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專題03 三次函數的圖像與性質
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題型01 三次函數的零點 1
題型02 三次函數的極值、極值點 7
題型03 三次函數的切線 14
題型04 三次函數的對稱性 19
題型01 三次函數的零點
【解題規律·提分快招】
一、三次函數概念 定義：形如叫做三次函數 ，把叫做三次函數導函數的判別式 當時，令，記兩根為 二、三次函數的零點個數 若三次函數存在極值時，其圖像、零點、極值的關系如下： 性質三次函數圖像說明零點個數三個 兩個極值異與 圖像與軸有三個交點兩個 有一個極值為0 圖像與軸有兩個交點 存在極值時一個 不存在極值時， 函數單調，與軸有一個交點
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·遼寧·期中）已知函數的三個零點分別為，，，若函數滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題設得函數關于對稱，進而有、，且，結合，得到是的兩個零點，根據二次函數性質求得、，即可求的范圍.
【詳解】由，即，故函數關于對稱，
所以，則，
故，
令，且開口向上，對稱軸為，
由題意，且，它們也是的兩個零點，
所以，且，故，則，
所以.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：應用因式分解及已知得到是的兩個零點，且，且為關鍵.
二、多選題
2．（24-25高三上·遼寧沈陽·期中）已知函數，則（ ）
A． B．若，則的極大值點為
C．若至少有兩個零點，則 D．在區間上單調遞增
【答案】ACD
【分析】A選項，代入計算，得到；B選項，求導，得到函數單調性，得到為極小值點，B錯誤；C選項，分和兩種情況，結合B選項，得到函數極值情況，從而得到不等式，求出；D選項，分和兩種情況，得到，得到D正確.
【詳解】A選項，，
故，A正確；
B選項，，若，當或時，，
當時，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
故為極小值點，B錯誤；
C選項，，當時，，故在R上單調遞增，不會有兩個零點，舍去；
當時，由B選項知，在上單調遞增，
在上單調遞減，
在處取得極小值，在取得極大值，
且當趨向于時，趨向于，當趨向于時，趨向于，
其中，，
要想至少有兩個零點，則，
解得，C正確；
D選項，由C選項知，當時，在R上單調遞增，滿足在區間上單調遞增，
當時，在上單調遞增，
其中，
故，所以在區間上單調遞增，
綜上，在區間上單調遞增，D正確
故選：ACD
【點睛】三次函數是近兩年高考常考考點，需要對三次函數圖象理解到位，由于三次函數的導函數為二次函數，故常常利用二次函數的性質來研究三次函數的性質，比如三次函數零點問題，極值點情況等.
3．（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習）已知三次函數有三個不同的零點，函數也有三個零點，則（ ）
A．
B．若成等差數列，則
C．
D．
【答案】ABD
【分析】求導根據兩個極值點即可求解A，根據關于對稱，結合等差中項即可求解B，根據圖象即可求解C，利用因式分解可得，即可利用三元平方關系求解D.
【詳解】由可得，
要使有三個不同的零點，
則有兩個不相等的實數根，故，
即，A正確，
由于為二次函數，關于對稱，因此
，
故關于對稱，
因此成等差數列，故是的對稱中心，則，故B正確，
當時，作出的圖象，則的圖象與的圖象交點如圖所示，
由于，故，故C錯誤，

對于D，根據，
展開可得，
故，
同理可得的三個實數根為，
則，
故，
因此，
故，
即得，故D正確，
故選：ABD
關鍵點點睛：根據因式分解可得，進而根據求解.
三、填空題
4．（24-25高三上·廣東·階段練習）已知若函數有兩個零點，則的取值范圍為
【答案】
【分析】首先利用導數說明函數在各段的單調性與最大值，即可畫出函數圖象，依題意可得與的圖象有兩個交點，數形結合即可得解.
【詳解】當時，，則，
所以當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減.
所以當時，.
當時，，則，
當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.
所以時，.
畫出函數的圖象如圖所示：
因為函數有兩個零點，所以與的圖象有兩個交點，
由圖可知或，
所以的取值范圍為.
故答案為：
5．（24-25高三上·天津·階段練習）已知函數，若方程有且僅有兩不等實根，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意，構造函數，方程有且僅有兩不等實根，即直線與函數的圖象有兩個交點，作出函數的圖象，根據交點的情況得到答案.
【詳解】當時，方程可化為，即，
當時，方程可化為，即，
令，方程有且僅有兩不等實根，即直線與函數的圖象有兩個交點，
當時，，
當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，取極小值.
當時，，
當時，單調遞減；當時，單調遞增；當時，取極小值一2.
根據以上信息，作出的圖象如圖，
由圖可知，當或時，直線與函數的圖象有兩個交點，即方程有且僅有兩不等實根.
故答案為：.
