資源簡介

專題19 圓錐曲線高頻考點深度剖析壓軸解答題
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 6
05 核心精講·題型突破 10
題型一：軌跡方程 10
題型二：向量搭橋進行翻譯 12
題型三：弦長、面積背景的條件翻譯 13
題型四：斜率之和差商積問題 15
題型五：弦長、面積范圍與最值問題 17
題型六：定值問題 19
題型七：中點弦與對稱問題 21
題型八：定點問題 23
題型九：三點共線問題 24
題型十：四點共圓問題 26
題型十一：切線問題 28
題型十二：定比點差法 31
題型十三：齊次化 33
題型十四：極點極線問題 35
題型十五：同構問題 37
重難點突破：蝴蝶問題 39
解析幾何作為高考數學中的一個關鍵部分，其題目往往設計得既具有挑戰性又富有區分度，常作為試卷中用以檢驗學生能力和拉開分數差距的難題。這類題目不僅思維要求高，而且計算也相當復雜，常常讓學生感到棘手。通過深入分析近年來的高考真題和模擬試題，我們可以總結出以下幾個主要的考查點：
（1）探究解析幾何的基本方法和通用策略；
這涉及到運用解析幾何的基本原理和公式，去求解和證明相關的幾何問題。
（2）圓錐曲線中的極值、定點和定值問題；
這些問題通常要求學生能夠靈活運用圓錐曲線的性質和方程，通過代數運算和幾何分析，找出特定的數值或位置關系。
（3）解析幾何中常見的模型和問題類型；
這包括直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的位置關系，以及它們之間的交點、切線等幾何特征。
解析幾何的核心內容可以用“定義、方程、位置關系”這八個字來概括。無論是高考中的哪一道解析幾何題目，都是圍繞這八個字的內容，并結合上述三大核心考點來設計的。因此，掌握這八個字和三大考點，對于提高解析幾何的解題能力和應對高考都具有重要的意義。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
軌跡問題 掌握軌跡方程 2023年II卷第21題，12分 預計在2025年的高考數學中，解析幾何題目更可能以解答題的形式呈現，并且這些題目將著重考查學生的四大核心素養：數學抽象能力、數學建模能力、邏輯推理能力和數學運算能力。 此外，我們預測解析幾何的熱點問題將繼續聚焦于定點定值問題和極點極線問題。這些問題不僅要求學生具備扎實的數學基礎，還需要他們具備靈活運用數學知識解決實際問題的能力，以及深入理解和分析幾何圖形性質的能力。
弦長、面積問題 精通弦長面積計算，提升幾何解題能力 2024年I卷第16題，15分 2023年甲卷第21題，12分 2023年天津卷第18題，15分 2023年I卷第22題，12分
斜率之和差商積問題 掌握斜率運算規律 2022年甲卷第21題，12分 2021年乙卷第20題，12分 2021年I卷第21題，12分
定點定值問題 精通圓錐曲線定點定值，精準解題 2024年天津卷第18題，15分 2023年乙卷第21題，12分 2023年乙卷第20題，12分
1、直接推理計算，定值問題一般是先引入參數，最后通過計算消去參數，從而得到定值．
2、先猜后證，從特殊入手，求出定點或定值，再證明定點或定值與參數無關．
3、建立目標函數，使用函數的最值或取值范圍求參數范圍．
4、建立目標函數，使用基本不等式求最值．
5、根據題設不等關系構建不等式求參數取值范圍．
6、 已知點是橢圓上一個定點，橢圓上有兩動點、
（1）若直線，則直線過定點
（2）若直線，則直線斜率為定值；
（3）若直線，則直線過定點
（4）若直線，則直線斜率為定值；
（5）當直線過定點為原點時，則有（第三定義）；
7、過雙曲線上任一點，、為雙曲線上兩動點
（1）若，則直線恒過定點．
（2）若直線，則直線斜率為定值；
（3）若，則直線恒過定點．
（4）若直線，則直線斜率為定值；
（5）當直線過定點為原點時，則有（第三定義）；
8、過拋物線上任一點引兩條弦、，
（1）若，則直線恒過定點．（2018全國一卷文科）
（2）若，則直線恒過定點．
（3）若直線，則直線斜率為定值則．
1．（2024年北京高考數學真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．
3．（2024年天津高考數學真題）已知橢圓的離心率為．左頂點為，下頂點為是線段的中點（O為原點），的面積為．
(1)求橢圓的方程．
(2)過點C的動直線與橢圓相交于兩點．在軸上是否存在點，使得恒成立．若存在，求出點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．
4．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知和為橢圓上兩點.
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．
5．（2023年北京高考數學真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．
(1)求的方程；
(2)設為第一象限內E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．
6．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求；
(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．
7．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
8．（2023年天津高考數學真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
9．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
10．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
題型一：軌跡方程
【典例1-1】一動圓與圓外切，與圓內切． 設動圓圓心的軌跡為
(1)求曲線的方程；
(2)直線與曲線分別交于兩點，以為直徑的圓過坐標原點O，動點在上，且成等比數列，求動點的軌跡方程．
【典例1-2】線段的長為3，端點分別在軸和軸上運動，點滿足，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)曲線與軸的左右兩個交點分別為為上異于的動點.過點分別作直線，直線，其中與曲線交于兩點，交直線于點，點滿足.
①求點的軌跡方程；
②的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.
求動點的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
（3）相關點法：用動點的坐標、表示相關點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；
（4）參數法：當動點坐標、之間的直接關系難以找到時，往往先尋找、與某一參數得到方程，即為動點的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程．
【變式1-1】過點的直線與拋物線交于點M，N，且當直線恰好過拋物線C的焦點F時，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)設點Q在線段MN上（異于端點），且，求點Q的軌跡方程．
1．已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數，其中，且，記點的軌跡為曲線．
(1)求的方程，并說明軌跡的形狀；
(2)設點，若曲線上兩動點均在軸上方，，且與相交于點．當時，
（?。┣笞C：為定值
（ⅱ）求動點的軌跡方程．
題型二：向量搭橋進行翻譯
【典例2-1】在平面直角坐標系中，已知曲線，點P、Q分別為上不同的兩點，．
(1)求所在橢圓的離心率；
(2)若在y軸上，若T到直線的距離為，求P的坐標；
(3)是否存在t，使得是以T為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【典例2-2】已知橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為，上頂點為，設為上的一點．
(1)當時，求的值；
(2)若點坐標為，則在上是否存在點使的面積為，若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)已知點坐標為，過點和點的直線與橢圓交于另一點，當直線與軸和軸均不平行時，有，求實數的取值范圍．
把幾何語言轉化翻譯為向量語言，然后用向量知識來解決．
【變式2-1】已知動圓與圓外切，與圓內切，記動圓圓心的運動軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)若分別是的左 右頂點，是圓上一點，設和的夾角為，求的取值范圍.
1．在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，A為橢圓左頂點，已知點，且直線PA的斜率為.過點作直線l交橢圓于B，C兩點（B在x軸上方，C在x軸下方），設PB，PC兩直線分別交橢圓于另一點D，E（B，E分別在線段PD，PC上）.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，若l的斜率小于零，且的面積為，求證：；
(3)若存在實數，使得，求此時直線DC的斜率.
題型三：弦長、面積背景的條件翻譯
【典例3-1】已知兩定點，，動點P滿足
(1)求點P的軌跡方程;
(2)過的直線l與動點P的軌跡交于兩點A，B，與直線交于點C，設O為坐標原點，若，求直線l的方程.
【典例3-2】法國數學家加斯帕爾·蒙日發現過圓上任意一點作雙曲線的兩條切線，這兩條切線互相垂直.我們通常把這個圓稱作雙曲線的蒙日圓.如圖，過雙曲線的蒙日圓上一點作的兩條切線，與該蒙日圓分別交于異于點的，兩點，，且的周長為.
(1)求雙曲線的標準方程.
(2)過雙曲線的右焦點的直線與交于，兩點（異于頂點），線段的中垂線與軸交于一點，是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
首先仍是將題目中的基本信息進行代數化，坐標化，遵循直線與圓錐曲線題目通解中的套路，即設點設線、直由聯立、看判別式、韋達定理．
將有關弦長、面積背景的問題進行條件翻譯時，一般是應用弦長公式、點到直線的距離公式及面積公式（在圓中要用半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形求弦長）將有關弦長、面積的條件翻譯為：（1）關于某個參數的函數，根據要求求出最值；（2）關于某個參數的方程，根據要求得出參數的值或兩參數間的關系．
【變式3-1】已知圓A：，圓B：，圓C與圓A、圓B都外切，記圓心C的軌跡為E．
(1)求E的方程；
(2)過點的直線交E于M，N兩點，與直線交于點T，過點T作x軸的平行線l，直線OM，ON與直線l分別交于S，Q兩點，證明：與的面積相等．
1．對于橢圓：（），我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線.已知橢圓C：（），它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍.
(1)求橢圓C伴隨雙曲線的方程；
(2)點F為的上焦點，過F的直線l與上支交于A，B兩點，設的面積為S，（其中O為坐標原點）.若，求的值.
題型四：斜率之和差商積問題
【典例4-1】已知橢圓C：的長軸長是短軸長的2倍，焦距為，點A，B分別為C的左、右頂點，點P，Q為C上的兩個動點，且分別位于x軸上、下兩側，和的面積分別為，，記
(1)求橢圓C的方程；
(2)若，求證直線PQ過定點，并求出該點的坐標；
(3)若，設直線AP和直線BQ的斜率分別為，，求的取值范圍．
【典例4-2】已知雙曲線的方程為，虛軸長為，點在曲線上.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過原點的直線與雙曲線交于兩點，已知直線和的斜率存在.證明：直線和的斜率之積為定值.
在面對有關等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時，可設法將條件翻譯成關于斜率的關系式，然后將斜率公式代入其中，得出參數間的關系式，再根據要求做進一步的推導判斷．
【變式4-1】已知橢圓，直線與交于點，過橢圓上一點（非頂點）作的切線與直線和分別交于點.
(1)若，求取得最小值時橢圓的標準方程；
(2)若橢圓的右頂點為，直線與軸交于點，直線與直線交于點，直線，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數列.
1．已知橢圓的右焦點為，離心率為為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設直線與橢圓相交于兩點，的面積為，求直線的斜率之積的值.
題型五：弦長、面積范圍與最值問題
【典例5-1】已知點是橢圓：（）上一點，的焦距為2.
(1)求的方程；
(2)過的右焦點作斜率不為0的直線，交于，兩點，，是的左、右頂點，記直線，的斜率分別為，.
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）設為直線與直線的交點，記的面積為，的面積為，求的最小值.
【典例5-2】已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于、兩點，過的直線交橢圓于、兩點，且⊥，垂足為.

