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專(zhuān)題17 概率與其他知識(shí)交匯問(wèn)題（含馬爾科夫鏈 ）
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題型01 概率與數(shù)列結(jié)合（馬爾科夫鏈） 1
題型02 概率與導(dǎo)數(shù)結(jié)合 4
題型03 概率與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合 7
題型01 概率與數(shù)列結(jié)合（馬爾科夫鏈）
【解題規(guī)律·提分快招】
一、基本原理 1、轉(zhuǎn)移概率：對(duì)于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率. 2、馬爾可夫鏈：若，即未來(lái)狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無(wú)關(guān). 無(wú)記憶性：下一個(gè)狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與更前面的狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系 高中階段考察的馬爾科夫鏈，其實(shí)很簡(jiǎn)單，找到初始狀態(tài)和遞推關(guān)系即可 3、完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個(gè)條件： （1）； （2）. 則稱(chēng)是的一個(gè)完備事件組，也稱(chēng)是的一個(gè)分割. 4、全概率公式： 設(shè)是一個(gè)完備事件組，則有 5、一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻時(shí)，位于點(diǎn)，下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個(gè)單位. 若記狀態(tài)表示：在時(shí)刻該點(diǎn)位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 進(jìn)一步，我們假設(shè)在與處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游走.于是，.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過(guò)程. 進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為，原地不動(dòng)，其概率為，向右平移一個(gè)單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得： 二、解題技巧 ①找到當(dāng)下?tīng)顟B(tài)下的“前一次事件”的所有可能性 ②結(jié)合對(duì)應(yīng)概率寫(xiě)出“前一次”狀態(tài)下所有可能性的數(shù)列遞推關(guān)系（一階遞推數(shù)列或二階遞推數(shù)列） ③利用數(shù)列遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）甲乙兩人輪流投擲骰子（正方體型，六個(gè)面分別標(biāo)記有1，2，3，4，5，6點(diǎn)），每人每次投擲兩顆，
(1)甲投擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率；
(2)甲乙各投擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)的概率；
(3)若第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.
2．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）馬爾科夫鏈因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈 馬爾科夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)無(wú)關(guān).馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有兩個(gè)盒子，各裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)紅球的概率為.
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值.
3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的40個(gè)小球，其中10個(gè)紅球，10個(gè)黃球，20個(gè)綠球，依次隨機(jī)抽取小球，每次只取1個(gè)小球，完成下列問(wèn)題：
(1)若取出的小球不再放回，
①求最后取完的小球是黃球的概率；
②求紅球比其余兩種顏色小球更早取完的概率；
③設(shè)隨機(jī)變量為最后一個(gè)紅球被取出時(shí)所需的取球次數(shù)，求；
(2)若取出的小球又放回袋中，直到取到紅球就停止取球，且最多取次球，設(shè)隨機(jī)變量為取球次數(shù)，證明：.
4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）在某公司組織的團(tuán)建活動(dòng)中，，，三個(gè)人進(jìn)行傳排球游戲，規(guī)定：甲將排球拋出，乙接住或自己接住為一次傳球，假設(shè)每次傳球都能成功.當(dāng)排球在手中時(shí)，傳給的概率為，傳給自己的概率也為；當(dāng)排球在手中時(shí)，傳給的概率為，傳給的概率為；當(dāng)排球在手中時(shí)，傳給，的概率均為.游戲開(kāi)始時(shí)，排球在手中，經(jīng)過(guò)次傳球后，設(shè)排球在手中的概率為，排球在手中的概率為.
(1)求，的值；
(2)經(jīng)過(guò)50次傳球后，排球在誰(shuí)手中的概率最大？請(qǐng)說(shuō)明理由.
5．（24-25高三上·浙江·期末）某籃球集訓(xùn)隊(duì)中甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球訓(xùn)練.假設(shè)當(dāng)球在甲手中時(shí)，甲將球傳給丙的概率為，否則甲將球傳給乙；當(dāng)球在乙手中時(shí)，乙將球傳給甲的概率為，否則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，丙將球傳給甲的概率為，否則丙將球傳給乙；初始時(shí)，球在甲手中.
(1)求傳球次后，球恰好在乙手中次的概率；
(2)次傳球后（），記球在丙手中的概率為.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②設(shè)，求證：.
6．（24-25高三上·江西·開(kāi)學(xué)考試）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只與第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，…次的狀態(tài)無(wú)關(guān)，即．已知甲盒中裝有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙盒中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒中各任取1個(gè)球交換放入對(duì)方的盒中，重復(fù)n次（）這樣的操作，記此時(shí)甲盒中白球的個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有2個(gè)白球的概率為，恰有1個(gè)白球的概率為．
(1)求和．
(2)證明：為等比數(shù)列．
(3)求的數(shù)學(xué)期望（用n表示）．
7．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）設(shè)，數(shù)對(duì)按如下方式生成：，拋擲一枚均勻的硬幣，當(dāng)硬幣的正面朝上時(shí)，若，則，否則；當(dāng)硬幣的反面朝上時(shí)，若，則，否則．拋擲n次硬幣后，記的概率為．
(1)寫(xiě)出的所有可能情況，并求；
(2)證明：是等比數(shù)列，并求；
(3)設(shè)拋擲n次硬幣后的期望為，求．
8．（2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)有窮整數(shù)列，，，，對(duì)正整數(shù)，若對(duì)于任意的，有窮數(shù)列中總存在，，，，自然數(shù)使得，則稱(chēng)該數(shù)列為1到連續(xù)可表數(shù)列.即1到中的每個(gè)數(shù)可由中的一個(gè)或連續(xù)若干項(xiàng)表示，而不可由中連續(xù)若干項(xiàng)表示.例如數(shù)列2，1，3則，，，，而，，，所以數(shù)列2，1，3是1到4連續(xù)可表數(shù)列.
(1)數(shù)列，，，，是否為1到5連續(xù)可表數(shù)列？若數(shù)列，，是一個(gè)1到連續(xù)可表數(shù)列，求的值.
(2)若有窮數(shù)列，，，其調(diào)整順序后為一個(gè)等比數(shù)列，則該數(shù)列稱(chēng)為準(zhǔn)等比整數(shù)列（等比數(shù)列本身也可看作準(zhǔn)等比數(shù)列），調(diào)整后的公比稱(chēng)為該數(shù)列公比.若準(zhǔn)等比整數(shù)列，，，為1到5連續(xù)可表數(shù)列，且公比為整數(shù)，求數(shù)列的公比的值.
(3)對(duì)正整數(shù)，，存在唯一的數(shù)列，，使得，，且滿(mǎn)足，，，，數(shù)列，，，稱(chēng)為正整數(shù)的進(jìn)制殘片.記事件“隨機(jī)挑選區(qū)間內(nèi)的整數(shù)（為大于等于2的正整數(shù)），該數(shù)的進(jìn)制殘片調(diào)整順序后能成為1到5連續(xù)可表數(shù)列”的概率為，求的表達(dá)式.
題型02 概率與導(dǎo)數(shù)結(jié)合
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）某學(xué)校高三年級(jí)組織舉辦了知識(shí)競(jìng)賽．選拔賽階段采用逐一答題的方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3道題則進(jìn)入初賽，累計(jì)答錯(cuò)3道題則被淘汰．初賽階段參賽者每?jī)扇艘唤M進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對(duì)方選手得0分，選手搶到試題但沒(méi)有回答正確得0分，對(duì)方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分?jǐn)?shù)相同，則同時(shí)進(jìn)入決賽）
(1)已知選拔賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，且回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求甲進(jìn)入初賽的概率；
(2)已知初賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，對(duì)手答對(duì)每道試題的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求初賽中甲的得分的分布列與期望；
(3)進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對(duì)3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且決賽中前3道試題每道試題被答對(duì)的概率都為，若甲4道試題全對(duì)的概率為，求甲能勝出的概率的最小值.
2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）一游戲規(guī)則如下：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左或者向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)了次.
(1)已知質(zhì)點(diǎn)每次向右移動(dòng)的概率為.
①當(dāng) 時(shí)，求質(zhì)點(diǎn)最終回到原點(diǎn)的概率；
②規(guī)定質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只要出現(xiàn)在原點(diǎn)左側(cè)，游戲就結(jié)束，否則游戲就繼續(xù)、直到移動(dòng)了次，分別求出當(dāng)和時(shí)質(zhì)點(diǎn)最終落在原點(diǎn)右側(cè)的概率并比較它們的大小
(2)現(xiàn)在規(guī)定游戲分為兩個(gè)階段：第一階段，質(zhì)點(diǎn)每次向右移動(dòng)的概率為、共移動(dòng)了3次、若質(zhì)點(diǎn)最終落在了原點(diǎn)左側(cè)，則結(jié)束游戲，且最終得分為0分. 若最終落在了原點(diǎn)右側(cè)、則通過(guò)第一階段，并進(jìn)入第二階段：質(zhì)點(diǎn)重新回到原點(diǎn)，每次向右移動(dòng)的概率為，并再次移動(dòng)了3次，若質(zhì)點(diǎn)最終落在了原點(diǎn)左側(cè)，則最終得分也為0分； 若最終落在了原點(diǎn)右側(cè)，則最終得分為質(zhì)點(diǎn)位于數(shù)軸上所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).
①請(qǐng)用含的式子表示該游戲得分的數(shù)學(xué)期望；
②若 則當(dāng)取何值的時(shí)候，該游戲得分的期望值最大？
3．（2025·陜西渭南·一模）第十五屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在廣東、香港、澳門(mén)三地舉辦．為了普及全運(yùn)知識(shí)．某中學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識(shí)闖關(guān)比賽．比賽分為初賽與復(fù)賽．初賽勝利后才能進(jìn)入復(fù)賽．初賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽．每次只派一個(gè)人．且每人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗．再派下一個(gè)人重新闖關(guān)：三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利．無(wú)需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加初賽．他們各自闖關(guān)成功的概率分別為．假定互不相等．且每人能否闖關(guān)成功相互獨(dú)立．
(1)若計(jì)劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān)．．求該小組初賽勝利的概率：
(2)已知．現(xiàn)有兩種初賽人員派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
設(shè)方案一和方案二派出人員數(shù)目分別為隨機(jī)變量．求．并比較它們的大小；
(3)初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽．復(fù)賽規(guī)定：?jiǎn)稳藚①悾總€(gè)人回答三道題．全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng)：答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng)：答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng)：全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽．該學(xué)生在復(fù)賽中前兩道題答對(duì)的概率均為．第三道題答對(duì)的概率為．若該學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)該學(xué)生獲得二等獎(jiǎng)的概率為．求的最小值．
4．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）湖南某高中在校園藝術(shù)節(jié)舉辦形式多樣的活動(dòng).
(1)抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫(xiě)有字母，3張寫(xiě)有字母，2張寫(xiě)有字母，抽獎(jiǎng)學(xué)生每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽到寫(xiě)有的卡片，則再抽1次，直至取到寫(xiě)有或卡片為止.抽到卡片送精美校園明信片一張，抽到卡片送文學(xué)社設(shè)計(jì)的精美信封一個(gè).甲同學(xué)想要明信片，請(qǐng)問(wèn)甲同學(xué)取到寫(xiě)有卡片的概率.
(2)領(lǐng)福袋活動(dòng)規(guī)則如下：每位同學(xué)都可以去文化長(zhǎng)廊領(lǐng)取自己最喜歡的福袋，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，長(zhǎng)廊上一共懸掛個(gè)福袋（每個(gè)福袋的大小不同），福袋出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，乙同學(xué)想要摘取最大的福袋，他準(zhǔn)備采用如下策略：不摘前個(gè)福袋，自第個(gè)開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的福袋都大時(shí)，就摘這個(gè)福袋，否則就摘最后一個(gè).設(shè)，記乙同學(xué)摘到最大的福袋概率為.
①若，求；
②當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.（取）
5．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）某學(xué)校為豐富學(xué)生活動(dòng)，積極開(kāi)展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概率為，前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為，前一局輸后下一局贏的概率為，如此重復(fù)進(jìn)行.記甲同學(xué)第局贏的概率為.
(1)求乙同學(xué)第2局贏的概率；
(2)求；
(3)若存在，使成立，求整數(shù)的最小值.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某研究團(tuán)隊(duì)需要研究成分S的性質(zhì)，以研制一種新藥.現(xiàn)有瓶待測(cè)試劑，這些試劑中的部分含有少量成分S，為了更方便的檢測(cè)出含有成分S的待測(cè)試劑，該團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)方案：
方案一：對(duì)這n瓶待測(cè)試劑進(jìn)行逐一檢測(cè)；
方案二：將這n瓶待測(cè)試劑分成k個(gè)小組（，），每個(gè)小組分別將該組的待測(cè)試劑混合后檢測(cè)一次，若未檢測(cè)出成分S，則不再進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出成分S，則對(duì)該小組的待測(cè)試劑進(jìn)行逐一檢測(cè).
已知每瓶待測(cè)試劑中含有成分S的概率均為p，設(shè)X是方案二這n瓶待測(cè)試劑的檢測(cè)次數(shù)，為方案二的檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
(1)記的最大值為E，求證：；
(2)能否認(rèn)為恒成立 說(shuō)明理由，并以此說(shuō)明方案二的合理性；
(3)給出一個(gè)能有效減少檢測(cè)次數(shù)的方案，說(shuō)明理由.
7．（2025·遼寧沈陽(yáng)·一模）泊松分布是一種統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)里常見(jiàn)的離散型分布，特別適合用于描述單位時(shí)間（或單位空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，例如：某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話(huà)交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車(chē)站臺(tái)的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)，一個(gè)產(chǎn)品上的缺陷數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等，因此，在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問(wèn)題中都占有重要的地位．若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布（記作），則其概率分布為，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，泊松分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似；當(dāng)時(shí)，泊松分布基本上就等于正態(tài)分布，此時(shí)可認(rèn)為．若，求的值（保留三位小數(shù)）；
(2)某公司制造微型芯片，次品率為，各芯片是否為次品相互獨(dú)立，以記產(chǎn)品中的次品數(shù)．
①若，求在個(gè)產(chǎn)品中至少有個(gè)次品的概率；
②若，求在個(gè)產(chǎn)品中至少有個(gè)次品的概率．通過(guò)比較計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律
(3)若，且，求的最大值（保留一位小數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：若，則一有，，；，，．
題型03 概率與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合
【典例訓(xùn)練】
一、解答題
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)研究初步得出檢測(cè)某種疾病的患病與否和某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有關(guān)，利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽(yáng)性（患病），小于或等于的人判定為陰性（未患病）.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率.