題型02 三次函數的極值、極值點
【解題規律·提分快招】
一、三次函數的圖像及單調性 注：三次函數要么無極值點，要么有兩個，不可能只有一個！ 系數關系式的圖像的圖像的性質恒成立 在上遞增 無極值點恒成立 在上遞減 無極值增區間 減區間 有兩個極值點 極大值，極小值增區間 減區間 有兩個極值點 極大值，極小值
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·四川瀘州·一模）已知函數在處取得極大值，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據極值點求參數，再由所得參數驗證在處是否取得極大值，即可得答案.
【詳解】由題設，則，可得或，
當時，
當或時，則在和上遞增，
當時，則在上遞減，
此時在處取得極小值，不符；
當時，
當或時，則在和上遞增，
當時，則在上遞減，
此時在處取得極大值，符合；
綜上，.
故選：C
2．（24-25高三上·吉林長春·階段練習）若是函數的極小值點，則的極大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，由條件可得，即可得到的值，然后代入檢驗，再由函數極值的求解，代入計算，即可得到結果.
【詳解】由可得，
又是函數的極小值點，所以，解得或，
當時，，
當時，，此時單調遞增，
當時，，此時單調遞減，
即是的極大值點，不符合題意，故舍去；
當時，，
當時，，此時單調遞增，
當時，，此時單調遞減，
當時，，此時單調遞增，
即是的極大值點，是的極小值點，符合題意，
此時，
所以的極大值為.
故選：D
3．（24-25高三上·遼寧·階段練習）已知函數，是的導函數，則下列說法錯誤的是（ ）
A．“”是“為奇函數”的充要條件
B．“”是“為增函數”的充要條件
C．若不等式的解集為且，則的極小值為
D．若、是方程的兩個不同的根，且，則或
【答案】B
【分析】利用奇函數的定義可判斷A選項；利用函數的單調性與導數的關系可判斷B選項；利用不等式解集與方程的關系可得出函數的解析式，利用導數求出函數的極小值，可判斷C選項；利用根與系數的關系結合可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若函數為奇函數，
則，
且，
所以，，
即對任意的恒成立，則，可得，
所以，“”是“為奇函數”的充要條件，A對；
對于B選項，易得，
因為函數為增函數，則，可得，
所以，“”“”，
若取，則成立，即“”“”，
所以，“”是“為增函數”的充分不必要條件，B錯；
對于C選項，因為不等式的解集為且，
則、為方程的兩個根，設方程的第三個根為，
則，
若，則不等式的解集為，不合乎題意；
若，則不等式的解集為，合乎題意；
若，則不等式的解集為，不合乎題意；
若，則不等式的解集為，不合乎題意；
若，則不等式的解集為，不合乎題意.
所以，，則，
，列表如下：
增 極大值 減 極小值 增
所以，函數的極小值為，C對；
對于D選項，若、是方程的兩個不同的根，
由韋達定理可得，，
所以，，可得，
由于，解得或，D對.
故選：B.
【點睛】思路點睛：利用導數求函數極值的步驟如下：
（1）求函數的定義域；
（2）求導；
（3）解方程，當；
（4）列表，分析函數的單調性，求極值：
①如果在附近的左側，右側，那么是極小值；
②如果在附近的左側，右側，那么是極大值.
二、多選題
4．（24-25高三上·江西南昌·階段練習）已知函數，2為的極大值點，則下列結論正確的有（ ）
A．
B．若4為函數的極小值點，則
C．若在內有最小值，則的取值范圍是
D．若有三個互不相等的實數解，則的取值范圍是
【答案】AD
【分析】先求得，然后根據函數的極值、最值、方程的解等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對于A，，
，，則或，而，則，
令，得或，令，得，
故在單調遞增，單調遞減，單調遞增；，
的極大值點為，，A對.
對于B，若4為極小值點，則，則，B錯.
對于C，在內有最小值，則在處取得最小值，
，，
即，
，，故C錯誤.
對于D，有三個互不相等的實數解，，
則，故，故D正確；
故選：AD
【點睛】關鍵點睛：導數的準確求解與符號分析：通過求導并分析導數的符號變化，是判斷函數單調性和極值點的關鍵步驟.確保每一步的符號處理準確，是得出正確答案的基礎.
條件驗證的完整性：對于多項選擇題，通過完整地驗證每個選項的條件，可以確保答案的準確性.尤其是涉及極值點和方程解的條件時，要特別注意每個條件的符號和數量判斷.
5．（24-25高三上·江蘇·階段練習）已知三次函數，則（ ）
A．函數一定有兩個極值點 B．當時，
C．當時，的極小值為0 D．在區間上的值域為
【答案】BCD
【分析】對于AD，利用特例法可判斷其正誤，對于B，利用作差法可判斷其正誤，對于C，判斷導數的符號可判斷其正誤.