(1)求點的軌跡方程；
(2)證明：當的斜率存在且時，、弦長的倒數和為定值；
(3)求四邊形的面積的最小值.
弦長和面積的最值問題首先需要將弦長和面積表達出來，弦長可用弦長公式求出；面積的表達以直線與橢圓相交得到的為例，總結一下高考中常見的三角形面積公式．對于，有以下三種常見的表達式：
①（隨時隨地使用，但是相對比較繁瑣，想想弦長公式和點到直線距離）②（橫截距已知的條件下使用）
③（縱截距已知的條件下使用）
【變式5-1】已知曲線，從上任意不在軸上的一點向軸作垂線，為垂足，是線段的中點.
(1)求動點的軌跡的方程，并說明軌跡是什么圖形；
(2)已知，若為軌跡上位于軸同側的兩點，且共線，求四邊形面積的最大值.
1．已知雙曲線的離心率為，焦距為．
(1)求的標準方程；
(2)若過點作直線分別交的左 右兩支于兩點，交的漸近線于，兩點，求的取值范圍．
題型六：定值問題
【典例6-1】平面直角坐標系中，動點到點的距離比它到軸的距離多1．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)若點C為，過的直線l與點的軌跡交于A，B兩點（A，B與C不重合），直線，與直線交于點，．證明：以為直徑的圓在上截得的弦長為定值．
【典例6-2】已知橢圓的焦距為2，且經過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)點是橢圓上的兩個動點，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.
求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
【變式6-1】已知雙曲線的一條漸近線的斜率為，雙曲線的一條漸近線的斜率為，且的一個焦點到其漸近線距離為2.
(1)求的方程；
(2)若上任意一點關于直線的對稱點為，過分別作的兩條漸近線的平行線，與分別交于求證：為定值.
1．定義：對橢圓及任意一點，稱直線為關于點的“極線”.
結論1：若點在橢圓上，則關于點的極線就是在點處的切線.
結論2（橢圓的光學性質）：從橢圓一個焦點發出的光線照射到橢圓上，其反射光線會經過另一個焦點.
試根據上面的定義和結論解決下列問題：
已知是橢圓的兩個焦點，關于點的極線與相交于兩點.
(1)求；
(2)設在點處的切線為，在點處的切線為，過在上且在外一點作的兩條切線，切點分別為,證明：直線相交于一點；
(3)若是上除頂點以外的任意一點，直線和分別與直線相交于點，證明：為定值.
題型七：中點弦與對稱問題
【典例7-1】設橢圓.已知點，在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若過點的直線與橢圓交于兩點（在右側），且與線段交于點.
（i）證明：；
（ii）當為中點時，求直線的方程.
【典例7-2】已知橢圓：的左、右焦點為，，為橢圓上一點，且，．
(1)求橢圓的離心率；
(2)已知直線交橢圓于，兩點，且線段的中點為，若橢圓上存在點，滿足，試求橢圓的方程．
對于中點弦問題常用點差法解決．
【變式7-1】已知O為坐標原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．
(1)求C的方程；
(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點關于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標，若不存在，請說明理由．
1．已知雙曲線：的左右頂點分別為、．
(1)求以、為焦點，離心率為的橢圓的標準方程；
(2)直線過點與雙曲線交于兩點，若點恰為弦的中點，求出直線的方程；
題型八：定點問題
【典例8-1】材料：橢圓上點處的切線方程可化為，拋物線上點處的切線方程可化為．
問題：已知橢圓上點處的切線為，且拋物線與相切．
(1)求切線的方程．
(2)求拋物線的方程．
(3)已知定點，不過點的直線與拋物線恒有兩個不同交點，且與其準線交于點（點不在軸上）．若直線的斜率分別是，且成等差數列，證明：直線恒過定點．
【典例8-2】已知橢圓經過點，其右焦點為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)若點在橢圓上，右頂點為A，且滿足直線與的斜率之積為，求證：直線PQ過定點.
求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
【變式8-1】已知橢圓（）的焦距為2，點在C上．
(1)求C的方程；
(2)若過動點P的兩條直線，均與C相切，且，的斜率之積為，點，問是否存在定點B，使得？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．
1．已知橢圓過點，離心率為，一條直線與橢圓交于、兩點，線段的垂直平分線為，為直線與直線的交點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，直線是否過定點？如果是，求出該定點的坐標；如果不是，說明理由.
題型九：三點共線問題
【典例9-1】已知橢圓的長軸長為，離心率為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線的方程為：，橢圓上點關于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；
(3)設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若點和點三點共線，求的值.
【典例9-2】已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，過點作一直線交橢圓于、兩點，且坐標原點關于點的對稱點記為.
(1)求橢圓的方程；
(2)求面積的最大值；
(3)設點為點關于軸的對稱點，求證：、、三點共線.
證明共線的方法：（1）斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；（2）距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上；（5）點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線．（6）面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設而不求思想”．
【變式9-1】橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，過點的動直線與橢圓相交于P，Q兩點，當直線的斜率為1時，.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設直線AP與直線的交點為，是否存在定實數，使Q，B，N三點共線 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
1．已知橢圓（）的長軸為，短軸長為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設直線l：與橢圓交于不同兩點；
①若，求直線的方程．
②已知點，，連接交橢圓于另一點，連接交橢圓于另一點，求證三點共線.
題型十：四點共圓問題
【典例10-1】在平面直角坐標系中，橢圓的長軸長為4，離心率為，直線交于兩點.
(1)求的方程；
(2)若直線過的右焦點，當面積最大時，求；
(3)若直線不過原點，為線段的中點，直線與交于兩點，已知四點共圓，證明：.
【典例10-2】已知橢圓T：的右焦點為，直線l：與橢圓T相切．
(1)求橢圓T的方程；
(2)過點作與x軸平行的直線交橢圓T于M，N兩點，直線PE與y軸交于點Q，證明：M，N，E，Q四點共圓．
證明四點共圓的方法：
方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．
方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一同弧所對的圓周角相等證）．
方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內對角時，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一圓內接四邊形的對角和為 ，并且任何一個外角都等于它的內對角）．
方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．
【變式10-1】已知橢圓，C的上頂點為B，左右頂點分別為A1、A2，左焦點為F1，離心率為．過F1作垂直于x軸的直線與C交于D，E兩點，且．
(1)求C的方程；
(2)若M，N是C上任意兩點
①若點，點N位于x軸下方，直線MN交x軸于點G，設和的面積分別為，，若，求線段MN的長度；
②若直線MN與坐標軸不垂直，H為線段MN的中點，直線OH與C交于P，Q兩點，已知P，Q，M，N四點共圓， 求證：線段的長度不大于．
1．已知拋物線的焦點為F，過點的直線l與交于A、B兩點．設在點A、B處的切線分別為，，與x軸交于點M，與x軸交于點N，設與的交點為P．
(1)設點A橫坐標為a，求切線的斜率，并證明；
(2)證明：點P必在直線上；
(3)若P、M、N、T四點共圓，求點P的坐標．
題型十一：切線問題
【典例11-1】平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，其右焦點與拋物線的焦點重合．
(1)求，的方程；
(2)點是上位于第一象限的動點，在點處的切線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點．問點是否在一條定直線上，若在，求出直線的方程；若不在，說明理由．
【典例11-2】給出如下的定義和定理：定義：若直線l與拋物線有且僅有一個公共點P，且l與的對稱軸不平行，則稱直線l為拋物線的切線，公共點P稱為切點.定理：過拋物線上一點處的切線方程為.運用上述材料解決以下問題.已知過拋物線的焦點F的直線l與C相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作C的切線，兩切線交點為M.
(1)當線段AB中點的縱坐標為時，求直線l的斜率；
(2)求的值；
(3)若點D與點F關于原點對稱，過點D作直線與C相交于不同的兩點P，Q，分別過P，Q作C的切線，兩切線相交于點R，問：是否存在直線，使得與的面積相等？若存在，求出的方程；若不存在，試說明理由.
（1）若點是圓上的點，則過點的切線方程為．
（2）若點是圓外的點，由點向圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
（3）若點是橢圓上的點，則過點的切線方程為．
（4）若點是橢圓外的點，由點P向橢圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
【變式11-1】已知橢圓的短軸長為，且過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)點為橢圓外的一點，過作兩條直線與橢圓相切，且這兩條直線互相垂直，求點的軌跡方程；
(3)過平面上一點作（2）中的軌跡的兩條切線且這兩條切線互相垂直，設點的軌跡方程為.依此類推，過平面上一點作軌跡的兩條切線且這兩條切線互相垂直，設點的軌跡方程為.在每條軌跡方程上任取三個點，且使得均為鈍角（為坐標原點）.求證：
1．如圖，已知橢圓的上、下焦點分別為，，焦距為2，離心率為，稱圓心在橢圓上運動，且半徑為的圓是橢圓的“環繞圓”.

(1)求橢圓的標準方程；
(2)記直線與橢圓的另一個交點為點，“環繞圓”的面積為，三角形的面積為，試判斷，是否存在點，使，若存在，求滿足條件的直線的條數，若不存在，請說明理由；
(3)若過原點可作“環繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于、兩點，直線，的斜率存在，記為，，求的取值范圍.
題型十二：定比點差法
【典例12-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，求的值；
(3)設，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．
【典例12-2】過的直線與橢圓交于P，Q，過P作軸且與橢圓交于另一點N，F為橢圓的右焦點，若，求證：
定比點差法是一種在解析幾何中常用的方法，特別是在處理圓錐曲線（如橢圓、雙曲線、拋物線）上的特定點時非常有效。該方法通過設定一個定點與曲線上任意兩點之間的比值關系，結合點差法，可以簡化計算過程，快速求解出所需參數或幾何量。
【變式12-1】已知橢圓，點，過點P作橢圓的割線PAB，C為B關于x軸的對稱點．求證：直線AC恒過定點．
1．在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C:=1(a> b>0 )的離心率為，以橢圓上的一點和長軸的兩個端點為頂點的三角形面積最大值為
（1）求a，b的值
（2）當過點P(6，0)的動直線1與橢圓C交于不同的點A，B時，在線段AB上取點Q，使得=，問點Q是否總在某條定直線上 若是，求出該直線方程，若不是，說明理由.
題型十三：齊次化
【典例13-1】已知橢圓的離心率為，過橢圓C右焦點并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M（點P位于x軸上方）兩點，且△OPM（O為坐標原點）的面積為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點P）兩點，且直線PA與PB的斜率之積為，求點P到直線l距離的最大值．
【典例13-2】如圖，點為橢圓的右焦點，過且垂直于軸的直線與橢圓相交于 兩點(在的上方)，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設點 是橢圓上位于直線兩側的動點，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.
