約50萬的經濟損失.為減少對該產業園帶來的經濟損失,有以下兩種方案:
方案1:更換部分設備的硬件,使得每臺設備的可靠度維持在0.8,更換設備硬件總費用為0.8萬元;
方案2:花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備,達到“一用三備”.
請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策?并說明理由.
【解析】(1)要使系統的可靠度不低于0.992,設能正常工作的設備數為,
則,
解得,故的最小值為0.8.
(2)設為正常工作的設備數,由題意可知,,




從而的分布列為:
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
(3)設方案1 方案2的總損失分別為,,
采用方案1,更換部分設備的硬件,使得每臺設備的可靠度維持在0.8,
可知計算機網絡斷掉的概率為:,
故萬元.
采用方案2,花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備,達到“一用三備”,
計算機網絡斷掉的概率為:,
故萬元.
因此,從經濟損失期望最小的角度,決策部門應選擇方案2.
題型十一:遞推型概率命題
【典例11-1】馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型,其過程具備“無記憶”的性質:下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定,即第n+1次狀態的概率分布只與第n次的狀態有關,與第,…次的狀態無關,即.已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球,乙盒中裝有2個白球,現從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中,重復n次()這樣的操作,記此時甲盒中白球的個數為,甲盒中恰有2個白球的概率為,恰有1個白球的概率為.
(1)求和.
(2)證明:為等比數列.
(3)求的數學期望(用n表示).
【解析】(1)若甲盒取黑球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球變為2白1黑,乙盒中的球變為1白1黑,概率;
若甲盒取白球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球仍為1白2黑,乙盒中的球仍為2白,概率,
研究第2次交換球時的概率,根據第1次交換球的結果討論如下:
①當甲盒中的球為2白1黑,乙盒中的球為1白1黑時,對應概率為,
此時,若甲盒取黑球、乙盒取黑球,互換,則甲盒中的球仍為2白1黑,
乙盒中的球仍為1白1黑,概率為;
若甲盒取黑球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球變為3白,乙盒中的球變為2黑,概率為;
若甲盒取白球、乙盒取黑球,互換,則甲盒中的球變為1白2黑,乙盒中的球變為2白,概率為;
若甲盒取白球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球仍為2白1黑,乙盒中的球仍為1白1黑,概率為,
②當甲盒中的球為1白2黑,乙盒中的球為2白時,對應概率為,
此時,若甲盒取黑球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球變為2白1黑,
乙盒中的球變為1白1黑,概率為
若甲盒取白球,乙盒取白球,互換,則甲盒中的球仍為1白2黑,乙盒中的球仍為2白,概率為,
綜上,.
(2)依題意,經過次這樣的操作,甲盒中恰有2個白球的概率為,
恰有1個白球的概率為,則甲盒中恰有3個白球的概率為,
研究第次交換球時的概率,根據第次交換球的結果討論如下:
①當甲盒中的球為2白1黑,乙盒中的球為1白1黑時,對應概率為,
此時,若甲盒取黑球、乙盒取黑球,互換,則甲盒中的球仍為2白1黑,
乙盒中的球仍為1白1黑,概率為;
若甲盒取黑球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球變為3白,乙盒中的球變為2黑,概率為;
若甲盒取白球、乙盒取黑球,互換,則甲盒中的球變為1白2黑,乙盒中的球變為2白,概率為;
若甲盒取白球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球仍為2白1黑,乙盒中的球仍為1白1黑,概率為,
②當甲盒中的球為1白2黑,乙盒中的球為2白時,對應概率為,
此時,若甲盒取黑球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球變為2白1黑,乙盒中的球變為1白1黑,概率為;
若甲盒取白球、乙盒取白球,互換,則甲盒中的球仍為1白2黑,乙盒中的球仍為2白,概率為,
③當甲盒中的球為3白,乙盒中的球為2黑時,對應概率為,
此時,甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球,互換,則甲盒中的球變為2白1黑,
乙盒中的球變為1白1黑,概率為,
綜上,
則,
整理得,又,
所以數列是公比為的等比數列.
(3)由(2)知,則,
隨機變量的分布列為
1 2 3
所以.
【典例11-2】如圖,單位圓上的一質點在隨機外力的作用下,每一次在圓弧上等可能地逆時針或順時針移動,設移動次回到起始位置的概率為.
(1)求及的值:
(2)求數列的前項和.
【解析】(1)如圖:設起始位置為,
移動2次回到起始位置,則;;
所以,
若移動3次回到起始位置,
;;
所以,
(2)每次移動的時候是順時針與逆時針移動是等可能的,
設擲骰子次時,棋子移動到,,處的概率分別為:,,,
所以.
擲骰子次時,共有,,三種情況,故.
,即,,
又,
時,,
又,可得,
由,
可得數列是首項為公比為的等比數列,
,即,
又.
所以的前項和為
遞推型概率命題,綜合性較強,主要有以下類型:
1、求通項公式:關鍵與找出概率或數學期望的遞推關系式,然后根據構造法(一般構造等比數列),求出通項公式.
2、求和:主要與數列中的倒序求和錯位求和、裂項求和.
3、利用等差、等比數列的性質,研究單調性、最值或求極限.
【變式11-1】馬爾科夫鏈因俄國數學家安德烈 馬爾科夫得名,其過程具備“無記憶”的性質,即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關,與第次狀態無關.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型,也是機器學習和人工智能的基石,在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.現有兩個盒子,各裝有2個黑球和1個紅球,現從兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子,重復進行次這樣的操作后,記盒子中紅球的個數為,恰有1個紅球的概率為.
(1)求的值;
(2)求的值(用表示);
(3)求證:的數學期望為定值.
【解析】(1)設第次操作后盒子中恰有2個紅球的概率為,則沒有紅球的概率為.
由題意知,
(2)因為.
所以.
又因為,所以是以為首項,為公比的等比數列.
所以,
(3)因為,①

所以①一②,得.
又因為,所以,所以.
的可能取值是,
所以的概率分布列為
0 1 2
所以.
所以的數學期望為定值1.
【變式11-2】有個編號分別為的盒子,第1個盒子中有2個紅球和1個白球,其余盒子中均為1個紅球和1個白球,現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子,現從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子,,依次進行.
(1)求從第2個盒子中取到紅球的概率;
(2)求從第個盒子中取到紅球的概率;
(3)設第個盒子中紅球的個數為,的期望值為,求證:.
【解析】(1)記“從第個盒子中取到紅球”為事件,
此時,,
則;
(2)因為

所以,
則數列是以為首項,為公比的等比數列,
此時,
即,
當時,,符合題意,
綜上,從第個盒子中取到紅球的概率為;
(3)證明:易知的所有可能取值為1,2,
此時,,
則的分布列為:
1 2
所以,
由于,
故.
1.如圖,一個正三角形被分成9個全等的三角形區域,分別記作,,,,,,,,. 一個機器人從區域出發,每經過1秒都從一個區域走到與之相鄰的另一個區域(有公共邊的區域),且到不同相鄰區域的概率相等.

(1)分別寫出經過2秒和3秒機器人所有可能位于的區域;
(2)求經過2秒機器人位于區域的概率;
(3)求經過秒機器人位于區域的概率.
【解析】(1)經過2秒機器人可能位于的區域為、,,
經過3秒機器人可能位于的區域為,,,,,;
(2)若經過2秒機器人位于區域,則經過1秒時,機器人必定位于,
有三個相鄰區域,故由的概率為,
有兩個相鄰區域,故由的概率為,
則經過2秒機器人位于區域的概率為;
(3)機器人的運動路徑為

設經過秒機器人位于區域的概率,
則當為奇數時,,
當為偶數時,由(2)知,,由對稱性可知,
經過秒機器人位于區域的概率與位于區域的概率相等,亦為,
故經過秒機器人位于區域的概率為,
若第秒機器人位于區域,則第秒機器人位于區域的概率為,
若第秒機器人位于區域,則第秒機器人位于區域的概率為,
若第秒機器人位于區域,則第秒機器人位于區域的概率為,
則有,即,
令,即,即有,
即有,則,
故有、、、,
故,
即,
綜上所述,當為奇數時,經過秒機器人位于區域的概率為,
當為偶數時,經過秒機器人位于區域的概率為.
題型十二:條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
【典例12-1】放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指標之一.已知年該機場飛往地,地及其他地區(不包含,兩地)航班放行準點率的估計值分別為和,年該機場飛往地,地及其他地區的航班比例分別為,和.
