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專題01 柯西不等式與權方和不等式
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題型01 二維形式下的柯西不等式 1
題型02 三維形式下的柯西不等式 2
題型03 權方和不等式 3
題型01 二維形式下的柯西不等式
【解題規律·提分快招】
1.二維形式的柯西不等式 2.二維形式的柯西不等式的變式
【典例訓練】
一、單選題
1．柯西不等式是數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的一個重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,當且僅當時取等號.現已知,,,則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．若實數a，b，c，d滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對
3．（2024·浙江·一模）若，則的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
二、多選題
4．（2024高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（23-24高三上·安徽·階段練習）為提高學生的數學核心素養和學習數學的興趣，學校在高一年級開設了《數學探究與發現》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學生甲運用平面向量的數量積知識證明了著名的柯西不等式（二維）；當向量時，有，即，當且僅當時等號成立；學生乙從這個結論出發．作一個代數變換，得到了一個新不等式：，當且僅當時等號成立，并取名為“類柯西不等式”．根據前面的結論可知：當時，的最小值是 ．
題型02 三維形式下的柯西不等式
【解題規律·提分快招】
柯西不等式的擴展：，當且僅當時，等號成立. 注：有條件要用；沒有條件，創造條件也要用.比如，對，并不是不等式的形狀，但變成就可以用柯西不等式了.
【典例訓練】
一、填空題
1．（2024高三下·浙江·階段練習）若，則的最小值為 ．
2．（2024高三下·浙江·階段練習）已知，，則的最小值為 .
3．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）存在正數使得不等式成立，則的最大值是 .
4．已知，且，實數滿足，且，則的最小值是 ．
二、解答題
5．（24-25高三上·遼寧·階段練習）我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：，，當且僅當時，等號成立.我們從不等式出發，可以得到一個非常優美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式為：，且，，當且僅當時，等號成立.
(1)若，求的最小值；
(2)求的最大值；
(3)若，，不等式恒成立，求m的取值范圍.
6．（23-24高三下·黑龍江佳木斯·期中）在中，，，對應的邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若為邊中點，，求的最大值；
(3)奧古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法國著名數學家，柯西在數學領域有非常高的造詣，很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.現在，在（1）的條件下，若，P是內一點，過P作AB，BC，AC垂線，垂足分別為D，E，F，借助于三維分式型柯西不等式：，，，，當且僅當時等號成立.求的最小值.
題型03 權方和不等式
【解題規律·提分快招】
權方和不等式：若，則，當且僅當時，等號成立. 證明1： 要證 只需證 即證 故只要證 當且僅當時，等號成立 即，當且僅當時，等號成立. 證明2：對柯西不等式變形，易得在時，就有了當時，等號成立． 推廣1：當時，等號成立． 推廣:2：若，則，當時，等號成立. 推廣3：若，則，當時，等號成立.
【典例訓練】
一、填空題
1．已知正實數、且滿足，求的最小值 .
2．（2024高三·全國·專題練習）的最小值為 .
3．（2024·河南信陽·模擬預測）已知正數滿足，則的最小值為 .
一、單選題
1．實數x、y滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
2．若實數，則的最小值為（ ）
A．14 B． C．29 D．
3．已知，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．設非負實數，，滿足，則的（ ）
A．最小值為 B．最小值為
C．最大值為 D．最大值為
5．（24-25高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
6．已知正實數、且滿足，求的最小值 .
7．（2024高三·全國·專題練習）已知，求的最小值為
8．（2024高三·全國·專題練習）已知a，b，c為正實數，且滿足，則的最小值為 .
9．（23-24高三下·全國·強基計劃）已知，則的取值范圍是 ．
四、解答題
10．（23-24高三下·山東·期中）在中，對應的邊分別為.
(1)求；
(2)奧古斯丁 路易斯 柯西，法國著名數學家.柯西在數學領域有非常高的造詣.很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式 柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.
①用向量證明二維柯西不等式：；
②已知三維分式型柯西不等式：，當且僅當時等號成立.若是內一點，過作的垂線，垂足分別為，求的最小值.
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題型01 二維形式下的柯西不等式 1
題型02 三維形式下的柯西不等式 4
題型03 權方和不等式 10
題型01 二維形式下的柯西不等式
【解題規律·提分快招】
1.二維形式的柯西不等式 2.二維形式的柯西不等式的變式
【典例訓練】
一、單選題
1．柯西不等式是數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的一個重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,當且僅當時取等號.現已知,,,則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據,令代入公式,結合已知條件,,即可得到結果.
【詳解】因為,
令,又,,,
所以,
當且僅當即時等號成立,
即,
故選:D.
2．若實數a，b，c，d滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對
【答案】B
【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.
【詳解】根據題意，有，
而，當且僅從時等號成立.
同理，當且僅當式等號成立，
記題中代數式為M，于是
，
等號當時取得，因此所求代數式的最小值為2．
故選：B.
3．（2024·浙江·一模）若，則的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右邊利用柯西不等式進行放縮，得到關于的一元二次不等式進行求解.
