資源簡(jiǎn)介

專題21 概率與統(tǒng)計(jì)常考小題歸類
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識(shí)梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測(cè) 5
05 核心精講·題型突破 9
題型一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表 9
題型二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征 10
題型三：傳統(tǒng)線性擬合 12
題型四：非線性擬合處理 13
題型五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn) 14
題型六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì) 15
題型七：正態(tài)分布 17
題型八：超幾何分布與二項(xiàng)分布 17
題型九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差 18
題型十：古典概型 20
題型十一：條件概率與全概率 21
題型十二：概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題 21
題型十三：新賽制概率問(wèn)題 23
重難點(diǎn)突破：遞推型概率命題 23
概率統(tǒng)計(jì)小題乃歷年高考必考項(xiàng)目，主要涵蓋三大方面：一是解析統(tǒng)計(jì)圖表、計(jì)算方差及平均數(shù)，這類題目通常要求考生能夠準(zhǔn)確理解并應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力有一定要求；二是求解古典概型問(wèn)題，這要求考生掌握古典概型的定義及計(jì)算方法，能夠準(zhǔn)確判斷事件的等可能性，并據(jù)此求解概率；三是涉及相互獨(dú)立事件及其概率乘法公式的應(yīng)用，這部分內(nèi)容要求考生理解獨(dú)立事件的概念，掌握概率乘法公式的使用方法，并能夠靈活應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中。
此類題目多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，難度適中，旨在檢驗(yàn)考生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及實(shí)際應(yīng)用能力。
考點(diǎn)要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)、中位數(shù) 掌握統(tǒng)計(jì)圖表分析，理解方差平均數(shù)中位數(shù) 2024年II卷第4題，5分 2023年上海卷第14題，4分 2022年甲卷第2題，5分 2021年甲卷第2題，5分 2021年I卷第9題，5分 預(yù)測(cè)2025年高考，概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容或?qū)㈩l繁以小題面貌亮相，亦可能巧妙融入解答題中，呈現(xiàn)相對(duì)獨(dú)立性。其中：（1）選擇題或填空題將側(cè)重于檢驗(yàn)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；（2）古典概型題目將成為熱門考點(diǎn)，備受矚目。
古典概型 理解古典概型定義，掌握概率計(jì)算方法 2024年I卷第14題，5分 2024年甲卷第16題，5分 2023年乙卷第9題，5分 2023年甲卷第4題，5分 2022年I卷第5題，5分 2022年甲卷第6題，5分
相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式 理解獨(dú)立事件概念，掌握概率乘法公式 2022年乙卷第10題，5分 2021年天津卷第14題，5分
回歸方程、正態(tài)分布 掌握回歸方程應(yīng)用，理解正態(tài)分布特性 2024年I卷第9題，6分 2023年天津卷第7題，5分 2021年II卷第5題，5分
1、加強(qiáng)識(shí)圖能力，理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系；折線圖注意上升趨勢(shì)以及波動(dòng)性；扇形圖數(shù)據(jù)可先用表格列出，再計(jì)算、判斷．
2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的，小矩形的面積，所有小矩形的面積之和為1．
3、求回歸方程
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過(guò)換元構(gòu)造線性相關(guān)．
（2）利用公式，求出回歸系數(shù)．
（3）待定系數(shù)法：利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)．
4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．
5、比較幾個(gè)分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法
（1）通過(guò)計(jì)算的大小判斷：越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．
（2）通過(guò)計(jì)算的大小判斷：越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．
6、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟
（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表．
（2）根據(jù)公式，計(jì)算的觀測(cè)值．
（3）比較與臨界值的大小關(guān)系，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷．
7、概率分布與不同知識(shí)背景結(jié)合考查對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力
（1）與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（2）與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（3）與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（4）與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（5）與其他背景結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
1．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表
畝產(chǎn)量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
頻數(shù) 6 12 18 30 24 10
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%
C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
4．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為 ．
5．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為 ；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為 ．
6．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
7．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無(wú)其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個(gè)球都是黑球的概率為 ；若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率為 ．
8．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）鳶是鷹科的一種鳥(niǎo)，《詩(shī)經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚(yú)躍余淵”. 鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量.通過(guò)隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度（單位：cm），繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（ ）
A．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系
B．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)
C．花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值為
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是
10．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
11．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（ ）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）
A． B．
C． D．
12．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差
D．的極差不大于的極差
13．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸 是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為
D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
題型一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表
【典例1-1】某廠質(zhì)檢員利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行抽樣調(diào)查，先將這600個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)：001，002，003，…，600．從中抽取120個(gè)樣本，下圖是隨機(jī)數(shù)表的第2行到第3行，若從隨機(jī)數(shù)表的第2行第5列開(kāi)始從左向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)編號(hào)是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098 B．147 C．513 D．310
【典例1-2】非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是文化多樣性中最富活力的重要組成部分，是人類文明的結(jié)晶和最寶貴的共同財(cái)富．某校為了解學(xué)生對(duì)當(dāng)?shù)胤沁z文化“川劇”的了解程度，現(xiàn)從高中部抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為，若利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人進(jìn)行調(diào)查，則抽取到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高三多（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
【變式1-1】國(guó)內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該制造企業(yè)內(nèi)的某車間有兩條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個(gè)鋰電池．質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知樣本中高能量密度鋰電池有35個(gè)，則估計(jì)低能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（ ）．
A．325個(gè) B．300個(gè) C．225個(gè) D．175個(gè)
1．從一個(gè)含有個(gè)個(gè)體的總體中抽取一容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為，三者關(guān)系可能是（ ）
A． B． C． D．
題型二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征
【典例2-1】豆瓣評(píng)分是將用戶評(píng)價(jià)的一到五星轉(zhuǎn)化為的分值（一星分，二星分，三星分，以此類推），以得分總和除以評(píng)分的用戶人數(shù)所得的數(shù)字，國(guó)慶愛(ài)國(guó)影片《長(zhǎng)津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共計(jì)有人參與評(píng)分，豆瓣評(píng)分表如圖．根據(jù)貓眼實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，該片的票房為億元，按照平均票價(jià)元來(lái)計(jì)算，大約有億人次觀看了此片，假如參與評(píng)分觀眾中有的評(píng)價(jià)不低于二星，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的值是
B．隨機(jī)抽取名觀眾，則不一定有人評(píng)價(jià)五星
C．若以頻率當(dāng)作概率，記事件為“評(píng)價(jià)是一星”，事件為“評(píng)價(jià)不高于二星”，則
D．若從已作評(píng)價(jià)的觀眾中隨機(jī)抽出人，則事件“至多人評(píng)價(jià)五星”與事件“恰有人評(píng)價(jià)五星”是互斥且不對(duì)立事件
【典例2-2】將某大型出版公司所有打字員每分鐘的平均打字?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，則可以估計(jì)該公司打字員每分鐘的平均打字?jǐn)?shù)的中位數(shù)為（ ）
A．380 B．360 C．340 D．320
【變式2-1】已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖（1）、（2）表示，記甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)和方差分別為、、、，則它們的大小關(guān)系是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
1．某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短期；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠.該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表.則下列說(shuō)法中一定錯(cuò)誤的是（ ）
A．丁險(xiǎn)種參保人數(shù)超過(guò)五成 B．41歲以上參保人數(shù)超過(guò)總參保人數(shù)的五成
C．18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少 D．人均參保費(fèi)用不超過(guò)5000元
題型三：傳統(tǒng)線性擬合
【典例3-1】已知個(gè)點(diǎn)大致呈線性分布，其中，且數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，則的最小值為 ．
【典例3-2】已知和之間的一組數(shù)據(jù)如右表；與線性相關(guān)，且回歸方程為，為的方差的0.6倍，則當(dāng)時(shí)， .
0 1 2 3
5
【變式3-1】商家項(xiàng)目投資的利潤(rùn)產(chǎn)生是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)果．它與項(xiàng)目落地國(guó)的商業(yè)環(huán)境，政府執(zhí)政能力，法律生態(tài)等都有重大的關(guān)聯(lián)．如表所示是某項(xiàng)目在中國(guó)和南亞某國(guó)投資額和相應(yīng)利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)表．
項(xiàng)目落地國(guó) 中國(guó) 南亞某國(guó)
投資額x（億元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利潤(rùn)y（億元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
請(qǐng)選擇平均利潤(rùn)較高的落地國(guó)，用最小二乘法求出回歸直線方程為 ．參考數(shù)據(jù)和公式：，中國(guó)，南亞某國(guó)，，．
1．某科研團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)向日葵花盤中所含的二萜化合物對(duì)灰葡萄孢菌具有良好的抗菌活性，能通過(guò)破壞細(xì)胞膜完整性等方式來(lái)抑制病原菌生長(zhǎng)，增加果蔬的保鮮時(shí)長(zhǎng)．通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到不同濃度的二萜化合物對(duì)灰葡萄孢菌的抑制率如下表：
二萜化合物濃度 20 40 60 80 100
抑制率 10 15 18 21 25
若呈線性相關(guān)，且滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，抑制率的值為 ．
題型四：非線性擬合處理
【典例4-1】已知，之間的一組數(shù)據(jù)：
1 4 9 16
1 2.98 5.01 7.01
若與滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則此曲線必過(guò)點(diǎn) .
