資源簡介

專題17 圓錐曲線離心率問題精妙解法
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 5
05 核心精講·題型突破 12
題型一：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題 12
題型二：焦點三角形頂角范圍與離心率 17
題型三：共焦點的橢圓與雙曲線問題 21
題型四：橢圓與雙曲線的4a通徑體 26
題型五：橢圓與雙曲線的4a直角體 31
題型六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問題 36
題型七：雙曲線的4a底邊等腰三角形 40
題型八：焦點到漸近線距離為b 44
題型九：焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形 49
題型十：以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題 53
題型十一：漸近線平行線與面積問題 56
重難點突破：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長度角度 62
關(guān)于橢圓或雙曲線的離心率，以及與雙曲線的漸近線相關(guān)的問題，通常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，其難度屬于中等水平。
考點要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計 考情分析
離心率 掌握求解，理解應(yīng)用。 2024年甲卷第5題，5分 2024年I卷第12題，5分 2023年I卷第5、16題，10分 2023年甲卷第9題，5分 2022年甲卷第10題，5分 2022年浙江卷第16題，4分 2021年甲卷第5題，5分 2021年天津卷第8題，5分 離心率問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，主要考查圓錐曲線的概念和幾何性質(zhì)。在二輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)掌握其基本性質(zhì)和常規(guī)處理方法，特別是要從挖掘橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)入手，以應(yīng)對考試中的相關(guān)問題。
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．
2、利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．
5、利用判別式建立不等關(guān)系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．
7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．
1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
【答案】
【解析】由題可知三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案為：
2．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
【答案】/
【解析】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因為，所以，則，
又，所以，則，
又點在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
【答案】
【解析】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，
由雙曲線的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線的方程為.
故答案為：
4．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.
故選：A
5．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
6．（多選題）（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，
所以，因為，所以在雙曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，
若分別在左右支，
因為，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
題型一：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題
【典例1-1】已知橢圓上一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，設(shè)橢圓得左焦點為，連接，
則四邊形為矩形，
則，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，
所以.
故選：B.
【典例1-2】已知橢圓C：上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓的左焦點為，
因為，所以根據(jù)橢圓的對稱性可知：四邊形為矩形，
所以，
在中，，
根據(jù)橢圓定義可知：，
所以，
所以，，所以，
所以離心率為
故選：B．
頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題，如圖所示：
橢圓：，根據(jù)范圍求解值域．
雙曲線：，根據(jù)范圍求解值域．
【變式1-1】設(shè)是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，為其右焦點，點關(guān)于原點的對稱點為，且，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，設(shè)，
則根據(jù)題意得，
則雙曲線的離心率為
，
令，
易知在單調(diào)遞增，
且，
則，即.
故選：C.
【變式1-2】雙曲線（，）左支上一點關(guān)于原點的對稱點為點為其右焦點，若，設(shè)，且，則離心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，則，
因為雙曲線左支上一點關(guān)于原點的對稱點為點為其右焦點，，
所以由雙曲線的對稱性可得四邊形為矩形，
所以，
因為，，
所以，
因為，
所以，
所以，
因為，所以，
所以，所以，
所以，
所以雙曲線的離心率的范圍為，
故選：D
1．已知雙曲線右支上非頂點的一點A關(guān)于原點的對稱點為為雙曲線的右焦點，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，，
因為，則四邊形為矩形，
所以，
則，．
．
．
即，
則，
因為，則，
可得，即，
所以，
即雙曲線離心率的取值范圍是，
故選：C．
題型二：焦點三角形頂角范圍與離心率
【典例2-1】已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，
若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，橢圓的最大張角為，所以，所以，所以，
故選：C．
【典例2-2】已知為橢圓上一動點，、分別為該橢圓的左、右焦點，為短軸一端點，如果長度的最大值為，則使為直角三角形的點共有（ ）個
A．8個 B．4個或6個 C．6個或8個 D．4個或8個
【答案】B
【解析】當(dāng)為直角頂點時，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點有2個；
當(dāng)為直角頂點時，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點有2個；
因為為短軸一端點，令，長度的最大值為，
橢圓，
所以說明橢圓與圓有且僅有下頂點這唯一交點，
設(shè) ，
所以 ，即
所以 ，
因為，
所以帶入中得：
，
因為 ，
所以，
所以，
所以，
因為，
當(dāng) 帶入得：
所以，
所以，
所以即 ，
當(dāng) 時， 為下頂點，此時 最大為直角，根據(jù)對稱滿足的點有2個，
當(dāng) 時， 為下頂點，此時 為銳角，滿足的點有0個，
所以使為直角三角形的點共有4個或6個，
故選：B.