(1)隨機(jī)抽取男女各500人進(jìn)行檢驗(yàn)，采用臨界值進(jìn)行判定時(shí)，誤判共10人（漏診與誤診之和），其中2男8女，寫(xiě)出列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為誤判與性別有關(guān)？
(2)經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布表：
指標(biāo) [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130]
患病者頻率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18
指標(biāo) [70，75]
未患病者頻率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01
假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時(shí)控制在以?xún)?nèi)（小于等于），求臨界值的范圍；
(3)在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時(shí)的臨界值及對(duì)應(yīng)的誤診率和漏診率.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
2．（2024·甘肅張掖·一模）近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)上買(mǎi)菜迅速進(jìn)入了我們的生活，某小區(qū)將一周網(wǎng)上買(mǎi)菜次數(shù)超過(guò)3次的居民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買(mǎi)菜的居民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”.為了解該社區(qū)居民網(wǎng)上買(mǎi)菜的情況，工作人員隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名居民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜 不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜 合計(jì)
年齡不超過(guò)45歲的居民 40 10 50
年齡超過(guò)45歲的居民 20 30 50
合計(jì) 60 40 100
(1)試根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該社區(qū)的居民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡有關(guān)系．
(2)居民小張周一、二均在網(wǎng)上買(mǎi)菜，且周一等可能地從兩個(gè)買(mǎi)菜平臺(tái)隨機(jī)選擇一個(gè)下單買(mǎi)菜．如果周一選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為；如果周一選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為，求小張周二選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜的概率.
(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該社區(qū)隨機(jī)抽取10名居民，記其中喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的居民人數(shù)為隨機(jī)變量，并記隨機(jī)變量，求X，Y的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3．（2024·廣西柳州·一模）某購(gòu)物平臺(tái)為了吸引更多的顧客在線購(gòu)物，推出了和兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)物平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，顧客可自由選擇和兩個(gè)套餐之一，下圖是該購(gòu)物平臺(tái)7天銷(xiāo)售優(yōu)惠券的情況（單位：千張）的折線圖：
(1)由折線圖可看出，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；
(2)假設(shè)每位顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，其中包含一張優(yōu)惠券，套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷(xiāo)售了張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為，求；
(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的最值．
參考數(shù)據(jù)：，，，
參考公式：相關(guān)系數(shù)
4．（23-24高三下·安徽阜陽(yáng)·期末）某射擊隊(duì)舉行一次娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)分為兩階段，第一階段是選拔階段，甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員各射擊100次，所得成績(jī)中位數(shù)大的運(yùn)動(dòng)員參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲規(guī)則如下：
①有4次游戲機(jī)會(huì)．
②依次參加A，B，C游戲.
③前一個(gè)游戲勝利后才可以參加下一個(gè)游戲，若輪到C游戲后，無(wú)論勝利還是失敗，一直都參加C游戲，直到4次機(jī)會(huì)全部用完.
④參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金50元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金100元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金200元．
已知甲參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是，乙參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是，甲、乙參加每次游戲相互獨(dú)立，第一階段甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員射擊所得成績(jī)的頻率分布直方圖如下：
(1)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員誰(shuí)參加第二階段游戲 并說(shuō)明理由．
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，解答下列兩問(wèn)．
（ⅰ）求該運(yùn)動(dòng)員能參加游戲的概率．
（ⅱ）記為該運(yùn)動(dòng)員最終獲得的獎(jiǎng)金額，P為獲得每個(gè)獎(jiǎng)金額對(duì)應(yīng)的概率，請(qǐng)用適當(dāng)?shù)谋硎痉ū硎娟P(guān)于的函數(shù)．
5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率.
(1)求
(2)當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.
(3)令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值.
6．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）某商場(chǎng)為吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)趣味小游戲，地面上劃有邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格，游戲參與者從網(wǎng)格的某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，每一步沿一個(gè)小正方形的對(duì)角線向右上方或右下方移動(dòng)，如圖所示．已知游戲參與者每步選擇向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的選擇是相互獨(dú)立的．
(1)商場(chǎng)規(guī)定：某顧客從出發(fā)，沿小正方形的對(duì)角線向右上方走一步得1分，向右下方走一步得分，當(dāng)他走完第四步后，得分為，求的分布列；
(2)商場(chǎng)制定了一個(gè)游戲規(guī)則：若顧客和老板都從出發(fā)，走到點(diǎn)的位置．設(shè)走完第步后，顧客位于點(diǎn)，老板位于點(diǎn)，其中且；若對(duì)任意且都有，則認(rèn)為顧客方獲勝．記顧客獲勝的概率為．
（i）當(dāng)時(shí)，求顧客獲勝的概率；
（ⅱ）求，并說(shuō)明顧客和老板在游戲中哪一方獲勝的概率更大．
參考公式：．
一、解答題
1．（24-25高三上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大小；
(2)當(dāng)時(shí)，求；
(3)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間上的值域．
2．（2024·浙江·三模）為提高學(xué)生的思想政治覺(jué)悟，激發(fā)愛(ài)國(guó)熱情，增強(qiáng)國(guó)防觀念和國(guó)家安全意識(shí)，某校進(jìn)行軍訓(xùn)打靶競(jìng)賽．規(guī)則如下：每人共有3次機(jī)會(huì)，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿(mǎn)足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當(dāng)?shù)趎次擊中靶心時(shí)，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．
(1)求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(2)有如下定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)，稱(chēng)為X的分布函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，有．因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間上的概率．
（i）寫(xiě)出（1）中甲選手得分X的分布函數(shù)（分段函數(shù)形式）；
（ii）靶子是半徑為2的一個(gè)圓盤(pán)，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點(diǎn)與圓心的距離．試求隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)．
3．（23-24高三下·山西長(zhǎng)治·期中）蝗蟲(chóng)能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只蝗蟲(chóng)的平均產(chǎn)卵數(shù)（單位：個(gè)）和平均溫度（單位：）有關(guān)，根據(jù)以往在某地收集到的7組數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量并不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①與模型②作為平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度的回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.
平均溫度 21 23 25 27 29 32 35
平均產(chǎn)卵數(shù)個(gè) 5 9 22 25 65 118 324
441 529 625 729 841 1024 1225
1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78
27.43 773.43 81.14 3.55
20.03 0.37 0.29 0.0052
其中.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得出模型①，請(qǐng)建立模型②下關(guān)于的回歸方程；并在兩個(gè)模型下分別估計(jì)溫度為時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)；（與估計(jì)值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：）
(2)模型①，②的決定系數(shù)分別為，請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；
(3)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到以上時(shí)蝗蟲(chóng)會(huì)對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治.設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為，該地今后年恰好需要2次人工防治的概率為.
①求取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；
②當(dāng)取最大值時(shí)，設(shè)該地今后5年需要人工防治的次數(shù)為，求的均值和方差.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.
4．（24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.
(1)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；
單位：只
抗體 指標(biāo)值 合計(jì)
小于60 不小于60
有抗體
沒(méi)有抗體
合計(jì)
(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒(méi)有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.
（i）用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；
（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記100個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量.求及取最大值時(shí)的值.
參考公式：（其中為樣本容量）
參考數(shù)據(jù)：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
5．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）籃球運(yùn)動(dòng)是在1891年由美國(guó)馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會(huì)訓(xùn)練學(xué)校體育教師詹姆士·奈史密斯博士，借鑒其他球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)計(jì)發(fā)明的．起初，他將兩只桃籃釘在健身房?jī)?nèi)看臺(tái)的欄桿上，桃籃上沿離地面約米，用足球作為比賽工具，任何一方在獲球后，利用傳遞、運(yùn)拍，將球向籃內(nèi)投擲，投球入籃得一分，按得分多少?zèng)Q定比賽勝負(fù)．在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球比賽，后來(lái)籃球界就將此日定為國(guó)際籃球日．甲、乙兩人進(jìn)行投籃，比賽規(guī)則是：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分．已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和p，且每人進(jìn)球與否互不影響．
(1)若，求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；
(2)若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？
6．（24-25高三上·吉林白城·階段練習(xí)）傳球是排球運(yùn)動(dòng)中最基本 最重要的一項(xiàng)技術(shù)．傳球是由準(zhǔn)備姿勢(shì) 迎球 擊球 手型 用力5個(gè)動(dòng)作部分組成．其中較難掌握的是觸球時(shí)的手型，因?yàn)橛|球時(shí)手型正確與否直接影響手控制球的能力和傳球的準(zhǔn)確性，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)掌握了正確手型才能保證正確擊球點(diǎn)和較好的運(yùn)用手指，手腕的彈力．從小張 小胡 小郭 小李 小陳這5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練．訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出．
(1)記小胡 小李 小陳這三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；
(2)若剛好抽到小胡 小李 小陳三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由小胡將球傳出，記次傳球后球在小胡手中的概率為．
①直接寫(xiě)出的值；
②求與的關(guān)系式，并求．
7．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝祖國(guó)周年華誕，某商場(chǎng)決定在國(guó)慶期間舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)．盒中裝有個(gè)除顏色外均相同的小球，其中個(gè)是紅球，個(gè)是黃球．每位顧客均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)時(shí)從盒中隨機(jī)取出球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“特等獎(jiǎng)”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“參與獎(jiǎng)”，并將該球放回盒中．
(1)在第2位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第1位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率；
(2)記為第個(gè)顧客參與后后來(lái)參與的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”的概率，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)事件為第個(gè)顧客參與時(shí)獲得最后一個(gè)“特等獎(jiǎng)”，要使發(fā)生概率最大，求的值．
8．（24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）某校組織了投籃活動(dòng)幫助高三學(xué)生緩解壓力，該活動(dòng)的規(guī)則如下：①每個(gè)投籃人一次投一球，連續(xù)投多次；②當(dāng)投中2次時(shí)，這個(gè)投籃人的投籃活動(dòng)結(jié)束.已知某同學(xué)一次投籃命中率為，每次投籃之間相互獨(dú)立.記該同學(xué)投籃次數(shù)為隨機(jī)變量.
(1)求該同學(xué)投籃次數(shù)為4次時(shí)結(jié)束比賽的概率；
(2)求該同學(xué)投籃次數(shù)（不超過(guò)）的分布列；
(3)在（2）的前提下，若，求的最小值.
9．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)口袋都裝有3個(gè)小球（1個(gè)黑球和2個(gè)白球）.現(xiàn)從甲、乙口袋中各取1個(gè)小球交換放入另外一個(gè)口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交換小球次后，甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.
(1)求，；
(2)求，；
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明.
10．（23-24高三下·浙江·期中）一個(gè)航空航天的興趣小組，隨機(jī)對(duì)學(xué)校100名學(xué)生關(guān)于航空航天是否感興趣的話(huà)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中被選取的男女生的人數(shù)之比為11∶9．
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完整列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)航空航天感興趣的情況與性別相關(guān)聯(lián)．
感興趣 不感興趣 合計(jì)
男生
女生 15
合計(jì) 50 100
(2)一名興趣小組成員在試驗(yàn)桌上進(jìn)行兩艘飛行器模型間的“交會(huì)對(duì)接”游戲，已知左右兩邊均有2艘“Q2運(yùn)輸船”和1艘“M1轉(zhuǎn)移塔”．游戲規(guī)則是每次在左右兩邊各任取一艘飛行器交換，假設(shè)“交會(huì)對(duì)接”重復(fù)了n次，記左邊剩余“M1轉(zhuǎn)移塔”的艘數(shù)為，左邊恰有1艘“M1轉(zhuǎn)移塔”的概率為，恰有2艘“M1轉(zhuǎn)移塔”的概率為，求
①求X的分布列；
②求；
③試判斷是否為定值，并加以證明．
附：，．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
11．（23-24高三下·山東青島·階段練習(xí)）某制藥公司研制了一款針對(duì)某種病毒的新疫苗，該病毒一般通過(guò)病鼠與白鼠之間的接觸傳染．現(xiàn)有n只白鼠，已知每只白鼠在未接種疫苗時(shí)，接觸病鼠后被感染的概率為，設(shè)隨機(jī)變量X表示n只白鼠在未接種疫苗時(shí)接觸病鼠后被感染的白鼠數(shù)，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相互獨(dú)立．
(1)若，求數(shù)學(xué)期望；
(2)設(shè)接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為p，將接種疫苗后的白鼠分成10組，每組10只，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)變量，表示第i組被感染的白鼠數(shù)．現(xiàn)將隨機(jī)變量)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示．
①試寫(xiě)出事件“”發(fā)生的概率表達(dá)式(用p表示，組合數(shù)不必計(jì)算)；
②現(xiàn)有兩個(gè)不同的研究團(tuán)隊(duì)理論研究發(fā)現(xiàn)概率p與參數(shù)的取值有關(guān)，團(tuán)隊(duì)A提出函數(shù)模型為，團(tuán)隊(duì)B提出函數(shù)模型為．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)時(shí)使得概率最大，稱(chēng)是θ的最大似然估計(jì)．根據(jù)這一原理和團(tuán)隊(duì)A，B提出的函數(shù)模型，判斷哪個(gè)團(tuán)隊(duì)的函數(shù)模型可以求出θ的最大似然估計(jì)，并求出最大似然估計(jì)．參考數(shù)據(jù)：．
12．（2024·山東濟(jì)南·二模）隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，且向四個(gè)方向移動(dòng)的概率均為 例如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在四點(diǎn)處.
(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)，記的取值為隨機(jī)變量 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)記第秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為.
（i）已知 求 以及；
（ii）令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在，使得，則稱(chēng)粒子是常返的.已知 證明：該粒子是常返的.
