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專題16 排列組合中的常見題型與技巧應用
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題型01 特殊元素、特殊元素位置法 1
題型02 捆綁法 3
題型03 插空法 5
題型04 間接法 7
題型05 倍縮法 9
題型06 排數問題 11
題型07 分組、分配問題 14
題型08 染色問題 17
題型01 特殊元素、特殊元素位置法
【解題規律·提分快招】
對有限制條件的元素（或位置）要優先考慮，位置優先法和元素優先法是解決排列組合問題最常用的方法。若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）將字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必須在b的左邊，則不同的安排方法種數為（ ）
A．260 B．300 C．360 D．380
【答案】C
【分析】先安排a，b，然后排其它字母，由此計算出不同的安排方法.
【詳解】先安排a，b，方法數有種方法，再安排其他字母，方法數有種，故不同的安排方法有種．
故選：C.
2．（24-25高三上·江蘇常州·期末）某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數學、英語、體育、藝術、通技各一節課的課表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先排數學、體育，再排其余4節，利用乘法原理即可得到結果．
【詳解】由題意，要求數學課排在上午，體育課排在下午，有種排法，
再排其余4節，有種排法，
根據乘法原理，共有種排法，
故選：B．
3．（23-24高三下·山西太原·期末）北京時間2024年4月26日，神舟十七號航天員乘組和神舟十八號航天員乘組勝利會師“天宮”.隨后，兩個乘組要拍張“全家福”照片，向全國人民報平安.已知兩個乘組各3人，每個乘組有一名指令長.拍照時，要求站兩排，前排2人，后排4人.若兩個指令長在前排，則不同的排法種數為（ ）
A．24 B．48 C．360 D．720
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用分步乘法計數原理及全排列問題列式計算即得.
【詳解】依題意，排前排2人有種方法，排后排4人有種方法，
由分步乘法計數原理得不同排法種數是.
故選：B
4．（23-24高三下·江蘇連云港·期中）現有5名男生（含1名班長）、2名女生站成一排合影留念，要求班長必須站中間，他的兩側均為兩男1女，則總的站排方法共有（ ）
A．216 B．432 C．864 D．1728
【答案】B
【分析】先排班長左側再排班長右側位置即可求得排法總數.
【詳解】班長站在中間，有1個方法，先選2男生1女生排在班長左側，有個方法，
將余下的3人排在班長右側，有個方法，
則符合要求的方法總數為.
故選：B
5．（24-25高三上·湖北隨州·期末）在某次太空游行中，宇航員們負責的科學實驗要經過5道程序，其中，兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（ ）
A．18種 B．36種 C．72種 D．108種
【答案】B
【分析】先排，兩道程序，再排剩余的3道程序，按照分步乘法計數原理計算可得.
【詳解】先排，兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，
則在第2，3，4道程序中選兩個放，，共有種安排方法；
再排剩余的3道程序，共有種安排方法，
所以一共有種不同的順序安排方法.
故選：B.
6．（2025高三·全國·專題練習）中國體育代表團在2024年巴黎奧運會上取得了40枚金牌的輝煌成績.某視頻自媒體平臺選出關注度比較高的等10名金牌獲得者，再從中選出6名，準備連續6天分別向觀眾介紹，且每天只介紹1名，則必須介紹且在前3天介紹，至少選2名進行介紹的所有方法種數為（ ）
A．720 B．1680 C．4320 D．5040
【答案】D
【分析】根據題意，先考慮除外剩下的4名金牌獲得者的選取情況分兩種和，再利用排列運算求解.
【詳解】由題可得選中的6名金牌獲得者中必須有，且至少有2名被選中，
則除外剩下的4名金牌獲得者的選取情況種數為，
又必須在前3天介紹，所以符合條件的方法種數為.
故選：D.
題型02 捆綁法
【解題規律·提分快招】
捆綁法指將聯系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個整體，再與其他元素進行排列，同時要注意合并后內部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對待，能大大降低分析問題的難度.采用捆綁法分析排列組合問題,剩余元素的處理應考慮其是排列問題還是組合問題,對于組合問題需將“順序”帶來的影響消除掉.
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·江西南昌·期末）現有6位同學站成一排照相，其中甲、乙兩位同學相鄰的排法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由捆綁法及全排列即可求解；
【詳解】將甲、乙兩位同學捆綁，再和另外4位同學全排列，即.
故選：B
2．（24-25高三上·廣西梧州·期末）北京時間2024年6月2日，嫦娥六號成功著陸月球背面，開啟人類探測器首次在月球背面實施的樣品采集任務.某天文興趣小組在此基礎上開展了月球知識宣傳活動，活動結束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數為（ ）
A．2880 B．1440 C．720 D．576
【答案】A
【分析】相鄰問題采取“捆綁法”，先將4名女生排在一起，再將4名女生作為一個整體和4名男生排列即可求解.
【詳解】先將4名女生排在一起，有種方法，再將4名女生作為一個整體和4名男生排列，有種方法，故4名女生相鄰的站法種數為.
故選：A.
【點睛】本題主要考查排列的應用，屬于中檔題.常見排列數的求法為：
（1）相鄰問題采取“捆綁法”；
（2）不相鄰問題采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“優先法”；
（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數.
3．（24-25高三下·全國·課后作業）一位語文老師在網上購買了四書五經各一套，四書指《大學》《中庸》《論語》《孟子》，五經指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數為（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
【答案】D
【分析】計算出所有情況后減去《大學》和《春秋》相鄰的情況即可得.
【詳解】四書、五經必須分別排在一起，共有種，
若《大學》和《春秋》相鄰，則不符合條件，共有種，
則共有種．
故選：D.
4．（24-25高三下·全國·課后作業）春節是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現有6個自編節目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節目的演出順序有如下要求：“雜技節目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（ ）
A．240種 B．188種 C．144種 D．120種
【答案】D
【分析】先將“相聲”與“小品”排在一起再與其它4個節目排序，最后考慮雜技節目在前三位或在后三位情況一樣,即可得出答案.
【詳解】先將“相聲”與“小品”排在一起，有種排法，再與其它4個節目排序，有種排法，
最后考慮雜技節目在前三位或在后三位情況一樣，所以有種．
故選：D.
5．（2024高三·全國·專題練習）2024年春節放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（ ）
A．1440種 B．1360種
C．1282種 D．1128種
【答案】D
【分析】運用捆綁法，結合分類討論和排列組合知識計算即可.
【詳解】采取對丙和甲進行捆綁的方法：
如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：種，
如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：種，
若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：種．
則不同的安排方案共有(種)．
故選：D．
題型03 插空法
【解題規律·提分快招】
插空法在分析元素不相鄰問題時較為常用，即先將無特殊要求的元素排列好，而后看其產生多個滿足題意的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿足題目的相關要求.
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·遼寧·期末）國慶期間，中華世紀壇舉辦“傳奇之旅：馬可 波羅與絲綢之路上的世界”展覽，現有8個同學站成一排進行游覽參觀，若將甲、乙、丙3個同學新加入排列，且甲、乙、丙互不相鄰，保持原來8個同學順序不變，則不同的方法種數為（ ）
A．84 B．120 C．504 D．720
【答案】C
【分析】不相鄰問題插空法，8個同學一排有9個空，把甲、乙、丙插在9個空即可.
【詳解】8個同學站成一排有9個空，甲、乙、丙在9個空中任意排列，則不同的方法種數為.
故選：C.
2．（2025高三·全國·專題練習）現需將編號分別為1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，則編號恰好奇偶相間的排班方法數共有（ ）
A．8 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【分析】根據插空法即可求解.
【詳解】先將3個奇數編號排好，有種方法，
然后將2，4插入到排好的奇數的中間可得，
故共有種．
故選：B．
3．（23-24高三下·廣東·期中）某種產品的加上需要經過A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（ ）
A．960種 B．836種
C．816種 D．720種
【答案】A
【分析】先捆綁，再全排列后插空得出加工順序.
【詳解】先捆綁再和排列，然后插入
共有種排法．
故選：A.
