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專題06 導數中的極值點偏移問題
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題型01 極值點偏移：加法型 1
題型02 極值點偏移：減法型 12
題型03 極值點偏移：乘法型 20
題型04 極值點偏移：其他型 29
題型01 極值點偏移：加法型
【解題規律·提分快招】
一、極值點偏移 1、極值點偏移定義 極值點偏移是函數在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數的圖象不具有對稱性。例如我們學過的二次函數為標準的對稱結構，也有對稱軸，但是有些函數沒有對稱軸，即關于類對稱軸對稱的兩點橫坐標之和不等于對稱點橫坐標兩倍，我們把這種現象叫做極值點偏移 2、極值點偏移的原理 函數自身所導致的在極值點左右兩端增速不一樣 3、極值點偏移的圖形定義 ①左右對稱，無偏移，如二次函數；若，則 ②左陡右緩，極值點向左偏移；若，則 ③左緩右陡，極值點向右偏移；若，則 二、極值點偏移的判斷 根據極值點偏移的定義可知：當題干中出現等條件而求證不等式成立的時候，即可視為極值點偏移考察 三、答題模板（對稱構造） 若已知函數滿足，為函數的極值點，求證：. （1）討論函數的單調性并求出的極值點； 假設此處在上單調遞減，在上單調遞增.[] （2）構造； 注：此處根據題意需要還可以構造成的形式.[] （3）通過求導討論的單調性，判斷出在某段區間上的正負，并得出與的大小關系； 假設此處在上單調遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，. （4）不妨設，通過的單調性，，與的大小關系得出結論； 接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調遞減，從而得到，從而得證. （5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區間，從而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.此處只需繼續證明：因為，故，由于在上單調遞減，故. 四、其他方法 1、比值代換 比值換元的目的也是消參、減元，就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現消參、減元的目的．設法用比值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數不等式，繼而將所求解問題轉化為關于的函數問題求解． 2、對數均值不等式 兩個正數和的對數平均定義： 對數平均與算術平均、幾何平均的大小關系：（此式記為對數平均不等式） 取等條件：當且僅當時，等號成立． 3、指數不等式 在對數均值不等式中，設，，則，根據對數均值不等式有如下關系：
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．
(1)若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍；
(2)設、是兩個不相等的實數，且．求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分析可知，，然后利用導數分析函數的單調性，求出的最大值，可得出關于實數的不等式，即可解得實數的取值范圍；
（2）由已知可得，構造函數，可知存在不相等的兩個實數、，使得，分析函數的單調性，設，構造函數，利用導數分析函數的單調性，可得出在區間上恒成立，由已知條件得出，再結合函數的單調性可證得結論成立.
【詳解】（1）當時，，
因為，所以，即，不符合題意；
當時，，
當時，；當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
所以，由恒成立可知，所以．
又因為，所以的取值范圍為．
（2）因為，所以，即．
令，由題意可知，存在不相等的兩個實數、，使得．
由（1）可知，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
不妨設，則，設，
則，
所以在上單調遞增，所以，
即在區間上恒成立．
因為，所以．
因為，所以．
又因為，，且在區間上單調遞增，
所以，即.
【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數，.
(1)若對于任意，都有，求實數的取值范圍；
(2)若函數有兩個零點，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）通過轉化構造函數，利用導數求出該函數的最小值即可；
（2）通過利用極值點偏移的知識，令，，利用導數相關知識轉化為證明即可.
【詳解】（1）結合題意：對于任意，都有，所以，
因為，所以只需，
，
當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增.
所以只需；
（2）等價于，
設函數，，易知在區間上單調遞增；上單調遞減，
由知且，，
設函數，其中，
知，
知在區間上單調遞增，即時，
即時，，
即，
又由已知由且，
有且，由在上單調遞減，
所以，即.
3．（23-24高三上·江西九江·階段練習）已知函數，直線與曲線相切．
(1)求實數的值；
(2)若曲線與直線有兩個公共點，其橫坐標分別為．
①求實數的取值范圍；
②證明：．
【答案】(1)
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）利用導數的幾何意義，即可求解；
（2）①問題轉化為有2個實數根，轉化為與有2個交點，利用導數分析函數，即可求解的取值范圍；
②構造函數，，利用導數判斷函數的單調性，再結合極值點偏移問題的解決方法，即可證明.
【詳解】（1）設切點，，
得，，所以，代入直線方程得；
（2）①由（1）知，若曲線與直線有兩個公共點，則等價于有2個實數根，，
設，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
，當趨向于正無窮大時，趨向于0，當趨向于負無窮大時，趨向于負無窮大，
則；
②，即，等價于，
令，，
，
因為，所以，故，
所以在上單調遞增，故,
不妨設，故，即，
由已知，所以，
由①知，當時，單調遞增，
故，所以，
所以.
【點睛】極值點偏移問題中（極值點為），證明或的方法：
①構造，
②確定的單調性，
③結合特殊值得到或，再利用，得到與的大小關系，
④利用的單調性即可得到或.
4．（23-24高三下·陜西安康·期中）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數有兩個不同零點，求的取值范圍，并證明.
【答案】(1)；
(2)，證明見解析.
【分析】（1）利用導數的幾何意義計算即可；
（2）利用導數研究函數單調性及最值，分類討論即可判定的取值范圍，構造差函數證明即可.
【詳解】（1）當時，，易知，
所以曲線在點處的切線方程為：；
（2）由已知可得，
①若，則，，
即在上單調遞增，上單調遞減，，
又時，，所以函數存在兩個零點；
②若時，，顯然不符合題意；
③若時，令，
當時，令或，令，
即在上單調遞減，和上單調遞增，
函數極小值為，函數極大值為，
此時函數至多有一個零點，不符合題意；
當時，，則單調遞增，至多一個零點，不符合題意；
當時，令或，令，
即在上單調遞減，和上單調遞增，
函數極大值為，函數極小值為，
此時函數至多有一個零點，不符合題意；
綜上所述，時函數有兩個零點，則一正一負，
不妨令，設，
令，即在R上單調遞增，
所以，，
故時，有，時，有，
即，所以，
則，
又因為在上單調遞減，故，證畢.