【典例4-2】害蟲(chóng)防控對(duì)于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某種害蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)（單位：個(gè)）與溫度（單位：）有關(guān)，測(cè)得一組數(shù)據(jù)，可用模型進(jìn)行擬合，利用變換得到的線性回歸方程為.若，則的值為 .
【變式4-1】為了反映城市的人口數(shù)量x與就業(yè)壓力指數(shù)y之間的變量關(guān)系，研究人員選擇使用非線性回歸模型對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并設(shè)，得到的數(shù)據(jù)如表所示，則 .
x 4 6 8 10
z 2 c 5 6
1．一只紅鈴蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)測(cè)得一組數(shù)據(jù)，可用模型擬合，設(shè)，其變換后的線性回歸方程為，若，，為自然常數(shù)，則 .
題型五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn)
【典例5-1】下面是列聯(lián)表：
合計(jì)
21 73
22 25 47
合計(jì) 46 120
則表中，的值分別為（ ）
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52
【典例5-2】年月日太原地鐵號(hào)線開(kāi)通，在一定程度上緩解了市內(nèi)交通的擁堵?tīng)顩r，為了了解市民對(duì)地鐵號(hào)線開(kāi)通的關(guān)注情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)在地鐵開(kāi)通后兩天抽取了部分乘坐地鐵的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)．并制作出如下等高堆積條形圖：
根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．樣本中男性比女性更關(guān)注地鐵號(hào)線開(kāi)通
B．樣本中多數(shù)女性是歲及以上
C．樣本中歲以下的男性人數(shù)比歲及以上的女性人數(shù)多
D．樣本中歲及以上的人對(duì)地鐵號(hào)線的開(kāi)通關(guān)注度更高
【變式5-1】對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．的值越大，說(shuō)明兩事件相關(guān)程度越大
B．的值越小，說(shuō)明兩事件相關(guān)程度越小
C．時(shí)，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為事件與有關(guān)
D．時(shí)，則可以大概率認(rèn)為事件與有關(guān)
1．某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡某視頻是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的一半，男生喜歡該視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡該視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的，若依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡該視頻和性別有關(guān)，則男生至少有（ ）
附：
0.050 0.010
3.841 6.635
.
A．12人 B．6人 C．10人 D．18人
題型六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì)
【典例6-1】定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)的“N數(shù)”為：在P點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，如：，若點(diǎn)P的坐標(biāo)，則所有這些點(diǎn)P的“N數(shù)”的平均值與最小值之差為（ ）
A． B．2 C． D．
【典例6-2】一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差.下圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖
根據(jù)折線圖，判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．無(wú)法確定
【變式6-1】（多選題）為了估計(jì)一批產(chǎn)品的不合格品率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本容量為的樣本，定義，于是，，，記（其中或1，），稱表示為參數(shù)的似然函數(shù)．極大似然估計(jì)法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A，B，C，…，若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大. 極大似然估計(jì)是一種用給定觀察數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)估模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，即“模型已定，參數(shù)未知”，通過(guò)若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用試驗(yàn)結(jié)果得到某個(gè)參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大．根據(jù)以上原理，下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱有99個(gè)白球1個(gè)黑球，乙箱有1個(gè)白球99個(gè)黑球．今隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺颍Y(jié)果取得白球，那么該球一定是從甲箱子中抽出的
B．一個(gè)池塘里面有鯉魚(yú)和草魚(yú)，打撈了100條魚(yú)，其中鯉魚(yú)80條，草魚(yú)20條，那么推測(cè)鯉魚(yú)和草魚(yú)的比例為4:1時(shí)，出現(xiàn)80條鯉魚(yú)、20條草魚(yú)的概率是最大的
C．
D．達(dá)到極大值時(shí)，參數(shù)的極大似然估計(jì)值為
1．某批零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，規(guī)定時(shí)零件合格，從這批產(chǎn)品中抽取件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則的最小值為 .
題型七：正態(tài)分布
【典例7-1】某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每次投籃次數(shù)為n，，，每次投籃的命中率都為p，隨機(jī)變量表示投籃命中的次數(shù)，服從二項(xiàng)分布，記，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知該同學(xué)每次投籃的命中率均為0.5，每次投籃命中得2分，不中得0分．若，則該同學(xué)投中次數(shù)的期望為 次；若保證該同學(xué)n次投籃總得分在區(qū)間的概率不低于0.8，則n的最小值為 ．
附：，則，．
【典例7-2】已知隨機(jī)變量，且正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【變式7-1】若隨機(jī)變量，，，則的最小值為 ．
1．某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)誤差為實(shí)驗(yàn)次數(shù)．要求的概率低于，則至少需做 次實(shí)驗(yàn)（，在該實(shí)驗(yàn)的誤差估計(jì)中，可認(rèn)為）．
題型八：超幾何分布與二項(xiàng)分布
【典例8-1】某班班主任為了解班級(jí)學(xué)生每周的體育鍛煉情況進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)班級(jí)中有20人每周的體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)，若從班級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取的15人中有7人每周的體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)，估計(jì)班級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為 ．（記為抽取的每周的體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，以使得最大的班級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為估計(jì)值）
【典例8-2】某校在一次“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的探究活動(dòng)中，該校數(shù)學(xué)第一小組的學(xué)生同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)異，探究數(shù)學(xué)的奧秘.設(shè)隨機(jī)變量，記，在探究的最大值時(shí)，小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)為正整數(shù)，則，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；當(dāng)為非整數(shù)，取的整數(shù)部分，是唯一的最大值.以此為理論依據(jù)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚大小均勻的骰子實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)5次，再進(jìn)行80次投擲實(shí)驗(yàn)，當(dāng)投擲到100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)6總共出現(xiàn)的次數(shù)為 的概率最大.
【變式8-1】口袋中裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，從中任取兩個(gè)球，用X表示取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望 .
1．二項(xiàng)分布和正態(tài)分布是兩類常見(jiàn)的分布模型，在實(shí)際運(yùn)算中二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布近似運(yùn)算.即：若隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，可以用服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情況下當(dāng)時(shí)，就有很好的近似效果.該方法也稱為棣莫佛——拉普拉斯極限定理.如果隨機(jī)拋一枚硬幣次，設(shè)正面向上的概率為，則“正面向上的次數(shù)大于50、小于60”的概率近似為 .(結(jié)果保留三位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：若，則，，
題型九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差
【典例9-1】“四書(shū)”是《大學(xué)》、《中庸》、《論語(yǔ)》、《孟子》的合稱，又稱“四子書(shū)”，在世界文化、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義．為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃開(kāi)展“四書(shū)”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng)，某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》、《中庸》、《論語(yǔ)》、《孟子》這4本書(shū)中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書(shū)均不相同，比賽時(shí)有以下兩種方案：（1）這四位同學(xué)從這4本書(shū)中有放回隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容背誦，記抽到自己準(zhǔn)備的書(shū)的人數(shù)為的人數(shù)X，（2）這四位同學(xué)從這4本書(shū)中不放回隨機(jī)抽取一本選擇其中的內(nèi)容背誦，記抽到自己準(zhǔn)備的書(shū)的人數(shù)為的人數(shù)Y，則有（ ）
A． B．
C． D．
【典例9-2】飛行棋是一種家喻戶曉的競(jìng)技游戲，玩家根據(jù)骰子（骰子為均勻的正六面體）正面朝上的點(diǎn)數(shù)確定飛機(jī)往前走的步數(shù)，剛好走到終點(diǎn)處算“到達(dá)”，如果玩家投擲的骰子點(diǎn)數(shù)超出到達(dá)終點(diǎn)所需的步數(shù)，則飛機(jī)須往回走超出點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的步數(shù)．在一次游戲中，飛機(jī)距終點(diǎn)只剩3步（如圖所示），設(shè)該玩家到達(dá)終點(diǎn)時(shí)投擲骰子的次數(shù)為X，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【變式9-1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一直到出現(xiàn)正面向上時(shí)或拋滿100次時(shí)結(jié)束，設(shè)拋擲的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（ ）
A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．與2的大小無(wú)法確定
1．a(chǎn)、 b、 n均為正整數(shù)， A袋子中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球 (大小質(zhì)地均相同)，從中依次有放回的摸出n個(gè)球，記摸出球中白球的數(shù)目為X；B袋子中有a張數(shù)字卡牌，b張字母卡牌(大小質(zhì)地均相同)，從中一次性摸出n張卡牌，記摸出卡牌中數(shù)字卡牌的數(shù)目為Y .下列選項(xiàng)中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
題型十：古典概型
【典例10-1】如圖，有一個(gè)觸屏感應(yīng)燈，該燈共有9個(gè)燈區(qū)，每個(gè)燈區(qū)都處于“點(diǎn)亮”或“熄滅”狀態(tài)，觸按其中一個(gè)燈區(qū)，將導(dǎo)致該燈區(qū)及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區(qū)改變狀態(tài)．假設(shè)起初所有燈區(qū)均處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，若從中隨機(jī)先后按下兩個(gè)不同燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為 ．
【典例10-2】如圖， 是正八邊形 的中心，從其八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)取出四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，則可作平行四邊形的概率為 ，則可作梯形的概率為 . (用數(shù)字作答)
【變式10-1】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比不為1，若在的前20項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來(lái)的順序仍然成等比數(shù)列的概率為 .（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）
1．冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計(jì)算，最終都將會(huì)得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)6，則進(jìn)行這種反復(fù)運(yùn)算的過(guò)程為，即按照這種運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行8次運(yùn)算后得到1．若從正整數(shù)3，11，12，13，14中任取2個(gè)數(shù)按照上述運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，則運(yùn)算次數(shù)均被4整除余1的概率為 ．
題型十一：條件概率與全概率
【典例11-1】有6名研究員進(jìn)入A、B、C三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙，則恰有4名研究員在A艙的條件下甲和乙在A艙的概率為（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒(méi)有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球：再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)為（ ）
A． B．
C． D．
【變式11-1】某校教工食堂為更好地服務(wù)教師，在教師微信群中發(fā)起“是否喜歡菜品”的點(diǎn)贊活動(dòng)，參與活動(dòng)的男、女教師總?cè)藬?shù)比例為，男教師點(diǎn)贊人數(shù)占（參與活動(dòng)的）男教師總?cè)藬?shù)的，女教師點(diǎn)贊人數(shù)占（參與活動(dòng)的）女教師總?cè)藬?shù)的，若從點(diǎn)贊教師中選擇一人，則該教師為女教師的概率為（ ）
A． B． C． D．
1．春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知A，B，C三個(gè)地區(qū)分別有，，的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是5:8:9，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來(lái)自B地區(qū)的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
題型十二：概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題
【典例12-1】某校高三年級(jí)有男生660人，女生440人，現(xiàn)按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取5人組成某活動(dòng)志愿者小隊(duì)，再?gòu)谋怀槿〉倪@5人中抽取2人作為志愿者小隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)，則恰有1名男隊(duì)長(zhǎng)的概率為 .
