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2025年高考數學二輪復習(新高考通用)專題18圓錐曲線核心考點壓軸小題全面梳理與分類解析(講義)(學生版+解析)

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2025年高考數學二輪復習(新高考通用)專題18圓錐曲線核心考點壓軸小題全面梳理與分類解析(講義)(學生版+解析)

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專題18 圓錐曲線核心考點壓軸小題全面梳理與分類解析
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 6
05 核心精講·題型突破 20
題型一:阿波羅尼斯圓與圓錐曲線 20
題型二:蒙日圓 24
題型三:阿基米德三角形 29
題型四:仿射變換問題 34
題型五:圓錐曲線第二定義 38
題型六:焦半徑問題 41
題型七:圓錐曲線第三定義 44
題型八:定比點差法與點差法 47
題型九:切線問題 52
題型十:焦點三角形問題 56
題型十一:圓錐曲線的光學性質問題 61
重難點突破:圓錐曲線與四心問題 65
高考數學中,圓錐曲線的定義、方程及其幾何性質是核心考點。這主要包括三個方面:一是求解圓錐曲線的標準方程;二是涉及橢圓或雙曲線的離心率計算,以及與雙曲線漸近線相關的問題;三是探討拋物線的性質及其應用。這些考點通常以選擇題或填空題的形式出現,難度適中。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
圓錐曲線的定義 掌握圓錐曲線定義性質 2024年II卷第10題,6分 2024年I卷第11題,6分 2023年北京卷第6題,4分 2022年I卷第11題,5分 2021年I卷第5題,5分 對于2025年高考數學的預測,圓錐曲線相關知識點可能會以小題形式出現,同時也有可能在解答題中作為獨立部分進行考查。具體來說:一是圓錐曲線相關題目將以選擇題或填空題的形式出現,重點考查學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理和數學運算等核心素養;二是圓錐曲線的定義和性質將成為考查的熱點。
圓問題 掌握圓的方程,熟練解決圓的問題 2023年I卷第6題,5分 2023年乙卷第12題,5分 2023年乙卷第11題,5分
焦點三角形 掌握焦點三角形性質,熟練解決相關問題 2024年天津卷第8題,5分 2023年甲卷第12題,5分 2023年甲卷第7題,5分 2021年I卷第5題,5分
1、在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時,若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據定義判定軌跡曲線并寫出方程.有時還要注意軌跡是不是完整的曲線,如果不是完整的曲線,則應對其中的變量或進行限制.
2、應用圓錐曲線的定義時,要注意定義中的限制條件.在橢圓的定義中,要求;在雙曲線的定義中,要求;在拋物線的定義中,定直線不經過定點.此外,通過到定點和到定直線的距離之比為定值可將三種曲線統一在一起,稱為圓錐曲線.
3、圓錐曲線定義的應用主要有:求標準方程,將定義和余弦定理等結合使用,研究焦點三角形的周長、面積,求弦長、最值和離心率等.
4、用解析法研究圓錐曲線的幾何性質是通過方程進行討論的,再通過方程來研究圓錐曲線的幾何性質.不僅要能由方程研究曲線的幾何性質,還要能運用兒何性質解決有關問題,如利用坐標范圍構造函數或不等關系等.
5、橢圓焦點為,,P為橢圓上的點,,則
6、雙曲線的焦點為F1、F2,為雙曲線上的點,,則.
7、橢圓焦半徑 
橢圓上的點到焦點的距離;設為橢圓上的一點,
①焦點在軸:焦半徑(左加右減);② 焦點在軸:焦半徑(上加下減).
8、雙曲線焦半徑 
設為雙曲線上的一點,
①焦點在軸:在左支,在右支;
②焦點在軸:在下支,在上支.
9、設、是橢圓的兩個焦點,O是橢圓的中心,P是橢圓上任意一點,,則.
10、設、是雙曲線的兩個焦點,O是雙曲線的中心,P是雙曲線上任意一點,,則.
11、等軸雙曲線滿足:;
12、若橢圓(雙曲線)與直線交于兩點,其中,,,為中點,(橢圓);(雙曲線)
1.(2024年天津高考數學真題)雙曲線的左、右焦點分別為點在雙曲線右支上,直線的斜率為2.若是直角三角形,且面積為8,則雙曲線的方程為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如下圖:由題可知,點必落在第四象限,,設,
,由,求得,
因為,所以,求得,即,
,由正弦定理可得:,
則由得,
由得,
則,
由雙曲線第一定義可得:,,
所以雙曲線的方程為.
故選:A
2.(多選題)(2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題)拋物線C:的準線為l,P為C上的動點,過P作的一條切線,Q為切點,過P作l的垂線,垂足為B,則( )
A.l與相切
B.當P,A,B三點共線時,
C.當時,
D.滿足的點有且僅有2個
【答案】ABD
【解析】A選項,拋物線的準線為,
的圓心到直線的距離顯然是,等于圓的半徑,
故準線和相切,A選項正確;
B選項,三點共線時,即,則的縱坐標,
由,得到,故,
此時切線長,B選項正確;
C選項,當時,,此時,故或,
當時,,,,
不滿足;
當時,,,,
不滿足;
于是不成立,C選項錯誤;
D選項,方法一:利用拋物線定義轉化
根據拋物線的定義,,這里,
于是時點的存在性問題轉化成時點的存在性問題,
,中點,中垂線的斜率為,
于是的中垂線方程為:,與拋物線聯立可得,
,即的中垂線和拋物線有兩個交點,
即存在兩個點,使得,D選項正確.
方法二:(設點直接求解)
設,由可得,又,又,
根據兩點間的距離公式,,整理得,
,則關于的方程有兩個解,
即存在兩個這樣的點,D選項正確.
故選:ABD
3.(多選題)(2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題)設計一條美麗的絲帶,其造型
可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標原點O.且C上的點滿足:橫坐標大于,到點的距離與到定直線的距離之積為4,則( )
A. B.點在C上
C.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1 D.當點在C上時,
【答案】ABD
【解析】對于A:設曲線上的動點,則且,
因為曲線過坐標原點,故,解得,故A正確.
對于B:又曲線方程為,而,
故.
當時,,
故在曲線上,故B正確.
對于C:由曲線的方程可得,取,
則,而,故此時,
故在第一象限內點的縱坐標的最大值大于1,故C錯誤.
對于D:當點在曲線上時,由C的分析可得,
故,故D正確.
故選:ABD.
4.(多選題)(2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題)設O為坐標原點,直線過拋物線的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準線,則( ).
A. B.
C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形
【答案】AC
【解析】A選項:直線過點,所以拋物線的焦點,
所以,則A選項正確,且拋物線的方程為.
B選項:設,
由消去并化簡得,
解得,所以,B選項錯誤.
C選項:設的中點為,到直線的距離分別為,
因為,
即到直線的距離等于的一半,所以以為直徑的圓與直線相切,C選項正確.
D選項:直線,即,
到直線的距離為,
所以三角形的面積為,
由上述分析可知,
所以,
所以三角形不是等腰三角形,D選項錯誤.
故選:AC.
5.(2023年高考全國甲卷數學(文)真題)設為橢圓的兩個焦點,點在上,若,則( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】B
【解析】方法一:因為,所以,
從而,所以.
故選:B.
方法二:
因為,所以,由橢圓方程可知,,
所以,又,平方得:
,所以.
故選:B.
6.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)設O為坐標原點,為橢圓的兩個焦點,點 P在C上,,則( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一:設,所以,
由,解得:,
由橢圓方程可知,,
所以,,解得:,
即,因此.
故選:B.
方法二:因為①,,
即②,聯立①②,
解得:,
而,所以,
即.
故選:B.
方法三:因為①,,
即②,聯立①②,解得:,
由中線定理可知,,易知,解得:.
故選:B.
7.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)設A,B為雙曲線上兩點,下列四個點中,可為線段AB中點的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設,則的中點,
可得,
因為在雙曲線上,則,兩式相減得,
所以.
對于選項A: 可得,則,
聯立方程,消去y得,
此時,
所以直線AB與雙曲線沒有交點,故A錯誤;
對于選項B:可得,則,
聯立方程,消去y得,
此時,
所以直線AB與雙曲線沒有交點,故B錯誤;
對于選項C:可得,則
由雙曲線方程可得,則為雙曲線的漸近線,
所以直線AB與雙曲線沒有交點,故C錯誤;
對于選項D:,則,
聯立方程,消去y得,
此時,故直線AB與雙曲線有交兩個交點,故D正確;
故選:D.
8.(2023年天津高考數學真題)已知雙曲線的左、右焦點分別為.過向一條漸近線作垂線,垂足為.若,直線的斜率為,則雙曲線的方程為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如圖,
因為,不妨設漸近線方程為,即,
所以,
所以.
設,則,所以,所以.
因為,所以,所以,所以,
所以,
因為,
所以,
所以,解得,
所以雙曲線的方程為
故選:D
9.(2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題)已知橢圓的左、右焦點分別為,,直線與C交于A,B兩點,若面積是面積的2倍,則( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】將直線與橢圓聯立,消去可得,
因為直線與橢圓相交于點,則,解得,
設到的距離到距離,易知,
則,,
,解得或(舍去),
故選:C.
10.(2022年新高考天津數學高考真題)已知雙曲線的左、右焦點分別為,拋物線的準線l經過,且l與雙曲線的一條漸近線交于點A,若,則雙曲線的方程為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】拋物線的準線方程為,則,則、,
不妨設點為第二象限內的點,聯立,可得,即點,
因為且,則為等腰直角三角形,
且,即,可得,
所以,,解得,因此,雙曲線的標準方程為.
故選:D.
11.(2022年高考全國甲卷數學(文)真題)已知橢圓的離心率為,分別為C的左、右頂點,B為C的上頂點.若,則C的方程為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為離心率,解得,,
分別為C的左右頂點,則,
B為上頂點,所以.
所以,因為
所以,將代入,解得,
故橢圓的方程為.
故選:B.
12.(多選題)(2022年新高考全國II卷數學真題)已知O為坐標原點,過拋物線焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點,若,則( )
A.直線的斜率為 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】對于A,易得,由可得點在的垂直平分線上,則點橫坐標為,
代入拋物線可得,則,則直線的斜率為,A正確;
對于B,由斜率為可得直線的方程為,聯立拋物線方程得,
設,則,則,代入拋物線得,解得,則,
則,B錯誤;
對于C,由拋物線定義知:,C正確;
對于D,,則為鈍角,
又,則為鈍角,
又,則,D正確.
故選:ACD.
13.(2022年新高考全國II卷數學真題)已知直線l與橢圓在第一象限交于A,B兩點,l與x軸,y軸分別交于M,N兩點,且,則l的方程為 .
【答案】
【解析】[方法一]:弦中點問題:點差法
令的中點為,設,,利用點差法得到,
設直線,,,求出、的坐標,
再根據求出、,即可得解;
令的中點為,因為,所以,
設,,則,,
所以,即
所以,即,設直線,,,
令得,令得,即,,
所以,
即,解得或(舍去),
又,即,解得或(舍去),
所以直線,即;
故答案為:
[方法二]:直線與圓錐曲線相交的常規方法
由題意知,點既為線段的中點又是線段MN的中點,
設,,設直線,,,
則,,,因為,所以
聯立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中,
∴AB中點E的橫坐標,又,∴
∵,,∴,又,解得m=2
所以直線,即
題型一:阿波羅尼斯圓與圓錐曲線
【典例1-1】古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名,他發現:平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知點分別是拋物線和上的動點,若拋物線的焦點為,則的最小值為( )
A.6 B. C. D.5
【答案】B
【解析】易知拋物線的焦點, 不在圓E上,
將圓變形為:
即,
,當且僅當三點共線時取等號;
設,則,當且僅當時取等號;
所以,故
所以的最小值為,
故選:B.
【典例1-2】古希臘數學家阿波羅尼斯發現:平面內到兩個定點,的距離之比為定值的點的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知,,動點滿足,記動點的軌跡為曲線,給出下列四個結論:
①曲線的方程為
②曲線上存在點,使得到點距離為6;
③曲線上存在點,使得到直線的距離為;
④曲線上存在點,使得到點與點距離之和為8.
其中所有正確結論的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】設,因為M滿足,所以,
整理可得:,即,所以①正確;
對于②,由①可知,點在圓的外部,
因為到圓心的距離,半徑為2,
所以圓上的點D到的距離的范圍為,
而,所以②不正確;
對于③,圓心到直線的距離為,
即直線和圓相交,
所以圓上的點E到直線的距離的范圍為,
又,
即,故③正確;
對于④,假設存在這樣的點F,使得F到點B與點的距離之和為8,
則F在以點B與點為焦點,實軸長為8的橢圓上,
即F在橢圓上,
易知橢圓與曲線W:有交點,
故曲線W上存在點F,使得F到點B與點的距離之和為8,所以④正確.
故正確結論的個數為3,
故選:C
【變式1-1】已知平面上兩定點,則所有滿足且的點的軌跡是一個圓心在直線上,半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現,故稱作阿氏圓.已知棱長為6的正方體表面上的動點滿足,則點的軌跡長度為( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在圖1中,以為原點建立平面直角坐標系如圖2所示,設阿氏圓圓心為,半徑為.
因為,所以,所以.
設圓與交于點.由阿氏圓性質,知.
又,所以.又,所以,解得,所以,所以點在空間內的軌跡為以為球心,半徑為4的球.
①當點在面內部時,如圖2所示,截面圓與分別交于點,所以點在面內的軌跡為.因為在Rt中,,所以,所以,所以點在面內部的軌跡長為.
②同理,點在面內部的軌跡長為.
③當點在面內部時,如圖3所示,因為平面,所以平面截球所得小圓是以為圓心,以長為半徑的圓,截面圓與分別交于點,且,所以點在面內的軌跡為,且.
綜上,點的軌跡長度為.
故選:C
【變式1-2】希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現:“平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值()的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中,,若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點,點Q為拋物線上的動點,Q在直線上的射影為R,則的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設,
則,
化簡整理得,
所以點的軌跡為以為圓心為半徑的圓,
拋物線的焦點,準線方程為,


