資源簡介

專題20 排列組合原理與二項(xiàng)式定理經(jīng)典常考小題
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 6
05 核心精講·題型突破 11
題型一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題 11
題型二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題 12
題型三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題 15
題型四：特殊優(yōu)先與正難則反策略 17
題型五：相鄰問題與不相鄰問題 20
題型六：定序問題 22
題型七：多面手問題 24
題型八：錯(cuò)位排列問題 26
題型九：涂色問題 28
題型十：分組與分配問題 32
題型十一：隔板法 35
題型十二：環(huán)排與多排問題 37
題型十三：電路圖模型 39
重難點(diǎn)突破：機(jī)器人跳動(dòng)、波浪數(shù)、卡特蘭數(shù)模型 42
排列組合與二項(xiàng)式定理構(gòu)成了高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考查領(lǐng)域，預(yù)計(jì)未來的考試形式仍將側(cè)重于選擇題或填空題。這些題目將主要測試學(xué)生對基本概念和基本方法的掌握程度，難度水平預(yù)計(jì)會(huì)保持在中等偏下，與教材內(nèi)容保持一致。值得注意的是，這部分內(nèi)容與日常生活緊密相連，考生可以關(guān)注一些常見的排列組合實(shí)例，例如體育比賽的賽程安排、彩票中獎(jiǎng)規(guī)則等，以此來培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識和能力。
考點(diǎn)要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
二項(xiàng)式定理 掌握定理應(yīng)用，提升解題技能。 2024年天津卷第11題，5分 2024年甲卷第13題，5分 2023年北京卷第5題，4分 2023年天津卷第11題，5分 2022年I卷第13題，5分 2021年浙江卷第13題，6分 預(yù)計(jì)2025年高考數(shù)學(xué)將呈現(xiàn)以下新趨勢：一方面，小題形式將更為多樣，可能涵蓋選擇題或填空題，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧，這些構(gòu)成了數(shù)學(xué)四大核心素養(yǎng)。另一方面，考試的熱點(diǎn)內(nèi)容可能會(huì)聚焦于應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解系數(shù)相關(guān)問題，以及運(yùn)用排列組合理論來解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。
排列組合 理解概念公式，培養(yǎng)解題能力。 2024年II卷第14題，5分 2023年乙卷第7題，5分 2023年II卷第3題，5分 2023年I卷第13題，5分 2022年II卷第5題，5分 2021年乙卷第6題，5分
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個(gè)區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯(cuò)位排列公式
3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)
（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個(gè)不同元素排成一排，其中某個(gè)元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．
7、解決排列、組合綜合問題時(shí)需注意“四先四后”：
（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決．常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時(shí)，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮其他情形．
（3）先分組，后分配：對不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問題，常?！跋确纸M，再分配”．
（4）先組合，后排列：對于既要選又要排的排列組合綜合問題，常常考慮先選再排．
8、求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的方法
求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn)，一般需要建立方程求，再將的值代回通項(xiàng)求解，注意的取值范圍．
（1）第項(xiàng)：此時(shí)，直接代入通項(xiàng)；
（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變元”，令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為建立方程；
（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程．
特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解．
9、賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問題
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如，的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可．
10、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法
（1）若是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；
（2）若是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)（第項(xiàng)與第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等數(shù)最大．
1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的二項(xiàng)展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為 ．
【答案】5
【解析】由題展開式通項(xiàng)公式為，且，
設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，
，即，又，故，
所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.
故答案為：5.
3．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】20
【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，
令，可得，
所以常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：20.
4．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【解析】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，
則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，
第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，
所以共有種選法；
每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，
則所有的可能結(jié)果為：
，
，
，
，
所以選中的方格中，的4個(gè)數(shù)之和最大，為.
故答案為：24；112
5．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
【答案】
【解析】展開式的通項(xiàng)公式，
令可得，，
則項(xiàng)的系數(shù)為.
故答案為：60.
6．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
【答案】64
【解析】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；
（2）當(dāng)從8門課中選修3門，
①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；
②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；
綜上所述：不同的選課方案共有種.
故答案為：64.
7．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】不妨記五名志愿者為，
假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，
同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，
所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.
故選：B.
8．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
【答案】C
【解析】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，
根據(jù)分步乘法公式則共有種，
故選：C.
9．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】D
【解析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.
故選：D.
10．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】B
【解析】因?yàn)楸∫谝黄穑劝驯±墸醋鲆粋€(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，
故選：B
11．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知多項(xiàng)式，則 ， ．
【答案】
【解析】含的項(xiàng)為：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案為：；．
12．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
【答案】-28
【解析】因?yàn)椋?br/>所以的展開式中含的項(xiàng)為，
的展開式中的系數(shù)為-28
故答案為：-28
題型一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題
【典例1-1】的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?
的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為.
而，
所以的系數(shù)為為.
故選：C.
【典例1-2】的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】的展開式中的系數(shù)為,
故選：B
【變式1-1】的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．240 B． C．560 D．360
【答案】B
【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，
當(dāng)，即時(shí)，展開式中會(huì)出現(xiàn)，此時(shí)，
對于，通項(xiàng)為，要想得到，則需，
此時(shí)，即含的項(xiàng)的系數(shù)為，
故選：B.
【變式1-2】在的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】根據(jù)題意有：，
因?yàn)椋裕韵禂?shù)為整數(shù)的項(xiàng)為：1，4，7，故有3項(xiàng)
故選：C.
1．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60 B． C．120 D．
【答案】A
【解析】由題意可知：的通項(xiàng)為，
且的通項(xiàng)為，
令，解得，
所以的系數(shù)為．
故選：A
題型二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題
【典例2-1】（多選題）若，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】對于A：令，則，故A錯(cuò)誤；
對于B：令，則，故B正確；
對于C：令，則，故C正確；
對于D，由，
兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，
令，則，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【典例2-2】（多選題）已知，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】設(shè)，原式為,
令，,A正確；
令，則，
同乘得，
，，故B錯(cuò)誤
令，則，故C錯(cuò)誤
兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：，
再令，,故D正確.
故選：AD.
【變式2-1】（多選題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】依題意得，所以945，故A項(xiàng)正確；
令，得，令，得，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，得①，
又②，
由①+②可得，故C項(xiàng)正確；
同理，由②-①得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
【變式2-2】（多選題）已知，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】令，得，解得，故A正確；
所以，
令，得，
令，得，
所以，故B正確；
展開式的第項(xiàng)（且），
所以，故C錯(cuò)誤；
令，則，
設(shè)，
則，
令，得，
又，
所以
，故D正確.
故選：ABD
1．（多選題）若，且，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因?yàn)椋?br/>令可得，
即，
令可得，
∵，
∴，
∴，整理得，解得或．
故選：BC.