【詳解】對于A，當時，，該函數在上為增函數，無極值點，故A 錯誤；
對于B，，
而，故，故，所以，
故B正確；
對于C，，
若，則，此時當或時，，
當時，，故在處取極小值；
若，則，此時當或時，，
當時，，故在處取極小值；
故C正確；
對于D，當，時，
則當或時，，當時，，
故在為減函數，在上為增函數，
取，則，
考慮方程在上是否有解，
設，則，
，
由零點存在定理可得在上存在零點，設該零點為，則,
則在上的值域為，
故D成立，
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：對于三次函數中定義域與值域一致的問題，我們先利用導數判斷函數的單調性，再結合函數在閉區間上端點處、在區間內的最值的關系來判斷處理即可.
三、填空題
6．（24-25高三上·四川攀枝花·階段練習）已知函數兩個極值點分別為橢圓與雙曲線的離心率，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據題意可得方程有兩個不相等的實數根，且，根據一元二次方程根的分布可得結果.
【詳解】橢圓離心率，雙曲線離心率.
由題意得，.
∵函數兩個極值點分別為橢圓與雙曲線的離心率，
∴方程有兩個不相等的實數根，且，
∴，解得.
故答案為：.
題型03 三次函數的切線
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習）若過點可作曲線三條切線，則（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】設出切點，求導，得到切線方程，將代入切線方程，得到，故有三個實數根，令，求導，得到其單調性和極值點情況，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】設切點為，則，
，故，且切線方程為，
因為在切線上，故，
整理得，
因為過點可作曲線三條切線，
故有三個實數根，
設，則，
由得，或，
因為，由得或，此時單調遞增，
由得，此時單調遞減，
所以的極大值點為，極小值點為，
故要有三個實數根的充要條件為，
即，解得.
故選：D
【點睛】應用導數的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現在以下幾個方面：
(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導數；
(2) 已知斜率求切點即解方程；
(3) 已知切線過某點(不是切點) 求切點, 設出切點利用求解.
二、多選題
2．（24-25高三上·河北張家口·開學考試）已知函數，則（ ）
A．時，是的極大值點
B．若存在三個零點，則
C．當時，過點可以作的切線，有且只有一條
D．存在，使得
【答案】ACD
【分析】求出極大值點判斷A；有三個零點，求出的范圍判斷B；利用導數的幾何意義求解判斷C；取，求出函數圖象對稱中心計算判斷D.
【詳解】對于A，當時，，當或時，，
當時，，因此是的極大值點，A正確；
對于C，當時，，，設切點為，，
則切線方程為，由切線過點，得，此方程有唯一解，
因此過點可以作的切線，有且只有一條，C正確；
對于B，當時，在上取得極大值，在處取得極小值，
函數存在三個零點，則，解得，
當時，在R上單調遞增，最多一個零點；
當時，當或時，，當時，，
因此在處取得極大值，在上取得極小值，
則最多一個零點，于是存在三個零點，，B錯誤；
對于D，取，則，，
令，
則，，，
因此當時，，D正確.
故選：ACD
3．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）已知函數，則（ ）
A．時，若有3個零點，則實數的取值范圍是
B．時，過可作函數的切線有兩條
C．若直線與曲線有3個不同的交點，，，且，則
D．若存在極值點，且，其中，則
【答案】AD
【分析】求導后分析函數的單調性，利用極大值大于零，極小值小于零可得A正確；設切點，由導數的意義求出斜率，再由點斜式得到直線方程，然后由點在切線上代入解方程，由根的個數可得B錯誤；再次構造函數，從而求出對稱中心點即可得C錯誤；根據函數存在極值點，再結合令，求出即可得D正確；
【詳解】對于A，當時，，，
令，解得，
所以在上為單調遞增函數，在上為單調遞減函數，
若有3個零點，則極大值，極小值，
所以實數的取值范圍是，故A正確；
對于B，當時，，
設切點為，則，所以切線的斜率，
切線方程為，
又點在切線上，且，
代入可得，
整理可得，解得或，
所以應該有三條切線，故B錯誤；
對于C，令，則，得，則三次函數的對稱中心是.
當直線與曲線有3個不同的交點，，，且時，
所以點一定是對稱中心，所以，故C錯誤；
對于D：若存在極值點，則，，，
令，得，
因為，于是，
所以，
化簡得：，
因為，故，于是，即，故D正確；
故選：AD.
4．（24-25高三上·浙江·開學考試）三次函數敘述正確的是（ ）
A．函數可能只有一個極值點
B．當時，函數的圖象關于點中心對稱
C．當時，過點的切線可能有一條或者兩條
D．當時，在點處的切線與函數的圖象有且僅有兩個交點
【答案】BD
【分析】求導，令，利用結合二次函數的圖象可判斷A；利用是奇函數，可判斷B；設切點，切線方程為，結合已知可得，求解可判斷C；在點處的切線為，與曲線方程聯立方程求解可判斷D.