當且僅當(兩點在兩點中間)四點共線時取等號,
所以的最小值為.
故選:D.
1.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是:若動點與兩定點A,的距離之比為,那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若,,點滿足,則直線與點的軌跡的交點個數是( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
【答案】D
【解析】設,則,
化簡得點的軌跡方程為,表示的是以為圓心,2為半徑的圓,
而直線恒經過圓上的點,故直線與點的軌跡的交點個數是1或2.
故選:D.
題型二:蒙日圓
【典例2-1】蒙日是法國著名的數學家,他首先發現橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓,這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓的焦點在軸上,為橢圓上任意兩點,動點在直線上.若恒為銳角,根據蒙日圓的相關知識得橢圓的離心率的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】橢圓的焦點在軸上,,
直線,與橢圓都相切,
,所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日圓,
為橢圓上任意兩個動點,動點滿足為銳角,
點在圓外,又動點在直線上,直線與圓相離,,解得:,
又,;
橢圓離心率,,.
故選:B.
【典例2-2】法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”.他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓,這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為,過上的動點作的兩條切線,分別與交于,兩點,直線交于,兩點,則下列說法中,正確的個數為( )
①橢圓的離心率為
②到的左焦點的距離的最小值為
③面積的最大值為
④若動點在上,將直線,的斜率分別記為,,則
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】對于①,直線,與橢圓都相切,且這兩條直線垂直,因此其交點在圓上,
即有,則,橢圓的離心率,①正確;
對于③,依題意,點均在圓上,且,因此線段是圓的直徑,
即有,顯然圓上的點到直線距離最大值為圓的半徑,即點到直線距離最大值為,
因此面積的最大值為,③正確;
對于②,令,有,令橢圓的左焦點,有,
則,而,
因此,即,
所以到的左焦點的距離的最小值為,②正確;
對于④,依題意,直線過原點O,即點A,B關于原點O對稱,設,有,
于是得,
又由①知,,得,
所以,④正確,
所以說法正確的有①②③④.
故選:D.
【變式2-1】法國數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現:橢圓的兩條相互垂直切線的交點軌跡為圓,我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據此背景,設為橢圓的一個外切長方形(的四條邊所在直線均與橢圓相切),若在第一象限內的一個頂點縱坐標為2,則的面積為( )
A. B.26 C. D.
【答案】C
【解析】依題意,直線,都與橢圓,且它們圍成四邊形是矩形,
于是該矩形是橢圓的蒙日圓內接矩形,因此該蒙日圓的圓心為,半徑,
因此該橢圓的蒙日圓方程為,
M為橢圓的一個外切長方形,設其四個頂點分別為P、Q、、,
其中P在第一象限,顯然P與關于原點對稱,Q與關于原點對稱,
而 P點縱坐標為2,則其橫坐標為3,即,顯然M的四條邊所在直線斜率存在且不為0,
設過P且與橢圓C相切的直線為,由消去y并整理,
得,由,
化簡得,解得或,不妨取直線PQ方程為,即,
直線的方程為,即,
O點到直線PQ的距離為,O點到直線的距離為,
所以M的面積為.
故選:C
【變式2-2】法國數學家加斯帕爾·蒙日發現:與橢圓相切的兩條互相垂直的直線交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓,我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為,現有橢圓的蒙日圓上一個動點M,過點M作橢圓C的兩條切線,與該蒙日圓分別交于P、Q兩點,若面積的最大值為34,則a的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意可知橢圓的蒙日圓的半徑為,因為,
所以為蒙日圓的直徑,所以,
所以,
因為,
當且僅當時,等號成立,
所以面積的最大值為,
由面積的最大值為34,所以,則,
故選:A.
1.畫法幾何學的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現:與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓,我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓是,若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點,則的值為( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】B
【解析】由已知條件可知,且,
蒙日圓方程為,蒙日圓的圓心為原點,半徑為,
圓的圓心為,半徑為,
因為兩圓只有一個公共點,則兩圓外切或內切,
則或,
又因為,所以,或,解得或,
故選:B.
題型三:阿基米德三角形
【典例3-1】拋物線上任意兩點,處的切線交于點,稱為“阿基米德三角形”,當線段經過拋物線的焦點時,具有以下特征:
①點必在拋物線的準線上;②.
若經過拋物線的焦點的一條弦為,“阿基米德三角形”為,且點的縱坐標為4,則直線的方程為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設拋物線的焦點為,
由題意可知,拋物線的焦點坐標為,準線方程為,
因為為“阿基米德三角形”,且線段經過拋物線的焦點,
所以點必在拋物線的準線上,
所以點,
直線的斜率為.
又因為,
所以直線的斜率為,
所以直線的方程為,即,
故選:A.
【典例3-2】我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A,B處的兩條切線所圍成的三角形(P為兩切線的交點)叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”,當線段AB經過拋物線的焦點F時,具有以下性質:
①P點必在拋物線的準線上;
②;
③.
已知直線與拋物線交于A,B點,若,則拋物線的“阿基米德三角形” 的面積為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】拋物線的焦點為,準線方程為,直線經過拋物線的焦點,
依題意,,設,,
由消去y并整理得,則,,
,解得,即,
當時,因為“阿基米德三角形”,則直線PF斜率,直線PF方程為:,
點P必在拋物線的準線上,點,,
又,于是得,
由對稱性可知,當時,同理有,
所以的面積是.
故選:A
【變式3-1】阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希臘偉大的物理學家、數學家和天文學家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理,并享有“數學之神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖,為阿基米德三角形.拋物線上有兩個不同的點,以A,B為切點的拋物線的切線相交于P.給出如下結論,其中正確的為( )
(1)若弦過焦點,則為直角三角形且;
(2)點P的坐標是;
(3)的邊所在的直線方程為;
(4)的邊上的中線與y軸平行(或重合).
A.(2)(3)(4) B.(1)(2) C.(1)(2)(3) D.(1)(3)(4)
【答案】D
【解析】由題意設,,,由,得,則,所以,,若弦過焦點,∴,∴,∴,故(1)正確;
以點為切點的切線方程為,以點為切點的切線方程為,聯立消去得,將代入,得,所以,故(2)錯誤;
設為拋物線弦的中點,的橫坐標為,因此則直線平行于軸,即平行于拋物線的對稱軸,故(4)正確;設直線的斜率為,故直線的方程為,化簡得,故(3)正確,
故選:D..
1.過拋物線的焦點作拋物線的弦與拋物線交于、兩點,為的中點,分別過、兩點作拋物線的切線、相交于點.又常被稱作阿基米德三角形.下面關于的描述:
①點必在拋物線的準線上;
②;
③設、,則的面積的最小值為;
④;
⑤平行于軸.
其中正確的個數是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出圖形,設點、,設直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯立,列出韋達定理,求出直線、的方程,求出點的坐標,可判斷①的正誤;利用直線、斜率的關系可判斷②的正誤;計算出的面積的表達式,可判斷③的正誤;利用直線、的斜率關系可判斷④的正誤;求出直線的斜率,可判斷⑤的正誤.綜合可得出結論.先證明出拋物線在其上一點處的切線方程為.
證明如下:
由于點在拋物線上,則,
聯立,可得,即,,
所以,拋物線在其上一點處的切線方程為.
如下圖所示:
設、,設直線的方程為,
聯立,消去得,
由韋達定理可得,,
對于命題①,拋物線在點處的切線方程為,即,
同理可知,拋物線在點處的切線方程為,
聯立,解得,所以點的橫坐標為,
即點在拋物線的準線上,①正確;
對于命題②,直線的斜率為,直線的斜率為,,
所以,,②正確;
對于命題④,當垂直于軸時,由拋物線的對稱性可知,點為拋物線的準線與軸的交點,此時;
當不與軸垂直時,直線的斜率為,
直線的斜率為,,則.
綜上,,④正確;
對于命題③,,