4．（福建省漳州市2024-2025學年高三上學期期末考試數學試題）據典籍《周禮·春官》記載，“宮、商、角、徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.若把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，則“宮”和“角”之間恰好有一個音階的排法種數為（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【答案】D
【分析】利用插空法和分步計數原理求解.
【詳解】先從“商、徵、羽”中選一個插在“宮”和“角”之間，有，
再作為一個整體和剩下的兩個音階排列，
所以共有種排法.
故選：D
5．（24-25高三上·江蘇常州·期末）有四名男生，三名女生排隊照相，七個人排成一排，則下列說法正確的是（ ）
A．如果四名男生必須連排在一起，那么有576種不同排法
B．如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法
C．如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，那么有720種不同排法
D．如果女生不能站在兩端，那么有720種不同排法
【答案】A
【分析】根據捆綁法、特殊位置的排列和插空法計算，依次判斷選項即可.
【詳解】A：如果四名男生必須連排在一起，將這四名男生捆綁，形成一個“大元素”，
此時，共有種不同的排法，故A正確；
B：如果三名女生必須連排在一起，將這三名女生捆綁，形成一個“大元素”，
此時，共有種不同的排法種數，故B錯誤；
C：如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，將女生插入四名男生所形成的5個空中，
此時，共有種不同的排法種數，故C錯誤；
D：如果女生不能站在兩端，則兩端安排男生，其他位置的安排沒有限制，
此時，共有種不同的排法種數，故D錯誤.
故選：A
6．（24-25高三上·浙江·開學考試）將若干個除顏色外完全相同的紅色小球和黑色小球排成一列，要求所有的紅球互不相鄰，當小球的總數為8時，滿足條件的不同排列方法的總數之和為（）
A．20 B．36 C．54 D．108
【答案】C
【分析】根據題意可知最多有4個紅球，因此根據紅球個數進行討論即可，不相鄰問題用“插空法”.
【詳解】8個除顏色外完全相同的球，要使紅球互不相鄰，則最多有4個紅球，根據紅球個數分類討論:
1個紅球7個黑球：先排7個黑球共有1中排法，從8個空里面選出1個空讓紅球插入，有種選法;
2個紅球6個黑球：先排6個黑球共有1中排法，從7個空里面選出2個空讓紅球插入，有種選法;
3個紅球5個黑球：先排5個黑球共有1中排法，從6個空里面選出3個空讓紅球插入，有種選法;
4個紅球4個黑球：先排4個黑球共有1中排法，從5個空里面選出4個空讓紅球插入，有種選法;
所以滿足條件的不同排列方法的總數之和為.
故選：C.
題型04 間接法
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·廣東深圳·期末）某學校高三年級開設了乒乓球、羽毛球和籃球三門課，甲、乙兩位同學每人從中選擇一門，且允許多位同學選擇同一門課．若至少有一位同學選擇了乒乓球，則這兩位同學不同的選課方法共有（ ）種．
A．2 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【分析】先求出所有可能的選課方法總數，再求出沒有人選擇乒乓球的選課方法數，作差即可求解.
【詳解】甲乙兩位同學每人從乒乓球、羽毛球和籃球三門課中選擇一門，共有種選課方法，
甲乙兩位同學都未選乒乓球，共有種選課方法，
則甲乙兩位同學至少有一位同學選擇了乒乓球，不同的選課方法共有種.
故選：C.
2．（24-25高三上·江蘇常州·期中）有甲、乙等5名同學咨詢數學史知識競賽分數.教師說：甲不是5人中分數最高的，乙不是5人中分數最低的，而且5人的分數互不相同.則這5名同學的可能排名有（ ）
A．42種 B．72種 C．78種 D．120種
【答案】C
【分析】先計算，然后減去不符合題意的情況，由此求得正確答案.
【詳解】不符合題意的情況是：甲是最高分或乙是最低分，
所以這5名同學的可能排名有種.
故選：C
3．（24-25高三上·山東日照·期末）從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【分析】利用間接法即可得解.
【詳解】從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，不同的選法種數為種，
若甲、乙兩人都被選中，則不同的選法種數為種，
因此，甲、乙至多有人被選中的不同選法有種.
故選：C.
4．（24-25高三上·貴州遵義·期末）設集合，集合，那么集合中滿足的元素的個數為（ ）
A．12 B．18 C．22 D．24
【答案】C
【分析】先計算出集合中元素個數，再計算出集合中滿足的元素個數，兩者相減即可得.
【詳解】集合中元素個數共有個，
若，則有，
則可能，共1種；
或，或，共2種；
或，或，共2種；
故集合中滿足的元素的個數為.
故選：C.
5．（24-25高三上·河南駐馬店·階段練習）某中學高三年級入學進行了一場為期一周的軍訓，在軍訓過程中，教官根據班級表現從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”四個獎項．已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（ ）
A．57種 B．60種 C．114種 D．120種
【答案】A
【分析】利用間接法，結合分步乘法計數原理可得解.
【詳解】設獲獎的三個班級分別為，，，首先分配“先進集體”獎，有（種）可能；
繼續分配“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”這三個獎項，每個獎項分別有，，三種可能，于是有（種）可能，相乘一共有（種）可能，
其中一個班級一個獎項都不獲得，也就是分配“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”這三個獎項時均分配到兩個獲得“先進集體”獎的班級，共有（種）可能；
兩者相減得所有的頒獎方式有（種）．
故選：A．
題型05 倍縮法
【解題規律·提分快招】
部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問題，稱之為定序（排列）問題．定序問題可以用倍縮法.
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·廣東·開學考試）從2024年伊始，各地旅游業爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學一個寢室6位同學慕名而來，游覽結束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（ ）
A．480種 B．240種 C．120種 D．60種
【答案】C
【分析】結合捆綁法與全排列，并消除和的順序即可求解.
【詳解】站在一起有種，
將看成一個整體與進行全排列，共有種，
同時要求在的左邊，共有種．
故選：.
2．（24-25高三下·全國·課后作業）春節是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現有6個自編節目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節目的演出順序有如下要求：“雜技節目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（ ）
A．240種 B．188種 C．144種 D．120種
【答案】D
【分析】先將“相聲”與“小品”排在一起再與其它4個節目排序，最后考慮雜技節目在前三位或在后三位情況一樣,即可得出答案.
【詳解】先將“相聲”與“小品”排在一起，有種排法，再與其它4個節目排序，有種排法，
最后考慮雜技節目在前三位或在后三位情況一樣，所以有種．
故選：D.
3．（23-24高三下·湖北武漢·期中）三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
【答案】C
【分析】由排列數的計算，結合定序問題倍縮法，代入計算，即可求解.
【詳解】
將8只氣球編號，依次從下往上，從右往左編號為，
問題等價于8只氣球排列，
其中號，號，號必須是從下到上的順序打破氣球，
則有種.
故選：C
4．（23-24高三下·安徽合肥·階段練習）一班有5名棋手，出場次序已經排定，二班有2名棋手，現要排出這7人的出場順序，如果不改變一班棋手出場次序，那么不同排法有（ ）種
A．12 B．20 C．30 D．42
【答案】D
【分析】把7名棋手作全排列，而原有5名棋手的排列只有一種順序，利用縮倍法列式計算即得.
【詳解】依題意，7名棋手作全排列為，其中原有5名棋手的排列有，
所以不改變一班棋手出場次序的不同排法種數有.
故選：D
5．（23-24高三下·江蘇鎮江·期中）某單位開展聯歡活動，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項介于丁和戊之間”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數是（ ）
A．15 B．18 C．22 D．26
【答案】D
【分析】根據給定條件，按甲是否是特等獎分類，再結合丙的情況利用倍分法列式計算即得.
【詳解】甲是特等獎，不考慮丙的位置有種；甲不是特等獎，不考慮丙的位置有種；
而丙在丁和戊之間占，所以5人的獎項的所有可能的種數是.
