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專題11 立體幾何中的截面與軌跡問題
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題型01 截面形狀問題 1
題型02 截面面積、周長問題 7
題型03 截面切割幾何體體積問題 12
題型04 平行、垂直相關的軌跡問題 15
題型05 距離、角度相關的軌跡問題 23
題型06 翻折相關的軌跡問題 31
題型01 截面形狀問題
【解題規律·提分快招】
一、截面問題的理論依據 (1)確定平面的條件 ①不在同一平面的三點確定一個平面；②兩條平行線確定一個平面 (2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線 (3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內 (4)如果一條直線平行于一個平面，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行 (5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行 二、截面問題的基本思路 1.定義相關要素 ①用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面. ②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線. ③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點)叫做實截點. ④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點叫做虛截點. ⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本邏輯：找截點→連截線→圍截面 3.作截面的具體步驟 （1）找截點：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點即截點 方式2：過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體的棱于截點 （2）連截線：連接同一平面內的兩個截點，成截線 （3）圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面 三、作截面的幾種方法 （1）直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程。 （2）延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。 （3）平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體的截面的交線。 模型演練：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等完全理解了，再改成任意等分點 方法：兩點成線相交法或者平行法 特征：1.三點中，有兩點連線在表面上.本題如下圖是EF（這類型的關鍵）； 2.“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下圖. 方法二：平行線法，做法如下圖. 四、正方體中的基本截面類型 五、截面是圓錐曲線的原理剖析 令平面與軸線的夾角為,圓雉的母線與軸的夾角為,如圖②. 當時,截口曲線為橢圓; (2)當時,截口曲線為拋物線; (3)當時,截口曲線為雙曲線. 圖②我們再從幾何角度來證明. (1)如圖③,在圓錐內放兩個大小不同的球,使它們分別與截面切于點.在截口曲線上任取一點,過點作圓雉的母線,分別與兩球切于點.由球的性質可知,于是為定值,這樣截口曲線上的任一點到兩個定點的距離之和為常數,由橢圓的定義知,截口曲線是橢圓. (2)如圖④,在互相倒置的兩個圓雉內放兩個大小不同的球,使它們分別與圓雉的側面、截面相切,兩個球分別與截面切于點.在截口曲線上任取一點,過點作圓雉的母線,分別與兩球切于點.由球的性質可知,于是為定值,這樣截口曲線上的任一點到兩個定點的距離之差的絕對值為常數,由雙曲線的定義知,截口曲線是雙曲線. (3)如圖⑤,用平行于母線且垂直于軸截面的平面去截圓雉.在圓雉內放一個球,使它和圓雉的側面與截面相切,球與截面切于點.設為球與圓雉相切時切點構成的圓所在的平面,記.在截口曲線上任取一點,作直線與球相切于點,連結,有.在母線上取點(為與球的切點),使得.過點作,有點在上,且.另一方面,因為平面與垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲線是以點為焦點,為準線的拋物線.
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·浙江杭州·期末）在正方體中，，分別是棱和上的點，，，那么正方體中過點，，的截面形狀為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】B
【分析】畫出圖形，然后判斷即可.
【詳解】在正方體中，取，，
連接，，，，，，如下圖所示：
因為在正方體中，，分別是棱和上的點，，，
所以，且，則四邊形為平行四邊形，則，，
又因為，且，所以四邊形為平行四邊形，
則，，
所以，，所以為平行四邊形，
則正方體中過點，，的截面形狀為四邊形.
故選：B
2．（2024高三·全國·專題練習）過正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC的中點E，F作一個截面，使得截面與底面所成的角為45°，則此截面的形狀為（　　）
A．三角形或五邊形
B．三角形或六邊形
C．六邊形
D．三角形
【答案】B
【詳解】
解析：如圖，連接BD交EF于點G，設上、下底面中心分別為O1，O，設過點D1與EF的截面與底面的所成角為α，易得tan α＝tan ∠D1GD＝＜1，故α＜45°；設過A1，C1與EF的截面與底面的所成角為β，易得tan β＝tan ∠O1GO＝2＞1，故α＞45°，故所求截面應與A1D1，C1D1都相交（不過其端點），為六邊形，點H在BB1上，且BG＝BH，當截面為EFH時也滿足題意，此時為三角形．
二、解答題
3．（2024高三·全國·專題練習）如圖所示，一塊正方體木料的棱長為3米，點在棱上，且，過點把木料據開且鋸面與平行，問木料表面上的鋸痕是什么形狀？

【答案】鋸痕的形狀是五邊形或四邊形
【分析】先利用線面平行的判定定理推得鋸面為過在正方體上的截面，再分類討論與上底面的交點位置，從而得解.
【詳解】取，且，連接，
則，所以，
此時，由線面平行的判定定理可知，過的鋸面就是滿足題意的鋸面；
當鋸面分別與交于時，

延長交延長線于，連接交于，
延長交延長線于，連接交于,
由公理2可知直線與的交點一定在直線上，
直線與的交點一定在直線上，
此時鋸痕為五邊形；
當鋸面與（含端點，不含端點）交于或與（含端點，不含端點）交于時，

由上分析可知此時鋸痕為四邊形(或四邊形)；
綜上，鋸痕的形狀是五邊形或四邊形.
題型02 截面面積、周長問題
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在正方體中，分別是的中點．用過點且平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平行四邊形的性質可得四邊形為截面所在的四邊形，即可利用線面垂直得四邊形為矩形，即可求解.
【詳解】取的中點，連接,
則,故四邊形為平行四邊形，即為過點且平行于平面的截面，
,,且平面,平面,則,
故四邊形為矩形，
故四邊形的面積為，
故選：B
2．（2025·廣東茂名·一模）在棱長為6的正方體中，，，過點的平面截該正方體所得截面的周長為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】取的中點，的中點，連接、、，則五邊形為過點的截面，再計算截面周長即可.
【詳解】如圖取的中點，的中點，連接、、，
則五邊形為過點的截面，取的中點，靠近的三等分點，連接、、，
則，又且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，則，
又且，所以為平行四邊形，所以，則，
所以四點共面；
取、靠近、的三等分點、，連接、、，
同理可證，，，所以，
所以四點共面；
所以五點共面；
又，，，
所以截面周長為.
故選：B
3．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知正四棱錐，其中，，平面過點A，且平面，則平面截正四棱錐的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據線面垂直作出截面，然后利用余弦定理、三角形的面積公式等知識求得截面面積.
【詳解】依題意，在正四棱錐中，，
且，
所以，所以三角形是等邊三角形，
設是的中點，則，所以，且，
設平面與分別相交于點，

