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專題18 洛必達法則
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題型01 洛必達法則的直接計算 1
題型02 洛必達法則解決最值問題 4
題型01 洛必達法則的直接計算
【解題規律·提分快招】
一、前言 在高中，涉及到求參數的取值范圍時，參數分離后，有時會出現分子與分母之比為兩個無窮小之比、兩個無窮大之比或兩個趨近于零的數之比。這個比值可能是定值也可能是不存在，這時如果我們要計算出他們的比值，就需要運用到洛必達法則。 二、洛必達法則定義 在一定條件下，通過分子分母分別求導，再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛必達法則。 三、法則形式 1、法則1（型）：若函數和滿足下列條件： （1）設當時， 及； （2）在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數； （3）；則：. 2、法則2（型）： 若函數和滿足下列條件： (1) 及； (2)在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；
(3)，則：. 3、法則3（型）：若函數和滿足下列條件： (1) 及；
(2)在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；且；
(3)，則：=. 【特別提醒】 （1）將上面公式中的換成洛必達法則也成立。 （2）洛必達法則可處理型。 （3）首先要檢查是否滿足型定式，否則用洛必達法會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則 （4）若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止。 （5）高中階段，洛必達法則一般是用來確定最值，方便解題。 四、適用類型的轉化 （1）型的轉化：或； （2）型的轉化： （3）、型的轉化：冪指函數類
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·吉林長春·期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子 分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，按此法則有（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】A
【分析】根據洛必達法則直接求導并代入計算即可.
【詳解】由題意可得
，
故選：A.
2．我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】判定當時，的極限即為型，再利用給定法則計算即可得解.
【詳解】顯然，當時，的極限即為型，
所以：.
故選：B
二、填空題
3．年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有 ．
【答案】
【分析】由洛必達法則，分別對分子和分母求導，代入即可求得該極限值.
【詳解】由題意可得：．
故答案為：.
題型02 洛必達法則解決最值問題
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）恒成立,求的取值范圍
【答案】
【分析】常數分離得，判斷的單調性并用羅比塔法則求其最小值.
【詳解】，
記，，
則，
記，
則，
而，
所以,在單調遞增,所以，
所以,在單調遞增,所以，
即在上,所以在上單調遞增，
所以，
所以.
2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．當時，求的取值范圍．
【答案】
【分析】分離參數，構造新函數，及，判定其導函數的符號結合洛必達法則計算即可.
【詳解】由題意可知，當時，即等價于．
設，則
設，則，因為，所以，
即當時，，所以在上單調遞減，
當時，，當時，滿足洛必達法則，
所以，
即當時，的取值范圍是．
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，如果當，且時，，求的取值范圍．
【答案】
【分析】將題意轉化為，令，利用洛必達法則求出，即可得出答案.
【詳解】根據題目的條件，當且時，
得，等價于．
設，，
因為，設，
則，
所以在上單調遞增，
因為，所以當時，，
即在上單調遞減，當在上單調遞增．
當趨近時，趨近，當趨近時，趨近，
所以符合洛必達法則的條件，
即，
所以當時，
所以的取值范圍是．
4．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數學工具——洛必達法則，法則中有結論：若函數，的導函數分別為，，且，則
.
②設，k是大于1的正整數，若函數滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數為區間上的k階無窮遞降函數.
結合以上兩個信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區間上的2階無窮遞降函數；
(2)計算：；
(3)證明：，.
【答案】(1)不是區間上的2階無窮遞降函數；
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據函數為區間上的k階無窮遞降函數的定義即可判斷；
（2）通過構造，再結合即可得到結果；
（3）通過換元令令，則原不等式等價于，再通過構造函數，根據題干中函數為區間上的k階無窮遞降函數的定義證出，即可證明結論.
【詳解】（1）設，
由于，
所以不成立，
故不是區間上的2階無窮遞降函數.
（2）設，則，
設，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價于，
即證，
記，則，
所以，
即有對任意，均有，
所以，
因為，
所以，
所以，證畢!
【點睛】方法點睛：利用函數方法證明不等式成立問題時，應準確構造相應的函數，注意題干條件中相關限制條件的轉化.
一、單選題
1．（23-24高三下·北京朝陽·期中）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據洛必達法則求解即可.
【詳解】.