【點睛】第二問關鍵是分類討論，通過判斷單調性及極值、最值研究函數的零點個數，證明可利用構造差函數，通過證明來判定極值點偏移問題.
5．（2024高三·全國·專題練習）設函數．
(1)判斷函數的單調性；
(2)若，且，求證：．
【答案】(1)在上單調遞增
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意得，令，根據的正負確定的單調性，
得，即得函數的單調性.
（2）構造函數，其中，則，
令，得，從而可得在上單調遞減，然后根據函數的單調性可得.
【詳解】（1）∵，，
∴．
令，則．
令，得或．
當時，；當時，；當時，．
∴在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
又，，故對一切恒成立，
∴，于是，故在上單調遞增．
（2）易知當時，由（1）知，，
所以，當且僅當時取等號，與題意不符，
當，由（1）知，，與題意不符，
所以中一個在內，一個在內，不妨設．
構造函數，其中，
則．
由，得．
令，
∵，
∴在上單調遞增，則．
∴在上單調遞減，∴，
即對恒成立．
∵，∴，
∴．
由（1）知在上單調遞增，
∴，故．
6．（24-25高三上·內蒙古赤峰·階段練習）若函數在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數”，其中稱為在上的中值點.
(1)判斷函數是否是上的“雙中值函數”，并說明理由；
(2)已知函數，存在，使得，且是上的“雙中值函數”， 是在上的中值點.
①求的取值范圍；
②證明：.
【答案】(1)是上的“雙中值函數”，理由見解析
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）利用定義結合導數直接計算解方程即可；
（2）①根據定義知，利用導數研究導函數的單調性及最值計算范圍即可；②根據條件先轉化問題為，構造差函數，利用多次求導判定其單調性去函數符號即可證明.
【詳解】（1）函數是上的“雙中值函數”．
理由如下：
因為，所以.
因為，，所以
令，得，即，解得.
因為，所以是上的“雙中值函數”.
（2）①因為，所以.
因為是上的“雙中值函數”，所以.
由題意可得.
設，則.
當時，，則為減函數，即為減函數；
當時，，則為增函數，即為增函數.
故.
因為，所以，所以，即的取值范圍為；
②證明：不妨設，
則，，即，．
要證，即證．
設，
則．
設，則，
所以在上單調遞增，所以，所以，
則在上單調遞減．
因為，所以，即．
因為，所以．
因為，所以．
因為，所以．
由①可知在上單調遞增，所以，即得證．
【點睛】思路點睛：新定義問題審清題意，轉化為已有經驗、知識處理即可，本題第二問第一小問，可轉化為存在導函數兩個零點求參問題，利用導數研究其單調性與最值即可；第二小問，可利用等量關系消元轉化證明，類似極值點偏移，構造差函數研究其單調性即可證明.
題型02 極值點偏移：減法型
【典例訓練】
一、解答題
1．（23-24高三下·云南·期中）已知函數.
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，若方程有三個不相等的實數根，且，證明：.
【答案】(1)在上單調遞增
(2)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導，結合得到，即在內恒成立，所以在內單調遞增；
（2），求導，得到函數單調性，得到，構造，求導得到函數單調性，得到，再構造，求導得到函數單調性，得到，兩式結合得到答案.
【詳解】（1）由題意可知：的定義域為，
，
令，可得，當時，即，
，可知在上恒成立，
即在上恒成立，所以在上單調遞增.
（2）當時，可得，
，
或
故在上單調遞增，在上單調遞減，
由題意可得：，
因為，
令，
則，
可知在上單調遞增，
則，可得在上恒成立，
因為，則，
且在上單調遞減
則，即；
令，
則，
可知在上單調遞增，則，
可得在上恒成立，
因為，則，
且在上單調遞增，
則，即；
由和可得.
【點睛】關鍵點點睛：構造兩次差函數，解決極值點偏移問題，即構造，求導得到函數單調性，得到，再構造，求導得到函數單調性，得到.
2．（23-24高三下·天津·階段練習）已知函數．
(1)討論的單調區間；
(2)已知，設的兩個極值點為，且存在，使得的圖象與有三個公共點；
①求證：；
②求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）首先求函數的導數，再討論，結合函數的定義域，即可求函數的單調區間；
（2）①要證，即證，只需證，構造函數，，借助導數即可得證；②同①中證法，先證，則可得，利用、是方程的兩根所得韋達定理，結合即可得證.
【詳解】（1），，
其中，，
當時，即，此時恒成立，
函數在區間單調遞增，
當時，即或，
當時，在區間上恒成立，
即函數在區間上單調遞增，
當時，，得或，
當，或時，，
當時，，
所以函數的單調遞增區間是和，
單調遞減區間是，
綜上可知，當時，函數的單調遞增區間是；
當時，函數的單調遞增區間是和，
單調遞減區間是；
（2）①由（1）知，當時，函數的單調遞增區間是和，
單調遞減區間是，、是方程的兩根，
有，，
又的圖象與有三個公共點，
故，則，
要證，即證，又，
且函數在上單調遞減，即可證，
又，即可證，
令，，
由，
則
恒成立，
故在上單調遞增，即，
即恒成立，即得證；
②由，則，
令，，
則
，
故在上單調遞增，即，
即當時，，
由，故，又，故，
由，，函數在上單調遞減，故，
即，又由①知，故，
又，
故.
【點睛】關鍵點點睛：最后一問關鍵點在于先證，從而借助①中所得，得到.
3．（23-24高三上·江蘇揚州·期末）已知函數的最小值為.
(1)求實數的值；
(2)若有兩個不同的實數根，求證：.
【答案】(1)1；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導數研究的單調性，結合最小值求參數值即可；
（2）根據題設及導數判斷的單調性及區間符號，進而有，根據極值點偏移，構造并利用導數研究上的單調性，證明，再記函數與和交點的橫坐標分別為，結合導數證得、，有，即可證結論.
【詳解】（1）因為，令，可得，
當時單調遞減；當時單調遞增.
所以，所以.
（2）證明：由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，當時，

所以，
先證明.
記，則，
當時，，所以單調遞減，
所以當時，，即，
故，即.
又，由單調性知：，即.
再證明.
記函數與和交點的橫坐標分別為.
①當時，，故，所以，.