則由得，
，
所以，故，
所以，
所以，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以，
所以結合正四棱錐對稱性得，
所以截面面積為.
故選：A.
4．（2024·遼寧·模擬預測）在正四棱柱中，為線段的中點，一質點從點出發，沿長方體表面運動到達點處，若沿質點的最短運動路線截該正四棱柱，則所得截面的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據正四棱柱的側面展開圖可得最短距離，進而可得截面與截面面積.
【詳解】如圖，把正四棱柱的側面展開圖可得最短距離，
（1） ，（2） ，（3）
（1），（2），（3），
所以質點從到的最短距離為，
此時質點從點出發，經過上靠近的三等分點，再到達點，
面截正四棱柱所得截面為五邊形，如圖，
由，，
所以沿質點的最短運動路線截正四棱柱，

則所得截面的面積為：
．
故選：B
二、填空題
5．（24-25高三上·上海靜安·階段練習）在棱長為1的正方體中，E，F分別為棱，的中點，G為棱靠近C點的三等分點，用過點E，F，G的平面截正方體，則截面圖形的周長為 .
【答案】
【分析】結合平面性質，根據已知條件畫出過點的截面，求周長即可.
【詳解】連接FG并延長交DC延長線于點H，連接EH交BC于點M，連接GM，
取靠近點的三等分點N，連接FN并延長交的延長線于點Q，
連接QE交于點P，連接NP，則六邊形EMGFNP即為過點的截面，
由G為棱靠近點C的三等分點，可得，即，
由，知點M為靠近點C的三等分點，即，
由勾股定理得，，同理得，
則截面圖形的周長為.
故答案為：.
題型03 截面切割幾何體體積問題
【典例訓練】
一、填空題
1．（24-25高三·上海·課堂例題）平行于圓錐底面的截面將圓錐分為體積相等的兩部分，則圓錐側面被截面分成上、下兩部分的面積之比為 ．
【答案】
【分析】分別表示出原來圓錐與截后的小圓錐的體積，根據被截成的兩部分體積相等可以得到，即可求出上下兩部分的面積之比.
【詳解】設原來的圓錐體積為V，底面半徑為R，高為H，側面積為S，母線長為L，
被截面分截后，上面小圓錐的體積為，底面半徑為r，高為h，側面積為 ，母線長為l，
因為 ，即有，
又因為，所以，即有，且，
而，
故圓錐側面被截面分成上、下兩部分的面積之比為.
故答案為：
2．（24-25高三上·江蘇南京·開學考試）與圓柱底面成角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的點到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為 .

【答案】
【分析】由圖形可知所求幾何體是由底面直徑相同，高為的圓柱和高為的圓柱的一半拼成，由圓柱體積公式可求得結果.
【詳解】作出幾何體的軸截面如下圖所示：
則所求幾何體是由一個底面直徑為，高為的圓柱與一個底面直徑為，高為的圓柱的一半構成，
則所求幾何體體積.
故答案為：.

3．（23-24高三下·吉林·期末）我國古代數學家祖暅于5世紀末提出了下面的體積計算原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.在正四棱柱中，，E是上一點，于點F，設，，則點E繞旋轉一周所得的圓的面積為 （用d表示）；將空間四邊形繞旋轉一周所得幾何體的體積為 .
【答案】
【分析】空1：由已知，點繞旋轉一周所得圓的面積即為以為半徑的圓面積；空2：空空間四邊形繞旋轉一周所得幾何體的體積，利用祖暅原理可以轉化為一個底面半徑和高分別為和2的圓柱體積加一個底面半徑和高也分別為和2的圓錐的體積.
【詳解】連接，

