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專題04 構造函數的應用
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題型01 構造函數比較大?。訙p、乘法、商式同構等） 1
題型02 構造函數解不等式（原函數與導函數混合還原） 5
題型03 構造函數求參數的最值（范圍） 9
題型04 構造函數證明不等式 13
題型01 構造函數比較大?。訙p、乘法、商式同構等）
【解題規律·提分快招】
【常見同構形式】 （1）乘積模型： （2）商式模型： （3）和差模型：
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】構建，利用導數判斷的單調性，進而可得，再結合對數函數單調性可得.
【詳解】記，則，
可知在上單調遞增，則，即，
可得；
又因為，則，即；
所以.
故選：B.
2．（24-25高三上·福建福州·階段練習）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易得，，，構建函數，求導判斷其單調性，利用單調性比較大小即可.
【詳解】由題意可得，，，
設，，則，
故當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
因為，，，且，
可得，，所以.
故選：D.
3．（2024高三·全國·專題練習）設a，b都為正數，為自然對數的底數，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將不等式變形為，構造函數，由導數確定函數單調性，由單調性及不等關系即可求解.
【詳解】由已知，即.
設，則，.
，，.
當時，，
在上單調遞增，所以.
故選：B.
4．（24-25高三上·遼寧·階段練習）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先通過數值放縮判斷與及與的大小關系，然后構造函數，
利用導數研究函數的單調性，借助函數單調性判斷與的大小關系.
【詳解】因為，所以；
因為函數單調遞增，，所以，即，則，所以；
構造函數，則，
令，則，
顯然在上單調遞增，所以，
故在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增，
從而，故有，整理得，
所以，故．
故選：B
5．（24-25高三上·江西新余·階段練習）設，，，則的大小關系為：（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分別構造函數，，利用導數求導，得單調性求解即可．
【詳解】令，求導得，，，
當時，，函數在單調遞減，
當時，，函數在單調遞增，
所以，所以，當且僅當，時等號成立，所以，
所以，設，則，
記，則，記，
則，所以在上單調遞增，
故時，，即，
所以在上單調遞增，故時，，
即，所以在上單調遞增，
故時，，即，所以，
又，所以，即，所以．
故選：A
6．（24-25高三上·山西呂梁·階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對分別取對數并作商，再構造函數，利用導數探討單調性即可比較大小.
【詳解】由，得，
令，求導得，令，
求導得，函數在上單調遞減，，
即，函數在上單調遞減，則，
即，，因此；
令，求導得，當時，，
即，函數在上單調遞減，則，
即，，因此，
所以.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：對被比較大小的兩個數取對數并作商，再構造函數是求解問題的關鍵.
題型02 構造函數解不等式（原函數與導函數混合還原）
【解題規律·提分快招】
一、構造函數解不等式解題思路 利用函數的奇偶性與單調性求解抽象函數不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是： （1）把不等式轉化為； （2）判斷函數的單調性，再根據函數的單調性把不等式的函數符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數奇偶性的區別. 二、構造函數解不等式解題技巧 求解此類題目的關鍵是構造新函數，研究新函數的單調性及其導函數的結構形式，下面是常見函數的變形 模型1.對于，構造 模型2.對于不等式，構造函數. 模型3.對于不等式，構造函數 拓展：對于不等式，構造函數 模型4.對于不等式，構造函數 模型5.對于不等式，構造函數 拓展：對于不等式，構造函數 模型6.對于不等式，構造函數 拓展：對于不等式，構造函數 模型7.對于，分類討論：（1）若，則構造 （2）若，則構造 模型8.對于，構造. 模型9.對于，構造. 模型10.（1）對于，即， 構造． （2）對于，構造． 模型11.（1） （2）
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函數及其導函數的定義域均為R，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，構造函數，判斷的單調性，將所求不等式進行同解變形，利用單調性得到一元二次不等式，解之即得.
【詳解】設，則，故單調遞增.
又，故可轉化為，即，
由單調遞增可得，解得或，
即不等式的解集為.