試解決一下問題:
(1)現在從年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個,求該航班準點放行的概率;
(2)若年某航班在該機場準點放行,判斷該航班飛往地,地、其他地區等三種情況中的哪種情況的可能性最大,說明你的理由.
【解析】(1)設"該航班飛往地", "該航班飛往地", "該航班飛往其他地區","該航班準點放行",
則,,,
,,,
由全概率公式得,

所以該航班準點放行的概率為.
(2),


因為,所以該航班飛往其他地區的可能性最大.
【典例12-2】如圖所示,在研究某種粒子的實驗裝置中,有三個腔室,粒子只能從室出發經室到達室.粒子在室不旋轉,在室 室都旋轉,且只有上旋和下旋兩種狀態,粒子間的旋轉狀態相互獨立.粒子從室經過1號門進入室后,等可能的變為上旋或下旋狀態,粒子從室經過2號門進入室后,粒子的旋轉狀態發生改變的概率為.現有兩個粒子從室出發,先后經過1號門,2號門進入室,記室兩個粒子中,上旋狀態粒子的個數為.
(1)已知兩個粒子通過1號門后,恰有1個上旋狀態1個下旋狀態.若這兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態1個下旋狀態的概率為,求;
(2)若,求兩個粒子經過2號門后都為上旋狀態的概率;
(3)求的分布列和數學期望.
【解析】(1)設“兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態1個下旋狀態”.
事件A發生即通過2號門時,兩個粒子都不改變或都改變旋轉狀態,
故,解得或.
(2)設“兩個粒子通過1號門后處于上旋狀態粒子個數為個”,,
“兩個粒子通過2號門后處于上旋狀態的粒子個數為2個”,
則,
則.
(3)由題知,
時分3類情形,
①兩個粒子通過1號門后均處上旋狀態,通過2號門后均不改變狀態;
②兩個粒子通過1號門后一個上旋狀態一個下旋狀態,通過2號門后上旋狀態粒子不改變狀態,下旋狀態粒子改變狀態;
③兩個粒子通過1號門后兩個均為下旋狀態,通過2號門后均改變狀態,
所以,
同理,
所以所求的分布列為
X 0 1 2
P
所以所求數學期望.
1、一般地,設,為兩個事件,且,稱為在事件發生的條件下,事件發生的條件概率.
2、全概率公式
3、貝葉斯公式
一般地,當且時,有
【變式12-1】隨著春季學期開學,某市市場監管局加強了對學校食堂食品安全管理,助力推廣校園文明餐桌行動,培養廣大師生文明餐桌新理念,以“小餐桌”帶動“大文明”,同時踐行綠色發展理念.該市某中學有A,B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務,王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐,近一個月(30天)選擇餐廳就餐情況統計如下:
選擇餐廳情況(午餐,晚餐)
王同學 9天 6天 12天 3天
張老師 6天 6天 6天 12天
假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立,用頻率估計概率.
(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率;
(2)記X為王同學、張老師在一天中就專題22 概率與統計的綜合應用與高級分析
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 6
05 核心精講·題型突破 11
題型一:求概率及隨機變量的分布列與期望 11
題型二:超幾何分布與二項分布 13
題型三:概率與其它知識的交匯問題 15
題型四:期望與方差的實際應用 18
題型五:正態分布與標準正態分布 21
題型六:統計圖表及數字特征 24
題型七:線性回歸與非線性回歸分析 27
題型八:獨立性檢驗 31
題型九:與體育比賽規則有關的概率問題 35
題型十:決策型問題 37
題型十一:遞推型概率命題 40
題型十二:條件概率、全概率公式、貝葉斯公式 42
重難點突破:高等背景下的概統問題 45
概率統計在高考中具有舉足輕重的地位,是新高考卷及眾多省市高考數學的必考題型。其考查重點涵蓋古典概型、相互獨立事件的概率計算、條件概率、超幾何分布與二項分布、正態分布的應用、統計圖表與數字特征的解析、回歸分析方法的運用、離散型隨機變量的分布列以及期望與方差在實際問題中的應用等方面。
近年來,高考中的概率統計解答題往往緊密聯系社會實際,以現實生活場景為命題背景,強調知識的綜合運用和實踐能力的考察。這要求考生不僅具備收集、整理和分析數據的能力,還能從繁雜的數據中提煉出對解決問題有價值的信息,進而建立數學模型,并運用數學原理和工具來有效解決實際問題。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
統計圖表及數字特征 掌握統計圖表繪制,理解數字特征應用 2023年乙卷第17題,12分 2023年II卷第19題,12分 2022年II卷第19題,12分 預測2025年高考數學解答題的可能趨勢如下: (1)該題預計將以解答題的壓軸題形式呈現,全面考查考生的數學抽象思維、數學建模能力、邏輯推理能力以及數學運算技能這四大核心素養。 (2)題目的熱點內容預計將與體育比賽規則相關的概率問題,以及在高等數學背景下的概率統計問題密切相關。
期望與方差 理解期望方差概念,熟練進行計算應用。 2024年II卷第18題,17分 2023年上海卷第19題,14分 2023年I卷第21題,12分 2022年甲卷第19題,12分 2021年I卷第18題,12分
獨立性檢驗 掌握獨立性檢驗,解決分類變量問題。 2023年甲卷第17題,12分 2022年I卷第20題,12分
(一)涉及的概率知識層面
主要考查隨機變量的概率分布與數學期望,一定要根據有關概念,判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨立事件還是獨立重復試驗,以便選擇正確的計算方法,進行概率計算及離散型隨機變量的分布列和數學期望的計算,也要掌握幾種常見常考的概率分布模型:離散型有二項分布、超幾何分布,連續型有正態分布.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力,
1、離散型隨機變量的期望與方差
一般地,若離散型隨機變量的分布列為
稱為隨機變量的均值或數學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
稱為隨機變量的方差,它刻畫了隨機變量與其均值的偏離程度,其算術平方根為隨機變量的標準差.
(1)離散型隨機變量的分布列的性質
①;②.
(2)均值與方差的性質
若,其中為常數,則也是隨機變量,

(3)分布列的求法
①與排列、組合有關分布列的求法.由排列、組合、概率知識求出概率,再求出分布列.
②與頻率分布直方圖有關分布列的求法.可由頻率估計概率, 再求出分布列.
③與互斥事件有關分布列的求法.弄清互斥事件的關系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.
④與獨立事件(或獨立重復試驗)有關分布列的求法.先弄清獨立事件的關系,求出各個概率,再列出分布列.
(4)常見的離散型隨機變量的概率分布模型
①二項分布; ②超兒何分布.
2、常見的連續型概率分布模型
正態分布.
(二)概率分布與不同知識背景結合考查對實際問題的解決能力
1、與數列結合的實際問題
2、與函數導數結合的實際問題
3、與分段函數求最值、解不等式結合的實際問題
4、與統計結合的實際問題
5、與其他背景結合的實際問題
1.(2024年北京高考數學真題)某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況,從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份,記錄并整理這些保單的索賠情況,獲得數據如下表:
賠償次數 0 1 2 3 4
單數
假設:一份保單的保費為0.4萬元;前3次索賠時,保險公司每次賠償0.8萬元;第四次索賠時,保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率;
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
(i)記為一份保單的毛利潤,估計的數學期望;
(ⅱ)如果無索賠的保單的保費減少,有索賠的保單的保費增加,試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與(i)中估計值的大小.(結論不要求證明)
2.(2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題)某投籃比賽分為兩個階段,每個參賽隊由兩名隊員組成,比賽具體規則如下:第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次,若3次都未投中,則該隊被淘汰,比賽成績為0分;若至少投中一次,則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次,每次投籃投中得5分,未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成,設甲每次投中的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.
(1)若,,甲參加第一階段比賽,求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率.
(2)假設,
(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大,應該由誰參加第一階段比賽?
(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大,應該由誰參加第一階段比賽?
3.(2023年北京高考數學真題)為研究某種農產品價格變化的規律,收集得到了該農產品連續40天的價格變化數據,如下表所示.在描述價格變化時,用“+”表示“上漲”,即當天價格比前一天價格高;用“-”表示“下跌”,即當天價格比前一天價格低;用“0”表示“不變”,即當天價格與前一天價格相同.
時段 價格變化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用頻率估計概率.