【典例12-2】泊松分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，當(dāng)很大且很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中，即．現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個(gè)該種元件，則抽到的次品的個(gè)數(shù)小于2的概率約為 ．（參考數(shù)據(jù)：）
【變式12-1】某校有8名學(xué)生參加物理知識(shí)競(jìng)賽，其成績(jī)?nèi)缦拢?5，71，78，82，85，88，90，93，假設(shè)這8名學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是N.若在這8人中隨機(jī)選取兩人，則這兩人的成績(jī)都低于N的概率為 ．
1．某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．則當(dāng)漏診率時(shí)，誤診率 .
題型十三：新賽制概率問(wèn)題
【典例13-1】隨著阿根廷隊(duì)的奪冠，2022年卡塔爾足球世界杯落下帷幕.根據(jù)足球比賽規(guī)則，兩支球隊(duì)先進(jìn)行90分鐘常規(guī)賽.若比分相同，則進(jìn)行30分鐘加時(shí)賽；如果在加時(shí)賽比分依舊相同，則進(jìn)入5球點(diǎn)球大賽.若甲、乙兩隊(duì)在常規(guī)賽與加時(shí)賽中得分均相同，則甲、乙兩隊(duì)輪流進(jìn)行5輪點(diǎn)球射門，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球不得分.假設(shè)甲隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.8，乙隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.5，且在前兩輪點(diǎn)球中，乙隊(duì)領(lǐng)先一球，已知每輪點(diǎn)球大賽結(jié)果相互獨(dú)立，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為 .
【典例13-2】在立德學(xué)校舉辦的春季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲、乙兩位教師進(jìn)行某項(xiàng)比賽，采取七局四勝制（當(dāng)一人贏得四局時(shí)就獲勝，比賽結(jié)束）．根據(jù)甲、乙兩人多次比賽的成績(jī)統(tǒng)計(jì)，每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則乙在第一局負(fù)的情況下獲勝的概率是 ．
【變式13-1】甲，乙兩人組成的“夢(mèng)隊(duì)”參加籃球機(jī)器人比賽，比賽分為自主傳球，自主投籃2個(gè)環(huán)節(jié)，其中任何一人在每個(gè)環(huán)節(jié)獲勝得2分，失敗得0分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)節(jié)之間也互不影響.若甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，乙在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為p，且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2的概率為，則p的值為 ，“夢(mèng)隊(duì)”在比賽中得分不低于6分的概率為 .
1．校乒乓球錦標(biāo)賽共有位運(yùn)動(dòng)員參加.第一輪，運(yùn)動(dòng)員們隨機(jī)配對(duì)，共有場(chǎng)比賽，勝者進(jìn)入第二輪，負(fù)者淘汰.第二輪在同樣的過(guò)程中產(chǎn)生名勝者.如此下去，直到第n輪決出總冠軍，實(shí)際上，在運(yùn)動(dòng)員之間有一個(gè)不為比賽組織者所知的水平排序，在這個(gè)排序中 最好，次之， …，最差，假設(shè)任意兩場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，不存在平局，且 當(dāng)與比賽時(shí)，獲勝的概率為p，其中 ，求最后一輪比賽在水平最高的兩名運(yùn)動(dòng)員與之間進(jìn)行的概率為
重難點(diǎn)突破：遞推型概率命題
【典例14-1】甲，乙，丙，丁4人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，經(jīng)過(guò)兩次傳球后，球在乙手中的概率為 ；經(jīng)過(guò)次傳球后，球在甲手中的概率為 （用含有的式子表示）.
【典例14-2】“布朗運(yùn)動(dòng)”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉(cāng)組成，某粒子做布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉(cāng)，已知該粒子的初始位置在2號(hào)倉(cāng). 則粒子經(jīng)過(guò)次隨機(jī)選擇后到達(dá)2號(hào)倉(cāng)的概率=

【變式14-1】如圖，一只螞蟻從正四面體 的頂點(diǎn) 出發(fā)，每一步 (均為等可能性的)經(jīng)過(guò)一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，設(shè)該螞蟻經(jīng)過(guò) 步回到點(diǎn) 的概率 ，則 ， .
【變式14-2】近年來(lái)，我國(guó)外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風(fēng)景線.他們根據(jù)外賣平臺(tái)提供的信息到外賣店取單.某外賣小哥每天來(lái)往于10個(gè)外賣店（外賣店的編號(hào)分別為1，2，…，10），約定：每天他首先從1號(hào)外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余9個(gè)外賣店中的任何一個(gè)店取單叫做第2次取單，依此類推.假設(shè)從第2次取單開(kāi)始，他每次都是從上次取單的店之外的9個(gè)外賣店取單，設(shè)事件{第次取單恰好是從1號(hào)店取單}，是事件發(fā)生的概率，顯然，，則 ， （第二空精確到0.01）.
1．甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則第3次傳球后球在乙手中的概率為 ，第n次傳球后球在乙手中的概率為 ．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題21 概率與統(tǒng)計(jì)常考小題歸類
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識(shí)梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測(cè) 5
05 核心精講·題型突破 15
題型一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表 15
題型二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征 16
題型三：傳統(tǒng)線性擬合 20
題型四：非線性擬合處理 22
題型五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn) 23
題型六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì) 27
題型七：正態(tài)分布 30
題型八：超幾何分布與二項(xiàng)分布 32
題型九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差 35
題型十：古典概型 38
題型十一：條件概率與全概率 42
題型十二：概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題 44
題型十三：新賽制概率問(wèn)題 46
重難點(diǎn)突破：遞推型概率命題 48
概率統(tǒng)計(jì)小題乃歷年高考必考項(xiàng)目，主要涵蓋三大方面：一是解析統(tǒng)計(jì)圖表、計(jì)算方差及平均數(shù)，這類題目通常要求考生能夠準(zhǔn)確理解并應(yīng)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)的處理能力有一定要求；二是求解古典概型問(wèn)題，這要求考生掌握古典概型的定義及計(jì)算方法，能夠準(zhǔn)確判斷事件的等可能性，并據(jù)此求解概率；三是涉及相互獨(dú)立事件及其概率乘法公式的應(yīng)用，這部分內(nèi)容要求考生理解獨(dú)立事件的概念，掌握概率乘法公式的使用方法，并能夠靈活應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中。
此類題目多以選擇、填空的形式出現(xiàn)，難度適中，旨在檢驗(yàn)考生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及實(shí)際應(yīng)用能力。
考點(diǎn)要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
統(tǒng)計(jì)圖表、方差、平均數(shù)、中位數(shù) 掌握統(tǒng)計(jì)圖表分析，理解方差平均數(shù)中位數(shù) 2024年II卷第4題，5分 2023年上海卷第14題，4分 2022年甲卷第2題，5分 2021年甲卷第2題，5分 2021年I卷第9題，5分 預(yù)測(cè)2025年高考，概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容或?qū)㈩l繁以小題面貌亮相，亦可能巧妙融入解答題中，呈現(xiàn)相對(duì)獨(dú)立性。其中：（1）選擇題或填空題將側(cè)重于檢驗(yàn)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；（2）古典概型題目將成為熱門考點(diǎn)，備受矚目。
古典概型 理解古典概型定義，掌握概率計(jì)算方法 2024年I卷第14題，5分 2024年甲卷第16題，5分 2023年乙卷第9題，5分 2023年甲卷第4題，5分 2022年I卷第5題，5分 2022年甲卷第6題，5分
相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式 理解獨(dú)立事件概念，掌握概率乘法公式 2022年乙卷第10題，5分 2021年天津卷第14題，5分
回歸方程、正態(tài)分布 掌握回歸方程應(yīng)用，理解正態(tài)分布特性 2024年I卷第9題，6分 2023年天津卷第7題，5分 2021年II卷第5題，5分
1、加強(qiáng)識(shí)圖能力，理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系；折線圖注意上升趨勢(shì)以及波動(dòng)性；扇形圖數(shù)據(jù)可先用表格列出，再計(jì)算、判斷．
2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的，小矩形的面積，所有小矩形的面積之和為1．
3、求回歸方程
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān)，如不是，應(yīng)通過(guò)換元構(gòu)造線性相關(guān)．
（2）利用公式，求出回歸系數(shù)．
（3）待定系數(shù)法：利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)．
4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．
5、比較幾個(gè)分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法
（1）通過(guò)計(jì)算的大小判斷：越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．
（2）通過(guò)計(jì)算的大小判斷：越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．
6、獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟
（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表．
（2）根據(jù)公式，計(jì)算的觀測(cè)值．
（3）比較與臨界值的大小關(guān)系，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷．
7、概率分布與不同知識(shí)背景結(jié)合考查對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力
（1）與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（2）與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（3）與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（4）與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
（5）與其他背景結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題
1．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法一：畫出樹(shù)狀圖，如圖，
由樹(shù)狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數(shù)顯然是，
根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
2．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1.