【詳解】對于A選項：，令，
即，
當時，方程有兩個不同根，有兩個極值點；
當時，無個極值點，故A錯誤；
對于B選項：，又是奇函數，關于點對稱，
所以函數的圖象關于點中心對稱，故B正確；
對于C選項：設切點，則切線方程為，
因為過點，所以，
即，
整理得，所以，或，由于，
則兩根相等，即只有一個切點，即只有一條切線，故C錯誤；
對于D選項：在點處的切線為，
與曲線聯立方程組化簡得，，
所以，或，由于，則方程組有兩個不同解，
即有兩個不同交點，故D正確.
故選：BD.
三、填空題
5．（23-24高三上·四川內江·期末）已知函數，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】設出切點坐標，利用導數的幾何意義求出切線方程，將問題轉化為方程有三個實數根的問題，再利用導函研究函數的極值求解作答.
【詳解】設過點作曲線的切線的切點坐標為，
由求導得：，則切線斜率，
切線方程為，
于是，整理得，
令，求導得，
由，得或，由，得，
因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，函數取得極大值，當時，函數取得極小值，
因為過點作曲線的切線有三條，則方程有3個不等實根，
即函數有3個零點，由三次函數的性質知，，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
題型04 三次函數的對稱性
【解題規律·提分快招】
一、三次函數的韋達定理 設的三個零點分別為，則 (1) (2) (3) (4) 二、三次函數的對稱性 結論1 三次函數的圖象關于點中心對稱 結論2 已知三次函數中心對稱點的橫坐標為，兩個極值點分別為，則 結論3 若圖像關于點對稱，則圖像關于軸對稱 點對稱函數的導數是軸對稱函數，軸對稱函數的導數是點對稱函數 奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數
【典例訓練】
一、多選題
1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【分析】求出導函數，利用導函數的符號及極值的概念判斷A，根據單調性及極值的符號判斷B，先利用奇函數定義求得的對稱中心，進而利用平移法求得的對稱中心判斷C，根據導數的幾何意義求得切點坐標，進而求解切線方程判斷D.
【詳解】由題意，，令，得，
令，得或，令，得；
所以在上單調遞減，在，上單調遞增，
所以是極值點，故A正確；
因為，，
所以函數在上有一個零點，
當時，，即函數在上無零點，
綜上所述，函數有一個零點，故B錯誤；
令，該函數的定義域為R，，
則是奇函數，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位長度得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，當切點為時，
切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤．
故選：AC
2．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）設函數，則（ ）
A．有三個零點 B．是的極小值點
C．的圖象關于點對稱 D．當時，
【答案】BCD
【分析】由函數的零點定義，即可判斷A；利用導數研究函數的單調性，即可判斷B；利用函數對稱性的定義，可判斷C；利用函數的單調性，即可判斷D.
【詳解】對于A，令，解得或，
所以有兩個零點，故A錯誤；
對于B，，
令，解得或，
當或時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以是的極小值點，故B正確；
對于C，因為
，
即，
則的圖象關于點對稱，故C正確；
對于D，由對于A的分析可知，當時，單調遞增，
則當時，單調遞增，
又當時，，所以，故D正確.
故選：BCD.
3．（24-25高三上·陜西漢中·階段練習）設，函數，則下列說法正確的有（ ）
A．當時，函數為增函數 B．點為函數圖象的對稱中心
C．存在a，使得函數有且僅有一個極值點 D．函數至少有一個零點
【答案】BD
【分析】根據可判斷B，利用導函數的性質與圖象，結合零點存在性定理可判斷ACD.
【詳解】由題意，，，
因為對，有，
所以點為函數圖象的對稱中心，故B正確；
函數的導函數，，
①當時，恒成立，此時函數是上的減函數，
則函數沒有極值點，又，，
所以由零點存在性定理可知，此時函數有一個零點；
②當時，，則方程有唯一解，
當時，，當時，，所以函數是上的減函數，
則函數沒有極值點，又，，
所以由零點存在性定理可知，此時函數有一個零點；
③當時，由，得，即，
因為，所以方程有兩個不相等的根，不妨設，，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
此時，函數有兩個極值點，
又時，，時，，
所以由零點存在性定理可知，此時函數至少有一個零點；
綜上所述，當時，函數為減函數，故A錯誤，
當時，函數沒有極值點，且有一個零點，當時，函數有兩個極值點，且至少有一個零點，故C錯誤，D正確；
故選：BD.
4．（24-25高三上·廣西南寧·階段練習）函數，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，函數只有一個零點
B．若函數的對稱中心為，則
C．若函數在上為減函數，則
D．當時，設的三個零點分別為，，曲線在點，，處的切線斜率分別記為，，，則
【答案】ABD
【分析】利用導數研究函數的單調性與極值可判定A；利用函數對稱性的充要條件可判定B；利用函數單調性判定導函數的符號，參變分離計算參數可判定C；利用零點將函數式變形，通過導數計算斜率之間的關系，化簡計算即可.