故選：.
2．（23-24高二下·重慶·期中）已知是函數的導數，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不等式可化為，故考慮構造函數，結合條件判斷其單調性，利用單調性解不等式可得結論.
【詳解】不等式可化為，
設，則原不等式可化為，
對函數求導，得，
因為，所以，
所以函數是實數集上的增函數，
所以．
故不等式的解集為.
故選：B.
3．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）已知函數的導函數為，且，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】構造函數，由題意可得當時，，即可得的單調性，結合，可得，又，結合單調性即可得解.
【詳解】令，則，
由當時，，則當時，，
即在上單調遞減，
由，則，
由，即，故.
故選：D.
4．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知可導函數的定義域為，其導函數滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】構造函數，利用導數研究函數的單調性，原不等式可轉化為，結合函數的單調性解不等式即可.
【詳解】令，則，
故在上單調遞減，
不等式可變形為
，
即，
所以且，解得.
故選：A
5．（24-25高三上·遼寧·期中）已知定義在上的函數及其導函數，滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，結合題意得，所以在上單調遞增，，即，即，根據單調性解不等式即可.
【詳解】令，則，
因為，所以，
所以在上單調遞增，
，即，
又，則，
所以，即，
所以，解得.
故選：.
題型03 構造函數求參數的最值（范圍）
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·湖南·期中）若，，則的最小值為（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】由條件得，構造函數，利用導數求出的最小值，從而得出答案.
【詳解】，
當且僅當時，等號成立.
設，則，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，
所以，
∴當且僅當時，取得最小值，且最小值為.
故選：A.
2．（24-25高三上·云南·階段練習）若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】利用同構可得，再結合導數討論新函數的單調性后可得的最小值.
【詳解】因為，故，
而為上的增函數，故即，故，
設，則，
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，
故，
故選：B.
3．（24-25高三上·廣西貴港·階段練習）已知，若函數，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】由函數，等價于即在R上恒成立，由可得，再分析函數的單調性，即可求出的最小值.
【詳解】函數，等價于，
即在R上恒成立，
即，.則，
令，對其求導得，
當在上單調遞減，當在單調遞增，
所以
故選：B
4．（2024高三·全國·專題練習）已知偶函數在區間單調遞減，當時，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，可得在上單調遞增，由此脫去不等式中，分離參數構造函數，利用導數求出最值即可得解.
【詳解】由函數為偶函數，且在單調遞減，得在上單調遞增，
當時，，
令，，求導得，在上單調遞增，
則，因此；令，，，
函數在上單調遞減，則，因此，
所以的取值范圍是.
故選：C
5．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數，，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合題意構造函數，得到，表示出，再借助導數求出的最小值即可.
【詳解】∵，，
∴，
令，
∴在上單調遞增，
∴，即，
∴，
令，則，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
∴，
∴的最小值為，
故選：B.
6．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】變形得到，令，則，根據的單調性得到，分和兩種情況，參變分離得到，構造，求導得到其單調性，求出最小值為，得到.
【詳解】，
令，則，
因為在R上單調遞增，所以，
當時，可由向右平移得到，
結合與的圖象可知，恒成立，
當時，由得到，其中，
令，，
則，
當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，最小值為，
故，
綜上，.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：同構構造，從而令，得到，根據的單調性得到，再進行下一步求解.
7．（24-25高三上·河北·期中）當時，，則正數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件，利用同構思想，得到，構造函數，利用的單調性得到在區間上恒成立，再構造函數，求出在區間上的最大值，即可求解.
【詳解】因為，由，得到，即，
令，則，因為，所以在區間上恒成立，
即在區間上單調遞增，又，
所以，可得，即在區間上恒成立，
令，則，由，得到，由，得到，
所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，得到，
故選D.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于利用“同構”思想，將條件變形成，構造函數，利用的單調性，將問題轉化成在區間上恒成立，再構造函數，求出在區間上的最大值，即可求解.