齊次化處理圓錐曲線是一種數學技巧，旨在將圓錐曲線的非齊次方程通過變量替換或坐標變換轉化為齊次方程。這種處理可以簡化問題的復雜度，使得后續的求解過程更為直觀和高效，常用于解決與圓錐曲線相關的幾何問題。
【變式13-1】已知拋物線，過點的直線與拋物線交于P，Q兩點，為坐標原點．證明：．
1．已知橢圓C：.過點，兩個焦點為和.設E，F是橢圓C上的兩個動點.
(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過定點；
(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過定點.
題型十四：極點極線問題
【典例14-1】已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率 為，直線與圓相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)橢圓方程，平面上有一點. 定義直線方程 是橢圓在點處的極線.
① 若在橢圓上，證明: 橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓 于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點. 證明: 三點共線.
【典例14-2】閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應的極線方程為；對于雙曲線，與點對應的極線方程為；對于拋物線，與點對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質 定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.
(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.
(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.
極點極線問題通常涉及圓錐曲線的特殊點和線。解決方法包括利用圓錐曲線的性質和定義，通過設定極點和極線的關系，運用幾何和代數方法求解。關鍵在于理解極點和極線的幾何意義，并靈活運用相關公式和定理。
【變式14-1】閱讀材料：
（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.
（二）極點與極線的基本性質 定理
①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；
②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；
③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.
結合閱讀材料回答下面的問題：
(1)已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；
(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.
1．已知F為拋物線的焦點，直線與C交于A，B兩點且.
（1）求C的方程.
（2）若直線與C交于M，N兩點，且與相交于點T，證明：點T在定直線上.
題型十五：同構問題
【典例15-1】拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長．
(1)求拋物線的方程；
(2)設是拋物線上位于第一象限的一點，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點,,證明：直線經過定點．
【典例15-2】設拋物線的焦點為F，過F作直線l交拋物線E于A，B兩點.當l與x軸垂直時，面積為8，其中O為坐標原點.
（1）求拋物線E的標準方程；
（2）若l的斜率存在且為點，直線與E的另一交點為C，直線與E的另一交點為D，設直線的斜率為，證明：為定值.
利用圓錐曲線的標準方程和性質，通過變量替換、坐標變換等手段，將不同曲線或方程轉化為相同或相似的形式，從而簡化求解過程。
【變式15-1】已知橢圓的焦距為2，離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線與軸正半軸和軸分別交于點，與橢圓分別交于點，各點均不重合且滿足．若，證明：直線恒過定點．
1．已知拋物線上的點到坐標原點的距離等于該點到準線的距離．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過拋物線上一點P作圓的兩條斜率都存在的切線，分別與拋物線交于異于點P的M，N兩點．證明：直線MN與圓相切．
重難點突破：蝴蝶問題
【典例16-1】已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點．
【典例16-2】橢圓有兩個頂點過其焦點的直線與橢圓交于兩點，并與軸交于點，直線與交于點．
（1）當時，求直線的方程；
（2）當點異于兩點時，證明：為定值．
關鍵在于利用圓錐曲線的對稱性和幾何性質，通過設定蝴蝶定理中的關鍵點，結合代數方法求解。需要熟練掌握圓錐曲線的標準方程和交點求解技巧。
【變式16-1】設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．

(1)求C的方程；
(2)設直線與C另一個交點分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．
1.已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，求的值；
(3)設，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題19 圓錐曲線高頻考點深度剖析壓軸解答題
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 6
05 核心精講·題型突破 24
題型一：軌跡方程 24
題型二：向量搭橋進行翻譯 31
題型三：弦長、面積背景的條件翻譯 39
題型四：斜率之和差商積問題 44
題型五：弦長、面積范圍與最值問題 50
題型六：定值問題 57
題型七：中點弦與對稱問題 63
題型八：定點問題 68
題型九：三點共線問題 74
題型十：四點共圓問題 82
題型十一：切線問題 90
題型十二：定比點差法 98
題型十三：齊次化 103
題型十四：極點極線問題 108
題型十五：同構問題 115
重難點突破：蝴蝶問題 119
解析幾何作為高考數學中的一個關鍵部分，其題目往往設計得既具有挑戰性又富有區分度，常作為試卷中用以檢驗學生能力和拉開分數差距的難題。這類題目不僅思維要求高，而且計算也相當復雜，常常讓學生感到棘手。通過深入分析近年來的高考真題和模擬試題，我們可以總結出以下幾個主要的考查點：
（1）探究解析幾何的基本方法和通用策略；
這涉及到運用解析幾何的基本原理和公式，去求解和證明相關的幾何問題。
（2）圓錐曲線中的極值、定點和定值問題；
這些問題通常要求學生能夠靈活運用圓錐曲線的性質和方程，通過代數運算和幾何分析，找出特定的數值或位置關系。
（3）解析幾何中常見的模型和問題類型；
這包括直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的位置關系，以及它們之間的交點、切線等幾何特征。
解析幾何的核心內容可以用“定義、方程、位置關系”這八個字來概括。無論是高考中的哪一道解析幾何題目，都是圍繞這八個字的內容，并結合上述三大核心考點來設計的。因此，掌握這八個字和三大考點，對于提高解析幾何的解題能力和應對高考都具有重要的意義。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
軌跡問題 掌握軌跡方程 2023年II卷第21題，12分 預計在2025年的高考數學中，解析幾何題目更可能以解答題的形式呈現，并且這些題目將著重考查學生的四大核心素養：數學抽象能力、數學建模能力、邏輯推理能力和數學運算能力。 此外，我們預測解析幾何的熱點問題將繼續聚焦于定點定值問題和極點極線問題。這些問題不僅要求學生具備扎實的數學基礎，還需要他們具備靈活運用數學知識解決實際問題的能力，以及深入理解和分析幾何圖形性質的能力。
弦長、面積問題 精通弦長面積計算，提升幾何解題能力 2024年I卷第16題，15分 2023年甲卷第21題，12分 2023年天津卷第18題，15分 2023年I卷第22題，12分
斜率之和差商積問題 掌握斜率運算規律 2022年甲卷第21題，12分 2021年乙卷第20題，12分 2021年I卷第21題，12分
定點定值問題 精通圓錐曲線定點定值，精準解題 2024年天津卷第18題，15分 2023年乙卷第21題，12分 2023年乙卷第20題，12分
1、直接推理計算，定值問題一般是先引入參數，最后通過計算消去參數，從而得到定值．
2、先猜后證，從特殊入手，求出定點或定值，再證明定點或定值與參數無關．
3、建立目標函數，使用函數的最值或取值范圍求參數范圍．
4、建立目標函數，使用基本不等式求最值．
5、根據題設不等關系構建不等式求參數取值范圍．
6、 已知點是橢圓上一個定點，橢圓上有兩動點、
（1）若直線，則直線過定點
（2）若直線，則直線斜率為定值；
（3）若直線，則直線過定點
（4）若直線，則直線斜率為定值；
（5）當直線過定點為原點時，則有（第三定義）；
7、過雙曲線上任一點，、為雙曲線上兩動點
（1）若，則直線恒過定點．
（2）若直線，則直線斜率為定值；
（3）若，則直線恒過定點．
（4）若直線，則直線斜率為定值；
（5）當直線過定點為原點時，則有（第三定義）；
8、過拋物線上任一點引兩條弦、，
（1）若，則直線恒過定點．（2018全國一卷文科）
（2）若，則直線恒過定點．
（3）若直線，則直線斜率為定值則．
1．（2024年北京高考數學真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形是邊長為2的正方形.過點且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點，過點和的直線與橢圓的另一個交點為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
【解析】（1）由題意，從而，
所以橢圓方程為，離心率為；
（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點，矛盾，
從而設，，
聯立，化簡并整理得，
由題意，即應滿足，
所以，
若直線斜率為0，由橢圓的對稱性可設，
所以，在直線方程中令，
得，
所以，
此時應滿足，即應滿足或，
綜上所述，滿足題意，此時或.
2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．
【解析】（1）設，由題設有且，故，故，故，
故橢圓方程為.
（2）直線的斜率必定存在，設，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直線，故，
所以
，
故，即軸.
3．（2024年天津高考數學真題）已知橢圓的離心率為．左頂點為，下頂點為是線段的中點（O為原點），的面積為．
(1)求橢圓的方程．
(2)過點C的動直線與橢圓相交于兩點．在軸上是否存在點，使得恒成立．若存在，求出點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因為橢圓的離心率為，故，，其中為半焦距，
所以，故，
故，所以，，故橢圓方程為：.
（2）
若過點的動直線的斜率存在，則可設該直線方程為：，
設，
由可得，
故且
而，
故
，
因為恒成立，故，解得.
若過點的動直線的斜率不存在，則或，
此時需，兩者結合可得.
綜上，存在，使得恒成立.
4．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知和為橢圓上兩點.
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．
【解析】（1）由題意得，解得，
所以.
（2）法一：，則直線的方程為，即，
，由（1）知，
設點到直線的距離為，則，
則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，
此時該平行線與橢圓的交點即為點，
設該平行線的方程為：，
則，解得或，
當時，聯立，解得或，
即或，
當時，此時，直線的方程為，即，
當時，此時，直線的方程為，即，
當時，聯立得，
，此時該直線與橢圓無交點.
綜上直線的方程為或.
法二：同法一得到直線的方程為，
點到直線的距離，
設，則，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直線的方程為，
點到直線的距離，
設，其中，則有，
聯立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：當直線的斜率不存在時，此時，
，符合題意，此時，直線的方程為，即，
當線的斜率存在時，設直線的方程為，
聯立橢圓方程有，則，其中，即，
解得或，，，
令，則，則
同法一得到直線的方程為，
點到直線的距離，
則，解得，
此時，則得到此時，直線的方程為，即，
綜上直線的方程為或.
法五：當的斜率不存在時，到距離，
此時不滿足條件.
當的斜率存在時，設，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直線距離，
或，均滿足題意，或，即或.
法六：當的斜率不存在時，到距離，
此時不滿足條件.
當直線斜率存在時，設，
設與軸的交點為，令，則，
聯立，則有，
，
其中，且，
則，
則，解的或，經代入判別式驗證均滿足題意.
則直線為或，即或.
5．（2023年北京高考數學真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．
(1)求的方程；
(2)設為第一象限內E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．
【解析】（1）依題意，得，則，
又分別為橢圓上下頂點，，所以，即，
所以，即，則，
所以橢圓的方程為.
（2）因為橢圓的方程為，所以，
因為為第一象限上的動點，設，則，
易得，則直線的方程為，
，則直線的方程為，
聯立，解得，即，
而，則直線的方程為，
令，則，解得，即，
又，則，，
所以
，
又，即，
顯然，與不重合，所以.