因為，則，因為正四棱柱，
則，因為，，則，
，
即點繞旋轉一周所得圓的半徑為，
點繞旋轉一周所得圓的面積為.
空間四邊形繞旋轉一周形成空間幾何體，
由空1知該幾何體不同高度下截面面積為，
根據祖暅原理“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這個兩個平面的任意平面所截，
如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等”，
將空間四邊形繞旋轉一周，兩平行平面即平面和平面的距離始終為2，
則可以轉化為一個底面半徑為1，高為的圓柱體積加一個底面半徑為1,高為的圓錐的體積，
理由：截面積分為兩部分，其中不變的截面積對應著底面半徑為1的圓，
其不隨值的變化而變化，因為，則旋轉后該部分幾何體為半徑為1高為2的圓柱，
另一部分截面，該截面為圓，半徑為，顯然半徑和高度呈現正比例函數關系，
則旋轉后形成的為一個圓錐，且該圓錐的高和半徑比為，因為，
則該部分幾何體為半徑為1高為2的圓錐，
所以空間四邊形繞旋轉一周所得幾何體的體積為：
.
故答案為：；.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二空的關鍵是根據第一問的結果和祖暅原理將形成幾何體轉化為一個圓錐加上一個圓錐.
題型04 平行、垂直相關的軌跡問題
【解題規律·提分快招】
①平行有關的軌跡問題的解題策略 1.線面平行轉化為面面平行得軌跡; 2.平行時可利用法向量垂直關系求軌跡. ②垂直有關的軌跡問題的解題策略 1.可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡; 2.利用空間坐標運算求軌跡; 3.利用垂直關系轉化為平行關系求軌跡.內,進而探究平面內的軌跡問題,使問題更易解決.空間問題平面化也是解決立體幾何題目的一般性思路.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側棱長是，為的中點，是側面內的動點，且平面，則點的軌跡的長度為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】取的中點，取的中點，連接，證明平面，再根據面面平行的性質可得的軌跡為線段，即可得解.
【詳解】如圖，
取的中點，取的中點，連接，則，
又面，面，所以平面，
又為的中點，所以，
又面，面，所以平面，
又，面，面，所以平面平面，
又因為是側面上一點，且平面，
所以的軌跡為線段，
，
所以點的軌跡的長度為.
故選：B.
2．（23-24高三下·甘肅武威·階段練習）如圖所示，在正方體中，E，F分別為，AB上的中點，且，P點是正方形內的動點，若平面，則P點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中點，的中點為，連接，可得四邊形是平行四邊形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，進而得出P點的軌跡.
【詳解】如圖所示，取的中點，的中點為，連接，
則∥，，且∥，，
可得∥，且，可知四邊形是平行四邊形，則∥，
且平面，平面，可得∥平面，
同理可得：∥平面，
且，平面，可知平面∥平面，
又因為P點是正方形內的動點，平面，
所以點在線段上，
由題意可知：，可得，
所以P點的軌跡長度為.
故選：C.
3．（23-24高三上·福建福州·期末）已知長方體，，，是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根據給定條件，可得點在矩形及內部，結合平面，利用面面平行的知識找出點的軌跡，然后根據長方體的結構特征與解三角形的知識算出答案.
【詳解】在長方體中，由，，，得點在矩形及內部，
又平面，故點在過且平行于平面的平面內，
連接交于點，取中點，連接，在上取點，使得，連接，，，
由是長方體，可知對角面為矩形，且，
因為，，
所以且，四邊形為平行四邊形，可得，
因為平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因為是平面內的相交直線，
故平面平面，即平面是過且平行于平面的平面，
所以點的軌跡是四邊形截面與平面的交線，即線段.
因為矩形中，，，可知，
所以，可得中，，
所以，即動點的軌跡所形成的軌跡長度為3.
故選：A
4．（24-25高三上·北京西城·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方體表面上的動點，且.設動點的軌跡為曲線，則（ ）
A．是平行四邊形，且周長為
B．是平行四邊形，且周長為
C．是等腰梯形，且周長為
D．是等腰梯形，且周長為
【答案】D
【分析】分別取的中點，先分別在面、面上確定動點的軌跡、，進而得到是過點的平面與正方體各表面的交線（梯形），再通過計算確定是等腰梯形及其周長.
【詳解】分別取的中點，連接，
則∥∥，∴四點共面
若為面上的動點，
由正方體易得，平面平面，且平面平面，要使，則只需，此時的軌跡為線段；
若為面上的動點，
由正方體易得，平面平面，且平面平面，要使，則只需，因為分別是的中點，易證，故此時的軌跡為線段；
所以動點的軌跡曲線為過點的平面與正方體各表面的交線，即梯形.
因為正方體的棱長為2，所以.
所以曲線為等腰梯形，且周長為.
故選：D.
5．（2025高三·全國·專題練習）已知正三棱錐的底面的邊長為4，直線AC與平面BCD所成角的余弦值為，動點M在以BC為直徑的球面上，且直線平面MAB，則點M的軌跡長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用線面角的定義作出線面角，然后利用條件求出，進而利用正四面體的性質求出點M的軌跡，取CD的中點E，連接AE，BE，取BC的中點F，BE的中點G，通過線面垂直的判定定理及性質得平面ABE，再利用球的性質求得截面圓的半徑，即可求解圓的周長.
【詳解】設點A在底面BCD上的投影為H，連接AH，CH，
則平面BCD，所以為直線AC與平面BCD所成的角，
則，
因為，所以，所以三棱錐為正四面體，
因為動點M在以BC為直徑的球面上，且直線平面MAB，
所以點M的軌跡為過點A且垂直于CD的平面截以BC為直徑的球面所得的圓，
由正四面體的性質可得，如圖所示，取CD的中點E，連接AE，BE，
則，，AB、平面ABE，
故平面ABE，取BC的中點F，BE的中點G，連接FG，則，
由平面ABE，故平面ABE，，
又，即F為以BC為直徑的球的球心，則該球半徑為2，
則點M的軌跡所形成的圓的半徑為，
則其軌跡長為.
故選：B．
6．（23-24高三下·江蘇南京·期末）已知正方體的棱長是2，點是棱的中點，Q是正方體表面上的一動點，，則動點Q的軌跡長度是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】分別取的中點，連接，先證明六點共面，再證明平面，從而可得點的軌跡即為六邊形，即可得解.
【詳解】如圖所示，分別取的中點，
連接，
因為且，
所以四邊形時平行四邊形，
所以，
因為分別時的中點，
所以，
所以，同理可得，
所以六點共面，且六邊形為邊長為的正六邊形，
因為平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
因為分別為的中點，所以，
所以平面，
又平面，所以，
同理可得，
又平面，
所以平面，
因為，
所以點的軌跡即為六邊形，其軌跡長度為.
故選：D.
7．（2024·山東·模擬預測）在直四棱柱中，，，點在側面內，且，則點軌跡的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作，結合已知得，再結合平面幾何知識即可求解.
【詳解】
如圖所示，過點作，過點作，
因為四棱柱是直四棱柱，所以平面，
因為平面，所以，
又因為，，平面，平面，
所以平面，
因為直線平面，
所以，
因為，，
所以，
又因為，
所以，
因為點在側面內，
所以在平面直角坐標系中來研究點軌跡的長度，如圖所示：
點的運動軌跡為以點為圓心、半徑為2的圓在正方形內部的弧，
顯然，，所以，
所以.
故選：C.
題型05 距離、角度相關的軌跡問題
【解題規律·提分快招】
①距離有關的軌跡問題的解題策略 1.距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡； 2.利用空間坐標計算求軌跡. ②角度有關的軌跡問題的解題策略 1.直線與面成定角，可能是圓錐側面; 2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側面; 3.利用空間坐標系計算求軌跡.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內的動點，當直線與的所成角為45°時，點Q的軌跡為（ ）
A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓
【答案】C
【分析】建系，利用空間向量結合線線夾角分析運算.
【詳解】以點D為原點，，，為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標系，
設正方體棱長為1，則，設，
可得，，
因為直線與的所成角為，
則，化簡可得，
所以點Q的軌跡為拋物線.
故選：C.