題型04 構造函數證明不等式
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·安徽六安·階段練習）下列不等關系中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對于A，直接證明即可；對于B，使用導數工具證明即可；對于C，用導數說明不等式不成立即可；對于D，使用導數工具證明即可.
【詳解】對于A，因為，所以，故A正確；
對于B，設，則對有，
所以在上遞增，從而對有，即，故B正確；
對于C，設，則，
由于對，顯然的導函數，
故在上單調遞增.
從而對有，所以在上單調遞增，
所以，即，故C錯誤；
對于D，設，則對有，
所以在上單調遞增，從而，故D正確.
故選：C.
2．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據選項合理構造函數，利用導函數判斷函數單調性，得出函數的最值，從而判斷不等式是否成立.
【詳解】對于A選項：令，，
，令 ，令，則，
即時，，單調遞減，單調遞減，
即時，，單調遞增，單調遞增，
有最小值，
所以在單調遞增，故，
所以即，故A選項錯誤；
對于B選項：由A可知：，
要證，即需要證明：，即，
即，，
令，
，令
，令，則，
即時，，單調遞減，單調遞減，
即時，，單調遞增，單調遞增，
所以有最小值，
所以在單調遞增，故，
所以成立，故B選項正確；
對于C選項：由得，
因為，所以，
所以，故C選項錯誤，
對于D選項：令，因為，
所以在上單調遞增，所以，
所以存在使得，即，
故D選項錯誤；
故選：B.
二、填空題
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．
(1)若曲線在點處的切線的斜率為2，求的值．
(2)當時，證明：，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據導數的幾何意義，結合切線斜率，求的值；
（2）首先將所證明不等式兩邊取對數，變形為，再構造不等式，利用導數判斷函數的單調性，即可證明.
【詳解】（1），則．
因為曲線在點處的切線斜率為2，
所以，即．
（2）當時，，要證，即證，
兩邊同時取對數得，即證
令，
則．
所以在上單調遞減，所以，
所以．
4．（24-25高三上·四川·階段練習）已知函數.
(1)當時，求的單調區間；
(2)若，證明：.
【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為.
(2)證明見解析
【分析】（1）直接利用求函數單調性的方法求解即可；
（2）兩個方法，方法一，先將放大到，然后利用導數證明即可；方法二，直接兩式求差，然后根據未知數和參數的范圍證明即可.
【詳解】（1）解，
令
得時，，當時，，
故單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（2），
要證明，則只需證明，
令，
，
，
，當且僅當時，上式等號成立，
當時，在區間上單調遞減，
，即，
當時，得證.
【方法二】證明：令，
，
，
，當且僅當時，上式等號成立，
，
又當時，在區間上單調遞減，
，
當時，得證.
5．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）已知函數.
(1)若在上單調遞增，求實數的取值范圍；
(2)當時，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由函數單調轉化為導數不小于0恒成立，分離參數后利用導數求最值即可；
（2）求函數導數，經過多次求導可知導函數存在隱零點，即可分析導數的正負求函數最小值，得到，再構造函數利用導數求的最小值得證 .
【詳解】（1），由題得在上恒成立，
.
設，則.
設，則，
顯然，當時，單調遞增，當時，單調遞減，
在處取得最小值，
，即在上單調遞增，即
，經驗證適合題意，
故實數的取值范圍是.
（2）當時，，
.
令.
設，則，
，即在上單調遞增.
又由，
在上有唯一的零點，即在上有唯一的零點，即，
當時，在上單調遞減，
當時，在上單調遞增，，
設，
恒成立，
在上單調遞增，
.
【點睛】關鍵點點睛：復雜的導數問題就在于需要多次求導，不斷變換研究對象，通過逐層研究得到所需要結論，這個過程需要思路清晰，過程嚴謹，求導及相關正負，單調性分析熟練，才能解決對應問題.
6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數和，若存在兩個實數，且，使得，，證明：．
【答案】證明見解析
【分析】利用參數作為媒介，換元后構造新函數，將要證明的不等式轉化為證明，利用構造函數法，結合導數證得結論成立.