【詳解】對于A，時，，
令，令，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
則的極大值為，極小值，
又，即函數只有一個零點，在區間內，故A正確；
對于B，若函數的對稱中心為，
則有
，
即，所以，故B正確；
對于C，可知，若函數在上為減函數，
則有在上恒成立，
分離參數得在上恒成立，
結合對勾函數的性質可知：，
故，故C錯誤；
對于D，當時，，
令，令，
即在上單調遞增，在上單調遞減，
則的極大值為，極小值，
又，
即函數有一個零點，分別在區間內，
則有，
故，
所以，
，
則
，故D正確.
故選：ABD
【點睛】思路點睛：對于函數零點個數的判定可通過研究其單調性與極值、最值結合圖形分析；對于三次函數的對稱性，除了利用對稱性的充要條件待定系數計算，也可以利用二階導函數的零點計算；已知函數的單調區間可利用導數的符合化為恒成立問題參變分離計算；對于D項，利用零點變形函數式，再求導，轉化三個零點對應切線斜率之間的關系是關鍵.
二、解答題
5．（24-25高三上·遼寧·階段練習）設函數，其中是常數．
(1)討論的單調性；
(2)若是函數的極值點，證明：函數的圖象關于點成中心對稱．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）含參的單調性討論問題，求導后分，，討論即可；
（2）先利用函數的極值點求出函數的表達式，再求出點的坐標，然后驗證即可；
【詳解】（1），
令得，
若，則，
所以當或時單調遞增，
當時單調遞減；
若，則（當且僅當時取得等號），在上單調遞增；
若，則，
所以當或時單調遞增，
當時，單調遞減．
綜上，若，則當時，單調遞增，當時，單調遞減；若，則在上單調遞增；若，則當時，單調遞增，當時，單調遞減．
（2）證明：，依題意是方程的根，
所以，解得，
又當時，方程有兩個不相等的根和，
所以當時，，當時，，
所以是的極大值點，符合題意，
故，
所以，
因為
，
所以函數的圖象關于點成中心對稱．
一、單選題
1．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數，若對任意，都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】問題等價于在單調遞增，根據分段函數在定義域內單調遞增的等價條件求解即可.
【詳解】解：設.
由對任意，都有，
即，也就是，
所以在單調遞增.
當時，單調遞增，
所以，所以；
當時，單調遞增，
所以恒成立，即恒成立，
又因為，所以，
所以只需即可，
所以或，
所以.
在單調遞增，
還應該滿足，
即或，又因為，
所以.
故選：A
2．（24-25高三上·四川·期中）已知實數a滿足，則函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用導數研究函數的單調性且，，再利用指數函數、一次函數的性質確定參數的范圍，結合零點存在性定理判斷零點個數.
【詳解】由題設，易知或時，，時，，
所以在上遞增，在上遞減，且，，
由，即，而在R上遞增，在R上遞減，
顯然，，故，
所以，又趨向時趨向，趨向時趨向，
綜上，共有3個零點.
故選：C
3．（24-25高三上·湖南·階段練習）已知函數，若的圖象上存在兩點，，使得的圖象在，處的切線互相垂直，且過點只能作1條切線與的圖象相切，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題設得到，設過點的直線與相切于點，利用導數的幾何意義及過兩點直線的斜率得到，構造函數，利用導數與函數的單調性間的關系，求出單調區間，再結合的圖象與題設條件，即可求出結果.
【詳解】設，，因為，所以，
由題有有解，
又，所以，即，
設過點的直線與相切于點，
則有，整理得到，
令，則，
由，得到或，由，得到，
即的單調遞增區間為，，遞減區間為，
又當時，，當時，，
當時，，當時，，
的圖象如圖，又過點只能作1條切線與的圖象相切，
所以或，又，所以或，

故選：C.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于，通過設過點的直線與相切于點，根據題設得到，從而將問題轉化成只有一解，構造函數，利用導數求出函數的單調區間，進而得出函數圖象，數形結合，即可解決問題.
二、多選題
4．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）已知函數的導函數為，且，則（ ）
A．點是曲線的對稱中心 B．函數有三個零點
C．函數只有一個極值點 D．當時，
【答案】ACD
【分析】選項A根據是奇函數，圖象關于點對稱可判斷；選項B根據導數求得單調性和極值可判斷；選項C根據導數判斷函數的單調性進而可得；選項D先構造函數利用單調性判斷，進而利用的單調性可得.
【詳解】選項A：因為是奇函數，圖象關于點對稱，
所以的圖象關于點對稱，A正確；
選項B：因為，由解得或，解得，
所以在區間單調遞增，單調遞減，單調遞增，
且，，，所以有兩個零點，B錯誤；
選項C：因為，所以在區間單調遞減，單調遞增，
即只有一個極值點，C正確；
設，，
由解得，解得，
所以在區間單調遞減，單調遞增，
，所以，
因為在區間單調遞增，所以由，
得，D正確，
故選：ACD．
5．（24-25高三上·湖南·階段練習）已知函數，則（ ）
A．的值域為
B．圖象的對稱中心為
C．當時，在區間內單調遞減
D．當時，有兩個極值點
【答案】BD
【分析】利用一次函數、三次函數的性質結合分類討論思想可判定A，利用函數的奇偶性判定B，利用導數研究函數的單調性結合特殊值法排除C，利用極值點的定義可判定D.