2．（24-25高三上·天津·期中）在棱長為2的正方體中，點P是側面正方形內的動點，點Q是正方形的中心，且PQ與平面所成角的正弦值是，則動點P的軌跡圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取正方形的中心，利用線面垂直及線面角可求得，進而確定軌跡并求出面積.
【詳解】在棱長為2的正方體中，取正方形的中心，連接，
由Q是正方形的中心，得平面，則是PQ與平面所成的角，
則，而，于是，，
因此動點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，其面積為.
故選：A

3．（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱中，，，點P在四邊形內（含邊界）運動，當時，點P的軌跡長度為，則該三棱柱的表面積為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意得，其中，從而根據題意列方程可求得，根據棱柱表面積公式即可求解.
【詳解】
設，因為，所以由棱柱的性質可得，
因為平面，平面，所以，
又因為，，平面，
所以平面，
點P在四邊形內（含邊界）運動，當時，
，這意味著點是在以為圓心為半徑的圓弧上運動，
該圓弧弧長是圓周周長，由題意，解得，
所以該三棱柱的表面積為.
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預測）已知正方體的棱長為4，點平面，且，則點M的軌跡的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出輔助線，得到平面，，故，在平面內建立平面直角坐標系，設，表達出，根據得到方程，求出點M的軌跡是半徑為的圓，求出軌跡長度.
【詳解】設E為，的交點，所以．
又平面，平面，所以．
又，平面，所以平面．
因為點平面，故平面，
所以，所以，
因為正方體的棱長為4，所以，即，
在平面內建立平面直角坐標系，如圖，
則．
設，則，
，
所以．
又，故，即，
整理得，即，
故點M的軌跡是半徑為的圓，
所以點M的軌跡長度為．
故選：C．
5．（2024·全國·模擬預測）如圖，正方體的棱長為3，點P是平面內的動點，M，N分別為，的中點，若直線BP與MN所成的角為，且，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，，得到，把BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，在正方體中，證得平面，得到，設與平面的交點為G，連接PG，結合題意，得到點P的軌跡是以G為圓心，為半徑的圓，根據圓的面積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，連接，，則N為的中點，又M為的中點，所以，
因此直線BP與MN所成的角就是直線BP與所成的角，
在正方體中，可得，
因為平面，平面，可得，
又因為且平面，所以平面，
因為平面，所以，同理可得，
因為，且平面，所以平面，則．
設與平面的交點為G，連接PG，所以，
在直角中，，因為，所以，
又由，所以，
所以點P的軌跡是以G為圓心， 為半徑的圓，其面積為.
故選：A.

6．（23-24高三上·廣東東莞·期中）在棱長為1的正方體中，是的中點，點在側面所在的平面上運動.現有下列命題：
①若點總保持，則動點的軌跡是直線；
②若點到點A的距離為，則動點的軌跡是圓；
③若點到點與點的距離比為2：1，則動點的軌跡是圓；
④若點到直線與直線的距離比為2：1，則動點的軌跡是橢圓.
其中真命題的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】證明平面，判斷①，由平面，得，從而得為定值，確定軌跡，判斷②，利用平面解析幾何知識求解軌跡判斷③，問題轉化為平面上的軌跡問題判斷④．
【詳解】①，如圖正方體中，平面，平面，∴，
又，平面，∴平面，
而平面，∴，同理，
又平面，∴平面，
而，則平面，又在平面上，所以，正確；

②，平面，平面，∴，
∴，
∴點軌跡是以為圓心，半徑為的圓，正確；

③，在平面上，以為軸，為軸建立平面直角坐標系，
則，，設，
由得，
整理得，∴點軌跡是圓，正確；

④，平面，垂足為，因此到直線的距離就是的長，
因此點為平面內到點的距離等于到直線的距離的點，軌跡為拋物線，④錯誤；
正確的有3個，
故選：B．
7．（2024·四川南充·二模）三棱錐中，，，為內部及邊界上的動點，，則點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得三棱錐為正三棱錐，即可得三棱錐的高，設點在底面上的射影為，即可得，進而可得點的軌跡及其長度.
【詳解】

如圖所示，
由，，
可知三棱錐為正三棱錐，
設中點為，
則，，，
設點在底面上的射影為，
則平面，，
又為內部及邊界上的動點，，
所以，
所以點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓在內部及邊界上的部分，
如圖所示，
，
，
即，，
所以點的軌跡長度為，
故選：B.
8．（23-24高三下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的動點，直線與平面所成角的最大值是，點在底面內，且，則點的軌跡長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，則為直線與平面所成角，從而得到，所以當取最小值時取得最大值，求出的最小值，即可求出，連接，由勾股定理求出，即可得到點在以為圓心，為半徑的圓（圓弧）上，且圓心角為，即可求出軌跡長.
【詳解】連接，因為平面，所以為直線與平面所成角，
所以，又直線與平面所成角的最大值是，
所以，當且僅當取最小值時取得最大值，
因為，所以當時取最小值，此時，
所以，
又點在底面內，且，連接，
因為平面，平面，所以，
所以，
所以點在以為圓心，為半徑的圓（圓弧）上，且圓心角為，
所以點的軌跡長為.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是由線面角求出的長度，再由勾股定理求出，即可確定的軌跡.
題型06 翻折相關的軌跡問題
【解題規律·提分快招】
翻折有關的軌跡問題的解題策略 1.翻折過程中尋找不變的垂直的關系求軌跡 2.翻折過程中尋找不變的長度關系求軌跡 3.可以利用空間坐標運算求軌跡
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）如圖，已知在中，，是邊上一點，且，將沿進行翻折，使得點與點重合，若點在平面上的射影在內部及邊界上，則在翻折過程中，動點的軌跡長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點作，得到動點的軌跡是以為圓心，以為半徑且圓心角為的圓弧，在所在平面建立平面直角坐標系，求得直線和的方程，聯立方程組，求得，得到的長，進而求得，結合弧長公式，即可求解.
【詳解】如圖（1）所示，過點作，分別交于點，
則動點在平面上的射影軌跡為線段，
設當與重合時，有；當與重合時，有，
則由為定長，可知動點的軌跡是以為圓心，以為半徑且圓心角為的圓弧，如圖（1）所示，
在所在平面建立如圖（2）所示的平面直角坐標系，
則，，，，直線，直線，
聯立方程組，解得，即，則，
又由，可得，所以，，
所以動點的軌跡長度為.
故選：A．

