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專題05 導數中的隱零點問題
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題型01 利用隱零點解決最值、極值 1
題型02 利用隱零點判斷零點個數 6
題型03 利用隱零點證明不等式 14
題型01 利用隱零點解決最值、極值
【解題規律·提分快招】
一、隱零點問題 隱零點問題是函數零點中常見的問題之一，其源于含指對函數的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍（數值計算不再考察之列）. 基本步驟： 第 1 步: 用零點存在性定理判定導函數零點的存在性, 列出零點方程, 并結合的單調性得到零點的范圍; 第 2 步: 以零點為分界點, 說明導函數 的正負, 進而得到的最值表達式; 第 3 步: 將零點方程適當變形, 整體代入最值式子進行化簡: （1）要么消除最值式中的指對項 （2）要么消除其中的參數項; 從而得到最值式的估計.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·浙江·三模）已知 表示不超過 的最大整數，若 為函數的極值點，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求導后，構造，分別求出，由零點存在定理得到零點范圍，再結合題意求出結果即可.
【詳解】由題意可得，
令，
則，，
所以存在，使得，即，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
所以為函數的極值點，
所以，
所以，
故選：B.
2．（2024·山東·模擬預測）已知函數，則使有零點的一個充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先判斷，此時可得的單調性，依題意可得，令，結合函數的單調性及零點存在性定理得到存在使得，從而得到有零點的充要條件為，即可判斷.
【詳解】因為，
當時，，所以，沒有零點，故A錯誤；
當時與在上單調遞增，所以在上單調遞增，
，要使有零點，則需，
即，令，則在上單調遞減，
且，，，
所以存在使得，
所以有零點的充要條件為，
所以使有零點的一個充分條件是.
故選：D
3．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知函數恰有兩個極值點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對函數求導后，令，則只需要有兩個不同的零點，利用導數求得在上單調遞減，在上單調遞增，則，得，再結合零點存在性定理可判斷出在和上各有一個零點，從而可求得結果.
【詳解】的定義域是，，令，
所以，令，解得；令，解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
要使恰有兩個極值點，則，解得，
此時，
所以在上有唯一的零點，
令，所以，
所以在上單調遞增，所以，
所以，
所以，
所以在上有唯一的零點，
綜上，當時，在上有兩個不同的零點，且零點兩側的函數異號，
所以a的取值范圍是．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查利用導數解決函數極值點問題，解題的關鍵是將問題轉化為有兩個不同的零點，結合零點存在性定理分析，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.
4．（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知對任意恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】構造，，其中，二次求導，并得到，分和兩種情況，結合函數單調性和最值情況，得到答案.
【詳解】，，顯然，
，注意到，
令，則，
其中，
當，即時，
在上單調遞增，故，
故在上單調遞增，故恒成立，滿足要求，
當時，，又趨向于時，趨向于，
由零點存在性定理得使得，
當時，，即單調遞減，
又，故時，，
故在上單調遞減，又，在上，，
不合要求，舍去，
故的最大值為
故選：A
【點睛】方法點睛：于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.
二、填空題
5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，且，函數的值域為 .
【答案】
【分析】對求導，構造函數，利用導數判斷的單調性，根據零點存在性定理得到的零點，從而確定的單調性，求解即可.
【詳解】，由可知，
令，，則，
所以在內單調遞增，
又，，
所以在內存在唯一零點，
且，又，所以，
當時，，即，則在區間上單調遞增，
由，可得，，
所以函數的值域為.
故答案為：.
6．（2024·青海·模擬預測）已知函數的最小值為，則 .
【答案】/0.25
【分析】利用求導研究函數單調性得出函數得最小值滿足，根據題意推得，代入所求式整理計算即得.
【詳解】由可得，，
令，則，所以即在上單調遞增.
因為，，則存在，使得，即（*）.
當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，
故.又的最小值為，則有，代入（*）得，.
故.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查利用導數和零點存在定理研究函數的最值點，屬于較難題.