【詳解】直接換元構造新函數 ，即，設，，則，
則，，可得，，
由于
構造函數，，
因為，所以在上單調遞增，
故，即，
所以.
【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
7．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．
(1)討論的單調性和最值；
(2)若關于x的方程有兩個不等的實數根，，求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數的導數，分類討論得到導數的符號后可得函數的單調性和最值.
（2）利用同構可得原方程即為有兩個不同的實數根，結合構造法可證成立.
【詳解】（1）由得，
，其中，
若，則在上恒成立，故在上為減函數，
故無最值；
若，當時，；
當時，．
故在上為增函數，在上為減函數，
故，無最小值．
綜上：當，在上單調遞減，無最值；
當，在上為增函數，在上為減函數，，無最小值．
（2）方程，即，
故．
因為為上的增函數，所以，
所以關于x的方程有兩個不等的實數根，
即有兩個不同的實數根．
所以，所以．
不妨設，故，
要證，即證，
即證，即證，即證．
設，則，
令，
故，所以在上為增函數，故，
所以在上為增函數，
所以，故成立．
【點睛】思路點睛：對于較為復雜的與指數、對數有關的方程，可以考慮利用同構將其轉化為簡單的方程，從而利用常見的極值點偏移的方法來處理零點不等式.
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）已知函數是定義在R上的奇函數，是的導函數，且當時，，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】構造函數，求導，分析函數的單調性，再結合函數的奇偶性和特殊點的函數值，可解不等式.
【詳解】令，則．
因為當時，，所以，
所以在上單調遞增．
因為為奇函數，所以為奇函數．
因為，所以，所以，即，
所以，所以．
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：在選擇題中，解決此類與不等式有關的問題，構造合適的函數，是解決問題的關鍵.本題注意到有，即，所以根據導數的運算法則，可構造商的函數，之后的問題就好分析了.
2．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）函數，，若存在正數，，使得，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】分析可知，結合的單調性可得，，構建，利用導數求其單調性和最值，即可得結果.
【詳解】因為，則，
由題意可得：，
整理可得，即，
又因為在內單調遞減，則在內單調遞減，
可得，則，
構建，可得，
當時，；當時，；
可知在內單調遞減，在內單調遞增，
則，所以的最小值為.
故選：B.
3．（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習）已知實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】轉化已知條件，配湊為，構造函數，根據，以及在單調遞增，求得，再構造函數，利用導數研究其最小值，即可求得的最小值，以及的最小值.
【詳解】因為，故可得，且，故，
又，則；
若，則，，而，顯然不成立，故，即；
令，則，故在單調遞增；
則由，可得，又，故，
也即，解得，令，則，
時，時，
故在單調遞減，在單調遞增，故在處取得最小值，最小值，
也即，當且僅當時取得等號；故，當且僅當時取得等號，故的最小值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題考察導數中的同構問題，處理本題的關鍵是能夠根據已知條件，配湊出，再構造函數，從而進一步求得更加明確的關系，進而求的最小值.
4．（2024·四川德陽·三模）已知函數及其導函數在定義域均為且是偶函數，其函數圖象為不間斷曲線且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意得函數在上單調遞增,因為,所以,得,求解即可.
【詳解】由得
則當時,得,
，
則當時,,得函數在上單調遞增,
因為,所以,
由于是偶函數,則,
而函數在上單調遞增,得,
得,
得,
故選：C.
5．（24-25高三上·安徽馬鞍山·期中）已知，，，當時，恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，，利用導數研究的零點，易知的零點也是的零點，由此利用韋達定理，經過變形，然后構造出函數，利用導數研究其最小值即可得.
【詳解】當時，不等式恒成立，
設，，則，
令得，令得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
因為，時，時，
故在上有兩個零點，記為，
顯然或時，時，
要使恒成立，則，也是的兩個零點，
故，，
又，所以，所以，所以，
令，則，令得，令得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于借助導數研究零點，得到的零點也是的零點，即可結合韋達定理得到，再構造相應函數，借助導數研究其最小值即可得解.