是橢圓的焦點，點在橢圓上，，則（當(dāng)且僅當(dāng)動點為短軸端點時取等號）．
【變式2-1】已知，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，點在以為直徑端點的圓上，
由此可得該圓的半徑，，即，
，.
故選：A.
【變式2-2】已知橢圓的方程為為其左、右焦點，為離心率，為橢圓上一動點，有如下說法：
①當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有4個；
②當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有6個；
③當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有8個；
以上說法中正確的個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有4個，分別為橫坐標(biāo)為的四個點；
當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有6個，分別為橫坐標(biāo)為的四個點及短軸兩個頂點；
當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有8個，分別為橫坐標(biāo)為的四個點及為直角的四個點
1．已知為橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點.若使為直角三角形的點有且只有4個，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)軸時，有兩個點滿足為直角三角形；
當(dāng)軸時，有兩個點滿足為直角三角形.
使為直角三角形的點有且只有4個，
以原點為圓心，為半徑的圓與橢圓無交點，，
，又，解得.
故選：A.
題型三：共焦點的橢圓與雙曲線問題
【典例3-1】已知橢圓與雙曲線共焦點，分別為左、右焦點，點為與的一個交點，且，設(shè)與的離心率分別為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)點在第一象限，由題知，
解得，，
在中，由余弦定理得，，
化簡得，即，
所以，
令，因為，所以，
則，
由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以．
故選：C
【典例3-2】已知以為焦點的橢圓與雙曲線共焦點，一動點在直線上運動，雙曲線與橢圓在一象限的交點為，當(dāng)與相等時，取得最大值，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意設(shè)，設(shè)雙曲線的實軸長為，
雙曲線與橢圓在一象限的交點為，
設(shè)，則，
故，
由，得，
即；
動點在直線上運動，設(shè)l與x軸交點為E，設(shè)，
在中，，
在中，，
由題意知為銳角，且,
即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
即的最大值為，而當(dāng)與相等時，取得最大值，
可知，即，結(jié)合，
得，則，
故雙曲線的離心率，
故選：C
，與基本不等式聯(lián)姻求解離心率的取值范圍
【變式3-1】已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點，，過作，垂足為，且（為坐標(biāo)原點），若，則與的離心率之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
故焦點坐標(biāo)為、，
則橢圓的離心率為，
由，，則，
過點作于點，由為中點，
故，，
由，故，
則，，
由雙曲線定義可知，，
故，則離心率為，
故與的離心率之和為.
故選：B.
【變式3-2】橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨設(shè)P為第一象限的點，
在橢圓中： ① ,
在雙曲線中: ②,
聯(lián)立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即
橢圓的離心率，
雙曲線的離心率，
故選：B
1．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為M，且．雙曲線和橢圓有相同焦點，且雙曲線的離心率為，P為曲線與的一個公共點，若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因為橢圓的上頂點為M，且，
所以，
所以，所以，
設(shè)雙曲線的方程為，
假設(shè)點在第一象限，則
，得，
在中，由余弦定理得
，即，
整理得，
所以，則，
，所以，
所以，
故選：D
題型四：橢圓與雙曲線的4a通徑體
【典例4-1】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別是、，過的直線交雙曲線的左支于、兩點，若，且，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下圖所示：
，由雙曲線的定義可得，
所以，，則，
由余弦定理可得，
，
因為，
故，整理可得，故該雙曲線的離心率為.