所以,,
當且僅當時,等號成立,③錯誤;
對于命題⑤,當垂直于軸時,由拋物線的對稱性可知,點為拋物線的準線與軸的交點,此時直線與軸重合,⑤錯誤.
故選:B.
題型四:仿射變換問題
【典例4-1】MN是橢圓上一條不過原點且不垂直于坐標軸的弦,P是MN的中點,則 ,A,B是該橢圓的左右頂點,Q是橢圓上不與A,B重合的點,則 .CD是該橢圓過原點O的一條弦,直線CQ,DQ斜率均存在,則 .
【答案】
【解析】作變換,那么橢圓變為圓,方程為:,
是中點,那么,
∴,
是圓的左右頂點即直徑,那么,∴,
是過圓心O的一條弦即直徑,那么,
∴.
【典例4-2】如圖,作斜率為的直線與橢圓交于 兩點,且在直線的上方,則△內切圓的圓心所在的定直線方程為 .
【答案】
【解析】如圖,作仿射變換:,橢圓變為,直線的斜率變為直線的斜率,變為

由垂徑定理平分,其方程為,
平分,
△內切圓的圓心所在的定直線方程為.
故答案為:
【變式4-1】Р是橢圓上任意一點,O為坐標原點,,過點Q的直線交橢圓于A,B兩點,并且,則面積為 .
【答案】
【解析】作變換之后橢圓變為圓,方程為,
是的重心,又O是的外心
′是等邊三角形,
∴.
故答案為:
【變式4-2】已知橢圓,分別為橢圓左右焦點,過作兩條互相平行的弦,分別與橢圓交于四點,若當兩條弦垂直于軸時,點所形成的平行四邊形面積最大,則橢圓離心率的取值范圍為 .
【答案】
【解析】作仿射變換,令,可得仿射坐標系,在此坐標系中,上述橢圓變換為圓,點坐標分別為,過作兩條平行的弦分別與圓交于四點.
由平行四邊形性質易知,三角形的面積為四點所形成的平行四邊形面積的,故只需令三角形面積的最大值在弦與軸垂直時取到即可.當時,三角形面積的最大值在弦與軸垂直時取到.
故此題離心率的取值范圍為.
故答案為:.
1.已知直線l與橢圓交于M,N兩點,當 ,面積最大,并且最大值為 .記,當面積最大時, ﹐ .Р是橢圓上一點,,當面積最大時, .
【答案】 4 2 1
【解析】作變換此時橢圓變為圓,方程為,
當時,最大,并且最大為,
此時,.
由于,,
∴,

因為,所以
.
故答案為:;;4;2;1.
題型五:圓錐曲線第二定義
【典例5-1】已知橢圓的上頂點為,左焦點為,線段的中垂線與橢圓交于兩點,則的周長為( )
A.8 B.12 C.16 D.24
【答案】C
【解析】如圖:
由橢圓方程可知,,.
所以,
所以為等邊三角形,
因此的中垂線過,
結合橢圓的定義,可得周長.
故選:C
【典例5-2】已知雙曲線的離心率為2,其左右焦點分別為,,過點的直線與雙曲線左支交于,兩點,且,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依題意有.,
而,,,
,,又等腰,
,.
故選:A.
【變式5-1】如圖,、是雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線分別交于點、,若為等邊三角形,則的面積為( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在雙曲線中:,所以,
根據雙曲線的定義,可得,
是等邊三角形,即
又,

的面積為.
故選:C.
【變式5-2】已知拋物線的焦點為,直線過點與拋物線相交于,兩點,且,則直線的斜率為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設直線傾斜角為,由,
所以,因為,
所以,所以,
所以,所以,
當點在軸上,又,
所以,,
所以由對稱性知直線的斜率.
故選:B.
1.已知拋物線的弦的中點橫坐標為5,則的最大值為( )
A.12 B.11 C.10 D.9
【答案】A
【解析】設拋物線的焦點為,,的橫坐標分別為,,則,
拋物線的準線為,則,,

(當且僅當,,共線時取等號)如圖所示,
即的最大值為12.
故選:A.
題型六:焦半徑問題
【典例6-1】設橢圓的左、右焦點分別為、,直線l經過點,且與Γ交于P、Q兩點.若,且,則Γ的長軸長的最小值為 .
【答案】
【解析】設,根據橢圓的性質,則,
,則,,
即,,
整理得:,
當且僅當:,即時,取等號,
為最小值,
故長軸長的最小值,
故答案為:.
【典例6-2】已知橢圓的焦點為,,若點在橢圓上,則滿足(其中為坐標原點)的點的個數為 .
【答案】4
【解析】設點,則.由焦半徑公式得,
故.
∵,∴,即.
又∵,解得,∴滿足條件的點有4個.
故答案為:
【變式6-1】已知橢圓的離心率為.設l為過橢圓右焦點F的直線,交橢圓于M,N兩點,且l的傾斜角為.則 .
【答案】或
【解析】
因為,,所以,,
設,
所以橢圓方程可化為,即,
所以直線方程為,
聯立,消去可得,
則,
所以,
令,則,化簡可得,
解得,所以,或.
故答案為:或.
1.已知雙曲線的左、右焦點分別為雙曲線上存在M,N兩點(在x軸同側)使得,且與交于P點,則 ,的最小值為 .
【答案】
【解析】延長交雙曲線于點,由可知,點與點關于原點對稱,即,設直線的傾斜角為,由焦半徑公式可知:

所以.
又因為,所以,設,
則,
所以,
所以,
所以點的軌跡為橢圓的一部分,橢圓方程為,
所以,
故答案為:,.
題型七:圓錐曲線第三定義
【典例7-1】橢圓C:的左右頂點分別為,點P在C上且直線斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設P點坐標為,則,,,
于是,故.
∵ ∴.故選B.
【典例7-2】雙曲線C:的左、右頂點分別為,,點P在C上且直線斜率的取值范圍是[-4,-2],那么直線斜率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據雙曲線的方程可知,的坐標分別為,,
設點的坐標為,則,,
且因為點在雙曲線上,所以,不難發現,
再結合,解得,故選C.
【變式7-1】已知A,B是雙曲線Γ:=1(a>0,b>0)的左、右頂點,動點P在Γ上且P在第一象限.若PA,PB的斜率分別為k1,k2,則以下總為定值的是( )
A.k1+k2 B.|k1-k2|
C.k1k2 D.
【答案】C
【解析】由題意可得A(-a,0),B(a,0),
設P(m,n)(m>0,n>0),
可得即
又k1=,
所以k1k2=,
所以k1k2為定值
,不為定值;
,不為定值;
,不為定值
故選:C
【變式7-2】設橢圓的左,右頂點為是橢圓上不同于的一點,設直線的斜率分別為,則當取得最小值時,橢圓的離心率為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由橢圓方程可得,
設,則,
則,


令,則,

在上遞減,在上遞增,
可知當時,函數取得最小值,

,故選D.
1.已知平行四邊形內接于橢圓,且,斜率之積的范圍為,則橢圓離心率的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意,關于原點對稱,設,,
,故選A.
題型八:定比點差法與點差法
【典例8-1】已知點P(0,1),橢圓 (m>1)上兩點A,B滿足,則當m= 時,點B橫坐標的絕對值最大.
【答案】5
【解析】[方法一]:點差法+二次函數性質
設,由得
因為A,B在橢圓上,所以 ,即,與相減得:,所以,
,當且僅當時取最等號,即時,點B橫坐標的絕對值最大.
故答案為:5.
[方法二]:【通性通法】設線+韋達定理
由條件知直線的斜率存在,設,直線的方程為,聯立得,根據韋達定理得,由知,代入上式解得,所以.此時,又,解得.
[方法三]:直線的參數方程+基本不等式
設直線的參數方程為其中t為參數,為直線的傾斜角,將其代入橢圓方程中化簡得,設點A,B對應的參數分別為,則.由韋達定理知,解得,所以,此時,即,代入,解得.
[方法四]:直接硬算求解+二次函數性質
設,因為,所以.
即 ①, ②,
又因為,所以.
不妨設,因此,代入②式可得.化簡整理得.
由此可知,當時,上式有最大值16,即點B橫坐標的絕對值有最大值2.
所以.
[方法五]:【最優解】仿射變換
如圖1,作如下仿射變換,則為一個圓.
根據仿射變換的性質,點B的橫坐標的絕對值最大,等價于點的橫坐標的絕對值最大,則