13．（24-25高三上·湖南郴州·開(kāi)學(xué)考試）在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，猜是正面的概率為.猜是反面的概率為；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，猜是反面的概率為，猜是正面的概率為.假設(shè)每次扔硬幣相互獨(dú)立.
(1)若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測(cè)全部正確與猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率分別為，試比較的大小；
(2)若不管扔硬幣是正面還是反面猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，
（i）從下面①②③④中選出一定錯(cuò)誤的結(jié)論：
①；②；③，④
（ii）從（i）中選出一個(gè)可能正確的結(jié)論作為條件.用表示猜測(cè)的正反文字串，將中正面的個(gè)數(shù)記為，如“正反正反”，則，若扔四次硬幣分別為“正正反反”，求的取值范圍.
14．（2024·河北張家口·三模）在某項(xiàng)投資過(guò)程中，本金為，進(jìn)行了次投資后，資金為，每次投資的比例均為x（投入資金與該次投入前資金比值），投資利潤(rùn)率為r（所得利潤(rùn)與當(dāng)次投入資金的比值，盈利為正，虧損為負(fù)）的概率為P，在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)有多種盈利可能（設(shè)有n種可能），記利潤(rùn)率為的概率為（其中），其中，由大數(shù)定律可知，當(dāng)N足夠大時(shí)，利潤(rùn)率是的次數(shù)為．
(1)假設(shè)第1次投資后的利潤(rùn)率為，投資后的資金記為，求與的關(guān)系式；
(2)當(dāng)N足夠大時(shí)，證明：（其中）；
(3)將該理論運(yùn)用到非贏即輸?shù)挠螒蛑校涄A了的概率為，其利潤(rùn)率為；輸了的概率為，其利潤(rùn)率為，求最大時(shí)x的值（用含有的代數(shù)式表達(dá)，其中）．
15．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）生命的誕生與流逝是一個(gè)永恒的話(huà)題，就某種細(xì)胞而言，由該種細(xì)胞的一個(gè)個(gè)體進(jìn)行分裂，分裂后成為新細(xì)胞而原細(xì)胞不復(fù)存在，多次分裂后，由該個(gè)細(xì)胞繁殖而來(lái)的全部細(xì)胞均死亡，我們稱(chēng)該細(xì)胞“滅絕”.現(xiàn)已知某種細(xì)胞有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞（即死亡），...，有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞.記事件：細(xì)胞最終滅絕，：細(xì)胞第一次分裂為個(gè)細(xì)胞.記該細(xì)胞第一次分裂后有個(gè)個(gè)體（分裂后的細(xì)胞互不影響），在概率論中，我們用的數(shù)學(xué)期望作為衡量生物滅絕可能性的依據(jù)，如果，則在理論上細(xì)胞就不會(huì)滅絕；相反，如果，則理論上我們認(rèn)為細(xì)胞在足夠多代的繁殖后會(huì)滅絕，而這兩種情況在生物界中都是普遍存在的.
(1)直接寫(xiě)出的數(shù)學(xué)期望.
(2)用只含和的概率式表示并證明該細(xì)胞滅絕的概率為關(guān)于方程：的最小正實(shí)根.
(3)若某種細(xì)胞發(fā)生基因突變，當(dāng)時(shí).
（ⅰ）若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后，有一個(gè)細(xì)胞具有與原細(xì)胞相同的活力，而另一細(xì)胞則在此后喪失分裂為兩個(gè)的能力（即只有可能分裂成個(gè)或個(gè)），求證：該細(xì)胞的滅絕是必然事件.
（ⅱ）受某種輻射污染，若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后分裂生成的兩個(gè)細(xì)胞此后均喪失分裂為個(gè)的能力，并等可能分裂為個(gè)或個(gè)細(xì)胞.我們稱(chēng)為“泛濫型細(xì)胞”，已知：，求出一個(gè)該種泛濫型細(xì)胞經(jīng)過(guò)次分裂，得到個(gè)細(xì)胞的概率.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專(zhuān)題17 概率與其他知識(shí)交匯問(wèn)題（含馬爾科夫鏈 ）
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題型01 概率與數(shù)列結(jié)合（馬爾科夫鏈） 1
題型02 概率與導(dǎo)數(shù)結(jié)合 17
題型03 概率與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合 29
題型01 概率與數(shù)列結(jié)合（馬爾科夫鏈）
【解題規(guī)律·提分快招】
一、基本原理 1、轉(zhuǎn)移概率：對(duì)于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率. 2、馬爾可夫鏈：若，即未來(lái)狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無(wú)關(guān). 無(wú)記憶性：下一個(gè)狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與更前面的狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系 高中階段考察的馬爾科夫鏈，其實(shí)很簡(jiǎn)單，找到初始狀態(tài)和遞推關(guān)系即可 3、完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個(gè)條件： （1）； （2）. 則稱(chēng)是的一個(gè)完備事件組，也稱(chēng)是的一個(gè)分割. 4、全概率公式： 設(shè)是一個(gè)完備事件組，則有 5、一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻時(shí)，位于點(diǎn)，下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個(gè)單位. 若記狀態(tài)表示：在時(shí)刻該點(diǎn)位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 進(jìn)一步，我們假設(shè)在與處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游走.于是，.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過(guò)程. 進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為，原地不動(dòng)，其概率為，向右平移一個(gè)單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得： 二、解題技巧 ①找到當(dāng)下?tīng)顟B(tài)下的“前一次事件”的所有可能性 ②結(jié)合對(duì)應(yīng)概率寫(xiě)出“前一次”狀態(tài)下所有可能性的數(shù)列遞推關(guān)系（一階遞推數(shù)列或二階遞推數(shù)列） ③利用數(shù)列遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式
【典例訓(xùn)練】
重難點(diǎn)17素材01
一、解答題
1．（24-25高三上·上海嘉定·階段練習(xí)）甲乙兩人輪流投擲骰子（正方體型，六個(gè)面分別標(biāo)記有1，2，3，4，5，6點(diǎn)），每人每次投擲兩顆，
(1)甲投擲一次，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率；
(2)甲乙各投擲一次，求甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)的概率；
(3)若第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于者為勝，否則輪由另一人投擲.求先投擲人的獲勝概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；
（2）記投擲一次兩顆骰子點(diǎn)數(shù)為，則的可能取值為，，，，，求出所對(duì)應(yīng)的概率，再由相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；
（3）由（2）可知同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為，分析可得先投擲的人第（且）輪獲勝，其概率為，再由無(wú)窮等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得，
【詳解】（1）記兩顆骰子點(diǎn)數(shù)相同為事件，則；
（2）記投擲一次兩顆骰子點(diǎn)數(shù)為，則的可能取值為，，，，，
所以，
，
，
，
，
，
記甲的點(diǎn)數(shù)和恰好比乙的點(diǎn)數(shù)和大點(diǎn)為事件，
則；
（3）由（2）可知同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于的概率為，
若先投擲的人第一輪獲勝，其概率為；
若先投擲的人第二輪獲勝，即第一輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；
若先投擲的人第三輪獲勝，即前兩輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；
若先投擲的人第四輪獲勝，即前三輪兩人的點(diǎn)數(shù)之和都小于或等于，則其概率為；
，
分析可得，若先投擲的人第（且）輪獲勝，其概率為；
所以、、、組成以為首項(xiàng)，為公比的無(wú)窮等比數(shù)列，
所以，
從而，先投擲人的獲勝概率為.
2．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）馬爾科夫鏈因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈 馬爾科夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)無(wú)關(guān).馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有兩個(gè)盒子，各裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)紅球的概率為.
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值.
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)古典概型運(yùn)算公式，結(jié)合組合的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)古典概型運(yùn)算公式，可以得到含的代數(shù)式表示，運(yùn)用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)古典概型運(yùn)算公式，結(jié)合題意得到、、、之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）設(shè)第次操作后盒子中恰有2個(gè)紅球的概率為，則沒(méi)有紅球的概率為.
由題意知，
（2）因?yàn)?
所以.
又因?yàn)椋允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以，
（3）因?yàn)椋?br/>②
所以①一②，得.
又因?yàn)椋裕?
的可能取值是，
所以的概率分布列為
0 1 2
所以.
所以的數(shù)學(xué)期望為定值1.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是尋求、 之間的關(guān)系，利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解.
3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)不透明的袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的40個(gè)小球，其中10個(gè)紅球，10個(gè)黃球，20個(gè)綠球，依次隨機(jī)抽取小球，每次只取1個(gè)小球，完成下列問(wèn)題：
(1)若取出的小球不再放回，
①求最后取完的小球是黃球的概率；
②求紅球比其余兩種顏色小球更早取完的概率；
③設(shè)隨機(jī)變量為最后一個(gè)紅球被取出時(shí)所需的取球次數(shù)，求；
(2)若取出的小球又放回袋中，直到取到紅球就停止取球，且最多取次球，設(shè)隨機(jī)變量為取球次數(shù)，證明：.
【答案】(1)①；②；③，
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）①最后一次取出的是黃色小球，利用古典概率可求；②利用全概率公式可求答案；③求出的所有取值，利用期望公式，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求答案.
（2）先求的分布列，寫(xiě)出期望，結(jié)合錯(cuò)位相減法可求答案.
【詳解】（1）①最后取完的小球顏色是黃色，則第40次取球恰好為黃色小球，設(shè)事件A:第40次取球恰好為黃色小球.
則.
②設(shè)事件B:最后取完的小球是黃球，事件：最后取完的小球是綠球，事件D:紅球比其余兩種顏色更早取完.
;
③的可能取值為10,11,12，，40.
，
.
因?yàn)椋?
（2）設(shè)，則的分布列為
1 2 3
兩式相減可得
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解；二是利用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和.
4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）在某公司組織的團(tuán)建活動(dòng)中，，，三個(gè)人進(jìn)行傳排球游戲，規(guī)定：甲將排球拋出，乙接住或自己接住為一次傳球，假設(shè)每次傳球都能成功.當(dāng)排球在手中時(shí)，傳給的概率為，傳給自己的概率也為；當(dāng)排球在手中時(shí)，傳給的概率為，傳給的概率為；當(dāng)排球在手中時(shí)，傳給，的概率均為.游戲開(kāi)始時(shí)，排球在手中，經(jīng)過(guò)次傳球后，設(shè)排球在手中的概率為，排球在手中的概率為.
(1)求，的值；
(2)經(jīng)過(guò)50次傳球后，排球在誰(shuí)手中的概率最大？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)手中的概率最大，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由題意得，，，，由遞推式可求出，從而可求出，的值；
（2）由（1）可求出，作差可比較大小.
【詳解】（1）由題意得，經(jīng)過(guò)次傳球后，排球在手中的概率為，
，
第次傳球后，排球在手中的概率為，在手中的概率為，在手中的概率為，
則由題意得，則，
由，得，，
所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
所以，所以，
，
，，而也滿(mǎn)足上式，
所以，
，，，而也滿(mǎn)足上式，
所以，
所以，.
（2）由（1）得，
當(dāng)時(shí)，，，，
因?yàn)?br/>，
所以，
因?yàn)?br/>，
所以，
所以，
所以經(jīng)過(guò)50次傳球后，排球在手中的概率最大.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查概率與數(shù)列的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意駷合概率知識(shí)求出遞推式，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題.
5．（24-25高三上·浙江·期末）某籃球集訓(xùn)隊(duì)中甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球訓(xùn)練.假設(shè)當(dāng)球在甲手中時(shí)，甲將球傳給丙的概率為，否則甲將球傳給乙；當(dāng)球在乙手中時(shí)，乙將球傳給甲的概率為，否則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，丙將球傳給甲的概率為，否則丙將球傳給乙；初始時(shí)，球在甲手中.
(1)求傳球次后，球恰好在乙手中次的概率；
(2)次傳球后（），記球在丙手中的概率為.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②設(shè)，求證：.
【答案】(1)
(2)①；②證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)條件有兩種情況：乙、甲、乙，乙、丙、乙，再利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式，即可求解；
（2）①根據(jù)條件得到，進(jìn)而有是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求解；②根據(jù)條件得到，利用裂項(xiàng)相消法得到，再分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，即可求解.
【詳解】（1）傳球次后，球恰好在乙手中次分為兩種情況：
第一種情況：乙、甲、乙，概率為；
第二種情況：乙、丙、乙，概率為；
所以.
（2）①由于n次傳球后，球不在丙手中的概率為，
此時(shí)無(wú)論球在甲手中還是球在乙手中，均有的概率傳給丙，故有，
整理得，
又，，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
則，得到.
②由①可得，
因?yàn)?br/>所以，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以，
所以，所以，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
所以，所以.
所以.
綜上所述，，所以命題得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）中的①問(wèn)，根據(jù)條件得到，通過(guò)變形得到，從而轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列來(lái)解決問(wèn)題.
6．（24-25高三上·江西·開(kāi)學(xué)考試）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只與第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，…次的狀態(tài)無(wú)關(guān)，即．已知甲盒中裝有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙盒中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒中各任取1個(gè)球交換放入對(duì)方的盒中，重復(fù)n次（）這樣的操作，記此時(shí)甲盒中白球的個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有2個(gè)白球的概率為，恰有1個(gè)白球的概率為．
(1)求和．
(2)證明：為等比數(shù)列．
(3)求的數(shù)學(xué)期望（用n表示）．
【答案】(1)，，；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3).
【分析】（1）利用古典概率計(jì)算即得；按第1次交換球的結(jié)果分類(lèi)討論，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率求出.
（2）按第次交換球的結(jié)果分類(lèi)討論，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率、互斥事件的概率用表示即可推理得證.
（3）利用（2）的結(jié)論，求出隨機(jī)變量的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率，
研究第2次交換球時(shí)的概率，根據(jù)第1次交換球的結(jié)果討論如下：
①當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白1黑，乙盒中的球?yàn)?白1黑時(shí)，對(duì)應(yīng)概率為，
此時(shí)，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，
乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，
②當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白2黑，乙盒中的球?yàn)?白時(shí)，對(duì)應(yīng)概率為，
此時(shí)，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，
乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為
若甲盒取白球，乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，
綜上，.