解題關鍵在于在得到導函數的單調性后，利用取值不能得到的取正取負的區間，需要利用零點存在定理設出，確定的單調區間，推得即得.
題型02 利用隱零點判斷零點個數
【解題規律·提分快招】
一、函數零點的存在性定理 函數零點存在性定理：設函數在閉區間上連續，且，那么在開區間內至少有函數的一個零點，即至少有一點，使得. 二、隱零點的同構 實際上, 很多隱零點問題產生的原因就是含有指對項, 而這類問題由往往具有同構特征, 所以下面我們看到的這兩個問題, 它的隱零點代換則需要同構才能做出, 否則, 我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向. 我們看下面兩例: 一類同構式在隱零點問題中的應用的原理分析 所以在解決形如 , 這些常見的代換都是隱零點中常見的操作.
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·廣東韶關·期末）已知函數，若有兩個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，分類討論求導函數判斷函數單調性及極值點，結合零點存在定理可得參數范圍.
【詳解】已知函數，函數的定義域為
，
當時，恒成立，所以在上單調遞減，故時，至多有一個零點；
當時，令得，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．
此時最小值為，
①當時，由于，故只有一個零點；
②當時，即，故沒有零點；
③當時，即，又
；
，
由零點存在定理知在上有一個零點；在有一個零點．
所以有兩個零點，a的取值范圍為；
故選:A．
2．（24-25高三上·四川·階段練習）已知實數滿足，則函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用導數研究函數的單調性，令，則是的零點，結合零點存在性定理確定范圍，然后結合零點存在性定理及的單調性判斷零點個數．
【詳解】由題設，
∴當或時，；當時，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
令，則，即是的零點，
∵在上單調遞增，∴在上單調遞增，
∵，，，
∴在上有唯一零點，則．
∵，
∴，
∴結合的單調性可知，共有3個零點，分別在上各有1個零點．
故選：D．
二、解答題
3．（2024·遼寧·模擬預測）已知函數.
(1)求在區間內的極大值；
(2)令函數，當時，證明：在區間內有且僅有兩個零點．
，
令，則 (【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導數研究函數的單調性，求解極大值.
（2）由可構造，討論單調性和極值，證明零點個數的結論.
【詳解】（1）由題得，
當時，，當時，，
則在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，
所以在區間內的極大值為．
（2），
設，，則)，所以在區間內單調遞減．
又，，故存在，使得，
當時，，即，在區間內單調遞增；
當時，，即，在區間內單調遞減．
又，，因為，所以，
所以在區間，內各有一個零點，
即在區間內有且僅有兩個零點．
【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
4．（2024·江西新余·模擬預測）已知函數.
(1)若，求在處的切線方程.
(2)討論的單調性.
(3)求證：若，有且僅有一個零點.
【答案】(1)；
(2)答案見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）把代入，利用導數的幾何意義求出切線方程.
（2）根據給定條件，按，，，分類，利用導數求出單調區間.
（3）利用（2）的結論，結合零點存在性定理推理證明即可.
【詳解】（1）當時，，求導得，則，而，
所以函數的圖象在處的切線方程為，即.
（2）函數的定義域為，
求導得，
①當時，由，得，由，得，
則函數在上單調遞增，在上單調遞減；
②當時，由，得，由，得，
則函數在上單調遞增，在，上單調遞減；
③當時，，函數在上單調遞減；
④當時，由，得，由，得，
則函數在上單調遞增，在，上單調遞減，
所以當時，函數的遞增區間為，遞減區間為；
當時，函數的遞增區間為，遞減區間為，；
當時，函數的遞減區間為；
當時，函數的遞增區間為，遞減區間為，.
（3）①當時，函數在上單調遞減，而，，
因此存在唯一使，則有且僅有一個零點；
②當時，函數在處取得極小值，
令，求導得，當時，，當時，，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，，即，
，當時，，則，
因此存在唯一使，則有且僅有一個零點；
③當時，函數在處取得極小值，，
同理存在唯一使，則有且僅有一個零點，
所以有且僅有一個零點.
