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專題08 三角恒等變換
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題型01 誘導(dǎo)公式的變形應(yīng)用 1
題型02 弦切齊次化轉(zhuǎn)化 4
題型03 ±問題 7
題型04 輔助角公式 7
題型05 二倍角與降冪公式 16
題型06 拆角、配角問題（給值求值、給值求角） 20
題型01 誘導(dǎo)公式的變形應(yīng)用
【解題規(guī)律·提分快招】
三角函數(shù)誘導(dǎo)公式 公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限
【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明： （1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作； （2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)； （3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·河北邢臺·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】整體代換應(yīng)用誘導(dǎo)公式計算化簡，再結(jié)合二倍角公式計算即可.
【詳解】令，則，，
.
故選：D.
2．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由條件根據(jù)二倍角余弦公式可求，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求.
【詳解】因為，所以，
即，
所以．
故選：D．
3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，再用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡計算即可.
【詳解】由得，得，
所以.
故選：D.
4．（24-25高三上·遼寧·期末）（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式及二倍角的正弦公式化簡求值即可.
【詳解】原式
.
故選：C
5．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）下列選項中，與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判斷A；根據(jù)正切的誘導(dǎo)公式可判斷BC，根據(jù)正切的和角公式可判斷D.
【詳解】，故A正確；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：D
二、多選題
6．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，
【答案】BCD
【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式、倍角公式以及兩角和差公式逐項分析求解.
【詳解】因為，
對于選項A：，故A錯誤；
對于選項B：
，故B正確；
對于選項C：，故C正確；
對于選項D：若，則，
且，則，
，
可得
，所以，故D正確.
故選：BCD．
題型02 弦切齊次化轉(zhuǎn)化
【解題規(guī)律·提分快招】
1、利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡條件等式可求，再利用齊次化方法求結(jié)論.
【詳解】，
所以，
所以，
又，
所以.
故選：A.
2．（24-25高三上·甘肅·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由條件，結(jié)合兩角差正切公式求，結(jié)合二倍角公式，平方關(guān)系將所求式子轉(zhuǎn)化為齊次式，利用齊次式的方法求結(jié)論.
【詳解】因為，
所以.
因為，
所以.
故選：C.
3．（24-25高三上·湖南衡陽·期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由兩角和正切公式展開求出，再利用“”的代換轉(zhuǎn)化為齊次比式，化弦為切求解可得.
【詳解】由，解得；
則
.
故選：D.
二、填空題
4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，則 .
【答案】1
【分析】先根據(jù)兩角和的正切公式計算得出，再應(yīng)用二倍角余弦及正弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系弦化切計算即可.
【詳解】因為，
所以，
則
，
故答案為：1.
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則 .
【答案】
【分析】方法一：由正切函數(shù)的和差角公式代入計算，即可得到，再將原式化為齊次式，即可得到結(jié)果；方法二：由正切函數(shù)的和差角公式化簡，然后令，結(jié)合換元法代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】法一、由，得，
即，解得，
所以.
法二、由，得，
即，
令，則，解得或.
當(dāng)時，，
所以.
當(dāng)時，無解.
故.
故答案為：
題型03 ±問題
【解題規(guī)律·提分快招】
1、 2、 3、
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知，則（ ）.
A． B． C． D．選項不完整
【答案】B
【分析】將兩邊同時平方，利用同角間關(guān)系和二倍角公式，即可求得.
【詳解】因為，
兩邊同時平方得：，
所以，則，
故選：B.
2．（23-24高三上·湖北·期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合同角公式求出即可得解.
【詳解】由，得，解得，
由，得，則，于是，
解得，所以.
故選：C
3．（24-25高三上·黑龍江大慶·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將已知條件平方，得，從而得，再將平方，求解即可.
【詳解】解：因為，
平方得：，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因為，
所以.
故選：A.
4．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，則，從而得到，依題意得到關(guān)于的方程，求出的值，再由二倍角公式及誘導(dǎo)公式計算可得.
【詳解】令，
則，所以，
所以，
所以，所以，
由，所以，解得（舍去）或，
所以.
故選：B
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系變形，已知式由兩角差的余弦公式展開化簡得，再利用同角間三角函數(shù)關(guān)系變形得出，代入待求式變形后的式子計算可得．
【詳解】（※）
而，則，
兩側(cè)平方可得，則，
代入（※）式可知，
故選：A．
6．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）若為銳角，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)化簡，可求，進(jìn)而求出.
【詳解】因為，
所以
，
所以，
因為為銳角，故.
故選：B
7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特點，設(shè)，求出，代入原函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)，求其最大值即可.