(1)試估計該農產品價格“上漲”的概率;
(2)假設該農產品每天的價格變化是相互獨立的.在未來的日子里任取4天,試估計該農產品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率;
(3)假設該農產品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響.判斷第41天該農產品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大.(結論不要求證明)
4.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為,.試驗結果如下:
試驗序號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
記,記的樣本平均數為,樣本方差為.
(1)求,;
(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高(如果,則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高,否則不認為有顯著提高)
5.(2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率;
(2)求第次投籃的人是甲的概率;
(3)已知:若隨機變量服從兩點分布,且,則.記前次(即從第1次到第次投籃)中甲投籃的次數為,求.
6.(2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為;誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為.假設數據在組內均勻分布,以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.
(1)當漏診率%時,求臨界值c和誤診率;
(2)設函數,當時,求的解析式,并求在區間的最小值.
7.(2022年新高考全國II卷數學真題)在某地區進行流行病學調查,隨機調查了100位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖:

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表);
(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率;
(3)已知該地區這種疾病的患病率為,該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人,若此人的年齡位于區間,求此人患這種疾病的概率.(以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率,精確到0.0001).
8.(2022年高考全國乙卷數學(理)真題)某地經過多年的環境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位:)和材積量(單位:),得到如下數據:
樣本號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
根部橫截面積 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材積量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并計算得.
(1)估計該林區這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;
(2)求該林區這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(精確到0.01);
(3)現測量了該林區所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數據給出該林區這種樹木的總材積量的估計值.
附:相關系數.
題型一:求概率及隨機變量的分布列與期望
【典例1-1】蛇年來臨之際,某商場計劃安排新春抽獎活動,方案如下:1號不透明的盒子中裝有標有“吉”“安”“和”字樣的小球,2號不透明的盒子中裝有標有“祥”“康”“順”字樣的小球,顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球,再從2號不透明的盒子取出1個小球,若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語,則這位顧客中獎,反之沒有中獎,每位顧客只能進行一輪抽獎.已知顧客從不透明的盒子取出標有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為,且顧客取出小球的結果相互獨立.
(1)求顧客中獎的概率;
(2)若小明一家三口參加這個抽獎活動,求小明全家中獎次數的分布列及數學期望.
【典例1-2】隨著教育部的“雙減政策”落地,為了豐富高中基礎年級學生的課余生活,2025年元旦期間,某校師生舉行一場驚心動魄的足球比賽;由教師代表隊、高一學生代表隊和高二學生代表隊組成、得分規則為:球隊勝一場積3分,平一場積1分,負一場積0分.由教師代表隊與高一學生代表隊和高二學生代表隊的兩場比賽.根據前期比賽成績,教師代表隊與高一學生代表隊比賽:教師代表隊勝的概率為,平的概率為,負的概率為;由教師代表隊與高二學生代表隊比賽:教師代表隊勝的概率為,平的概率為,負的概率為,且兩場比賽結果相互獨立.
(1)求教師代表隊與高二學生代表隊比賽獲得積分超過教師代表隊與高一學生代表隊比賽獲得積分的概率;
(2)用表示教師代表隊兩場比賽獲得積分之和,求的分布列與期望.
求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟:
(1)根據題中條件確定隨機變量的可能取值;
(2)求出隨機變量所有可能取值對應的概率,即可得出分布列;
(3)根據期望的概念,結合分布列,即可得出期望(在計算時,要注意隨機變量是否服從特殊的分布,如超幾何分布或二項分布等,可結合其對應的概率計算公式及期望計算公式,簡化計算)
【變式1-1】年末某商場舉辦購物有獎活動:若購物金額超過1000元,則可以抽獎一次,獎池中有9張卡片,“福”“迎”“春”卡各2張,“蛇”卡3張,每次抽獎者從中隨機抽取4張卡片,抽到“蛇”卡獲得2分,抽到其他卡均獲得1分,最終得7分的人可得120元獎金,最終得4分的人可得60元獎金,其他最終得分的人可得20元獎金.已知小鐘獲得一次抽獎機會.
(1)求小鐘抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1張的概率;
(2)記小鐘的中獎金額為,求的分布列及數學期望.
1.為了讓高三同學們在緊張的學習之余放松身心,緩解壓力,激發同學們的競爭意識,培養積極向上的心態,為高三生活增添一抹別樣的色彩,某校高三(1)班利用課余時間開展一次投籃趣味比賽.已知該班甲同學每次投籃相互獨立,每次投籃命中的概率為,且次投籃至少命中次的概率為.
(1)求;
(2)若甲同學連續投籃次,每次投進記分,未投進記分,記甲同學的總得分為,求的分布列和數學期望;
(3)若甲同學投籃時出現命中就停止投籃,且最多投籃次,設隨機變量為投籃的次數,證明:.
題型二:超幾何分布與二項分布
【典例2-1】高三(1)班有名同學,在某次考試中總成績在分(含分)以上的有人:甲、乙、丙、丁;在分—分之間的有人:戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申.其中數學成績超過分的有人:甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)從該班同學中任選一人,求在數學成績超過分的條件下,總成績超過分的概率;
(2)從數學成績超過分的同學中隨機抽取人.
①采取不放回抽樣方式抽取,記為成績在分—分之間的同學的個數,求的分布列和期望;
②采取放回抽樣方式抽取,記為成績在分—分之間的同學的個數,求的值.(直接寫出結果)
【典例2-2】在某地區進行高中學生每周戶外運動調查,隨機調查了名高中學生戶外運動的時間(單位:小時),得到如下樣本數據的頻率分布直方圖.
(1)求的值,估計該地區高中學生每周戶外運動的平均時間;(同一組數據用該區間的中點值作代表)
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配,在,兩組內的學生中,采用分層抽樣的方法抽取了人,現從這人中隨機抽取人進行訪談,記在內的人數為,求的分布列和期望;
(3)以頻率估計概率,從該地區的高中學生中隨機抽取名學生,用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內的概率,當最大時,求的值.
超幾何分布與二項分布是兩個非常重要的、應用廣泛的概率模型,實際中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決.
一般地,在含有件產品的件產品中,任取件,其中恰有件次品,則事件發生的概率為,其中,且,稱為超幾何分布列.
一般地,在次獨立重復試驗中,用表示事件發生的次數,設每次試驗中事件發生的概率為,則.此時稱隨機變量服從二項分布,記作,并稱為成功概率.此時有.
【變式2-1】某校為了解高三學生每天的作業完成時長,在該校高三學生中隨機選取了100人,對他們每天完成各科作業的總時長進行了調研,結果如下表所示:
時長(小時)
人數(人) 3 4 33 42 18
用表格中的頻率估計概率,且每個學生完成各科作業時互不影響.
(1)從該校高三學生中隨機選取1人,估計該生可以在3小時內完成各科作業的概率;
(2)從樣本“完成各科作業的總時長在2.5小時內”的學生中隨機選取3人,其中共有人可以在2小時內完成各科作業,求的分布列和數學期望;
(3)從該校高三學生(學生人數較多)中隨機選取3人,其中共有人可以在3小時內完成各科作業,求.
1.同學們,你們知道排球比賽的規則和積分制嗎 其規則是:每局25分,達到24分時,比賽雙方必須相差2分,才能分出勝負;每場比賽采用“5局3勝制”(即有一支球隊先勝3局即獲勝,比賽結束);比賽排名采用積分制,積分規則如下:比賽中,以3∶0或3∶1取勝的球隊積3分,負隊積0分;以3∶2取勝的球隊積2分,負隊積1分.甲、乙兩隊近期將要進行比賽,為預測它們的積分情況,收集了兩隊以往6局比賽成績:
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假設用頻率估計概率,且甲,乙每局的比賽相互獨立.
(1)估計甲隊每局獲勝的概率;
(2)如果甲、乙兩隊比賽1場,求甲隊的積分X的概率分布列和數學期望;
(3)如果甲、乙兩隊約定比賽2場,請比較兩隊積分相等的概率與的大小(結論不要求證明).
題型三:概率與其它知識的交匯問題
【典例3-1】如圖,一只螞蟻從正方體的頂點出發沿棱爬行,記螞蟻從一個頂點到另一個頂點為一次爬行,每次爬行的方向是隨機的,螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為,沿正方體的側棱爬行的概率為.

(1)若螞蟻爬行5次,求螞蟻在下底面頂點的概率;
(2)若螞蟻爬行5次,記它在頂點出現的次數為,求的分布列與數學期望.