5．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知.
(1)討論的單調性；
(2)若，討論的零點個數；
(3)若，且，證明：存在唯一實數，使得.
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求導，分類討論可求函數的單調區間；
（2）結合（1）分類討論，結合零點的存在性定理可判斷零點的個數；
（3）由（2）可知，要滿足題意，則，可得，通過構造函數，判斷唯一性即可.
【詳解】（1）
①當時，在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減；
②當時，在單調遞減；
③當時，在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減；
（2）由（1）可知，當時，在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減；
注意，
①當時，，
時，；時，；
所以有個零點；
②當時，，所以有個零點；
③當時，，
若，即時，所以有個零點；
若，即時，所以有個零點；
若，即時，所以有個零點；
綜上：①當時，有個零點；
②當或時，有個零點；
③當時，有個零點；
（3）由（2）可知，要滿足題意，則，
此時，
兩式相除得：
令，，
則，
令，
，
令，
所以在單調遞減，又時，，，
所以，使得，當時，，單調遞增；
當時，單調遞減；
又因為當時，，．
所以，使得，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
又因為當時，，，
所以，存在唯一，使得，
即，
有唯一解，該解即為，由前面等式①可知，此時存在唯一與之對應，命題得證.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性，考查利用導數解決函數零點問題，解題的關鍵是分類討論思想的應用，考查轉化能力，通過構造函數，利用導數求解即可，考查數學轉化思想和計算能力，屬于難題
6．（24-25高三上·貴州六盤水·階段練習）設為的導函數，若在區間D上單調遞減，則稱為D上的“凸函數”．已知函數．
(1)若為上的“凸函數”，求a的取值范圍；
(2)證明：當時，有且僅有兩個零點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由“凸函數”定義可得在區間D上單調遞減，令，則問題轉化為在恒成立，分離參數后轉化為求函數最值可得；
（2）令，結合的單調性與三角函數的有界性，分區間討論的單調性與函數值的符號變化即可.
【詳解】（1）由，則.
由題意可知，為上的“凸函數”，
則在區間上單調遞減，設，
則，所以在恒成立，
則在恒成立，
又當時，函數取最小值，且最小值為，
所以有，解得，
即a的取值范圍為.
（2）當時，由得
.
令，其中，
則，其中.
①當時，則，，
所以，則在單調遞增，
則恒成立，即在無零點；
②當時，令，其中，
由在單調遞增，
又，
故存在，使得，
故當時，，在單調遞減；
當時，，在單調遞增；
由，
故存在，使，即，
故當時，，在單調遞減；
當時，，在單調遞增；
又，
故當時，，即在無零點；
③當時，由，則，
故故在單調遞增，
，且，
故由零點存在性定理可知在有且僅有一個零點；
④當時，，
故在無零點；
綜上所述，有且僅有兩個零點，其中，而另一個零點在內.
由，即將圖象向左移1個單位可得的圖象.
故也有兩個零點，一個零點為，另一個零點在內.
故有且僅有兩個零點，命題得證.
【點睛】關鍵點點睛：該題目屬三角函數與導函數綜合題型，解決本題目的關鍵在于利用導函數與三角函數的有界性分區間討論函數值的符號變化.當時，，單調遞增，而，無零點；當時，通過二次求導與零點存在性定理可得先減后增，而，也無零點；當時，，單調遞增，而，有且僅一個零點；當，由三角函數有界性，恒有故無零點.
題型03 利用隱零點證明不等式
【解題規律·提分快招】
針對導函數的“隱零點”，求解取值范圍時，需要根據導函數零點代入方程，把參數表示成含隱零點的函數，再來求原函數的極值或者最值問題或證明不等式。構建關于隱零點作為自變量的新函數，求函數值域或者證明不等式恒成立問題。在使用零點存在定理確定區間時往往存在困難，必要時使用放縮法取含參的特殊值來確定零點存在區間。
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）求證：
【答案】證明見解析.