題型三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題
【典例3-1】在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的一項(xiàng)為 .
【答案】
【解析】由題設(shè)，二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，，
易知時(shí)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)為正，時(shí)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，
又，，，
所以系數(shù)最大的一項(xiàng)為.
故答案為：.
【典例3-2】在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第 項(xiàng)．
【答案】
【解析】的展開式的通項(xiàng)為，
則展開式的系數(shù)為，故為偶數(shù)時(shí)系數(shù)為正數(shù)，
由組合數(shù)，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，也符合為偶數(shù)，
故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng).
故答案為：.
【變式3-1】在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)為 .
【答案】
【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開公式可得，
，
所以系數(shù)最小的項(xiàng)為
故答案為：.
【變式3-2】在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 .
【答案】
【解析】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為,
其項(xiàng)的系數(shù)為，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)才有可能最大，
當(dāng)時(shí)，項(xiàng)的系數(shù)分別為,
故系數(shù)最大的項(xiàng)為,
故答案為：
1．已知的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為a，系數(shù)最大的項(xiàng)為b，則 ．
【答案】/
【解析】由題意得，通項(xiàng)，
當(dāng)滿足時(shí)，系數(shù)最大，
，即，解得
又
解得，
所以，
故．
故答案為：
題型四：特殊優(yōu)先與正難則反策略
【典例4-1】在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，學(xué)校安排甲、乙、丙、丁四名體育教師到三個(gè)比賽場地做比賽安全指導(dǎo)工作，且每個(gè)場地至少安排一人，則甲不安排在C場地，乙安排在A場地的不同安排方法種數(shù)為（ ）
A． B．10 C．12 D．24
【答案】A
【解析】因?yàn)榧撞话才旁贑場地，乙安排在A場地，
所以甲有兩種安排方案：
若甲安排在場地，此時(shí)乙也在場地，
剩下丙，丁兩人安排去場地，則有種不同的安排方法；
若甲安排在B場地，此時(shí)乙在場地，
若場地安排兩人，則有種安排方法；
若場地安排一人，從丙丁中選一人，有種安排方法，
另外一人去場地，有種安排方法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，有種安排方法；
由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有（種）不同的安排方法．
故選：A．
【典例4-2】在某次太空游行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過5道程序，其中，兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（ ）
A．18種 B．36種 C．72種 D．108種
【答案】B
【解析】先排，兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，
則在第2，3，4道程序中選兩個(gè)放，，共有種安排方法；
再排剩余的3道程序，共有種安排方法，
所以一共有種不同的順序安排方法.
故選：B.
【變式4-1】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔(dān)任班長、團(tuán)支書、學(xué)習(xí)委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【解析】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔(dān)任班長、團(tuán)支書、學(xué)習(xí)委員，不同的選法種數(shù)為種，
若甲、乙兩人都被選中，則不同的選法種數(shù)為種，
因此，甲、乙至多有人被選中的不同選法有種.
故選：C.
【變式4-2】2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（ ）
A．1440種 B．1360種
C．1282種 D．1128種
【答案】D
【解析】采取對丙和甲進(jìn)行捆綁的方法：
如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：種，
如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：種，
若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：種．
則不同的安排方案共有(種)．
故選：D．
1．某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報(bào)名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個(gè)項(xiàng)目，每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報(bào)名方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【解析】滿足條件的報(bào)名方法可分為兩類：
第一類：甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽，
先安排甲，由于甲不能參加跳遠(yuǎn)，故甲的安排方法有種，
再將余下人，安排到與下的三個(gè)項(xiàng)目，
由于每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，
故滿足條件的報(bào)名方法有,
所以甲單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，
第二類：甲與其他一人一起參加某項(xiàng)比賽，
先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項(xiàng)目，有種方法，
再安排余下三人，有種方法，
所以甲不單獨(dú)參加某項(xiàng)比賽的報(bào)名方法有種，
所以滿足條件的不同的報(bào)名方法共有種方法.
故選：C.
題型五：相鄰問題與不相鄰問題
【典例5-1】我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)．其中將五人排成一行形成甲隊(duì)，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（ ）
A．432 B．864 C．1728 D．2592
【答案】C
【解析】甲隊(duì)，先用捆綁法，將與捆綁有種，將與看作一個(gè)整體，再用除序法得種，利用計(jì)數(shù)原理可知，一共為種；
乙隊(duì)，利用插空法得種；
按照計(jì)數(shù)原理可知，一共種.
故選：C
【典例5-2】春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個(gè)自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個(gè)節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（ ）
A．240種 B．188種 C．144種 D．120種
【答案】D
【解析】先將“相聲”與“小品”排在一起，有種排法，再與其它4個(gè)節(jié)目排序，有種排法，
最后考慮雜技節(jié)目在前三位或在后三位情況一樣，所以有種．
故選：D.
【變式5-1】小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】B
【解析】由題意知可將當(dāng)成一個(gè)整體來計(jì)算，和總計(jì)有種排法，
再根據(jù)插空法可得總排法有.
故選：B
【變式5-2】北京時(shí)間2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報(bào)平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（ ）
A．144種 B．204種 C．156種 D．240種
【答案】C
【解析】第一步，唐勝杰、江新林2人相鄰，有種排法；
第二步，分景海鵬站最右邊與景海鵬不站最左邊與最右邊兩種情況討論
第一種情況：景海鵬站最右邊，共有種排法；
第二種情況：景海鵬不站最左邊與最右邊，則共有種排法，
故總共有種排法.
故選：C.
1．某班上有5名同學(xué)相約周末去公園拍照，這5名同學(xué)站成一排，其中甲、乙兩名同學(xué)要求站在一起，丙同學(xué)不站在正中間，不同的安排方法數(shù)有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【答案】C
【解析】設(shè)剩下的兩人分別為丁和戊，
①甲、乙在丁、戊之間，將甲、乙捆綁成一個(gè)元素，
丁、戊兩人有種排法，甲、乙內(nèi)部有種排法，丙有4個(gè)位置可站，
則共有種；
②丁、戊在甲、乙一側(cè)時(shí)，丁、戊可選擇甲、乙左側(cè)或右側(cè)，則有種排法，
丁、戊排列有種排法， 甲、乙之間排列也有種排法， 丙有3個(gè)位置可站，
則該種情況共有種，
則總共有種不同安排方法.
故選：C.
題型六：定序問題
【典例6-1】如圖，左車道有2輛汽車，右車道有3輛汽車等待合流，則合流結(jié)束時(shí)汽車通過順序共有（ ）種.