6．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求；
(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．
【解析】（1）設，
由可得，，所以，
所以，
即，因為，解得：．
（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，
設直線：，，
由可得，，所以，，
，
因為，所以，
即，
亦即，
將代入得，
，，
所以，且，解得或．
設點到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
而或，所以，
當時，的面積．
7．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知橢圓的離心率是，點在上．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
【解析】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，
聯立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因為，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點是定點.
8．（2023年天津高考數學真題）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【解析】（1）如圖，
由題意得，解得，所以，
所以橢圓的方程為，離心率為.
（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，
設直線的方程為，
聯立方程組，消去整理得：，
由韋達定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直線的方程為.
9．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
【解析】（1）設,則，兩邊同平方化簡得，
故.
（2）法一：設矩形的三個頂點在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，
則,令，
同理令，且，則，
設矩形周長為,由對稱性不妨設，，
則，易知
則令,
令，解得，
當時，，此時單調遞減，
當，，此時單調遞增，
則，
故,即.
當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,
得證.
法二：不妨設在上，且，
依題意可設，易知直線，的斜率均存在且不為0，
則設,的斜率分別為和，由對稱性，不妨設，
直線的方程為，
則聯立得，
，則
則，
同理，
令，則，設，
則，令，解得，
當時，，此時單調遞減，
當，，此時單調遞增，
則，
，
但，此處取等條件為，與最終取等時不一致，故.
法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動個單位得拋物線,
矩形變換為矩形,則問題等價于矩形的周長大于.
設 , 根據對稱性不妨設 .
則 , 由于 , 則 .
由于 , 且 介于 之間,
則 . 令 ,
,則,從而
故
①當時,
②當 時,由于,從而,
從而又,
故,由此
，
當且僅當時等號成立，故，故矩形周長大于.
.
10．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【解析】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯立可得，且，
則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據此可得點在定直線上運動.
題型一：軌跡方程
【典例1-1】一動圓與圓外切，與圓內切． 設動圓圓心的軌跡為
(1)求曲線的方程；
(2)直線與曲線分別交于兩點，以為直徑的圓過坐標原點O，動點在上，且成等比數列，求動點的軌跡方程．
【解析】（1）設動圓的半徑為，圓心.
圓，其圓心，半徑；
圓，其圓心，半徑.
因為動圓與圓外切，所以；動圓與圓內切，所以.
則，而.
根據橢圓的定義： （為長半軸長），（為半焦距），可得，.
根據，可得.
所以曲線的方程為.
（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，.
聯立，消去得.
則，即.
由韋達定理得，.
因為以，為直徑的圓過原點，所以，即.
.
則.
將與代入可得：
，化簡得.
設，因為，，成等比數列，所以.
設，在直線上的射影分別為根據直角三角形射影定理可得.
設直線的傾斜角為，則，.
，.
將與代入并結合以及化簡可得.
當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，，.
代入橢圓方程可得，.
因為，所以，解得.
此時.
則動點的軌跡方程.
【典例1-2】線段的長為3，端點分別在軸和軸上運動，點滿足，記點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)曲線與軸的左右兩個交點分別為為上異于的動點.過點分別作直線，直線，其中與曲線交于兩點，交直線于點，點滿足.
①求點的軌跡方程；
②的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）設點，，，由，則，
由，可得，即，代入，
可得，
所以曲線的方程為.
（2）①因為，所以，
不妨設，則，
設，，，
則①，②，
由，得，則，
即，
由，得，
則，即，
又①②得，
，即得，且，
所以點的軌跡方程為.
②設，則，
設直線的斜率分別為，則，
聯立，得，
聯立，得，
設直線與軸交于點，直線與軸交于點，
則
，
當且僅當，即時等號成立，
所以的面積存在最小值，最小值為3.
求動點的軌跡方程有如下幾種方法：
（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；
（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；
（3）相關點法：用動點的坐標、表示相關點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；
（4）參數法：當動點坐標、之間的直接關系難以找到時，往往先尋找、與某一參數得到方程，即為動點的軌跡方程；
（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程．
【變式1-1】過點的直線與拋物線交于點M，N，且當直線恰好過拋物線C的焦點F時，．
(1)求拋物線C的方程；
(2)設點Q在線段MN上（異于端點），且，求點Q的軌跡方程．
【解析】（1）當直線恰好過拋物線C的焦點時，設直線的方程為：，其中，設，
聯立直線與拋物線方程：，可得：
，此時，
化簡可得：，解得：，
所以拋物線C的方程為：.
（2）設直線的方程為： ，設，，
聯立直線與拋物線方程：，可得：，
且，解得：且，
，
因為，即，則有，
整理可得：，
即，，所以，
即的軌跡方程為：且.
1．已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數，其中，且，記點的軌跡為曲線．
(1)求的方程，并說明軌跡的形狀；
(2)設點，若曲線上兩動點均在軸上方，，且與相交于點．當時，
（?。┣笞C：為定值
（ⅱ）求動點的軌跡方程．
【解析】（1）設點，由題意可知，即，
經化簡，得的方程為，
當時，曲線是焦點在軸上的橢圓；
當時，曲線是焦點在軸上的雙曲線．
（2）當時，由（1）可知的方程為，
設點，其中且，
（i）證明：因為，所以，
因此，三點共線，
且，
設直線的方程為，聯立的方程，得，，
則，
由（1）可知，
所以
（定值），
（ⅱ）由橢圓定義，得，
，
解得，
同理可得，
所以
．
所以，點在以點為焦點長軸長為6的橢圓上，由于點均在軸上方，所以動點的軌跡方程為
題型二：向量搭橋進行翻譯
【典例2-1】在平面直角坐標系中，已知曲線，點P、Q分別為上不同的兩點，．
(1)求所在橢圓的離心率；
(2)若在y軸上，若T到直線的距離為，求P的坐標；
(3)是否存在t，使得是以T為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由，則，即離心率為；
（2）由題設，問題化為以為圓心，為半徑的圓與過的直線相切，
且切線與有交點，顯然切線斜率存在，令切線為，
所以，可得，則或，
當，則切線為，聯立，可得，
則或，故此時，滿足；
當，則切線為，聯立，可得，
則或，故此時，不滿足；
綜上，.
（3）由題設，直線的斜率存在，可設，，
聯立，整理得，
其中，即，
所以，，則，
，
所以且，故，
當時，則且，則，此時，滿足；
當，而的中點為，又，
則，即，
且，
，
所以，則，
所以，則，故
所以，則.
綜上，.
【典例2-2】已知橢圓的左、右焦點分別為，右頂點為，上頂點為，設為上的一點．
(1)當時，求的值；
(2)若點坐標為，則在上是否存在點使的面積為，若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)已知點坐標為，過點和點的直線與橢圓交于另一點，當直線與軸和軸均不平行時，有，求實數的取值范圍．
【解析】（1）由橢圓方程知：，，，則，
設，，解得：，即，
由橢圓定義知：.
（2）由（1）知：，
，；
若存在點，使的面積為，
則點到直線的距離，
，直線方程為：，即，
設平行于直線且到直線的距離為的直線方程為，
，解得：或；
當時，直線方程為，
由得：，解得：或，
或，點或；
當時，直線方程為，
由得：，方程無解，
即直線與橢圓無交點，此時不存在滿足題意的點；
綜上所述：存在滿足條件的點，點坐標為或.
（3）由題意可設直線，，，
由得：，
，即，，，
設線段中點為，則，，
，又為中點，，
，，即，，
直線與軸和軸均不平行，，，
，整理可得：，
，，解得：，
所以實數的取值范圍為.
把幾何語言轉化翻譯為向量語言，然后用向量知識來解決．
【變式2-1】已知動圓與圓外切，與圓內切，記動圓圓心的運動軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)若分別是的左 右頂點，是圓上一點，設和的夾角為，求的取值范圍.
【解析】（1）由題可知，的半徑為的半徑為.
設的半徑為，由與外切，與內切，得
則.
由橢圓的定義知，曲線是長軸長為，左 右焦點分別為的橢圓，
故的方程為.
（2）由（1）可知，，設，則，
則，
所以，則，得.
若在軸上，則，從而.
若在不在軸上，則，
且，由，得，
則，得.
因為，所以，則，
由，
解得.
綜上所述，的取值范圍為.
1．在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，A為橢圓左頂點，已知點，且直線PA的斜率為.過點作直線l交橢圓于B，C兩點（B在x軸上方，C在x軸下方），設PB，PC兩直線分別交橢圓于另一點D，E（B，E分別在線段PD，PC上）.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，若l的斜率小于零，且的面積為，求證：；
(3)若存在實數，使得，求此時直線DC的斜率.
【解析】（1）由題意，，，
又，所以，
所以橢圓標準方程為；
（2）由題意可設直線方程為，，
由得，，，，
所以，
解得，又直線的斜率小于零，所以，即直線，
則有，解得或，從而有，
又，，由對稱性知，且，而軸，，
所以，
所以.
（3）若存在實數，使得，則，所以，
由題意可知，
設，由得，
又均在橢圓上，所以，
上式變形為，
所以，
整理得，
同理可得，
所以直線方程為
所以的斜率為．
題型三：弦長、面積背景的條件翻譯
【典例3-1】已知兩定點，，動點P滿足
(1)求點P的軌跡方程;
(2)過的直線l與動點P的軌跡交于兩點A，B，與直線交于點C，設O為坐標原點，若，求直線l的方程.
【解析】（1）依題意知，，
點P的軌跡是以、為焦點的橢圓，且焦點在x軸上，
設橢圓方程為，
由，，得，，，
故所求點P的軌跡方程為
（2）依題意，設直線l的斜率為，則直線l的方程為，
設，，
聯立，消y得，，
可得：①，②，
由，，，
，整理得③，
由①③得，，代入②，解得，
直線l的方程為或
【典例3-2】法國數學家加斯帕爾·蒙日發現過圓上任意一點作雙曲線的兩條切線，這兩條切線互相垂直.我們通常把這個圓稱作雙曲線的蒙日圓.如圖，過雙曲線的蒙日圓上一點作的兩條切線，與該蒙日圓分別交于異于點的，兩點，，且的周長為.
(1)求雙曲線的標準方程.
(2)過雙曲線的右焦點的直線與交于，兩點（異于頂點），線段的中垂線與軸交于一點，是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）由題可知，雙曲線的蒙日圓方程為，且，
所以為蒙日圓的直徑，，又，
所以，，
，.
所以的周長為，所以.
故雙曲線的標準方程為.
（2）由（1）得，由已知可得，直線的斜率存在且不為，
設直線的方程為，，，
將直線的方程與雙曲線方程聯立得，
整理得關于的方程，
當，即時，直線AB與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線只有一個交點，不符合題意，
故，且，所以，，.
設線段的中點為，則，，所以.
因為是線段的中垂線，所以直線的斜率為，所以其方程為，
令，得，故，所以，
，
所以，存在使得，且.