當時等號成立,根據易得,此時.
[方法六]:中點弦性質的應用
設,由可知,則中點.因為,所以,整理得,由于,則時,,所以.
【整體點評】方法一:由題意中點的坐標關系,以及點差法可求出點的橫、縱坐標,從而可以根據二次函數的性質解出;
方法二:常規設線,通過聯立,根據韋達定理以及題目條件求出點的橫坐標,然后利用基本不等式求出最值,由取等條件得解,是該題的通性通法;
方法三:利用直線的參數方程與橢圓方程聯立,根據參數的幾何意義,解得點的橫坐標,再利用基本不等式求出最值,由取等條件得解;
方法四:利用題目條件硬算求出點的橫坐標,再根據二次函數的性質解出;
方法五:根據仿射變換,利用圓的幾何性質結合平面幾何知識轉化,求出對應點的橫坐標的絕對值最大,從而解出,計算難度小,是該題的最優解;
方法六:利用中點弦的性質找出點的橫、縱坐標關系,再根據關系式自身特征求出點的橫坐標的絕對值的最大值,從而解出,計算量小,也是不錯的方法.
【典例8-2】已知斜率為的直線與橢圓交于,兩點,線段的中點為(),那么的取值范圍是( )
A. B. C. D.,或
【答案】A
【解析】先設,,再由點差法求出,再由點,在橢圓內,求出的范圍即可得解.設,,
又點,在橢圓上,
則,,
兩式相減可得:,
又,
則,
又點,在橢圓內,
則,
則,
所以,
故選:A.
【變式8-1】已知橢圓內有一定點,過點P的兩條直線,分別與橢圓交于A、C和B、D兩點,且滿足,,若變化時,直線CD的斜率總為,則橢圓的離心率為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設因為,且,所以,同理.將兩點坐標代入橢圓方程并化簡得,即,同理,由于,,所以,即,即,兩式相加得,即,所以,所以,故選A.
【變式8-2】過點的直線與橢圓交于點和,且.點滿足,若為坐標原點,則的最小值為 .
【答案】.
【解析】設, , 則
于是,同理,
于是我們可以得到
.
即,所以Q點的軌跡是直線, 即為原點到直線的距離,
所以
1.已知橢圓,點為橢圓外一點,斜率為的直線與橢圓交于,兩點,過點作直線,分別交橢圓于,兩點.當直線的斜率為時,此橢圓的離心率為 .
【答案】
【解析】如圖所示:
設直線AB過原點O,由題意得 ,
設,CD的中點為,則,
因為C,D在橢圓上,
所以,兩式相減得,
所以,
因為O,M,P三點共線,
所以,
即,解得,
所以,
故答案為:
題型九:切線問題
【典例9-1】已知為坐標原點,拋物線的焦點到準線的距離為1,過點的直線與交于兩點,過點作的切線與軸分別交于兩點,則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為拋物線的焦點到準線的距離為1,所以,
即拋物線方程為,焦點為,
設直線方程為,設,
由得,
所以,,
拋物線方程為,,所以,
切線方程為,又,所以切線方程為,
令得,令得,,,
,,
∴,
故選:D.
【典例9-2】已知圓,圓,過動點P分別作圓圓的切線PA,PB(A,B為切點),使得,則動點P的軌跡方程為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由,得.易知,
因為兩圓的半徑均為1,則.
設,且,
則,即.
所以點的軌跡方程為.
故選:D.
【變式9-1】已知橢圓的上,下焦點分別為,,拋物線的焦點與橢圓的上焦點重合,過的傾斜角為的直線交橢圓于A,B兩點,且,點是拋物線上在第一象限的點,且在該點處的切線與x軸的交點為,若,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題可知,直線AB的斜率k為,
設,則橢圓的離心率,
所以,,即焦點坐標為,
所以拋物線方程為,
故在點處的切線方程為,
令,,
因為,
所以是首項2,公比的等比數列,

故選:A.
【變式9-2】已知為橢圓上一動點,過點作圓的兩條切線,切點分別為,,則的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
設圓的圓心為,半徑為,則,半徑,,
因為,所以只需最大,
設點是橢圓上任意一點,則,即,
所以,
當時,有最大值,所以,
所以的最小值為,即的最小值為.
故選:B.
1.已知圓與雙曲線,若在雙曲線上存在一點,使得過點能作圓的兩條切線,切點為,且,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖,,又,所以,
而是圓切線,則,
在中,,因此有,
從而,而,所以,
在雙曲線上,因此,所以,
∴,從而,
∴雙曲線的離心率.
故選:B.
題型十:焦點三角形問題
【典例10-1】已知分別是離心率為的橢圓的左、右焦點,是上一點且,若的面積為,則 .
【答案】2
【解析】解法一:由題得,所以,,設,,
則,由題知,
將代入,得,解得,故,
所以是等邊三角形,故,得,得.
解法二:由題得,所以,,設,,,
則,,
由余弦定理得,
故,得.
故答案為:2
【典例10-2】已知橢圓過點,焦點,,為坐標原點,圓的直徑為.若斜率為的直線與圓相切于第一象限內的點,交于兩點,則的面積為 .
【答案】/
【解析】設橢圓的方程為,,
由條件可知,又,解得,,
所以的方程為,
圓的方程為,設斜率為的直線與圓相切,
所以,
因為直線與圓相切于第一象限內的點,所以直線的方程為,
當時,,
聯立方程組,消去整理得,
設,,則,,
所以,
所以的面積為.
故答案為:.
【變式10-1】已知橢圓,點和分別是橢圓的左、右焦點,點P是橢圓上一點,則內切圓半徑的最大值為
【答案】
【解析】
如圖所示,由橢圓定義,,,
則,故,
要使最大,則,

故答案為:
【變式10-2】已知分別是雙曲線的左,右焦點,是雙曲線上第一象限內的點,點是的內心,則點的橫坐標是 ;的面積的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意知,,故,
設點,且在上垂足為H,
根據雙曲線定義及切線長定理得,
又,解得,
所以點H坐標為,則橫坐標為,
設漸近線的傾斜角為,則,
記,則,
所以,即,
又,解得或(舍),
所以,則,
所以.
故答案為:,
1.設為雙曲線上一點,兩點在雙曲線的漸近線上,且分別位于第一 四象限.若,則的面積為 .
【答案】2
【解析】雙曲線的漸近線為,由題設可設,
而,故為的中點,故,
而在雙曲線上,故即,
又到漸近線的距離為,
到漸近線的距離為,
故的面積為

故答案為:2
題型十一:圓錐曲線的光學性質問題
【典例11-1】如圖,雙曲線具有光學性質,從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射,其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左、右焦點分別為,,從發出的光線經過圖中的,兩點反射后,分別經過點和,且,,則的離心率為( ).