【詳解】由已知整理得
，
由柯西不等式得
，
當時取等號，
所以，即，
解得，所以的最小值為.
故選：C．
二、多選題
4．（2024高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】將不等式變為，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，進而構造不等式求得的取值范圍，從而得到結果.
【詳解】由得：，
（當且僅當，即時取等號），
（當且僅當時取等號），
即當時，，
，解得：，可能的取值為.
故選：BCD.
三、填空題
5．（23-24高三上·安徽·階段練習）為提高學生的數學核心素養和學習數學的興趣，學校在高一年級開設了《數學探究與發現》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學生甲運用平面向量的數量積知識證明了著名的柯西不等式（二維）；當向量時，有，即，當且僅當時等號成立；學生乙從這個結論出發．作一個代數變換，得到了一個新不等式：，當且僅當時等號成立，并取名為“類柯西不等式”．根據前面的結論可知：當時，的最小值是 ．
【答案】
【分析】根據不等式構造不等式左側求解即可.
【詳解】由題意得，
則
，
當且僅當，即時，等號成立，
即，則，
所以，最小值為，此時．
故答案為：.
題型02 三維形式下的柯西不等式
【解題規律·提分快招】
柯西不等式的擴展：，當且僅當時，等號成立. 注：有條件要用；沒有條件，創造條件也要用.比如，對，并不是不等式的形狀，但變成就可以用柯西不等式了.
【典例訓練】
一、填空題
1．（2024高三下·浙江·階段練習）若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用柯西不等式可直接求得結果.
【詳解】由柯西不等式得：，
即，（當且僅當時取等號），
的最小值為.
故答案為：.
2．2024高三下·浙江·階段練習）已知，，則的最小值為 .
【答案】9
【分析】根據柯西不等式求解最小值即可.
【詳解】∵
∴,當且僅當時等號成立，即，
∵
，當且僅當時等號成立，可取
故答案為：9
3．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）存在正數使得不等式成立，則的最大值是 .
【答案】3
【分析】運用柯西不等式計算即可.
【詳解】解:由柯西不等式可知
由能成立.
故答案為：3.
4．已知，且，實數滿足，且，則的最小值是 ．
【答案】/0.25
【分析】在平面直角坐標系中，令，由此求出與的坐標，再用x，y表示出，然后借助柯西不等式求解作答.
【詳解】在平面直角坐標系中，令，設，則，
，解得，則，依題意，不妨令，，
而，則，有
，
當且僅當，即時取“=”，而，則，當且僅當時取“=”，
因此，，當且僅當且，即且時取“=”，
所以當，，時，取得最小值.
故答案為：
【點睛】思路點睛：已知幾個向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標系中，借助向量的坐標表示，利用代數方法解決.
二、解答題
5．（24-25高三上·遼寧·階段練習）我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：，，當且僅當時，等號成立.我們從不等式出發，可以得到一個非常優美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式為：，且，，當且僅當時，等號成立.
(1)若，求的最小值；
(2)求的最大值；
(3)若，，不等式恒成立，求m的取值范圍.
【答案】(1)3
(2)9
(3)
【分析】（1）構造應用柯西不等式計算即可；
（2）構造應用柯西不等式計算即可；
（3）先化簡得出，再構造應用柯西不等式結合基本不等式計算即可求解；
【詳解】（1）因為柯西不等式可得，
又因為，
所以，即得.
當且僅當取最小值3；
（2）因為柯西不等式可得，
又因為，
所以，
即得，化簡得，
當且僅當取最大值9；
（3）因為，
所以，所以，
所以，
因為柯西不等式可得，
又因為，，所以，令，
所以，
即得，當且僅當取最小值24；
所以m的取值范圍是.
【點睛】關鍵點點睛：化簡構造柯西不等式結合基本不等式是解題的關鍵點.
6．（23-24高三下·黑龍江佳木斯·期中）在中，，，對應的邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若為邊中點，，求的最大值；
(3)奧古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），.法國著名數學家，柯西在數學領域有非常高的造詣，很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.現在，在（1）的條件下，若，P是內一點，過P作AB，BC，AC垂線，垂足分別為D，E，F，借助于三維分式型柯西不等式：，，，，當且僅當時等號成立.求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先用正弦定理角化邊，然后結合余弦定理可以解出.
（2）利用余弦定理及基本不等式求出，再由，將兩邊平方，根據數量積的運算律求出的最大值；
（3）將構造出符合三維分式型柯西不等式左邊的形式，然后用三維分式型柯西不等式結合余弦定理可解.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得，
由余弦定理，
所以，即，
若，等式不成立，則，可得，
因為，所以.
（2）
由余弦定理，即，所以，當且僅當時取等號，
所以，當且僅當時取等號，
因為為邊中點，所以，
所以
，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最大值為.
（3）.
又，
所以.
由三維分式型柯西不等式有.
當且僅當即時等號成立.
由余弦定理得，
所以即，則.
令，則
因為，解得，當且僅當時等號成立.
所以.則.
令，則在上遞減，
當即時，有最大值，此時有最小值.