首先仍是將題目中的基本信息進行代數化，坐標化，遵循直線與圓錐曲線題目通解中的套路，即設點設線、直由聯立、看判別式、韋達定理．
將有關弦長、面積背景的問題進行條件翻譯時，一般是應用弦長公式、點到直線的距離公式及面積公式（在圓中要用半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形求弦長）將有關弦長、面積的條件翻譯為：（1）關于某個參數的函數，根據要求求出最值；（2）關于某個參數的方程，根據要求得出參數的值或兩參數間的關系．
【變式3-1】已知圓A：，圓B：，圓C與圓A、圓B都外切，記圓心C的軌跡為E．
(1)求E的方程；
(2)過點的直線交E于M，N兩點，與直線交于點T，過點T作x軸的平行線l，直線OM，ON與直線l分別交于S，Q兩點，證明：與的面積相等．
【解析】（1）設圓C的半徑為r，又圓C與圓A、圓B外切，所以，，
則，故點C的軌跡為以A，B為焦點的雙曲線的一支，
所以曲線E的方程為.
（2）由題意，直線MN斜率存在且不為0，設直線MN為，，，
其中且，
聯立方程組，消去x有，
則，，，
直線MN：與直線的交點，
直線MO：與直線l：的交點，
直線NO：與直線l：的交點，
由于
，
故點T是QS的中點，所以與的面積相等．
1．對于橢圓：（），我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線.已知橢圓C：（），它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍.
(1)求橢圓C伴隨雙曲線的方程；
(2)點F為的上焦點，過F的直線l與上支交于A，B兩點，設的面積為S，（其中O為坐標原點）.若，求的值.
【解析】（1）設橢圓C與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，
依題意可得，，即，
即，解得，
所以橢圓C：，則橢圓C伴隨雙曲線的方程為．
（2）由（1）可知，直線l的斜率存在，故設直線l的斜率為k，，，則直線l的方程，
與雙曲線聯立并消去y，得，
則，，，，
需滿足，則，
又，
則，解得；
又，
所以
，
所以.
題型四：斜率之和差商積問題
【典例4-1】已知橢圓C：的長軸長是短軸長的2倍，焦距為，點A，B分別為C的左、右頂點，點P，Q為C上的兩個動點，且分別位于x軸上、下兩側，和的面積分別為，，記
(1)求橢圓C的方程；
(2)若，求證直線PQ過定點，并求出該點的坐標；
(3)若，設直線AP和直線BQ的斜率分別為，，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意知，，，又，，，
所以橢圓C的方程為：
（2）證明：由知，，由圖形對稱性可知，定點M在x軸上，
設直線PQ方程為：，，，，
，解得，
即定點坐標為
（3）設直線PQ的方程為，，
聯立可得，
則，，且
于是
，
，，即的范圍是
【典例4-2】已知雙曲線的方程為，虛軸長為，點在曲線上.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過原點的直線與雙曲線交于兩點，已知直線和的斜率存在.證明：直線和的斜率之積為定值.
【解析】（1）由題意，
從而，
所以雙曲線方程，離心率.
（2）證明：由題意知點關于原點對稱，
不妨設，則，
設直線的斜率為，直線的斜率為，
因為，
所以（*）
又點，在曲線上，即，
代入（*）得，
所以直線的斜率和直線的斜率之積為定值3.
在面對有關等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時，可設法將條件翻譯成關于斜率的關系式，然后將斜率公式代入其中，得出參數間的關系式，再根據要求做進一步的推導判斷．
【變式4-1】已知橢圓，直線與交于點，過橢圓上一點（非頂點）作的切線與直線和分別交于點.
(1)若，求取得最小值時橢圓的標準方程；
(2)若橢圓的右頂點為，直線與軸交于點，直線與直線交于點，直線，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數列.
【解析】（1）由于在橢圓上，所以，
由，得，
當且僅當，即時，取得最小值.
故取得最小值時橢圓的標準方程為.
（2）根據不是橢圓的頂點可知直線的斜率存在且不為0，
設直線為，所以，.
由，得
由于直線與橢圓相切，所以，
即，得，
所以（*）式可化為，即，得，故.
由題，得，所以，
故直線的方程為，
令，得，故.
所以，
所以直線的方程為，
令，得，
所以.易知，
由于，所以.
設，故，，，
故，
故成等差數列.
1．已知橢圓的右焦點為，離心率為為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設直線與橢圓相交于兩點，的面積為，求直線的斜率之積的值.
【解析】（1）由題意可得
，解得
橢圓的標準方程為.
（2）設
①當直線的斜率不存在時，根據陏圓的對稱性不妨設點在第一象限，則
因為，所以
又因為，解得
所以
②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
由聯立，得
得
點到直線的距離為，
則
解得
綜上所得，求直線的斜率之積的值.
題型五：弦長、面積范圍與最值問題
【典例5-1】已知點是橢圓：（）上一點，的焦距為2.
(1)求的方程；
(2)過的右焦點作斜率不為0的直線，交于，兩點，，是的左、右頂點，記直線，的斜率分別為，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）設為直線與直線的交點，記的面積為，的面積為，求的最小值.
【解析】（1）由題意知，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）
（?。┰O直線的方程為，，，
由得，，
所以，，
所以，
由（1）得，，
則
.
（ⅱ）設直線的直線方程為，
由（?。┛芍?，
則直線的方程為，聯立解得的橫坐標為4.
所以
由（ⅰ）知，，
，
所以
，
所以當時，的最小值為.
【典例5-2】已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于、兩點，過的直線交橢圓于、兩點，且⊥，垂足為.

(1)求點的軌跡方程；
(2)證明：當的斜率存在且時，、弦長的倒數和為定值；
(3)求四邊形的面積的最小值.
【解析】（1）橢圓的半焦距，
由⊥知，點在以線段為直徑的圓上，故點的軌跡方程；
（2）當的斜率存在且時，故的方程為，
代入橢圓方程中，
化簡得，
設，，則，
則
，
因為與相交于點，且的斜率為.
所以，
當的斜率存在且時，
、弦長的倒數和為；
（3）當的斜率存在且時，由（2）知，，，
故四邊形的面積
.
當時，上式取等號.
當的斜率時，如圖所示，
此時，
中，令得，故，
故四邊形的面積，
當的斜率不存在，同理可得，
綜上，四邊形的面積的最小值為.
弦長和面積的最值問題首先需要將弦長和面積表達出來，弦長可用弦長公式求出；面積的表達以直線與橢圓相交得到的為例，總結一下高考中常見的三角形面積公式．對于，有以下三種常見的表達式：
①（隨時隨地使用，但是相對比較繁瑣，想想弦長公式和點到直線距離）②（橫截距已知的條件下使用）
③（縱截距已知的條件下使用）
【變式5-1】已知曲線，從上任意不在軸上的一點向軸作垂線，為垂足，是線段的中點.
(1)求動點的軌跡的方程，并說明軌跡是什么圖形；
(2)已知，若為軌跡上位于軸同側的兩點，且共線，求四邊形面積的最大值.
【解析】（1）設，則，由中點坐標公式得.
因為點在曲線上，所以.
故線段的中點的軌跡的方程為.
且軌跡是以為焦點，長軸長為4，去掉長軸端點的橢圓.
（2）因為為軌跡上位于軸同側的兩點，且共線，
所以，直線與軌跡的另一交點為與軌跡的另一交點為，
根據對稱性知四邊形的面積為四邊形的面積的一半，
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
與橢圓兩交點的坐標分別為，
由得
所以，
所以
.
直線的方程為，
兩平行線與的距離，
所以
，
令，則，
所以，
當時，最大，最大值為2
當直線的斜率不存在時，，
故四邊形的面積的最大值為2.
1．已知雙曲線的離心率為，焦距為．
(1)求的標準方程；
(2)若過點作直線分別交的左 右兩支于兩點，交的漸近線于，兩點，求的取值范圍．
【解析】（1）因為的離心率為，焦距為，
所以，解得，所以．
所以的標準方程為．
（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，
不妨設分別在左 右位置，聯立，得，
聯立，得，
所以，
聯立，得，
設，則，
由，即，
所以，
所以，
又，所以，
所以的取值范圍為．
題型六：定值問題
【典例6-1】平面直角坐標系中，動點到點的距離比它到軸的距離多1．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)若點C為，過的直線l與點的軌跡交于A，B兩點（A，B與C不重合），直線，與直線交于點，．證明：以為直徑的圓在上截得的弦長為定值．
【解析】（1）因為到點的距離為，到軸的距離為．
由題意動點到點的距離比它到軸的距離多1得，
整理得，，即．
當時，；
當時，；
所以動點的軌跡方程為或．
（2）依題意設直線的方程為，依題意，點的軌跡方程應取，
將代入，消去得，
設，，則，，
設，，，
則，
直線的方程為，
令，則，
，同理可得，
以線段為直徑的圓與軸交點設為，
則，，且，
，
，
或，
以為直徑的圓在軸上截得的弦長為定值．
【典例6-2】已知橢圓的焦距為2，且經過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)點是橢圓上的兩個動點，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.
【解析】（1）因為焦距為2，所以，
又，
且，
解得，
橢圓的方程為；
（2）設直線方程：得，代入，
得，
設，
，
且，則，
，
又直線的斜率與的斜率互為相反數，在上式中以代，可得
，
所以直線的斜率，
即直線的斜率為定值，其值為.
求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
【變式6-1】已知雙曲線的一條漸近線的斜率為，雙曲線的一條漸近線的斜率為，且的一個焦點到其漸近線距離為2.
(1)求的方程；
(2)若上任意一點關于直線的對稱點為，過分別作的兩條漸近線的平行線，與分別交于求證：為定值.
【解析】（1）由題意得，
，
的焦點到漸近線的距離為，
，
雙曲線方程為.
（2）令，由題意，
在上，，得，
即，
則過與其中一條斜率為2的漸近線平行的直線，
聯立，可得，
即，解得，
即，同理可得，
，證畢.
1．定義：對橢圓及任意一點，稱直線為關于點的“極線”.
結論1：若點在橢圓上，則關于點的極線就是在點處的切線.
結論2（橢圓的光學性質）：從橢圓一個焦點發出的光線照射到橢圓上，其反射光線會經過另一個焦點.
試根據上面的定義和結論解決下列問題：
已知是橢圓的兩個焦點，關于點的極線與相交于兩點.
(1)求；
(2)設在點處的切線為，在點處的切線為，過在上且在外一點作的兩條切線，切點分別為,證明：直線相交于一點；
(3)若是上除頂點以外的任意一點，直線和分別與直線相交于點，證明：為定值.
【解析】（1）根據定義，可得的方程為，即，
將其代入的方程得，解得，
不妨取，所以.
（2）根據所給結論可知分別是關于點的極線，
如圖（1），取，則.