（2）依題意，經(jīng)過(guò)次這樣的操作，甲盒中恰有2個(gè)白球的概率為，
恰有1個(gè)白球的概率為，則甲盒中恰有3個(gè)白球的概率為，
研究第次交換球時(shí)的概率，根據(jù)第次交換球的結(jié)果討論如下：
①當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白1黑，乙盒中的球?yàn)?白1黑時(shí)，對(duì)應(yīng)概率為，
此時(shí)，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，
乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，
②當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白2黑，乙盒中的球?yàn)?白時(shí)，對(duì)應(yīng)概率為，
此時(shí)，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，
③當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白，乙盒中的球?yàn)?黑時(shí)，對(duì)應(yīng)概率為，
此時(shí)，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，
乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為，
綜上，
則，
整理得，又，
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
（3）由（2）知，則，
隨機(jī)變量的分布列為
1 2 3
所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
①根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；②求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；③根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望.
7．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）設(shè)，數(shù)對(duì)按如下方式生成：，拋擲一枚均勻的硬幣，當(dāng)硬幣的正面朝上時(shí)，若，則，否則；當(dāng)硬幣的反面朝上時(shí)，若，則，否則．拋擲n次硬幣后，記的概率為．
(1)寫(xiě)出的所有可能情況，并求；
(2)證明：是等比數(shù)列，并求；
(3)設(shè)拋擲n次硬幣后的期望為，求．
【答案】(1)答案見(jiàn)詳解；
(2)證明見(jiàn)詳解，；
(3)
【分析】（1）列出所有和的情況，再利用古典概型公式計(jì)算即可；
（2）構(gòu)造得，再利用等比數(shù)列公式即可；
（3）由（2）得，再分，和討論即可.
【詳解】（1）當(dāng)拋擲一次硬幣結(jié)果為正時(shí)，；
當(dāng)拋擲一次硬幣結(jié)果為反時(shí)，.
當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正，正）時(shí)，；
當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（正，反）時(shí)，；
當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，正）時(shí)，；
當(dāng)拋擲兩次硬幣結(jié)果為（反，反）時(shí)，.
所以，.
（2）由題知，，
當(dāng)，且擲出反面時(shí)，有，此時(shí)，
當(dāng)，且擲出正面時(shí)，有，此時(shí)，
所以，
所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
（3）設(shè)與的概率均為，
由(2)知，
顯然，.
若，則，當(dāng)下次投擲硬幣為正面朝上時(shí)，，當(dāng)下次投擲硬幣為反面朝上時(shí)，;
若，則當(dāng)下次投擲硬幣為正面朝上時(shí)，，當(dāng)下次投擲硬幣為反面朝上時(shí)，;
若，則，
當(dāng)下次投擲硬幣為正面朝上時(shí)，，當(dāng)下次投擲硬幣為反面朝上時(shí)，.
所以時(shí)，期望不變，概率為;
時(shí)，期望加1，概率為.
所以.
故
.
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)也成立.
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是分和時(shí)討論，最后再化簡(jiǎn)的表達(dá)式即可.
8．（2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)有窮整數(shù)列，，，，對(duì)正整數(shù)，若對(duì)于任意的，有窮數(shù)列中總存在，，，，自然數(shù)使得，則稱(chēng)該數(shù)列為1到連續(xù)可表數(shù)列.即1到中的每個(gè)數(shù)可由中的一個(gè)或連續(xù)若干項(xiàng)表示，而不可由中連續(xù)若干項(xiàng)表示.例如數(shù)列2，1，3則，，，，而，，，所以數(shù)列2，1，3是1到4連續(xù)可表數(shù)列.
(1)數(shù)列，，，，是否為1到5連續(xù)可表數(shù)列？若數(shù)列，，是一個(gè)1到連續(xù)可表數(shù)列，求的值.
(2)若有窮數(shù)列，，，其調(diào)整順序后為一個(gè)等比數(shù)列，則該數(shù)列稱(chēng)為準(zhǔn)等比整數(shù)列（等比數(shù)列本身也可看作準(zhǔn)等比數(shù)列），調(diào)整后的公比稱(chēng)為該數(shù)列公比.若準(zhǔn)等比整數(shù)列，，，為1到5連續(xù)可表數(shù)列，且公比為整數(shù)，求數(shù)列的公比的值.
(3)對(duì)正整數(shù)，，存在唯一的數(shù)列，，使得，，且滿(mǎn)足，，，，數(shù)列，，，稱(chēng)為正整數(shù)的進(jìn)制殘片.記事件“隨機(jī)挑選區(qū)間內(nèi)的整數(shù)（為大于等于2的正整數(shù)），該數(shù)的進(jìn)制殘片調(diào)整順序后能成為1到5連續(xù)可表數(shù)列”的概率為，求的表達(dá)式.
【答案】(1)5
(2)
(3)，
【分析】（1）利用給定定義證明并求值即可.
（2）利用給定定義對(duì)參數(shù)范圍進(jìn)行討論，求解公比即可.
（3）利用給定定義分類(lèi)討論求解解析式即可.
【詳解】（1）依題意設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，
則，，，
，，
由于數(shù)列只有5項(xiàng)，不可能表示大于等于6的正整數(shù)，
故數(shù)列為一個(gè)1到5連續(xù)可表數(shù)列，
對(duì)于數(shù)列，設(shè)其通項(xiàng)為，直接計(jì)算可知，
該數(shù)列的，，，，，
而6無(wú)法用連續(xù)的項(xiàng)表示出來(lái)，故該數(shù)列為1到5連續(xù)可表數(shù)列，得到.
（2）當(dāng)準(zhǔn)等比數(shù)列公比為，，，時(shí)，
可以對(duì)應(yīng)構(gòu)造數(shù)列，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，
其中由（1）可知，，為1到5連續(xù)可表數(shù)列，
對(duì)于最后一個(gè)數(shù)列，有，，
，，，
而6不能連續(xù)若干項(xiàng)表示，故這數(shù)列也為1到5連續(xù)可表數(shù)列，
現(xiàn)在，假設(shè)，滿(mǎn)足，
數(shù)列，，，為一個(gè)公比為的1到5連續(xù)可表準(zhǔn)等比數(shù)列，
則可以設(shè)，
其中，，為，，的一個(gè)排列，
則該數(shù)列的連續(xù)表出具有的形式，
其絕對(duì)值不小于，由于1可以被表出，有，故或，
如果不參與表出1到5，則不包含，
故可提出，即，
由于，必是非零整數(shù)，
而，
無(wú)法表示這個(gè)數(shù)字，故的表出有的參與，
如果參與表出1和2，有兩種可能，
一是當(dāng)獨(dú)立表出，二是與其他若干項(xiàng)一起表出，
若當(dāng)和其他項(xiàng)一起表出時(shí)，其他項(xiàng)絕對(duì)值不小于3的數(shù)而為1或，
所以與其他若干項(xiàng)一起表出其絕對(duì)值不小于2.故1只得由獨(dú)立表出，
所以，現(xiàn)在，2的表出是1和一個(gè)絕對(duì)值不小于3的值之和，
故不大于，不小于4，矛盾.所以不可能成立，
綜上的可能取值為
（3）我們?cè)冢?）中的論證可以推出更一般的結(jié)論：1至5連續(xù)可表的數(shù)列，
如果滿(mǎn)足，，，的形式，
則其中一項(xiàng)必定為1或，且，
從而當(dāng)時(shí)，任一個(gè)進(jìn)制殘片都不可能排列成一個(gè)1至5連續(xù)可表數(shù)列.
故，，當(dāng)時(shí)，殘片的各項(xiàng)可能取值為，
即，，，，，.由于殘片各項(xiàng)一定非負(fù)，
則1，2，3，4，5的表出一定沒(méi)有，，等值參與，
注意到兩個(gè)元素最多表出三個(gè)值，三個(gè)元素最多表出六個(gè)值，
而0對(duì)這5個(gè)數(shù)字的表出沒(méi)有貢獻(xiàn)，
故殘片能夠排列成1到5連續(xù)可表數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)殘片中含有1，2，4三項(xiàng)
即所挑選的數(shù)字應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足，
故，，從而，
其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，
綜上，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求數(shù)列新定義，解題關(guān)鍵是合理利用給定定義，然后利用分類(lèi)討論思想得到所要求的解析式即可．
題型02 概率與導(dǎo)數(shù)結(jié)合
【典例訓(xùn)練】
重難點(diǎn)17素材02
一、解答題
1．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）某學(xué)校高三年級(jí)組織舉辦了知識(shí)競(jìng)賽．選拔賽階段采用逐一答題的方式，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，累計(jì)答對(duì)3道題則進(jìn)入初賽，累計(jì)答錯(cuò)3道題則被淘汰．初賽階段參賽者每?jī)扇艘唤M進(jìn)行比賽，組織者隨機(jī)從準(zhǔn)備好的題目中抽取2道試題供兩位選手搶答，每位選手搶到每道試題的機(jī)會(huì)相等，得分規(guī)則如下：選手搶到試題且回答正確得10分，對(duì)方選手得0分，選手搶到試題但沒(méi)有回答正確得0分，對(duì)方選手得5分，2道試題搶答完畢后得分少者被淘汰，得分多者進(jìn)入決賽（若分?jǐn)?shù)相同，則同時(shí)進(jìn)入決賽）
(1)已知選拔賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，且回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求甲進(jìn)入初賽的概率；
(2)已知初賽中選手甲答對(duì)每道試題的概率為，對(duì)手答對(duì)每道試題的概率為，兩名選手回答每道試題是否正確相互獨(dú)立，求初賽中甲的得分的分布列與期望；
(3)進(jìn)入決賽后，每位選手回答4道試題，至少答對(duì)3道試題勝出，否則被淘汰，已知選手甲進(jìn)入決賽，且決賽中前3道試題每道試題被答對(duì)的概率都為，若甲4道試題全對(duì)的概率為，求甲能勝出的概率的最小值.
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，
(3)
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式結(jié)合互斥事件和概率公式計(jì)算即可；
（2）先應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式，再列分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；
（3）先應(yīng)用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)求概率再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求出概率的最小值.
【詳解】（1）設(shè)為甲的答題數(shù)，則可能取，
，
，
，
所以甲進(jìn)入初賽的概率為．
（2）由題知，可能取，
則，
，
，
，
，
所以的分布列為：
0 5 10 15 20
所以．
（3）因?yàn)榧?道試題全對(duì)的概率為，所以第4道試題答對(duì)的概率為，
所以甲能勝出的概率，
即，
因?yàn)椋?br/>因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解概率最小值的關(guān)鍵是設(shè)函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)的最小值即可.
2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）一游戲規(guī)則如下：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左或者向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)了次.
(1)已知質(zhì)點(diǎn)每次向右移動(dòng)的概率為.
①當(dāng) 時(shí)，求質(zhì)點(diǎn)最終回到原點(diǎn)的概率；
②規(guī)定質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只要出現(xiàn)在原點(diǎn)左側(cè)，游戲就結(jié)束，否則游戲就繼續(xù)、直到移動(dòng)了次，分別求出當(dāng)和時(shí)質(zhì)點(diǎn)最終落在原點(diǎn)右側(cè)的概率并比較它們的大小
(2)現(xiàn)在規(guī)定游戲分為兩個(gè)階段：第一階段，質(zhì)點(diǎn)每次向右移動(dòng)的概率為、共移動(dòng)了3次、若質(zhì)點(diǎn)最終落在了原點(diǎn)左側(cè)，則結(jié)束游戲，且最終得分為0分. 若最終落在了原點(diǎn)右側(cè)、則通過(guò)第一階段，并進(jìn)入第二階段：質(zhì)點(diǎn)重新回到原點(diǎn)，每次向右移動(dòng)的概率為，并再次移動(dòng)了3次，若質(zhì)點(diǎn)最終落在了原點(diǎn)左側(cè)，則最終得分也為0分； 若最終落在了原點(diǎn)右側(cè)，則最終得分為質(zhì)點(diǎn)位于數(shù)軸上所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).
①請(qǐng)用含的式子表示該游戲得分的數(shù)學(xué)期望；
②若 則當(dāng)取何值的時(shí)候，該游戲得分的期望值最大？
【答案】(1)①；② ，
(2)① ；②
【分析】（1）①根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可求解；②表示第一次必然向右，后兩次至少有一次向右；表示前2次均向右，后三次至少有一次向右；和第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后兩次至少有1次向右，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算求出，結(jié)合作差法即可比較大小.
（2）①利用獨(dú)立事件的概率公式求出第一階段通過(guò)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望；②由題意可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.
【詳解】（1）①質(zhì)點(diǎn)最終回到原點(diǎn)的情況為:向右走3次，向左走3次，
②設(shè)和時(shí)質(zhì)點(diǎn)最終落在原點(diǎn)右側(cè)的概率分別為，
情況為:第一次必然向右，后兩次至少有一次向右，
則.
包含2種情況:
(i)前2次均向右，后三次至少有一次向右；
(ii)第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后兩次至少有1次向右，
，
，則.
（2）①第一階段通過(guò)的情況為3次均向右或者有2次向右，1次向左，
其概率為: ，
設(shè)為最終得分，則可以為0，1，3，
則其數(shù)學(xué)期望為；
②若，則，
令，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，該游戲得分的期望值最大.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題第（2）問(wèn)的②關(guān)鍵在于根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可.