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接,,根據題意,,,三點共線,,,三點共線.,且由知,故.
所以.
可設,,.
由于
,故.
從而,,故,.
在中,由余弦定理得,
,解得,
所以.
故選:C.
【典例11-2】拋物線有如下光學性質:過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸:反之,平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為,一條平行于軸的光線從點射出,經過拋物線上的點反射后,再經拋物線上的另一點射出,則的周長為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】拋物線的焦點為,準線為,由點在拋物線上,則,
直線方程為:,即,
由,消去得,解得或,由,得,
于是,,
而,
所以的周長為.
故選:D
【變式11-1】橢圓具有如下光學性質:從橢圓的一個焦點發出的光線,經過橢圓反射后,反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左 右焦點分別為,過點的直線與交于點,,過點作的切線,點關于的對稱點為,若,,則( )
注:表示面積.
A.2 B. C.3 D.
【答案】C
【解析】如圖,由橢圓的光學性質可得三點共線.設,
則.
故,解得.
又,所以,所以.
故選:C.
【變式11-2】班級物理社團在做光學實驗時,發現了一個有趣的現象:從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題:已知橢圓的方程為,其左、右焦點分別是,,直線與橢圓切于點,且,過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點Q,則(注;若的角平分線交于點,則)( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】由題設,則平分,故,
而,由橢圓定義可知,
則,所以.
故選:B.
1.用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質:一束平行于拋物線對稱軸的光線,經過拋物面(拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲而叫拋物面)的反射后,集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面,將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中,對稱軸與軸重合,頂點與原點重合,如圖,若拋物線的方程為,平行于軸的光線從點射出,經過上的點反射后,再從上的另一點射出,則( )

A.6 B.8 C. D.29
【答案】C
【解析】由,可得的縱坐標為,設,則,解得,
由題意反射光線經過拋物線的焦點,
所以直線的方程為,整理可得,
由消去整理得,解得,,
則,所以,所以.
故選:C
重難點突破:圓錐曲線與四心問題
【典例12-1】拋物線的焦點恰好也是橢圓的一個焦點,,分別是橢圓的上、下焦點,是橢圓上的任一點,是的內心,PI交軸于,且,點是拋物線在第一象限上的點,且拋物線在該點處的切線與軸的交點為,若,則 .
【答案】
【解析】由橢圓的焦點在軸上得.
如圖,連接,因為是的內心,所以平分.在中,
由正弦定理得,在中,由正弦定理得,
因為,所以,
又,所以,又,所以,
同理可得,所以.
由橢圓定義可知,,
所以,,即橢圓的焦點坐標為,
所以拋物線方程為,即,則,
故拋物線在處的切線方程為,
又,可得,即.
令,則,又,所以,
所以是首項為2,公比為的等比數列,所以.
故答案為:
【典例12-2】定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”,則 .若“黃金橢圓”的兩個焦點分別為,,為橢圓上異于頂點的任意一點,點是的內心,連接并延長交于點,則 .
【答案】
【解析】由橢圓為“黃金橢圓”,
則離心率,
可得,
所以;
如圖所示,連接,
設的內切圓半徑為,
則,
即,
所以,
所以,
因為,所以,
所以.
故答案為:;
【變式12-1】已知點,,,是軸上的動點,且滿足,的外心在軸上的射影為,則點的軌跡方程為 ,的最小值為 .
【答案】
【解析】不妨設點,,
根據點是的外心,設,
而,則,所以
從而得到點的軌跡為,焦點為
由拋物線的定義可知,
因為,即,當點在線段上時等號成立.
故答案為:,.
【變式12-2】雙曲線C:,斜率為1的直線l交C于A,B兩點,D為C上另一點,,,重心分別為P,Q,外心為M,若,則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【解析】在中,取中點,由P為的重心,則P在上,
設,則,
則有,
兩式作差得,,
可得,