【典例3-2】在三維空間中,單位立方體的頂點坐標可用三維坐標表示,其中.而在維空間中,單位立方體的頂點坐標可表示為維坐標,其中.在維空間中,設點,定義維向量,數量積,為坐標原點,即.
(1)在3維空間單位立方體中任取兩個不同頂點,求的概率;
(2)在維單位立方體中任取兩個不同頂點,記隨機變量.
(i)當時,若最大,求的值;
(ii)求的分布列及期望值.
在知識交匯處設計試題是高考命題的指導思想之一,概率作為高中數學具有實際應用背景的主要內容,除與實際應用問題相交匯,還常與排列組合、函數、數列等知識交匯.求解此類問題要充分理解題意.根據題中已知條件,聯系所學知識對已知條件進行轉化.這類題型具體來說有兩大類:
1、所給問題是以集合、函數、立體幾何、數列、向量等知識為載體的概率問題.求解時需要利用相關知識把所給問題轉化為概率模型,然后利用概率知識求解.
2、所給問題是概率問題,求解時有時需要把所求概率轉化為關于某一變量的函數,然后利用函數、導數知識進行求解;或者把問題轉化為與概率變量有關的數列遞推關系式,再通過構造特殊數列求通項或求和.
【變式3-1】為提高學生的思想政治覺悟,激發愛國熱情,增強國防觀念和國家安全意識,某校進行軍訓打靶競賽.規則如下:每人共有3次機會,擊中靶心得1分,否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為,且滿足:如果第n次射擊擊中靶心概率為p,那么當第n次擊中靶心時,第次擊中靶心的概率也為p,否則第次擊中靶心的概率為.
(1)求甲選手得分X的分布列及其數學期望;
(2)有如下定義:設X是一個隨機變量,x是任意實數,函數,稱為X的分布函數,對于任意實數,,有.因此,若已知X的分布函數,我們就知道X落在任一區間上的概率.
(i)寫出(1)中甲選手得分X的分布函數(分段函數形式);
(ii)靶子是半徑為2的一個圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,假如選手射擊都能中靶,以Y表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量Y的分布函數.
1.在長方體中,已知,從該長方體的八個頂點中,任取兩個不同的頂點,用隨機變量表示這兩點之間的距離.
(1)求隨機變量的概率;
(2)求隨機變量的分布列.
題型四:期望與方差的實際應用
【典例4-1】現有兩種投資方案,一年后投資盈虧的情況如下:
方案一:投資股市:
投資結果 獲利 不賠不賺 虧損
概率
方案二:購買基金:
投資結果 獲利 不賠不賺 虧損
概率
(1)當時,求的值;
(2)若要將萬元錢進行投資,決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種,已知,,那么選擇哪種投資方案,才能使得一年后投資收益的數學期望較大?給出結果并說明理由.
【典例4-2】某企業有甲,乙兩條生產線,每條生產線都有,,三個流程,為了比較這兩條生產線的優劣,經過長期調查,可知甲生產線的,,三個流程的優秀率分別為0.9,0.9,0.8,乙生產線的,,三個流程的優秀率分別為0.8,0.85,0.92.已知每個流程是否優秀相互獨立.
(1)求甲生產線的三個流程中至少有一個優秀的概率.
(2)為了評估這兩條生產線哪個更優秀,該企業對,,三個流程進行賦分.當流程優秀時,賦30分,當流程不優秀時,賦0分;當流程優秀時,賦40分,當流程不優秀時,賦0分;當流程優秀時,賦50分,當流程不優秀時,賦0分.記甲生產線的,,流程的賦分分別為,,,乙生產線的,,流程的賦分分別為,,,計算與,并據此判斷甲、乙哪條生產線更優秀.
數學期望反映的是隨機變量取值的平均水平,而方差則是反映隨機變量取值在其平均值附近的離散程度.現代實際生活中,越來越多的決策需要應用數學期望與方差來對事件發生大小的可能性和穩定性進行評估,通過計算分析可以比較科學地得出各個方案的預期效果及出現偏差的大小,從而決定要選擇的最佳方案.
(1)若我們希望實際的平均水平較理想,則先求隨機變量的期望,當時,不應認為它們一定一樣好,還需要用來比較這兩個隨機變量的方差,確定它們的偏離程度.
(2)若我們希望比較穩定性,應先考慮方差,再考慮均值是否相等或接近.
(3)方差不是越小就越好,而是要根據實際問題的需要來判斷.
【變式4-1】超輕黏土是一種集藝術性 趣味性 創造性于一體的手工造型材料.某小學為了豐富校園文化生活,舉行了超輕黏土制作比賽活動.本次活動是在各班中選拔表現突出的學生,以班級為單位參加比賽.班級選拔共有6節課,每節課完成情況相互獨立.每節課學生需獨自完成3個動物作品與3個植物作品,若評優作品不少于5個,則將該學生評為“優秀制作人”.最后4節課中,被評為“優秀制作人”的次數不少于3次的學生將代表班級參加比賽.已知小章前2節課制作的作品中,有5個動物作品與4個植物作品為評優作品.
(1)從小章前2節課制作的作品中隨機抽取3個動物作品與3個植物作品,求其中至少有5個作品為評優作品的概率.
(2)若小章經過課后練有所提高,最后4節課每節課動物作品與植物作品為評優作品的概率分別為,且,以最后4節課中小章被評為“優秀制作人”的次數的數學期望為依據,試預測小章是否能代表班級參加比賽.
1.組合投資需要同時考慮風險與收益.為了控制風險需要組合低風險資產,為了擴大收益需要組合高收益資產,現有兩個相互獨立的投資項目A和B,單獨投資100萬元項目A的收益記為隨機變量X,單獨投資100萬元項目B的收益記為隨機變量Y.若將100萬資金按進行組合投資,則投資收益的隨機變量Z滿足,其中.假設在組合投資中,可用隨機變量的期望衡量收益,可用隨機變量的方差衡量風險.
(1)若,,求Z的期望與方差;
(2)已知隨機變量X滿足分布列:
X … …
… …
隨機變量Y滿足分布列:
Y … …
… …
且隨機變量X與Y相互獨立,即,,.求證:;
(3)若投資項目X是高收益資產,其每年的收益滿足:有30%的可能虧損當前資產的一半;有70%的可能增值當前資產的一倍.投資項目是低風險資產,滿足.試問能否滿足投資第1年的收益不低于17萬,風險不高于500?請說明理由.
題型五:正態分布與標準正態分布
【典例5-1】高中生堅持跑操有利于增強體質.某高中實踐活動小組經過調查所在學校學生堅持跑操的次數與綜合體測成績等信息,得到如下數據:該學校有的學生每月平均堅持跑操的次數超過40次,這些學生中,綜合體測成績達到“及格”等級的概率為,而每月平均堅持跑操的次數不超過40次的學生的綜合體測成績達到“及格”等級的概率為.
(1)若從該學校任意抽取一名學生,求該學生綜合體測成績達到“及格”等級的概率;
(2)已知該實踐活動小組的6名學生中有4名學生綜合體測成績達到“及格”等級,從這6名學生中抽取2名學生,記為抽取的這2名學生中綜合體測成績達到“及格”等級的人數,求隨機變量的分布列和數學期望.
(3)經統計:該校學生綜合體測得分近似服從正態分布,若得分,則綜合體測成績達到“優秀”等級,假設學生之間綜合體測成績相互獨立.現從該校所有學生中抽取40名學生,記為這40名學生中綜合體測成績達到“優秀”等級的人數,求的數學期望.(結果四舍五入保留整數)
參考數據:若隨機變量服從正態分布,則,,
【典例5-2】“公平正義”是社會主義和諧社會的重要特征,是社會主義法治理念的價值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑,正被廣泛采用.一般地,對于一次成功的考試來說,所有考生得考試成績應服從正態分布.某單位準備通過考試(按照高分優先錄取的原則)錄用300人,其中275個高薪職位和25個普薪職位.實際報名人數為2000名,考試滿分為400分.記考生的成績為,且,已知所有考生考試的平均成績,且360分及其以上的高分考生有30名.
(1)求的值.(結果保留位整數)
(2)該單位的最低錄取分數約是多少?(結果保留為整數)
(3)考生甲的成績為286分,若甲被錄取,能否獲得高薪職位?若不能被錄取,請說明理由.