6．（2024·湖北·模擬預測）已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】轉化和，設，根據導數求出的單調性，比較和的大小，轉化和，設，求出，令，利用導數求出的單調性，利用導數求出的單調性，比較和的大小.
【詳解】，
設，則，
當時，在上單調遞增，
，即，
，又，
設，
則，
令，
則，
在上單調遞減，
當時，，
在上單調遞減，
，，
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于通過所比較值的變形，構造函數和進行大小比較.
二、多選題
7．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習）已知，則下列關系式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】構造函數，利用導數研究其單調性一一判定選項即可.
【詳解】令，所以，
顯然時，，即此時單調遞減，
當時，，即此時單調遞增，
則，且時，可作出函數大致圖象如下：

因為，則，此時，由于不確定的關系，
由的單調性與圖象可知的大小不確定，則A、B都有可能正確；
顯然，所以，
，則C錯誤，D正確.
故選：ABD
8．（23-24高二下·河南·期中）設定義在上的函數的導函數為，若滿足，且，則下列結論正確的是（ ）
A．在上單調遞增
B．不等式的解集為
C．若恒成立，則
D．若，則
【答案】BCD
【分析】構造函數，根據條件計算得，利用導數研究其單調性可判定A、B，分離參數結合的單調性與最值可判定C，由題意得出，結合的單調性得出即可判定D.
【詳解】因為，所以.
令，則，
所以（c為常數），所以.
因為，所以，即.
對于A，因為，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤.
對于B,當時，，時，，時，
而，根據單調性知：，故B正確.
對于C，若，則.
當時，恒成立.
當時，等價于，即.
令，則，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，所以，故C正確.
對于D，若，即.
因為在恒小于0，在上又單調遞增，且，
所以，且，所以，
故D正確.
故選：BCD

【點睛】思路點睛：根據已知條件先構造函數得出解析式，利用導數研究其單調性即可判定前兩個選項，對于恒成立問題經常使用分離參數的方法，計算的最值即可判定C，對于雙變量問題常利用轉化消元的思想，同構的思想.
三、填空題
9．（24-25高三上·內蒙古呼和浩特·階段練習）已知是R上的奇函數，且對任意的均有成立．若，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】構造函數，利用導數得到的單調性，再將問題轉化為，從而得解．
【詳解】由得．
令，則，
所以在上單調遞增，
又，為奇函數，
所以，，
則．
故答案為：．
10．（24-25高三上·甘肅蘭州·期中）已知函數，，若，，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】先通過對數運算得到，然后構造函數分析出的關系式，由此可將化簡為關于的函數，借助的單調性可求出的最小值.
【詳解】因為，所以，則，
于是，，所以，
構造函數，且，當時，，所以在上單調遞增，
所以，于是，
又，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
所以，故，當且僅當，即（舍去）時取到最小值，
所以，
故答案為：．
11．（24-25高三上·貴州六盤水·階段練習）已知函數，若對任意，都有，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意可得對任意恒成立，且，令函數，則對任意恒成立，對求導分析單調性，可得對任意恒成立，由可得出的范圍.
【詳解】由題意可得對任意恒成立，且.
令函數，則對任意恒成立.
，
當時，單調遞增，
當時，，單調遞減，
且當時，，當時，，
所以，即對任意恒成立.
因為，所以.

故答案為：.
四、解答題
12．（2024·河北·模擬預測）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先明確函數定義域和求導，根據導數結構特征對進行和的分類討論導數正負即可得單調性.
（2）證，故問題轉化成證，接著構造函數研究其單調性和最值即可得證.
【詳解】（1）由題函數定義域為，，
故當時，恒成立，所以函數在上單調遞減；
當時，在上單調遞減，令，
則時，；時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上，當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由（1）當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故在上恒成立，
故證證，
即，
令，則，
故當時，；時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上恒成立，故，
所以當時，.