A．10 B．20 C．60 D．120
【答案】A
【解析】設(shè)左車輛汽車依次為，右車輛汽車依次為，
則通過順序的種數(shù)等價(jià)于將安排在5個(gè)順序中的某兩個(gè)位置（保持前后順序不變），
安排在其余3個(gè)位置（保持前后順序不變），，
所以，合流結(jié)束時(shí)汽車通過順序共有.
故選：A.
【典例6-2】滿足，且的有序數(shù)組共有（ ）個(gè).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以從1到9共9個(gè)數(shù)任取4個(gè)數(shù)得一個(gè)有序數(shù)組，所有個(gè)數(shù)為．
故選：A．
【變式6-1】已知，則滿足的有序數(shù)組共有（ ）個(gè)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】所有有序數(shù)組中,滿足的
有序數(shù)組中包含個(gè)0，另外兩個(gè)數(shù)在或中選擇，每個(gè)位置有2種選擇，由乘法計(jì)數(shù)原理得不同的種數(shù)為.
故選：B.
【變式6-2】六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機(jī)排成一列隊(duì)伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機(jī)分兩列隊(duì)伍依次排隊(duì)站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊(duì)就能接到自己家的小朋友的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨假設(shè)六位爸爸已經(jīng)站好了位置，不同站位方法數(shù)為，
小孩找到各自的爸爸，則其為定序問題，不同站位方法數(shù)為
所以不需要插隊(duì)的概率.
故選：B
1．三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
【答案】C
【解析】
將8只氣球編號，依次從下往上，從右往左編號為，
問題等價(jià)于8只氣球排列，
其中號，號，號必須是從下到上的順序打破氣球，
則有種.
故選：C
題型七：多面手問題
【典例7-1】某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．56種 B．68種
C．74種 D．92種
【答案】D
【解析】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進(jìn)行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有 種，有一個(gè)“多面手”的選派方法有種，有兩個(gè)“多面手”的選派方法有種，即共有(種)不同的選派方法．
故選：D
【典例7-2】我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）種不同的選法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的人中入選的人數(shù)分類處理．
第一類個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，則從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇3人來跳舞，接著從剩余的5人中選擇3人唱歌，故有種；
第二類個(gè)只會(huì)跳舞的有人入選，有種，再從從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇2人來跳舞，有種，再從剩余的6人中選擇3人唱歌，有種，故有種；
第三類個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有種，再從從既能唱歌又能跳舞的5人中選擇1人來跳舞，有種，再從剩余的7人中選擇3人唱歌，有種，有種，
所以共有種不同的選法，
故選：A．
【變式7-1】某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語，4人只會(huì)法語，2人既會(huì)英語又會(huì)法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，按“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”的參與情況分成三類．
①“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”不參加，這時(shí)有種；
②“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中有一人入選，
這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，
因此有種；
③“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中兩個(gè)均入選，
這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語種，
因此有種．
綜上分析，共可開出種．
故選：B．
1．有名歌舞演員，其中名會(huì)唱歌，名會(huì)跳舞，從中選出人，并指派一人唱歌，另一個(gè)跳舞，則不同的選派方法有 （ ）
A．種 B．種 C．種 D．72種
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，有名歌舞演員，其中名會(huì)唱歌，名會(huì)跳舞，
則既會(huì)跳舞又會(huì)唱歌的有人，
只會(huì)唱歌的有人，只會(huì)跳舞的有人;
若選出2人，沒有既會(huì)跳舞又會(huì)唱歌，則有種選法，
若選出2人中有1人既會(huì)跳舞又會(huì)唱歌，則有種選法，
若選出2人全部是既會(huì)跳舞又會(huì)唱歌的，則有種選法，
綜上共有種選法.
故選：C.
題型八：錯(cuò)位排列問題
【典例8-1】“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
【答案】C
【解析】按題意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選?。虼颂罘倲?shù)為．
故選：C.
【典例8-2】編號為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號與座位號一致的坐法有（ ）
A．10種 B．20種 C．30種 D．60種
【答案】B
【解析】先選擇兩個(gè)編號與座位號一致的人，方法數(shù)有，
另外三個(gè)人編號與座位號不一致，方法數(shù)有，
所以不同的坐法有種.
故選：B
【變式8-1】將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，分以下兩步進(jìn)行：
（1）在個(gè)小球中任選個(gè)放入相同編號的盒子里，有種選法，假設(shè)選出的個(gè)小球的編號為、；
（2）剩下的個(gè)小球要放入與其編號不一致的盒子里，
對于編號為的小球，有個(gè)盒子可以放入，假設(shè)放入的是號盒子.
則對于編號為的小球，有個(gè)盒子可以放入，
對于編號為、的小球，只有種放法.
綜上所述，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.
故選：B.
【變式8-2】將編號為1 2 3 4 5 6的六個(gè)小球放入編號為1 2 3 4 5 6的六個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數(shù)是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
【答案】B
【解析】第一步，先選取3個(gè)盒子，放入編號相同的3個(gè)球，方法數(shù)為，第二步剩下的3個(gè)盒子放入編號不同的小球，有2種方法，所以總方法數(shù)為．
故選：B．
1．元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（ ）
A．6種 B．9種 C．11種 D．23種
【答案】B
【解析】解法1：設(shè)四人A、B、C、D寫的賀卡分別是a、b、c、d，
當(dāng)A拿賀卡b，則B可拿a、c、d中的任何一張，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，
所以A拿b時(shí)有三種不同的分配方式；
同理，A拿c，d時(shí)也各有三種不同的分配方式，
由分類加法計(jì)數(shù)原理，四張賀卡共有（種）分配方式；
解法2：讓四人A、B、C、D依次拿一張別人送出的賀卡，
如果A先拿，有3種，此時(shí)被A拿走的那張賀卡的人也有3種不同的取法，
接下來，剩下的兩個(gè)人都各只有1種取法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，四張賀卡不同的分配方式有（種）．
故選：B.
題型九：涂色問題
【典例9-1】已知正四棱錐，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個(gè)頂點(diǎn)涂色，每個(gè)頂點(diǎn)只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不同色，則不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．420 C．336 D．120
【答案】B
【解析】當(dāng)只用三種顏色時(shí)，同色且同色，
5種顏色選擇3種，且有種選擇，
當(dāng)只用四種顏色時(shí)，同色或同色，
從5種顏色中選擇4種，再從和中二選一，涂相同顏色，
故有種選擇，
當(dāng)用五種顏色時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)用1種顏色，故有種選擇，
綜上，共有種選擇.