故選：B.
【典例4-2】已知雙曲線的左、右焦點分別是、，是雙曲線右支上的一點，交雙曲線的左支于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：
因為是雙曲線右支上的一點，交雙曲線的左支于點，
若，
由雙曲線的定義，可得，
，則，
所以，
故為等邊三角形，則，
在中，，，，
由余弦定理，可得
，
因此，雙曲線的離心率為.
故選：D.
橢圓與雙曲線的4a通徑體
如圖，若，易知，若，則一定有，根據(jù)可得，即
【變式4-1】若橢圓（）的離心率與雙曲線（，）的離心率之積為1，，分別是雙曲線E的左、右焦點，M，N是雙曲線E的左支上兩點，且，，，A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點與左焦點，，則橢圓C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題，，又，，．
，直線MN過點，
，，
，．
在中，
．
設(shè)橢圓C的焦距為，離心率為，雙曲線E的焦距為，離心率為，
在中，
，
，，．
，，，，
橢圓C的方程為.
故選：B．
【變式4-2】已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓C于M，N兩點.若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以可設(shè)，，，
因為，所以，解得，
因為，所以，，，
所以，
在中，，，
由，可得，
即橢圓的離心率為.
故選：B.
1．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，過原點的直線交橢圓于，兩點，若，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】過原點的直線交橢圓于，兩點，被平分，
又被平分，四邊形是平行四邊形，
又，四邊形是矩形，
，
由對稱性可得，設(shè)，，
，，
，
．
故選：B．
題型五：橢圓與雙曲線的4a直角體
【典例5-1】已知橢圓的左 右焦點分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，設(shè)，，設(shè)，則，
在中，，
由橢圓定義可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以橢圓離心率.
故選：D.
【典例5-2】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，且，，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
因為，則，，
由橢圓的定義可得，，
因為，即，
在中，則，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以橢圓E的離心率為.
故選：B．
如左圖，若，過原點，且，，則可得離心率．
如右圖，若，過原點，且，通過補(bǔ)全矩形，可得，，借助公式可得離心率．
【變式5-1】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，不妨令，
由過的直線交橢圓于，兩點，由橢圓的定義可得，，，
則，，
又因為，所以，則和都是直角三角形，
由勾股定理可得，，
即，解得，
所以，，
又，，
所以，解得，
所以橢圓的離心率為.
故選：B.
【變式5-2】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若，且，則橢圓的離心率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè) ，再由 是等腰直角三角形
，故選D,
1．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，，
∴，，
∵，
在中，由余弦定理，
得：，
∴，
化簡可得，而，
故，
∴，，，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴橢圓的離心率.
故選：D.
題型六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問題
【典例6-1】橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，由橢圓定義知，
又，所以，再由橢圓定義，
因為，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化簡可得，即，
解得或（舍去）.
故選：D
【典例6-2】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．
所求橢圓方程為，故選B．
法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．
同角余弦定理使用兩次
【變式6-1】已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，
在和中利用余弦定理可得
即
化簡可得
同除得：解得或（舍去）
故選：
【變式6-2】已知雙曲線C的焦點為，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)則，，由雙曲線的定義可得，，在和中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.如圖，設(shè)則，，
由雙曲線的定義可得，
在和中，由余弦定理得
又互補(bǔ)，，
兩式消去，可得，
所以，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得.
故選：B
1．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，
又，所以，從而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故選：C．
題型七：雙曲線的4a底邊等腰三角形
【典例7-1】設(shè)為雙曲線C：的右焦點，直線l：（其中c為雙曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點，若，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線C的左焦點為，如圖，取線段的中點H，連接，則．
因為，所以，即，則．
設(shè)．因為，
所以，則，從而，故，解得．
因為直線l的斜率為，所以，整理得，即，則，故．
故選：C
【典例7-2】設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，如圖，取線段的中點，連接，則．因為，所以，即，則．設(shè)．因為，所以，則，從而，故，解得．因為直線的斜率為，所以，整理得，即，
故選：D．
當(dāng)或者時，令,則一定存在①，②
【變式7-1】設(shè)雙曲線的左 右焦點分別為，過點作斜率為的直線與雙曲線的左 右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)為的中點，連接.