【詳解】由，可知，
可設(shè)，
則，
則原函數(shù)可化為，
所以當(dāng)時，函數(shù)取最大值.
故選：C.
二、多選題
8．（24-25高三上·湖南長沙·期末）已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由已知得，，確定的范圍判斷A；列方程組求解與的值，再求值，判斷B與C；由兩邊平方，可得，化簡，即可求值，判斷D.
【詳解】由，，
得，，則，故A正確；
，，，
則，
當(dāng)時，聯(lián)立，
解得，，則；
當(dāng)時，聯(lián)立，
解得，，則，故B、C錯誤；
由，兩邊平方可得，，
則，，故D正確.
故選：AD.
三、填空題
9．（24-25高三上·吉林長春·期末）若，且，是的兩個根，則 .
【答案】/
【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理得到，再由，然后結(jié)合同角的平方關(guān)系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解.
【詳解】因為、為關(guān)于x的方程的兩個根，
所以，
又因為，
所以，
又，所以，
，
故答案為：
題型04 輔助角公式
【解題規(guī)律·提分快招】
1、輔助角公式 （其中）．
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為，再用輔助角公式，最后兩邊平方即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以，
所以，即，
所以，即，
兩邊同時平方整理得，所以．
故選：A
2．（23-24高三上·甘肅武威·期末）若，，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和輔助角公式可得（其中），進(jìn)而（），由誘導(dǎo)公式化簡得，即可求解.
【詳解】由，得，
所以（其中），
得，所以，，
所以，
解得.
故選：B
二、填空題
3．（24-25高三上·全國·課后作業(yè)） ．
【答案】（其中）
【分析】運(yùn)用輔助角公式計算.
【詳解】，其中．
故答案為：（其中）.
4．（23-24高三下·廣東廣州·期中）函數(shù)的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式，化簡得到，即可求解.
【詳解】由
當(dāng)時，即
所以的最大值為：
故答案為：
5．（24-25高三上·陜西榆林·期末） .
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的正余弦公式及輔助角公式化簡即得.
【詳解】.
故答案為：
6．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則當(dāng)時的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等變換公式化簡，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求解可得.
【詳解】
，
因為，所以，
所以，
所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
7．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為 .
【答案】
【分析】由余弦二倍角公式及兩角和的余弦公式化簡后計算周期即可得.
【詳解】
，
則其最小正周期.
故答案為：.
8．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）若函數(shù)在處取得最大值，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)輔助角公式化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其最大值，并確定取最大值時自變量的值，由此可求.
【詳解】因為，
設(shè)，，
則，，
當(dāng)，時，
即當(dāng)，函數(shù)取最大值，最大值為，
所以，
所以.
故答案為：.
題型05 二倍角與降冪公式
【解題規(guī)律·提分快招】
1、二倍角公式
①；
②；
③；
2、降冪公式
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則是（ ）
A．奇函數(shù)且最小正周期為 B．偶函數(shù)且最小正周期為 C．奇函數(shù)且最小正周期為 D．偶函數(shù)且最小正周期為
【答案】A
【分析】利用三角降冪公式和誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡為，即可判斷奇偶性和周期性.
【詳解】因，
故為奇函數(shù)，且最小正周期為.
故選：A.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、降次公式求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
，解得，負(fù)根舍去.
故選：B
3．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與基本關(guān)系式依次求得，，再利用二倍角的正弦公式即可得解.
【詳解】因為，
所以，
所以，
故選：B
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡，再根據(jù)二倍角公式求解即可.
【詳解】方法一：
，
，解得.
故選：C.
方法二：，
.
故選：C.
5．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函數(shù)的平方關(guān)系及求出和，再根據(jù)二倍角的正弦公式及降冪公式化簡，代入計算即可．
【詳解】由題設(shè)有，即，
解得或，因為，所以，則，
則，
故選：A．
6．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用誘導(dǎo)公式及特殊值的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】，
，
，
所以，，，
所以.
故選：A.
7．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若，，則（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】先利用三角恒等變換化簡整理可得，然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，進(jìn)而得，從而由可得結(jié)果.
【詳解】，
化簡得，即，
整理得.
因為，所以.
整理得，又，即，
所以，即，進(jìn)而，
于是.
故選：D.
8．（24-25高三上·江蘇蘇州·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】應(yīng)用和角的正弦、余弦公式和二倍角公式化簡即可.
【詳解】
.
故選：D.
題型06 拆角、配角問題（給值求值、給值求角）
【解題規(guī)律·提分快招】
拆分角的變形：①；；②； ③；④；⑤． 其他：
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·江西·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用湊角法得到方程，兩式相加得到.
【詳解】①，
②，
由①②相加，得，所以.
故選：A.