參考資料:①當時,令,則.
②當,,,,.
解決正態分布問題有三個關鍵點:(1)對稱軸標準差分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值;由,分布區間的特征進行轉化,使分布區間轉化為特殊區間,從而求出所求概率.注意在標準正態分布下對稱軸為.
【變式5-1】某市舉行了一次大型宣傳活動,結束后組辦方分別從7個不同的地方的問卷調查中各隨機抽取了相同數量的數據(人均得分)構成一個樣本,依據相關標準,該樣本中各地抽取的數據構成數列(n為各地區的編號),且由各地的數據可以認為各地人均得分服從正態分布,μ近似為抽取的樣本中7個地方人均得分的平均值(得分的平均值四舍五入并取整數).
(1)利用正態分布的知識求.
(2)組辦方為此次參加問卷調查的市民制訂如下兩種獎勵方案.
方案一:(ⅰ)得分不低于μ的可以獲贈2次隨機話費,得分低于μ的可以獲贈1次隨機話費.
(ⅱ)每次獲贈的隨機話費和對應的概率為
獲贈的隨機話費/元 50 100
概率
方案二:參加此次問卷調查的市民可獲得價值100元的大型晚會入場券.
參加此次問卷調查的市民可選擇其中一種獎勵方案.
①市民小李參加了此次問卷調查,他選擇了方案一,記X(單位:元)為他獲贈的話費,求X的分布列及數學期望.
②僅從獎勵的價值考慮,如果你參加了問卷調查,你選擇參加獲贈隨機話費活動,還是獲得價值100元的大型晚會入場券?用統計中相關知識做出決策.
(附:若,則,,)
1.2023年3月某學校舉辦了春季科技體育節,其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊伍,本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質量指標(單位:g)服從正態分布,其中,.比賽賽制采取單循環方式,即每支球隊進行11場比賽,最后靠積分選出最后冠軍,積分規則如下(比賽采取5局3勝制):比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積3分,負隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分,負隊積1分.9輪過后,積分榜上的前2名分別為1班排球隊和2班排球隊,1班排球隊積26分,2班排球隊積22分.第10輪1班排球隊對抗3班排球隊,設每局比賽1班排球隊取勝的概率為.
(1)令,則,且,求,并證明:;
(2)第10輪比賽中,記1班排球隊3:1取勝的概率為,求出的最大值點,并以作為的值,解決下列問題.
(ⅰ)在第10輪比賽中,1班排球隊所得積分為,求的分布列;
(ⅱ)已知第10輪2班排球隊積3分,判斷1班排球隊能否提前一輪奪得冠軍(第10輪過后,無論最后一輪即第11輪結果如何,1班排球隊積分最多)?若能,求出相應的概率;若不能,請說明理由.
參考數據:,則,,.
題型六:統計圖表及數字特征
【典例6-1】為慶祝“五一”國際勞動節,某校舉辦“五一”文藝匯演活動,本次匯演共有40個參賽節目,經現場評委評分,分成六組:第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,第六組,得到如下頻率分布直方圖:
(1)估計所有參賽節目評分的第85百分位數(保留1位小數);
(2)若評分結束后只對所有評分在區間的節目進行評獎(每個節目都能獲獎,只有一等獎和二等獎),其中每個節目獲評為一等獎的概率為,獲評為二等獎的概率為,每個節目的評獎結果相互獨立.
(ⅰ)設參評節目中恰有2個一等獎的概率為,求的極大值點;
(ⅱ)以(ⅰ)中作為p的值,若對這部分評獎節目進行獎勵,已知一等獎節目獎金為500元,若要使得總獎金期望不超過1400元,請估計二等獎獎金的最大值.
【典例6-2】睡眠是守衛健康的忠臣,小周同學就高三同學睡眠問題展開了一次調研活動:
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合計/人
(3,4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4
(5,6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12
(6,7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2
(1)小周同學調查了振興中學高三隨機十個班級的單個學生睡眠平均時長所在區間的人數分布,請補全這張統計表(橫向代表班級序號,縱向代表平均睡眠時長所在區間,框內數據代表人數)與直方圖并通過直方圖估計振興中學高三同學睡眠的分位數(作圖不要求寫出過程);
(2)之后,小周同學收集了隨機名同學的具體平均睡眠時長,這些數據中男生有人,平均睡眠時長與睡眠時長方差分別為與;女生有人,平均睡眠時長與睡眠時長方差分別為與,請根據以上數據計算出這名同學的睡眠時長總方差.
(3)睡眠連續性得分是判斷睡眠質量的分數度量,一般算合格.臨近大型考試,小周同學用智能手表測出了考試前一周他的睡眠連續性得分,請根據圖表得出兩條有效信息并為他提出一條可行的睡眠建議.
1、制作頻率分布直方圖的步驟.
第一步:求極差,決定組數和組距,組距
第二步:分組,通常對組內數值所在區間取左閉右開區間,最后一組取閉區間;
第三步:登記頻數,計算頻率,列出頻率分布表;
第四步:畫頻率分布直方圖.
2、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點.
(1)直方圖中各小矩形的面積之和為1;
(2)直方圖中縱軸表示,故每組樣本的頻率為組距
(3)直方圖中每組樣本的頻數為頻率總體個數.
3、用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數的方法.
(1)眾數為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標;
(2)中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標;
(3)平均數等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標之積的和.
【變式6-1】某景點奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在國慶黃金周期間的日銷售量數據,如下表(單位:杯):
10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
甲 60 65 66 65 67 66 63
乙 57 62 63 62 64 63 60
丙 55 60 61 60 62 61 58
(1)從10月1日至7日中隨機選取一天,求該天甲款奶茶日銷售量大于65杯的概率;
(2)從乙、丙兩款奶茶的日銷售量數據中各隨機選取1個,這2個數據中大于60的個數記為,求的分布列和數學期望;
(3)記乙款奶茶日銷售量數據的方差為,表格中所有的日銷售量數據的方差為,試判斷和的大小.(結論不要求證明)
1.某廠研制了一種生產高精產品的設備,為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高,用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品,得到各件產品該項指標數據如下:
舊設備 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新設備 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為 和,樣本方差分別記為 和.
(1)判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高(如果,則認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高,否則不認為有顯著提高)
(2)假設該廠計劃用新設備全面投產,若生產一系列產品的指標數據不少于10.3即為質量優秀產品,以表中的頻率估計概率,現從該廠生產的一批產品中隨機抽取100件產品進行質量抽檢,求抽檢的產品中質量優秀產品的件數ξ的數學期望.
題型七:線性回歸與非線性回歸分析
【典例7-1】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一,其產卵數與溫度有關.現收集到一只紅鈴蟲的產卵數(個)和溫度的8組觀測數據,制成圖l所示的散點圖,現用兩種模型①,②分別進行擬合,由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析,進一步得到圖2所示的殘差圖.
根據收集到的數據,計算得到如下值:表中;;;
25 2.9 646 168 422688 50.4 70308
(1)根據殘差圖,比較模型①、②的擬合效果,哪種模型比較合適?
(2)求出關于的回歸方程.附:對于一組數據,,…,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,,
【典例7-2】隨著國內人均消費水平的提高,居民的運動健身意識不斷增強,加之健康與解壓需求的增長,使得健身器材行業發展趨勢強勁,下表為年中國健身器材市場規模(單位:百億元),其中年年對應的代碼依次為.
年份代碼
中國健身器材市場規模
(1)由上表數據可知,可用指數型函數模型擬合與的關系,請建立關于的歸方程(,的值精確到);
(2)數據顯示年購買過體育用品類的中國消費者中購買過運動防護類的占比為,用頻率估計概率,現從年購買過體育用品類的中國消費者中隨機抽取人,記購買過運動防護類的消費者人數為,求的分布列及數學期望.
參考數據:
其中,.
參考公式:對于一組數據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
線性回歸分析的原理、方法和步驟:
(1)利用圖表和數字特征可以對數據做簡單的分析,但是用回歸直線方程可以對數據的未來值進行預測.在選取數據觀察的時候,要注意大量相對穩定的數據比不穩定的數據更有價值,近期的數據比過去久遠的數據更有價值.
(2)判斷兩組數據是否具有線性相關關系的方法:散點圖,相關系數.
(3)相關指數與相關系數在含有一個解釋變量的線性回歸模型中是等價的量,都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量.
(4)利用換元法,可以將一元非線性回歸轉化為線性回歸.