【詳解】對于A：當至少一個不為0，則為三次或者一次函數，值域均為；
當均為0時，值域為，錯誤；
對于B：函數滿足，
可知為奇函數，其圖象關于中心對稱，
所以的圖象為的圖象向上移動兩個單位后得到的，
即關于中心對稱，正確；
對于C：，當時，取，
當時，在區間上單調遞增，錯誤；
對于D：，當時，有兩個不相等的實數根，
所以函數有兩個極值點，正確.
故選：BD.
6．（24-25高三上·廣西·期中）已知函數，則（ ）
A．若，則有三個零點 B．若，則函數存在個極值點
C．在單調遞減，則 D．若在恒成立，則
【答案】ABD
【分析】利用導函數判斷函數單調區間，從而得到極值點，得到函數大致圖像就可以判斷函數零點問題。函數在某個區
間內恒成立問題可以通過分離參數的方法得到對應函數，利用導函數求函數最值，從而判斷參數的取值范圍.
【詳解】對于選項A：若，，，由，得：，
當時，，得：在上單調遞減；
當和時，，得：在和上單調遞增；
所以函數有極大值，有極小值，
所以三次函數有三個零點，故A選項正確；
對于選項B，若，，
由，得有兩個解，
當和時，，
在和上單調遞增；
當時，，
在上單調遞減，
所以存在兩個極值點，故B選項正確；
對于選項C，由題意可知：是解集的子集，
當時，顯然恒成立；
當時，，由于，可得：，即；
綜上可得：，故C選項錯誤；
對于選項D，當時，恒成立，
當，令，則，
令（），
，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
故，則；
當，令，則，
令（），
，
當時，，單調遞增；
所以，則；
綜上所述：若在恒成立，則，故D選項正確.
故選：ABD
7．（24-25高三上·江西·階段練習）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．若是的極小值點，則在上單調遞減
B．若是的極大值點，則且
C．若，且的極小值大于0，則的取值范圍為
D．若，且在上的值域為，則的取值范圍為
【答案】BCD
【分析】根據三次函數的圖象性質，結合極值點的定義即可求解A，根據，即可結合極值點定義求解吧，根據即可得方程的一個零點為0，結合極值，即可分類求解C，利用導數，即可求解D.
【詳解】,若是的極小值點,則，
故有兩個不相等的實數根，因此函數既有極大值也有極小值，
故由三次函數的圖象可知，若是的極小值點，則極大值點在的左側，
在上不單調，A錯誤.
，若是的極大值點，則，
所以.
若沒有極值點.的解為.
因為是的極大值點，所以，即B正確.
若，則.
因為的極小值大于0，所以只有一個零點，且的極大值點與極小值點均大于0，
所以方程無實數根，且方程的2個實數根均大于0，
所以解得，C正確.
若，則.
令，若，即單調遞增，符合題意.
由，解得或，
此時的2個解為.
當時，，所以在上單調遞減，
即當，時，，不符合題意.
當時，，
所以在上的最大值為，且，不符合題意.
綜上，若，且在上的值域為，則的取值范圍為，D正確，
故選：BCD
8．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學考試）已知函數，其中實數，則下列結論正確的是（ ）
A．在上單調遞增
B．當有且僅有3個零點時，的取值范圍是
C．若直線與曲線有3個不同的交點，且，則
D．當時，過點可以作曲線的3條切線
【答案】BCD
【分析】選項A根據導函數及可判斷單調性；選項B根據極大值極小值可得；選項C由三次函數對稱中心可得；選項D，先求過點的切線方程，將切線個數轉化為與圖象交點個數，進而可得.
【詳解】選項A：由題意可得，
令解得或，
因為，所以令解得或，令解得，
故在區間或上單調遞增，在上單調遞減，故A錯誤，
選項B：要使有且僅有3個零點時，只需即，解得，故B正確；
選項C：若直線與曲線有3個不同的交點，且，
則點是三次函數的對稱中心，
設，則，
令，得，故的對稱中心為，，故C正確；
選項D：，設切點為，
所以在點處的切線方程為：，
又因為切線過點，所以，
解得，
令，
過點可以作曲線的切線條數可轉化為與圖象交點個數，
，
因為，所以得或，得，
則在，上單調遞增，在上單調遞減，
且，，圖象如圖所示，
所以當時，與圖象有3個交點，
即過點可以作曲線的3條切線，故D正確，
故選：BCD
9．（24-25高三上·江西·階段練習）若存在實數b使得方程有四個不等的實根，則mn的值可能為（ ）
A． B．2025 C．0 D．
【答案】AD
【分析】將問題轉化為至少存在三個變號零點，利用導數研究其單調性，并討論參數符號判斷變號零點個數，即可確定參數符號，進而得答案.