2．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由所給角的象限結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，，再利用兩角和的余弦公式計算即可得解.
【詳解】由，，則，，
故，
，
故
.
故選：C.
3．（24-25高三上·湖南長沙·期末）若，，并且均為銳角，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系計算可得，，再由兩角差的余弦公式計算可得結(jié)果.
【詳解】由，可得，
又，所以，
因為，，所以，
所以
，
又因為，所以.
故選：C
4．（24-25高三上·安徽·期中）若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩角差的正余弦公式化簡分式，可求得的值，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正切公式求解出結(jié)果.
【詳解】因為，
所以，
又因為.
故選：C.
5．（24-25高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由條件結(jié)合同角關(guān)系求，由二倍角公式求，再利用兩角差正弦公式可求，由此可求結(jié)論.
方法二：由條件可得，由此確定范圍，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性可得，由此可得結(jié)論.
【詳解】因為，，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以，
又，
所以，
所以，
故
，
因為，，
所以，則．
解法二：因為，
所以，，
∵，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
故選：C.
6．（24-25高三上·遼寧沈陽·期中）已知等差數(shù)列中，，，又，，其中，則的值為（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差中項的性質(zhì)可以算出，再利用等差數(shù)列中的關(guān)鍵量和可以求出.利用，求出，進(jìn)而求出，確定即可得出結(jié)論.
【詳解】，
，，
，
，
.又，
，
.
，，，
.
故選：D.
7．（24-25高三上·山東·期中）若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)已知角的范圍確定三角函數(shù)值的正負(fù)，再利用兩角和的余弦公式求出的值，最后根據(jù)的范圍確定其具體值.
【詳解】因，所以，又，
根據(jù)，得，同時也能確定.
因為，，，所以.
.
將轉(zhuǎn)化為.
所以
因為，，所以.
在這個區(qū)間內(nèi)，時，.
故選：C.
8．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用兩角和的余弦公式求出，從而求出，再由降冪公式及和差角的余弦公式計算可得.
【詳解】因為，，
所以，所以，
所以
則
.
故選：D
一、單選題
1．（24-25高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用兩角和與差的余弦公式展開，然后兩邊平方即可求得.
【詳解】展開得，
兩邊同時平方有，
即，解得，
故選：B．
2．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，可得答案.
【詳解】，則，又，
所以.
故選：D.
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，然后由二倍角公式可得.
【詳解】因為，
所以
.
故選：A
4．（2024·河南·一模）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意先求得，再利用降冪公式和兩角差的余弦公式運(yùn)算求解.
【詳解】因為，則，
所以．
故選：A.
5．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)得到，結(jié)合題目條件可得，利用倍角公式可計算的值.
【詳解】∵，∴.
∵，∴，
∴，即，
解得或（舍），
∴.
故選：C.
6．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式求解.
【詳解】根據(jù)兩角和的正切公式，，
可得，即；
根據(jù)誘導(dǎo)公式，，
故原式.
故選：A.
7．（23-24高三上·河北廊坊·期中）設(shè)，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換可得答案.
【詳解】因為，所以．
因為，所以，
所以，則．
故選：B.
8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)角的范圍，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得的值，利用兩角差的余弦公式即可求得，繼而利用二倍角的余弦公式求得答案.
【詳解】由于，則，
而，故，
由，可得，
則
，
故，
故選：D
9．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用兩角和差公式可得，結(jié)合題意即可得結(jié)果.
【詳解】因為，則，，
又因為，
則①，
等式①的兩邊同時除以
可得，解得.
故選：D.
10．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得，利用兩角和與差的正弦公式化簡，可得，根據(jù)角的范圍，即可得到答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故選：D
11．（23-24高三下·四川成都·階段練習(xí)）若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再由利用兩角和的余弦公式計算可得.
【詳解】因為，所以，又，所以，則，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，則.
故選：B.
二、填空題
12．（24-25高三上·山東聊城·階段練習(xí)）若，且，則 ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式及兩角差的余弦公式化簡，求出，根據(jù)即可求解.
【詳解】由，得．
因為，所以，則，
所以．
由，得，則，解得．
故答案為：
13．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）若，則 .
【答案】
【分析】利用三角恒等變換結(jié)合齊次式問題運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意可得：.
故答案為：.
14．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知，則 .
【答案】/
【分析】首先利用二倍角公式求出，再由誘導(dǎo)公式計算可得.
【詳解】，，
.
故答案為：
15．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知，則 .
【答案】
【分析】借助兩角和的正弦公式與輔助角公式化簡原式可得，再利用整體思想結(jié)合二倍角公式及誘導(dǎo)公式計算即可得.
【詳解】
，
則，
故
.