3．（2025·陜西渭南·一模）第十五屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在廣東、香港、澳門(mén)三地舉辦．為了普及全運(yùn)知識(shí)．某中學(xué)舉辦了一次全運(yùn)知識(shí)闖關(guān)比賽．比賽分為初賽與復(fù)賽．初賽勝利后才能進(jìn)入復(fù)賽．初賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽．每次只派一個(gè)人．且每人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗．再派下一個(gè)人重新闖關(guān)：三人中只要有人闖關(guān)成功即視作初賽勝利．無(wú)需繼續(xù)闖關(guān)．現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參加初賽．他們各自闖關(guān)成功的概率分別為．假定互不相等．且每人能否闖關(guān)成功相互獨(dú)立．
(1)若計(jì)劃依次派甲、乙、丙進(jìn)行初賽闖關(guān)．．求該小組初賽勝利的概率：
(2)已知．現(xiàn)有兩種初賽人員派出方案：
方案一：依次派出甲乙丙：
方案二：依次派出丙乙甲
設(shè)方案一和方案二派出人員數(shù)目分別為隨機(jī)變量．求．并比較它們的大小；
(3)初賽勝利小組的三名成員都可以進(jìn)入復(fù)賽．復(fù)賽規(guī)定：?jiǎn)稳藚①悾總€(gè)人回答三道題．全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng)：答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng)：答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng)：全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)賽．該學(xué)生在復(fù)賽中前兩道題答對(duì)的概率均為．第三道題答對(duì)的概率為．若該學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)該學(xué)生獲得二等獎(jiǎng)的概率為．求的最小值．
【答案】(1)
(2)，，．
(3)．
【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；
（2）分別求出甲乙丙和丙乙甲時(shí)的所有可能取值和相應(yīng)概率，再用期望公式求出對(duì)應(yīng)的期望，作差分解因式即可比較出結(jié)果；
（3）由獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合題意可得，進(jìn)而可得，再利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性和最值，得到結(jié)果即可；
【詳解】（1）設(shè)事件A表示該小組獲勝．則．
所以該小組初賽勝利的概率為．
（2）的可能取值為1， 2，3．
則．
此時(shí)
的可能取值為1，2，3．
則．
此時(shí)．
所以
因?yàn)椋?br/>所以．所以．
（3）由題意可得，．
則．
令．
則．令．
所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．
當(dāng)時(shí)．，為增函數(shù)．
所以．
所以的最小值為．
4．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）湖南某高中在校園藝術(shù)節(jié)舉辦形式多樣的活動(dòng).
(1)抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫(xiě)有字母，3張寫(xiě)有字母，2張寫(xiě)有字母，抽獎(jiǎng)學(xué)生每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽到寫(xiě)有的卡片，則再抽1次，直至取到寫(xiě)有或卡片為止.抽到卡片送精美校園明信片一張，抽到卡片送文學(xué)社設(shè)計(jì)的精美信封一個(gè).甲同學(xué)想要明信片，請(qǐng)問(wèn)甲同學(xué)取到寫(xiě)有卡片的概率.
(2)領(lǐng)福袋活動(dòng)規(guī)則如下：每位同學(xué)都可以去文化長(zhǎng)廊領(lǐng)取自己最喜歡的福袋，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，長(zhǎng)廊上一共懸掛個(gè)福袋（每個(gè)福袋的大小不同），福袋出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，乙同學(xué)想要摘取最大的福袋，他準(zhǔn)備采用如下策略：不摘前個(gè)福袋，自第個(gè)開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的福袋都大時(shí)，就摘這個(gè)福袋，否則就摘最后一個(gè).設(shè)，記乙同學(xué)摘到最大的福袋概率為.
①若，求；
②當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.（取）
【答案】(1)
(2)①；②的最大值為，的值為.
【分析】（1）利用隨機(jī)事件的關(guān)系結(jié)合獨(dú)立事件乘法公式與互斥事件加法公式求解即可；
（2）①由題意可知，要摘到最適合他的福袋，有兩種情況，最適合他的福袋是第3個(gè)和最適合他的福袋是最后1個(gè)，分情況分析兩種情況的可能性，結(jié)合古典概型即可求出結(jié)果；
②記事件表示最適合的福袋被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出，再用導(dǎo)數(shù)求出最值即可．
【詳解】（1）8張完全相同的卡片，3張寫(xiě)有字母，3張寫(xiě)有字母，2張寫(xiě)有字母，
由抽取規(guī)則可知，甲同學(xué)取到寫(xiě)有卡片的概率為
（2）①這4個(gè)福袋的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有種情況，
要摘到最大的福袋，有以下兩種情況：
最大的福袋是第3個(gè)，其他的福袋隨意在哪個(gè)位置，有種情況，
最大的福袋是最后1個(gè)，第二大的福袋是第1個(gè)或第2個(gè)，其他的福袋隨意在哪個(gè)位置，有種情況，
故所求概率為；
②記事件表示最大的福袋被摘到，事件表示最大的福袋在福袋中排在第個(gè)，
因?yàn)樽畲蟮母４霈F(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，所以，
以給定所在位置的序號(hào)作為條件，，
當(dāng)時(shí)，最大的福袋在前個(gè)福袋之中，不會(huì)被摘到，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，最大的福袋被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前個(gè)福袋中的最大的一個(gè)在前個(gè)福袋中時(shí)，所以，
由全概率公式知，
令函數(shù)，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，
即的最大值為，此時(shí)的值為.
5．（24-25高三上·湖北·階段練習(xí)）某學(xué)校為豐富學(xué)生活動(dòng)，積極開(kāi)展乒乓球選修課，甲乙兩同學(xué)進(jìn)行乒乓球訓(xùn)練，已知甲第一局贏的概率為，前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為，前一局輸后下一局贏的概率為，如此重復(fù)進(jìn)行.記甲同學(xué)第局贏的概率為.
(1)求乙同學(xué)第2局贏的概率；
(2)求；
(3)若存在，使成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式結(jié)合意求解即可；
（2）由題意得時(shí)，，化簡(jiǎn)變形后可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而可求出；
（3）由題意得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷在上遞減，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，從而得，進(jìn)而可求得答案.
【詳解】（1）由題意甲第2局贏的概率為，
所以乙贏的概率為；
（2）由已知時(shí)，，
所以，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以；
（3），即，令，則，
因?yàn)楹驮谏线f減，
所以在上遞減，
因?yàn)椋詴r(shí)，，則在上遞減，
顯然，因此要求的最大值，即求的最小值，
又，為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，
且在為奇數(shù)時(shí)，是單調(diào)遞增的，
所以是中的最小值，
所以，又在上是減函數(shù)，
所以，而，故
所以，
所以滿(mǎn)足的整數(shù)的最小值為.
6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某研究團(tuán)隊(duì)需要研究成分S的性質(zhì)，以研制一種新藥.現(xiàn)有瓶待測(cè)試劑，這些試劑中的部分含有少量成分S，為了更方便的檢測(cè)出含有成分S的待測(cè)試劑，該團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)方案：
方案一：對(duì)這n瓶待測(cè)試劑進(jìn)行逐一檢測(cè)；
方案二：將這n瓶待測(cè)試劑分成k個(gè)小組（，），每個(gè)小組分別將該組的待測(cè)試劑混合后檢測(cè)一次，若未檢測(cè)出成分S，則不再進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出成分S，則對(duì)該小組的待測(cè)試劑進(jìn)行逐一檢測(cè).
已知每瓶待測(cè)試劑中含有成分S的概率均為p，設(shè)X是方案二這n瓶待測(cè)試劑的檢測(cè)次數(shù)，為方案二的檢測(cè)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
(1)記的最大值為E，求證：；
(2)能否認(rèn)為恒成立 說(shuō)明理由，并以此說(shuō)明方案二的合理性；
(3)給出一個(gè)能有效減少檢測(cè)次數(shù)的方案，說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)能，理由見(jiàn)解析，合理性見(jiàn)解析；
(3)方案見(jiàn)解析
【分析】（1）寫(xiě)出方案二中，轉(zhuǎn)化為證明恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)即可證明；
（2）求出，最后根據(jù)檢測(cè)次數(shù)的期望即可說(shuō)明其合理性；
（3）模擬二分法即可設(shè)計(jì)方案.
【詳解】（1）設(shè)“每個(gè)小組的檢測(cè)次數(shù)”，則或，令，
則，
恒成立恒成立，
令，
，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，
，
所以存在使得，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，
所以，證畢．
（2）由（1）知，所以，
由題意知，所以，
在不是很大的條件下，，
所以可以近似認(rèn)為，
因此若以檢測(cè)次數(shù)期望最小為決策依據(jù)，那么根據(jù)方案二檢測(cè)次數(shù)的期望小于方案一的檢測(cè)次數(shù)，可以認(rèn)為方案二更優(yōu)．
（3）二分法混合檢測(cè)
方案說(shuō)明：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，分為和兩份檢測(cè)，各自混合檢測(cè)，
再將含有的那部分再分2份混合檢測(cè)，如果遇到奇數(shù)瓶時(shí)，按照第一次分法即可；
如果遇到偶數(shù)瓶時(shí)，則分為相同兩份檢測(cè)，依次類(lèi)推；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，分為和兩份檢測(cè)，各自混合檢測(cè)，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，按照第一次分法繼續(xù)分為兩份，各自混合檢測(cè)；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，按照瓶數(shù)差為1的分法繼續(xù)分，即和兩份檢測(cè)，依次類(lèi)推；
理由：若混合液中未檢測(cè)出成分，那剩下的試效含有成分的概率會(huì)提高，
同時(shí)也排除了該混合液對(duì)應(yīng)試劑含有的可能性，更有針對(duì)的進(jìn)行試驗(yàn)，從而減少檢測(cè)次數(shù).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問(wèn)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)即可證明.
7．（2025·遼寧沈陽(yáng)·一模）泊松分布是一種統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)里常見(jiàn)的離散型分布，特別適合用于描述單位時(shí)間（或單位空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，例如：某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話(huà)交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車(chē)站臺(tái)的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)，一個(gè)產(chǎn)品上的缺陷數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等，因此，在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問(wèn)題中都占有重要的地位．若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布（記作），則其概率分布為，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，泊松分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似；當(dāng)時(shí)，泊松分布基本上就等于正態(tài)分布，此時(shí)可認(rèn)為．若，求的值（保留三位小數(shù)）；
(2)某公司制造微型芯片，次品率為，各芯片是否為次品相互獨(dú)立，以記產(chǎn)品中的次品數(shù)．
①若，求在個(gè)產(chǎn)品中至少有個(gè)次品的概率；
②若，求在個(gè)產(chǎn)品中至少有個(gè)次品的概率．通過(guò)比較計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律
(3)若，且，求的最大值（保留一位小數(shù)）．
參考數(shù)據(jù)：若，則一有，，；，，．
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）分析可知，，利用正態(tài)分布原則可求得的值；
（2）分別利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比較大小后的可得出結(jié)論；
（3）利用泊松分布得出，由，得出，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較與的大小，以及與的大小，即可得出的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)，且時(shí)，可近似地認(rèn)為，即，
這里，，
所以，
.
（2）①若，則；
②若，其中，
則.
比較計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)利用二項(xiàng)分布計(jì)算的結(jié)果與利用泊松分布計(jì)算的結(jié)果是相等的，說(shuō)明某些特定情形下，可以用泊松分布來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布.
（3）由于，所以，，
由泊松分布的概率公式可得，，
所以，，
因?yàn)椋矗?br/>構(gòu)造函數(shù)，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由于，，所以，，
又因?yàn)椋枰容^與的大小，
而，所以，相當(dāng)于比較與的大小，
構(gòu)造函數(shù)，
所以，對(duì)任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以，，所以，，
即，
且，需要比較與的大小關(guān)系，而，
所以相當(dāng)于比較與的大小，
構(gòu)造函數(shù)，其中，且，
，
當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
即，即，即，
因此，的最大值為.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答比較函數(shù)值大小問(wèn)題，常見(jiàn)的思路有兩個(gè)：
（1）判斷各個(gè)數(shù)值所在的區(qū)間；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.
數(shù)值比較多的比較大小問(wèn)題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.
題型03 概率與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合
【典例訓(xùn)練】
重難點(diǎn)17素材03
一、解答題
1．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)研究初步得出檢測(cè)某種疾病的患病與否和某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有關(guān)，利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽(yáng)性（患病），小于或等于的人判定為陰性（未患病）.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率.
(1)隨機(jī)抽取男女各500人進(jìn)行檢驗(yàn)，采用臨界值進(jìn)行判定時(shí)，誤判共10人（漏診與誤診之和），其中2男8女，寫(xiě)出列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為誤判與性別有關(guān)？
(2)經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布表：
指標(biāo) [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130]
患病者頻率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18
指標(biāo) [70，75]
未患病者頻率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01
假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時(shí)控制在以?xún)?nèi)（小于等于），求臨界值的范圍；
(3)在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時(shí)的臨界值及對(duì)應(yīng)的誤診率和漏診率.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析；無(wú)關(guān)
(2)
(3)；誤診率為，漏診率為
【分析】（1）依題意列出列聯(lián)表，將數(shù)據(jù)代入卡方公式，根據(jù)卡方值與對(duì)應(yīng)的小概率值比較即可判斷誤判與性別的相關(guān)程度；
（2）分別根據(jù)漏診率和誤診率都小于，結(jié)合頻率分布表，先判斷臨界值所在組別，再利用百分位數(shù)的定義，建立滿(mǎn)足的不等式，繼而得到臨界值的范圍；
（3）結(jié)合頻率分布表分段寫(xiě)出誤判率的表達(dá)式，即可求解.
【詳解】（1）依題意，列出列聯(lián)表為：
誤判人數(shù) 未誤判人數(shù) 總計(jì)
男性人數(shù) 2 498 500
女性人數(shù) 8 492 500
總計(jì) 10 990 1000
由上表，，
故可以認(rèn)為，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分的證據(jù)證明零假設(shè)不成立，即認(rèn)為誤判與性別無(wú)關(guān)；
（2）因漏診率小于等于，由頻率分布表可知，臨界值應(yīng)在內(nèi)，
依題意，有；
又因誤診率小于等于，由頻率分布表可知，臨界值應(yīng)在內(nèi)，
依題意，有.
綜上，臨界值的范圍為；
（3）由（2）已得，設(shè)誤判率為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
所以當(dāng)時(shí)，誤判率最小，
相應(yīng)的誤診率為，漏診率為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題證據(jù)要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、百分位數(shù)的應(yīng)用，屬于較難題.
解決通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖表求百分位數(shù)的問(wèn)題，需要正確理解相關(guān)概念的具體含義，結(jié)合統(tǒng)計(jì)表或分布圖表，列出相應(yīng)的方程或不等式求解.