易知，所以，所以.
因為為的中點，所以.
設(shè)，因為，所以.
因為，所以.
所以.
因為是的中點，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因為直線的斜率為，
所以，所以，
，所以離心率為.
故選：A
1．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，且在線段的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，如圖：
設(shè)M，N的中點為P，連接 ，則點P在以原點為圓心，半徑為c的圓上，并且有 ， ；
直線l的方程為 ，令 ，
，由雙曲線的性質(zhì)可得 ，
解得 ，
在 中， ，在 中， ，
解得 ，由于 ， ，
解得 ；
故選：D.
題型八：焦點到漸近線距離為b
【典例8-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點 ，且恰為線段的中點，則雙曲線的離心率為 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】連結(jié)，因為點分別為和的中點，
所以，且
設(shè)點到一條漸近線的距離，所以
，又，所以，
中，滿足，
整理為：，
雙曲線的離心率.
故選：D
【典例8-2】已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為，，過C的右支上一點P作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若的最小值為，則C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由題，設(shè)原點為，
根據(jù)雙曲線的定義可知，且（當(dāng)且僅當(dāng)為線段上的點時等號成立），
所以，
因為的最小值為，即，
所以，此時為漸近線的垂線，
因為雙曲線的一條漸近線為,
所以在中，，
因為，所以，即，
所以，則.
故選：B
雙曲線的特征三角形，如圖所示，設(shè)漸近線，，過右焦點作，，由于漸近線方程為，故，且斜邊，故，故，.
【變式8-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作直線，使得它雙曲線的一條漸近線垂直且垂足為點，與雙曲線的右支交于點，若線段的垂直平分線恰好過的右焦點，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】連接，不妨設(shè)點在第三象限，則直線的方程為，即，
點到直線的距離為，
記線段的中點為，則，且，
又因為為的中點，則為的中點，則，
因為，所以，，
由雙曲線的定義可得，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，雙曲線的離心率為.
故選：C.
【變式8-2】已知雙曲線的左右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點（異于坐標(biāo)原點），若線段交雙曲線于點，且則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨設(shè)漸近線的方程為，因為，為的中點，
所以為的中點，
將直線，的方程聯(lián)立，可得，
又，所以即，
又點在雙曲線上，所以，解得，
所以該雙曲線的離心率為，
故選：A.
1．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)點位于第二象限，可求得點的坐標(biāo)，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.設(shè)點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點，
由題意可知，直線與直線垂直，，，
因此，雙曲線的離心率為.
故選：B.
題型九：焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形
【典例9-1】已知雙曲線：的一個焦點為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若(為坐標(biāo)原點)的面積等于(為雙曲線的半焦距)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】設(shè)雙曲線：的右焦點，
雙曲線的一條漸近線方程設(shè)為，
可得，，
的面積為，即有，
化為，，解得.
故選：A.
【典例9-2】已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為兩點(點位于點M與點N之間)，且，又過點作于P(點O為坐標(biāo)原點)，且，則雙曲線E的離心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨設(shè)在第二象限，在第三象限，如下圖所示：
因為，，所以，
所以，，
又，所以，
所以，所以，
因為，所以，
所以，所以.
故選：C.
利用幾何法轉(zhuǎn)化
【變式9-1】過雙曲線的焦點作其漸近線的垂線，垂足為，直線交雙曲線的另一條漸近線于點，為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，雙曲線的漸近線，，
由，，可得，
由可知為線段的中點，
又可得直線為線段的垂直平分線，
由，即，可得，
，因此，雙曲線的離心率為.
故選：B.