故答案為：.
16．（23-24高三下·上海寶山·期末）已知，，，則 ．
【答案】
【分析】結(jié)合所給角的象限與余弦值，可得其 正弦值，再利用兩角差的正弦公式計算即可得.
【詳解】由，，，則，
則，，
.
故答案為：.
17．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，，，則 .
【答案】
【分析】先由角的范圍和題設(shè)和的值，求出和的值，再利用拆角變換展開后代入求值即得.
【詳解】因，，，
故，，
故，，
則
.
故答案為：
18．（24-25高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知為鈍角，且，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知，切化弦結(jié)合三角恒等變換化簡整理即可，即可得結(jié)果.
【詳解】因為，
則
，
即，且為鈍角，所以.
故答案為：.
19．（24-25高三上·江蘇淮安·期中）已知，則 .
【答案】
【分析】利用恒等變換公式以及商數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡并計算.
【詳解】因為
，
而，所以，，
故答案為：.
20．（2024高三·全國·專題練習(xí)）化簡: .
【答案】
【分析】弦切互化將變?yōu)椋谜T導(dǎo)公式將變?yōu)椋Y(jié)合完全平方式和二倍角余弦公式化簡即可.
【詳解】原式.
故答案為：
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題08 三角恒等變換
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題型01 誘導(dǎo)公式的變形應(yīng)用 1
題型02 弦切齊次化轉(zhuǎn)化 2
題型03 ±問題 3
題型04 輔助角公式 4
題型05 二倍角與降冪公式 5
題型06 拆角、配角問題（給值求值、給值求角） 6
題型01 誘導(dǎo)公式的變形應(yīng)用
【解題規(guī)律·提分快招】
三角函數(shù)誘導(dǎo)公式 公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限
【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明： （1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作； （2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)； （3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·河北邢臺·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·遼寧·期末）（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）下列選項中，與不相等的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
6．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．若，
題型02 弦切齊次化轉(zhuǎn)化
【解題規(guī)律·提分快招】
1、利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．2
2．（24-25高三上·甘肅·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南衡陽·期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知，則 .
5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則 .
題型03 ±問題
【解題規(guī)律·提分快招】
1、 2、 3、
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知，則（ ）.
A． B． C． D．選項不完整
2．（23-24高三上·湖北·期末）已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·黑龍江大慶·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）若為銳角，且，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多選題
8．（24-25高三上·湖南長沙·期末）已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
9．（24-25高三上·吉林長春·期末）若，且，是的兩個根，則 .
題型04 輔助角公式
【解題規(guī)律·提分快招】
1、輔助角公式 （其中）．
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·甘肅武威·期末）若，，則（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空題
3．（24-25高三上·全國·課后作業(yè)） ．
4．（23-24高三下·廣東廣州·期中）函數(shù)的最大值為 .
5．（24-25高三上·陜西榆林·期末） .
6．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則當(dāng)時的最大值為 ．
7．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為 .
8．（24-25高三上·浙江·階段練習(xí)）若函數(shù)在處取得最大值，則 .
題型05 二倍角與降冪公式
【解題規(guī)律·提分快招】
1、二倍角公式
①；
②；
③；
2、降冪公式
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則是（ ）
A．奇函數(shù)且最小正周期為 B．偶函數(shù)且最小正周期為 C．奇函數(shù)且最小正周期為 D．偶函數(shù)且最小正周期為
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．3 B． C． D．
6．（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若，，則（ ）
A． B． C．5 D．
8．（24-25高三上·江蘇蘇州·期末）（ ）
A． B． C． D．
題型06 拆角、配角問題（給值求值、給值求角）
【解題規(guī)律·提分快招】
拆分角的變形：①；；②； ③；④；⑤． 其他：
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·江西·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南長沙·期末）若，，并且均為銳角，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·安徽·期中）若，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知，且，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·遼寧沈陽·期中）已知等差數(shù)列中，，，又，，其中，則的值為（ ）
A．或 B． C． D．
7．（24-25高三上·山東·期中）若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
1．（24-25高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南·一模）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·山西·階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·河北廊坊·期中）設(shè)，且，則（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，若，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知，，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高三下·四川成都·階段練習(xí)）若，，且，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
12．（24-25高三上·山東聊城·階段練習(xí)）若，且，則 ．
13．（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）若，則 .
14．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知，則 .
15．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知，則 .
16．（23-24高三下·上海寶山·期末）已知，，，則 ．
17．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，，，則 .
18．（24-25高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知為鈍角，且，則 ．
19．（24-25高三上·江蘇淮安·期中）已知，則 .
20．（2024高三·全國·專題練習(xí)）化簡: .
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

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