【分析】根據給定條件，構造函數，利用導數探討最值情況作答.
【詳解】令，求導得，顯然函數在上單調遞增，
而，，因此存在，使得，即，有，
當時，，當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
于是
，
所以.
2．（23-24高三下·湖北黃岡·階段練習）已知函數.
(1)求方程在上的解集；
(2)設函數；
（i）證明：在有且只有一個零點；
（ii）在（i）的條件下，記函數的零點為，證明：.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）利用余弦二倍角公式化簡方程，再結合輔助角公式即可；
（2）（i）根據三角函數的性質分區間研究函數的性質，利用零點存在定理可證明；（ii）然后利用換元法求值域即可證明.
【詳解】（1）
所以.
所以或
當時，，則，又，所以或，
當，則，又.
所以或，所以或，
所以方程在上的解集為.
（2）（i）設.
當，則，
此時在區間上單調遞增，
又在區間上也單調遞增，所以在區間上單調遞增，
又
所以在時有唯一零點，
當，所以，
所以在上沒有零點，
綜上，在有唯一零點.
（ii）記函數的零點為，
所以，且，所以，
所以，
令，因為，所以，
又，則，
所以.
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數，.
(1)當時，求的極小值；
(2)若，求證：當時，.
【答案】(1)0；
(2)證明見解析.
【分析】（1）把代入，求出的導數，確定單調性求出極小值.
（2）求出，利用不等式性質證明，再構造函數，利用導數探討最小值即可推理得證.
【詳解】（1）當時，，則，
當時，，函數在上單調遞增；
當時，，，則，在上單調遞減，
所以函數在處取得極小值，為.
（2）依題意，的定義域為，
當時，，則只需證，
令，求導得，
令，求導得
則函數在上單調遞增，且，，
因此函數在上有唯一零點，且，即，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
于是，
則，所以當時，.
【點睛】思路點睛：含參數的函數不等式證明問題，可以利用不等式性質放縮，再構造函數，利用導數探討單調性、極(最)值即可推理作答.
4．（24-25高三上·北京·開學考試）已知函數.
(1)若曲線在點處的切線為軸，求的值；
(2)討論在區間內的極值點個數；
(3)若，求證：存在兩個零點，且滿足.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）先求函數的導函數，若在點處的切線為軸，只需，求解即可；
（2）針對導函數，分和兩種情況討論求解即可；
（3）通過導數求出函數的單調性，由函數及，，，，從而可證明函數存在兩個零點，再根據零點存在性定理即可證明.
【詳解】（1）函數求導得，
因為函數在處的切線為軸，
所以，即.
（2）函數的導函數，
若，當時，恒成立，
函數在上單調遞增，即函數無極值點.
若，當時，，函數在上單調遞減，
當時，，函數在上單調遞增，
因此，為的極值點，且無極大值點.
所以當時，在內極值點個數為；
當時，在內極值點個數為.
（3）當時，導函數，
當時，，則在單調遞減，
當時，，則在單調遞增，
所以，
又因為，
當時，，當時，，
所以函數存在兩個零點.
設，又因為，所以，
又因為，
，
所以，
所以.
5．（23-24高三下·遼寧大連·階段練習）已知函數，.
(1)求函數的值域；
(2)設函數，證明：有且只有一個零點，且.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）依題意可得，首先判斷的奇偶性，再利用換元法求出函數在時的取值范圍，結合偶函數的性質得解.
（2）結合零點的存在性定理分類討論可證有且只有一個零點；結合零點性質與單調性放縮可得.
【詳解】（1）因為，
所以，
則，
所以為偶函數，
當時，
令，則，令，，
，又，，
所以，
即當時，根據偶函數關于軸對稱，所以當時，
綜上可得.