（或：的圖象在的圖象的下方，且兩個函數在上都是減函數）
②當時，記，所以.
當時單調遞減；當時單調遞增.
又，當時，，即.
故
所以，故.
（或的圖象在的圖象的下方，且兩個函數在上都遞增）
綜上，.
【點睛】關鍵點睛：第二問，首先應用極值點偏移構造證，再記函數與和交點的橫坐標分別為，依次證、為關鍵.
4．（23-24高三上·江西宜春·期末）已知函數有兩個零點．
(1)求實數a的取值范圍；
(2)求證：；
(3)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）首先求函數的導數，并判斷函數的單調性和最值，求實數的取值范圍，再結合函數的單調性和零點存在性定理，說明零點的情況；
（2）構造新函數，并利用導數判斷函數的單調性，并結合，即可證明；
（3）設，并求導，可證明，即可證明，設
，設，并求導，證明.
【詳解】（1），
又因為函數單調遞增，且，
所以，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
當，即時，
，
，
所以在和上各有一個零點，
當時，的最小值為，且，
所以在內至多只有一個零點，
綜上，實數的取值范圍是；
（2）設，，
，
，
當時，，
，
所以，
所以在上單調遞增，
當時，，
即當時，，
又因為函數有兩個零點，
由（1）知，，，
所以，
（3）設，
，
，當時，
因為，
令，，
設，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以,
所以恒成立，顯然，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
即，
設的零點為，，
易知，
所以，
設，
設，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
所以恒成立，即，
設的零點為，，
易知，，
所以，
所以，
所以
【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式有如下方法，
方法一，等價轉化是證明不等式的常見方法，其中利用函數的對稱性，構造對稱差函數是解決極值點偏移問題的基本處理策略；
方法二，比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，構造函數利用函數的單調性證明的不等式即可，
方法三，利用不等式 的性質對原不等式作等價轉換后，利用導數證明相關的式子成立.
題型03 極值點偏移：乘法型
【典例訓練】
一、解答題
1．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數.
(1)若有唯一極值，求的取值范圍；
(2)當時，若，，求證：.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數的導數，分析極值點情況即可得解.
（2）由（1）的信息可設，再構造函數，探討函數的單調性推理即得.
【詳解】（1）函數的定義域為，
求導得，
當時，若，，函數在上單調遞增，無極值點，不符合題意；
若，當或時，，當時，，
即函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數有兩個極值點，不符合題意；
若，當或時，，當時，，
即函數在上單調遞增，在上單調遞減，函數有兩個極值點，不符合題意；
當時，當時，，當時，，
即函數在上單調遞增，在上單調遞減，2是函數的極大值點，且是唯一極值點，
所以的取值范圍是.
（2）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
由，，不妨令，
要證，只證，即證，就證，
令，求導得
，于是函數在上單調遞減，，
而，則，即，又，
因此，顯然，又函數在上單調遞增，則有，
所以.
【點睛】思路點睛：涉及函數的雙零點問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導函數的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉化為一元變量問題求解，途徑都是構造一元函數.
2．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函數
(1)求函數單調區間；
(2)設函數，若是函數的兩個零點，
①求的取值范圍；
②求證：．
【答案】(1)單調遞增區間為；單調遞減區間為
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）求導后，根據正負即可得到的單調區間；
（2）①將問題轉化為與在上有兩個不同的交點，采用數形結合的方式可求得結果；
②由①可得，設，利用導數可求得，進而得到，即，根據的范圍和單調性可得結論.
【詳解】（1）定義域為，，
當時，；當時，；
的單調遞增區間為；單調遞減區間為.
（2）①若是的兩個不同零點，則與在上有兩個不同交點；
由（1）知：，又，
在的圖象如下圖所示，
由圖象可知：，，即的取值范圍為.
②不妨設，由①知：，
，，
在上單調遞增，在上單調遞減；
設，則，
在上單調遞減，，，
又，，又，；
，，在上單調遞增，
，則.
【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于（）的問題的基本步驟如下：
①求導確定的單調性，得到的范圍；
②構造函數，求導后可得恒正或恒負；
③得到與的大小關系后，將置換為；
④根據與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.
3．（2024·河北保定·二模）已知函數為其導函數．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個不同的正數，使得，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導數求函數的最大值，轉化為最大值小于等于1，即可求解；
（2）不等式轉化為證明，即證明，構造函數，利用導數證明函數的單調性，即可證明.
【詳解】（1），當時，單調遞增；
當時，單調遞減．所以，
解得，即的取值范圍為．
（2）證明：不妨設，則，要證，
即證，則證，則證，
所以只需證，即．
令，則，．
當時，，則，
所以在上單調遞減，則．所以．
由（1）知在上單調遞增，所以，從而成立．
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是利用分析法，轉化為證明.
4．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的圖像與直線交于不同的兩點，，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】利用構造函數且結合導數求解極值點偏移問題.
【詳解】證明：由題意，，令，得，
當，，所以在區間上單調遞減，
當，，所以在區間上單調遞增，
所以當時，取到極小值.
所以與交于不同的兩點，，
所以不妨設，且，
令，則，代入上式得，得，
所以，
設，則，
所以當時，為增函數，，
所以，
故證：.
【點睛】關鍵點睛：通過構造函數并結合函數的導數從而求解極值點偏移.
5．（24-25高三上·四川成都·階段練習）已知函數，其中為自然對數的底數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若方程有兩個不同的根．
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：．
【答案】(1)在區間內單調遞增，在區間內單調遞減；
(2)（i）；（ii）證明見解析.
【分析】（1）求函數的導函數及其零點，分區間分析導函數的正負，結合導數與單調性的關系求單調區間；
（2）方程可化為，結合（1）確定函數的性質，由條件確定的取值范圍；
（3）設，由（i），由已知，法一：先證明時結論成立，構造函數，，并證明，由此可得，結合的單調性證明，再結合基本不等式證明當時，結論成立；法二：構造函數，證明當時，，由此可證，結合的單調性證明，再結合基本不等式證明結論.