【點睛】方法點睛：求解立體幾何中的動態問題與存在性問題的策略：
1、解答方法：一般是根據線面平行，線面垂直的判定定理和性質定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；
2、對于線面位置關系的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足則肯定假設，若得出矛盾的結論，則否定假設；
3、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設存在，設出空間點的坐標，轉化為代數方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時，用已知向量來表示未知向量，一定要結合圖形，以圖形為指導思想是解答此類問題的關鍵.
二、填空題
2．（23-24高三上·重慶·期中）如圖，已知菱形中，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和為的中點，則在翻折過程中，與的夾角為 ，點的軌跡的長度為 ．
【答案】 /
【分析】
通過證明面得，故與的夾角為；設是的中點，可證的軌跡與的軌跡相同，求得的軌跡之后再求的軌跡.
【詳解】
由為邊的中點知：且，
易知，而，面，故面，
又面，所以，
故與的夾角為．
設是的中點，又為的中點，則且，
而且，所以且，
即為平行四邊形，故且，
故的軌跡與的軌跡相同.
因為面且，所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的半圓，
設的中點為，則，，
又面，面，所以面，
故的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，
所以的軌跡長度為.
故答案為：；
【點睛】
關鍵點點睛：①將的軌跡轉化為的軌跡；
②若的軌跡為圓，則的中點的軌跡也是圓.
一、單選題
1．（2024高三上·北京·學業考試）小明同學在通用技術課上，制作了一個半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點的三條棱的中點分別記為，如圖1所示，然后截去以為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長為6，則此半正多面體模型的體積為（ ）

A．108 B．162 C．180 D．189
【答案】C
【分析】正方體的體積減掉8個以為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.
【詳解】設此半正多面體模型的體積為，
則.
故選：C.
2．（24-25高三上·河南南陽·階段練習）已知正方體棱長為2，E為棱的中點，則經過三點的正方體的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，確定四邊形為經過三點的正方體的截面，結合梯形的面積公式計算即可求解.
【詳解】正方體中，平面，
則平面與平面的唯一交線與平行.
取BC中點，連接，
則四邊形即為經過三點的正方體的截面，
梯形中，，
則梯形的高為，
所以梯形的面積為，
故選：A.
3．（23-24高三下·河南三門峽·期末）在正四棱柱中，，分別是的中點，則平面截該四棱柱所得截面的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出輔助線，得到五邊形即為平面截該四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各邊長，相加得到截面周長.
【詳解】直線分別與相交于點，連接，分別與交于點，
連接，故五邊形即為平面截該四棱柱所得截面，
其中分別是的中點，故，
，故，由勾股定理得，
，
同理可得，
又，故，
故平面截該四棱柱所得截面的周長為.
故選：A
4．（24-25高三上·福建漳州·階段練習）在正四棱錐中，．用一個平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體，則幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題可知，幾何體為正四棱臺，求出正四棱臺高，再由臺體的體積公式即可得出答案.
【詳解】設正四棱錐的側棱長為，
連接與交于點，連接，則平面，
因為，所以，
因為，所以在中，，
解得：，所以，
又因為用一個平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體，
則幾何體為正四棱臺，
連接交于點，所以為的中點，
所以，所以幾何體的體積為：
.

故選：C.
5．（23-24高三上·上海普陀·階段練習）如圖，在棱長為2的正方體中，E、F分別是棱，的中點，M為底面上的動點，若直線平面，則線段的長度的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】找出點在平面內的軌跡，再根據過直線外一點垂線段最短，求出線段的長度的最小值即可.
【詳解】設點分別為棱，的中點，連接，可證明點，
事實上，在底面正方形中，可知，
因為平面，平面，所以平面；
在底面正方形中，可知且，
又因為且，所以且，
則四邊形為平行四邊形，所以，
又因為平面，平面，所以平面；
又因為平面，所以平面平面，
因為平面且平面，所以平面，
因為平面平面且點平面、平面，
所以，即M點的軌跡為線段；
由于正方體棱長為2，故三角形為等腰直角三角形，且為斜邊，，
所以當點為的中點時，即時，線段的長度最小且最小值為.
故選：A
6．（24-25高三上·重慶·期末）已知正方體，E，F，G分別為棱AB，，的中點，若平面EFG截該正方體的截面面積為，點P為平面EFG上動點，則使的點P軌跡的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通過平行可知截面為正六邊形，然后截面面積可求得正方體邊長.再結合正方體中截面EFG可得，進而可判斷點P的軌跡是以O為圓心，半徑為的圓，軌跡長度即可求解.
【詳解】由題意截面EGF則為正六邊形，如圖所示，