2．（2024·甘肅張掖·一模）近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)上買(mǎi)菜迅速進(jìn)入了我們的生活，某小區(qū)將一周網(wǎng)上買(mǎi)菜次數(shù)超過(guò)3次的居民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買(mǎi)菜的居民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜”.為了解該社區(qū)居民網(wǎng)上買(mǎi)菜的情況，工作人員隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名居民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜 不喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜 合計(jì)
年齡不超過(guò)45歲的居民 40 10 50
年齡超過(guò)45歲的居民 20 30 50
合計(jì) 60 40 100
(1)試根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該社區(qū)的居民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡有關(guān)系．
(2)居民小張周一、二均在網(wǎng)上買(mǎi)菜，且周一等可能地從兩個(gè)買(mǎi)菜平臺(tái)隨機(jī)選擇一個(gè)下單買(mǎi)菜．如果周一選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為；如果周一選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜，那么周二選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜的概率為，求小張周二選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜的概率.
(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該社區(qū)隨機(jī)抽取10名居民，記其中喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的居民人數(shù)為隨機(jī)變量，并記隨機(jī)變量，求X，Y的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05
(2)
(3)的數(shù)學(xué)期望，方差，的數(shù)學(xué)期望，方差
【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出的觀測(cè)值，再與臨界值表比較即可求解；
（2）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計(jì)算作答；
（3）由二項(xiàng)分布的期望、方差公式求解隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差，再利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)求解Y的數(shù)學(xué)期望和方差即可.
【詳解】（1）統(tǒng)計(jì)假設(shè)：該社區(qū)的居民是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡無(wú)關(guān)系，
由給定的2×2列聯(lián)表，得
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，否定假設(shè)，
即認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜與年齡有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；
（2）設(shè)表示周在平臺(tái)買(mǎi)菜，表示周在平臺(tái)買(mǎi)菜，.
由題可得．
由全概率公式，小張周二選擇在平臺(tái)買(mǎi)菜的概率
；
（3）依題意，該社區(qū)居民喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的概率估計(jì)值為.
從該社區(qū)隨機(jī)抽取10名居民，其中喜歡網(wǎng)上買(mǎi)菜的居民人數(shù)，
所以的數(shù)學(xué)期望，方差.
又，所以的數(shù)學(xué)期望，方差.
3．（2024·廣西柳州·一模）某購(gòu)物平臺(tái)為了吸引更多的顧客在線購(gòu)物，推出了和兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)物平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，顧客可自由選擇和兩個(gè)套餐之一，下圖是該購(gòu)物平臺(tái)7天銷(xiāo)售優(yōu)惠券的情況（單位：千張）的折線圖：
(1)由折線圖可看出，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；
(2)假設(shè)每位顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，其中包含一張優(yōu)惠券，套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷(xiāo)售了張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為，求；
(3)記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的最值．
參考數(shù)據(jù)：，，，
參考公式：相關(guān)系數(shù)
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
(3)最大值為，最小值為．
【分析】（1）根據(jù)折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)可計(jì)算相關(guān)系數(shù)；
（2）根據(jù)題意得，由遞推關(guān)系可得等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算即可；
（3）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和極限思想可求最值.
【詳解】（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，
，
所以相關(guān)系數(shù)，
因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.9632，說(shuō)明與的相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.
（2）依題意得，，其中，，
則，
所以是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故成立，
則有，
所以，又，
則.
（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞減，最大值為，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞增，最小值為，，
所以數(shù)列的最大值為，最小值為．
4．（23-24高三下·安徽阜陽(yáng)·期末）某射擊隊(duì)舉行一次娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)分為兩階段，第一階段是選拔階段，甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員各射擊100次，所得成績(jī)中位數(shù)大的運(yùn)動(dòng)員參加下一階段，第二階段是游戲階段，游戲規(guī)則如下：
①有4次游戲機(jī)會(huì)．
②依次參加A，B，C游戲.
③前一個(gè)游戲勝利后才可以參加下一個(gè)游戲，若輪到C游戲后，無(wú)論勝利還是失敗，一直都參加C游戲，直到4次機(jī)會(huì)全部用完.
④參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金50元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金100元；參加游戲，則每次勝利可以獲得獎(jiǎng)金200元．
已知甲參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是，乙參加每一個(gè)游戲獲勝的概率都是，甲、乙參加每次游戲相互獨(dú)立，第一階段甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員射擊所得成績(jī)的頻率分布直方圖如下：
(1)甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)員誰(shuí)參加第二階段游戲 并說(shuō)明理由．
(2)在（1）的基礎(chǔ)上，解答下列兩問(wèn)．
（ⅰ）求該運(yùn)動(dòng)員能參加游戲的概率．
（ⅱ）記為該運(yùn)動(dòng)員最終獲得的獎(jiǎng)金額，P為獲得每個(gè)獎(jiǎng)金額對(duì)應(yīng)的概率，請(qǐng)用適當(dāng)?shù)谋硎痉ū硎娟P(guān)于的函數(shù)．
【答案】(1)甲，理由見(jiàn)解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用頻率分布直方圖，結(jié)合中位數(shù)的意義判斷甲乙中位數(shù)的大小即得.
（2）（ⅰ）利用互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得；（ⅱ）按游戲使用次數(shù)，求出值及對(duì)應(yīng)的概率，再用列表法表示出函數(shù)關(guān)系即可.
【詳解】（1）甲運(yùn)動(dòng)員成績(jī)位于的頻率為0.3，則其中位數(shù)大于80，
而乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)位于的頻率為0.6，，則其中位數(shù)小于80，
所以甲運(yùn)動(dòng)員參加第二階段游戲.
（2）（ⅰ）若甲能參加游戲，則游戲至多共使用3次機(jī)會(huì)，
①游戲共使用2次機(jī)會(huì)，則概率；
②游戲共使用3次機(jī)會(huì)，則概率，
所以甲能參加游戲的概率為.
（ⅱ）由甲參加每個(gè)游戲獲勝的概率都是，得參加完4次游戲后的每個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率都為，
①游戲使用了4次，則或50；
②游戲使用了3次，則或150；
③游戲使用了2次，游戲使用2次，則或150；
④游戲使用了2次，游戲使用1次，則或350；
⑤游戲使用了1次，游戲使用3次，則或150；
⑥游戲使用了1次，游戲使用2次，則或350；
⑦游戲使用了1次，游戲使用1次，則或350或550，其中有2種情況，
因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以用列表法表示關(guān)于的函數(shù)為：
0 50 150 350 550
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.
5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率.
(1)求
(2)當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.
(3)令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）計(jì)算，數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11，得到概率.
（2）考慮，，，四種情況，依次計(jì)算得到答案.
（3）考慮時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況，得到和的解析式，得到，再計(jì)算概率的最值得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
即這個(gè)數(shù)中共有個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字的個(gè)數(shù)為，
則恰好取到的概率為；
（2）當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有位數(shù)組成，；
當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，則；
當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，個(gè)三位數(shù)組成，；
當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，個(gè)三位數(shù)組成個(gè)四位數(shù)組成，；
綜上所述：，
（3）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
即，
同理有，
由，可知，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由關(guān)于單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，有的最大值為，
又，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的解析式，概率的計(jì)算，最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵.
6．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）某商場(chǎng)為吸引顧客，設(shè)計(jì)了一個(gè)趣味小游戲，地面上劃有邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格，游戲參與者從網(wǎng)格的某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，每一步沿一個(gè)小正方形的對(duì)角線向右上方或右下方移動(dòng)，如圖所示．已知游戲參與者每步選擇向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的選擇是相互獨(dú)立的．
(1)商場(chǎng)規(guī)定：某顧客從出發(fā)，沿小正方形的對(duì)角線向右上方走一步得1分，向右下方走一步得分，當(dāng)他走完第四步后，得分為，求的分布列；
(2)商場(chǎng)制定了一個(gè)游戲規(guī)則：若顧客和老板都從出發(fā)，走到點(diǎn)的位置．設(shè)走完第步后，顧客位于點(diǎn)，老板位于點(diǎn)，其中且；若對(duì)任意且都有，則認(rèn)為顧客方獲勝．記顧客獲勝的概率為．
（i）當(dāng)時(shí)，求顧客獲勝的概率；
（ⅱ）求，并說(shuō)明顧客和老板在游戲中哪一方獲勝的概率更大．
參考公式：．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)（i）;（ⅱ）答案見(jiàn)解析
【分析】（1）先求出的取值情況，再分析每種情況表示的意義，借助獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算概率，進(jìn)而得到分布列即可；
（2）（i）運(yùn)用組合知識(shí)求出顧客和老板從步中選步是向右下方走的組合數(shù)，設(shè)顧客在第步向右下方走，則分情況討論老板的走法總數(shù)，再用概率公式計(jì)算即可.
（ⅱ）與（i）同理求出，變形借助函數(shù)的單調(diào)性，知道數(shù)列是遞減數(shù)列，再討論得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，可取.
當(dāng)，每次的操作使得分?jǐn)?shù)減少，每次操作的概率為.由于走了步，且每步都要使得分?jǐn)?shù)減少，所以.
當(dāng)意味著步中有步是使得分?jǐn)?shù)減少的操作，步是使得分?jǐn)?shù)增加的操作.
步中選步的組合數(shù)為.
每步操作的概率為，所以.
當(dāng)表示步中有步是使得分?jǐn)?shù)減少的操作，另外步是使得分?jǐn)?shù)增加的操作.
步中選步的組合數(shù)為.
每步操作概率為，所以.
當(dāng)意味著步中有步是使得分?jǐn)?shù)減少的操作，步是使得分?jǐn)?shù)增加的操作.
步中選步的組合數(shù)為.
每步操作概率為，所以.
，每次的操作使得分?jǐn)?shù)增加，每次操作概率為，走了步，
所以.
則的分布列為：
-4 -2 0 2 4
（2）（i）顧客一共需要走步，其中向右下方走步，向右上方走步.
從步中選步是向右下方走的組合數(shù)為.同理，老板也有種走法；
對(duì)任意，都有，可設(shè)顧客在第步向右下方走，則老板的走法有兩種情況：
情況一：老板在第1步到第步中有兩步向右下方行走，共種走法：
情況二：老板在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第k步中有一步向右下方行走，共種走法，所以顧客獲勝時(shí)，顧客與老板總的走法數(shù)為
所以
（ⅱ）當(dāng)顧客和老板都從出發(fā)，走到點(diǎn)的位置時(shí)， 顧客一共需要走步，其中向右下方走2步，向右上方走步，共有種走法；同理，老板也有種走法；
對(duì)任意都有，同樣可設(shè)顧客在第步向右下方走，則老板的走法有兩種情況：
情況一：老板在第1步到第步中有兩步向右下方行走，共種走法；
情況二：老板在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第k步中有一步向右下方行走，共種走法；
所以顧客獲勝時(shí)，顧客與老板總的走法數(shù)為
.
所以顧客獲勝的概率為
由于
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以數(shù)列是遞減數(shù)列，
又，所以當(dāng)時(shí)，有
所以在商場(chǎng)制定的游戲規(guī)則中， 當(dāng)時(shí)，顧客與老板的獲勝概率是相等的；
當(dāng)時(shí)，老板的獲勝概率更大.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問(wèn)關(guān)鍵是找清楚X的所以情況，以及代表的意思，結(jié)合獨(dú)立事件求概率；第二問(wèn)關(guān)鍵是找出顧客和老板的走法數(shù)情況，分類(lèi)討論，用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合得到單調(diào)性即可求解.題目較難，理解能力和計(jì)算能力要求高，屬于難題.
重難點(diǎn)17素材04
一、解答題
1．（24-25高三上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大小；
(2)當(dāng)時(shí)，求；
(3)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根據(jù)概念，結(jié)合頻率分布直方圖，代入可解.
（2）用頻率分布直方圖，結(jié)合的意義列不等式可解.
（3）分情況討論，得到分段函數(shù)，再求值域即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，所以．
（2）依題可知，右邊圖形最后一個(gè)小矩形的面積為，
所以．當(dāng)時(shí)，，
解得．此時(shí)．
（3）當(dāng)時(shí)，
．
當(dāng)時(shí)，
．
因?yàn)椋?br/>所以在區(qū)間的最小值為0.02．
又因?yàn)椋?br/>所以在區(qū)間上的值域是．
2．（2024·浙江·三模）為提高學(xué)生的思想政治覺(jué)悟，激發(fā)愛(ài)國(guó)熱情，增強(qiáng)國(guó)防觀念和國(guó)家安全意識(shí)，某校進(jìn)行軍訓(xùn)打靶競(jìng)賽．規(guī)則如下：每人共有3次機(jī)會(huì)，擊中靶心得1分，否則得0分、已知甲選手第一槍擊中靶心的概率為，且滿(mǎn)足：如果第n次射擊擊中靶心概率為p，那么當(dāng)?shù)趎次擊中靶心時(shí)，第次擊中靶心的概率也為p，否則第次擊中靶心的概率為．
(1)求甲選手得分X的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(2)有如下定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)，稱(chēng)為X的分布函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，有．因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間上的概率．
（i）寫(xiě)出（1）中甲選手得分X的分布函數(shù)（分段函數(shù)形式）；
（ii）靶子是半徑為2的一個(gè)圓盤(pán)，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比，假如選手射擊都能中靶，以Y表示彈著點(diǎn)與圓心的距離．試求隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)．
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）列出的可能值，并求出對(duì)應(yīng)的概率，可得的分布列，并求期望.
（2）根據(jù)分布函數(shù)的概念，求分布函數(shù).
【詳解】（1）甲選手得分X的取值可為0，1，2，3，
，．
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
X的數(shù)學(xué)期望是．
（2）（i）X的分布函數(shù)為；
（ii）設(shè)隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為，
若，此時(shí)；
若，由題意設(shè)，
當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)椋?br/>所以，即，
所以；
若，此時(shí)，
綜上所述，．
3．（23-24高三下·山西長(zhǎng)治·期中）蝗蟲(chóng)能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只蝗蟲(chóng)的平均產(chǎn)卵數(shù)（單位：個(gè)）和平均溫度（單位：）有關(guān)，根據(jù)以往在某地收集到的7組數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量并不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①與模型②作為平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度的回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.