故選：B
2．（23-24高三下·新疆伊犁·期中）我們把分子 分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子 分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據題意利用洛必達法則求解即可
【詳解】由題意得，
故選：B
二、解答題
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，當時，，求實數a的取值范圍.
【答案】
【分析】考慮和兩種情況，參變分離，構造函數，求導得到其單調性，得到，結合洛必達法則求出答案.
【詳解】當時，，即，
①當時，，，
②當時，等價于，
即，
令，，則，
記，，
則，因此在上單調遞增，
且，所以， 從而在上單調遞增，
所以，
由洛必達法則得，
即，.
綜上所述，實數a的取值范圍為.
4．（2024高三·全國·專題練習），恒成立，求的取值范圍
【答案】
【分析】根據題意，先討論的情況，然后討論的情況，分離參數，利用導數求其最值，即可得到結果.
【詳解】當時，;
當時，不等式可化為.
記，
則，
記，則，
當時，則; 當時，則.
因為，并且，所以.
這時符合題意.
綜上可知，的取值范圍是.
5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，若當時，恒有成立，求實數的取值范圍．
【答案】
【分析】由題意分離參數可得，令，對求導，求出的單調性結合洛必達法則求出的最大值.
【詳解】∵，∴．
∴當時，，即單調遞減；
當時，，即單調遞增．
若當時，恒有成立，即恒有成立．
當時，不等式恒成立．
當時，恒有成立，
即，令，
則．
令，則，進一步，
∴ 在上單調遞減，∴．
∴在上單調遞減，∴．
即在上恒成立，∴在上單調遞減．
∴，∴．
綜上，的取值范圍為．
6．（2024高三·全國·專題練習）設函數，
(1)若，（為常數），求的解析式；
(2)在（1）條件下，若當時，，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據，求解；
（2）由（1）知時，，此時，，將問題轉化為對恒成立求解．
【詳解】（1）解：因為，，
所以，，
解得，
所以；
（2）由（1）可知，時，，此時，；
故時，成立時，成立，
對恒成立，
即對恒成立；
記，則，
記，則，
記 ，則 ，
∴當0時，，在上單調遞增；
，
所以在上單調遞增；；
∴時，0，即在上單調遞增；
記，，
當時，，符合洛必達法則條件，
∴，
∴時，，
∴．
【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題，往往通過求解或轉化為或求解.
7．（23-24高三下·山東泰安·期中）①在高等數學中，關于極限的計算，常會用到：i)四則運算法則：如果，，則，，若B≠0，則；ii)洛必達法則：若函數，的導函數分別為，，，，則；
②設，k是大于1的正整數，若函數滿足：對，均有成立，則稱函數為區間(0,a)上的k階無窮遞降函數.結合以上兩個信息，回答下列問題；
(1)計算：①；
②；
(2)試判斷是否為區間上的2階無窮遞降函數；并證明：，.
【答案】(1)①1；②
(2)是，證明見解析
【分析】（1）① 根據題干中洛必達法則進行計算即可得解；②設，根據洛必達法則求出，利用變換得解；
（2）方法一，，均有，同理可得，利用洛必達法則1可得，得證；
方法二，利用導數可得在上單調遞增，又由，得證．
【詳解】（1）①根據洛必達法則，；
②設，兩邊同時取對數得，，
設，，
∴，∴
（2）∵，，
∴，，，
∴
∴，均有，
∴是區間上的2階無窮遞降函數.
方法一：
以上同理可得，
由①，得
∴，.
方法二：
設，，
則
設，，則
∴在上單調遞增，又，∴在上恒成立，
∴∴在上單調遞增，∵，
∴在上但成立，∴，
∴在上單調遞增，
又
∴，.
【點睛】思路點睛：本題考查新定義，注意理解新定義.第1小題，構造函數，根據洛必達法則求出，得解； 第2小題，方法1先證明是區間上的2階無窮遞降函數，同理可得，根據洛必達法則可得；方法2，利用導數可判斷在上單調遞增，再根據洛必達法則求出，即可.
8．（2024·河北邢臺·二模）在函數極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數和滿足下列條件：
①且（或，）；
②在點的附近區域內兩者都可導，且；
③（可為實數，也可為），則．
(1)用洛必達法則求；
(2)函數（，），判斷并說明的零點個數；
(3)已知，，，求的解析式．
參考公式：，．
【答案】(1)
(2)僅在時存在1個零點，理由見解析
(3)
【分析】（1）利用洛必達法則求解即可；
（2）構造函數，結合的單調性求解即可；
（3）利用累乘法求出的表達式，然后結合，利用洛必達法則求極限即可.