【變式7-1】某校高一新生共1000人,男女比例為1:1,經統計身高大于170cm的學生共600人,其中女生200人.該校為了解高一新生身高和體重的關系,在新生中隨機抽測了10人的身高(單位:cm)和體重(單位:kg)作為一個樣本,所得樣本數據如下表所示:
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180
體重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84
(1)在對這10個學生組成的樣本的檢測過程中,采用不放回的方式,每次隨機抽取1人檢測
(ⅰ)若已進行了三次抽取,求抽取的這三人中至少有兩人體重大于74kg的概率;
(ⅱ)求第一次抽取的學生體重大于79kg且第二次抽取的學生身高大于175cm的概率;
(2)由表中數據的散點圖和殘差分析,編號為5的數據殘差過大,確定其為離群點,所以應去掉該數據后再求經驗回歸方程.已知未去掉離群點的樣本相關系數約為0.802,請用樣本相關系數說明去掉離群點的合理性(相關系數r保留三位小數).
參考公式及數據:樣本相關系數
,,,,.
【變式7-2】某省級示范學校高三的一次考試后,為了調查學生們的偏科程度,在實驗班隨機抽取8名同學,比較物理成績x與數學成績y,得到下表(單位:分):
學生號 1 2 3 4 5 6 7 8
x 98 84 87 94 81 91 85 100
y 135 124 113 125 116 120 132 135
(1)求出y關于x的回歸方程(精確到0.01);
(2)若相關系數r滿足,則我們可以認為y與x之間具有較強的線性相關關系,計算這8名學生的物理成績和數學成績是否具有較強的線性相關關系?
(附:,,,,,相關系數)
1.習近平總書記指出:要完整、準確、全面貫徹新發展理念,加快構建新發展格局,著力推動高質量發展.某部門在對新發展理念組織了全面學習后,對同一組的5名員工采取如下考核制度:在本季度末,由部門其他人對這5名員工進行投票,并統計5名員工本季度創造的營業收入.現將這5名員工所得票數x與本季度創造的營業收入單位:千元用數對表示:,,,,
(1)求x與y的相關系數
(2)若將本季度創造的營業收入最少的員工移除出組,請根據該小組剩余人員的數據求y關于x的線性回歸方程.
參考公式:①相關系數②在利用最小二乘法求得的線性回歸方程的中,,
參考數據:,,,,
題型八:獨立性檢驗
【典例8-1】“八段錦”,起源于北宋,已有八百多年的歷史. 古人把這套動作比喻為“錦”,意為五顏六色,美而華貴. 體現其動作舒展優美,視其為“祛病健身,效果極好,編排精致,動作完美”,此功法分為八段,每段一個動作,故名為“八段錦”. 作為傳統養生功法,對人體有著很多的益處. 為了繼續推廣“八段錦”,吸引更多的老年市民練習“八段錦”,促進老年市民的延年益壽,市老體協統計了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 歲的均為老年人)練習“八段錦”的情況,采用簡單隨機抽樣的方法抽取了練習“八段錦”的 200 位老年人,得到了性別與年齡的有關數據,并整理得到以下列聯表:
類型 年齡 (歲) 合計
男性 36 111
女性 25
合計 200
(1)補全 列聯表,并依據小概率值 的獨立性檢驗,能否認為老年人的性別與年齡是否大于 65 歲有關聯
(2)在這 200 位老年人隨機抽取一位,求在該老人年齡大于 65 歲的情況下,為女性老年人的概率.
附: ,其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【典例8-2】新能源汽車越來越引起廣大消費者的關注,目前新能源汽車的電池有石墨烯電池、三元鋰電池、鉛酸電池等,其中鉛酸電泡有技術成熟.成本較低、高倍率放電的特點,而石墨烯電池可以減少熱量對電池的損害,提高電池的使用壽命,石墨烯電池應用到新能源汽車上.對整個汽車行業將是根本性的改變.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好,在社會上隨機調查了500名駕駛者,年齡在60周歲以下的為年輕駕駛者,年齡在60周歲及以上的為中老年駕駛者,其中被調查的年輕駕駛者中偏好鉛酸電池車的占,得到以下的列聯表:
偏好石墨烯電池車 偏好鉛酸電池車 合計
中老年駕駛者 200 100
年輕的駕駛者
合計 S00
(1)根據以上數據,完成列聯表.依據小概率的獨立性檢驗,能否認為駕駛者對這兩種電池的電動車的偏好與年齡有關:
(2)用頻率估計概率,在所有參加調查的駕駛者中按年輕駕駛者和中老年駕駛者進行分層抽樣,隨機抽取5名駕駛者,再從這5名駕駛者中隨機抽取2人進行座談,記2名參加座談的駕駛者中來自偏好石墨烯電池電動車的中老年駕駛者的人數為,求的分布列和數學期望.
參考公式:,其中.
參考數據:
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解獨立性檢驗應用問題的注意事項.
(1)兩個明確:①明確兩類主體;②明確研究的兩個問題.
(2)在列聯表中注意事件的對應及相關值的確定,不可混淆.
(3)在實際問題中,獨立性檢驗的結論僅是一種數學關系表述,得到的結論有一定的概率出錯.
(4)對判斷結果進行描述時,注意對象的選取要準確無誤,應是對假設結論進行的含概率的判斷,而非其他.
【變式8-1】隨機數廣泛應用于數據加密、安全通信、金融等領域.計算機中的隨機數是由算法產生的,其“隨機性”的優劣取決于所采用的算法.某工廠計劃生產一種隨機數發生器,這種發生器的顯示屏能顯示1,2,3,4中的一個數字,每按一次數字更新按鈕后,顯示屏上的數字將等可能地更新為另三個數字中的一個.在試生產階段,采用兩種不同算法,生產出相應算法的甲、乙兩種隨機數發生器.為評估兩種算法的優劣,從這兩種隨機數發生器中隨機抽取150件進行檢驗,得到數據餅圖如下:
(1)已知這150件發生器中,乙種發生器的三級品為2件.在答題卡中填寫列聯表;依據小概率值的獨立性檢驗,能否認為甲、乙兩種發生器的一級品率存在差異
一級品 非一級品 合計


合計
(2)若發生器顯示屏的初始顯示數字為1,記按次數字更新按鈕后得到的數字為,.
(i)求,;
(ii)檢測一個發生器是否為一級品的方案為:每件被測發生器需進行100輪測試,每輪測試共按10次數字更新按鈕;表示100輪測試得到“”的頻率,規定滿足的被測發生器為一級品.若某件發生器經100輪測試后得到,能否判斷該發生器為一級品
附:,
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1.一家調查機構在某地隨機抽查1000名成年居民對新能源車與燃油車的購買傾向,得到如下表格:
傾向于購買燃油車 傾向于購買新能源車 合計
女性居民 150 250 400
男性居民 350 250 600
合計 500 500 1000
(1)依據小概率值的獨立性檢驗,分析對新能源車與燃油車的購買傾向是否存在性別差異;
(2)從傾向于購買燃油車的居民中按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取10人,再從中抽取4人進行座談,求在有女性居民參加座談的條件下,恰有2名男性居民也參加座談的概率;
(3)從所有參加調查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性,采用分層隨機抽樣的方法抽出12人,再從中隨機抽取3人進行座談,記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數為,求的分布列與數學期望.
參考公式:,其中.
參考數據:
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
題型九:與體育比賽規則有關的概率問題
【典例9-1】某籃球俱樂部由籃球Ⅰ隊和Ⅱ隊組成.Ⅰ隊球員水平相對較高,代表俱樂部參加高級別賽事;Ⅱ隊是Ⅰ隊的儲備隊,由具有潛力的運動員組成.為考察Ⅰ隊的明星隊員甲對球隊的貢獻,教練對近兩年甲參加過的60場與俱樂部外球隊的比賽進行統計:甲在前鋒位置出場12次,其中球隊獲勝6次;中鋒位置出場24次,其中球隊獲勝16次;后衛位置出場24次,其中球隊獲勝18次.用該樣本的頻率估計概率,則:
(1)甲參加比賽時,求Ⅰ隊在某場與俱樂部外球隊比賽中獲勝的概率;
(2)為備戰小組賽,Ⅰ隊和Ⅱ隊進行10場熱身賽,比賽沒有平局,獲勝得1分,失敗得0分.已知Ⅰ隊在每場比賽中獲勝的概率是p(),若比賽最有可能的比分是7∶3,求p的取值范圍;
(3)現由Ⅰ隊代表俱樂部出戰小組賽,小組共6支球隊,進行單循環賽(任意兩支隊伍間均進行一場比賽),若每場比賽均派甲上場,在已知Ⅰ隊至少獲勝3場的條件下,記其獲勝的場數為X,求X的分布列和數學期望.