【詳解】（1）由題意得，，則，
由，解得．
當時，單調遞增，
當時，單調遞減；
綜上，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減；
（2）（i）由，得，
設，
由（1）得在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，
又，當時，，且當時，，
所以當時，方程有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，
故的取值范圍是．
（ii）不妨設，則，且．
法一：
當時，結合（i）知，即；
當時，．
設
則
所以在區間內單調遞增，
則，即，
所以
又在區間內單調遞減，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得證．
法二：
設，，
則，
所以在區間內單調遞增，又，
所以，即．
又，所以，
又在區間內單調遞減．
所以，即，
又，所以，得證．
【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
6．（2024·北京通州·三模）已知函數
(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數a的值；
(2)已知f（x）在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍.
(3)已知有兩個零點，，求實數a的取值范圍并證明.
【答案】(1)
(2)
(3)，證明見解析
【分析】（1）切線方程的斜率為1，所以有，解方程即得實數a的值；
（2）依題意在（0，+∞）上恒成立.，分參求解即可；
（3）求出函數的單調性，結合零點存在性定理即可求實數a的取值范圍；通過分析法要證明，只需證，構造函數即可證得
【詳解】（1）因為，所以.
所以，又f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，
所以，解得..
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f（x）在定義域上為增函數，
所以在（0，+∞）上恒成立.
即恒成立.，即，
令，所以，
時，時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，即.
（3）
定義域為
當時，，所以在（0，+∞）上單調遞減，不合題意.
當時，
在（0，）上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為，
函數存在兩個零點的必要條件是，
即，又，
所以在（1，）上存在一個零點（）.
當時，，所以在（，+∞）上存在一個零點，
綜上函數有兩個零點，實數a的取值范圍是.
不妨設兩個零點
由，所以，
所以，所以，
要證，
只需證，
只需證，
由，
只需證，
只需證，
只需證，
令，只需證，
令，
，
∴H（t）在（0，1）上單調遞增，∴，
即成立，
所以成立.
【點睛】極值點偏移問題，應熟練掌握對稱構造的基本方法，同時結合處理雙變量問題的常用方法比值代換的技巧.
題型04 極值點偏移：其他型
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數，．
(1)若對任意的都有，求實數的取值范圍；
(2)若且，，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）分別計算，的導函數，接著分析它們的單調性，求得在時，的最大值為，的最小值為，問題得解；
（2）先將轉化為，再設，數形結合得到，接著構造函數，利用函數的單調性得到，最后利用放縮法證明不等式.
【詳解】（1）由，，
得，，
當時，，在區間上單調遞增，當時，，在區間上單調遞減，所以當時，的最大值為．
當時，，在區間上單調遞減，當時，，在區間上單調遞增，所以當時，的最小值為．
所以，故實數的取值范圍為．
（2）由得，兩邊取對數并整理，
得，即，即．
由（1）知，函數在上單調遞增，在
上單調遞減，，（技巧：注意對第（1）問結論的應用）
而，當時，恒成立，不妨設，則．
記，，
則
，所以函數在上單調遞增，
所以，即，，
于是，，
又在上單調遞減，因此，即，
所以．
【點睛】利用對稱化構造的方法求解極值點偏移問題的“三步曲”：
（1）求導，得到函數的單調性、極值情況，作出函數圖象，由得到的大致范圍．
（2）構造輔助函數（若要證，則構造函數；若要證，則構造函數.），限定的范圍，求導，判定符號，獲得不等式．
（3）代入，利用及的單調性即得所證結論．
2．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）已知函數.
(1)若，當與的極小值之和為0時，求正實數的值；
(2)若，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據極小值的定義計算即可；
（2）把問題轉化為，進而轉化為，令，只需證明即可.
【詳解】（1）定義域均為，
，令，解得：，
所以在單調遞減，在單調遞增，
在取極小值，且；
又，令，解得：，
所以在單調遞減，在單調遞增，
在取極小值，且
所以，解得：.
（2）令，因為，所以，
由可得：
（1）-（2）得：，所以，
要證：，只要證：，
只要證：，
不妨設，所以只要證：，
即證：，令，只要證：，
令，
所以在上單調遞增，所以，
即有成立，所以成立.
【點睛】方法點睛：本地第二問考查極值點偏移問題，難度較大，解決極值點偏移的主要方法有：
1.構造對稱函數；
2.比值換元；
3.對數平均不等式.
本題使用的解法是對數平均不等式即證明：，稱的對數平均數.
3．（24-25高三上·江蘇無錫·期中）已知函數.
(1)若，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
(2)過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為.
①求實數的取值范圍；
②證明：若，則.
【答案】(1)；
(2)；證明見解析.
【分析】（1）分離參數結合導數研究函數的單調性與最值計算即可；
（2）①利用導數的幾何意義，統一設切點，將問題轉化為有兩個解，構造函數利用導數研究函數的單調性計算即可；②利用①的結論得出，根據極值點偏移證得，再根據弦長公式得，構造函數判定其單調性即可證明.
【詳解】（1）易知，令，則，
顯然時，，時，，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
則，即；
（2）①設切點，易知，，則有，
即，
令，則有兩個交點，橫坐標即分別為，
易知，顯然時，，時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
且時有，時也有，，
則要滿足題意需，即；
②由上可知：，
作差可得，即，
由①知：在上單調遞減，在上單調遞增，
令，
則始終單調遞減，所以，
即，所以，所以，
不難發現，，
所以由弦長公式可知，
所以，
設
所以由，即，證畢.
【點睛】思路點睛：對于切線個數問題，可設切點利用導數的幾何意義建立方程，將問題轉化為解的個數問題；對于最后一問，弦長的大小含有雙變量，常有的想法是找到兩者的等量關系，抑或是不等關系，結合圖形容易想到化為極值點偏移來處理.
4．（24-25高三上·河南三門峽·期中）若函數對其定義域內任意滿足：當時，恒有，其中常數，則稱函數具有性質.
(1)函數具有性質，求.
(2)設函數，
（?。┡袛嗪瘮凳欠窬哂行再|，若有，求出，若沒有，說明理由；
（ⅱ）證明：.
【答案】(1)
(2)（?。┎痪哂行再|，理由見解析；（ⅱ）證明見解析
【分析】（1）對任意的且，由變形得到，得到，求出；
（2）（?。┣髮?，得到的單調性，得到，假設具有性質，即，所以，根據，得到，顯然不能恒成立，故假設不成立，不具有性質；
（ⅱ）先得到，由對數平均不等式得到，分和兩種情況進行求解，當時，，當時，構造差函數，進行求解，得到結論.