故選：D
題型06 排數問題
【解題規律·提分快招】
對于有限制條件的數字排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時注意隱含條件：0不能在首位.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）對于各數位均不為0的三位數，若兩位數和均為完全平方數，則稱具有“性質”，則具有“性質”的三位數的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】完全平方數、新定義問題
【詳解】因為兩位數的完全平方數有（提示：完全平方數指一個數能表示成某個整數的平方的形式），所以具有“性質”的三位數有，共4個．
故選：D.
2．（23-24高三下·江蘇無錫·階段練習）用0．1，2，3，4這5個數字組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（ ）
A．24個 B．26個 C．30個 D．42個
【答案】C
【分析】利用分類加法和分步乘法計數原理，結合排列的定義即可求.
【詳解】若0在個位，則可組成個偶數；
若2在個位，則可組成個偶數；
若4在個位，則可組成個偶數；
所以偶數共有個.
故選：C
3．（2024·山東淄博·一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數…的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
【答案】B
【分析】分兩個2之間是8和不是8兩大類討論即可.
【詳解】若兩個2之間是8，則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；
828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12種
若兩個2之間是1或7，則有272818；818272；212878； 878212，共4種；
則總共有16種，
故選：B.
4．（2024高三·全國·專題練習）從1，3，5，7中任取2個數字，從0，2，4，6，8中任取2個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有（ ）
A．252個 B．300個
C．324個 D．228個
【答案】B
【分析】根據題意，分三種情況進行討論，四位數中包含5和0的情況，四位數中包含5，不含0的情況，四位數中包含0，不含5的情況，再由分步計數原理，即可求解．
【詳解】（1）若四位數中含有數字0不含數字5，則選法是，可以組成四位數個；
（2）若四位數中含有數字5不含數字0，則選法是，可以組成四位數個；
（3）若既含數字0，又含數字5，選法是，排法是若0在個位，有種，
若5在個位，有種，故可以組成四位數 個．
根據加法原理，共有個．
故選：Ｂ．
5．（2024·浙江·模擬預測）用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，則數字3在五位數中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出基本事件總數n，再求出數字3在五位數中位于1和5之間的基本事件數m，利用古典概型的概率公式計算即可.
【詳解】用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，
基本事件總數，
數字3在五位數中位于1和5之間的基本事件個數，
則數字3在五位數中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為．
故選：D．
6．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習）中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1，某公園的六角亭是中國常見的一種供休閑的古建筑，六角亭屋頂的結構示意圖可近似地看作如圖2所示的六棱錐.該公園管理處準備用風鈴裝飾六角亭屋頂的六個頂點A，B，C，D，E，F，現有四種不同形狀的風鈴可供選用，則在相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風鈴的條件下，頂點A與C處掛同一種形狀的風鈴的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】記事件G：相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風鈴，事件H：A與C處掛同一種形狀的風鈴.分三類討論求出事件G的掛法總數，分兩類討論求出對于事件H的掛法總數，結合條件概率的計算公式計算即可求解.
【詳解】記事件G：相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風鈴，事件H：A與C處掛同一種形狀的風鈴.
對于事件G，包含的情況可分以下三類：
（1）當A，C，E掛同一種形狀的風鈴時，有4種掛法，
此時B，D，F各有3種掛法，故不同的掛法共有4×3×3×3=108種；
（2）當A，C，E掛兩種不同形狀的風鈴時，有種掛法，
此時B，D，F有3×2×2種掛法，故不同的掛法共有種；
（3）當A，C，E掛三種不同形狀的風鈴時，有種掛法，
此時B，D，F各有2種掛法，故不同的掛法共有種.
綜上，總計有108+432+192=732種掛法，即.
當頂點A與C掛同一種形狀的風鈴，且相鄰兩頂點掛不同形狀的風鈴時，分以下兩類：
（1）A，C，E掛同一種形狀的風鈴，由前面解析可知，此時不同的掛法有108種；
（2）當A，C掛同一種形狀的風鈴，E掛其他形狀的風鈴時，有種掛法，
此時B，D，F有3×2×2種掛法，故不同的掛法共有種.
綜上，總計有108+144=252種掛法，即，
故.
故選：C.
題型07 分組、分配問題
【解題規律·提分快招】
①整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數． ②局部均分問題，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數． ③不等分問題，只需先分組，后排列，分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則分配方案有（ ）
A．36種 B．24種 C．18種 D．12種
【答案】C
【分析】分教師甲與2名學生去北京與教師甲與另一名教師及2名學生去北京兩種情況分類討論可求分配方案的方法數.
【詳解】當教師甲與2名學生去北京時，分配方案共有（種）；
當教師甲與另一名教師及2名學生去北京時，分配方案共有（種），
綜上，分配方案共有（種）.
故選：C.
2．（24-25高三上·江西贛州·期末）2024年是紅軍長征出發九十周年，習近平總書記考察江西于都五周年，為弘揚紅色文化、促進健康生活方式，江西省體育局、贛州市人民政府共同舉辦了一場2024于都紅色半程馬拉松比賽．某單位6名志愿者準備分成三組前往比賽途徑的中央紅軍長征出發地紀念碑、金山大道、于都體育中心這三個站點進行志愿者活動，要求每組至少有1名且最多有3名志愿者，則不同安排的方法數為（ ）
A．540 B．450 C．360 D．180
【答案】B
【分析】根據給定條件，將6名志愿者按和分成3組，再安排三個站點即可.
【詳解】將6名志愿者按和分成3組，不同分組方法種數為，
再將每一種分法的3組安排到三個站點有種，
則不同安排的方法數為（種）.
故選：B.
3．（24-25高三上·遼寧遼陽·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名導游分別前往沈陽故宮、本溪水洞、鞍山千山、盤錦紅海灘四個景區承擔義務講解任務，要求每個景區都要有導游前往，且每名導游都只安排去一個景區，則不同的安排方法種數為（ ）
A．1280 B．300 C．1880 D．1560
【答案】D
【分析】利用先分組再分配的思想結合排列組合的知識求解.
【詳解】將6名導游分成四組，各組人數分別為1，1，1，3或1，1，2，2．
當各組人數為1，1，1，3時，共有種安排方法；
當各組人數為1，1，2，2時，共有種安排方法．
故不同安排方法有種．
故選：D.
4．（2024高三·全國·專題練習）近年來，國內中、短途旅游人數增長顯著，2024年上半年旅游人數更創新高，充分展示了國內文旅消費潛力．甲、乙、丙、丁四位同學打算去北京、成都、貴陽三個地方旅游，每位同學只去一個地方，每個地方至少去1人，則甲、乙都去北京的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意四位同學去三個地方，每個地方至少去一人，即可得到總的方案，甲、乙都去北京，則丙丁只能在成都和貴陽各自選一個有2種選法，根據古典概型即可求解.
【詳解】四位同學去三個地方，每個地方至少去一人，總共有（種）方案．因為甲、乙都去北京，則丙、丁分別去成都或貴陽，所以有2種方案，故甲、乙都去北京的概率為.
故選：B．
5．（24-25高三上·湖北武漢·期末）某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學分別報名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，且甲不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【分析】在甲單獨參加某項比賽條件下，結合分堆問題的處理方法及分步乘法計數原理求滿足條件的方法數，再在甲不單獨參加某項比賽條件下，.由分步乘法計數原理及排列知識求滿足條件的方法數，最后利用分類加法原理求結論.
【詳解】滿足條件的報名方法可分為兩類：
第一類：甲單獨參加某項比賽，
先安排甲，由于甲不能參加跳遠，故甲的安排方法有種，
再將余下人，安排到與下的三個項目，
由于每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，
故滿足條件的報名方法有,
所以甲單獨參加某項比賽的報名方法有種，
第二類：甲與其他一人一起參加某項比賽，
先選一人與甲一起，再將兩人安排至某一項目，有種方法，
再安排余下三人，有種方法，
所以甲不單獨參加某項比賽的報名方法有種，
所以滿足條件的不同的報名方法共有種方法.
故選：C.