【典例9-2】甲、乙兩名同學進行籃球投籃比賽,比賽規則如下:兩人投籃的次數之和不超過5,投籃命中則自己得1分,該名同學繼續投籃,若投籃未命中則對方得1分,換另外一名同學投籃,比賽結束時分數多的一方獲勝,兩人總投籃次數不足5但已經可以確定勝負時比賽就結束,兩人總投籃次數達到5次時比賽也結束,已知甲、乙兩名同學投籃命中的概率都是,甲同學先投籃.
(1)求甲同學一共投籃三次,且三次投籃連續的情況下獲勝的概率;
(2)求甲同學比賽獲勝的概率.
1、在與體育比賽規則有關的問題中,一般都會涉及分組,處理該類問題時主要借助于排列組合.對于分組問題,要注意平均分組與非平均分組,另外,在算概率時注意“直接法”與“間接法”的靈活運用.
2、與體育比賽有關的問題中最常見的就是輸贏問題,經常涉及“多人淘汰制問題”“ 三局兩勝制問題”“ 五局三勝制問題”“ 七局四勝制問題”,解決這些問題的關鍵是認識“三局兩勝制”“ 五局三勝制”等所進行的場數,贏了幾場與第幾場贏,用互斥事件分類,分析事件的獨立性,用分步乘法計數原理計算概率,在分類時要注意“不重不漏” .
3、在體育比賽問題中,比賽何時結束也是經常要考慮的問題,由于比賽賽制已經確定,而比賽的平均場次不確定,需要對比賽的平均場次進行確定,常用的方法就是求以場數為隨機變量的數學期望,然后比較大小.
4、有些比賽會采取積分制,考查得分的分布列與數學期望是常考題型,解題的關鍵是辨別它的概率模型,常見的概率分布模型有:兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態分布,要注意分布是相互獨立的,超幾何分布不是,值得注意的是,在比賽中往往是偽二項分布,有的只是局部二項分布.
【變式9-1】一項沒有平局的對抗賽分為兩個階段,參賽者在第一階段中共參加2場比賽,若至少有一場獲勝,則進入第二階段比賽,否則被淘汰,比賽結束;進入第二階段比賽的參賽者共參加3場比賽.在兩個階段的每場比賽中,獲勝方記1分,負方記0分,參賽者參賽總分是兩個階段得分的總和,若甲在第一階段比賽中每場獲勝的概率都為,在第二階段比賽中每場獲勝的概率都為,每場比賽是否獲勝相互獨立.已知甲參賽總分為2分的概率為.
(1)求;
(2)求甲參賽總分X的分布列和數學期望.
1.第19屆杭州亞運會-電子競技作為正式體育競賽項目備受關注.已知某項賽事的季后賽后半段有四支戰隊參加,采取“雙敗淘汰賽制”,對陣表如圖,賽程如下:
第一輪:四支隊伍分別兩兩對陣(即比賽1和2),兩支獲勝隊伍進入勝者組,兩支失敗隊伍落入敗者組.
第二輪:勝者組兩支隊伍對陣(即比賽3),獲勝隊伍成為勝者組第一名,失敗隊伍落入敗者組;第一輪落入敗者組兩支隊伍對陣(即比賽4),失敗隊伍(已兩敗)被淘汰(獲得殿軍),獲勝隊伍留在敗者組.
第三輪:敗者組兩支隊伍對陣(即比賽5),失敗隊伍被淘汰(獲得季軍);獲勝隊伍成為敗者組第一名.
第四輪:敗者組第一名和勝者組第一名決賽(即比賽6),爭奪冠軍.假設每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5,每場比賽之間相互獨立.問:

(1)若第一輪隊伍和隊伍對陣,則他們仍能在決賽中對陣的概率是多少?
(2)已知隊伍在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中,敗了兩場,求在該條件下隊伍獲得亞軍的概率.
題型十:決策型問題
【典例10-1】2020年1月15日,教育部制定出臺了《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》(也稱“強基計劃”),選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生,由試點高校自主命題,校考過程中通過筆試后才能進入面試環節.
(1)為了更好地服務于高三學生,某研究機構對隨機抽取的5名高三學生的記憶力和判斷力進行統計分析,得到下表數據:
6 8 9 10 12
2 3 4 5 6
請用相關系數說明該組數據中與之間的關系可用線性回歸模型進行擬合,并求關于的線性回歸方程(精確到0.01);
(2)現有甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立,若某考生報考甲大學,每門筆試科目通過的概率均為,該考生報考乙大學,每門筆試科目通過的概率依次為、、,其中,根據規定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校,若以筆試過程中通過科目數的期望為依據作出決策,求該考生更希望通過乙大學筆試時的取值范圍.
【典例10-2】某農產品經銷商計劃分別在甲、乙兩個市場銷售某種農產品(兩個市場的銷售互不影響),為了了解該種農產品的銷售情況,現分別調查了該農產品在甲、乙兩個市場過去10個銷售周期內的銷售情況,得下表:
銷售量 銷售周期個數 市場 3噸 4噸 5噸
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)從過去10個銷售周期中隨機抽取一個銷售周期,求甲市場銷售量為4噸的概率;
(2)以市場銷售量的頻率代替銷售量的概率.設(單位:噸)表示下個銷售周期兩個市場的總銷售量,求隨機變量概率分布列;
(3)在(2)的條件下,設該經銷商計劃在下個銷售周期購進噸該產品,在甲、乙兩個市場同時銷售,已知該產品每售出1噸獲利1000元,未售出的產品降價處理,每噸虧損200元.以銷售利潤的期望作為決策的依據,判斷與應選用哪一個.
求解決策型問題的求解流程為:
第一步:先確定函數關系式;
第二步:列出分布列,求出期望;
第三步:根據期望進行最后的決策.
【變式10-1】某綜藝節目,5位嘉賓輪流參與抽獎.四個一模一樣的箱子,只有一個箱子有獎品.抽獎規則為主持人請嘉賓在四個箱子中選擇一個,若獎品在此箱子里,則獎品由嘉賓獲得.前一位嘉賓抽獎結束后,主持人重新布置箱子,邀請下一位嘉賓抽獎.
(1)記X為5位嘉賓中的中獎人數,求X的分布列,均值和方差;
(2)主持人宣布游戲升級,新的抽獎規則是:當嘉賓選好一個箱子后,主持人(他知道哪個箱子有獎品)會打開一個嘉賓沒有選擇的空箱子給嘉賓看,此后嘉賓可以選擇換一個箱子或者不換.嘉賓做出選擇后,主持人再打開嘉賓最終選中的箱子,揭曉嘉賓是否中獎.嘉賓的哪種決策會有更大可能抽中獎品?請說明理由.
1.在一個系統中,每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度,而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度,為了增加系統的可靠度,人們經常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備).已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備,兩臺備用設備)的配置,這三臺設備中,只要有一臺能正常工作,計算機網絡就不會斷掉.系統就能正常工作.設三臺設備的可靠度均為,它們之間相互不影響.
(1)要使系統的可靠度不低于0.992,求的最小值;
(2)當時,求能使系統正常工作的設備數的分布列;
(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7,根據以往經驗可知,計算機網絡斷掉可給該產業園帶來約50萬的經濟損失.為減少對該產業園帶來的經濟損失,有以下兩種方案:
方案1:更換部分設備的硬件,使得每臺設備的可靠度維持在0.8,更換設備硬件總費用為0.8萬元;
方案2:花費0.5萬元增加一臺可靠度是0.7的備用設備,達到“一用三備”.
請從經濟損失期望最小的角度判斷決策部門該如何決策?并說明理由.
題型十一:遞推型概率命題
【典例11-1】馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型,其過程具備“無記憶”的性質:下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定,即第n+1次狀態的概率分布只與第n次的狀態有關,與第,…次的狀態無關,即.已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球,乙盒中裝有2個白球,現從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中,重復n次()這樣的操作,記此時甲盒中白球的個數為,甲盒中恰有2個白球的概率為,恰有1個白球的概率為.
(1)求和.