題型03 權方和不等式
【解題規律·提分快招】
權方和不等式：若，則，當且僅當時，等號成立. 證明1： 要證 只需證 即證 故只要證 當且僅當時，等號成立 即，當且僅當時，等號成立. 證明2：對柯西不等式變形，易得在時，就有了當時，等號成立． 推廣1：當時，等號成立． 推廣:2：若，則，當時，等號成立. 推廣3：若，則，當時，等號成立.
【典例訓練】
一、填空題
1．已知正實數、且滿足，求的最小值 .
【答案】
【分析】設，，，由權方和不等式計算可得.
【詳解】設，，，
由權方和不等式，可知，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
2．（2024高三·全國·專題練習）的最小值為 .
【答案】/
【分析】，進而利用權方和不等式可求最小值.
【詳解】
，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
3．（2024·河南信陽·模擬預測）已知正數滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據分離常量法可得，結合權方和不等式計算可得，即，即可求解.
【詳解】，
，
所以，
當且僅當即時等號成立，
所以，得，
所以或（舍去），
即的最小值為.
故答案為：
一、單選題
1．實數x、y滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】由得，運用柯西不等式有，進而得解.
【詳解】解：實數x、y滿足，
，
，
，
當且僅當時取等號，
的最小值是.
故選：A.
【點睛】考查柯西不等式的應用，基礎題.
2．若實數，則的最小值為（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【詳解】根據柯西不等式：，即，
當且僅當，，時等號成立.
故選：B.
【點睛】本題考查了柯西不等式，意在考查學生對于柯西不等式的應用能力.
3．已知，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依題意得，則，進而由柯西不等式可得最大值.
【詳解】由可得，即.
由可知，所以.
由，可得，
由柯西不等式得
，
所以，當即時，取等號.
所以的最大值為.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：在得出之后，關鍵在于根據題目特點應用柯西不等式求最大值.
二、多選題
4．設非負實數，，滿足，則的（ ）
A．最小值為 B．最小值為
C．最大值為 D．最大值為
【答案】AC
【詳解】利用柯西不等式可取最值.
【分析】由柯西不等式可知：
，
故即，
當且僅當時，取到最大值．
的最小值為，證明如下．
根據題意，，
于是，解得，
于是當時，取得最小值．
故選：AC
5．（24-25高三上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，則的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】將不等式變為，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，進而構造不等式求得的取值范圍，從而得到結果.
【詳解】由得：，
（當且僅當，即時取等號），
（當且僅當時取等號），
即當時，，
，解得：，可能的取值為.
故選：BCD.
三、填空題
6．已知正實數、且滿足，求的最小值 .
【答案】
【分析】設，，，由權方和不等式計算可得.
【詳解】設，，，
由權方和不等式，可知，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
7．（2024高三·全國·專題練習）已知，求的最小值為
【答案】
【分析】應用權方和不等式即可求解.
【詳解】
當且僅當時取等號
故答案為：60
8．（2024高三·全國·專題練習）已知a，b，c為正實數，且滿足，則的最小值為 .
【答案】2
【分析】直接根據權和不等式即可得結果.
【詳解】由權方和不等式，可知
==，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值為2.
故答案為：2.
9．（23-24高三下·全國·強基計劃）已知，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】先根據柯西不等式可得，即可得，根據不等式性質結合兩點間距離公式可得，即可得結果.
【詳解】因為，
則，且，可得，
當且僅當，，時，等號成立；
又因為，則，
可得．
且，
設點和標準單位圓面內點，則，
又因為，可得，
則，
當且僅當時，等號成立；
綜上所述：所求的取值范圍是．
故答案為：.
四、解答題
10．（23-24高三下·山東·期中）在中，對應的邊分別為.
(1)求；
(2)奧古斯丁 路易斯 柯西，法國著名數學家.柯西在數學領域有非常高的造詣.很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式 柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.
①用向量證明二維柯西不等式：；
②已知三維分式型柯西不等式：，當且僅當時等號成立.若是內一點，過作的垂線，垂足分別為，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②
【分析】（1）由正弦定理邊化角，利用三角恒等式化簡即可求值；
（2）①利用數量積的定義，得到，再利用數量積和模的坐標表示，即可證明結果；②根據條件及三角形面積公式，利用，得到，結合余弦定理，令，得到，再求出的范圍，即可求出結果.
【詳解】（1）在中，，
由正弦定理得，，
因為，所以，
所以，
所以，即，
因為，
所以，
因為，所以，
故，又，所以；
（2）①設，由，得，
從而，即；
②.
又，
.
由三維分式型柯西不等式有.
當且僅當即時等號成立.
由余弦定理得，
所以，即，
則，
令，則.
因為，得，當且僅當時等號成立，
所以，則，
令，則在上遞減，
當即時，有最大值，
此時有最小值（此時與可以同時取到）
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是仿照三維分式型柯西不等式的形式進行構造，找到所求要素與柯西不等式的內在聯系，再結合余弦定理和基本不等式等知識進行求解.
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