6．（23-24高三下·福建福州·階段練習）正值元宵佳節，赤峰市“盛世中華 龍舞紅山”紀念紅山文化命名七十周年大型新春祈福活動中，有5名大學生將前往3處場地開展志愿服務工作.若要求每處場地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場地，則當甲去場地時，場地有且只有1名志愿者的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將其他四人分組為、、三種情況，求出甲去場地的所有安排，再求出場地有且只有1名志愿者的安排方法數，即可求概率.
【詳解】其它四人分成三組，有種，再把三組安排到場地，有種，
其它四人分成兩組，有種，再把兩組安排到場地，有種，
其它四人分成兩組，有種，再把兩組安排到場地，有2種，
所以甲去場地時共有種安排方法，
場地有且只有1名志愿者，分成三組有種，分成兩組有種，分成兩組有0種，
所以甲去場地時，場地有且只有1名志愿者共有種安排方法，
所求概率為.
故選：C
題型08 染色問題
【解題規律·提分快招】
解決涂色問題的一般思路 ①按區域的不同，以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析． ②以顏色為主分類討論，適用于“區域、點、線段”等問題，用分類加法計數原理分析． ③將空間問題平面化，轉化為平面區域的涂色問題
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·全國·單元測試）用紅、黃、藍、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區域涂色，要求同一區域用同一種顏色，相鄰區域使用不同顏色，則共有涂色方法（ ）

A．120種 B．720種 C．840種 D．960種
【答案】D
【分析】利用分步乘法計數原理可得答案.
【詳解】有5種顏色可選，有4種顏色可選，有3種顏色可選，
，均有4種顏色可選，故共有涂色方法（種）．
故選：D.
2．（23-24高三下·廣東肇慶·階段練習）如圖，現有4種不同顏色給圖中5個區域涂色，要求任意兩個相鄰區域不同色，有多少種不同涂色方法（ ）
1 3 4
2 5
A．120 B．72 C．288 D．144
【答案】D
【分析】根據任意兩個相鄰區域不同色，利用分步計數原理即可求解．
【詳解】如圖，區域1有4種選法，區域2有3種選法，區域3有2種選法，
區域4可選剩下的一種或選區域1，2所選的顏色，共有3種選法，
區域5從區域4剩下的2種顏色中選有2種選法，
共有種．
故選：D
3．（23-24高三下·福建莆田·階段練習）如圖所示，在圖形內指定四個區域，現有4種不同的顏色供選擇，要求在每個區域里涂1種顏色，且相鄰的兩個區域涂不同的顏色，則不同涂法的種數為（ ）

A．48 B．72 C．84 D．108
【答案】C
【分析】分是否同色兩類，再根據分類加法和分步乘法計數原理計算即可.
【詳解】若同色，則有種方法，
若不同色，則有種方法，
所以不同涂法的種數為種.
故選：C.
4．（24-25高三上·遼寧·期末）《九章算術》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半廣以乘正從”.數學社團制作板報向全校師生介紹這一結論，給證明圖形的六個區域涂色，有三種顏色可用，要求有相鄰邊的區域顏色不同，則不同的涂色方法有（ ）
A．48種 B．96種 C．102種 D．120種
【答案】B
【分析】設圖中的六個區域分別為，按照是否同色，分兩類，再結合分步乘法計數原理運算求解.
【詳解】如圖，設圖中的六個區域分別為，
按照是否同色，分兩類：
①不同色，先給涂色，有，再根據是否用余下那種顏色分兩種情況，
不用第三種顏色，即用的顏色，用的顏色，有種，有種，則有種涂法；
用第三種顏色，即用第三種顏色，用的顏色，有種，有種，
或用第三種顏色， 用的顏色，則有種涂法，
所以不同色的涂法有：，
②同色，先給涂色，有，則只能用第三種顏色，有種，有種，
所以同色的涂法有：，
綜上，不同的涂色方法有：種.
故選：B.
5．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，給六個點涂色，現有五種不同的顏色可供選用，要求每個點涂一種顏色，且每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（ ）種．
A．1440 B．1920 C．2160 D．3360
【答案】B
【分析】根據題意，依次分析、、和、、的涂色方法數目，由分步計數原理計算可得答案．
【詳解】根據題意，分2步進行分析：
①對于、、三點，兩兩相鄰，有種涂色方法，
②與相鄰，有4種顏色可選，
若與同色，其中與同色時，有3種涂色方法，與不同色時，有2種顏色可選，有2種顏色可選，
此時有種涂色方法，同理：若與同色，有7種涂色方法，
若與、顏色都不同，有2種顏色可選，、有3種顏色可選，
此時有種涂色方法，
則、、有種涂色方法，
故有種涂色方法．
故選：B．
6．（2024·浙江·模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學 中醫學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【分析】根據不鄰區域是否同色進行分類，確定涂色順序再分步計數即可.
【詳解】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.
五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.
故問題轉化為如圖五個區域，
有種不同的顏色可用，要求相鄰區域不能涂同一種顏色，即色區域的環狀涂色問題.

分為以下兩類情況：
第一類：三個區域涂三種不同的顏色，
第一步涂區域，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，
第二步涂區域，由于顏色不同，有種方法，
第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數原理，則共有種方法；
第二類：三個區域涂兩種不同的顏色，
由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數相同.
若涂一色，
第一步涂區域，可看成同一區域，且區域不同色，
即涂個區域不同色，
從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區域上，則有種方法，
第二步涂區域，由于顏色相同，則有種方法，
第三步涂區域，由于顏色不同，則有種方法，
由分步計數原理，則共有種方法；
若涂一色，與涂一色的方法數相同，
則共有種方法.
由分類計數原理可知，不同的涂色方法共有種.
故選：D.
一、單選題
1．（23-24高三下·天津·期中）為迎接勞動節社區編排了一場演出，其中一個節目共有7人參加，其中4名男生3名女生，要求男女相間站成一排，并且女生甲必須站在正中間，則共有（ ）種站隊方法．
A．144 B．64 C．48 D．56
【答案】C
【分析】先排男生，再根據條件女生插空，即可求解.
【詳解】先排4名男生，4名男生之間有3個空，中間的位置留給女生甲，
剩下的2個空，留給剩下的2名女生，共有種站法.
故選：C
2．（23-24高三下·江蘇南通·期中）某校表彰大會，共表彰 6 人，每個年級兩人，6 人排成一排拍照留念，則高三兩名學生相鄰，高三兩名學生不相鄰的排法有（ ）種.
A．72 B．144 C．240 D．288
【答案】B
【分析】由捆綁法、插空法以及分步乘法計數原理即可求解.
【詳解】由題意先將高三兩名學生捆綁起來作為一個整體，再和高三的兩名學生進行全排列共有，
此時已經形成了四個空，再將高三的兩名學生插進去有，
所以滿足題意的排法有種.
故選：B.
3．（23-24高三下·江蘇南通·階段練習）江蘇海安是江海文明的發源地，物華天寶，人杰地靈.海安曾有名勝“三塘十景”，可惜時光變遷，戰火摧殘，多數已面目全非.隨著海安城市人文建設的深化，“三塘十景”逐一復原重建.海中高三年級幾名同學打算利用周末時間尋訪“十景”：東郊文社、南城桃塢、西寺晚鐘、北園菊圃、鳳山早霞、三里風帆、鏡虹水閣、韓阡翠柏、雙橋曲徑、桂嶺秋香.因時間有限，計劃從中隨機選取4個依次游覽，若選中東郊文社，則東郊文社不是第一個游覽的情況有（ ）
A．2016種 B．1512種 C．1426種 D．1362種
【答案】B
【分析】先把東郊文社排好，再從另外九景中選景依次游覽，進而可得答案.
【詳解】先排東郊文社，有種，
再從另外九景中選景依次游覽，有種，
所以共有種游覽的情況.
故選：B.
4．（2024高三·全國·專題練習）高中學生小李計劃在高考結束后，和其他小伙伴一塊去旅游，有三個自然風光景點A，B，C和三個人文歷史景點a，b，c可供選擇．由于時間和距離原因，只能從中任取四個景點進行參觀，其中第一個參觀的景點一定不是A，最后參觀的一定是人文歷史景點，則不同的旅游順序有（ ）
A．54種 B．72種 C．120種 D．144種
【答案】D
【分析】分兩種情況討論：四個景點不含A景點和含A景點，分別求出每一種情況的旅游順序，再用分類加法計數原理即可求得結果.