則,即,
同理可得,,
又,所以,又,
可得,
所以,進而.
故答案為:.
1.在中,,,于,若為的垂心,且.則到直線距離的最小值是 .
【答案】
【解析】設,由可知,,又,,
則,
因為點為的垂心,所以,
即,即(),
聯立,得,得,
則直線與橢圓相離,如圖,
設直線與橢圓相切,
聯立,得,
令,得,
由圖可知,與橢圓相切的切點到直線的距離最近,
此時最近距離為平行線和間的距離,即.
故答案為:
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題18 圓錐曲線核心考點壓軸小題全面梳理與分類解析
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 6
05 核心精講·題型突破 9
題型一:阿波羅尼斯圓與圓錐曲線 9
題型二:蒙日圓 10
題型三:阿基米德三角形 12
題型四:仿射變換問題 13
題型五:圓錐曲線第二定義 14
題型六:焦半徑問題 16
題型七:圓錐曲線第三定義 16
題型八:定比點差法與點差法 17
題型九:切線問題 18
題型十:焦點三角形問題 19
題型十一:圓錐曲線的光學性質問題 20
重難點突破:圓錐曲線與四心問題 22
高考數學中,圓錐曲線的定義、方程及其幾何性質是核心考點。這主要包括三個方面:一是求解圓錐曲線的標準方程;二是涉及橢圓或雙曲線的離心率計算,以及與雙曲線漸近線相關的問題;三是探討拋物線的性質及其應用。這些考點通常以選擇題或填空題的形式出現,難度適中。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
圓錐曲線的定義 掌握圓錐曲線定義性質 2024年II卷第10題,6分 2024年I卷第11題,6分 2023年北京卷第6題,4分 2022年I卷第11題,5分 2021年I卷第5題,5分 對于2025年高考數學的預測,圓錐曲線相關知識點可能會以小題形式出現,同時也有可能在解答題中作為獨立部分進行考查。具體來說:一是圓錐曲線相關題目將以選擇題或填空題的形式出現,重點考查學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理和數學運算等核心素養;二是圓錐曲線的定義和性質將成為考查的熱點。
圓問題 掌握圓的方程,熟練解決圓的問題 2023年I卷第6題,5分 2023年乙卷第12題,5分 2023年乙卷第11題,5分
焦點三角形 掌握焦點三角形性質,熟練解決相關問題 2024年天津卷第8題,5分 2023年甲卷第12題,5分 2023年甲卷第7題,5分 2021年I卷第5題,5分
1、在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時,若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則根據定義判定軌跡曲線并寫出方程.有時還要注意軌跡是不是完整的曲線,如果不是完整的曲線,則應對其中的變量或進行限制.
2、應用圓錐曲線的定義時,要注意定義中的限制條件.在橢圓的定義中,要求;在雙曲線的定義中,要求;在拋物線的定義中,定直線不經過定點.此外,通過到定點和到定直線的距離之比為定值可將三種曲線統一在一起,稱為圓錐曲線.
3、圓錐曲線定義的應用主要有:求標準方程,將定義和余弦定理等結合使用,研究焦點三角形的周長、面積,求弦長、最值和離心率等.
4、用解析法研究圓錐曲線的幾何性質是通過方程進行討論的,再通過方程來研究圓錐曲線的幾何性質.不僅要能由方程研究曲線的幾何性質,還要能運用兒何性質解決有關問題,如利用坐標范圍構造函數或不等關系等.
5、橢圓焦點為,,P為橢圓上的點,,則
6、雙曲線的焦點為F1、F2,為雙曲線上的點,,則.
7、橢圓焦半徑 
橢圓上的點到焦點的距離;設為橢圓上的一點,
①焦點在軸:焦半徑(左加右減);② 焦點在軸:焦半徑(上加下減).
8、雙曲線焦半徑 
設為雙曲線上的一點,
①焦點在軸:在左支,在右支;
②焦點在軸:在下支,在上支.
9、設、是橢圓的兩個焦點,O是橢圓的中心,P是橢圓上任意一點,,則.
10、設、是雙曲線的兩個焦點,O是雙曲線的中心,P是雙曲線上任意一點,,則.
11、等軸雙曲線滿足:;
12、若橢圓(雙曲線)與直線交于兩點,其中,,,為中點,(橢圓);(雙曲線)
1.(2024年天津高考數學真題)雙曲線的左、右焦點分別為點在雙曲線右支上,直線的斜率為2.若是直角三角形,且面積為8,則雙曲線的方程為( )
A. B. C. D.
2.(多選題)(2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題)拋物線C:的準線為l,P為C上的動點,過P作的一條切線,Q為切點,過P作l的垂線,垂足為B,則( )
A.l與相切
B.當P,A,B三點共線時,
C.當時,
D.滿足的點有且僅有2個
3.(多選題)(2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題)設計一條美麗的絲帶,其造型
可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標原點O.且C上的點滿足:橫坐標大于,到點的距離與到定直線的距離之積為4,則( )
A. B.點在C上
C.C在第一象限的點的縱坐標的最大值為1 D.當點在C上時,
4.(多選題)(2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題)設O為坐標原點,直線過拋物線的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準線,則( ).
A. B.
C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形
5.(2023年高考全國甲卷數學(文)真題)設為橢圓的兩個焦點,點在上,若,則( )
A.1 B.2 C.4 D.5
6.(2023年高考全國甲卷數學(理)真題)設O為坐標原點,為橢圓的兩個焦點,點 P在C上,,則( )
A. B. C. D.
7.(2023年高考全國乙卷數學(理)真題)設A,B為雙曲線上兩點,下列四個點中,可為線段AB中點的是( )
A. B. C. D.
8.(2023年天津高考數學真題)已知雙曲線的左、右焦點分別為.過向一條漸近線作垂線,垂足為.若,直線的斜率為,則雙曲線的方程為( )
A. B.
C. D.
9.(2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題)已知橢圓的左、右焦點分別為,,直線與C交于A,B兩點,若面積是面積的2倍,則( ).
A. B. C. D.
10.(2022年新高考天津數學高考真題)已知雙曲線的左、右焦點分別為,拋物線的準線l經過,且l與雙曲線的一條漸近線交于點A,若,則雙曲線的方程為( )
A. B.
C. D.
11.(2022年高考全國甲卷數學(文)真題)已知橢圓的離心率為,分別為C的左、右頂點,B為C的上頂點.若,則C的方程為( )
A. B. C. D.
12.(多選題)(2022年新高考全國II卷數學真題)已知O為坐標原點,過拋物線焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點,若,則( )
A.直線的斜率為 B.
C. D.
13.(2022年新高考全國II卷數學真題)已知直線l與橢圓在第一象限交于A,B兩點,l與x軸,y軸分別交于M,N兩點,且,則l的方程為 .
題型一:阿波羅尼斯圓與圓錐曲線
【典例1-1】古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名,他發現:平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知點分別是拋物線和上的動點,若拋物線的焦點為,則的最小值為( )
A.6 B. C. D.5
【典例1-2】古希臘數學家阿波羅尼斯發現:平面內到兩個定點,的距離之比為定值的點的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知,,動點滿足,記動點的軌跡為曲線,給出下列四個結論:
①曲線的方程為
②曲線上存在點,使得到點距離為6;
③曲線上存在點,使得到直線的距離為;
④曲線上存在點,使得到點與點距離之和為8.
其中所有正確結論的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【變式1-1】已知平面上兩定點,則所有滿足且的點的軌跡是一個圓心在直線上,半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現,故稱作阿氏圓.已知棱長為6的正方體表面上的動點滿足,則點的軌跡長度為( )
A. B.
C. D.
【變式1-2】希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現:“平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值()的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中,,若點P是滿足的阿氏圓上的任意一點,點Q為拋物線上的動點,Q在直線上的射影為R,則的最小值為( )
A. B. C. D.
1.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是:若動點與兩定點A,的距離之比為,那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若,,點滿足,則直線與點的軌跡的交點個數是( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
題型二:蒙日圓