（2）因為，
當時，函數與函數均在上單調遞增，
故在上單調遞增，
又，，
故存在唯一零點，
當時，，，故，
當時，，，故，
故當時，無零點，
綜上所述，有且只有一個零點，且該零點；
由上可知，且有，
則，
即，
由函數在區間上單調遞增，
故.
【點睛】關鍵點睛：本題二問關鍵在于借助零點的存在性定理判定有且只有一個零點，借助零點得到，將轉化為，結合函數單調性，得到.
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，若在上不單調，求a的取值范圍.
【答案】
【分析】求出函數的導數，利用函數在上存在變號零點求解即得.
【詳解】函數，求導得，
由在上不單調，得函數在上存在變號零點，
而函數在上單調遞增，，，
因此，又，解得，
所以a的取值范圍為．
2．（24-25高三上·全國·期末）已知函數，為的導數．證明：在區間存在唯一極大值點．
【答案】證明見解析
【分析】構建，利用導數結合零點存在性定理分析的單調性和極值即可.
【詳解】由題意可得，
設，則．
當時，因為在區間內單調遞減，
可知在區間內單調遞減，且，，
可得在上有唯一零點，設為．
當時，；當時，．
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
故在上存在唯一極大值點，
即在上存在唯一極大值點．
3．（23-24高三下·浙江麗水·期末）已知，函數.
(1)若，解不等式；
(2)證明：函數有唯一零點；
(3)設，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）將不等式化簡，利用對數函數單調性解不等式即可；
（2）先利用導數判斷函數單調性，利用零點存在性定理即可證明；
（3）作差變形后，結合基本不等式利用作差法即可判斷.
【詳解】（1）當時，不等式即為，即，
所以，解得；
（2）因為，所以在定義域內單調遞增，
又，，，
所以由零點存在定理得，函數有唯一零點，且零點在內.
（3）由知，，
因為，
所以
.
4．（23-24高三下·河南南陽·期末）已知函數，其中.
(1)討論在區間上的單調性；
(2)若，函數在區間內存在唯一的極值點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)在上單調遞減；
(2).
【分析】（1）求出函數的導數，利用導數再探討函數的單調性即可得解.
（2）求出函數的導數，結合（1）的信息按，分類討論的單調性即可求得答案.
【詳解】（1）函數，求導得，
設，則.
而，則當時，，函數在上單調遞減，
于是，所以函數在上單調遞減.
（2）函數，求導得，
若，由（1）知在上恒成立，從而在內無極值點，不符合題意；
若，設，則，且，
設，則在上恒成立，因此在上單調遞減，
若，即，則在上恒成立，因此在上單調遞增，
則在上恒成立，從而單調遞增，無極值點，不符合題意；
若，即，則在上存在零點，且在上單調遞增，在上單調遞減，
又，所以要使有極值點，必須有，即，
從而的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：導數問題往往涉及到分類討論，分類討論標準的確定是關鍵，一般依據導數是否有零點、零點存在時零點是否在給定的范圍內及零點在給定范圍內時兩個零點的大小關系來分層討論.
5．（2024·廣西·模擬預測）設函數，．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)證明：．
【答案】(1)函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數的定義域，利用導數求出其單調區間即可.
（2）通過導數及零點存在定理判斷函數在上單調遞減，在上單調遞增，且，等式兩邊取對數并使用基本不等式證明即可.
【詳解】（1）當時，，定義域為，
所以，
令
因為，
所以在上單調遞增，
即在上單調遞增，注意到，
所以當時，；
當時，，
所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．
（2）證明：，
即，
的定義域為，
且．
在上單調遞增，
當時，在上單調遞增，
故在上單調遞增，
又，當趨近于0時，，
根據零點存在定理可知，導函數存在唯一的零點，
設該零點為．當時，；當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，取得最小值．
，即，
兩邊同時取對數得，
所以，
當且僅當，即時，取等號，
故當時，，
即．
6．（23-24高三下·重慶北碚·階段練習）已知函數．
(1)若在處的切線方程為，求m的值；
(2)當時，求證：有且僅有兩個零點；
(3)若時，恒有，求m的取值范圍．
【答案】(1)0；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）求出函數的導數，利用導數的幾何意義，結合已知求出m的值.