由解得所以和交于點，
要證明直線相交于一點，只需證明直線過點即可.
設.
根據所給結論，可知直線，直線.
因為直線和都經過點，所以，
所以直線的方程為，將代入，得，方程也成立，
所以直線過點，故直線相交于一點.
（3）由題意，在點處的切線方程為，則與平行，且經過坐標原點.
如圖（2）所示，由橢圓的光學性質，可知.
又因為，所以，所以，所以.
過作，與交于點，則，所以.
另一方面，因為，所以，
從而，所以.
因此，故為定值.
題型七：中點弦與對稱問題
【典例7-1】設橢圓.已知點，在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若過點的直線與橢圓交于兩點（在右側），且與線段交于點.
（i）證明：；
（ii）當為中點時，求直線的方程.
【解析】（1）由題意，且，可得，
故橢圓的標準方程為；
（2）（i）由題設，直線，且直線的斜率存在，
設，，，，
則，，且，
聯立，消去y可得，
所以，可得，
則，，
要證，即證，
即證，整理得，
即證，整理得，
將，代入，得，
所以，顯然兩側相等，結論得證.
（ii）當為中點時，由（i）結論，有，
所以，即，結合韋達定理，
有，將代入，得，
消去得，整理得，
所以或，則直線為或.
【典例7-2】已知橢圓：的左、右焦點為，，為橢圓上一點，且，．
(1)求橢圓的離心率；
(2)已知直線交橢圓于，兩點，且線段的中點為，若橢圓上存在點，滿足，試求橢圓的方程．
【解析】（1）因為，所以，即，
則，解得．
（2）設，
由，得，所以，所以
設，即
由于在橢圓上，則，，①
由，得，即
由在橢圓上，則,
即，
即，②
將①代入②得：，③
若直線的斜率不存在，則線段的中點在軸上，不合乎題意，
線段的中點為，設
可知
，
所以，其中，解得，
所以，方程為
又，④
將④代入③得：，
經檢驗滿足，
所以橢圓的方程為.
對于中點弦問題常用點差法解決．
【變式7-1】已知O為坐標原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．
(1)求C的方程；
(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點關于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設，則
∵在橢圓上，則
兩式相減得，整理得
∴，即，則
又∵點在橢圓C：上，則
聯立解得
∴橢圓C的方程為
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q兩點關于l：對稱，設直線PQ與直線l的交點為N，則N為線段PQ的中點，連接ON
∵，則，即
由（1）可得，則，即直線
聯立方程，解得
即
∵，則在橢圓C外
∴假定不成立，不存在P，Q兩點關于l對稱
1．已知雙曲線：的左右頂點分別為、．
(1)求以、為焦點，離心率為的橢圓的標準方程；
(2)直線過點與雙曲線交于兩點，若點恰為弦的中點，求出直線的方程；
【解析】（1）由題意可得，，，則，
又，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設，點恰為弦的中點，則，，
又因為兩點在雙曲線上，
可得，兩式相減得，
化簡整理得，即，
所以直線的方程為，即，
經檢驗，滿足題意.
題型八：定點問題
【典例8-1】材料：橢圓上點處的切線方程可化為，拋物線上點處的切線方程可化為．
問題：已知橢圓上點處的切線為，且拋物線與相切．
(1)求切線的方程．
(2)求拋物線的方程．
(3)已知定點，不過點的直線與拋物線恒有兩個不同交點，且與其準線交于點（點不在軸上）．若直線的斜率分別是，且成等差數列，證明：直線恒過定點．
【解析】（1）由材料知橢圓上點處的切線為，
即，
所以切線的方程為．
（2）設拋物線與直線相切于點，
由題知拋物線在點處的切線方程為，
即．
與對照得：．
又因為，所以，解得．
所以拋物線的方程為．
（3）設直線的方程為，
由（2）得的準線方程為．
聯立得，即點．
由點得．
由成等差數列，得，
即①，
由，在直線上得，代入①得
②
聯立，
則，即．
由韋達定理得③．
將③代入②得．
化簡得，
即，
即，
即，
即。
又因為直線不過點和點，則且，故．
即直線的方程為，所以直線恒過定點．
【典例8-2】已知橢圓經過點，其右焦點為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)若點在橢圓上，右頂點為A，且滿足直線與的斜率之積為，求證：直線PQ過定點.
【解析】（1）依題可得，，解得，
所以橢圓的方程為.所以離心率.
（2）由（1）知，易知直線與的斜率存在且同號，所以直線不垂直于軸，
故可設，
由可得，，
所以，
，而，即，
化簡可得，
即，
即，
化簡得，所以或，
所以直線或，
因為直線不經過點A，所以直線經過定點.
求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
【變式8-1】已知橢圓（）的焦距為2，點在C上．
(1)求C的方程；
(2)若過動點P的兩條直線，均與C相切，且，的斜率之積為，點，問是否存在定點B，使得？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意知，橢圓C的半焦距，焦點分別為，，
由橢圓定義得，橢圓長軸長，
即，，所以橢圓C的方程為．
（2）設點，顯然，
過點P的直線方程為，
由，消去y并整理得．
因為直線l與C相切，則，
得，
即，
設直線，的斜率分別為，，顯然，是上述關于k的一元二次方程的兩個根，
則，化簡得，
即點P到坐標原點O的距離，
故點P在以O為圓心，為半徑的圓上，并且是動點，而點A為該圓上一定點，
則當滿足時，為圓O的直徑，即點，
所以存在點滿足題意．
1．已知橢圓過點，離心率為，一條直線與橢圓交于、兩點，線段的垂直平分線為，為直線與直線的交點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若，直線是否過定點？如果是，求出該定點的坐標；如果不是，說明理由.
【解析】（1）因為橢圓過點，離心率為，
則，解得，
因此，橢圓的方程為.
（2）設點、，則，
當直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為，
聯立可得，
則，可得，
當時，由韋達定理可得，整理可得，
可得，
此時，，則，
所以，直線的方程為，即，
此時，直線恒過定點；
當直線軸時，則線段的方程為，此時點、關于軸對稱，
則直線為軸，此時，直線過點；
當直線軸時，此時點、關于軸對稱，則，不合乎題意.
綜上所述，直線恒過定點.
題型九：三點共線問題
【典例9-1】已知橢圓的長軸長為，離心率為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線的方程為：，橢圓上點關于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；
(3)設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若點和點三點共線，求的值.
【解析】（1）橢圓的長軸長為，離心率為，
則，則，則，
則橢圓的方程為.
（2）設橢圓上點關于直線的對稱點，
則，
解之得，則，
由在橢圓上，可得，
整理得，解之得或，
當時與點重合，舍去，
則.
（3）設，則，
又，則，直線的方程為，
由，整理得，
則，則，
又，則，
則，則，
令則，直線的方程為，
由，整理得，
則，則，
又，則，
則，則，
則，
，
由點和點三點共線，可得，
則，
整理得，則.
【典例9-2】已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，過點作一直線交橢圓于、兩點，且坐標原點關于點的對稱點記為.
(1)求橢圓的方程；
(2)求面積的最大值；
(3)設點為點關于軸的對稱點，求證：、、三點共線.
【解析】（1）根據題意可得，解得，，所以橢圓的方程為.
（2）由題可得原點關于點的對稱點的坐標為，
顯然直線斜率不為零，故設過點的直線的方程為，，，
所以，得，
其中，，，
則，
所以，
令，，則，
所以，當且僅當，即，時取等號，
則直線的方程為時，面積的最大值為.
（3）證明：設，則，，
由
，
所以，與共線，即，，三點共線.
證明共線的方法：（1）斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；（2）距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上；（5）點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線．（6）面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設而不求思想”．
【變式9-1】橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，過點的動直線與橢圓相交于P，Q兩點，當直線的斜率為1時，.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設直線AP與直線的交點為，是否存在定實數，使Q，B，N三點共線 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）
如圖，設，當直線的斜率為1時，直線方程為.
聯立
消去，得.顯然，
則
即.
又離心率則，即.
解得.
橢圓的標準方程為.
（2）由題意知，當直線與軸垂直時，，
則AP的方程為，
令，得，，
由三點共線，可得，，解得
當直線不與軸垂直時，設直線的方程為.
聯立消去，得.
，AP的方程為，
令，得，
即共線，故Q，B，N三點共線.
故存在定實數，使Q，B，N三點共線.
1．已知橢圓（）的長軸為，短軸長為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設直線l：與橢圓交于不同兩點；
①若，求直線的方程．
②已知點，，連接交橢圓于另一點，連接交橢圓于另一點，求證三點共線.
【解析】（1）由已知長軸為，短軸長為，
可得，，
則橢圓的標準方程為：；
（2）①依題意，解得，
因為，可得，
且，
因為，
解得，
所以直線的方程為：．
②證明：設，
，
聯立，消去整理得：
，
，
又，
代入整理得：，
，
，
同理可得，
，
而
所以有，
整理得，
，
，
因此∥，
故三點共線.
題型十：四點共圓問題
【典例10-1】在平面直角坐標系中，橢圓的長軸長為4，離心率為，直線交于兩點.
(1)求的方程；
(2)若直線過的右焦點，當面積最大時，求；
(3)若直線不過原點，為線段的中點，直線與交于兩點，已知四點共圓，證明：.
【解析】（1）依題意可得，解得，
所以，故橢圓的方程為.
（2）由（1）可知，由題可設直線的方程為，，
聯立，消去可得，
則恒成立，
則，
所以
，
當且僅當時等號成立，所以直線垂直于軸時，的面積取最大值，
此時，.
（3）
若直線的斜率為，為上下頂點，且，
若四點共圓，則不成立，
所以由題可設直線的方程為，，
則，聯立，可得，
當，
即時，，
所以中點的坐標為，所以，
故直線，
由四點共圓，則，
由，
聯立，可得，即，
所以，
所以，可得，
所以，
又直線不過原點，所以，所以，
，
即.
【典例10-2】已知橢圓T：的右焦點為，直線l：與橢圓T相切．
(1)求橢圓T的方程；
(2)過點作與x軸平行的直線交橢圓T于M，N兩點，直線PE與y軸交于點Q，證明：M，N，E，Q四點共圓．
【解析】（1）聯立，得．
由題意可得，
化簡得．
聯立解得
所以橢圓T的方程為．
（2）因為點M，N關于y軸對稱，所以外接圓的圓心在y軸上．
設的外接圓方程為．
因為點E在的外接圓上，所以，解得．
聯立解得．不妨取，．
因為點N在的外接圓上，所以，
解得，所以的外接圓方程為．
直線PE的方程為，
令，解得，所以．
將點代入，
得，等式成立．
所以點Q也在的外接圓上，故M，N，E，Q四點共圓．
證明四點共圓的方法：
方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．
方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一同弧所對的圓周角相等證）．
方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內對角時，則可肯定這四點共圓（根據圓的性質一一圓內接四邊形的對角和為 ，并且任何一個外角都等于它的內對角）．
方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．
【變式10-1】已知橢圓，C的上頂點為B，左右頂點分別為A1、A2，左焦點為F1，離心率為．過F1作垂直于x軸的直線與C交于D，E兩點，且．
(1)求C的方程；
(2)若M，N是C上任意兩點
①若點，點N位于x軸下方，直線MN交x軸于點G，設和的面積分別為，，若，求線段MN的長度；
②若直線MN與坐標軸不垂直，H為線段MN的中點，直線OH與C交于P，Q兩點，已知P，Q，M，N四點共圓， 求證：線段的長度不大于．
【解析】（1）由離心率為，得，
由得在橢圓上，可得，
解得，
所以故橢圓C的方程為.