平均溫度 21 23 25 27 29 32 35
平均產(chǎn)卵數(shù)個(gè) 5 9 22 25 65 118 324
441 529 625 729 841 1024 1225
1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78
27.43 773.43 81.14 3.55
20.03 0.37 0.29 0.0052
其中.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得出模型①，請(qǐng)建立模型②下關(guān)于的回歸方程；并在兩個(gè)模型下分別估計(jì)溫度為時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)；（與估計(jì)值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù)：）
(2)模型①，②的決定系數(shù)分別為，請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；
(3)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到以上時(shí)蝗蟲(chóng)會(huì)對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治.設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為，該地今后年恰好需要2次人工防治的概率為.
①求取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；
②當(dāng)取最大值時(shí)，設(shè)該地今后5年需要人工防治的次數(shù)為，求的均值和方差.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)模型②的擬合效果更好
(3)①；②
【分析】（1）先令，建立與的線性相關(guān)關(guān)系，利用表中數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法求出即可得解；
（2）根據(jù)決定系數(shù)的大小關(guān)系及意義即可得解；
（3）①先由題意得，再利用導(dǎo)數(shù)工具結(jié)合范圍即可得解；②由①得每年需要人工防治的概率為，故由題意，接著由二項(xiàng)分布的均值和方差公式即可得解.
【詳解】（1）令，則，
所以與呈線性相關(guān)關(guān)系，
由題，， ，
所以，故，
所以，故，
所以模型②下關(guān)于的回歸方程為；
當(dāng)時(shí)，
經(jīng)模型①計(jì)算估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)為，
經(jīng)模型②計(jì)算估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)為.
（2）因?yàn)槟Ｐ廷伲诘臎Q定系數(shù)分別為，故，
所以模型②的擬合效果更好.
（3）①由題，
所以
，
令得，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率.
②由①知，當(dāng)時(shí)取最大值，
所以當(dāng)時(shí)，，
則由題意可知每年需要人工防治的概率為，且，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)非線性回歸方程類(lèi)型與求解思路：
求解思路：非線性轉(zhuǎn)化成線性.
（1）指數(shù)型：
令，則與建立線性相關(guān)關(guān)系，
利用最小二乘法公式求出關(guān)于的線性回歸方程，進(jìn)而利用即可得到關(guān)于的回歸方程.
（2）冪函數(shù)型：
令，則，故與建立線性相關(guān)關(guān)系，
同理求出關(guān)于的線性回歸方程，即可利用得到關(guān)于的回歸方程.
（3）對(duì)數(shù)型：
令，則，故與建立線性相關(guān)關(guān)系，
同理求出關(guān)于的線性回歸方程，即可利用得到關(guān)于的回歸方程.
4．（24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.
(1)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；
單位：只
抗體 指標(biāo)值 合計(jì)
小于60 不小于60
有抗體
沒(méi)有抗體
合計(jì)
(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒(méi)有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.
（i）用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；
（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記100個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量.求及取最大值時(shí)的值.
參考公式：（其中為樣本容量）
參考數(shù)據(jù)：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，不能
(2)（i）；（ii），
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖算出每個(gè)區(qū)間段的小白鼠數(shù)量，然后根據(jù)指標(biāo)值完成列聯(lián)表，并根據(jù)參考公式進(jìn)行運(yùn)算，得到，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)比對(duì)，最終得到答案；
（2）（i）根據(jù)古典概型公式，結(jié)合對(duì)立事件概率求法即可得到答案；（ii）根據(jù)條件得到，利用二項(xiàng)分布的期望公式，即可求出期望；先設(shè)時(shí)，最大，根據(jù)最大，結(jié)合二項(xiàng)分布概率求法列出不等式組，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：
在內(nèi)有（只）；
在）內(nèi)有（只）；
在）內(nèi)有（只）；
在）內(nèi)有（只）；
在內(nèi)有（只）
由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只；而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有（只），
所以指標(biāo)值小于60且沒(méi)有抗體的小白鼠有20只，同理，指標(biāo)值不小于60且沒(méi)有抗體的小白鼠有20只，
故列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬褐?br/>抗體 指標(biāo)值 合計(jì)
小于60 不小于60
有抗體 50 110 160
沒(méi)有抗體 20 20 40
合計(jì) 70 130 200
零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無(wú)關(guān)聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得.
根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”.
記事件發(fā)生的概率分別為，則，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率.
（ii）由題意，知隨機(jī)變量，所以.
又，設(shè)時(shí)，最大，
所以
解得，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以.
5．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）籃球運(yùn)動(dòng)是在1891年由美國(guó)馬薩諸塞州斯普林爾德市基督教青年會(huì)訓(xùn)練學(xué)校體育教師詹姆士·奈史密斯博士，借鑒其他球類(lèi)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目設(shè)計(jì)發(fā)明的．起初，他將兩只桃籃釘在健身房?jī)?nèi)看臺(tái)的欄桿上，桃籃上沿離地面約米，用足球作為比賽工具，任何一方在獲球后，利用傳遞、運(yùn)拍，將球向籃內(nèi)投擲，投球入籃得一分，按得分多少?zèng)Q定比賽勝負(fù)．在1891年的12月21日，舉行了首次世界籃球比賽，后來(lái)籃球界就將此日定為國(guó)際籃球日．甲、乙兩人進(jìn)行投籃，比賽規(guī)則是：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分．已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和p，且每人進(jìn)球與否互不影響．
(1)若，求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；
(2)若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分別求得甲和乙在每一輪比賽中投進(jìn)球?qū)?yīng)的概率，再結(jié)合題意，求出乙在一輪比賽中獲得1個(gè)積分的概率即可；
（2）先求得乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的概率，設(shè)隨機(jī)變量表示輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式求得，進(jìn)而根據(jù)題意，列出不等關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)事件表示甲在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，表示乙在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，
則，，，；
，，，；
若乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分，則乙勝利次，
故其概率
.
（2）設(shè)事件表示乙每場(chǎng)比賽至少要超甲2個(gè)球，則
；
設(shè)隨機(jī)變量表示輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，
顯然，故，
要滿(mǎn)足題意，則，即，又，故，
令，則在恒成立，
故在上單調(diào)遞增，又的最大值為，
則的最大值為，的最小值為，而，
故理論上至少要進(jìn)行輪比賽.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)出隨機(jī)變量，利用二項(xiàng)分布的期望求解公式，解得；同時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值；屬綜合困難題.
6．（24-25高三上·吉林白城·階段練習(xí)）傳球是排球運(yùn)動(dòng)中最基本 最重要的一項(xiàng)技術(shù)．傳球是由準(zhǔn)備姿勢(shì) 迎球 擊球 手型 用力5個(gè)動(dòng)作部分組成．其中較難掌握的是觸球時(shí)的手型，因?yàn)橛|球時(shí)手型正確與否直接影響手控制球的能力和傳球的準(zhǔn)確性，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)掌握了正確手型才能保證正確擊球點(diǎn)和較好的運(yùn)用手指，手腕的彈力．從小張 小胡 小郭 小李 小陳這5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練．訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出．
(1)記小胡 小李 小陳這三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；
(2)若剛好抽到小胡 小李 小陳三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由小胡將球傳出，記次傳球后球在小胡手中的概率為．
①直接寫(xiě)出的值；
②求與的關(guān)系式，并求．
【答案】(1)分布列見(jiàn)解析
(2)①；②；
【分析】（1）依題意可知的可能取值為1、2、3，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列；
（2）①利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；
②記表示事件“經(jīng)過(guò)次傳球后，球在小胡手中”，由全概率公式可求，再由數(shù)列知識(shí)，由遞推公式求得通項(xiàng)公式．
【詳解】（1）的所有可能取值為，
所以，
所以的分布列為
1 2 3
（2）①由題意知，．
②記表示事件“經(jīng)過(guò)次傳球后，球在小胡手中”，，
所以
即
所以，且，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
即次傳球后球在小胡手中的概率是．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：離散型隨機(jī)變量的分布列問(wèn)題，首先確定離散型隨機(jī)變量的可能取值，再利用組合數(shù)公式和古典概型進(jìn)行求概率，列出分布列即可，第（2）問(wèn)，利用全概率公式建立等式，利用遞推關(guān)系和等比數(shù)列的定義、得出通項(xiàng)公式．
7．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝祖國(guó)周年華誕，某商場(chǎng)決定在國(guó)慶期間舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)．盒中裝有個(gè)除顏色外均相同的小球，其中個(gè)是紅球，個(gè)是黃球．每位顧客均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)時(shí)從盒中隨機(jī)取出球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“特等獎(jiǎng)”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“參與獎(jiǎng)”，并將該球放回盒中．
(1)在第2位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第1位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率；
(2)記為第個(gè)顧客參與后后來(lái)參與的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”的概率，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)事件為第個(gè)顧客參與時(shí)獲得最后一個(gè)“特等獎(jiǎng)”，要使發(fā)生概率最大，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）利用條件概率公式計(jì)算；
（2）將個(gè)顧客參與后后來(lái)的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”轉(zhuǎn)化為最后一位顧客中“特等獎(jiǎng)”，前位顧客中有一位中“特等獎(jiǎng)”，然后結(jié)合等比數(shù)列求和公式計(jì)算概率；
（3）根據(jù)概率最大列不等式，然后解不等式即可.
【詳解】（1）設(shè)第位顧客中“特等獎(jiǎng)”為事件，第位顧客中“參與獎(jiǎng)”為事件，
，，
故，
所以在第位顧客中“參與獎(jiǎng)”的條件下，第位顧客中“特等獎(jiǎng)”的概率為.
（2）由題意得，個(gè)顧客參與后后來(lái)的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”表示最后一位顧客中“特等獎(jiǎng)”，前位顧客中有一位中“特等獎(jiǎng)”，
所以
，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（3）設(shè)第個(gè)顧客參與時(shí)拿下最后一個(gè)“特等獎(jiǎng)”的概率最大，
則概率，
要使最大，即使最大，
所以，
即，化簡(jiǎn)得，且，
又在上單調(diào)遞減，
所以，綜上所述，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（2）的解題關(guān)鍵在于將個(gè)顧客參與后后來(lái)的顧客不再有機(jī)會(huì)中“特等獎(jiǎng)”轉(zhuǎn)化為最后一位顧客中“特等獎(jiǎng)”，前位顧客中有一位中“特等獎(jiǎng)”，然后求概率.
8．（24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）某校組織了投籃活動(dòng)幫助高三學(xué)生緩解壓力，該活動(dòng)的規(guī)則如下：①每個(gè)投籃人一次投一球，連續(xù)投多次；②當(dāng)投中2次時(shí)，這個(gè)投籃人的投籃活動(dòng)結(jié)束.已知某同學(xué)一次投籃命中率為，每次投籃之間相互獨(dú)立.記該同學(xué)投籃次數(shù)為隨機(jī)變量.
(1)求該同學(xué)投籃次數(shù)為4次時(shí)結(jié)束比賽的概率；
(2)求該同學(xué)投籃次數(shù)（不超過(guò)）的分布列；
(3)在（2）的前提下，若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析
(3)4
【分析】（1）根據(jù)題意解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)即可得到答案；
（2）根據(jù)題意先求出概率再列出分布列即可；
（3）結(jié)合（2）化簡(jiǎn)可得，應(yīng)用錯(cuò)位相減得出和最后結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可得到最小值.
【詳解】（1）根據(jù)題意，該同學(xué)投籃次數(shù)為4次時(shí)結(jié)束比賽，即投籃的前三次中只有一次投中，第四次必定投中，
所以投籃次數(shù)為4次時(shí)結(jié)束比賽的概率為.
（2）依題意，
投籃次數(shù)的可能取值為2，3，4，，
，
，
，
隨機(jī)變量的分布列如下表，
2 3 4

（3）由（2）得：，
化簡(jiǎn)得，
即.
記①，
則②，
由①-②，可得，
即，解得，
由此可得，，即.
設(shè)，
因?yàn)椋傻脭?shù)列是遞減數(shù)列.
又，，
所以整數(shù)n的最小值為4.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是錯(cuò)位相減法求出概率和，進(jìn)而化簡(jiǎn)結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可解題.
9．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)口袋都裝有3個(gè)小球（1個(gè)黑球和2個(gè)白球）.現(xiàn)從甲、乙口袋中各取1個(gè)小球交換放入另外一個(gè)口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交換小球次后，甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.
(1)求，；
(2)求，；
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明.
【答案】(1)，
(2)，
(3)，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)古典概型概率及互斥事件的概率公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)條件概率與全概率公式計(jì)算即可；
（3）討論第次換球后甲口袋中黑球的個(gè)數(shù)為1的情況下的三種情形，構(gòu)造等比數(shù)列計(jì)算通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列求和公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明即可.
【詳解】（1）第1次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，即從甲口袋取出的為白球且從乙口袋取出的為黑球，則.
第1次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，即從甲、乙口袋取出的同為白球或同為黑球，得.
（2）若第2次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，
則當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，
當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球時(shí)，第2次甲、乙口袋同取白球，
所以.
若第2次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，
則當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有0個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，
當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球時(shí)，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，
當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，
所以.
（3）第次換球后，甲口袋中的黑球個(gè)數(shù)為1的情形有：
①若第次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，則第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；
②若第次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，則第次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；
③若第次換球后甲口袋中有0個(gè)黑球，則第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.
所以.
設(shè)，
則，則，得.
又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
所以，即
所以
.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)條件概率與全概率公式得出第n次換球后甲袋1個(gè)黑球的第次換球后甲袋中黑球個(gè)數(shù)的情形得出的關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.