【變式9-2】過雙曲線C：(a>0，b>0)的右焦點F引一條漸近線的垂線，與另一條漸近線相交于第二象限，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由題意雙曲線C：的漸近線，右焦點，
不妨設(shè)過右焦點與雙曲線的一條漸近線垂直的直線方程為
與聯(lián)立得，所以，，所以交點坐標(biāo)為，因為交點在第二象限，所以，因為，，，所以，，所以，即，因為，所以，即
故選：A
1．已知雙曲線，過右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為點，與的另一條漸近線交于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下圖所示：
雙曲線的漸近線方程為，即，
所以，，則，
因為，則，
設(shè)，則，所以，，
，，
由二倍角的正切公式可得，即，可得，
因此，.
故選：A.
題型十：以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題
【典例10-1】設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，以線段為直徑的圓與直線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】由題意可得，
即有為等腰三角形，
設(shè)，
則，
所以
即為，
所以，
故選：A
【典例10-2】已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，以 為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點，直線與雙曲線的右支交于點，點恰好為線段的三等分點(靠近點)，則雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則，
由雙曲線的定義可得：，，
因為點在以為直徑的圓上，所以，
所以，即，解得：，
在中，，，，
由可得，即，
所以雙曲線離心率為，
故選：C.
以為直徑作圓，交一條漸近線于點，交另一條漸近線于點，則令,則，
【變式10-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與的一條漸近線在第一象限交點為，直線與另一條漸近線交于點．若點是線段中點，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】如圖，點Q是以為直徑的圓的弦中點，則，于是得，
因直線是雙曲線的漸近線，由雙曲線對稱性知，因此有，
則有直線的斜率，離心率，
雙曲線的離心率是2
故選：B
1．已知雙曲線的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F1F2為直徑的圓和曲線C在第一象限交于點P，且△POF2恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】連接， 設(shè)，
則由題意可得是直角三角形，
由恰好為正三角形得，，
∴，∴，
，
．
故選：C．
題型十一：漸近線平行線與面積問題
【典例11-1】已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點．若，則C的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】易知MN關(guān)于x軸對稱，令，，
∴，，∴，∴．
，，，
∴，
∴．
故選: C.
【典例11-2】已知分別為雙曲線的左、右焦點，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，此時，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
因為雙曲線，則其漸近線方程為，
且，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，
則直線方程為，聯(lián)立直線方程，解得，
所以，過點作軸的垂線，交軸于點，
因為，則，
則，且，
即，化簡可得，則.
故選：C
①雙曲線C：上的任意點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)
②雙曲線C：上的任意點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別交于，兩點，則是一個常數(shù)，，
【變式11-1】已知雙曲線上一點坐標(biāo)為為雙曲線的右焦點，且垂直于軸.過點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，它們與兩條漸近線圍成的圖形面積等于，則該雙曲線的離心率是 .
【答案】或
【解析】由題意知，，
雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)過點且與漸近線平行的直線與漸近線相交于點，如圖所示，
直線的方程為，
將其與聯(lián)立，解得，，即，，
，
點，到直線的距離為，
所圍圖形面積等于1，
，即，
化簡得，
點，在雙曲線上，，即，
，
又，，或，，
離心率或．
故答案為：或．
【變式11-2】已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過作的兩條漸近線的平行線分別交兩條漸近線于、兩點.若為等腰直角三角形，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立可得，即點，
因為為等腰直角三角形，由對稱性可知，、關(guān)于軸，
所以，，所以，，
所以，，可得，故，
故該雙曲線的離心率為，
故選：D.
1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線上的任意一點，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于，兩點，若四邊形（為坐標(biāo)原點）的面積為，且，則點的縱坐標(biāo)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的漸近線為,,,則直線方程為,聯(lián)立直線方程可求出點,即可得到,再求得點到直線的距離,即可利用四邊形的面積求出,再利用條件求出的取值范圍即可.由題意可知,四邊形為平行四邊形,
不妨設(shè)雙曲線的漸近線為,,
設(shè)點,則直線方程為,
且點到直線的距離.