（2）①由（1）可得，
連接，因為， ，
所以，得;
所以，所以直線ON的方程為， ，
由得（舍去）.
所以.
②設直線， ，則
聯立可得，
所以，，
，得．
所以中點H的坐標為，所以，
故直線OH：.
由P，Q，M，N四點共圓，則，
由;
聯立可得，，所以，
所以，
所以得，
所有，得
即.
1．已知拋物線的焦點為F，過點的直線l與交于A、B兩點．設在點A、B處的切線分別為，，與x軸交于點M，與x軸交于點N，設與的交點為P．
(1)設點A橫坐標為a，求切線的斜率，并證明；
(2)證明：點P必在直線上；
(3)若P、M、N、T四點共圓，求點P的坐標．
【解析】（1）點A橫坐標為a，則，
因為，，所以點A處的切線斜率為a
所以切線的方程為，
切線與x軸的交點為，
因為，所以，
所以，所以，
當時，亦有；
結論得證.
（2）證明：設，，由，得，
所以，
所以直線，直線，
由，得，即兩直線的交點，
因為點，，三點共線，
所以，，得，
所以，所以
所以點P在直線上
（3）因為直線，直線，
所以，，由（2）可知，
設的外接圓方程為，
則，
解得，，
所以外接圓方程為
將代入方程，得
又，解得，，
所以點P坐標為
解法二:拋物線的焦點，
由（1）可知，同理可證得，
所以F，M，N，P四點共圓，
所以PF是的外接圓的直徑，
因為P、M、N、T四點共圓，所以點在的外接圓上，
所以，
所以，即，得，
所以直線TP方程為，即
又點P在直線上，
則由，得，
所以點P坐標為
題型十一：切線問題
【典例11-1】平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，其右焦點與拋物線的焦點重合．
(1)求，的方程；
(2)點是上位于第一象限的動點，在點處的切線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點．問點是否在一條定直線上，若在，求出直線的方程；若不在，說明理由．
【解析】（1）因為橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，
所以橢圓的焦點在軸上，又因為橢圓離心率為，
所以，解得，
所以橢圓，右焦點為，所以，，
所以拋物線；
（2）
由題可設，
當時，由得，，
所以點處切線的斜率為，
設，，則，
因為，在橢圓上，所以，
兩式作差得，即，
所以直線的方程為，
令，解得，所以，
所以點在定直線上運動.
【典例11-2】給出如下的定義和定理：定義：若直線l與拋物線有且僅有一個公共點P，且l與的對稱軸不平行，則稱直線l為拋物線的切線，公共點P稱為切點.定理：過拋物線上一點處的切線方程為.運用上述材料解決以下問題.已知過拋物線的焦點F的直線l與C相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作C的切線，兩切線交點為M.
(1)當線段AB中點的縱坐標為時，求直線l的斜率；
(2)求的值；
(3)若點D與點F關于原點對稱，過點D作直線與C相交于不同的兩點P，Q，分別過P，Q作C的切線，兩切線相交于點R，問：是否存在直線，使得與的面積相等？若存在，求出的方程；若不存在，試說明理由.
【解析】（1）設，，則，，
兩式相減得，由線段AB中點的縱坐標為，
得，
所以，即直線的斜率為.
（2）設，，則直線，即，
同理得，聯立，
解得，則，
再設直線，聯立，得，
則，則
，
而
故，所以.
（3）由已知可得，設，，直線，
聯立，得，，
則，.
由（2）可知，C在點P處的切線方程為，
C在點Q處的切線方程為，
聯立得，
所以軸.
故，，
假設存在直線，使得與的面積相等，
則，即.
又，解得或，此時P，Q重合，與題意矛盾，
故不存在直線，使得與的面積相等.
（1）若點是圓上的點，則過點的切線方程為．
（2）若點是圓外的點，由點向圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
（3）若點是橢圓上的點，則過點的切線方程為．
（4）若點是橢圓外的點，由點P向橢圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
【變式11-1】已知橢圓的短軸長為，且過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)點為橢圓外的一點，過作兩條直線與橢圓相切，且這兩條直線互相垂直，求點的軌跡方程；
(3)過平面上一點作（2）中的軌跡的兩條切線且這兩條切線互相垂直，設點的軌跡方程為.依此類推，過平面上一點作軌跡的兩條切線且這兩條切線互相垂直，設點的軌跡方程為.在每條軌跡方程上任取三個點，且使得均為鈍角（為坐標原點）.求證：
【解析】（1）由于橢圓C：的短軸長為，所以有.
又由于橢圓過點A，所以有，所以有
所以有橢圓C的方程為.
（2）當過作兩條直線與橢圓C相切的直線中有一條直線的斜率不存在時，點的坐標為
當過作兩條直線與橢圓C相切的直線中兩條直線的斜率均存在時，可設這兩條直線的斜率為，.
設點的坐標為，則切線方程可設為與
聯立，
可得由于相切，
則.
則，即.
同理可得
所以，可以看成是的兩根.
由于這兩條切線互相垂直，則，所以有.
注意到，當當過作兩條直線與橢圓C相切的直線中有一條直線的斜率不存在時，
點的坐標為，也滿足，則點的軌跡方程為.
（3）由于點的軌跡方程為是一個圓，則過平面上一點作（2）中的軌跡的兩條切線且這兩條切線互相垂直，
點的軌跡方程也是一個圓，設軌跡方程的半徑為，則點的軌跡方程的半徑為，
依次類推，設軌跡方程的半徑為，則點的軌跡方程的半徑為，
不難發現是以為首項，為半徑的一個等比數列，則.
由于 是軌跡方程上任意三點，可設，，，
由于，，均為鈍角，則.
.
.
記，，則，，
令，解得或（舍去），此時，
則當時，，此時單調遞增，
當時，，此時單調遞減，
取得最大值.
.
1．如圖，已知橢圓的上、下焦點分別為，，焦距為2，離心率為，稱圓心在橢圓上運動，且半徑為的圓是橢圓的“環繞圓”.

(1)求橢圓的標準方程；
(2)記直線與橢圓的另一個交點為點，“環繞圓”的面積為，三角形的面積為，試判斷，是否存在點，使，若存在，求滿足條件的直線的條數，若不存在，請說明理由；
(3)若過原點可作“環繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于、兩點，直線，的斜率存在，記為，，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意，，得，故橢圓的標準方程為；
（2）由（1）知：，顯然直線不與軸重合，
設直線為，，
聯立，得，顯然，
所以，，
則，
圓半徑為1，則，故，
所以（負值舍），即滿足條件的直線有2條；
（3）設切線方程為，切線方程為，且，
圓與相切，則，化簡得，
同理，
所以是的兩個不相等實根，則，
又在橢圓上，故，則，
由存在，則，即，
所以.
題型十二：定比點差法
【典例12-1】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，求的值；
(3)設，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．
【解析】（1）由題意，得解得∴，故的方程為．
（2）由（1）知，
∴直線AB的方程為，由即，
設，，
則，，
∴．
設O點到直線AB的距離為d，則．
∴．
（3）設AB直線方程，
設，，，，
由由定比分點坐標公式：，
由于A，C滿足橢圓方程，故得
兩式作差得③，
將①②代入③可得，和①進行聯立，
即，解得：
由同理可得，
∴
，
故．
【典例12-2】過的直線與橢圓交于P，Q，過P作軸且與橢圓交于另一點N，F為橢圓的右焦點，若，求證：
【解析】設，則
設直線NQ與x軸相交于點，
由題設知：，所以
，，即，①
設，則，，即，②
比較①②得，，
又，兩式作差得，
得到，
得到，即M和F重合．
所以．
定比點差法是一種在解析幾何中常用的方法，特別是在處理圓錐曲線（如橢圓、雙曲線、拋物線）上的特定點時非常有效。該方法通過設定一個定點與曲線上任意兩點之間的比值關系，結合點差法，可以簡化計算過程，快速求解出所需參數或幾何量。
【變式12-1】已知橢圓，點，過點P作橢圓的割線PAB，C為B關于x軸的對稱點．求證：直線AC恒過定點．
【解析】設，，則，
設AC與x軸的交點為，，，
由定比分點公式坐標公式得：；，
即①，②，③，④，
由②④得⑤
∵點A、B在橢圓上，得，
兩式相減得，
將①②代入上式得⑥
∵點A、C在橢圓上，得，將③④代入上式同理可得⑦
可得，故直線AC恒過定點．
1．在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C:=1(a> b>0 )的離心率為，以橢圓上的一點和長軸的兩個端點為頂點的三角形面積最大值為
（1）求a，b的值
（2）當過點P(6，0)的動直線1與橢圓C交于不同的點A，B時，在線段AB上取點Q，使得=，問點Q是否總在某條定直線上 若是，求出該直線方程，若不是，說明理由.
【解析】（1）由已知得，解得，所以；
（2）由（1）得橢圓的方程為C:，
設點的坐標分別為，.
由題設知均不為零，記，則且，又四點共線，從而，于是，，，，從而①，②，又點在橢圓上，所以③，④，
所以①②并結合③，④，得 ，
化簡得.即點總在定直線上.
題型十三：齊次化
【典例13-1】已知橢圓的離心率為，過橢圓C右焦點并垂直于x軸的直線PM交橢圓C于P，M（點P位于x軸上方）兩點，且△OPM（O為坐標原點）的面積為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l交橢圓C于A，B（A，B異于點P）兩點，且直線PA與PB的斜率之積為，求點P到直線l距離的最大值．
【解析】（1）由題意可得，∴由題意可得且，解得，，
∴橢圓的方程為：．
（2）解法1：由（1）可得，
當直線 沒有斜率時，設方程為： ，則 ，此時，化簡得： 又，解得 或（舍去），此時P到直線l的距離為
設直線l有斜率時，設，，設其方程為：，聯立可得且整理可得：，
，且，，
，整理可得：，
整理可得，整理可得，即，或，
若，則直線方程為：，直線恒過，與P點重合，
若，則直線方程為：，∴直線恒過定點，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，
由于
∴點P到直線l距離的最大值．
解法2：公共點，左移1個單位，下移個單位，，
，，
，等式兩邊同時除以，，，，，
過，右移1個單位，上移個單位，過，∴P到直線l的距離的最大值為的值為，
由于
∴點P到直線l距離的最大值．
【典例13-2】如圖，點為橢圓的右焦點，過且垂直于軸的直線與橢圓相交于 兩點(在的上方)，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設點 是橢圓上位于直線兩側的動點，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.