（2）當時，按分段計算的取值情況，結合零點存在性定理求出的單調區間即可推理得證.
（3）分段討論可得恒成立，再按討論求解.
【詳解】（1）函數，求導得，
依題意，，解得，經驗證符合題意，
所以m的值為0.
（2）當時，，，
當時，，
當時，，
當時，函數在上單調遞增，則在上單調遞增，
而，，因此存在唯一，使得，
當時，，當時，，則在上遞減，在上遞增，
于是，而，
則函數在上有唯一零點，而，則0是在上的唯一零點，
所以函數有且僅有兩個零點.
（3）由（2）知，函數在上單調遞增，此時，
當時，，
則當時，恒成立，當，即時，恒成立，
函數在上單調遞增，恒有成立，則；
當時，，，
又函數在上的圖象連續不斷，
則必存在，使得，且時，，
因此函數在上單調遞減，當時，，不符合題意，
所以m的取值范圍是.
【點睛】思路點睛：涉及函數不等式恒成立問題，可以借助分段討論函數的導函數，結合函數零點探討函數值正負，以確定單調性推理作答.
7．（23-24高三下·福建三明·期中）已知函數.
(1)求函數的極大值和極小值；
(2)若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，極小值為；
(2).
【分析】（1）求出函數的導數，借助單調性求出函數的極大值、極小值即可.
（2）把問題轉化為在上恒成立，并確定，構造函數，利用導數分類探討即可得解.
【詳解】（1）函數的定義域為R，求導得，
由，得，由，得或，
因此函數在上單調遞增；在上單調遞減，
所以函數的極大值為，極小值為.
（2）由在上恒成立，得在上恒成立，
當時，則對任意的實數恒成立，
當時，，則，
令，令，則，
求導得，
因此，令，顯然函數在上單調遞增，
①當時，，則對，
函數在上單調遞增，恒有，
因此不等式在上恒成立；
②當時，由，而函數在上單調遞增，
則存在唯一的，使得，且當時，，
從而當時，，即函數在上單調遞減，
當時，，即，不符合題意，
所以實數的取值范圍為.
【點睛】思路點睛：涉及函數不等式恒成立問題，可以分段討論函數的導函數，結合函數零點探討函數值正負，以確定單調性推理作答.
8．（23-24高三下·北京海淀·期末）已知函數，其中.
(1)若在處取得極值，求的單調區間；
(2)若對于任意，都有，求的值.
【答案】(1)增區間是，減區間是
(2)
【分析】（1）先求出，由題意得求出，檢驗可得；
（2）先將“不等式恒成立”問題等價轉化為“恒成立”問題，再構造函數，由與，分三類探究即可.
【詳解】（1），由，函數定義域為.
則，
∵在處取得極值，
∴，
設，則在單調遞減，
至多一個實數根，又，
方程有且僅有一個實數根.
當時，，其中.
， ，
當時，，則，在單調遞增；
當時，，則，在單調遞減；
所以在處取得極大值，極大值為.
故的增區間是，減區間是；
（2）由（1）知，當時，在處取最大值，且最大值為，
即任意時，都有，滿足題意.
由，得，
令，則，不等式轉化為，
即在恒成立.
設，其中，
，其中，
①當時，且，
故存在，使，由在單調遞減，
則當時，，在單調遞減，
所以，故不滿足恒成立，即不合題意；
②當時，且，
故存在，使，由在單調遞減，
則當時，，在單調遞增，
所以，故不滿足恒成立，即不合題意；
綜上所述，若對于任意，都有，則.
【點睛】已知不等式恒成立求參數問題，我們可以先取定義域內的一個或幾個特殊點探路.如題目第（2）問中得到，由恒成立，考慮，再借助與的大小分類討論求解即可.