故選：A
3．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表
畝產(chǎn)量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
頻數(shù) 6 12 18 30 24 10
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%
C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
【答案】C
【解析】對(duì)于 A, 根據(jù)頻數(shù)分布表可知, ,
所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于 , 故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，
所以低于的稻田占比為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；
對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯(cuò)誤.
故選；C.
4．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為 ．
【答案】
【解析】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當(dāng)，則，則為：
，
，
故有16種，
當(dāng)，則，同理有16種，
當(dāng)，則，同理有10種，
當(dāng)，則，同理有2種，
共與的差的絕對(duì)值不超過(guò)時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，
故所求概率為.
故答案為：
5．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為 ；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為 ．
【答案】
【解析】解法一：列舉法
給這5個(gè)項(xiàng)目分別編號(hào)為,從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：
,共10種情況，
其中甲選到有6種可能性：，
則甲參加“整地做畦”的概率為：；
乙選活動(dòng)有6種可能性：，
其中再選擇有3種可能性：，
故乙參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為.
解法二：
設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，
則甲選到的概率為；
乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為
故答案為：；
6．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
【答案】/0.5
【解析】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.
對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌組合有六種，從而甲在該輪得分的概率，所以.
從而.
記.
如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，兩式相減即得，故.
所以甲的總得分不小于2的概率為.
故答案為：.
7．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無(wú)其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個(gè)球都是黑球的概率為 ；若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率為 ．
【答案】 /
【解析】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，
所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
乙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
丙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；
記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以，
；
記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，
黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，
所以，．
故答案為：；．
8．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)閰^(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，
則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角，
結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率.
故選：C.
9．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）鳶是鷹科的一種鳥(niǎo)，《詩(shī)經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚(yú)躍余淵”. 鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量.通過(guò)隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度（單位：cm），繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（ ）
A．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系
B．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)
C．花萼長(zhǎng)度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值為
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是
【答案】C
【解析】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤
散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，
把代入可得，C選項(xiàng)正確；
由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來(lái)一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤
故選：C
10．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【解析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.
故選：D.
11．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（ ）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】依題可知，，所以，
故，C正確，D錯(cuò)誤；
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>而，B正確，A錯(cuò)誤，
故選：BC．
12．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（ ）
A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)
B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)
C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差
D．的極差不大于的極差
【答案】BD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，
則，
因?yàn)闆](méi)有確定的大小關(guān)系，所以無(wú)法判斷的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，
可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈担亲畲笾担?br/>則的波動(dòng)性不大于的波動(dòng)性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，
例如：，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
，則平均數(shù)，
標(biāo)準(zhǔn)差，
顯然，即；故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；
故選：BD.
13．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸 是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為
D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，
它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；
對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，
是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，
它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；
對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，
單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，
因此，即，D正確.
故選：ABD
題型一：抽樣方法與隨機(jī)數(shù)表
【典例1-1】某廠質(zhì)檢員利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行抽樣調(diào)查，先將這600個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)：001，002，003，…，600．從中抽取120個(gè)樣本，下圖是隨機(jī)數(shù)表的第2行到第3行，若從隨機(jī)數(shù)表的第2行第5列開(kāi)始從左向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)編號(hào)是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098 B．147 C．513 D．310
【答案】C
【解析】由題意可知得到的編號(hào)依次為231，023，147，098，513，…，則得到的第5個(gè)編號(hào)是513.
故選：C.
【典例1-2】非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是文化多樣性中最富活力的重要組成部分，是人類文明的結(jié)晶和最寶貴的共同財(cái)富．某校為了解學(xué)生對(duì)當(dāng)?shù)胤沁z文化“川劇”的了解程度，現(xiàn)從高中部抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為，若利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人進(jìn)行調(diào)查，則抽取到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高三多（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】C
【解析】由題意，采用分層抽樣的方法，應(yīng)從高一年級(jí)抽取人，
從高三年級(jí)抽取人，則抽取到的高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)比高三多人．
故選：C
【變式1-1】國(guó)內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該制造企業(yè)內(nèi)的某車間有兩條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個(gè)鋰電池．質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)抽樣的方法隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知樣本中高能量密度鋰電池有35個(gè)，則估計(jì)低能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（ ）．
A．325個(gè) B．300個(gè) C．225個(gè) D．175個(gè)
【答案】C
【解析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知低能量密度鋰電池的產(chǎn)量為（個(gè)）．
故選：C
1．從一個(gè)含有個(gè)個(gè)體的總體中抽取一容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機(jī)數(shù)法和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為，三者關(guān)系可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)樵诔楹灧ǔ闃印㈦S機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽中的概率均為，
所以.
故選：B.
題型二：統(tǒng)計(jì)圖表及其數(shù)字特征
【典例2-1】豆瓣評(píng)分是將用戶評(píng)價(jià)的一到五星轉(zhuǎn)化為的分值（一星分，二星分，三星分，以此類推），以得分總和除以評(píng)分的用戶人數(shù)所得的數(shù)字，國(guó)慶愛(ài)國(guó)影片《長(zhǎng)津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共計(jì)有人參與評(píng)分，豆瓣評(píng)分表如圖．根據(jù)貓眼實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，該片的票房為億元，按照平均票價(jià)元來(lái)計(jì)算，大約有億人次觀看了此片，假如參與評(píng)分觀眾中有的評(píng)價(jià)不低于二星，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的值是
B．隨機(jī)抽取名觀眾，則不一定有人評(píng)價(jià)五星
C．若以頻率當(dāng)作概率，記事件為“評(píng)價(jià)是一星”，事件為“評(píng)價(jià)不高于二星”，則
D．若從已作評(píng)價(jià)的觀眾中隨機(jī)抽出人，則事件“至多人評(píng)價(jià)五星”與事件“恰有人評(píng)價(jià)五星”是互斥且不對(duì)立事件
【答案】C
【解析】對(duì)A選項(xiàng)，參與評(píng)價(jià)的觀眾中有的評(píng)價(jià)不低于二星，
則，所以，故A正確；
對(duì)B選項(xiàng)，隨機(jī)抽取名觀眾，可能有人評(píng)價(jià)五星，但不是一定的，故B正確；
對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義可知，
事件“至多人評(píng)價(jià)五星”與事件“恰有人評(píng)價(jià)五星”是互斥且不對(duì)立事件，故D正確.
故選：C.
【典例2-2】將某大型出版公司所有打字員每分鐘的平均打字?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，則可以估計(jì)該公司打字員每分鐘的平均打字?jǐn)?shù)的中位數(shù)為（ ）
A．380 B．360 C．340 D．320
【答案】B
【解析】由圖可知，前三個(gè)矩形的面積依次為0.02，0.18，0.4，
，
故所求中位數(shù)為.
故選：B
【變式2-1】已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖（1）、（2）表示，記甲、乙兩組數(shù)的平均數(shù)和方差分別為、、、，則它們的大小關(guān)系是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】，
故，
，
，故，
故選：B.