【詳解】（1）定義域為，
對任意的且，
有，
即，
因為，所以，故，
故，故；
（2）不具有性質，理由如下：
的定義域為，
，
當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
又，故，
假設函數具有性質，即，所以，
因為，所以，
故對于任意的恒成立，
即恒為0，顯然不可能，故假設不成立，
故不具有性質；
（ⅱ）因為，所以，，
下面證明，
即證，
令，則，
令，，
則，
故在上單調遞增，
故，，
所以，即，所以，
當時，，
當時，令
，
令，，
，
故在上單調遞增，
又，其中，故，
所以，故，
，其中，而在上單調遞減，
故，，
綜上，.
【點睛】方法點睛：對數平均不等式為，在處理函數極值點偏移問題上經常用到，可先證明，再利用對數平均不等式解決相關問題，證明的方法是結合，換元后將二元問題一元化，利用導函數進行證明
5．（24-25高三上·內蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我國向太平洋發射了一發洲際導彈，我國洲際導彈技術先進，飛行軌跡復雜，飛行時需要導彈上的計算機不斷計算導彈飛行軌跡的彎曲程度，導彈的陀螺儀才能引導導彈精準命中目標.為此我們需要刻畫導彈飛行軌跡的彎曲程度.
如圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長為，當動點從沿曲線段運動到點時，點的切線也隨著轉動到點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當越接近，即越小，就越能精確刻畫曲線在點處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線在點處的曲率.（其中，分別表示在點處的一階、二階導數）
(1)求函數在點處的曲率；
(2)已知函數，求函數的曲率的最大值.
(3)設函數，，若存在，使得的曲率為0，求證：.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求導得到，二次求導得到，代入，求出函數在點處的曲率；
（2）求導，二次求導，得到，令，求導得到其單調性，求出其最大值，得到曲率的最大值；
（3）二次求導，令，得，令，求導，得到其單調性和極值情況，得到有兩個解，設為，，，根據變形得到，，從而所證不等式等價于，令，求導得到其單調性，求出，得證.
【詳解】（1），
，，
，，
所以函數在點處的曲率為.
（2），，，
由定義知為非負數，由題意得，
，
，
，
令，，令，
則在上恒成立，
在上單調遞增，即，
，當且僅當時取到，所以曲率的最大值為.
（3）證明：由題意可得，，
若曲率為0，則，即，即，
令，，則，得，
在上，，在上，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
在處取得極大值，也是最大值，，
又時，恒成立，
又，所以有兩個解.
設為，，，
又，所以，可設，，
所以，，，
化簡可得，則.
要證，即證，
需要證，即證，
令，
所以在上單調遞增，
所以，得證.
【點睛】新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；
（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；
（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；
（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.
一、單選題
1．（2024·河北衡水·模擬預測）已知函數有兩個零點，且，則下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據零點可將問題轉化為，構造，求導即可根據函數的單調性得函數的大致圖象，即可根據圖象求解A，根據極值點偏移，構造函數，結合函數的單調性即可求解B，根據可得，即可求解C，根據不等式的性質即可求解D.
【詳解】由可得，令，其中，
則直線與函數的圖象有兩個交點，，
由可得，即函數的單調遞增區間為，
由可得，即函數的單調遞減區間為，
且當時，，當時，，，
如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數的圖象有兩個交點，故A錯誤；
由圖可知，，
因為，由可得，由可得，
所以，函數的增區間為，減區間為，則必有，
所以，，則，
令，其中，
則，則函數在上單調遞減，
所以，，即，即，
又，可得，
因為函數的單調遞減區間為，則，即，故B錯誤；
由，兩式相加整理可得，
所以，，可得，故C錯誤；
由圖可知，則，又因為，所以，，故D正確.
故選：D.
【點睛】方法點睛：利用導數證明或判定不等式問題：
1．通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；
2．利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系；
3．適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；
4．構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
二、多選題
2．（24-25高三上·湖北武漢·期中）已知實數，滿足，則（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】ACD
【分析】A選項，，所以，變形為，令，，故，根據函數單調性得到；B選項，時，，變形得到，構造，，則，求導得到的單調性，不單調，故不一定等于，即不一定成立；CD選項，由AB選項知，時，，，令，則有，不妨設，故，先證明出，從而得到，，故，，CD正確.
【詳解】A選項，由得，因為，所以，
兩邊取對數得，，
故，
令，，故，
由于在上單調遞增，故，故，A正確；
B選項，時，，故，
故，
令，，則，
其中，
當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為不單調，故不一定等于，即不一定成立，B錯誤；
CD選項，由AB選項知，時，，，
令，則有，不妨設，
故，
下面證明，
先證不等式右邊，，
令，即證，
令，，
則，
故在上單調遞減，
又，故，所以，
即，，故，C正確；
再證不等式左邊，，即證，
令，即證，
令，，則，
故在上單調遞減，
又，故，故，
即，所以，故，所以，D正確.
故選：ACD
【點睛】方法點睛：對數平均不等式為，在處理函數極值點偏移問題上經常用到，可先證明，再利用對數平均不等式解決相關問題，證明的方法是結合，換元后將二元問題一元化，利用導函數進行證明
三、解答題
3．（23-24高三上·江蘇鎮江·階段練習）已知函數．若函數有兩個不相等的零點．
(1)求a的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見詳解.
【分析】（1）利用導數研究函數的單調性及最值，結合零點存在性定理計算即可；
（2）構造函數，利用導數研究其單調性與最值即可證明.
【詳解】（1）由題意可知：，
若，則恒成立，即單調遞增，不存在兩個不等零點，
故，
顯然當時，，當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
所以若要符合題意，需，
此時有，且，
令，
而，
即在上遞減，故，
所以，
又，
故在區間和上函數存在各一個零點，符合題意，
綜上；
（2）結合（1），不妨令，
構造函數，
則，
即單調遞減，所以，
即，
因為，所以，
由（1）知在上單調遞增，所以由，
故.