聯(lián)立,解得,∴,
∴,
設(shè)四邊形的面積為,則,
又∵,∴,
∴,∴,
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
∴,,∴,,
∴,
又∵,∴,解得,
故選:D.
重難點突破：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長度角度
【典例12-1】已知分別為雙曲線的左、右焦點，是左支上一點，，若存在點滿足，則的離心率為 .
【答案】
【解析】
因為，所以是的中點，又為的中點，
所以，因為，所以，所以，
設(shè)，則，，且在雙曲線上，
則，即，又，即，
所以.
故答案為：.
【典例12-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標(biāo)原點），，則雙曲線C的離心率為
【答案】/
【解析】
依題意有
所以，
設(shè)又
所以、
在中，
所以，
故有：即
解得：即
在中，有
即，
所以
故答案為：.
數(shù)形結(jié)合
【變式12-1】已知雙曲線的左 右焦點分別為，點在的左支上，，，延長交的右支于點，點為雙曲線上任意一點（異于兩點），則直線與的斜率之積 .
【答案】2
【解析】依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，
因為是的中點，所以，故由得，
又因為，所以，
在中，，
在中，，
所以，解得，所以，
所以雙曲線方程為，則，
設(shè)，，，
所以，
故答案為：2
【變式12-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，且，射線分別交于兩點（為坐標(biāo)原點），若，則的離心率為 ．
【答案】
【解析】由雙曲線的對稱性得，由，得，
不妨設(shè)點在的右支上，且，
在中，由雙曲線定義知，
由勾股定理得，
則，
且
又，，所以，
則在中，由，得，
化簡得，
即，所以，
所以，化簡得.
所以的離心率為.
故答案為：.
1．已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，，為上位于軸上方的兩點，且，．記，交點為，過點作，交軸于點．若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】
【解析】做出圖像，如圖所示，則，
在中，由得，，
設(shè)，則，
所以，解得，即，
在中，由得，，
設(shè)，則，
所以，解得，即，
因為，
所以，
則，即，
所以，解得，
所以，
由可得，，則，
所以，整理得，解得，
故答案為：．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題17 圓錐曲線離心率問題精妙解法
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 5
05 核心精講·題型突破 6
題型一：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題 6
題型二：焦點三角形頂角范圍與離心率 7
題型三：共焦點的橢圓與雙曲線問題 9
題型四：橢圓與雙曲線的4a通徑體 10
題型五：橢圓與雙曲線的4a直角體 12
題型六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問題 13
題型七：雙曲線的4a底邊等腰三角形 14
題型八：焦點到漸近線距離為b 16
題型九：焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形 17
題型十：以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題 18
題型十一：漸近線平行線與面積問題 20
重難點突破：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長度角度 22
關(guān)于橢圓或雙曲線的離心率，以及與雙曲線的漸近線相關(guān)的問題，通常以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，其難度屬于中等水平。
考點要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計 考情分析
離心率 掌握求解，理解應(yīng)用。 2024年甲卷第5題，5分 2024年I卷第12題，5分 2023年I卷第5、16題，10分 2023年甲卷第9題，5分 2022年甲卷第10題，5分 2022年浙江卷第16題，4分 2021年甲卷第5題，5分 2021年天津卷第8題，5分 離心率問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，主要考查圓錐曲線的概念和幾何性質(zhì)。在二輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)掌握其基本性質(zhì)和常規(guī)處理方法，特別是要從挖掘橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)入手，以應(yīng)對考試中的相關(guān)問題。
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．
2、利用線段長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．
3、利用角度長度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．
4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．
5、利用判別式建立不等關(guān)系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．
7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．
1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為 ．
2．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為 ．
3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為 ．
4．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（多選題）（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型一：頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題
【典例1-1】已知橢圓上一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知橢圓C：上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
頂角為直角的焦點三角形求解離心率的取值范圍問題，如圖所示：
橢圓：，根據(jù)范圍求解值域．
雙曲線：，根據(jù)范圍求解值域．
【變式1-1】設(shè)是雙曲線在第一象限內(nèi)的點，為其右焦點，點關(guān)于原點的對稱點為，且，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】雙曲線（，）左支上一點關(guān)于原點的對稱點為點為其右焦點，若，設(shè)，且，則離心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