1．某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短期；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠.該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表.則下列說(shuō)法中一定錯(cuò)誤的是（ ）
A．丁險(xiǎn)種參保人數(shù)超過(guò)五成 B．41歲以上參保人數(shù)超過(guò)總參保人數(shù)的五成
C．18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少 D．人均參保費(fèi)用不超過(guò)5000元
【答案】B
【解析】對(duì)于A，由條形圖可知丁險(xiǎn)種參保比例為，
超過(guò)五成，故A正確；
對(duì)于B，由扇形圖可知，41歲以上參保人數(shù)占比：，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由扇形圖與折線圖可知18－29周歲人群參保人數(shù)占比，
人均參保費(fèi)用在，而54歲及以上人群參保比例雖，
但人均參保費(fèi)用在6000，所以18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少，故C正確；
對(duì)于D，由扇形圖與折線圖可知，人均參保費(fèi)用約
，
不超過(guò)5000元，故D正確.
故選：B
題型三：傳統(tǒng)線性擬合
【典例3-1】已知個(gè)點(diǎn)大致呈線性分布，其中，且數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】回歸直線經(jīng)過(guò)，
且，
代入回歸方程得：，
即，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：.
【典例3-2】已知和之間的一組數(shù)據(jù)如右表；與線性相關(guān)，且回歸方程為，為的方差的0.6倍，則當(dāng)時(shí)， .
0 1 2 3
5
【答案】/
【解析】由表格可得的平均值，
則，
由表格可得的平均值，
將代入回歸直線，可得，解得，
則，當(dāng)，則.
故答案為：.
【變式3-1】商家項(xiàng)目投資的利潤(rùn)產(chǎn)生是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)果．它與項(xiàng)目落地國(guó)的商業(yè)環(huán)境，政府執(zhí)政能力，法律生態(tài)等都有重大的關(guān)聯(lián)．如表所示是某項(xiàng)目在中國(guó)和南亞某國(guó)投資額和相應(yīng)利潤(rùn)的統(tǒng)計(jì)表．
項(xiàng)目落地國(guó) 中國(guó) 南亞某國(guó)
投資額x（億元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利潤(rùn)y（億元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
請(qǐng)選擇平均利潤(rùn)較高的落地國(guó)，用最小二乘法求出回歸直線方程為 ．參考數(shù)據(jù)和公式：，中國(guó)，南亞某國(guó)，，．
【答案】
【解析】?jī)蓢?guó)的平均利潤(rùn)分別為和，故中國(guó)的平均利潤(rùn)較高.
根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)，有，.
故答案為：.
1．某科研團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)向日葵花盤中所含的二萜化合物對(duì)灰葡萄孢菌具有良好的抗菌活性，能通過(guò)破壞細(xì)胞膜完整性等方式來(lái)抑制病原菌生長(zhǎng)，增加果蔬的保鮮時(shí)長(zhǎng)．通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到不同濃度的二萜化合物對(duì)灰葡萄孢菌的抑制率如下表：
二萜化合物濃度 20 40 60 80 100
抑制率 10 15 18 21 25
若呈線性相關(guān)，且滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，抑制率的值為 ．
【答案】
【解析】由題得，，
所以，解得，
可得，
當(dāng)時(shí)，．
故答案為：
題型四：非線性擬合處理
【典例4-1】已知，之間的一組數(shù)據(jù)：
1 4 9 16
1 2.98 5.01 7.01
若與滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則此曲線必過(guò)點(diǎn) .
【答案】
【解析】依題意，的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，
所以此曲線必過(guò)點(diǎn).
故答案為：
【典例4-2】害蟲(chóng)防控對(duì)于提高農(nóng)作物產(chǎn)量具有重要意義.已知某種害蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)（單位：個(gè)）與溫度（單位：）有關(guān)，測(cè)得一組數(shù)據(jù)，可用模型進(jìn)行擬合，利用變換得到的線性回歸方程為.若，則的值為 .
【答案】
【解析】對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得；
即，可得
由可得，
代入可得，即，所以.
故答案為：
【變式4-1】為了反映城市的人口數(shù)量x與就業(yè)壓力指數(shù)y之間的變量關(guān)系，研究人員選擇使用非線性回歸模型對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并設(shè)，得到的數(shù)據(jù)如表所示，則 .
x 4 6 8 10
z 2 c 5 6
【答案】3
【解析】，，
依題意，，
而回歸直線方程過(guò)點(diǎn)，故，解得.
故答案為：3
1．一只紅鈴蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)測(cè)得一組數(shù)據(jù)，可用模型擬合，設(shè)，其變換后的線性回歸方程為，若，，為自然常數(shù)，則 .
【答案】
【解析】經(jīng)過(guò)變換后，得到，根據(jù)題意，故，又，故，，故，于是回歸方程為一定經(jīng)過(guò)，故，解得，即，于是.
故答案為：.
題型五：傳統(tǒng)獨(dú)立性檢驗(yàn)
【典例5-1】下面是列聯(lián)表：
合計(jì)
21 73
22 25 47
合計(jì) 46 120
則表中，的值分別為（ ）
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52
【答案】C
【解析】因?yàn)椋裕郑裕?br/>故選：C.
【典例5-2】年月日太原地鐵號(hào)線開(kāi)通，在一定程度上緩解了市內(nèi)交通的擁堵?tīng)顩r，為了了解市民對(duì)地鐵號(hào)線開(kāi)通的關(guān)注情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)在地鐵開(kāi)通后兩天抽取了部分乘坐地鐵的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)．并制作出如下等高堆積條形圖：
根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）
A．樣本中男性比女性更關(guān)注地鐵號(hào)線開(kāi)通
B．樣本中多數(shù)女性是歲及以上
C．樣本中歲以下的男性人數(shù)比歲及以上的女性人數(shù)多
D．樣本中歲及以上的人對(duì)地鐵號(hào)線的開(kāi)通關(guān)注度更高
【答案】C
【解析】設(shè)等高條形圖對(duì)應(yīng)列聯(lián)表如下：
歲及以上 歲以下 總計(jì)
男性
女性
總計(jì)
根據(jù)第個(gè)等高條形圖可知，歲及以上男性比歲及以上女性多，即；
歲以下男性比歲以下女性多，即．
根據(jù)第個(gè)等高條形圖可知，男性中歲及以上的比歲以下的多，即；
女性中歲及以上的比歲以下的多，即，
對(duì)于A，男性人數(shù)為，女性人數(shù)為，
因?yàn)椋裕訟正確；
對(duì)于B，歲及以上女性人數(shù)為，歲以下女性人數(shù)為，
因?yàn)椋訠正確；
對(duì)于C，歲以下男性人數(shù)為，歲及以上女性人數(shù)為，
無(wú)法從圖中直接判斷與的大小關(guān)系，所以C不一定正確；
對(duì)于D，歲及以上的人數(shù)為，歲以下的人數(shù)為，
因?yàn)椋裕訢正確．
故選：C.
【變式5-1】對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．的值越大，說(shuō)明兩事件相關(guān)程度越大
B．的值越小，說(shuō)明兩事件相關(guān)程度越小
C．時(shí)，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為事件與有關(guān)
D．時(shí)，則可以大概率認(rèn)為事件與有關(guān)
【答案】C
【解析】對(duì)于A,B,因觀測(cè)值，的值越大，越大，事件A與事件B關(guān)系越強(qiáng)；反之，事件A與事件B關(guān)系越弱,故A,B項(xiàng)均正確；
對(duì)于C，D，因只有時(shí)，說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為事件與有關(guān)，而，故C錯(cuò)誤；D正確.
故選：C.
1．某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡某視頻是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的一半，男生喜歡該視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡該視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的，若依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為喜歡該視頻和性別有關(guān)，則男生至少有（ ）
附：
0.050 0.010
3.841 6.635
.
A．12人 B．6人 C．10人 D．18人
【答案】A
【解析】設(shè)被調(diào)查的男生人數(shù)為，則被調(diào)查的女生人數(shù)為，則列聯(lián)表為
性別 付某視頻的態(tài)度 合
喜歡 不喜歡 計(jì)
男生
女生
合計(jì)
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，
認(rèn)為喜歡某視頻和性別有關(guān)，則，
即，
則，
又均為整數(shù)，
所以男生至少有12人.
故選：A.
題型六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計(jì)
【典例6-1】定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)的“N數(shù)”為：在P點(diǎn)的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，如：，若點(diǎn)P的坐標(biāo)，則所有這些點(diǎn)P的“N數(shù)”的平均值與最小值之差為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個(gè)數(shù)，可分為三類：
（1）恰有3個(gè)相同數(shù)字的排列為種，則共有4個(gè)；
（2）恰有2個(gè)相同數(shù)字的排列為種，則共有36個(gè)；
（3）恰有0個(gè)相同數(shù)字的排列為種，則共有24個(gè)．
所以平均值為，
故選：A．
【典例6-2】一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差.下圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖
根據(jù)折線圖，判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．無(wú)法確定
【答案】C
【解析】由給定的平均差公式可知：數(shù)據(jù)越集中于平均值附近，平均差越小.
甲乙兩圖的縱坐標(biāo)表示的為頻率/組距，即指數(shù)據(jù)落在此處的概率，甲圖中，不同組距區(qū)間的概率相差不大，即指數(shù)據(jù)較為均勻的分布在各區(qū)間，而乙圖數(shù)據(jù)較為集中的分布在乙圖最高處指代的區(qū)間，其他區(qū)間分布的比較少，故乙圖平均差比較小.