【詳解】（1）
（2），，
所以，．
當時，，函數在上單調遞減，
當時，，函數在上單調遞增，
，，
當時，，所以僅在時存在1個零點．
（3），所以，，…，
將各式相乘得，
兩側同時運算極限，所以，
即，
令，原式可化為，又，
由（1）得，
故，由題意函數的定義域為，
綜上，
【點睛】方法點睛：本題考查新定義，注意理解新定義，結合洛必達法則的適用條件，構造函數，從而利用洛必達法則求極限.
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題型01 洛必達法則的直接計算 1
題型02 洛必達法則解決最值問題 3
題型01 洛必達法則的直接計算
【解題規律·提分快招】
一、前言 在高中，涉及到求參數的取值范圍時，參數分離后，有時會出現分子與分母之比為兩個無窮小之比、兩個無窮大之比或兩個趨近于零的數之比。這個比值可能是定值也可能是不存在，這時如果我們要計算出他們的比值，就需要運用到洛必達法則。 二、洛必達法則定義 在一定條件下，通過分子分母分別求導，再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛必達法則。 三、法則形式 1、法則1（型）：若函數和滿足下列條件： （1）設當時， 及； （2）在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數； （3）；則：. 2、法則2（型）： 若函數和滿足下列條件： (1) 及； (2)在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；
(3)，則：. 3、法則3（型）：若函數和滿足下列條件： (1) 及；
(2)在點處函數和的圖像是連續的，即函數和在點處存在導數；且；
(3)，則：=. 【特別提醒】 （1）將上面公式中的換成洛必達法則也成立。 （2）洛必達法則可處理型。 （3）首先要檢查是否滿足型定式，否則用洛必達法會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則 （4）若條件符合，洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止。 （5）高中階段，洛必達法則一般是用來確定最值，方便解題。 四、適用類型的轉化 （1）型的轉化：或； （2）型的轉化： （3）、型的轉化：冪指函數類
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·吉林長春·期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子 分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，按此法則有（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-2
2．我們把分子、分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、填空題
3．年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有 ．
題型02 洛必達法則解決最值問題
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024高三·全國·專題練習）恒成立,求的取值范圍
2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數．當時，求的取值范圍．
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，如果當，且時，，求的取值范圍．
4．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數學工具——洛必達法則，法則中有結論：若函數，的導函數分別為，，且，則
.
②設，k是大于1的正整數，若函數滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數為區間上的k階無窮遞降函數.
結合以上兩個信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區間上的2階無窮遞降函數；
(2)計算：；
(3)證明：，.
一、單選題
1．（23-24高三下·北京朝陽·期中）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（23-24高三下·新疆伊犁·期中）我們把分子 分母同時趨近于0的分式結構稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子 分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（ ）
A． B． C．1 D．2
二、解答題
3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，當時，，求實數a的取值范圍.
4．（2024高三·全國·專題練習），恒成立，求的取值范圍
5．（2024高三·全國·專題練習）已知函數，若當時，恒有成立，求實數的取值范圍．
6．（2024高三·全國·專題練習）設函數，
(1)若，（為常數），求的解析式；
(2)在（1）條件下，若當時，，求的取值范圍．
7．（23-24高三下·山東泰安·期中）①在高等數學中，關于極限的計算，常會用到：i)四則運算法則：如果，，則，，若B≠0，則；ii)洛必達法則：若函數，的導函數分別為，，，，則；
②設，k是大于1的正整數，若函數滿足：對，均有成立，則稱函數為區間(0,a)上的k階無窮遞降函數.結合以上兩個信息，回答下列問題；
(1)計算：①；
②；
(2)試判斷是否為區間上的2階無窮遞降函數；并證明：，.
8．（2024·河北邢臺·二模）在函數極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數和滿足下列條件：
①且（或，）；
②在點的附近區域內兩者都可導，且；
③（可為實數，也可為），則．
(1)用洛必達法則求；
(2)函數（，），判斷并說明的零點個數；
(3)已知，，，求的解析式．
參考公式：，．
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