(2)證明:為等比數列.
(3)求的數學期望(用n表示).
【典例11-2】如圖,單位圓上的一質點在隨機外力的作用下,每一次在圓弧上等可能地逆時針或順時針移動,設移動次回到起始位置的概率為.
(1)求及的值:
(2)求數列的前項和.
遞推型概率命題,綜合性較強,主要有以下類型:
1、求通項公式:關鍵與找出概率或數學期望的遞推關系式,然后根據構造法(一般構造等比數列),求出通項公式.
2、求和:主要與數列中的倒序求和錯位求和、裂項求和.
3、利用等差、等比數列的性質,研究單調性、最值或求極限.
【變式11-1】馬爾科夫鏈因俄國數學家安德烈 馬爾科夫得名,其過程具備“無記憶”的性質,即第次狀態的概率分布只跟第次的狀態有關,與第次狀態無關.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型,也是機器學習和人工智能的基石,在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.現有兩個盒子,各裝有2個黑球和1個紅球,現從兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子,重復進行次這樣的操作后,記盒子中紅球的個數為,恰有1個紅球的概率為.
(1)求的值;
(2)求的值(用表示);
(3)求證:的數學期望為定值.
【變式11-2】有個編號分別為的盒子,第1個盒子中有2個紅球和1個白球,其余盒子中均為1個紅球和1個白球,現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子,現從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子,,依次進行.
(1)求從第2個盒子中取到紅球的概率;
(2)求從第個盒子中取到紅球的概率;
(3)設第個盒子中紅球的個數為,的期望值為,求證:.
1.如圖,一個正三角形被分成9個全等的三角形區域,分別記作,,,,,,,,. 一個機器人從區域出發,每經過1秒都從一個區域走到與之相鄰的另一個區域(有公共邊的區域),且到不同相鄰區域的概率相等.

(1)分別寫出經過2秒和3秒機器人所有可能位于的區域;
(2)求經過2秒機器人位于區域的概率;
(3)求經過秒機器人位于區域的概率.
題型十二:條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
【典例12-1】放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指標之一.已知年該機場飛往地,地及其他地區(不包含,兩地)航班放行準點率的估計值分別為和,年該機場飛往地,地及其他地區的航班比例分別為,和.
試解決一下問題:
(1)現在從年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個,求該航班準點放行的概率;
(2)若年某航班在該機場準點放行,判斷該航班飛往地,地、其他地區等三種情況中的哪種情況的可能性最大,說明你的理由.
【典例12-2】如圖所示,在研究某種粒子的實驗裝置中,有三個腔室,粒子只能從室出發經室到達室.粒子在室不旋轉,在室 室都旋轉,且只有上旋和下旋兩種狀態,粒子間的旋轉狀態相互獨立.粒子從室經過1號門進入室后,等可能的變為上旋或下旋狀態,粒子從室經過2號門進入室后,粒子的旋轉狀態發生改變的概率為.現有兩個粒子從室出發,先后經過1號門,2號門進入室,記室兩個粒子中,上旋狀態粒子的個數為.
(1)已知兩個粒子通過1號門后,恰有1個上旋狀態1個下旋狀態.若這兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態1個下旋狀態的概率為,求;
(2)若,求兩個粒子經過2號門后都為上旋狀態的概率;
(3)求的分布列和數學期望.
1、一般地,設,為兩個事件,且,稱為在事件發生的條件下,事件發生的條件概率.
2、全概率公式
3、貝葉斯公式
一般地,當且時,有
【變式12-1】隨著春季學期開學,某市市場監管局加強了對學校食堂食品安全管理,助力推廣校園文明餐桌行動,培養廣大師生文明餐桌新理念,以“小餐桌”帶動“大文明”,同時踐行綠色發展理念.該市某中學有A,B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務,王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐,近一個月(30天)選擇餐廳就餐情況統計如下:
選擇餐廳情況(午餐,晚餐)
王同學 9天 6天 12天 3天
張老師 6天 6天 6天 12天
假設王同學、張老師選擇餐廳相互獨立,用頻率估計概率.
(1)估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率;
(2)記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數,求X的分布列和數學期望;
(3)假設M表示事件“A餐廳推出優惠套餐”,N表示事件“某學生去A餐廳就餐”,,已知推出優惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大,證明:.
1.巴黎奧運會于2024年7月26日至8月11日舉行.某體育局為普及奧運知識,組織了答題活動.設置一個抽題箱,箱中有若干裝有題目的小球,小球大小、顏色、質量都一樣.每個小球內只有一道題目,每道題目只有一個分值,題目分值分別為2分、10分.抽取規則:每次從抽題箱抽取一個小球,對小球中題目作答后將該題目放回原球內,并把小球放回抽題箱,搖勻后,再抽取.已知2分題目小球被抽到的概率為,10分題目小球被抽到的概率為.
(1)若甲抽取3次,記表示甲3次抽取題目分值之和,求的分布列和數學期望.
(2)若甲、乙各抽取4次,已知甲前兩次抽出題目分值之和為20,記事件“乙抽出題目分值之和大于甲抽出題目分值之和”,求.
重難點突破:高等背景下的概統問題
【典例13-1】Catalan數列(卡特蘭數列)最早由我國清代數學家明安圖(1692-1765)在研究三角函數冪級數的推導過程中發現,成果發表于1774年出版的《割圜密率捷法》中,后由比利時數學家卡特蘭(Catalan,1814-1894)的名字來命名,該數列的通項被稱為第個Catalan數,其通項公式為.在組合數學中,有如下結論:由個和個構成的所有數列,中,滿足“對任意,都有”的數列的個數等于.
已知在數軸上,有一個粒子從原點出發,每秒向左或向右移動一個單位,且向左移動和向右移動的概率均為.
(1)設粒子第3秒末所處的位置為隨機變量(若粒子第一秒末向左移一個單位,則位置為;若粒子第一秒末向右移一個單位,則位置為1),求的分布列和數學期望;
(2)記第秒末粒子回到原點的概率為.
(i)求及;
(ii)設粒子在第秒末第一次回到原點的概率為,求.
【典例13-2】定義:由個數(;)排成的行列數表稱方陣,其中為方陣中第行第列的數.現有方陣,通過變換將變換為(例如通過可將變換為),其中為中第行第列的數,,.
(1)經過變換為,求;
(2)設集合,都有,首次變換滿足,記.
①求,;
②若,從集合中任取個數,表示兩數都為奇數的概率,證明:.
高等背景下的概統問題,綜合性較強,主要有以下類型:
1、馬爾科夫鏈背景命題.
2、馬爾科夫不等式與切比雪夫不等式背景命題.
3、最大似然估計背景命題.
4、卡蘭特數背景命題
5、邏輯斯蒂方程背景命題
6、二維離散型隨機變量背景命題
7、布爾代數背景命題
8、假設檢驗原理背景命題
【變式13-1】在概率論和統計學中用協方差來衡量兩個變量的總體誤差,對于離散型隨機變量,定義協方差為.將號碼分別為1,2,3,4的4個小球等可能地放入號碼分別為1,2,3,4的4個盒子中,每個盒子恰好放1個小球.
(1)求1號球不在1號盒子中,且2號球不在2號盒子中的概率;
(2)記所放小球號碼與盒子號碼相同的個數為,不同的個數為,求證:;
(3)結合實例,解釋協方差的實際含義.
1.母函數(又稱生成函數)就是一列用來展示一串數字的掛衣架.這是數學家赫伯特·維爾夫對母函數的一個形象且精妙的比喻.對于任意數列,即用如下方法與一個函數聯系起來:,則稱是數列的生成函數.例如:求方程的非負整數解的個數.設此方程的生成函數為,其中x的指數代表的值.,則非負整數解的個數為.若,則,可得,于是可得函數的收縮表達式為:.故(廣義的二項式定理:兩個數之和的任意實數次冪可以展開為類似項之和的恒等式)則根據以上材料,解決下述問題:定義“規范01數列”如下:共有項,其中m項為0,m項為1,且對任意,,不同的“規范01數列”個數記為.
(1)判斷以下數列是否為“規范01數列”;
①0,1,0,1,0,1;②0,0,1,1,1,0,0,1;③0,1,0,0,0,1,1,1.
(2)規定,計算,,,的值,歸納數列的遞推公式;
(3)設數列對應的生成函數為
①結合與之間的關系,推導的收縮表達式;
②求數列的通項公式.
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