【解析】（1）由得：，
橢圓的方程：
（2）設直線的方程為，，
橢圓的方程即：
即：
聯立得：
即
由得即：
直線的斜率為，是定值.
齊次化處理圓錐曲線是一種數學技巧，旨在將圓錐曲線的非齊次方程通過變量替換或坐標變換轉化為齊次方程。這種處理可以簡化問題的復雜度，使得后續的求解過程更為直觀和高效，常用于解決與圓錐曲線相關的幾何問題。
【變式13-1】已知拋物線，過點的直線與拋物線交于P，Q兩點，為坐標原點．證明：．
【解析】直線
由，得
則由，得：，
整理得：，即：．
所以，
則，即：．
1．已知橢圓C：.過點，兩個焦點為和.設E，F是橢圓C上的兩個動點.
(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過定點；
(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過定點.
【解析】（1）設直線EF方程為，即，
從而.
又橢圓過點，可得
整理可得
所以
即
則
顯然這是一個關于的一元二次方程.
對于問題（1），由韋達定理得
所以，故，則
所以直線EF恒過定點.
（2）對于問題（2），由韋達定理得
所以，則，
所以直線EF恒過定點.
題型十四：極點極線問題
【典例14-1】已知橢圓的左、右焦點分別為為上頂點，離心率 為，直線與圓相切.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)橢圓方程，平面上有一點. 定義直線方程 是橢圓在點處的極線.
① 若在橢圓上，證明: 橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 若過點分別作橢圓的兩條切線和一條割線，切點為，割線交橢圓 于兩點，過點分別作橢圓的兩條切線，且相交于點. 證明: 三點共線.
【解析】（1）由已知，，則
所以直線 ，即 ，
該直線與圓 與相切，則，
所以解得，，
故橢圓的標準方程為
（2）① 由(1)得橢圓的方程是 .
因為在橢圓上，所以，即，
由定義可知橢圓在點 處的極線方程為 ，
當時，，此時極線方程為，所以處的極線就是過點的切線，
當時，極線方程為，即，
由，得，
所以，
所以處的極線就是過點的切線，
綜上所述，橢圓在點處的極線就是過點的切線;
② 設點，
由①可知，過點的切線方程為，
過點的切線方程為，
因為都過點，所以有，
則割線的方程為，
同理可得過點的兩條切線的切點弦的方程為，即，
又因為割線過點，代入割線方程得，即 ，
所以三點共線，都在直線上．
【典例14-2】閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線：，則稱點和直線：是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換；以替換，以替換，即可得到對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點對應的極線方程為；對于雙曲線，與點對應的極線方程為；對于拋物線，與點對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質 定理：①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是從點向曲線所引兩條切線的切點所在的直線（即切點弦所在直線）；③當在內時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓：.
(1)點是直線：上的一個動點，過點向橢圓引兩條切線，切點分別為，，是否存在定點恒在直線上，若存在，當時，求直線的方程；若不存在，請說明理由.
(2)點在圓上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，求面積的最大值.
【解析】（1）設點，由點在直線上運動，得，
由消去并整理得，顯然，
即此方程組無實數解，于是直線與橢圓相離，即點在橢圓外，
又，都與橢圓相切，因此點和直線是橢圓的一對極點和極線，
對于橢圓，與點對應的極線方程為，
將代入，整理得，
顯然定點的坐標與的取值無關，即有，解得，所以存在定點恒在直線上，
當時，是線段的中點有在橢圓內，設，直線的斜率為，
則，兩式相減并整理得，即，
所以當時，直線的方程為，即.
（2）由（1）知直線的方程為，由題意知，
由消去并整理得：，
而，則，
設，，則，，
所以，
點到直線的距離為：，
因此面積，當時，令，
求導得，即在單調遞增，則的最大值為，
由對稱性可知當時，的最大值也為，
所以面積的最大值為.
極點極線問題通常涉及圓錐曲線的特殊點和線。解決方法包括利用圓錐曲線的性質和定義，通過設定極點和極線的關系，運用幾何和代數方法求解。關鍵在于理解極點和極線的幾何意義，并靈活運用相關公式和定理。
【變式14-1】閱讀材料：
（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.
（二）極點與極線的基本性質 定理
①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；
②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；
③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.
結合閱讀材料回答下面的問題：
(1)已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；
(2)已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為橢圓過點P(4,0)，
則，得，又，
所以，所以，
所以橢圓C的方程為.
根據閱讀材料，與點P對應的極線方程為，即；
（2）由題意，設點Q的坐標為(,)，
因為點Q在直線上運動，所以，
聯立，得，
，該方程無實數根，
所以直線與橢圓C相離，即點Q在橢圓C外，
又QM，QN都與橢圓C相切，
所以點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.
對于橢圓，與點Q(,)對應的極線方程為，
將代入，整理得，
又因為定點T的坐標與的取值無關，
所以，解得，
所以存在定點T(2,1)恒在直線MN上.
當時，T是線段MN的中點，
設，直線MN的斜率為，
則，兩式相減，整理得，即，
所以當時，直線MN的方程為，即.
1．已知F為拋物線的焦點，直線與C交于A，B兩點且.
（1）求C的方程.
（2）若直線與C交于M，N兩點，且與相交于點T，證明：點T在定直線上.
【解析】（1）設，，由，得，
則，
從而，
解得，故的方程為.
（2）證明：設，，，.
因為，所以.
根據得，則，
同理得.
又兩式相加得，
即，由于，所以.
故點在定直線上.
題型十五：同構問題
【典例15-1】拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長．
(1)求拋物線的方程；
(2)設是拋物線上位于第一象限的一點，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點,,證明：直線經過定點．
【解析】（1）由橢圓方程可知短軸長為，
∴拋物線的焦點到準線的距離，
故拋物線方程為．
（2）∵是拋物線上位于第一象限的點，∴且，∴．
設，，則直線方程為，
即，
∵直線DM：與圓E：相切，
∴，整理可得，，①
同理，直線DN與圓E相切可得，，②
由①②得a，b是方程的兩個實根，
∴，，
代入，化簡整理可得，
，
令，解得，
故直線MN恒過定點．
【典例15-2】設拋物線的焦點為F，過F作直線l交拋物線E于A，B兩點.當l與x軸垂直時，面積為8，其中O為坐標原點.
（1）求拋物線E的標準方程；
（2）若l的斜率存在且為點，直線與E的另一交點為C，直線與E的另一交點為D，設直線的斜率為，證明：為定值.
【解析】（1）由題意不妨設.
∴.
；
（2）設.
則直線l的斜率為，直線為.
則.
又點在直線上，則.
同理，直線為.
點在直線上，則.
同理，直線為.
點在直線上，則.
又，則，
得證.
利用圓錐曲線的標準方程和性質，通過變量替換、坐標變換等手段，將不同曲線或方程轉化為相同或相似的形式，從而簡化求解過程。
【變式15-1】已知橢圓的焦距為2，離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線與軸正半軸和軸分別交于點，與橢圓分別交于點，各點均不重合且滿足．若，證明：直線恒過定點．
【解析】（1）依題意，．由，得．
故橢圓方程為．
（2）設，
．
由，得，．
∵點在橢圓上，，整理得．
同理，由可得．
為方程的兩不相等實數根，．
．又．∴直線恒過定點．
1．已知拋物線上的點到坐標原點的距離等于該點到準線的距離．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過拋物線上一點P作圓的兩條斜率都存在的切線，分別與拋物線交于異于點P的M，N兩點．證明：直線MN與圓相切．
【解析】（1）因為點到坐標原點的距離等于該點到準線的距離，
所以點到坐標原點的距離等于該點到焦點的距離，
所以，解得，
所以拋物線的標準方程為．
（2）因為圓，所以圓心坐標為，半徑，
設，，，，所以直線PM的方程為，
即，
因為直線PM與圓相切，所以，整理得，
同理可得，所以，是關于y的方程的兩根，
所以，，
又因為直線MN的方程為，
所以圓的圓心到直線MN的距離，
所以直線MN與圓相切．
重難點突破：蝴蝶問題
【典例16-1】已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點．
【解析】（1）由橢圓的離心率為，且點在橢圓上，
可得，所以，
又點在該橢圓上，所以，所以，
所以橢圓C的標準方程為
（2）由于的斜率為，設的方程為，
聯立方程組，整理得，
所以，所以，
從而，即，
同理可得：由于的斜率為，則，
聯立方程組，可得，
即，
所以，所以，
從而，即，
當時即；時，，過點，
當時，，，即，所以直線過點，
綜上可得，直線過點.
【典例16-2】橢圓有兩個頂點過其焦點的直線與橢圓交于兩點，并與軸交于點，直線與交于點．
（1）當時，求直線的方程；
（2）當點異于兩點時，證明：為定值．
【解析】（1）由題意，橢圓的方程為
易得直線不與兩坐標軸垂直，
故可設的方程為，設，
由消去整理得，判別式
由韋達定理得，①
故，解得，
即直線的方程為．
（2）證明：直線的斜率為，故其方程為，
直線的斜率為，故其方程為，
由兩式相除得
即
由（1）知，
故
解得．易得，
故，
所以為定值1
關鍵在于利用圓錐曲線的對稱性和幾何性質，通過設定蝴蝶定理中的關鍵點，結合代數方法求解。需要熟練掌握圓錐曲線的標準方程和交點求解技巧。
【變式16-1】設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．

(1)求C的方程；
(2)設直線與C另一個交點分別為A，B，記直線的斜率為，求的值．
【解析】（1）由題意可得點，故，解得
所以拋物線C的方程為.
（2） 設，直線，
聯立直線，得，，
聯立直線，得，，
∴，同理可得，
由斜率公式可得，，∴．
則=2.
1.已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經過橢圓的左焦點F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)當時，求的值；
(3)設，延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為，求證：為定值．
【解析】（1）由題意，得解得∴，故的方程為．
（2）由（1）知，
∴直線AB的方程為，由即，
設，，
則，，
∴．
設O點到直線AB的距離為d，則．
∴．
（3）設AB直線方程，
設，，，，
由由定比分點坐標公式：，
由于A，C滿足橢圓方程，故得
兩式作差得③，
將①②代入③可得，和①進行聯立，
即，解得：
由同理可得，
∴
，
故．
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