由截面面積為及三角形面積公式可得，解得，∴正方體的棱長.
因為截面EFG，O為的中點，也是截面EFG的中心，且，
，即，解得.
∴使得的點P的軌跡是以O為圓心，半徑為的圓，所以軌跡長度為.
故選：C.
7．（24-25高三上·北京·階段練習）如圖， 在四棱錐中， 底面 是邊長為3的正方形，平面，點為底面上的動點， 到的距離記為，若，則點在底面正方形內的軌跡的長度為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖建立空間直角坐標系，由，可得點在底面正方形內的軌跡方程，據此可得答案.
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，
設，其中，則.
又因平面，則到的距離等于，
則，其中.
則點在底面正方形內的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓在底面正方形內的弧.
如圖，設圓弧與DC，DA交于E，F點，因，
則，則相應軌跡對應弧長為.
故選：B
8．（24-25高三上·北京·期末）在正方體中，點Q為底面（含邊界）上的動點，滿足平面平面，則點的軌跡為（ ）
A．一段圓弧 B．一段拋物線
C．一段橢圓 D．一條線段
【答案】D
【分析】取的中點M，連接并延長交的延長線于N，由條件得平面，，所以平面，從而平面平面，結合題意可得，即可得解.
【詳解】取的中點M，連接并延長交的延長線于N，
由，可得，所以，所以A為的中點．
連接，由正方體可得，
又平面，平面，所以，
又平面，所以平面．
因為，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以平面，
因為平面，所以平面平面．
又因為點Q為底面（含邊界）上的動點，滿足平面平面，
所以，即點Q的軌跡是線段，
故選：D．
9．（24-25高三上·湖北·階段練習）點P是正方體的表面及其圍成的空間內一點，已知正方體的棱長為2，若，與平面所成的角為30°，則點P的軌跡的形狀是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，設，由易知，根據線面角的定義可得點坐標滿足雙曲線方程，進而可得結果.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設，
則，，所以，，
故，即，所以點在面（四點均為所在邊的中點），
過點作于點，易知面，
即，所以，即，
化簡得：，即點P的軌跡的形狀是雙曲線，
故選：C.
10．（24-25高三上·福建廈門·階段練習）在棱長為的正方體中，分別為的中點，點在正方體表面上運動，且滿足，點軌跡的長度是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系設點，利用以及兩點的位置關系可得點的軌跡為四邊形，求出該矩形周長即可得結果.
【詳解】在正方體中，以為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，，
設，則，
，可得；
當時，，當時，，
取，
連結，
則，
四邊形為矩形，則，
即，又和為平面中的兩條相交直線，
平面，又，
為的中點，則平面，
為使，必有點平面，
又點在正方體表面上運動，所以點的軌跡為四邊形，
又，則點的軌跡不是正方形，
則矩形的周長為.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用線面垂直證明 過程中輔助線較為復雜，所以建立空間直角坐標系可簡化求解過程，得出點的軌跡形狀即可求得周長.
二、多選題
11．（24-25高三上·重慶·階段練習）如圖，若正方體的棱長為2，點是正方體在側面上的一個動點（含邊界），點是棱的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．平面截該正方體的截面面積為
B．若，則點的軌跡是以為半徑的半圓弧
C．若為的中點，則三棱錐的體積為1
D．若，則的最大值為
【答案】ACD
【分析】對于A：取的中點，可知平面截該正方體的截面為矩形，即可得結果；對于B：可得，，即可得結果；對于C：利用轉換定點法求三棱錐的體積；對于D：可證平面，則點M的軌跡是線段，即可得結果.
【詳解】對于選項A：取的中點，連接，
因為點是棱的中點，則∥，，
又因為∥，，則∥，，且，
由正方體的性質得平面，平面，所以，
可知平面截該正方體的截面為矩形，其面積為，故A正確；
對于選項B：因為平面，平面，所以.
又，正方體的棱長為2，所以.
所以點的軌跡是以Q為圓心，1為半徑的半圓弧，故B錯誤；
對于選項C：因為，且，
則，故C正確；
對于選項D，在面上，過點P作，則點Q是的中點.
連接，取的中點N，連接，，，，
則，.
因為平面，平面，所以.
又，平面，所以平面，
所以點M的軌跡是線段.
在中，，，，
所以的最大值為3，故D正確；
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：對于D：根據垂直關系將線線垂直轉化為線面垂直，可得平面，進而可得點M的軌跡.
12．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）如圖，正方體的棱長為2，分別是棱上的中點，點為平面內的動點，則下列命題正確的有（ ）
A．若與所成的角為，則點的軌跡是橢圓
B．若點到直線與到直線的距離相等，則點的軌跡是拋物線
C．若與所成的角為，則點的軌跡是雙曲線
D．以為球心，為半徑的球面與平面相交所得曲線的面積為
【答案】BCD
【分析】根據線線角可得，即可判斷A；將問題轉化為點到定點的距離與到定直線的距離相等，得到點的軌跡是拋物線即可判斷B；根據點的軌跡是平面截圓錐面所得的圖形，又平面與軸平行，所以點的軌跡是雙曲線即可判斷C；利用等體積法求出點到平面的距離，進而得到球面與平面相交所得到的小圓的半徑，求出曲線面積即可判斷D．
【詳解】對于A，由于與所成的角為，故與所成的角為，即,
由于底面,只需要，故點的軌跡是圓，故A錯誤．
對于B，由平面，知，即是點到的距離，
在平面中，點到定點的距離與到定直線的距離相等，
則點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，故B正確；
對于C，因為與所成的角為，則或，
則點在以為頂點，或的反向延長線為軸、為母線的圓錐面上，
又在平面內，所以點的軌跡是平面截圓錐面所得的圖形，
又平面與軸平行，所以點的軌跡是雙曲線，故C正確．
對于D，設點到平面的距離為，
因為正方體的棱長為2，，分別是棱，上的中點，
所以，，，
故，故，
，
由，得，又球的半徑，
所以球面與平面相交所得到的小圓的半徑，
所以面積為，故D正確．
故選：BCD．
【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關的題目歸根到底還是對點線面關系的認知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.
13．（24-25高三上·吉林松原·階段練習）如圖，棱長為2的正方體中，為的中點，動點在平面內的軌跡為曲線.下列結論正確的是（ ）
A．當時，是一個點
B．當平面時，是一條線段
C．當直線與平面所成的角為時，是圓
D．當直線與平面所成的角為時，是雙曲線
【答案】ACD
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量垂直的坐標運算求解判斷A；利用線面關系的向量表示求出動點的軌跡方程判斷B；利用線面角的向量公式列式求得動點軌跡判斷CD.
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，因為正方形的棱長為2，
則有，
又為的中點，所以，設，
選項A，因為，又，
所以，即，
也即，
所以，此時，曲線為點，故A正確；
選項B，設平面的一個法向量為，
則，令得，，
當平面時，，即，動點在平面內的軌跡為一條直線（是連接和中點的直線），故B錯誤；
選項C，易知平面的一個法向量為，
所以當直線與平面所成的角為時，
有，化簡得，
此時曲線為，故C正確；
選項D，易知平面的一個法向量為，
所以當直線與平面所成的角為時，
有，化簡得，
此時曲線為，故D正確.
故選：ACD.
14．（23-24高三下·山東日照·期末）已知正方體的棱長為1，M，P分別為，AB的中點，點N滿足，設平面截正方體所得截面為，其面積為S，設該截面將正方體分成兩部分的體積分別為，，則下列判斷正確的是（ ）
A．截面可能為五邊形 B．當時，
C．存在，使得 D．的最大值為
【答案】ACD
【分析】作圖說明判斷A；由時截面形狀并求出面積判斷B；由時截面形狀，結合對稱性判斷C；由從0變化到1的截面變化情況，得到的變化情況，求出和的兩部分體積判斷D.
【詳解】對于A，當，即點與重合時，直線與的延長線分別交于點，
連接分別交于點，連接，得截面，截面為五邊形，A正確；
對于B，當時，點是的中點，此時截面為正六邊形，
其邊長為，則截面的面積，B錯誤；
對于C，當時，由對稱性知，截面分成的兩部分是全等的，則體積相等，C正確；
對于D，當，即點與重合時，連接并延長交延長線于，連接，
顯然是的中點，則≌，，點共線，
連接，此時截面為梯形，當從0變化到1時，截面從四邊形變成五邊形，
由選項C知，截面將正方體分成的兩部分體積之差的絕對值先減小至0，再逐漸增大，
因此取最大值時對應的或，當時，記為幾何體的體積，
則，，，
當時，記為幾何體的體積，在選項A中，，
則，即，，
，，所以的最大值為，D正確.
故選：ACD
【點睛】思路點睛：求解體積差的絕對值，利用特殊到一般的思想，先考慮點為的中點時的截面和分割成的幾何體體積的關系，再考慮點分別與點，點重合時的截面形狀以及分割成的兩部分的體積，總結出體積變化規律即可.
15．（23-24高三下·浙江·開學考試）如圖，已知棱長為2的正方體，點是棱的中點，過點作正方體的截面，關于下列判斷正確的是（ ）
A．截面的形狀可能是正三角形
B．截面的形狀可能是直角梯形
C．此截面可以將正方體體積分成1：3
D．若截面的形狀是六邊形，則其周長為定值
【答案】AC
【分析】對于A：取相應棱的中點分析判斷；對于B：假設成立，結合面面平行的性質以及線面垂直分析判斷；對于C：Q為所在棱中點，結合棱柱的體積分析判斷；對于D：設為的中點，，結合幾何性質求周長，進而分析判斷.
【詳解】假設正方體的棱長為2.
對于選項A：如圖，M，N分別為所在棱中點，