【詳解】當四個景點不含景點A時，旅游順序有種；
當四個景點含景點A時，旅游順序有種．
所以不同的旅游順序有144種．
故選：D.
5．（24-25高三上·上海·假期作業）某班5位同學參加周一到周五的值日，每天安排一名學生，其中學生甲只能安排到周一或周二，學生乙不能安排在周五，則他們不同的值日安排有（ ）
A．288種 B．72種 C．42種 D．36種
【答案】D
【分析】根據題意，分3步進行，先安排甲，再安排乙，最后安排其他的3人，由分步計數原理，計算可得答案．
【詳解】根據題意，先安排甲，甲只能安排到周一或周二，有2種情況，
再安排乙，學生乙不能安排在周五，甲已經安排，則乙有3種情況，
最后對其他的3人分析，將其安排在剩余的3天即可，有種情況，
由分步計數原理，可得共有種情況.
故選：D.
6．（23-24高三下·吉林遼源·階段練習）用5種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？（ ）
A．240 B．480 C．120 D．200
【答案】A
【分析】利用分步乘法計數原理與排列的知識即可得解.
【詳解】根據題意，“英語角”、“語文學苑”和“理綜世界” 兩兩相鄰，有種方案，
而“數學天地”只和“理綜世界”相鄰，只要和“理綜世界”的顏色不同即可，故有4種方案，
總共有種方法.
故選：A
7．（23-24高三下·陜西寶雞·階段練習）張老師與甲 乙等5名學生畢業合照，要求照相時師生站成一排，則張老師必須站排頭或排尾，且甲與乙站在一起的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出6人的所有排法，再利用捆綁法先將甲、乙看成一個整體后與其他同學進行排列，再將張老師排在排頭或排尾計算出排列種數，可得概率.
【詳解】根據題意可知共有種排法，
第一步，若甲與乙站在一起，可將甲、乙兩人看成一個整體再與其他3名同學進行排列，共有種排法，
第二步，又因為張老師必須站排頭或排尾，共有種；
因此所求概率為.
故選：C
8．（23-24高三下·北京通州·期末）某工廠生產一種產品需經過一，二，三，四共4道工序，現要從，，，，，這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果員工不能安排在第四道工序，則不同的安排方法共有（ ）
A．360種 B．300種 C．180種 D．120種
【答案】B
【分析】從6人中任取4人安排工作，去掉A安排在第四道工序工作的安排方法數即得.
【詳解】從6名員工中任選4人，安排在4道工序上工作的安排方法數為種，
其中員工在第四道工序工作的安排方法數為種，
所以不同的安排方法共有（種）.
故選：B
9．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）某電視臺計劃在春節期間某段時間連續播放6個廣告，其中3個不同的商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業廣告不能3個連續播放，則不同的播放方式有（ ）
A．144種 B．72種 C．36種 D．24種
【答案】B
【分析】將第一個和最后一個先安排為公益廣告，然后由商業廣告不能3個連續播放，將其排成一列，之間有兩個空，將剩下的公益廣告插進去即可.
【詳解】先從3個不同的公益廣告中選兩個安排到第一個和最后一個播放有種方法，
然后將3個不同的商業廣告排成一列有種方法，
3個不同的商業廣告之間有兩個空，選擇一個將剩下的一個公益廣告安排進去即可，
所以總共有：種方式.
故選:B
10．（2024·遼寧·模擬預測）某同學筆袋里有10支筆，其中8支黑色，2支紅色.被甲同學借走2支.已知甲借走的有一支是紅色，則另一支也是紅色的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】記“甲借走的有一支是紅色”為事件A，“甲借走的兩支都是紅色”為事件B，根據組合數求，再結合條件概率公式分析求解.
【詳解】記“甲借走的有一支是紅色”為事件A，“甲借走的兩支都是紅色”為事件B，
則，，
所以所求的概率為.
故選：D.
11．（23-24高三下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以適當的方式全部放入表格中（沒有放入火柴棒的空位表示數字“0”），那么最多可以表示無重復數字的三位數的個數為（ ）
A．42 B．38 C．54 D．48
【答案】A
【分析】根據表示數字的火柴棒的根數分類討論，即可求解.
【詳解】因為10根火柴可以擺出的數字為2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以組成個無重復數字的三位數.
故選：A
12．（23-24高三下·江蘇南京·階段練習）《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（ ）
A．6種 B．12種 C．18種 D．36種
【答案】B
【分析】將香菌、新筍、豆腐干看作一個元素，利用捆綁法結合倍縮法求解.
【詳解】因為香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，把它們捆綁在一起，看作一個元素，
此時共有5個元素，其中雞湯最后下鍋，放在最后一個位置，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，
定序問題用倍縮法，共有種不同的排列方式.
故選：B.
13．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，則不同的排法種數為（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
【答案】C
【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法計數原理計算.
【詳解】3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，
先排左右兩端，有種排法，
再排中間4個位置，有種排法，
所以不同的排法種數為種.
故選：C.
14．（23-24高三下·河北石家莊·階段練習）某校在開展“深化五育并舉、強大核心素養”活動中，選派了5名學生到A、B、C三個勞動實踐點去勞動，每個勞動實踐點至少1人，每名學生只能去一個勞動實踐點，不同的選派方法種數有（ ）
A．60 B．90 C．150 D．300
【答案】C
【分析】各點人數可為1,1,3或1,2,2，故可先分組再分配，故可得不同的選派方法種數.
【詳解】名學生到3個勞動實踐點，因各點的人數至少1人，故各點的人數可為1,1,3或1,2,2，
故不同的選派方法種數有，
故選：C.
15．（24-25高三上·山西大同·開學考試）某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數字之和為8的四位數稱為“幸運數”（如2024是“幸運數”），并獲得一定的獎品，則首位數字為2的“幸運數”共有（ ）
A．32個 B．28個 C．27個 D．24個
【答案】B
【分析】根據題意，“幸運數”的后三位數字的和為6，故可以分成七類進行計數，利用分類加法計數原理即得.
【詳解】依題意，首位數字為2的“幸運數”中其它三位數字的組合有以下七類：
①“006”組合，有種，②“015”組合，有種，③“024”組合，有種，
④“033”組合，有種，⑤“114”組合，有種，⑥“123”組合，有種，
⑦“222”組合，有1種.
由分類加法計數原理，首位數字為2的“幸運數”共有個.
故選：B.
16．（23-24高三下·河南洛陽·期中）洛陽市牡丹文化節期間，5名志愿者準備到3個博物館參加志愿服務，若每個博物館至少接受1名志愿者，則不同的分配方案有（ ）
A．90種 B．150種 C．240種 D．300種
【答案】B
【分析】將5名志愿者分為1，2，2和1，1, 3兩種情況, 再進行排列即可
【詳解】將5名志愿者分為1，2，2，則有 種分法，
將5名志愿者分為1，1，3，則有種分法，
則不同的分配方案有種.
故選：B.
17．（2024·山東臨沂·二模）若有2名女生和4名男生到“山東旅發”大會的兩個志愿服務站參加服務活動，分配時每個服務站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數為（ ）
A．16 B．20 C．28 D．40
【答案】C
【分析】先分組后分配，分組時分一組2人一組4人和每組各3人兩種情況.
【詳解】第一步，先分組，分為一組2人，另一組4人，有種；
分為每組各3人，有種，分組方法共有種.
第二步，將兩組志愿者分配到兩個服務站共有種.
所以，總的分配方案有種.
故選：C
18．（23-24高三下·江西·階段練習）有2男2女共4名大學畢業生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數為（ ）
A．12 B．14 C．22 D．24
【答案】B
【分析】按工廠接收的女生人數分兩類，求出每類情況數，相加后得到答案.