故選：C
【變式6-1】（多選題）為了估計(jì)一批產(chǎn)品的不合格品率，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本容量為的樣本，定義，于是，，，記（其中或1，），稱表示為參數(shù)的似然函數(shù)．極大似然估計(jì)法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)方法，極大似然原理的直觀想法是：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果A，B，C，…，若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果A出現(xiàn)，則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A出現(xiàn)有利，也即A出現(xiàn)的概率很大. 極大似然估計(jì)是一種用給定觀察數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)估模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法，即“模型已定，參數(shù)未知”，通過(guò)若干次試驗(yàn)，觀察其結(jié)果，利用試驗(yàn)結(jié)果得到某個(gè)參數(shù)值能夠使樣本出現(xiàn)的概率為最大．根據(jù)以上原理，下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱有99個(gè)白球1個(gè)黑球，乙箱有1個(gè)白球99個(gè)黑球．今隨機(jī)地抽取一箱，再?gòu)娜〕龅囊幌渲谐槿∫磺颍Y(jié)果取得白球，那么該球一定是從甲箱子中抽出的
B．一個(gè)池塘里面有鯉魚(yú)和草魚(yú)，打撈了100條魚(yú)，其中鯉魚(yú)80條，草魚(yú)20條，那么推測(cè)鯉魚(yú)和草魚(yú)的比例為4:1時(shí)，出現(xiàn)80條鯉魚(yú)、20條草魚(yú)的概率是最大的
C．
D．達(dá)到極大值時(shí)，參數(shù)的極大似然估計(jì)值為
【答案】BCD
【解析】極大似然是一種估計(jì)方法，A錯(cuò)誤；
設(shè)鯉魚(yú)和草魚(yú)的比例為，則出現(xiàn)80條鯉魚(yú)，20條草魚(yú)的概率為，
設(shè)
，
時(shí)，，時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，最大，故B正確；
根據(jù)題意，（其中或1，），
所以，可知C正確；
令，解得，且時(shí)，時(shí)，故在上遞增，在上遞減，故達(dá)到極大值時(shí)，參數(shù)的極大似然估計(jì)值為，故D正確.
故選：BCD
1．某批零件的尺寸服從正態(tài)分布，且，規(guī)定時(shí)零件合格，從這批產(chǎn)品中抽取件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則的最小值為 .
【答案】4
【解析】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，
所以，
即每個(gè)零件合格的概率為，合格零件不少于2件的對(duì)立事件是合格零件件數(shù)為0或1.
依題意，，即，
令，則，
所以單調(diào)遞減，而，
所以不等式的解集為，
所以的最小值為4.
故答案為：4.
題型七：正態(tài)分布
【典例7-1】某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每次投籃次數(shù)為n，，，每次投籃的命中率都為p，隨機(jī)變量表示投籃命中的次數(shù)，服從二項(xiàng)分布，記，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知該同學(xué)每次投籃的命中率均為0.5，每次投籃命中得2分，不中得0分．若，則該同學(xué)投中次數(shù)的期望為 次；若保證該同學(xué)n次投籃總得分在區(qū)間的概率不低于0.8，則n的最小值為 ．
附：，則，．
【答案】
【解析】①根據(jù)題意：投籃命中的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，
所以（次），
故該同學(xué)投中次數(shù)的期望為20次；
②由該同學(xué)n次投籃總得分在區(qū)間，
則該同學(xué)n次投籃命中次數(shù)在區(qū)間，
，
又因?yàn)椋裕?br/>根據(jù)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可知，所以，
則n需滿足，
故n的最小值為，
故答案為：；.
【典例7-2】已知隨機(jī)變量，且正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】9
【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，正數(shù)滿足，
有對(duì)稱性可知，即，
所以
；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：9
【變式7-1】若隨機(jī)變量，，，則的最小值為 ．
【答案】18
【解析】因?yàn)椋詫?duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線.
又，則由對(duì)稱性得.
又，所以.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最小值為18.
故答案為：18.
1．某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)誤差為實(shí)驗(yàn)次數(shù)．要求的概率低于，則至少需做 次實(shí)驗(yàn)（，在該實(shí)驗(yàn)的誤差估計(jì)中，可認(rèn)為）．
【答案】
【解析】由題可得，即，
而，所以．
又因?yàn)椋裕?br/>所以，即，
解得，故至少需做次實(shí)驗(yàn)．
故答案為：
題型八：超幾何分布與二項(xiàng)分布
【典例8-1】某班班主任為了解班級(jí)學(xué)生每周的體育鍛煉情況進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)班級(jí)中有20人每周的體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)，若從班級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取的15人中有7人每周的體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)，估計(jì)班級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為 ．（記為抽取的每周的體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)超過(guò)6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，以使得最大的班級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為估計(jì)值）
【答案】42
【解析】設(shè)班級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，且，則，
記，則，
易得，
由可得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值在時(shí)取到，
所以估計(jì)班級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為42人．
故答案為：42.
【典例8-2】某校在一次“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的探究活動(dòng)中，該校數(shù)學(xué)第一小組的學(xué)生同學(xué)表現(xiàn)優(yōu)異，探究數(shù)學(xué)的奧秘.設(shè)隨機(jī)變量，記，在探究的最大值時(shí)，小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)為正整數(shù)，則，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；當(dāng)為非整數(shù)，取的整數(shù)部分，是唯一的最大值.以此為理論依據(jù)，有同學(xué)重復(fù)投擲一枚大小均勻的骰子實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)的次數(shù).當(dāng)投擲第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)5次，再進(jìn)行80次投擲實(shí)驗(yàn)，當(dāng)投擲到100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)6總共出現(xiàn)的次數(shù)為 的概率最大.
【答案】18
【解析】繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6次數(shù)服從二項(xiàng)分布，
由，結(jié)合題中結(jié)論可知，時(shí)概率最大，
即后面80次中出現(xiàn)13次點(diǎn)數(shù)6的概率最大，
加上前面20次中的5次，所以出現(xiàn)18次的概率最大.
故答案為：18.
【變式8-1】口袋中裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，從中任取兩個(gè)球，用X表示取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望 .
【答案】/
【解析】從袋中1次隨機(jī)摸出2個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為X，則X的可能取值是0，1，2；
則，
，
，
所以隨機(jī)變量X的概率分布為；
X 0 1 2
P
所以數(shù)學(xué)期望.
故答案為：.
1．二項(xiàng)分布和正態(tài)分布是兩類常見(jiàn)的分布模型，在實(shí)際運(yùn)算中二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布近似運(yùn)算.即：若隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，可以用服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情況下當(dāng)時(shí)，就有很好的近似效果.該方法也稱為棣莫佛——拉普拉斯極限定理.如果隨機(jī)拋一枚硬幣次，設(shè)正面向上的概率為，則“正面向上的次數(shù)大于50、小于60”的概率近似為 .(結(jié)果保留三位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：若，則，，
【答案】
【解析】由題意得隨機(jī)拋一枚硬幣次，設(shè)正面向上的概率為，
同時(shí)設(shè)正面向上的次數(shù)為，則，
所以，，
此時(shí)符合，故有，
且，，設(shè)所求概率為，
因?yàn)椋?br/>所以由正態(tài)分布對(duì)稱性得.
故答案為：
題型九：隨機(jī)變量的分布列、期望、方差
【典例9-1】“四書(shū)”是《大學(xué)》、《中庸》、《論語(yǔ)》、《孟子》的合稱，又稱“四子書(shū)”，在世界文化、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義．為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃開(kāi)展“四書(shū)”經(jīng)典誦讀比賽活動(dòng)，某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》、《中庸》、《論語(yǔ)》、《孟子》這4本書(shū)中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書(shū)均不相同，比賽時(shí)有以下兩種方案：（1）這四位同學(xué)從這4本書(shū)中有放回隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容背誦，記抽到自己準(zhǔn)備的書(shū)的人數(shù)為的人數(shù)X，（2）這四位同學(xué)從這4本書(shū)中不放回隨機(jī)抽取一本選擇其中的內(nèi)容背誦，記抽到自己準(zhǔn)備的書(shū)的人數(shù)為的人數(shù)Y，則有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題可知方案（1）中這四位同學(xué)抽到自己準(zhǔn)備的書(shū)的概率均為，易知，
由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式與方差公式可知：
，.
由題可知Y的所有可能取值為0，1，2，4，
，
，
，
，
，
，
.
故選：D.