10．（23-24高三下·浙江·期中）一個(gè)航空航天的興趣小組，隨機(jī)對(duì)學(xué)校100名學(xué)生關(guān)于航空航天是否感興趣的話(huà)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中被選取的男女生的人數(shù)之比為11∶9．
(1)請(qǐng)補(bǔ)充完整列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)航空航天感興趣的情況與性別相關(guān)聯(lián)．
感興趣 不感興趣 合計(jì)
男生
女生 15
合計(jì) 50 100
(2)一名興趣小組成員在試驗(yàn)桌上進(jìn)行兩艘飛行器模型間的“交會(huì)對(duì)接”游戲，已知左右兩邊均有2艘“Q2運(yùn)輸船”和1艘“M1轉(zhuǎn)移塔”．游戲規(guī)則是每次在左右兩邊各任取一艘飛行器交換，假設(shè)“交會(huì)對(duì)接”重復(fù)了n次，記左邊剩余“M1轉(zhuǎn)移塔”的艘數(shù)為，左邊恰有1艘“M1轉(zhuǎn)移塔”的概率為，恰有2艘“M1轉(zhuǎn)移塔”的概率為，求
①求X的分布列；
②求；
③試判斷是否為定值，并加以證明．
附：，．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)填表見(jiàn)解析；有
(2)① 答案見(jiàn)解析；②；③為定值1，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先計(jì)算，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷即可；
（2）先寫(xiě)出分布列，再根據(jù)定義判斷等比數(shù)列求解，應(yīng)用全概率公式列式構(gòu)造新數(shù)列再證明數(shù)學(xué)期望的定值.
【詳解】（1）由題意得：
感興趣 不感興趣 合計(jì)
男生 35 20 55
女生 15 30 45
合計(jì) 50 50 100
則的觀測(cè)值為，
所以有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)航空航天感興趣的情況與性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)
（2）（ⅰ）由題可知，的可能取值為0，1，2．由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知：
；；
故的分布列如下表：
0 1 2
P
（ⅱ）由全概率公式可知：
即：，所以，所以，
又，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
所以，即．
（ⅲ）可判斷為定值
由全概率公式可得：
即：，又，
所以，
所以
又，
所以，
所以
所以
可得的分布列
0 1 2
P
所以
∴為定值1
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：先應(yīng)用全概率公式列式，再構(gòu)造新數(shù)列，進(jìn)而證明數(shù)學(xué)期望的定值.
11．（23-24高三下·山東青島·階段練習(xí)）某制藥公司研制了一款針對(duì)某種病毒的新疫苗，該病毒一般通過(guò)病鼠與白鼠之間的接觸傳染．現(xiàn)有n只白鼠，已知每只白鼠在未接種疫苗時(shí)，接觸病鼠后被感染的概率為，設(shè)隨機(jī)變量X表示n只白鼠在未接種疫苗時(shí)接觸病鼠后被感染的白鼠數(shù)，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相互獨(dú)立．
(1)若，求數(shù)學(xué)期望；
(2)設(shè)接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為p，將接種疫苗后的白鼠分成10組，每組10只，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)變量，表示第i組被感染的白鼠數(shù)．現(xiàn)將隨機(jī)變量)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示．
①試寫(xiě)出事件“”發(fā)生的概率表達(dá)式(用p表示，組合數(shù)不必計(jì)算)；
②現(xiàn)有兩個(gè)不同的研究團(tuán)隊(duì)理論研究發(fā)現(xiàn)概率p與參數(shù)的取值有關(guān)，團(tuán)隊(duì)A提出函數(shù)模型為，團(tuán)隊(duì)B提出函數(shù)模型為．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)時(shí)使得概率最大，稱(chēng)是θ的最大似然估計(jì)．根據(jù)這一原理和團(tuán)隊(duì)A，B提出的函數(shù)模型，判斷哪個(gè)團(tuán)隊(duì)的函數(shù)模型可以求出θ的最大似然估計(jì)，并求出最大似然估計(jì)．參考數(shù)據(jù)：．
【答案】(1)
(2)①；②團(tuán)體B，
【分析】（1）易知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，由，得，數(shù)學(xué)期望即可求解；
（2）①設(shè)“”，依題意得化簡(jiǎn)即可；②記，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得最大值，分別在團(tuán)體A，B中提出函數(shù)模型即可得答案．
【詳解】（1）由題知，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，
可知，
由，即，
可得，解得，
即，所以．
（2）①，
則，
可得．
②記，
則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值．
在團(tuán)體A提出的函數(shù)模型中，
記函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，取得最大值，則不可以估計(jì)；
在團(tuán)體提出的函數(shù)模型中，
記函數(shù)，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
令，解得，
則是的最大似然估計(jì)．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；
（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）．
12．（2024·山東濟(jì)南·二模）隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，且向四個(gè)方向移動(dòng)的概率均為 例如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在四點(diǎn)處.
(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)，記的取值為隨機(jī)變量 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)記第秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為.
（i）已知 求 以及；
（ii）令，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在，使得，則稱(chēng)粒子是常返的.已知 證明：該粒子是常返的.
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)（i）；；（ii）見(jiàn)解析
【分析】（1）求出求的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式求出；
（2）（i）粒子奇數(shù)秒不可能回到原點(diǎn)，故；粒子在第4秒回到原點(diǎn)，分兩種情況考慮，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原點(diǎn)，則必定向左移動(dòng)步，向右移動(dòng)步，向上移動(dòng)步，向下移動(dòng)步，表示出，由組合數(shù)公式化簡(jiǎn)即可得出答案；（ii）利用題目條件可證明，再令可證得，進(jìn)一步可得，即可得出答案.
【詳解】（1）粒子在第秒可能運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)或或的位置，的可能取值為：，
，，，
所以的分布列為：
.
（2）（i）粒子奇數(shù)秒不可能回到原點(diǎn)，故，
粒子在第4秒回到原點(diǎn)，分兩種情況考慮：
每一步分別是四個(gè)不同方向的排列，例如“上下左右”，共有種情形；
每一步分別是兩個(gè)相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有種情形；
于是，
第秒末粒子要回到原點(diǎn)，則必定向左移動(dòng)步，向右移動(dòng)步，向上移動(dòng)步，
向下移動(dòng)步，故
.
故.
（ii）利用可知：
，
于是，
令，，
故在上單調(diào)遞增，
則，于是，
從而有：，
即為不超過(guò)的最大整數(shù)，則對(duì)任意常數(shù)，當(dāng)時(shí)，
，于是,
綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立，因此該粒子是常返的.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)（ii）的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用可得，再令可證得，進(jìn)一步可得，即可得出答案.
13．（24-25高三上·湖南郴州·開(kāi)學(xué)考試）在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，猜是正面的概率為.猜是反面的概率為；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，猜是反面的概率為，猜是正面的概率為.假設(shè)每次扔硬幣相互獨(dú)立.
(1)若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測(cè)全部正確與猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率分別為，試比較的大小；
(2)若不管扔硬幣是正面還是反面猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，
（i）從下面①②③④中選出一定錯(cuò)誤的結(jié)論：
①；②；③，④
（ii）從（i）中選出一個(gè)可能正確的結(jié)論作為條件.用表示猜測(cè)的正反文字串，將中正面的個(gè)數(shù)記為，如“正反正反”，則，若扔四次硬幣分別為“正正反反”，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)答案見(jiàn)解析.
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求，作差可得，
分別在條件下確定差的正負(fù)，由此可得的大小關(guān)系，
（2）（i）由條件證明，由不等式性質(zhì)可求的范圍，由此確定一定錯(cuò)誤的結(jié)論；
（ii）由條件，結(jié)合互斥事件概率加法公式和獨(dú)立事件概率乘法公式求，
若選①，令，求出的范圍，化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其范圍；
若選③，令，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求的范圍，化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其范圍；
【詳解】（1）猜測(cè)全部正確的概率為，
猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率為，
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
（2）（i）若不管扔硬幣是正面還是反面，猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，
則，解得，
所以，
所以，
因此，②④一定錯(cuò)誤，
（ii）若扔四次硬幣分別為“正正反反”，事件包含以下三種情況：
兩個(gè)正都猜對(duì)，且兩個(gè)反都猜對(duì)，其概率為；
有且只有一個(gè)正猜對(duì)，且有且只有一個(gè)反猜對(duì)，其概率為；
兩個(gè)正都猜錯(cuò)，且兩個(gè)反都猜錯(cuò)，其概率為；
所以，
若選擇①，
令，則，其中，
所以，
所以，
記，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
即的取值范圍是
若選擇③，
此時(shí)，又，
所以，所以，
令，則
，，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因?yàn)?，，，
所以，，
記，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小問(wèn)解決的關(guān)鍵在于結(jié)合題意準(zhǔn)確理解事件，利用基本事件表示，再結(jié)合概率運(yùn)算公式求其概率表達(dá)式.
14．（2024·河北張家口·三模）在某項(xiàng)投資過(guò)程中，本金為，進(jìn)行了次投資后，資金為，每次投資的比例均為x（投入資金與該次投入前資金比值），投資利潤(rùn)率為r（所得利潤(rùn)與當(dāng)次投入資金的比值，盈利為正，虧損為負(fù)）的概率為P，在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)有多種盈利可能（設(shè)有n種可能），記利潤(rùn)率為的概率為（其中），其中，由大數(shù)定律可知，當(dāng)N足夠大時(shí)，利潤(rùn)率是的次數(shù)為．
(1)假設(shè)第1次投資后的利潤(rùn)率為，投資后的資金記為，求與的關(guān)系式；
(2)當(dāng)N足夠大時(shí)，證明：（其中）；
(3)將該理論運(yùn)用到非贏即輸?shù)挠螒蛑校涄A了的概率為，其利潤(rùn)率為；輸了的概率為，其利潤(rùn)率為，求最大時(shí)x的值（用含有的代數(shù)式表達(dá)，其中）．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)詳解；
(3).
【分析】（1）根據(jù)題意表示出利潤(rùn)，然后加上可得；
（2）根據(jù)題意得，然后利用累乘法求即可；
（3）利用（2）中結(jié)論得，然后利用導(dǎo)數(shù)求最大值點(diǎn)即可.
【詳解】（1）由題知，投入資金為，所獲利潤(rùn)為，所以.
（2）由題可知，，即，
所以
.
（3）由（2）可得，,
其中，故，故.
記，
則
，
根據(jù)實(shí)際意義知，，
則，
令，解得，
令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是尋找與的遞推關(guān)系，利用累乘法求出，然后由導(dǎo)數(shù)求最大值點(diǎn)即可.
15．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）生命的誕生與流逝是一個(gè)永恒的話(huà)題，就某種細(xì)胞而言，由該種細(xì)胞的一個(gè)個(gè)體進(jìn)行分裂，分裂后成為新細(xì)胞而原細(xì)胞不復(fù)存在，多次分裂后，由該個(gè)細(xì)胞繁殖而來(lái)的全部細(xì)胞均死亡，我們稱(chēng)該細(xì)胞“滅絕”.現(xiàn)已知某種細(xì)胞有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞（即死亡），...，有的概率分裂為個(gè)細(xì)胞.記事件：細(xì)胞最終滅絕，：細(xì)胞第一次分裂為個(gè)細(xì)胞.記該細(xì)胞第一次分裂后有個(gè)個(gè)體（分裂后的細(xì)胞互不影響），在概率論中，我們用的數(shù)學(xué)期望作為衡量生物滅絕可能性的依據(jù)，如果，則在理論上細(xì)胞就不會(huì)滅絕；相反，如果，則理論上我們認(rèn)為細(xì)胞在足夠多代的繁殖后會(huì)滅絕，而這兩種情況在生物界中都是普遍存在的.
(1)直接寫(xiě)出的數(shù)學(xué)期望.
(2)用只含和的概率式表示并證明該細(xì)胞滅絕的概率為關(guān)于方程：的最小正實(shí)根.
(3)若某種細(xì)胞發(fā)生基因突變，當(dāng)時(shí).
（ⅰ）若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后，有一個(gè)細(xì)胞具有與原細(xì)胞相同的活力，而另一細(xì)胞則在此后喪失分裂為兩個(gè)的能力（即只有可能分裂成個(gè)或個(gè)），求證：該細(xì)胞的滅絕是必然事件.
（ⅱ）受某種輻射污染，若當(dāng)其分裂為兩個(gè)細(xì)胞后分裂生成的兩個(gè)細(xì)胞此后均喪失分裂為個(gè)的能力，并等可能分裂為個(gè)或個(gè)細(xì)胞.我們稱(chēng)為“泛濫型細(xì)胞”，已知：，求出一個(gè)該種泛濫型細(xì)胞經(jīng)過(guò)次分裂，得到個(gè)細(xì)胞的概率.
【答案】(1)
(2)，，證明見(jiàn)解析
(3)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）
【分析】（1）對(duì)于求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義，是各個(gè)取值與其對(duì)應(yīng)概率乘積的和.
（2）在求事件A的概率表示時(shí)，需要用到全概率公式.對(duì)于證明滅絕概率是方程的根，要根據(jù)條件逐步推導(dǎo).
（3）對(duì)于證明細(xì)胞滅絕是必然事件，要根據(jù)新的分裂規(guī)則求出新的數(shù)學(xué)期望并判斷.求經(jīng)過(guò)n次分裂得到3個(gè)細(xì)胞的概率，需要根據(jù)分裂規(guī)則建立遞推關(guān)系求解.
【詳解】（1）.
（2），
則：，
，由于分裂后細(xì)胞相互獨(dú)立，
. ，
所以：.
若能取到中的所有數(shù)，則令：，有：，
為該方程的一個(gè)實(shí)根，.，
由于的每一項(xiàng)在上均單調(diào)遞增，故單調(diào)遞增，.
由于，則：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，，故在，只有唯一零點(diǎn)，
這是原方程的最小正實(shí)根，符合的實(shí)際意義；
②當(dāng)時(shí)，，故唯一使，
此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增且.
所以在有兩個(gè)零點(diǎn)與，其中：.由于，
故，故，此時(shí)也取到原方程的最小正實(shí)根，符合的實(shí)際意義.
綜上：該細(xì)胞滅絕的概率為關(guān)于方程：的最小正實(shí)根.
（3）（ⅰ）由（2）可知：若一個(gè)細(xì)胞失去分裂為兩個(gè)的能力，則滅絕概率，
故對(duì)該細(xì)胞母體：，
，解得：，該細(xì)胞的滅絕是必然事件.
（ⅱ）由條件：，
，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是求解時(shí)，讀懂題目，利用全概率的知識(shí)求解；二是求解的最值時(shí)，根據(jù)解析式的特點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)列知識(shí)來(lái)求解.
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