【詳解】按工廠接收的女生人數分類，
第一類：工廠僅接收1名女生，從2名女生中選1人，有種選擇，
再把剩余的3人分為兩組，和兩工廠進行全排列，有種選擇，
故有種分配方法；
第二類：工廠接收2名女生，則剩余的兩個男生和兩個工廠進行全排列，
有種分配方法．
綜上，不同的分配方法有種．
故選：
19．（23-24高三下·安徽安慶·期中）某中學派6名教師到A，B，C，D，E五個山區支教，每位教師去一個地方，每個地方至少安排一名教師前去支教．學校考慮到教師甲的家鄉在山區A，決定派教師甲到山區A，同時考慮到教師乙與丙為同一學科，決定將教師乙與丙安排到不同山區，則不同安排方法共有（ ）
A．360種 B．336種 C．216種 D．120種
【答案】B
【分析】對山區的派發人數分類，若派到山區只有甲，剩下教師按人數分組以后計算種數，再減去乙丙教師安排到同一山區的種數，即可得山區只派甲的情況的種數，進而求出總的情況數量.
【詳解】若派到山區有人，則不同的派法有種；
若派到山區只有甲，先把其余人分為四組，每組人數分別為，再將四組教師分配到四個山區，不同派法有種，
其中乙和丙安排到同一山區的情況有種，所以派到山區只有甲的派法有種；
所以不同的派法共有種.
故選：
20．（23-24高三下·廣東東莞·階段練習）如圖，有兩串桃子掛在樹枝上，其中一串有4個桃子，另外一串有3個桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一個桃子，直至把所有7個桃子全部摘完，共有（ ）種不同的摘法．
A．70 B．35 C．21 D．14
【答案】B
【分析】利用倍縮法解決定序問題即摘的兩列桃子順序為和，從而可求解.
【詳解】如果將7個桃子全排列有種方法，
但根據題意要摘的兩列桃子順序分別為和，
所以共有種方法，故B正確.
故選：B.
21．（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）有5項不同的任務安排給甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一項且每項任務只安排一人完成，則分配給甲的任務不超過兩項的安排方法有（ ）
A．260種 B．220種 C．160種 D．130種
【答案】D
【分析】根據題意，分甲只安排一項任務與甲只安排兩項任務討論，結合排列數與組合數代入計算，即可得到結果.
【詳解】若甲只安排一項任務，則有種；
若甲只安排兩項任務，則有種；
故分配給甲的任務不超過兩項的安排方法共有130種．
故選：D
22．（23-24高三下·四川成都·階段練習）給圖中五個區域進行染色，每個區域只染一種顏色且相鄰的區域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（ ）種不同的染色方案.
A．48 B．60 C．72 D．84
【答案】C
【分析】分為同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三種情況，分別計算，根據分類加法計數原理，求和即可得出答案.
【詳解】由題意知，與任意一點均不同色.
只用3種顏色，即同色，且同色，此時不同染色方法的種數為；
用4種顏色，此時可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此時不同染色方法的種數為；
若同色，而不同色，此時不同染色方法的種數為.
根據分類加法計數原理可得，不同染色方法的種數為.
故選：C
23．（24-25高三上·廣西·階段練習）如圖，對，，，，五塊區域涂色，現有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區域涂一種顏色，且相鄰區域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【分析】先涂，，，然后分類討論的顏色，最后利用乘法原理與加法原理可得答案.
【詳解】先涂，，，有種方法.
若的顏色不同于，，所涂顏色，有種涂法，此時有種涂法，則對應總涂法數為；
若的顏色與的顏色相同，此時有種涂法，則對應總涂法數為；
若的顏色與的顏色相同，此時有種涂法，則對應總涂法數為.
綜上，總涂法數為.
故選：C
24．（23-24高三下·黑龍江齊齊哈爾·期中）某公司清明有三天假期，現安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，則不同的值班安排共有（ ）
A．72種 B．114種 C．120種 D．144種
【答案】B
【分析】由題意問題可分為不考慮甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班兩種情況，，兩種情況分別用分組分配方法求解即可.
【詳解】不考慮甲乙是否同一天加班的特殊情況，5位員工安排在3天加班，
可分為與兩種情況，
①：；②：，共有150種情況．
若甲、乙在同一天加班，分他們都在2人組和都在3人組兩種情況，
①都在2人組：；②都在3人組：，
考慮兩人的特殊要求之后，共有（種）不同的值班安排方法．
故選：B
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題16 排列組合中的常見題型與技巧應用
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題型01 特殊元素、特殊元素位置法 1
題型02 捆綁法 2
題型03 插空法 3
題型04 間接法 4
題型05 倍縮法 4
題型06 排數問題 5
題型07 分組、分配問題 7
題型08 染色問題 8
題型01 特殊元素、特殊元素位置法
【解題規律·提分快招】
對有限制條件的元素（或位置）要優先考慮，位置優先法和元素優先法是解決排列組合問題最常用的方法。若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其他元素；若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其他位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）將字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必須在b的左邊，則不同的安排方法種數為（ ）
A．260 B．300 C．360 D．380
2．（24-25高三上·江蘇常州·期末）某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數學、英語、體育、藝術、通技各一節課的課表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種數是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·山西太原·期末）北京時間2024年4月26日，神舟十七號航天員乘組和神舟十八號航天員乘組勝利會師“天宮”.隨后，兩個乘組要拍張“全家福”照片，向全國人民報平安.已知兩個乘組各3人，每個乘組有一名指令長.拍照時，要求站兩排，前排2人，后排4人.若兩個指令長在前排，則不同的排法種數為（ ）
A．24 B．48 C．360 D．720
4．（23-24高三下·江蘇連云港·期中）現有5名男生（含1名班長）、2名女生站成一排合影留念，要求班長必須站中間，他的兩側均為兩男1女，則總的站排方法共有（ ）
A．216 B．432 C．864 D．1728
5．（24-25高三上·湖北隨州·期末）在某次太空游行中，宇航員們負責的科學實驗要經過5道程序，其中，兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（ ）
A．18種 B．36種 C．72種 D．108種
6．（2025高三·全國·專題練習）中國體育代表團在2024年巴黎奧運會上取得了40枚金牌的輝煌成績.某視頻自媒體平臺選出關注度比較高的等10名金牌獲得者，再從中選出6名，準備連續6天分別向觀眾介紹，且每天只介紹1名，則必須介紹且在前3天介紹，至少選2名進行介紹的所有方法種數為（ ）
A．720 B．1680 C．4320 D．5040
題型02 捆綁法
【解題規律·提分快招】
捆綁法指將聯系密切或必須排在一起的元素“捆綁”成一個整體，再與其他元素進行排列，同時要注意合并后內部元素也必須排列.（注意捆綁元素是同元還是不同元），“捆綁”將特殊元素特殊對待，能大大降低分析問題的難度.采用捆綁法分析排列組合問題,剩余元素的處理應考慮其是排列問題還是組合問題,對于組合問題需將“順序”帶來的影響消除掉.
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·江西南昌·期末）現有6位同學站成一排照相，其中甲、乙兩位同學相鄰的排法種數為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·廣西梧州·期末）北京時間2024年6月2日，嫦娥六號成功著陸月球背面，開啟人類探測器首次在月球背面實施的樣品采集任務.某天文興趣小組在此基礎上開展了月球知識宣傳活動，活動結束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數為（ ）
A．2880 B．1440 C．720 D．576
3．（24-25高三下·全國·課后作業）一位語文老師在網上購買了四書五經各一套，四書指《大學》《中庸》《論語》《孟子》，五經指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經必須分別排在一起，且《大學》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數為（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
4．（24-25高三下·全國·課后作業）春節是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現有6個自編節目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節目的演出順序有如下要求：“雜技節目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（ ）
A．240種 B．188種 C．144種 D．120種
5．（2024高三·全國·專題練習）2024年春節放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（ ）
A．1440種 B．1360種
C．1282種 D．1128種
題型03 插空法
【解題規律·提分快招】
插空法在分析元素不相鄰問題時較為常用，即先將無特殊要求的元素排列好，而后看其產生多個滿足題意的空，再將不能相鄰的元素插入，使其滿足題目的相關要求.