故選：B
【典例9-2】如圖，用4種不同的顏色對圖中 5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有（ ）

A．24 B．96 C．48 D．108
【答案】B
【解析】第一步：涂區(qū)域，有種方法；
第二步：涂區(qū)域，有種方法；
第三步：涂區(qū)域，有種方法；
第四步（此前三步已經(jīng)用去三種顏色）：涂區(qū)域，分兩類：
第一類，區(qū)域與同色，則區(qū)域涂第四種顏色；
第二類，區(qū)域與不同色，則區(qū)域涂第四種顏色，
此時(shí)區(qū)域就可以涂區(qū)域或區(qū)域或區(qū)域中的任意一種顏色，有種方法．
所以，不同的涂色種數(shù)有.
故選：B
【變式9-1】如圖，對，，，，五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【解析】先涂，，，有種方法.
若的顏色不同于，，所涂顏色，有種涂法，此時(shí)有種涂法，則對應(yīng)總涂法數(shù)為；
若的顏色與的顏色相同，此時(shí)有種涂法，則對應(yīng)總涂法數(shù)為；
若的顏色與的顏色相同，此時(shí)有種涂法，則對應(yīng)總涂法數(shù)為.
綜上，總涂法數(shù)為.
故選：C
【變式9-2】中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有
（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】B
【解析】由題意可得，只需確定區(qū)域，，，的顏色，即可確定整個(gè)傘面的涂色．
先涂區(qū)域，有種選擇，再涂區(qū)域，有種選擇，
當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色不同時(shí)，區(qū)域有種選擇，剩下的區(qū)域有種選擇；
當(dāng)區(qū)域與區(qū)域涂的顏色相同時(shí)，剩下的區(qū)域有種選擇，
故不同的涂色方案有種．
故選：B．
1．五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué) 中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【解析】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.
五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.
故問題轉(zhuǎn)化為如圖五個(gè)區(qū)域，
有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問題.
分為以下兩類情況：
第一類：三個(gè)區(qū)域涂三種不同的顏色，
第一步涂區(qū)域，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個(gè)區(qū)域上，則有種方法，
第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，
第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計(jì)數(shù)原理，則共有種方法；
第二類：三個(gè)區(qū)域涂兩種不同的顏色，
由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.
若涂一色，
第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，
即涂個(gè)區(qū)域不同色，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個(gè)區(qū)域上，則有種方法，
第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，
第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計(jì)數(shù)原理，則共有種方法；
若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，
則共有種方法.
由分類計(jì)數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.
故選：D.
題型十：分組與分配問題
【典例10-1】某賓館安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且甲和乙住同一個(gè)房間，則共有 種不同的安排方法．（用數(shù)字作答）
【答案】36
【解析】若甲乙連同另一個(gè)人共3人一起住一個(gè)房間，其它2人一人一間房，三組作全排列，此時(shí)有種方法，
若只有甲乙兩人住一個(gè)房間，其它3人選1人住一間房，三組再作全排列，此時(shí)由種方法，
故共有方法，
故答案為：36．
【典例10-2】為深入貫徹黨的二十大精神，我市邀請、、、、五位黨的二十大代表分別到一中、五中、鐵中、蒙中做宣講工作，每個(gè)學(xué)校至少一人參加.若其中、因只會(huì)漢語不能到蒙中宣講，其余三人蒙漢兼通，可選派到任何學(xué)校宣講.則不同的選派方案共有 種.
【答案】126
【解析】根據(jù)題意可分為2種情況討論：
（1）從、、三人中選1人去蒙中，有種選法，剩下4人安排到其余三所學(xué)校，
即4人分成2,1,1三組，有種分法，然后將這三組全排列安排這三所學(xué)校有種排法，
根據(jù)分步原理，這種情況的選派方案有種；
（2）從、、三人中選2人去蒙中，有種選法，剩下3人安排到其余三所學(xué)校，
有種排法，根據(jù)分步原理，這種情況的選派方案有種；
綜上可得，共有種不同的選法.
故答案為：126.
【變式10-1】在杭州亞運(yùn)會(huì)比賽中，6名志愿者被安排到安檢、引導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員入場、賽場記錄這三項(xiàng)工作，若每項(xiàng)工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項(xiàng)工作，則合適的安排方案共有 種.（用數(shù)字作答）
【答案】540
【解析】6名志愿者被安排三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，
則分組方式為或或；
第一步先分組，分組方式共有種；
第二步再分配，三個(gè)組三個(gè)任務(wù)，由排列的定義可知為全排列種分配方案；
第三步根據(jù)分步乘法原理總計(jì)種安排方案.
故答案為：540.
【變式10-2】將分別標(biāo)有號碼的6個(gè)小球平均分為兩組，則“標(biāo)號為4的小球不是所在組標(biāo)號最大的且標(biāo)號為3的小球不是所在組標(biāo)號最小的”的分組方式有 種.
【答案】5
【解析】方法一（間接法）：事件“標(biāo)號為4的小球不是所在組標(biāo)號最大的且標(biāo)號為3的小球不是所在組標(biāo)號最小的”的反面是“標(biāo)號為4的小球是所在組標(biāo)號最大的”“標(biāo)號為3的小球是所在組標(biāo)號最小的”至少一個(gè)成立.
當(dāng)標(biāo)號分別為3和4的小球不在同一組時(shí)，有124，356一種分法，
且“標(biāo)號為4的小球是所在組標(biāo)號最大的”和“標(biāo)號為3的小球是所在組標(biāo)號最小的”同時(shí)成立.
當(dāng)標(biāo)號分別為3和4的小球在同一組時(shí)，
若“標(biāo)號為4的小球是所在組標(biāo)號最大的”成立，則有134，256和234，156兩種分法；
若“標(biāo)號為3的小球是所在組標(biāo)號最小的”成立，則有126，345和125，346兩種分法．
綜上，不符合題意的分法有5種.
將6個(gè)小球平均分成兩組，有種分法，所以符合題意的分法有種．
方法二（直接法）：當(dāng)標(biāo)號分別為3和4的小球在同一組時(shí)，
不論和它們在一組的小球的標(biāo)號是1，2，5，6中的哪一個(gè)，
“標(biāo)號為4的小球不是所在組標(biāo)號最大的”和“標(biāo)號為3的小球不是所在組標(biāo)號最小的”不能同時(shí)成立，
所以標(biāo)號分別為3和4的小球不在同一組.
由題意可得，標(biāo)號為1，2的小球中至少有1個(gè)與標(biāo)號為3的小球一組，
標(biāo)號為5，6的小球中至少有1個(gè)與標(biāo)號為4的小球一組．
故符合題意的分組方式有種．
故答案為：5
1．展開式共 項(xiàng).