【詳解】令，則，
令，且該函數至少存在三個變號零點，且，
當時，
在上，，即遞增，
在上，，即遞減，
若，則，知至多有一個變號零點；
故；
當時，
在上，，即遞增，
在上，，即遞減，
若，則，知至多有一個變號零點；
故；
當時，，即在定義域上遞增，
此時，至多有一個變號零點，不符合題意；
綜上，只能為負數.
故選：AD
【點睛】關鍵點點睛：問題化為至少存在三個變號零點，對應參數的符號即可.
10．（24-25高三上·江西贛州·階段練習）若函數有三個零點，則下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．若成等差數列，則
D．若成等比數列，則
【答案】BC
【分析】A項由零點個數可知單調區間至少三個，求導函數，轉化為二次函數判別式求解可得；B項利用三次函數三根式表達形式，求導后賦值通分化簡可得；C項將三根式展開，利用對應系數相等建立根與系數的關系，化簡運算即可；D項由根與系數的關系消元轉化，用分別表示即可判斷.
【詳解】A項，由題意得有三個零點，
則至少有三個單調區間，故有兩個不等實根，
所以，解得，故A錯誤；
B項，由題意可知，
則，
，
同理
，故B正確；
C項，
，
若成等差數列，則，
則，，則，
所以，即，故C正確；
D項，若成等比數列，則，，
故，，
則，由，可知，故D錯誤．
故選：BC
【點睛】關鍵點點睛：解決此題的關鍵在于三次函數一般式與三根式兩種不同表達式的應用.問題解決中要注意二者的等量關系應用，探索根與系數的關系，如CD項的處理；再就是要注意不同形式的選擇使用，如B項中三元并列結構式的證明，我們可以選擇三根式形式進行運算，使問題解決清晰簡捷.
三、解答題
11．（24-25高三上·山東濟寧·階段練習）已知函數.
(1)試確定函數的極大值與1的大小關系，并說明理由；
(2)若函數有3個零點，求實數的取值范圍.
【答案】(1)函數的極大值大于1，理由見解析；
(2).
【分析】（1）利用導數研究的單調性，進而確定其極大值，結合單調性與比較大小即可；
（2）根據（1）所得單調性，只需保證極小值即可求參數范圍.
【詳解】（1）函數的極大值大于1，理由如下：
由題設，令，解得，
當或時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以時取得極大值，由單調性知，
所以函數的極大值大于1.
（2）由（1）知，當時有極大值，且極大值為，
因為，且當時有極小值，
要使函數有3個零點，應滿足，即，解得，
所以實數的取值范圍為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題03 三次函數的圖像與性質
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題型01 三次函數的零點 1
題型02 三次函數的極值、極值點 2
題型03 三次函數的切線 4
題型04 三次函數的對稱性 5
題型01 三次函數的零點
【解題規律·提分快招】
一、三次函數概念 定義：形如叫做三次函數 ，把叫做三次函數導函數的判別式 當時，令，記兩根為 二、三次函數的零點個數 若三次函數存在極值時，其圖像、零點、極值的關系如下： 性質三次函數圖像說明零點個數三個 兩個極值異與 圖像與軸有三個交點兩個 有一個極值為0 圖像與軸有兩個交點 存在極值時一個 不存在極值時， 函數單調，與軸有一個交點
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·遼寧·期中）已知函數的三個零點分別為，，，若函數滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（24-25高三上·遼寧沈陽·期中）已知函數，則（ ）
A． B．若，則的極大值點為
C．若至少有兩個零點，則 D．在區間上單調遞增
3．（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習）已知三次函數有三個不同的零點，函數也有三個零點，則（ ）
A．
B．若成等差數列，則
C．
D．
三、填空題
4．（24-25高三上·廣東·階段練習）已知若函數有兩個零點，則的取值范圍為
5．（0分）（24-25高三上·天津·階段練習）已知函數，若方程有且僅有兩不等實根，則實數的取值范圍是 .
題型02 三次函數的極值、極值點
【解題規律·提分快招】
一、三次函數的圖像及單調性 注：三次函數要么無極值點，要么有兩個，不可能只有一個！ 系數關系式的圖像的圖像的性質恒成立 在上遞增 無極值點恒成立 在上遞減 無極值增區間 減區間 有兩個極值點 極大值，極小值增區間 減區間 有兩個極值點 極大值，極小值
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·四川瀘州·一模）已知函數在處取得極大值，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高三上·吉林長春·階段練習）若是函數的極小值點，則的極大值為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·遼寧·階段練習）已知函數，是的導函數，則下列說法錯誤的是（ ）
A．“”是“為奇函數”的充要條件
B．“”是“為增函數”的充要條件
C．若不等式的解集為且，則的極小值為
D．若、是方程的兩個不同的根，且，則或
二、多選題
4．（24-25高三上·江西南昌·階段練習）已知函數，2為的極大值點，則下列結論正確的有（ ）
A．
B．若4為函數的極小值點，則
C．若在內有最小值，則的取值范圍是
D．若有三個互不相等的實數解，則的取值范圍是
5．（24-25高三上·江蘇·階段練習）已知三次函數，則（ ）
A．函數一定有兩個極值點 B．當時，
C．當時，的極小值為0 D．在區間上的值域為
三、填空題
6．（0分）（24-25高三上·四川攀枝花·階段練習）已知函數兩個極值點分別為橢圓與雙曲線的離心率，則實數的取值范圍是 .