【典例9-2】飛行棋是一種家喻戶曉的競(jìng)技游戲，玩家根據(jù)骰子（骰子為均勻的正六面體）正面朝上的點(diǎn)數(shù)確定飛機(jī)往前走的步數(shù)，剛好走到終點(diǎn)處算“到達(dá)”，如果玩家投擲的骰子點(diǎn)數(shù)超出到達(dá)終點(diǎn)所需的步數(shù)，則飛機(jī)須往回走超出點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的步數(shù)．在一次游戲中，飛機(jī)距終點(diǎn)只剩3步（如圖所示），設(shè)該玩家到達(dá)終點(diǎn)時(shí)投擲骰子的次數(shù)為X，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】，即投擲1次到達(dá)終點(diǎn)，故第一次投擲的點(diǎn)數(shù)為3，故，
，即投擲2次到達(dá)終點(diǎn)，故第一次投擲的點(diǎn)數(shù)不為3，
第二次投擲的點(diǎn)數(shù)可根據(jù)第一次投擲的點(diǎn)數(shù)來(lái)唯一確定，
兩次投擲的點(diǎn)數(shù)有以下的情況，，
故，
，即投擲3次到達(dá)終點(diǎn)，前兩次投擲均沒(méi)有到達(dá)終點(diǎn)，
，
……，
，即投擲次到達(dá)終點(diǎn)，前次投擲均沒(méi)有到達(dá)終點(diǎn)，
，
故①，
②，
則①-②得
，
故.
故選：B
【變式9-1】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一直到出現(xiàn)正面向上時(shí)或拋滿100次時(shí)結(jié)束，設(shè)拋擲的次數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（ ）
A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．與2的大小無(wú)法確定
【答案】B
【解析】由題意，在第次結(jié)束拋擲的概率為，第100次結(jié)束的概率為，
所以，
則，
故
，
所以.
故選：B
1．a(chǎn)、 b、 n均為正整數(shù)， A袋子中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球 (大小質(zhì)地均相同)，從中依次有放回的摸出n個(gè)球，記摸出球中白球的數(shù)目為X；B袋子中有a張數(shù)字卡牌，b張字母卡牌(大小質(zhì)地均相同)，從中一次性摸出n張卡牌，記摸出卡牌中數(shù)字卡牌的數(shù)目為Y .下列選項(xiàng)中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若有放回的摸出n個(gè)球，每次摸到白球的概率為，且各次試驗(yàn)的結(jié)果是獨(dú)立的，故，，其中.
期望，方差.
若一次性摸出n張卡牌，隨機(jī)變量的可能取值有、、，
則，，
由結(jié)論（蘇教版2019第121頁(yè)）：當(dāng)時(shí)，，得，
故，選項(xiàng)C正確；
特別地，取，，其中.
的分布為，
0 1 2
期望，方差
隨機(jī)變量的可能取值有、、，
則，，，
所以，，
.
顯然；；.
故ABD不正確.
故選：C.
題型十：古典概型
【典例10-1】如圖，有一個(gè)觸屏感應(yīng)燈，該燈共有9個(gè)燈區(qū)，每個(gè)燈區(qū)都處于“點(diǎn)亮”或“熄滅”狀態(tài)，觸按其中一個(gè)燈區(qū)，將導(dǎo)致該燈區(qū)及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區(qū)改變狀態(tài)．假設(shè)起初所有燈區(qū)均處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，若從中隨機(jī)先后按下兩個(gè)不同燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為 ．
【答案】
【解析】從9個(gè)燈區(qū)中隨機(jī)先后按下兩個(gè)燈區(qū)，共有種按法．
與相鄰的燈區(qū)為；與相鄰的燈區(qū)為，故將9個(gè)燈區(qū)分為三類：第一類燈區(qū)，第二類燈區(qū)，第三類燈區(qū)．若要使得燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，則需在同類燈區(qū)中隨機(jī)先后按兩個(gè)不同燈區(qū)．
①若先后按下的是兩個(gè)燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法；
②若先后按下的是燈區(qū)中的兩個(gè)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法；
③若先后按下的是燈區(qū)中的兩個(gè)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，共有種按法．故燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為．
故答案為：．
【典例10-2】如圖， 是正八邊形 的中心，從其八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)取出四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，則可作平行四邊形的概率為 ，則可作梯形的概率為 . (用數(shù)字作答)
【答案】
【解析】從八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)取出四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，可得四邊形的個(gè)數(shù)為 ；
八個(gè)頂點(diǎn)的連線中有 4 條過(guò)中心 ，即有 4 條直徑，每?jī)蓷l直徑可確定一個(gè)平行四邊形，可得平行四邊形的個(gè)數(shù)為 ，所以可作平行四邊形的概率為 ；
梯形可由兩條平行但不等的弦的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成. 如圖，設(shè) 分別為正八邊形的兩條不同類型的對(duì)稱軸.
（1）以 為對(duì)稱軸的平行弦 中，有 2 對(duì)平行且相等，所以 4 條平行弦可構(gòu)成 個(gè)梯形，而類似的平行弦共有 4 組，所以可構(gòu)成梯形 個(gè)；
（2）以 為對(duì)稱軸的平行弦 ， ， 中，有 1 對(duì)平行且相等，所以 3 條平行弦可構(gòu)成 個(gè)梯形，而類似的平行弦共有 4 組，所以可構(gòu)成梯形 個(gè).
綜合 （1）（2）可得共有梯形 24 個(gè)，故可作梯形的概率為 .
故答案為：；.
【變式10-1】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比不為1，若在的前20項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來(lái)的順序仍然成等比數(shù)列的概率為 .（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）
【答案】
【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，則.
當(dāng)公比為時(shí)，設(shè)選出來(lái)的四項(xiàng)為；
由，則，解得，
所以，此時(shí)有17種情況；
當(dāng)公比為時(shí)，設(shè)選出來(lái)的四項(xiàng)為；
由，則，解得，
所以，此時(shí)有14種情況；
當(dāng)公比為時(shí)，設(shè)選出來(lái)的四項(xiàng)為；
由，則，
解得，
所以，此時(shí)有種情況；
這是一個(gè)首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，
那么按原來(lái)順序仍然成等比數(shù)列的組合數(shù)的總和
在的前20項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，共有種取法；
故這4項(xiàng)按原來(lái)的順序仍然成為等比數(shù)列的概率為.
故答案為：
1．冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，反復(fù)計(jì)算，最終都將會(huì)得到數(shù)字1．例如：給出正整數(shù)6，則進(jìn)行這種反復(fù)運(yùn)算的過(guò)程為，即按照這種運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行8次運(yùn)算后得到1．若從正整數(shù)3，11，12，13，14中任取2個(gè)數(shù)按照上述運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，則運(yùn)算次數(shù)均被4整除余1的概率為 ．
【答案】
【解析】按照題中運(yùn)算規(guī)律，正整數(shù)3的運(yùn)算過(guò)程為，運(yùn)算次數(shù)為；
正整數(shù)11的部分運(yùn)算過(guò)程為，
當(dāng)運(yùn)算到10時(shí)，運(yùn)算次數(shù)為9，由正整數(shù)3的運(yùn)算過(guò)程可知，正整數(shù)7總的運(yùn)算次數(shù)為；
正整數(shù)12的運(yùn)算次數(shù)為，共次；
正整數(shù)13的運(yùn)算次數(shù)為9；
正整數(shù)14的運(yùn)算次數(shù)為，共
故能被4整除余1共3個(gè)，
概率為．
故答案為：.
題型十一：條件概率與全概率
【典例11-1】有6名研究員進(jìn)入A、B、C三個(gè)實(shí)驗(yàn)艙，則恰有4名研究員在A艙的條件下甲和乙在A艙的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)事件表示“恰有4名研究員在A艙”，事件表示“甲和乙在A艙”，
則，，
則.
故選：A.
【典例11-2】甲箱中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球（兩箱中的球除顏色外沒(méi)有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球：再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出兩球，用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則錯(cuò)誤的選項(xiàng)為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，，，，
所以，
，
綜上ABD說(shuō)法正確，C說(shuō)法錯(cuò)誤；
故選：C
【變式11-1】某校教工食堂為更好地服務(wù)教師，在教師微信群中發(fā)起“是否喜歡菜品”的點(diǎn)贊活動(dòng)，參與活動(dòng)的男、女教師總?cè)藬?shù)比例為，男教師點(diǎn)贊人數(shù)占（參與活動(dòng)的）男教師總?cè)藬?shù)的，女教師點(diǎn)贊人數(shù)占（參與活動(dòng)的）女教師總?cè)藬?shù)的，若從點(diǎn)贊教師中選擇一人，則該教師為女教師的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)事件“該教師為男教師”，事件“該教師為女教師”，事件“該教師為點(diǎn)贊教師”，
則，
又．
故選：C.
1．春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知A，B，C三個(gè)地區(qū)分別有，，的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是5:8:9，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來(lái)自B地區(qū)的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
【答案】C
【解析】記事件表示“這人患了流感”，事件分別表示“這人來(lái)自地區(qū)”，
由題意可知，，，
，，，
則
故.
故選：C.
題型十二：概統(tǒng)結(jié)合問(wèn)題
【典例12-1】某校高三年級(jí)有男生660人，女生440人，現(xiàn)按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取5人組成某活動(dòng)志愿者小隊(duì)，再?gòu)谋怀槿〉倪@5人中抽取2人作為志愿者小隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)，則恰有1名男隊(duì)長(zhǎng)的概率為 .
【答案】/0.6
【解析】由分層抽樣知，所抽取的這5人中有3男2女，所以恰有1個(gè)男隊(duì)長(zhǎng)的概率.