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·遼寧·期末）國慶期間，中華世紀壇舉辦“傳奇之旅：馬可 波羅與絲綢之路上的世界”展覽，現有8個同學站成一排進行游覽參觀，若將甲、乙、丙3個同學新加入排列，且甲、乙、丙互不相鄰，保持原來8個同學順序不變，則不同的方法種數為（ ）
A．84 B．120 C．504 D．720
2．（2025高三·全國·專題練習）現需將編號分別為1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，則編號恰好奇偶相間的排班方法數共有（ ）
A．8 B．12 C．24 D．36
3．（23-24高三下·廣東·期中）某種產品的加上需要經過A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B兩道工序必須相鄰，C，D兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（ ）
A．960種 B．836種
C．816種 D．720種
4．（福建省漳州市2024-2025學年高三上學期期末考試數學試題）據典籍《周禮·春官》記載，“宮、商、角、徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.若把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，則“宮”和“角”之間恰好有一個音階的排法種數為（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
5．（24-25高三上·江蘇常州·期末）有四名男生，三名女生排隊照相，七個人排成一排，則下列說法正確的是（ ）
A．如果四名男生必須連排在一起，那么有576種不同排法
B．如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法
C．如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，那么有720種不同排法
D．如果女生不能站在兩端，那么有720種不同排法
6．（24-25高三上·浙江·開學考試）將若干個除顏色外完全相同的紅色小球和黑色小球排成一列，要求所有的紅球互不相鄰，當小球的總數為8時，滿足條件的不同排列方法的總數之和為（）
A．20 B．36 C．54 D．108
題型04 間接法
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·廣東深圳·期末）某學校高三年級開設了乒乓球、羽毛球和籃球三門課，甲、乙兩位同學每人從中選擇一門，且允許多位同學選擇同一門課．若至少有一位同學選擇了乒乓球，則這兩位同學不同的選課方法共有（ ）種．
A．2 B．4 C．5 D．9
2．（24-25高三上·江蘇常州·期中）有甲、乙等5名同學咨詢數學史知識競賽分數.教師說：甲不是5人中分數最高的，乙不是5人中分數最低的，而且5人的分數互不相同.則這5名同學的可能排名有（ ）
A．42種 B．72種 C．78種 D．120種
3．（24-25高三上·山東日照·期末）從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔任班長、團支書、學習委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
4．（24-25高三上·貴州遵義·期末）設集合，集合，那么集合中滿足的元素的個數為（ ）
A．12 B．18 C．22 D．24
5．（24-25高三上·河南駐馬店·階段練習）某中學高三年級入學進行了一場為期一周的軍訓，在軍訓過程中，教官根據班級表現從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”四個獎項．已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（ ）
A．57種 B．60種 C．114種 D．120種
題型05 倍縮法
【解題規律·提分快招】
部分不同元素在排列前后的順序固定不變（不一定相鄰）的排列問題，稱之為定序（排列）問題．定序問題可以用倍縮法.
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·廣東·開學考試）從2024年伊始，各地旅游業爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學一個寢室6位同學慕名而來，游覽結束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（ ）
A．480種 B．240種 C．120種 D．60種
2．（24-25高三下·全國·課后作業）春節是團圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了“村晚”．通過海選，現有6個自編節目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對這6個節目的演出順序有如下要求：“雜技節目”排在后三位，“相聲”與“小品”必須相繼演出，則不同的演出方案有（ ）
A．240種 B．188種 C．144種 D．120種
3．（23-24高三下·湖北武漢·期中）三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
4．（23-24高三下·安徽合肥·階段練習）一班有5名棋手，出場次序已經排定，二班有2名棋手，現要排出這7人的出場順序，如果不改變一班棋手出場次序，那么不同排法有（ ）種
A．12 B．20 C．30 D．42
5．（23-24高三下·江蘇鎮江·期中）某單位開展聯歡活動，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發現這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎項介于丁和戊之間”.根據以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數是（ ）
A．15 B．18 C．22 D．26
題型06 排數問題
【解題規律·提分快招】
對于有限制條件的數字排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或位置，同時注意隱含條件：0不能在首位.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）對于各數位均不為0的三位數，若兩位數和均為完全平方數，則稱具有“性質”，則具有“性質”的三位數的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高三下·江蘇無錫·階段練習）用0．1，2，3，4這5個數字組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（ ）
A．24個 B．26個 C．30個 D．42個
3．（2024·山東淄博·一模）小明設置六位數字的手機密碼時，計劃將自然常數…的前6位數字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數字不相鄰，且相同數字之間有一個數字，則小明可以設置的不同密碼種數為（ ）
A．24 B．16 C．12 D．10
4．（2024高三·全國·專題練習）從1，3，5，7中任取2個數字，從0，2，4，6，8中任取2個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有（ ）
A．252個 B．300個
C．324個 D．228個
5．（2024·浙江·模擬預測）用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，則數字3在五位數中位于1和5之間（可以不相鄰）的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河北邯鄲·階段練習）中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1，某公園的六角亭是中國常見的一種供休閑的古建筑，六角亭屋頂的結構示意圖可近似地看作如圖2所示的六棱錐.該公園管理處準備用風鈴裝飾六角亭屋頂的六個頂點A，B，C，D，E，F，現有四種不同形狀的風鈴可供選用，則在相鄰的兩個頂點掛不同形狀的風鈴的條件下，頂點A與C處掛同一種形狀的風鈴的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型07 分組、分配問題
【解題規律·提分快招】
①整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數)，避免重復計數． ②局部均分問題，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數． ③不等分問題，只需先分組，后排列，分組時任何組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）某學校寒假期間安排3名教師與4名學生去北京、上海參加研學活動，每地要求至少1名教師與2名學生，且教師甲不去上海，則分配方案有（ ）
A．36種 B．24種 C．18種 D．12種
2．（24-25高三上·江西贛州·期末）2024年是紅軍長征出發九十周年，習近平總書記考察江西于都五周年，為弘揚紅色文化、促進健康生活方式，江西省體育局、贛州市人民政府共同舉辦了一場2024于都紅色半程馬拉松比賽．某單位6名志愿者準備分成三組前往比賽途徑的中央紅軍長征出發地紀念碑、金山大道、于都體育中心這三個站點進行志愿者活動，要求每組至少有1名且最多有3名志愿者，則不同安排的方法數為（ ）
A．540 B．450 C．360 D．180
3．（24-25高三上·遼寧遼陽·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名導游分別前往沈陽故宮、本溪水洞、鞍山千山、盤錦紅海灘四個景區承擔義務講解任務，要求每個景區都要有導游前往，且每名導游都只安排去一個景區，則不同的安排方法種數為（ ）
A．1280 B．300 C．1880 D．1560
4．（2024高三·全國·專題練習）近年來，國內中、短途旅游人數增長顯著，2024年上半年旅游人數更創新高，充分展示了國內文旅消費潛力．甲、乙、丙、丁四位同學打算去北京、成都、貴陽三個地方旅游，每位同學只去一個地方，每個地方至少去1人，則甲、乙都去北京的概率為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·湖北武漢·期末）某校舉辦中學生運動會，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學分別報名參加跳遠，跳高，鉛球，跑步個項目，每名同學只能報個項目，每個項目至少有名同學報名，且甲不能參加跳遠，則不同的報名方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
6．（23-24高三下·福建福州·階段練習）正值元宵佳節，赤峰市“盛世中華 龍舞紅山”紀念紅山文化命名七十周年大型新春祈福活動中，有5名大學生將前往3處場地開展志愿服務工作.若要求每處場地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場地，則當甲去場地時，場地有且只有1名志愿者的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型08 染色問題
【解題規律·提分快招】
解決涂色問題的一般思路 ①按區域的不同，以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析． ②以顏色為主分類討論，適用于“區域、點、線段”等問題，用分類加法計數原理分析． ③將空間問題平面化，轉化為平面區域的涂色問題
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·全國·單元測試）用紅、黃、藍、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區域涂色，要求同一區域用同一種顏色，相鄰區域使用不同顏色，則共有涂色方法（ ）

A．120種 B．720種 C．840種 D．960種
2．（23-24高三下·廣東肇慶·階段練習）如圖，現有4種不同顏色給圖中5個區域涂色，要求任意兩個相鄰區域不同色，有多少種不同涂色方法（ ）
1 3 4
2 5
A．120 B．72 C．288 D．144
3．（23-24高三下·福建莆田·階段練習）如圖所示，在圖形內指定四個區域，現有4種不同的顏色供選擇，要求在每個區域里涂1種顏色，且相鄰的兩個區域涂不同的顏色，則不同涂法的種數為（ ）

A．48 B．72 C．84 D．108
4．（24-25高三上·遼寧·期末）《九章算術》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半廣以乘正從”.數學社團制作板報向全校師生介紹這一結論，給證明圖形的六個區域涂色，有三種顏色可用，要求有相鄰邊的區域顏色不同，則不同的涂色方法有（ ）
A．48種 B．96種 C．102種 D．120種
5．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，給六個點涂色，現有五種不同的顏色可供選用，要求每個點涂一種顏色，且每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（ ）種．
A．1440 B．1920 C．2160 D．3360
6．（2024·浙江·模擬預測）五行是華夏民族創造的哲學思想，多用于哲學 中醫學和占卜方面，五行學說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金 木 水 火 土，彼此之間存在相生相克的關系.下圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（ ）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
一、單選題
1．（23-24高三下·天津·期中）為迎接勞動節社區編排了一場演出，其中一個節目共有7人參加，其中4名男生3名女生，要求男女相間站成一排，并且女生甲必須站在正中間，則共有（ ）種站隊方法．
A．144 B．64 C．48 D．56
2．（23-24高三下·江蘇南通·期中）某校表彰大會，共表彰 6 人，每個年級兩人，6 人排成一排拍照留念，則高三兩名學生相鄰，高三兩名學生不相鄰的排法有（ ）種.