4．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數．
(1)若函數和的圖象都與平行于軸的同一條直線相切，求的值；
(2)若函數有兩個零點，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）求導得到與的單調性，進而分別可得兩函數斜率為0的切線方程，根據題意得到方程，求出的值；
（2）令可得，由函數單調性可得，結合（1）可得，不妨設，構造差函數，解決極值點偏移問題.
【詳解】（1）由題意：函數的定義域為，，
當時，，當時，，
故在上為減函數，在上為增函數，
由可得，圖象與直線相切．
，當時，，當時，，
故在上為增函數，在上為減函數，，
即圖象與直線相切．
兩函數圖象均與平行于軸的同一條直線相切，則，即．
（2），令，
由，得，
函數在上為減函數，故，即
即，不妨設，
要證，只需證，
只需證，即證，
因為，
只需證，即，
令，
則，
在上單調遞增，
，
原題得證．
【點睛】方法點睛：
極值點偏移問題，通常會構造差函數來進行求解，若函數較為復雜，可先結合函數特征變形，比如本題中設進行變形，得到再利用導函數進行求解.
5．（23-24高三上·遼寧丹東·期末）已知函數．
(1)證明：若，則；
(2)證明：若有兩個零點，，則．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）因為定義域為，所以等價于．設，求導判斷單調性，從而求得即可得證；
（2）不妨設，由（1）可知，也是的兩個零點，且，，于是，由于在單調遞減，故等價于．而，故等價于①，設，則①式為．因此對求導判斷單調性即可得證.
【詳解】（1）因為定義域為，所以等價于．
設，則，
當時，，當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增，
故．
因為，所以，于是．
（2）不妨設，由（1）可知，也是的兩個零點，且，，于是，由于在單調遞減，故等價于．
而，故等價于．①
設，則①式為．
因為．
設，
當時，，故在單調遞增，
所以，從而，因此在單調遞增．
又，故，故，于是．
【點睛】關鍵點點睛 ：本題第(2)問是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數證明不等式.
6．（2024·山東日照·二模）已知函數．
(1)若恒成立，求實數的值：
(2)若，，，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當時，由可知函數單調遞增，通過反例可說明不合題意；當時，可得單調性，知；構造函數，利用導數可求得，由此可得，知；
（2）將已知不等式化為，令，利用導數可求得單調性，易知時成立，當時，采用分析法可知只需證得即可，構造函數，，利用導數可說明，由此可得結論.
【詳解】（1）由題意得：定義域為，；
①當時，，在上單調遞增，
若，則，時，，不合題意；
若，則，不合題意；
②當時，若，則；若，則；
在上單調遞減，在上單調遞增，；
若恒成立，，
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減；
又，；
則當時，符合題意；
綜上所述：.
（2）由得：，
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增；
由得：；
，，
當時，由得：，；
當時，要證，只需證，
，，則只需證，
又，只需證；
令，，
則，
在上單調遞減，，，
即，即得證，；
綜上所述：成立.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數求解恒成立、證明不等式的問題；本題證明不等式的關鍵是能夠采用同構法將所給不等式化為的形式，結合極值點偏移的分析思想將問題轉化為證明，從而通過構造函數來進行證明.
7．（23-24高三上·河南·開學考試）有兩個零點．
(1)時，求的范圍；
(2)且時，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）將函數零點與方程的根聯系起來，進一步分離參數構造新的函數，利用導數研究其性態即可求解.
（2）當時由及的兩個零點之間的距離可得.
【詳解】（1）時，，
由題意的兩個零點即為
方程的兩個根，
分離參數即得，令，
對其求導得，設，
則，所以在定義域上面單調遞減，
注意到，所以隨的變化情況如下表：
所以有極大值（最大值），
又當時，；當時，，
若方程有兩個根，
則，即的取值范圍為.
（2）因為，設，
所以當且時有，
進而有，且
的函數圖像恒在的函數圖象上方，不妨設的兩個零點為（且），如圖所示：
因此的兩個零點在二次函數兩個零點之內，
所以有，令，則其二次項系數、一次項系數、常數項分步為，其判別式，
又，所以，
綜上，有，命題得證.
【點睛】關鍵點點睛：第一問的關鍵在于將函數零點轉化為方程的根進一步分離參數，至于第二問的關鍵是進行放縮，進而去發現相應零點之間的變化.
8．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數．
(1)若，討論的單調性．
(2)已知關于的方程恰有個不同的正實數根．
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：．
【答案】(1)在，上單調遞增，在上單調遞減
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）求導后，根據的正負可確定的單調性；
（2）（i）將問題轉化為與有兩個不同交點的問題，利用導數可求得的單調性和最值，從而得到的圖象，采用數形結合的方式可確定的范圍；
（ii）設，根據：，，采用取對數、兩式作差整理的方式可得，通過分析法可知只需證即可，令，構造函數，利用導數可求得單調性，從而得到，由此可證得結論.
【詳解】（1）當時，，則；
令，解得：或，
當時，；當時，；
在，上單調遞增，在上單調遞減.
（2）（i）由得：，
恰有個正實數根，恰有個正實數根，
令，則與有兩個不同交點，
，當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，又，
當從的右側無限趨近于時，趨近于；當無限趨近于時，的增速遠大于的增速，則趨近于；
則圖象如下圖所示，
當時，與有兩個不同交點，
實數的取值范圍為；
（ii）由（i）知：，，
，，
，
不妨設，則，
要證，只需證，
，，，則只需證，
令，則只需證當時，恒成立，
令，
，
在上單調遞增，，
當時，恒成立，原不等式得證.
【點睛】思路點睛：本題考查利用導數求解函數單調性、方程根的個數問題和極值點偏移問題的求解；本題求解極值點偏移的基本思路是通過引入第三變量，將問題轉化為單變量問題，進而通過構造函數的方式證明關于的不等式恒成立.
9．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知函數.
(1)當時，求函數的零點個數.
(2)若關于的方程有兩個不同實根，求實數的取值范圍并證明.
【答案】(1)有且僅有一個零點
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用導函數與單調性的關系，以及零點的存在性定理求解；
（2）根據題意可得有兩個不同實根，進而可得，兩式相加得，兩式相減得，從而有，進而要證，只需證，即證，
構造函數即可證明.