題型03 三次函數的切線
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習）若過點可作曲線三條切線，則（ ）
A． B．
C．或 D．
二、多選題
2．（24-25高三上·河北張家口·開學考試）已知函數，則（ ）
A．時，是的極大值點
B．若存在三個零點，則
C．當時，過點可以作的切線，有且只有一條
D．存在，使得
3．（24-25高三上·廣東廣州·階段練習）已知函數，則（ ）
A．時，若有3個零點，則實數的取值范圍是
B．時，過可作函數的切線有兩條
C．若直線與曲線有3個不同的交點，，，且，則
D．若存在極值點，且，其中，則
4．（24-25高三上·浙江·開學考試）三次函數敘述正確的是（ ）
A．函數可能只有一個極值點
B．當時，函數的圖象關于點中心對稱
C．當時，過點的切線可能有一條或者兩條
D．當時，在點處的切線與函數的圖象有且僅有兩個交點
三、填空題
5．（23-24高三上·四川內江·期末）已知函數，若過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是 ．
題型04 三次函數的對稱性
【解題規律·提分快招】
一、三次函數的韋達定理 設的三個零點分別為，則 (1) (2) (3) (4) 二、三次函數的對稱性 結論1 三次函數的圖象關于點中心對稱 結論2 已知三次函數中心對稱點的橫坐標為，兩個極值點分別為，則 結論3 若圖像關于點對稱，則圖像關于軸對稱 點對稱函數的導數是軸對稱函數，軸對稱函數的導數是點對稱函數 奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數
【典例訓練】
一、多選題
1．（2024高三·全國·專題練習）（多選）已知函數，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
2．（24-25高三上·遼寧丹東·期中）設函數，則（ ）
A．有三個零點 B．是的極小值點
C．的圖象關于點對稱 D．當時，
3．（24-25高三上·陜西漢中·階段練習）設，函數，則下列說法正確的有（ ）
A．當時，函數為增函數 B．點為函數圖象的對稱中心
C．存在a，使得函數有且僅有一個極值點 D．函數至少有一個零點
4．（24-25高三上·廣西南寧·階段練習）函數，則下列結論正確的是（ ）
A．當時，函數只有一個零點
B．若函數的對稱中心為，則
C．若函數在上為減函數，則
D．當時，設的三個零點分別為，，曲線在點，，處的切線斜率分別記為，，，則
二、解答題
5．（24-25高三上·遼寧·階段練習）設函數，其中是常數．
(1)討論的單調性；
(2)若是函數的極值點，證明：函數的圖象關于點成中心對稱．
一、單選題
1．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數，若對任意，都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川·期中）已知實數a滿足，則函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25高三上·湖南·階段練習）已知函數，若的圖象上存在兩點，，使得的圖象在，處的切線互相垂直，且過點只能作1條切線與的圖象相切，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
4．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）已知函數的導函數為，且，則（ ）
A．點是曲線的對稱中心 B．函數有三個零點
C．函數只有一個極值點 D．當時，
5．（24-25高三上·湖南·階段練習）已知函數，則（ ）
A．的值域為
B．圖象的對稱中心為
C．當時，在區間內單調遞減
D．當時，有兩個極值點
6．（24-25高三上·廣西·期中）已知函數，則（ ）
A．若，則有三個零點 B．若，則函數存在個極值點
C．在單調遞減，則 D．若在恒成立，則
7．（24-25高三上·江西·階段練習）已知函數，下列結論正確的是（ ）
A．若是的極小值點，則在上單調遞減
B．若是的極大值點，則且
C．若，且的極小值大于0，則的取值范圍為
D．若，且在上的值域為，則的取值范圍為
8．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·開學考試）已知函數，其中實數，則下列結論正確的是（ ）
A．在上單調遞增
B．當有且僅有3個零點時，的取值范圍是
C．若直線與曲線有3個不同的交點，且，則
D．當時，過點可以作曲線的3條切線
9．（24-25高三上·江西·階段練習）若存在實數b使得方程有四個不等的實根，則mn的值可能為（ ）
A． B．2025 C．0 D．
10．（24-25高三上·江西贛州·階段練習）若函數有三個零點，則下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．若成等差數列，則
D．若成等比數列，則
三、解答題
11．（24-25高三上·山東濟寧·階段練習）已知函數.
(1)試確定函數的極大值與1的大小關系，并說明理由；
(2)若函數有3個零點，求實數的取值范圍.
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