【點睛】思路點睛：證明含參函數不等式問題通常轉化成研究函數最值問題，第（2）問證當時，可將問題轉化成證，接著根據其結構特征進行變形轉化和構造函數，利用導數確定所構造的函數單調性和最值即可得證.
13．（23-24高二下·河南南陽·階段練習）已知函數，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3).
【分析】（1）設，求導，分析函數單調性，求函數的最小值，得到最小值大于或等于0即可.
（2）利用（1）的結論進行放縮，再利用導數求函數最小值即可.
（3）首先由條件同構方程，得到，再利用變量轉化，變形，并構造函數，利用導數求函數的最大值.
【詳解】（1）設，
則，
由，得；由，得.
所以函數在上遞減，在上遞增.
所以，所以恒成立.
即恒成立.
（2）由（1）得，（當時取“”）
所以.
設，
則，
由；由，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以（當時取“”）
因為，中，“”成立的條件不一致，
所以.
（3）由題意可知，，
即，
函數是增函數+增函數，所以單調遞增，
所以，即，所以，
，
設，，
當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
所以當時，取得最大值，
所以的最大值為.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是根據（1）的結果，對不等式進行放縮，第3問的關鍵是將方程兩邊同構成，根據函數的單調性得到等式，這是解題的關鍵.
14．（2024·天津·二模）已知，
(1)當時，求在點處的切線方程；
(2)討論的單調性；
(3)若函數存在極大值，且極大值為1，求證：．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導數，求切點處切線的方程；
（2）利用導數，分類討論函數的單調性；
（3）由極大值，求出的值，通過構造函數求最值的方法證明不等式.
【詳解】（1）當時，，則，
又，則切線的斜率，
所求切線方程為，即．
（2）函數的定義域為，
．
①當時， ，在上單調遞增．
②當時，
時，，函數在上單調遞增；
時，，函數在上單調遞減．
③當時，
時，，函數在上單調遞增；
時，，函數在上單調遞減．
綜上可得，
當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減．
（3）證明：由（2）可知，當時，存在極大值，且極大值為，
則，即，
整理得，從而，設，則．
令，所以，
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增．
而，所以的根為， 從而．
因此，即證成立，
也就是證，即證，
也就是證，設，即證．
設，
當時，，在上單調遞減；
當時， ，在上單調遞增．
，即恒成立，
恒成立．
【點睛】方法點睛：
導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理，證明不等式，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.
15．（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知函數.
(1)當時，比較與的大小；
(2)若函數，且，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構造，利用導數求函數的單調性與最值，則可判斷與的大小關系；
（2）先求得， 再證，則可得，所以有，即，得證.
【詳解】（1）解：設函數，
可得，
當時，，則在區間上單調遞增，
所以，所以，所以.
（2）證明：設函數，
當時，，則恒成立，
則由，得，
又，所以，
因為，可得，
令，可得，
所以單調遞增，即在區間上單調遞增，
所以，
所以在區間上單調遞增，
又，所以，同理得，
要證，
只需證，即證.
因為，所以，
設函數，則，
所以在區間上單調遞增，
因為，所以，所以，
所以，
所以，即.
【點睛】利用導數比較大小、利用導數證明不等式，常常通過構造函數，把不等式轉化為確定函數的單調性，利用單調性得函數值的大小，為此需要求導，利用導數確定單調性，在此過程中可能需要多次求導（當然需要多次構造函數）才能得出最終結論．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題04 構造函數的應用
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題型01 構造函數比較大小（加減、乘法、商式同構等） 1
題型02 構造函數解不等式（原函數與導函數混合還原） 2
題型03 構造函數求參數的最值（范圍） 4
題型04 構造函數證明不等式 5
題型01 構造函數比較大?。訙p、乘法、商式同構等）
【解題規律·提分快招】
【常見同構形式】 （1）乘積模型： （2）商式模型： （3）和差模型：
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·福建福州·階段練習）設，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習）設a，b都為正數，為自然對數的底數，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·遼寧·階段練習）設，則（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·江西新余·階段練習）設，，，則的大小關系為：（ ）.