【答案】286
【解析】可以看作10個(gè)相同的小盒子，每個(gè)盒子里都4個(gè)不同的數(shù)，
展開式的每一項(xiàng)都是從10個(gè)盒子里取一個(gè)數(shù)，然后相乘構(gòu)成的，
若選一個(gè)數(shù)，能構(gòu)成不同的項(xiàng)種，
若選2個(gè)數(shù)，先選2個(gè)數(shù)有種選法，然后把10個(gè)盒子分給這2個(gè)數(shù)，利用隔板法可得分法為種，故能構(gòu)成不同的項(xiàng)種，
若選3個(gè)數(shù)，同理可知能構(gòu)成不同的項(xiàng)種，
若選4個(gè)數(shù)，可構(gòu)成不同的項(xiàng)種，
由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種，
故答案為：286
題型十一：隔板法
【典例11-1】滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（ ）
A．228 B．229 C．230 D．231
【答案】D
【解析】先考慮的有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)，由絕對值的和為3、4或5，可得個(gè)數(shù)為.
若有一個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，
若有兩個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，
若全為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為個(gè)，
故共有不同組數(shù)231.
故選：D.
【典例11-2】小明同學(xué)去文具店購買文具，現(xiàn)有四種不同樣式的筆記本可供選擇（可以有筆記本不被選擇），單價(jià)均為一元一本，小明只有元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【解析】將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為將個(gè)完全相同的小球放入個(gè)盒子里，允許有空盒，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：將個(gè)完全相同的小球放入個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里至少有個(gè)球，利用隔板法可得出結(jié)果.問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為將個(gè)完全相同的小球放入個(gè)盒子里，允許有空盒.
進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：將個(gè)完全相同的小球放入個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里至少有個(gè)球.
由隔板法可知，不同的選購方法有種.
故選：B.
【變式11-1】把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
【答案】A
【解析】先將卡片分為符合條件的三份，
由題意知：三人分六張卡片，且每人至少一張，至多四張，
若分得的卡片超過一張，則必須是連號，
相當(dāng)于將，，，，，這六個(gè)數(shù)用兩個(gè)隔板隔開，在五個(gè)空位插上兩個(gè)隔板，共種情況，
再對應(yīng)到三個(gè)人有種情況，則共有種法.
故選：A．
【變式11-2】在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，作出圖形如下，
因?yàn)?，所以?br/>設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，故，
設(shè)是面上的點(diǎn)，則，
故，則，
不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為，則，故，則，
易知若，則在面上，若，則在三棱錐外部，
所以，
當(dāng)且時(shí)，
將寫成個(gè)排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個(gè)數(shù)為的取值的方法個(gè)數(shù)，顯然有個(gè)方法，
所有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，
因?yàn)椋?br/>所以.
故選：B.
1．已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（ ）組不同的解.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】問題可轉(zhuǎn)化為，10個(gè)相同的小球放到三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子不能空著，每個(gè)盒子中小球的數(shù)目就是方程的一組解，
由隔板法可知，共有種不同的分法，
即方程共有組不同的解.
故選：A
題型十二：環(huán)排與多排問題
【典例12-1】甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．6種 B．12種 C．24種 D．48種
【答案】D
【解析】因?yàn)橛捎诃h(huán)狀排列沒有首尾之分，將n個(gè)不同元素圍成的環(huán)狀排列剪開看成n個(gè)元素排成一排，即共有種排法，
由于n個(gè)不同元素共有n種不同的剪法，則環(huán)狀排列共有 種排法.
甲、乙兩人相鄰而坐，可將此2人當(dāng)作1人看，即5人圍一圓桌，有種坐法，
又因?yàn)榧住⒁?人可換位，有2!種坐法，故所求坐法為種.
故選：D
【典例12-2】一對夫妻帶著3個(gè)小孩和一個(gè)老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個(gè)小孩均不相鄰的站法種數(shù)是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【答案】B
【解析】將老人位置固定，夫妻兩人在老人左右，此時(shí)有種站法，
將三個(gè)孩子插入兩兩大人之間的空隙中，有種站法，
故總的站法有.
故選：B
【變式12-1】 A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（ ）
A．60種 B．48種 C．30種 D．24種
【答案】B
【解析】首先，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，
考慮B、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個(gè)座位，位置可以互換，利用捆綁法可得種，
接下來，考慮其余三人的情況，其余位置可以互換，可得種，
最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到種.
故選：B.
【變式12-2】現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（ ）
A．6種 B．8種 C．12種 D．16種
【答案】B
【解析】先安排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，則乙只能坐甲對面，
而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個(gè)位置的坐法有種，
所以共有坐法種數(shù)為種.
故選：B
1．已知甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，其中一個(gè)排列“甲乙丙”與該排列旋轉(zhuǎn)一個(gè)或幾個(gè)位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一個(gè)排列．現(xiàn)有位同學(xué)，若站成一排，且甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共有種，那么這位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，不同的站法總數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因站成一排時(shí)甲在乙左與甲在乙右的站法數(shù)相同，而m位同學(xué)站成一排有，則，解得，
甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一個(gè)圓，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列，
其中每一個(gè)排列可以拆成以任意一個(gè)人為排首的直線排列3個(gè)，3人圍成一個(gè)圓的排列數(shù)為，
由此可得n個(gè)人圍成一個(gè)圓的排列數(shù)為，5位同學(xué)圍成一個(gè)圓的排列數(shù)為.
故選：A
題型十三：電路圖模型
【典例13-1】如題圖所示，要選擇一條路徑接通從A到B的電路，不同的接法共有（ ）．

A．6種 B．7種 C．8種 D．12種
【答案】C
【解析】最上面的線路有3種，中間線路1種，下面線路有種．三種情況相加為8.
故選：C
【典例13-2】如圖是一個(gè)空氣開關(guān)，又名空氣斷路器，是家中非常重要的一種電器，它集控制和多種保護(hù)功能于一身，能對電路或電氣設(shè)備發(fā)生的短路、嚴(yán)重過載及欠電壓等進(jìn)行保護(hù)．某學(xué)校配電房共有18個(gè)空氣開關(guān)排成一列，電工準(zhǔn)備進(jìn)行電路調(diào)試，打算關(guān)閉3個(gè)，頭尾不能關(guān)閉，關(guān)閉的相鄰兩個(gè)開關(guān)之間至少有兩個(gè)是打開的，則不同的方案種數(shù)是（ ）
A．220 B．364 C．560 D．680
【答案】A
【解析】將18個(gè)開關(guān)分成兩組，一組為要關(guān)閉的3個(gè)開關(guān)，另外一組為剩余的15個(gè)開關(guān)，
由題意可知：開關(guān)均是相同的，
將剩余的15個(gè)開關(guān)中的13個(gè)開關(guān)排成一排，
將需要關(guān)閉的3個(gè)開關(guān)插空，不能插在首位兩位，不同的方案共有種，
由于關(guān)閉的相鄰兩個(gè)開關(guān)之間至少有兩個(gè)是打開的，再將剩下的2個(gè)開關(guān)插入關(guān)閉的開關(guān)之間，2個(gè)間隔各放一個(gè)，
因?yàn)殚_關(guān)均是相同的，所以放法是唯一的，所以不同的方案共有種.