1．已知雙曲線右支上非頂點的一點A關(guān)于原點的對稱點為為雙曲線的右焦點，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型二：焦點三角形頂角范圍與離心率
【典例2-1】已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，
若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知為橢圓上一動點，、分別為該橢圓的左、右焦點，為短軸一端點，如果長度的最大值為，則使為直角三角形的點共有（ ）個
A．8個 B．4個或6個 C．6個或8個 D．4個或8個
是橢圓的焦點，點在橢圓上，，則（當(dāng)且僅當(dāng)動點為短軸端點時取等號）．
【變式2-1】已知，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】已知橢圓的方程為為其左、右焦點，為離心率，為橢圓上一動點，有如下說法：
①當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有4個；
②當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有6個；
③當(dāng)時，使為直角三角形的點有且只有8個；
以上說法中正確的個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
1．已知為橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點.若使為直角三角形的點有且只有4個，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型三：共焦點的橢圓與雙曲線問題
【典例3-1】已知橢圓與雙曲線共焦點，分別為左、右焦點，點為與的一個交點，且，設(shè)與的離心率分別為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知以為焦點的橢圓與雙曲線共焦點，一動點在直線上運動，雙曲線與橢圓在一象限的交點為，當(dāng)與相等時，取得最大值，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
，與基本不等式聯(lián)姻求解離心率的取值范圍
【變式3-1】已知橢圓：（）與雙曲線：（）共焦點，，過引直線與雙曲線左、右兩支分別交于點，，過作，垂足為，且（為坐標(biāo)原點），若，則與的離心率之和為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為M，且．雙曲線和橢圓有相同焦點，且雙曲線的離心率為，P為曲線與的一個公共點，若，則的值為（ ）
A．2 B．3 C． D．
題型四：橢圓與雙曲線的4a通徑體
【典例4-1】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別是、，過的直線交雙曲線的左支于、兩點，若，且，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知雙曲線的左、右焦點分別是、，是雙曲線右支上的一點，交雙曲線的左支于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
橢圓與雙曲線的4a通徑體
如圖，若，易知，若，則一定有，根據(jù)可得，即
【變式4-1】若橢圓（）的離心率與雙曲線（，）的離心率之積為1，，分別是雙曲線E的左、右焦點，M，N是雙曲線E的左支上兩點，且，，，A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點與左焦點，，則橢圓C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓C于M，N兩點.若，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，過原點的直線交橢圓于，兩點，若，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型五：橢圓與雙曲線的4a直角體
【典例5-1】已知橢圓的左 右焦點分別為、，過作直線與橢圓相交于、兩點，，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于A，B兩點，且，，則橢圓E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
如左圖，若，過原點，且，，則可得離心率．
如右圖，若，過原點，且，通過補(bǔ)全矩形，可得，，借助公式可得離心率．
【變式5-1】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
【變式5-2】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，若，且，則橢圓的離心率是
A． B． C． D．
1．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，，若，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型六：橢圓與雙曲線的等腰三角形問題
【典例6-1】橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為
A． B． C． D．
同角余弦定理使用兩次
【變式6-1】已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】已知雙曲線C的焦點為，過的直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點，若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
1．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
題型七：雙曲線的4a底邊等腰三角形
【典例7-1】設(shè)為雙曲線C：的右焦點，直線l：（其中c為雙曲線C的半焦距）與雙曲線C的左、右兩支分別交于M，N兩點，若，則雙曲線C的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點，直線：（其中為雙曲線的半焦距）與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
當(dāng)或者時，令,則一定存在①，②
【變式7-1】設(shè)雙曲線的左 右焦點分別為，過點作斜率為的直線與雙曲線的左 右兩支分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．2
1．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，且在線段的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型八：焦點到漸近線距離為b
【典例8-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點 ，且恰為線段的中點，則雙曲線的離心率為 （ ）
A． B． C．2 D．
【典例8-2】已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為，，過C的右支上一點P作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若的最小值為，則C的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．
雙曲線的特征三角形，如圖所示，設(shè)漸近線，，過右焦點作，，由于漸近線方程為，故，且斜邊，故，故，.