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·山西呂梁·階段練習）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
題型02 構造函數解不等式（原函數與導函數混合還原）
【解題規律·提分快招】
一、構造函數解不等式解題思路 利用函數的奇偶性與單調性求解抽象函數不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是： （1）把不等式轉化為； （2）判斷函數的單調性，再根據函數的單調性把不等式的函數符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數奇偶性的區別. 二、構造函數解不等式解題技巧 求解此類題目的關鍵是構造新函數，研究新函數的單調性及其導函數的結構形式，下面是常見函數的變形 模型1.對于，構造 模型2.對于不等式，構造函數. 模型3.對于不等式，構造函數 拓展：對于不等式，構造函數 模型4.對于不等式，構造函數 模型5.對于不等式，構造函數 拓展：對于不等式，構造函數 模型6.對于不等式，構造函數 拓展：對于不等式，構造函數 模型7.對于，分類討論：（1）若，則構造 （2）若，則構造 模型8.對于，構造. 模型9.對于，構造. 模型10.（1）對于，即， 構造． （2）對于，構造． 模型11.（1） （2）
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函數及其導函數的定義域均為R，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·重慶·期中）已知是函數的導數，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）已知函數的導函數為，且，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·四川涼山·期末）已知可導函數的定義域為，其導函數滿足，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·遼寧·期中）已知定義在上的函數及其導函數，滿足，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
題型03 構造函數求參數的最值（范圍）
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·湖南·期中）若，，則的最小值為（ ）
A． B．0 C． D．
2．（24-25高三上·云南·階段練習）若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．0
3．（24-25高三上·廣西貴港·階段練習）已知，若函數，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．3
4．（2024高三·全國·專題練習）已知偶函數在區間單調遞減，當時，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數，，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·河北·期中）當時，，則正數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型04 構造函數證明不等式
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·安徽六安·階段練習）下列不等關系中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·湖南常德·階段練習）已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、解答題
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．
(1)若曲線在點處的切線的斜率為2，求的值．
(2)當時，證明：，．
4．（24-25高三上·四川·階段練習）已知函數.
(1)當時，求的單調區間；
(2)若，證明：.
5．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）已知函數.
(1)若在上單調遞增，求實數的取值范圍；
(2)當時，證明：.
6．（2024高三·全國·專題練習）已知函數和，若存在兩個實數，且，使得，，證明：．
7．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．
(1)討論的單調性和最值；
(2)若關于x的方程有兩個不等的實數根，，求證：．
一、單選題
1．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）已知函數是定義在R上的奇函數，是的導函數，且當時，，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）函數，，若存在正數，，使得，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
3．（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習）已知實數滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川德陽·三模）已知函數及其導函數在定義域均為且是偶函數，其函數圖象為不間斷曲線且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·安徽馬鞍山·期中）已知，，，當時，恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北·模擬預測）已知，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習）已知，則下列關系式可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高二下·河南·期中）設定義在上的函數的導函數為，若滿足，且，則下列結論正確的是（ ）
A．在上單調遞增
B．不等式的解集為
C．若恒成立，則
D．若，則
三、填空題
9．（24-25高三上·內蒙古呼和浩特·階段練習）已知是R上的奇函數，且對任意的均有成立．若，則不等式的解集為 ．
10．（24-25高三上·甘肅蘭州·期中）已知函數，，若，，則的最小值為 ．
11．（24-25高三上·貴州六盤水·階段練習）已知函數，若對任意，都有，則的取值范圍為 .
四、解答題
12．（2024·河北·模擬預測）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)證明：當時，.
13．（23-24高二下·河南南陽·階段練習）已知函數，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)若，求的最大值．
14．（2024·天津·二模）已知，
(1)當時，求在點處的切線方程；
(2)討論的單調性；
(3)若函數存在極大值，且極大值為1，求證：．
15．（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知函數.
(1)當時，比較與的大小；
(2)若函數，且，證明：.
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