故選：A.
【變式13-1】如圖所示，在間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通,今發(fā)現(xiàn)之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有（ ）
A．9種 B．11種 C．13種 D．15種
【答案】C
【解析】若之間電路不通，按焊接點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)分成4類：
脫落1個(gè)，有1，4，共2種；
脫落2個(gè)，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6種；
脫落3個(gè)，有（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），共4種；
脫落4個(gè)，有（1，2，3，4），共1種，
由分類加法計(jì)數(shù)原理，焊接點(diǎn)脫落的情況共有種．
故選：C
【變式13-2】一個(gè)電路中含有（1）（2）兩個(gè)零件，零件（1）含有A，B兩個(gè)元件，零件（2）含有C，D，E三個(gè)元件，每個(gè)零件中有一個(gè)元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該電路能正常工作的線路條數(shù)為（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理易得，該電路能正常工作的線路條數(shù)為條．
故選：C．
1．已知如圖所示的電路中，每個(gè)開關(guān)都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個(gè)開關(guān)共有種可能，在這種可能中，電路從P到Q接通的情況有 種．

【答案】16
【解析】若電路從到接通，共有三種情況：
（1）若1閉合，而4不閉合時(shí)，可得分為：
①若1、2閉合，而4不閉合，則3、5可以閉合也可以不閉合，共有種情況；
②若1、3、5閉合，而4不閉合，則2可以閉合也可以不閉合，有2種情況，
但①與②中都包含1、2、3、5都閉合，而4不閉合的情況，所以共有種情況；
（2）若4閉合，而1不閉合時(shí)，可分為：
③若4、5閉合，而1不閉合，則2、3可以閉合也可以不閉合，有種情況；
④若4、3、2閉合，而1不閉合，則5可以閉合也可以不閉合，有2種情況，
但③與④中，都包含4、2、3、5都閉合，而1不閉合的情況，所以共有種情況；
（3）若1、4都閉合，共有種情況，而其中電路不通有2、3、5都不閉合與2、5都不閉合2種情況，則此時(shí)電路接通的情況有種情況；
所以電路接通的情況有種情況.
故答案為：.
重難點(diǎn)突破：機(jī)器人跳動(dòng)、波浪數(shù)、卡特蘭數(shù)模型
【典例14-1】形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，由1，2，3，4，5構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．13 B．16 C．20 D．25
【答案】B
【解析】依題意，由1，2，3，4，5構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位“波浪數(shù)”的十位、千位數(shù)字分別為5與4或5與3，
當(dāng)十位、千位數(shù)字為5與4時(shí)，排十位、千位數(shù)字有種，排另三個(gè)數(shù)位有種，共有種，
當(dāng)十位、千位數(shù)字為5與3時(shí)，則4與5必相鄰，且4只能為最高位或個(gè)位，即4與5可視為一個(gè)整體，
1，2，3視為一個(gè)整體，且3在1與2的中間，因此不同排法有種，
所以構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為.
故選：B
【典例14-2】幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（ ）
A．23 B．24 C．32 D．33
【答案】D
【解析】不妨設(shè)代表樹枝的高度，五根樹枝從上至下共九個(gè)位置，
根據(jù)甲依次撞擊到樹枝；乙依次撞擊到樹枝；丙依次撞擊到樹枝；丁依次撞擊到樹枝；戊依次撞擊到樹枝可得，
在前四個(gè)位置，，，且一定排在后四個(gè)位置，
（1）若排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C,則第六個(gè)位置一定排D，后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排D，則后四個(gè)位置共有4種排法，所以I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有種排法；
（2）若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則按順序排在前四個(gè)位置，由于，所以后五個(gè)位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置共有5種排法，
由分類計(jì)數(shù)原理可得，這9根樹枝從高到低不同的次序有種.
故選：D.
【變式14-1】清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁 查理 卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共有多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有 種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方，但可以到達(dá)直線，則有 種不同的走法.

【答案】 35 14
【解析】
從左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右，
故只需確定哪3步向上走即可，共有種不同的走法；
若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），
則由卡特蘭數(shù)可知共有種不同的走法，
又到達(dá)右上角必須最后經(jīng)過，所以滿足題目條件的走法種數(shù)也是14.
故答案為：35；14
【變式14-2】一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位．若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有 種．
【答案】75
【解析】根據(jù)題意，可分4種情況討論：
①小蜜蜂向正發(fā)現(xiàn)飛行4次，負(fù)方向飛行1次，每次飛行個(gè)單位，有種飛行方式；
②小蜜蜂向正方向飛行4次，有3次飛行1個(gè)單位，1次飛行2個(gè)單位，負(fù)方向飛行1次，飛行2個(gè)單位，有種飛行方式；
③小蜜蜂向正方向飛行3次，有2次飛行2個(gè)單位，1次飛行1個(gè)單位，負(fù)方向飛行2次，每次飛行1個(gè)單位，有種飛行方式；
④小蜜蜂向正方向飛行3次，每次2個(gè)單位，負(fù)方向飛行2次，1次飛行2個(gè)單位，1次飛行1個(gè)單位，有種飛行方式；
綜上可得，共有種飛行方式.
故答案為：75.
1．若某人對機(jī)器狗發(fā)出一次指令，使機(jī)器狗沿著直線方向要么前進(jìn)一步，要么后退一步，允許重復(fù)過任何一點(diǎn)．若此人發(fā)出6次指令后，機(jī)器狗相對于初始位置前進(jìn)了兩步，則不同指令方案數(shù)有 種；若此人發(fā)出次指令后，機(jī)器狗相對于初始位置前進(jìn)了兩步，則不同指令方案數(shù)有 種．
【答案】 15 （或）
【解析】根據(jù)題意無論哪次前進(jìn)還是后退，實(shí)際上本質(zhì)是前進(jìn)步，后退步，
只要在步中選定前進(jìn)的步，剩下的步就是后退，
所以有種不同走法；
若此人發(fā)出次指令后，機(jī)器狗相對于初始位置前進(jìn)了兩步，
設(shè)前進(jìn)步，則后退步，即，解得，
則不同指令方案數(shù)為種.