可知，即截面的形狀是正三角形，故A正確；
對于選項B：由面面平行的性質可知：∥，

如果為直角梯形，例如，
由正方體的性質可知：，可知平面，
又因為平面，則∥或重合，
由圖可知不成立，即截面的形狀不可能是直角梯形，故B錯誤；
對于選項C： Q為所在棱中點，如圖，

則正方體的體積為8，三棱柱的體積為，
所以截面將正方體分成，故C正確；
對于選項D：如圖所示，假設為的中點，，
則，
，
可得，
則六邊形的周長為，
顯然周長與有關，即六邊形的周長不是定值，故D錯誤；
故選：AC.
【點睛】關鍵點點睛：對于選項D：取特殊位置，假設為的中點，，結合幾何形狀求周長，進而分析判斷.
16．（23-24高三上·四川成都·階段練習）如圖，已知矩形為中點，為線段（端點除外）上某一點．沿直線沿翻折成，則下列結論正確的是（ ）

A．翻折過程中，動點在圓弧上運動
B．翻折過程中，動點在平面的射影的軌跡為一段圓弧
C．翻折過程中，二面角的平面角記為，直線與平面所成角記為，則．
D．當平面平面時，在平面內過點作為垂足，則的范圍為
【答案】AD
【分析】A選項，由題可知點P為以D為頂點的圓錐底面圓周上的點，即可判斷選項正誤；B選項，如圖，可證動點在平面的射影在過A點且與DF垂直的線段上，即可判斷選項正誤；C選項，結合B選項分析，可知與為同一等腰三角形的頂角和底角，即可判斷選項正誤；D選項，由題可得K點為在平面的射影軌跡與DC交點，如圖建立平面直角坐標系，表示出K點坐標，即可判斷選項正誤.
【詳解】A選項，注意到翻折過程中，點P到D點距離不變，
則P為以D為頂點，DP為母線的圓錐底面圓周上的點，
即動點在圓弧上運動，故A正確；
B選項，如圖，作，連接PH，則，
因平面PHA，則平面PHA.
作，又平面PHA，則PI，
又，平面，則平面.
則在翻折過程中，動點在平面的射影在過A點且與DF垂直的直線上，
即動點在平面的射影的軌跡為一段線段，故B錯誤；
C選項，由B選項分析可知，二面角的平面角為，
直線與平面所成角為，
則可知與為同一等腰三角形的頂角和底角，則.
則當時，，故C錯誤；
D選項，結合B選項分析，當平面平面時，點P在線段DC正上方.
則K點為在平面的射影軌跡與DC交點，
即為DF過A點垂線與DC交點.
如圖，建立以D為原點的平面直角坐標系，則.
又由題設，其中，則，
因，則，令，
則，故D正確.
故選：AD

三、填空題
17．（23-24高三下·安徽·期末）在正方體中，分別是的中點，，則過點的平面截該正方體所得的截面周長為 ．
【答案】
【分析】過且過的平面與面的交線平行于即為，由此能求出過點的平面截該正方體所得的截面的周長．
【詳解】正方體中，分別是棱的中點，
．
平面平面，
平面，
由正方體的棱長為4，
所以截面是以為腰，為上底，為下底的等腰梯形，
故周長為．
故答案為：.
18．（24-25高三上·天津河北·階段練習）已知棱長為1 的正方體ABCD-A B C D ，若點P在正方體內部且滿足 則點 P到AB的距離為 ; 正方體ABCD-A B C D ，Q是平面ABCD 內一動點，若A Q與A D所成角為 則動點Q 的軌跡是 (寫曲線名稱)
【答案】 拋物線
【分析】根據題意建立空間直角坐標系，再利用點到線的距離公式即可求得結果；利用向量數量積的定義即可得到方程，進而得到軌跡是什么曲線.
【詳解】
如圖，建立空間直角坐標系，則,
又因為，所以.
因動點Q是平面ABCD 內一點，若A Q與A D所成角為 設，,,又
即，
整理得，所以動點Q 的軌跡是拋物線.
故答案為：，拋物線.
19．（2024高三·全國·專題練習）已知在直三棱柱中，，，，，分別是，上的點，且，現沿平面將該三棱柱截成兩部分，則幾何體的體積為 ．
【答案】96
【分析】由勾股定理和已知比例式確定，的位置，再分別在，上取點，使得，連接，由三棱柱和四棱錐的體積公式計算即可；
【詳解】由題意知，，，，則，
由，且，所以，，，
如圖，分別在，上取點，使得，連接，
則幾何體可看作由直三棱柱和四棱錐組成，
因為，，
故所求幾何體體積為．