【詳解】（1）當時，，
所以函數在上單調遞增，
又因為，
所以函數有且僅有一個零點.
（2）方程有兩個不同實根，等價于有兩個不同實根，
得，令，則，
令，解得；令，解得；
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得最大值，
由，得當時，；
當的大致圖象如圖所示，

所以當，即時，有兩個不同實根；
證明：不妨設且
兩式相加得，兩式相減得，
所以，
要證，只需證，
即證，
設，令，
則，
所以函數在上單調遞增，且，
所以，即，
所以，原命題得證.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問考查極值點偏移問題，常用解決策略是根據，兩式相加相減，進而可得，進而要證，只需證，即證，從而將雙變量轉化為單變量，令，討論該函數的單調性和最值即可證明.
10．（23-24高三上·重慶渝中·期中）已知函數．
(1)若函數是減函數，求的取值范圍；
(2)若有兩個零點，且，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）在上恒成立，參變分離在上恒成立，構造函數求出的最大值，從而求出的取值范圍；
（2）由零點得到，令，從而得到，，，構造，求導得到其單調性，從而證明出結論.
【詳解】（1）的定義域為，
，
函數是減函數，故在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，且，
故，解得，
故的取值范圍是；
（2）若有兩個零點，則，
得．
，令，則，
故，
則，
，
令，則，
令，則，
在上單調遞增，
，
，則在上單調遞增，
，即，
故.
【點睛】極值點偏移問題，若等式中含有參數，則消去參數，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進行變形，可構造關于的函數，利用導函數再進行求解.
11．（2024·山西·模擬預測）已知函數.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若有2個不同的零點（），求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求解函數定義域，參變分離得到，構造，利用導函數得到其單調性，極值和最值情況，得到；
（2）轉化為有2個不同的實數根，構造，得到其單調性，得到，且，求出，換元后即證，構造，求導后得到在上單調遞增，，得到證明.
【詳解】（1）因為函數的定義域為，所以成立，等價于成立.
令，則，
令，則，所以在內單調遞減，
又因為，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，
所以在處取極大值也是最大值.
因此，即實數的取值范圍為.
（2）有2個不同的零點等價于有2個不同的實數根.
令，則，當時，解得.
所以當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以在處取極大值為.
又因為，當時，，當時，.
且時，.
所以，且.
因為是方程的2個不同實數根，即.
將兩式相除得，
令，則，，變形得，.
又因為，，因此要證，只需證.
因為，所以只需證，即證.
因為，即證.
令，則，
所以在上單調遞增，，
即當時，成立，命題得證.
【點睛】極值點偏移問題中，若等式中含有參數，則消去參數，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進行變形，可構造關于的函數，利用導函數再進行求解.
12．（23-24高三上·江蘇·階段練習）已知函數.
(1)若函數在定義域內為減函數,求實數a的取值范圍;
(2)若函數有兩個極值點,證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導，恒成立，即恒成立，構造函數，求導，得到其單調性和最值，得到實數a的取值范圍；
（2）方法一：由（1）得，轉化為是的兩個零點，求導得到單調性，得到，換元后即證，構造，求導得到其單調性，結合特殊點的函數值，得到答案；
方法二：先證明引理，當時,,當時, ，變形得到只需證，結合引理，得到，，兩式結合證明出答案.
【詳解】（1）的定義域為，，
由題意恒成立，即恒成立，
設，則，
當時，，單調遞增,
當時，，單調遞減,
∴在處取得極大值，也是最大值，，
故；
（2）證法一：函數有兩個極值點，由(1)可知，
設，則是的兩個零點，
，當時，，當時，,
所以在上遞增,在上遞減，
所以,又因為，
所以，
要證,只需證,只需證，
其中，即證，
即證，
由,設,
則,,則,
設，
，
由(1)知，故,
所以,,即，在上遞增，
,故成立,即；
證法二：
先證明引理:當時,,當時, ，
設,
，
所以在上遞增,又,
當時,，當時，，
故引理得證，
因為函數有兩個極值點，由(1)可知,
設，則是的兩個零點，
，當時，，當時，,
所以在上遞增,在上遞減，
所以,即，
要證,只需證，
因為，即證，
由引理可得,
化簡可得①，
同理，
化簡可得②，
由①-②可得 ，
因為，，所以，
即,從而.
【點睛】對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題06 導數中的極值點偏移問題
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題型01 極值點偏移：加法型 1
題型02 極值點偏移：減法型 5
題型03 極值點偏移：乘法型 6
題型04 極值點偏移：其他型 7
題型01 極值點偏移：加法型
【解題規律·提分快招】
一、極值點偏移 1、極值點偏移定義 極值點偏移是函數在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數的圖象不具有對稱性。例如我們學過的二次函數為標準的對稱結構，也有對稱軸，但是有些函數沒有對稱軸，即關于類對稱軸對稱的兩點橫坐標之和不等于對稱點橫坐標兩倍，我們把這種現象叫做極值點偏移 2、極值點偏移的原理 函數自身所導致的在極值點左右兩端增速不一樣 3、極值點偏移的圖形定義 ①左右對稱，無偏移，如二次函數；若，則 ②左陡右緩，極值點向左偏移；若，則 ③左緩右陡，極值點向右偏移；若，則 二、極值點偏移的判斷 根據極值點偏移的定義可知：當題干中出現等條件而求證不等式成立的時候，即可視為極值點偏移考察 三、答題模板（對稱構造） 若已知函數滿足，為函數的極值點，求證：. （1）討論函數的單調性并求出的極值點； 假設此處在上單調遞減，在上單調遞增.[] （2）構造； 注：此處根據題意需要還可以構造成的形式.[] （3）通過求導討論的單調性，判斷出在某段區間上的正負，并得出與的大小關系； 假設此處在上單調遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，. （4）不妨設，通過的單調性，，與的大小關系得出結論； 接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調遞減，從而得到，從而得證. （5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區間，從而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.此處只需繼續證明：因為，故，由于在上單調遞減，故. 四、其他方法 1、比值代換 比值換元的目的也是消參、減元，就是根據已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現消參、減元的目的．設法用比值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數不等式，繼而將所求解問題轉化為關于的函數問題求解． 2、對數均值不等式 兩個正數和的對數平均定義： 對數平均與算術平均、幾何平均的大小關系：（此式記為對數平均不等式） 取等條件：當且僅當時，等號成立． 3、指數不等式 在對數均值不等式中，設，，則，根據對數均值不等式有如下關系：
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．
(1)若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍；
(2)設、是兩個不相等的實數，且．求證：．
2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數，.