故答案為：15；（或）.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題20 排列組合原理與二項(xiàng)式定理經(jīng)典?？夹☆}
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 6
05 核心精講·題型突破 8
題型一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題 8
題型二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題 8
題型三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題 9
題型四：特殊優(yōu)先與正難則反策略 10
題型五：相鄰問題與不相鄰問題 11
題型六：定序問題 11
題型七：多面手問題 13
題型八：錯(cuò)位排列問題 13
題型九：涂色問題 14
題型十：分組與分配問題 16
題型十一：隔板法 16
題型十二：環(huán)排與多排問題 17
題型十三：電路圖模型 18
重難點(diǎn)突破：機(jī)器人跳動(dòng)、波浪數(shù)、卡特蘭數(shù)模型 19
排列組合與二項(xiàng)式定理構(gòu)成了高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考查領(lǐng)域，預(yù)計(jì)未來的考試形式仍將側(cè)重于選擇題或填空題。這些題目將主要測試學(xué)生對基本概念和基本方法的掌握程度，難度水平預(yù)計(jì)會(huì)保持在中等偏下，與教材內(nèi)容保持一致。值得注意的是，這部分內(nèi)容與日常生活緊密相連，考生可以關(guān)注一些常見的排列組合實(shí)例，例如體育比賽的賽程安排、彩票中獎(jiǎng)規(guī)則等，以此來培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識和能力。
考點(diǎn)要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
二項(xiàng)式定理 掌握定理應(yīng)用，提升解題技能。 2024年天津卷第11題，5分 2024年甲卷第13題，5分 2023年北京卷第5題，4分 2023年天津卷第11題，5分 2022年I卷第13題，5分 2021年浙江卷第13題，6分 預(yù)計(jì)2025年高考數(shù)學(xué)將呈現(xiàn)以下新趨勢：一方面，小題形式將更為多樣，可能涵蓋選擇題或填空題，著重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧，這些構(gòu)成了數(shù)學(xué)四大核心素養(yǎng)。另一方面，考試的熱點(diǎn)內(nèi)容可能會(huì)聚焦于應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解系數(shù)相關(guān)問題，以及運(yùn)用排列組合理論來解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。
排列組合 理解概念公式，培養(yǎng)解題能力。 2024年II卷第14題，5分 2023年乙卷第7題，5分 2023年II卷第3題，5分 2023年I卷第13題，5分 2022年II卷第5題，5分 2021年乙卷第6題，5分
1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個(gè)區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．
2、錯(cuò)位排列公式
3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)
（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．
4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：
（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；
（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；
（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．
5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．
6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個(gè)不同元素排成一排，其中某個(gè)元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．
7、解決排列、組合綜合問題時(shí)需注意“四先四后”：
（1）先分類，后分步：某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干類，再由分類加法計(jì)數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計(jì)數(shù)原理解決．常常既要分類，又要分步，其原則是先分類，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、組合問題時(shí)，常先考慮特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考慮其他情形．
（3）先分組，后分配：對不同元素且較為復(fù)雜的平均分組問題，常?！跋确纸M，再分配”．
（4）先組合，后排列：對于既要選又要排的排列組合綜合問題，常?？紤]先選再排．
8、求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的方法
求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn)，一般需要建立方程求，再將的值代回通項(xiàng)求解，注意的取值范圍．
（1）第項(xiàng)：此時(shí)，直接代入通項(xiàng)；
（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變元”，令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為建立方程；
（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程．
特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解．
9、賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問題
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如，的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可．
10、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法
（1）若是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)（第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；
（2）若是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)（第項(xiàng)與第項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等數(shù)最大．
1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為 ．
3．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 ．
4．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是 ．
5．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
6．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
7．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
8．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種 B．60種 C．120種 D．240種
9．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種 B．種
C．種 D．種
10．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
11．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知多項(xiàng)式，則 ， ．
12．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
題型一：二項(xiàng)式定理之特定項(xiàng)、三項(xiàng)式問題
【典例1-1】的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】的展開式中的系數(shù)為（ ）
A． B． C．6 D．
【變式1-1】的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．240 B． C．560 D．360
【變式1-2】在的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
1．的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．60 B． C．120 D．
題型二：二項(xiàng)式定理之系數(shù)和問題
【典例2-1】（多選題）若，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（多選題）已知，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（多選題）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（多選題）已知，若，則（ ）
A． B．
C． D．
1．（多選題）若，且，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C． D．
題型三：二項(xiàng)式定理之系數(shù)最值問題
【典例3-1】在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的一項(xiàng)為 .
【典例3-2】在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第 項(xiàng)．
【變式3-1】在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)為 .
【變式3-2】在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 .
1．已知的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為a，系數(shù)最大的項(xiàng)為b，則 ．
題型四：特殊優(yōu)先與正難則反策略
【典例4-1】在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，學(xué)校安排甲、乙、丙、丁四名體育教師到三個(gè)比賽場地做比賽安全指導(dǎo)工作，且每個(gè)場地至少安排一人，則甲不安排在C場地，乙安排在A場地的不同安排方法種數(shù)為（ ）
A． B．10 C．12 D．24
【典例4-2】在某次太空游行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過5道程序，其中，兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（ ）
A．18種 B．36種 C．72種 D．108種
【變式4-1】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔(dān)任班長、團(tuán)支書、學(xué)習(xí)委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式4-2】2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（ ）
A．1440種 B．1360種
C．1282種 D．1128種
1．某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報(bào)名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個(gè)項(xiàng)目，每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報(bào)名方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
題型五：相鄰問題與不相鄰問題
【典例5-1】我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)．其中將五人排成一行形成甲隊(duì)，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為（ ）
A．432 B．864 C．1728 D．2592
【典例5-2】春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現(xiàn)有6個(gè)自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個(gè)節(jié)目的演出順序有如下要求：“雜技節(jié)目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（ ）
A．240種 B．188種 C．144種 D．120種
【變式5-1】小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【變式5-2】北京時(shí)間2023年10月26日19時(shí)34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠(yuǎn)道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個(gè)航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報(bào)平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（ ）
A．144種 B．204種 C．156種 D．240種
1．某班上有5名同學(xué)相約周末去公園拍照，這5名同學(xué)站成一排，其中甲、乙兩名同學(xué)要求站在一起，丙同學(xué)不站在正中間，不同的安排方法數(shù)有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
題型六：定序問題
【典例6-1】如圖，左車道有2輛汽車，右車道有3輛汽車等待合流，則合流結(jié)束時(shí)汽車通過順序共有（ ）種.
A．10 B．20 C．60 D．120
【典例6-2】滿足，且的有序數(shù)組共有（ ）個(gè).