A．72 B．144 C．240 D．288
3．（23-24高三下·江蘇南通·階段練習）江蘇海安是江海文明的發源地，物華天寶，人杰地靈.海安曾有名勝“三塘十景”，可惜時光變遷，戰火摧殘，多數已面目全非.隨著海安城市人文建設的深化，“三塘十景”逐一復原重建.海中高三年級幾名同學打算利用周末時間尋訪“十景”：東郊文社、南城桃塢、西寺晚鐘、北園菊圃、鳳山早霞、三里風帆、鏡虹水閣、韓阡翠柏、雙橋曲徑、桂嶺秋香.因時間有限，計劃從中隨機選取4個依次游覽，若選中東郊文社，則東郊文社不是第一個游覽的情況有（ ）
A．2016種 B．1512種 C．1426種 D．1362種
4．（2024高三·全國·專題練習）高中學生小李計劃在高考結束后，和其他小伙伴一塊去旅游，有三個自然風光景點A，B，C和三個人文歷史景點a，b，c可供選擇．由于時間和距離原因，只能從中任取四個景點進行參觀，其中第一個參觀的景點一定不是A，最后參觀的一定是人文歷史景點，則不同的旅游順序有（ ）
A．54種 B．72種 C．120種 D．144種
5．（24-25高三上·上海·假期作業）某班5位同學參加周一到周五的值日，每天安排一名學生，其中學生甲只能安排到周一或周二，學生乙不能安排在周五，則他們不同的值日安排有（ ）
A．288種 B．72種 C．42種 D．36種
6．（23-24高三下·吉林遼源·階段練習）用5種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報共有多少種不同的書寫方案？（ ）
A．240 B．480 C．120 D．200
7．（23-24高三下·陜西寶雞·階段練習）張老師與甲 乙等5名學生畢業合照，要求照相時師生站成一排，則張老師必須站排頭或排尾，且甲與乙站在一起的概率為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三下·北京通州·期末）某工廠生產一種產品需經過一，二，三，四共4道工序，現要從，，，，，這6名員工中選出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果員工不能安排在第四道工序，則不同的安排方法共有（ ）
A．360種 B．300種 C．180種 D．120種
9．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）某電視臺計劃在春節期間某段時間連續播放6個廣告，其中3個不同的商業廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業廣告不能3個連續播放，則不同的播放方式有（ ）
A．144種 B．72種 C．36種 D．24種
10．（2024·遼寧·模擬預測）某同學筆袋里有10支筆，其中8支黑色，2支紅色.被甲同學借走2支.已知甲借走的有一支是紅色，則另一支也是紅色的概率為（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高三下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數字.如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以適當的方式全部放入表格中（沒有放入火柴棒的空位表示數字“0”），那么最多可以表示無重復數字的三位數的個數為（ ）
A．42 B．38 C．54 D．48
12．（23-24高三下·江蘇南京·階段練習）《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（ ）
A．6種 B．12種 C．18種 D．36種
13．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）3男3女站成一排拍照，左右兩端的恰好是一男一女，則不同的排法種數為（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
14．（23-24高三下·河北石家莊·階段練習）某校在開展“深化五育并舉、強大核心素養”活動中，選派了5名學生到A、B、C三個勞動實踐點去勞動，每個勞動實踐點至少1人，每名學生只能去一個勞動實踐點，不同的選派方法種數有（ ）
A．60 B．90 C．150 D．300
15．（24-25高三上·山西大同·開學考試）某商場舉辦購物抽獎活動，其中將抽到的各位數字之和為8的四位數稱為“幸運數”（如2024是“幸運數”），并獲得一定的獎品，則首位數字為2的“幸運數”共有（ ）
A．32個 B．28個 C．27個 D．24個
16．（23-24高三下·河南洛陽·期中）洛陽市牡丹文化節期間，5名志愿者準備到3個博物館參加志愿服務，若每個博物館至少接受1名志愿者，則不同的分配方案有（ ）
A．90種 B．150種 C．240種 D．300種
17．（2024·山東臨沂·二模）若有2名女生和4名男生到“山東旅發”大會的兩個志愿服務站參加服務活動，分配時每個服務站均要求既有女生又有男生，則不同的分配方案種數為（ ）
A．16 B．20 C．28 D．40
18．（23-24高三下·江西·階段練習）有2男2女共4名大學畢業生被分配到三個工廠實習，每人必須去一個工廠且每個工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數為（ ）
A．12 B．14 C．22 D．24
19．（23-24高三下·安徽安慶·期中）某中學派6名教師到A，B，C，D，E五個山區支教，每位教師去一個地方，每個地方至少安排一名教師前去支教．學校考慮到教師甲的家鄉在山區A，決定派教師甲到山區A，同時考慮到教師乙與丙為同一學科，決定將教師乙與丙安排到不同山區，則不同安排方法共有（ ）
A．360種 B．336種 C．216種 D．120種
20．（23-24高三下·廣東東莞·階段練習）如圖，有兩串桃子掛在樹枝上，其中一串有4個桃子，另外一串有3個桃子，一只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一個桃子，直至把所有7個桃子全部摘完，共有（ ）種不同的摘法．
A．70 B．35 C．21 D．14
21．（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）有5項不同的任務安排給甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一項且每項任務只安排一人完成，則分配給甲的任務不超過兩項的安排方法有（ ）
A．260種 B．220種 C．160種 D．130種
22．（23-24高三下·四川成都·階段練習）給圖中五個區域進行染色，每個區域只染一種顏色且相鄰的區域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（ ）種不同的染色方案.
A．48 B．60 C．72 D．84
23．（24-25高三上·廣西·階段練習）如圖，對，，，，五塊區域涂色，現有種不同顏色的顏料可供選擇，要求每塊區域涂一種顏色，且相鄰區域（有公共邊）所涂顏料的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
24．（23-24高三下·黑龍江齊齊哈爾·期中）某公司清明有三天假期，現安排甲、乙、丙、丁、戊5人值班，每人只值班1天，每天至少有1人值班，且甲、乙不在同一天值班，則不同的值班安排共有（ ）
A．72種 B．114種 C．120種 D．144種
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