【變式8-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作直線，使得它雙曲線的一條漸近線垂直且垂足為點，與雙曲線的右支交于點，若線段的垂直平分線恰好過的右焦點，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】已知雙曲線的左右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點（異于坐標(biāo)原點），若線段交雙曲線于點，且則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型九：焦點到漸近線垂線構(gòu)造的直角三角形
【典例9-1】已知雙曲線：的一個焦點為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若(為坐標(biāo)原點)的面積等于(為雙曲線的半焦距)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【典例9-2】已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與兩條漸近線的交點分別為兩點(點位于點M與點N之間)，且，又過點作于P(點O為坐標(biāo)原點)，且，則雙曲線E的離心率（ ）
A． B． C． D．
利用幾何法轉(zhuǎn)化
【變式9-1】過雙曲線的焦點作其漸近線的垂線，垂足為，直線交雙曲線的另一條漸近線于點，為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】過雙曲線C：(a>0，b>0)的右焦點F引一條漸近線的垂線，與另一條漸近線相交于第二象限，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
1．已知雙曲線，過右焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為點，與的另一條漸近線交于點，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型十：以兩焦點為直徑的圓與漸近線相交問題
【典例10-1】設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，以線段為直徑的圓與直線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．
C． D．2
【典例10-2】已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，以 為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點，直線與雙曲線的右支交于點，點恰好為線段的三等分點(靠近點)，則雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
以為直徑作圓，交一條漸近線于點，交另一條漸近線于點，則令,則，
【變式10-1】已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與的一條漸近線在第一象限交點為，直線與另一條漸近線交于點．若點是線段中點，則雙曲線的離心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
1．已知雙曲線的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F1F2為直徑的圓和曲線C在第一象限交于點P，且△POF2恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型十一：漸近線平行線與面積問題
【典例11-1】已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點，過作C的兩條漸近線的平行線，與漸近線交于M，N兩點．若，則C的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【典例11-2】已知分別為雙曲線的左、右焦點，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，此時，則的離心率為（ ）
A． B．2 C． D．3
①雙曲線C：上的任意點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)
②雙曲線C：上的任意點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別交于，兩點，則是一個常數(shù)，，
【變式11-1】已知雙曲線上一點坐標(biāo)為為雙曲線的右焦點，且垂直于軸.過點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，它們與兩條漸近線圍成的圖形面積等于，則該雙曲線的離心率是 .
【變式11-2】已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過作的兩條漸近線的平行線分別交兩條漸近線于、兩點.若為等腰直角三角形，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線上的任意一點，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于，兩點，若四邊形（為坐標(biāo)原點）的面積為，且，則點的縱坐標(biāo)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
重難點突破：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化長度角度
【典例12-1】已知分別為雙曲線的左、右焦點，是左支上一點，，若存在點滿足，則的離心率為 .
【典例12-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標(biāo)原點），，則雙曲線C的離心率為
數(shù)形結(jié)合
【變式12-1】已知雙曲線的左 右焦點分別為，點在的左支上，，，延長交的右支于點，點為雙曲線上任意一點（異于兩點），則直線與的斜率之積 .
【變式12-2】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在上，且，射線分別交于兩點（為坐標(biāo)原點），若，則的離心率為 ．
1．已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，，為上位于軸上方的兩點，且，．記，交點為，過點作，交軸于點．若，則雙曲線的離心率是 ．
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