A． B． C． D．
【變式6-1】已知，則滿足的有序數(shù)組共有（ ）個(gè)
A． B． C． D．
【變式6-2】六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機(jī)排成一列隊(duì)伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機(jī)分兩列隊(duì)伍依次排隊(duì)站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊(duì)就能接到自己家的小朋友的概率為（ ）
A． B． C． D．
1．三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
題型七：多面手問題
【典例7-1】某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（ ）
A．56種 B．68種
C．74種 D．92種
【典例7-2】我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）種不同的選法．
A． B． C． D．
【變式7-1】某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語，4人只會(huì)法語，2人既會(huì)英語又會(huì)法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225 B．185 C．145 D．110
1．有名歌舞演員，其中名會(huì)唱歌，名會(huì)跳舞，從中選出人，并指派一人唱歌，另一個(gè)跳舞，則不同的選派方法有 （ ）
A．種 B．種 C．種 D．72種
題型八：錯(cuò)位排列問題
【典例8-1】“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
【典例8-2】編號為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號與座位號一致的坐法有（ ）
A．10種 B．20種 C．30種 D．60種
【變式8-1】將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】將編號為1 2 3 4 5 6的六個(gè)小球放入編號為1 2 3 4 5 6的六個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的方法總數(shù)是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
1．元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（ ）
A．6種 B．9種 C．11種 D．23種
題型九：涂色問題
【典例9-1】已知正四棱錐，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個(gè)頂點(diǎn)涂色，每個(gè)頂點(diǎn)只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不同色，則不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．420 C．336 D．120
【典例9-2】如圖，用4種不同的顏色對圖中 5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有（ ）

A．24 B．96 C．48 D．108
【變式9-1】如圖，對，，，，五塊區(qū)域涂色，現(xiàn)有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區(qū)域涂一種顏色，且相鄰區(qū)域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式9-2】中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動(dòng)人民一個(gè)重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準(zhǔn)備給該傘面的每個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個(gè)區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有
（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
1．五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué) 中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
題型十：分組與分配問題
【典例10-1】某賓館安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且甲和乙住同一個(gè)房間，則共有 種不同的安排方法．（用數(shù)字作答）
【典例10-2】為深入貫徹黨的二十大精神，我市邀請、、、、五位黨的二十大代表分別到一中、五中、鐵中、蒙中做宣講工作，每個(gè)學(xué)校至少一人參加.若其中、因只會(huì)漢語不能到蒙中宣講，其余三人蒙漢兼通，可選派到任何學(xué)校宣講.則不同的選派方案共有 種.
【變式10-1】在杭州亞運(yùn)會(huì)比賽中，6名志愿者被安排到安檢、引導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員入場、賽場記錄這三項(xiàng)工作，若每項(xiàng)工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項(xiàng)工作，則合適的安排方案共有 種.（用數(shù)字作答）
【變式10-2】將分別標(biāo)有號碼的6個(gè)小球平均分為兩組，則“標(biāo)號為4的小球不是所在組標(biāo)號最大的且標(biāo)號為3的小球不是所在組標(biāo)號最小的”的分組方式有 種.
1．展開式共 項(xiàng).
題型十一：隔板法
【典例11-1】滿足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（ ）
A．228 B．229 C．230 D．231
【典例11-2】小明同學(xué)去文具店購買文具，現(xiàn)有四種不同樣式的筆記本可供選擇（可以有筆記本不被選擇），單價(jià)均為一元一本，小明只有元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【變式11-1】把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
【變式11-2】在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，則關(guān)于，，的方程共有（ ）組不同的解.
A． B． C． D．
題型十二：環(huán)排與多排問題
【典例12-1】甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（ ）
A．6種 B．12種 C．24種 D．48種
【典例12-2】一對夫妻帶著3個(gè)小孩和一個(gè)老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個(gè)小孩均不相鄰的站法種數(shù)是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【變式12-1】 A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（ ）
A．60種 B．48種 C．30種 D．24種
【變式12-2】現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（ ）
A．6種 B．8種 C．12種 D．16種
1．已知甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，其中一個(gè)排列“甲乙丙”與該排列旋轉(zhuǎn)一個(gè)或幾個(gè)位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一個(gè)排列．現(xiàn)有位同學(xué)，若站成一排，且甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共有種，那么這位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，不同的站法總數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
題型十三：電路圖模型
【典例13-1】如題圖所示，要選擇一條路徑接通從A到B的電路，不同的接法共有（ ）．

A．6種 B．7種 C．8種 D．12種
【典例13-2】如圖是一個(gè)空氣開關(guān)，又名空氣斷路器，是家中非常重要的一種電器，它集控制和多種保護(hù)功能于一身，能對電路或電氣設(shè)備發(fā)生的短路、嚴(yán)重過載及欠電壓等進(jìn)行保護(hù)．某學(xué)校配電房共有18個(gè)空氣開關(guān)排成一列，電工準(zhǔn)備進(jìn)行電路調(diào)試，打算關(guān)閉3個(gè)，頭尾不能關(guān)閉，關(guān)閉的相鄰兩個(gè)開關(guān)之間至少有兩個(gè)是打開的，則不同的方案種數(shù)是（ ）
A．220 B．364 C．560 D．680
【變式13-1】如圖所示，在間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通,今發(fā)現(xiàn)之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有（ ）
A．9種 B．11種 C．13種 D．15種
【變式13-2】一個(gè)電路中含有（1）（2）兩個(gè)零件，零件（1）含有A，B兩個(gè)元件，零件（2）含有C，D，E三個(gè)元件，每個(gè)零件中有一個(gè)元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該電路能正常工作的線路條數(shù)為（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
1．已知如圖所示的電路中，每個(gè)開關(guān)都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個(gè)開關(guān)共有種可能，在這種可能中，電路從P到Q接通的情況有 種．

重難點(diǎn)突破：機(jī)器人跳動(dòng)、波浪數(shù)、卡特蘭數(shù)模型
【典例14-1】形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，由1，2，3，4，5構(gòu)成的無重復(fù)數(shù)字的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．13 B．16 C．20 D．25
【典例14-2】幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（ ）
A．23 B．24 C．32 D．33
【變式14-1】清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁 查理 卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共有多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù).如圖，現(xiàn)有的格子，每一步只能往上或往右走一格，則從左下角走到右上角共有 種不同的走法；若要求從左下角走到右上角的過程中只能在直線的右下方，但可以到達(dá)直線，則有 種不同的走法.

【變式14-2】一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位．若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有 種．
1．若某人對機(jī)器狗發(fā)出一次指令，使機(jī)器狗沿著直線方向要么前進(jìn)一步，要么后退一步，允許重復(fù)過任何一點(diǎn)．若此人發(fā)出6次指令后，機(jī)器狗相對于初始位置前進(jìn)了兩步，則不同指令方案數(shù)有 種；若此人發(fā)出次指令后，機(jī)器狗相對于初始位置前進(jìn)了兩步，則不同指令方案數(shù)有 種．
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