【典例2-1】蒙日是法國著名的數學家,他首先發現橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓,這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓的焦點在軸上,為橢圓上任意兩點,動點在直線上.若恒為銳角,根據蒙日圓的相關知識得橢圓的離心率的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【典例2-2】法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”.他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓,這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為,過上的動點作的兩條切線,分別與交于,兩點,直線交于,兩點,則下列說法中,正確的個數為( )
①橢圓的離心率為
②到的左焦點的距離的最小值為
③面積的最大值為
④若動點在上,將直線,的斜率分別記為,,則
A.1 B.2 C.3 D.4
【變式2-1】法國數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現:橢圓的兩條相互垂直切線的交點軌跡為圓,我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據此背景,設為橢圓的一個外切長方形(的四條邊所在直線均與橢圓相切),若在第一象限內的一個頂點縱坐標為2,則的面積為( )
A. B.26 C. D.
【變式2-2】法國數學家加斯帕爾·蒙日發現:與橢圓相切的兩條互相垂直的直線交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓,我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為,現有橢圓的蒙日圓上一個動點M,過點M作橢圓C的兩條切線,與該蒙日圓分別交于P、Q兩點,若面積的最大值為34,則a的值為( )
A. B. C. D.
1.畫法幾何學的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現:與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓,我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓是,若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點,則的值為( )
A.或 B.或 C.或 D.或
題型三:阿基米德三角形
【典例3-1】拋物線上任意兩點,處的切線交于點,稱為“阿基米德三角形”,當線段經過拋物線的焦點時,具有以下特征:
①點必在拋物線的準線上;②.
若經過拋物線的焦點的一條弦為,“阿基米德三角形”為,且點的縱坐標為4,則直線的方程為( )
A. B.
C. D.
【典例3-2】我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A,B處的兩條切線所圍成的三角形(P為兩切線的交點)叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”,當線段AB經過拋物線的焦點F時,具有以下性質:
①P點必在拋物線的準線上;
②;
③.
已知直線與拋物線交于A,B點,若,則拋物線的“阿基米德三角形” 的面積為( )
A. B. C. D.
【變式3-1】阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希臘偉大的物理學家、數學家和天文學家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理,并享有“數學之神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖,為阿基米德三角形.拋物線上有兩個不同的點,以A,B為切點的拋物線的切線相交于P.給出如下結論,其中正確的為( )
(1)若弦過焦點,則為直角三角形且;
(2)點P的坐標是;
(3)的邊所在的直線方程為;
(4)的邊上的中線與y軸平行(或重合).
A.(2)(3)(4) B.(1)(2) C.(1)(2)(3) D.(1)(3)(4)
1.過拋物線的焦點作拋物線的弦與拋物線交于、兩點,為的中點,分別過、兩點作拋物線的切線、相交于點.又常被稱作阿基米德三角形.下面關于的描述:
①點必在拋物線的準線上;
②;
③設、,則的面積的最小值為;
④;
⑤平行于軸.
其中正確的個數是( )
A. B. C. D.
題型四:仿射變換問題
【典例4-1】MN是橢圓上一條不過原點且不垂直于坐標軸的弦,P是MN的中點,則 ,A,B是該橢圓的左右頂點,Q是橢圓上不與A,B重合的點,則 .CD是該橢圓過原點O的一條弦,直線CQ,DQ斜率均存在,則 .
【典例4-2】如圖,作斜率為的直線與橢圓交于 兩點,且在直線的上方,則△內切圓的圓心所在的定直線方程為 .
【變式4-1】Р是橢圓上任意一點,O為坐標原點,,過點Q的直線交橢圓于A,B兩點,并且,則面積為 .
【變式4-2】已知橢圓,分別為橢圓左右焦點,過作兩條互相平行的弦,分別與橢圓交于四點,若當兩條弦垂直于軸時,點所形成的平行四邊形面積最大,則橢圓離心率的取值范圍為 .
1.已知直線l與橢圓交于M,N兩點,當 ,面積最大,并且最大值為 .記,當面積最大時, ﹐ .Р是橢圓上一點,,當面積最大時, .
題型五:圓錐曲線第二定義
【典例5-1】已知橢圓的上頂點為,左焦點為,線段的中垂線與橢圓交于兩點,則的周長為( )
A.8 B.12 C.16 D.24
【典例5-2】已知雙曲線的離心率為2,其左右焦點分別為,,過點的直線與雙曲線左支交于,兩點,且,則( )
A. B. C. D.
【變式5-1】如圖,、是雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線分別交于點、,若為等邊三角形,則的面積為( )
A. B.
C. D.
【變式5-2】已知拋物線的焦點為,直線過點與拋物線相交于,兩點,且,則直線的斜率為( )
A. B. C. D.
1.已知拋物線的弦的中點橫坐標為5,則的最大值為( )
A.12 B.11 C.10 D.9
題型六:焦半徑問題
【典例6-1】設橢圓的左、右焦點分別為、,直線l經過點,且與Γ交于P、Q兩點.若,且,則Γ的長軸長的最小值為 .
【典例6-2】已知橢圓的焦點為,,若點在橢圓上,則滿足(其中為坐標原點)的點的個數為 .
【變式6-1】已知橢圓的離心率為.設l為過橢圓右焦點F的直線,交橢圓于M,N兩點,且l的傾斜角為.則 .
1.已知雙曲線的左、右焦點分別為雙曲線上存在M,N兩點(在x軸同側)使得,且與交于P點,則 ,的最小值為 .
題型七:圓錐曲線第三定義
【典例7-1】橢圓C:的左右頂點分別為,點P在C上且直線斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【典例7-2】雙曲線C:的左、右頂點分別為,,點P在C上且直線斜率的取值范圍是[-4,-2],那么直線斜率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【變式7-1】已知A,B是雙曲線Γ:=1(a>0,b>0)的左、右頂點,動點P在Γ上且P在第一象限.若PA,PB的斜率分別為k1,k2,則以下總為定值的是( )
A.k1+k2 B.|k1-k2|
C.k1k2 D.
【變式7-2】設橢圓的左,右頂點為是橢圓上不同于的一點,設直線的斜率分別為,則當取得最小值時,橢圓的離心率為
A. B. C. D.
1.已知平行四邊形內接于橢圓,且,斜率之積的范圍為,則橢圓離心率的取值范圍是
A. B. C. D.
題型八:定比點差法與點差法
【典例8-1】已知點P(0,1),橢圓 (m>1)上兩點A,B滿足,則當m= 時,點B橫坐標的絕對值最大.
【典例8-2】已知斜率為的直線與橢圓交于,兩點,線段的中點為(),那么的取值范圍是( )
A. B. C. D.,或
【變式8-1】已知橢圓內有一定點,過點P的兩條直線,分別與橢圓交于A、C和B、D兩點,且滿足,,若變化時,直線CD的斜率總為,則橢圓的離心率為
A. B. C. D.
【變式8-2】過點的直線與橢圓交于點和,且.點滿足,若為坐標原點,則的最小值為 .
1.已知橢圓,點為橢圓外一點,斜率為的直線與橢圓交于,兩點,過點作直線,分別交橢圓于,兩點.當直線的斜率為時,此橢圓的離心率為 .
題型九:切線問題
【典例9-1】已知為坐標原點,拋物線的焦點到準線的距離為1,過點的直線與交于兩點,過點作的切線與軸分別交于兩點,則( )
A. B. C. D.
【典例9-2】已知圓,圓,過動點P分別作圓圓的切線PA,PB(A,B為切點),使得,則動點P的軌跡方程為( )
A. B. C. D.
【變式9-1】已知橢圓的上,下焦點分別為,,拋物線的焦點與橢圓的上焦點重合,過的傾斜角為的直線交橢圓于A,B兩點,且,點是拋物線上在第一象限的點,且在該點處的切線與x軸的交點為,若,則的值為( )
A. B. C. D.
【變式9-2】已知為橢圓上一動點,過點作圓的兩條切線,切點分別為,,則的最小值為( )
A. B. C. D.
1.已知圓與雙曲線,若在雙曲線上存在一點,使得過點能作圓的兩條切線,切點為,且,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
題型十:焦點三角形問題
【典例10-1】已知分別是離心率為的橢圓的左、右焦點,是上一點且,若的面積為,則 .
【典例10-2】已知橢圓過點,焦點,,為坐標原點,圓的直徑為.若斜率為的直線與圓相切于第一象限內的點,交于兩點,則的面積為 .
【變式10-1】已知橢圓,點和分別是橢圓的左、右焦點,點P是橢圓上一點,則內切圓半徑的最大值為
【變式10-2】已知分別是雙曲線的左,右焦點,是雙曲線上第一象限內的點,點是的內心,則點的橫坐標是 ;的面積的取值范圍是 .
1.設為雙曲線上一點,兩點在雙曲線的漸近線上,且分別位于第一 四象限.若,則的面積為 .
題型十一:圓錐曲線的光學性質問題
【典例11-1】如圖,雙曲線具有光學性質,從雙曲線一個焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射,其反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.若雙曲線的左、右焦點分別為,,從發出的光線經過圖中的,兩點反射后,分別經過點和,且,,則的離心率為( ).