9．（24-25高三上·北京·階段練習）已知函數．
(1)求證：對．曲線在點處的切線恒過定點；
(2)當時，判斷函數的零點的個數，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）利用導數的幾何意義求出切線方程，再證明其經過定點即可；
（2）根據函數的定義域分和兩種情況討論函數的零點情況，利用求導判斷函數的單調性，再借助于零點存在定理判斷零點個數即得.
【詳解】（1）由求導可得，，
依題意，，
故曲線在點處的切線為，
即，因，故有，解得，
即切線恒過點，得證；
（2）的定義域為，由（1）已得：，，
①當時，，則在上單調遞增.
由，而，
因（下面證明），故，
即，由零點存在定理可得，在上有且僅有一個零點，
即在上只有一個零點；
下證：.設，則，
即在上單調遞增，故，即成立.
②當時，，則在上單調遞增.
由，因，則，而，故，
又，
因在上單調遞增，故，
即，由零點存在定理可得，在上有且僅有一個零點,
即在上只有一個零點.
綜上所述，時，在上有兩個零點.
10．（24-25高三下·全國·課后作業）已知函數且．
(1)若，求在處的切線方程；
(2)在①；②兩個條件中任選一個，證明：恰有三個零點．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導函數再求斜率最后點斜式得出切線方程；
（2）先根據的零點即是等于的零點個數，求出導函數得出函數值范圍，應用零點存在定理即可證明函數有3個零點.
【詳解】（1）當時，，所以．
故在處的切線方程為．
（2），因為，
所以的零點個數等于的零點個數，其中．
若選擇條件①：，
令，得．
因為，所以，
因此在上單調遞減，在區間內單調遞增，在上單調遞減．
設
單調遞增，單調遞減，
,
所以時，，當時，，
所以，所以．
所以，
取，則；
又，所以，
即，故；又，
所以在區間內各恰有唯一的零點，
故恰有三個零點，從而恰有三個零點．
若選擇條件②：，
令，得．
因為，所以，
因此在上單調遞增，在區間內單調遞減，在上單調遞增．
同選擇條件①，取，則，
取；
又因為，
所以，
即，又．
所以在區間內各恰有唯一的零點，
故恰有三個零點，從而恰有三個零點．
【點睛】方法點睛：先根據的零點即是等于的零點個數，求出導函數得出函數的單調性得出函數值范圍，應用零點存在定理即可證明函數有3個零點.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題05 導數中的隱零點問題
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題型01 利用隱零點解決最值、極值 1
題型02 利用隱零點判斷零點個數 2
題型03 利用隱零點證明不等式 4
題型01 利用隱零點解決最值、極值
【解題規律·提分快招】
一、隱零點問題 隱零點問題是函數零點中常見的問題之一，其源于含指對函數的方程無精確解，這樣我們只能得到存在性之后去估計大致的范圍（數值計算不再考察之列）. 基本步驟： 第 1 步: 用零點存在性定理判定導函數零點的存在性, 列出零點方程, 并結合的單調性得到零點的范圍; 第 2 步: 以零點為分界點, 說明導函數 的正負, 進而得到的最值表達式; 第 3 步: 將零點方程適當變形, 整體代入最值式子進行化簡: （1）要么消除最值式中的指對項 （2）要么消除其中的參數項; 從而得到最值式的估計.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·浙江·三模）已知 表示不超過 的最大整數，若 為函數的極值點，則 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東·模擬預測）已知函數，則使有零點的一個充分條件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知函數恰有兩個極值點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知對任意恒成立，則實數的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
二、填空題
5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，且，函數的值域為 .
6．（2024·青海·模擬預測）已知函數的最小值為，則 .