(1)若對于任意，都有，求實數的取值范圍；
(2)若函數有兩個零點，求證：.
3．（23-24高三上·江西九江·階段練習）已知函數，直線與曲線相切．
(1)求實數的值；
(2)若曲線與直線有兩個公共點，其橫坐標分別為．
①求實數的取值范圍；
②證明：．
4．（23-24高三下·陜西安康·期中）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數有兩個不同零點，求的取值范圍，并證明.
5．（2024高三·全國·專題練習）設函數．
(1)判斷函數的單調性；
(2)若，且，求證：．
6．（24-25高三上·內蒙古赤峰·階段練習）若函數在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數”，其中稱為在上的中值點.
(1)判斷函數是否是上的“雙中值函數”，并說明理由；
(2)已知函數，存在，使得，且是上的“雙中值函數”， 是在上的中值點.
①求的取值范圍；
②證明：.
題型02 極值點偏移：減法型
【典例訓練】
一、解答題
1．（23-24高三下·云南·期中）已知函數.
(1)當時，討論的單調性；
(2)當時，若方程有三個不相等的實數根，且，證明：.
2．（23-24高三下·天津·階段練習）已知函數．
(1)討論的單調區間；
(2)已知，設的兩個極值點為，且存在，使得的圖象與有三個公共點；
①求證：；
②求證：．
3．（23-24高三上·江蘇揚州·期末）已知函數的最小值為.
(1)求實數的值；
(2)若有兩個不同的實數根，求證：.
4．（23-24高三上·江西宜春·期末）已知函數有兩個零點．
(1)求實數a的取值范圍；
(2)求證：；
(3)求證：．
題型03 極值點偏移：乘法型
【典例訓練】
一、解答題
1．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數.
(1)若有唯一極值，求的取值范圍；
(2)當時，若，，求證：.
2．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函數
(1)求函數單調區間；
(2)設函數，若是函數的兩個零點，
①求的取值范圍；
②求證：．
3．（2024·河北保定·二模）已知函數為其導函數．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個不同的正數，使得，證明：．
4．（2024高三·全國·專題練習）已知函數的圖像與直線交于不同的兩點，，求證：．
5．（24-25高三上·四川成都·階段練習）已知函數，其中為自然對數的底數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若方程有兩個不同的根．
（i）求的取值范圍；
（ii）證明：．
6．（2024·北京通州·三模）已知函數
(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數a的值；
(2)已知f（x）在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍.
(3)已知有兩個零點，，求實數a的取值范圍并證明.
題型04 極值點偏移：其他型
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024·全國·模擬預測）已知函數，．
(1)若對任意的都有，求實數的取值范圍；
(2)若且，，證明：．
2．（24-25高三上·江蘇無錫·階段練習）已知函數.
(1)若，當與的極小值之和為0時，求正實數的值；
(2)若，求證：.
3．（24-25高三上·江蘇無錫·期中）已知函數.
(1)若，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
(2)過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為.
①求實數的取值范圍；
②證明：若，則.
4．（24-25高三上·河南三門峽·期中）若函數對其定義域內任意滿足：當時，恒有，其中常數，則稱函數具有性質.
(1)函數具有性質，求.
(2)設函數，
（?。┡袛嗪瘮凳欠窬哂行再|，若有，求出，若沒有，說明理由；
（ⅱ）證明：.
5．（24-25高三上·內蒙古赤峰·期中）2024年9月25日，我國向太平洋發射了一發洲際導彈，我國洲際導彈技術先進，飛行軌跡復雜，飛行時需要導彈上的計算機不斷計算導彈飛行軌跡的彎曲程度，導彈的陀螺儀才能引導導彈精準命中目標.為此我們需要刻畫導彈飛行軌跡的彎曲程度.
如圖所示的光滑曲線上的曲線段，其弧長為，當動點從沿曲線段運動到點時，點的切線也隨著轉動到點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）.顯然，當弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當越接近，即越小，就越能精確刻畫曲線在點處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線在點處的曲率.（其中，分別表示在點處的一階、二階導數）
(1)求函數在點處的曲率；
(2)已知函數，求函數的曲率的最大值.
(3)設函數，，若存在，使得的曲率為0，求證：.
一、單選題
1．（2024·河北衡水·模擬預測）已知函數有兩個零點，且，則下列命題正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
2．（24-25高三上·湖北武漢·期中）已知實數，滿足，則（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
三、解答題
3．（23-24高三上·江蘇鎮江·階段練習）已知函數．若函數有兩個不相等的零點．
(1)求a的取值范圍；
(2)證明：．
4．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數．
(1)若函數和的圖象都與平行于軸的同一條直線相切，求的值；
(2)若函數有兩個零點，證明：．
5．（23-24高三上·遼寧丹東·期末）已知函數．
(1)證明：若，則；
(2)證明：若有兩個零點，，則．
6．（2024·山東日照·二模）已知函數．
(1)若恒成立，求實數的值：
(2)若，，，證明：．
7．（23-24高三上·河南·開學考試）有兩個零點．
(1)時，求的范圍；
(2)且時，求證：．
8．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數．
(1)若，討論的單調性．
(2)已知關于的方程恰有個不同的正實數根．
（i）求的取值范圍；
（ii）求證：．
9．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知函數.
(1)當時，求函數的零點個數.
(2)若關于的方程有兩個不同實根，求實數的取值范圍并證明.
10．（23-24高三上·重慶渝中·期中）已知函數．
(1)若函數是減函數，求的取值范圍；
(2)若有兩個零點，且，證明：．
11．（2024·山西·模擬預測）已知函數.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若有2個不同的零點（），求證：.
12．（23-24高三上·江蘇·階段練習）已知函數.
(1)若函數在定義域內為減函數,求實數a的取值范圍;
(2)若函數有兩個極值點,證明：.
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