故答案為：
【典例12-2】泊松分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，當(dāng)很大且很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中，即．現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個(gè)該種元件，則抽到的次品的個(gè)數(shù)小于2的概率約為 ．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】0.74/
【解析】由已知，
，，
所以抽到的次品的個(gè)數(shù)小于2的概率為，
故答案為：0.74.
【變式12-1】某校有8名學(xué)生參加物理知識(shí)競(jìng)賽，其成績(jī)?nèi)缦拢?5，71，78，82，85，88，90，93，假設(shè)這8名學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是N.若在這8人中隨機(jī)選取兩人，則這兩人的成績(jī)都低于N的概率為 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋赃@8人成績(jī)的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個(gè)數(shù)，即，
若在這8人中隨機(jī)選取兩人，共有28種情況，分別是，，，，，，，
其中兩人的成績(jī)都低于的情況有6種，
分別為，
所以在這8人中隨機(jī)選取兩人，則這兩人的成績(jī)都低于N的概率為.
故答案為：．
1．某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．則當(dāng)漏診率時(shí)，誤診率 .
【答案】
【解析】依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，
由右邊的頻率分布直方圖可得.
故答案為：
題型十三：新賽制概率問(wèn)題
【典例13-1】隨著阿根廷隊(duì)的奪冠，2022年卡塔爾足球世界杯落下帷幕.根據(jù)足球比賽規(guī)則，兩支球隊(duì)先進(jìn)行90分鐘常規(guī)賽.若比分相同，則進(jìn)行30分鐘加時(shí)賽；如果在加時(shí)賽比分依舊相同，則進(jìn)入5球點(diǎn)球大賽.若甲、乙兩隊(duì)在常規(guī)賽與加時(shí)賽中得分均相同，則甲、乙兩隊(duì)輪流進(jìn)行5輪點(diǎn)球射門，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球不得分.假設(shè)甲隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.8，乙隊(duì)每次進(jìn)球的概率均為0.5，且在前兩輪點(diǎn)球中，乙隊(duì)領(lǐng)先一球，已知每輪點(diǎn)球大賽結(jié)果相互獨(dú)立，則最終甲隊(duì)獲勝的概率為 .
【答案】0.304
【解析】甲隊(duì)在每輪點(diǎn)球比賽獲勝的概率為，
甲隊(duì)在每輪點(diǎn)球比賽平局的概率為.
由題可知最終甲隊(duì)獲勝，則后三輪比賽只能有兩種情況：
①甲獲勝兩輪，剩下一輪甲乙平局，最終甲隊(duì)獲勝的概率為；
②甲獲勝三輪，該情況下最終甲隊(duì)獲勝的概率為，
綜上，甲隊(duì)獲勝的概率為0.24＋0.064＝0.304.
故答案為：0.304
【典例13-2】在立德學(xué)校舉辦的春季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲、乙兩位教師進(jìn)行某項(xiàng)比賽，采取七局四勝制（當(dāng)一人贏得四局時(shí)就獲勝，比賽結(jié)束）．根據(jù)甲、乙兩人多次比賽的成績(jī)統(tǒng)計(jì)，每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則乙在第一局負(fù)的情況下獲勝的概率是 ．
【答案】
【解析】由題意可得：乙在第一局負(fù)的情況下獲勝，則乙還需要?jiǎng)偎木直荣悾?br/>若再比賽四局乙獲勝，則概率為；
若再比賽五局乙獲勝，則概率為；
若再比賽六局乙獲勝，則概率為；
綜上所述：乙在第一局負(fù)的情況下獲勝的概率是．
故答案為：．
【變式13-1】甲，乙兩人組成的“夢(mèng)隊(duì)”參加籃球機(jī)器人比賽，比賽分為自主傳球，自主投籃2個(gè)環(huán)節(jié)，其中任何一人在每個(gè)環(huán)節(jié)獲勝得2分，失敗得0分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)節(jié)之間也互不影響.若甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，乙在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為p，且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2的概率為，則p的值為 ，“夢(mèng)隊(duì)”在比賽中得分不低于6分的概率為 .
【答案】
【解析】記事件“兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2分”，“甲在自主傳球環(huán)節(jié)得分”，“乙在自主傳球環(huán)節(jié)得分”，
由題意可知，與相互獨(dú)立，且，事件與互斥，
故，解得；
記事件“‘夢(mèng)隊(duì)’在比賽中得分不低于6分”， “甲在自主投籃環(huán)節(jié)得分”，“乙在自主投籃環(huán)節(jié)得分”，
由題意可知相互獨(dú)立，
則，
且事件兩兩互斥，
則.
故答案為：；.
1．校乒乓球錦標(biāo)賽共有位運(yùn)動(dòng)員參加.第一輪，運(yùn)動(dòng)員們隨機(jī)配對(duì)，共有場(chǎng)比賽，勝者進(jìn)入第二輪，負(fù)者淘汰.第二輪在同樣的過(guò)程中產(chǎn)生名勝者.如此下去，直到第n輪決出總冠軍，實(shí)際上，在運(yùn)動(dòng)員之間有一個(gè)不為比賽組織者所知的水平排序，在這個(gè)排序中 最好，次之， …，最差，假設(shè)任意兩場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，不存在平局，且 當(dāng)與比賽時(shí)，獲勝的概率為p，其中 ，求最后一輪比賽在水平最高的兩名運(yùn)動(dòng)員與之間進(jìn)行的概率為
【答案】
【解析】一般情形：求倒數(shù)第k輪開(kāi)始前剩下的選手恰好為的概率.
要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，這名選手是種子選手，即在前面的比賽中兩兩不能相遇，而且必須在其
全部場(chǎng)比賽中獲勝，
錦標(biāo)賽樹(shù)形的片樹(shù)葉的填寫方式有種，為使其稱為種子，
我們有種方式放置最上面的2個(gè)選手，且有種方式放置其他選手，
因此其概率為，特別地，本題為的情形，
故所求概率為，
故答案為：.
重難點(diǎn)突破：遞推型概率命題
【典例14-1】甲，乙，丙，丁4人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，經(jīng)過(guò)兩次傳球后，球在乙手中的概率為 ；經(jīng)過(guò)次傳球后，球在甲手中的概率為 （用含有的式子表示）.
【答案】
【解析】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：
甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9個(gè)結(jié)果，它們等可能，
2次傳球后球在乙手中的事件有：甲丙乙，甲丁乙，2個(gè)結(jié)果，所以概率是，
記n次傳球后球在甲手中的事件為，對(duì)應(yīng)的概率為，，
，
則
，
于是得，即，
而，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
因此，，即，
所以n次傳球后球在甲手中的概率是，
故答案為：；.
【典例14-2】“布朗運(yùn)動(dòng)”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉(cāng)組成，某粒子做布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉(cāng)，已知該粒子的初始位置在2號(hào)倉(cāng). 則粒子經(jīng)過(guò)次隨機(jī)選擇后到達(dá)2號(hào)倉(cāng)的概率=

【答案】
【解析】記粒子經(jīng)過(guò)次隨機(jī)選擇后到達(dá)1號(hào)倉(cāng)的概率為，
粒子經(jīng)過(guò)次隨機(jī)選擇后到達(dá)3號(hào)倉(cāng)的概率為，
則，
消去，得，
即，又，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
；
故答案為：
【變式14-1】如圖，一只螞蟻從正四面體 的頂點(diǎn) 出發(fā)，每一步 (均為等可能性的)經(jīng)過(guò)一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，設(shè)該螞蟻經(jīng)過(guò) 步回到點(diǎn) 的概率 ，則 ， .
【答案】
【解析】由題可知，在1步后螞蟻位于、、、點(diǎn)的概率分別為0，，，
故經(jīng)過(guò) 2 步回到點(diǎn) 的概率，
，，
數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
又，，即，
故答案為：；.
【變式14-2】近年來(lái)，我國(guó)外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風(fēng)景線.他們根據(jù)外賣平臺(tái)提供的信息到外賣店取單.某外賣小哥每天來(lái)往于10個(gè)外賣店（外賣店的編號(hào)分別為1，2，…，10），約定：每天他首先從1號(hào)外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余9個(gè)外賣店中的任何一個(gè)店取單叫做第2次取單，依此類推.假設(shè)從第2次取單開(kāi)始，他每次都是從上次取單的店之外的9個(gè)外賣店取單，設(shè)事件{第次取單恰好是從1號(hào)店取單}，是事件發(fā)生的概率，顯然，，則 ， （第二空精確到0.01）.
【答案】 0.10
【解析】，
因?yàn)?br/>，
所以，
以此類推，可得
……
.
故答案為：；0.10.
1．甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則第3次傳球后球在乙手中的概率為 ，第n次傳球后球在乙手中的概率為 ．
【答案】 /
【解析】每次傳球都有2種可能，傳球3次有種傳球過(guò)程，
其中第3次傳給乙，包含甲丙甲乙，甲乙丙乙，甲乙丙乙，3種傳球過(guò)程，所以第3次傳球后球在乙手中的概率為；
設(shè)第次傳球后在乙手中的概率為，則第次傳球道甲或丙手中的概率為，
故，
所以，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，
所以，即.
故答案為：；
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