題型02 利用隱零點判斷零點個數
【解題規律·提分快招】
一、函數零點的存在性定理 函數零點存在性定理：設函數在閉區間上連續，且，那么在開區間內至少有函數的一個零點，即至少有一點，使得. 二、隱零點的同構 實際上, 很多隱零點問題產生的原因就是含有指對項, 而這類問題由往往具有同構特征, 所以下面我們看到的這兩個問題, 它的隱零點代換則需要同構才能做出, 否則, 我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向. 我們看下面兩例: 一類同構式在隱零點問題中的應用的原理分析 所以在解決形如 , 這些常見的代換都是隱零點中常見的操作.
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·廣東韶關·期末）已知函數，若有兩個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川·階段練習）已知實數滿足，則函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、解答題
3．（2024·遼寧·模擬預測）已知函數.
(1)求在區間內的極大值；
(2)令函數，當時，證明：在區間內有且僅有兩個零點．
4．（2024·江西新余·模擬預測）已知函數.
(1)若，求在處的切線方程.
(2)討論的單調性.
(3)求證：若，有且僅有一個零點.
5．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知.
(1)討論的單調性；
(2)若，討論的零點個數；
(3)若，且，證明：存在唯一實數，使得.
6．（24-25高三上·貴州六盤水·階段練習）設為的導函數，若在區間D上單調遞減，則稱為D上的“凸函數”．已知函數．
(1)若為上的“凸函數”，求a的取值范圍；
(2)證明：當時，有且僅有兩個零點．
題型03 利用隱零點證明不等式
【解題規律·提分快招】
針對導函數的“隱零點”，求解取值范圍時，需要根據導函數零點代入方程，把參數表示成含隱零點的函數，再來求原函數的極值或者最值問題或證明不等式。構建關于隱零點作為自變量的新函數，求函數值域或者證明不等式恒成立問題。在使用零點存在定理確定區間時往往存在困難，必要時使用放縮法取含參的特殊值來確定零點存在區間。
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）求證：
2．（23-24高三下·湖北黃岡·階段練習）已知函數.
(1)求方程在上的解集；
(2)設函數；
（i）證明：在有且只有一個零點；
（ii）在（i）的條件下，記函數的零點為，證明：.
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數，.
(1)當時，求的極小值；
(2)若，求證：當時，.
4．（24-25高三上·北京·開學考試）已知函數.
(1)若曲線在點處的切線為軸，求的值；
(2)討論在區間內的極值點個數；
(3)若，求證：存在兩個零點，且滿足.
5．（23-24高三下·遼寧大連·階段練習）已知函數，.
(1)求函數的值域；
(2)設函數，證明：有且只有一個零點，且.
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，，若在上不單調，求a的取值范圍.
2．（24-25高三上·全國·期末）已知函數，為的導數．證明：在區間存在唯一極大值點．
3．（23-24高三下·浙江麗水·期末）已知，函數.
(1)若，解不等式；
(2)證明：函數有唯一零點；
(3)設，證明：.
4．（23-24高三下·河南南陽·期末）已知函數，其中.
(1)討論在區間上的單調性；
(2)若，函數在區間內存在唯一的極值點，求實數的取值范圍.
5．（2024·廣西·模擬預測）設函數，．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)證明：．
6．（23-24高三下·重慶北碚·階段練習）已知函數．
(1)若在處的切線方程為，求m的值；
(2)當時，求證：有且僅有兩個零點；
(3)若時，恒有，求m的取值范圍．
7．（23-24高三下·福建三明·期中）已知函數.
(1)求函數的極大值和極小值；
(2)若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.
8．（23-24高三下·北京海淀·期末）已知函數，其中.
(1)若在處取得極值，求的單調區間；
(2)若對于任意，都有，求的值.
9．（24-25高三上·北京·階段練習）已知函數．
(1)求證：對．曲線在點處的切線恒過定點；
(2)當時，判斷函數的零點的個數，并說明理由．
10．（24-25高三下·全國·課后作業）已知函數且．
(1)若，求在處的切線方程；
(2)在①；②兩個條件中任選一個，證明：恰有三個零點．
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