A. B. C. D.
【典例11-2】拋物線有如下光學性質:過焦點的光線經拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸:反之,平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為,一條平行于軸的光線從點射出,經過拋物線上的點反射后,再經拋物線上的另一點射出,則的周長為( )
A. B. C. D.
【變式11-1】橢圓具有如下光學性質:從橢圓的一個焦點發出的光線,經過橢圓反射后,反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓的左 右焦點分別為,過點的直線與交于點,,過點作的切線,點關于的對稱點為,若,,則( )
注:表示面積.
A.2 B. C.3 D.
【變式11-2】班級物理社團在做光學實驗時,發現了一個有趣的現象:從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據橢圓的光學性質解決下面問題:已知橢圓的方程為,其左、右焦點分別是,,直線與橢圓切于點,且,過點且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點Q,則(注;若的角平分線交于點,則)( )
A.1 B.2 C. D.
1.用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質:一束平行于拋物線對稱軸的光線,經過拋物面(拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲而叫拋物面)的反射后,集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面,將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中,對稱軸與軸重合,頂點與原點重合,如圖,若拋物線的方程為,平行于軸的光線從點射出,經過上的點反射后,再從上的另一點射出,則( )

A.6 B.8 C. D.29
重難點突破:圓錐曲線與四心問題
【典例12-1】拋物線的焦點恰好也是橢圓的一個焦點,,分別是橢圓的上、下焦點,是橢圓上的任一點,是的內心,PI交軸于,且,點是拋物線在第一象限上的點,且拋物線在該點處的切線與軸的交點為,若,則 .
【典例12-2】定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”,則 .若“黃金橢圓”的兩個焦點分別為,,為橢圓上異于頂點的任意一點,點是的內心,連接并延長交于點,則 .
【變式12-1】已知點,,,是軸上的動點,且滿足,的外心在軸上的射影為,則點的軌跡方程為 ,的最小值為 .
【變式12-2】雙曲線C:,斜率為1的直線l交C于A,B兩點,D為C上另一點,,,重心分別為P,Q,外心為M,若,則雙曲線的離心率為 .
1.在中,,,于,若為的垂心,且.則到直線距離的最小值是 .
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