故答案為：96.
20．（23-24高三下·河南·期末）如圖所示，在直三棱柱中，，平面過棱的中點且與平行，若截該三棱柱所得的截面為等腰梯形，則該截面的面積為 ．
【答案】
【分析】根據中點可得線線平行，即可求證平面即為平面，即可利用三角形的邊角關系求解長度求解.
【詳解】在直三棱柱中，，
即底面為直角三角形，且斜邊，
取的中點的中點的中點，連接，
則，所以，即四點共面，
由平面平面，所以平面，故平面即為平面，
取的中點的中點，連接，則為等腰梯形的高，
因為，
所以，
所以．
故答案為：
21．（24-25高三上·上海·期末）已知正方體的棱長為，，為體對角線的三等分點，動點在三角形內，且三角形的面積 ，則點的軌跡長度為 .
【答案】
【分析】由正方體可證平面，及，再由三角形面積可知點到的距離，即可判斷點軌跡，即可得解.
【詳解】
由連接，
由正方體可知，，，，
且，，平面，
則平面，
又平面，
，
同理，
又，，平面，
所以平面，
即平面，且，
設直線平面于點，
則，且為三角形中心，
又，則，
所以點在以為圓心，為半徑的圓上，
在中，，
又，
所以，即，
所以點的軌跡為圓上的三段弧，且每段弧所對的圓心角為，
則軌跡的長度為，
故答案為：.
22．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）正方體的棱長為5，點在棱上，且，點是正方體下底面內（含邊界）的動點，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為25，則動點到點的最小值是 .
【答案】
【分析】根據動點P到直線的距離與點P到點M的距離的平方差為25，得到，發現點P的軌跡是拋物線，然后建立平面直角坐標系求解即可.
【詳解】
如圖所示，作，Q為垂足，則易知平面，
過點Q作，交于，則易知平面，
所以即為P到直線的距離．
因為，且，所以．
所以點P的軌跡是以AD為準線，點M為焦點的拋物線．
如圖建立直角坐標系，則點P的軌跡方程是，點，
設，所以，
所以當，取得最小值.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：根據已知及拋物線定義得到點P的軌跡方程為關鍵.
23．（23-24高三上·四川內江·期中）如圖，已知菱形中，，，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和，為的中點，則在翻折過程中，點的軌跡的長度為 .

【答案】
【分析】設是的中點，可證的軌跡與的軌跡相同，求得的軌跡之后再求的軌跡.
【詳解】由，，為邊的中點
設是的中點，又為的中點，則且，
而且，所以且，
即為平行四邊形，故且，

故的軌跡與的軌跡相同.
因為面，且，所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
設的中點為O，則，，
又面，面，所以面，
故的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
所以的軌跡長度為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：判斷點的軌跡，從圓、橢圓、雙曲線、拋物線的性質出發求解.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題11 立體幾何中的截面與軌跡問題
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題型01 截面形狀問題 1
題型02 截面面積、周長問題 5
題型03 截面切割幾何體體積問題 6
題型04 平行、垂直相關的軌跡問題 7
題型05 距離、角度相關的軌跡問題 9
題型06 翻折相關的軌跡問題 11
題型01 截面形狀問題
【解題規律·提分快招】
一、截面問題的理論依據 (1)確定平面的條件 ①不在同一平面的三點確定一個平面；②兩條平行線確定一個平面 (2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線 (3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內 (4)如果一條直線平行于一個平面，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行 (5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行 二、截面問題的基本思路 1.定義相關要素 ①用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面. ②此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線. ③此平面與幾何體的棱(或面)的交集(交點)叫做實截點. ④此平面與幾何體的棱(或面)的延長線的交點叫做虛截點. ⑤截面中能夠確定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本邏輯：找截點→連截線→圍截面 3.作截面的具體步驟 （1）找截點：方式1：延長截小面上的一條直線，與幾何體的棱、面(或其延長部分)相交，交點即截點 方式2：過一截點作另外兩截點連線的平行線，交幾何體的棱于截點 （2）連截線：連接同一平面內的兩個截點，成截線 （3）圍截面：將各截線首尾相連，圍成截面 三、作截面的幾種方法 （1）直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程。 （2）延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。 （3）平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體的截面的交線。 模型演練：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖。可以先默認為中點，等完全理解了，再改成任意等分點 方法：兩點成線相交法或者平行法 特征：1.三點中，有兩點連線在表面上.本題如下圖是EF（這類型的關鍵）； 2.“第三點”是在外棱上，如C1，注意：此時合格C1點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以. 方法一：相交法，做法如下圖. 方法二：平行線法，做法如下圖. 四、正方體中的基本截面類型 五、截面是圓錐曲線的原理剖析 令平面與軸線的夾角為,圓雉的母線與軸的夾角為,如圖②. 當時,截口曲線為橢圓; (2)當時,截口曲線為拋物線; (3)當時,截口曲線為雙曲線. 圖②我們再從幾何角度來證明. (1)如圖③,在圓錐內放兩個大小不同的球,使它們分別與截面切于點.在截口曲線上任取一點,過點作圓雉的母線,分別與兩球切于點.由球的性質可知,于是為定值,這樣截口曲線上的任一點到兩個定點的距離之和為常數,由橢圓的定義知,截口曲線是橢圓. (2)如圖④,在互相倒置的兩個圓雉內放兩個大小不同的球,使它們分別與圓雉的側面、截面相切,兩個球分別與截面切于點.在截口曲線上任取一點,過點作圓雉的母線,分別與兩球切于點.由球的性質可知,于是為定值,這樣截口曲線上的任一點到兩個定點的距離之差的絕對值為常數,由雙曲線的定義知,截口曲線是雙曲線. (3)如圖⑤,用平行于母線且垂直于軸截面的平面去截圓雉.在圓雉內放一個球,使它和圓雉的側面與截面相切,球與截面切于點.設為球與圓雉相切時切點構成的圓所在的平面,記.在截口曲線上任取一點,作直線與球相切于點,連結,有.在母線上取點(為與球的切點),使得.過點作,有點在上,且.另一方面,因為平面與垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲線是以點為焦點,為準線的拋物線.
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·浙江杭州·期末）在正方體中，，分別是棱和上的點，，，那么正方體中過點，，的截面形狀為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
2．（2024高三·全國·專題練習）過正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC的中點E，F作一個截面，使得截面與底面所成的角為45°，則此截面的形狀為（　　）
A．三角形或五邊形
B．三角形或六邊形
C．六邊形
D．三角形
二、解答題
3．（2024高三·全國·專題練習）如圖所示，一塊正方體木料的棱長為3米，點在棱上，且，過點把木料據開且鋸面與平行，問木料表面上的鋸痕是什么形狀？

題型02 截面面積、周長問題
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在正方體中，分別是的中點．用過點且平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·廣東茂名·一模）在棱長為6的正方體中，，，過點的平面截該正方體所得截面的周長為（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知正四棱錐，其中，，平面過點A，且平面，則平面截正四棱錐的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·遼寧·模擬預測）在正四棱柱中，為線段的中點，一質點從點出發，沿長方體表面運動到達點處，若沿質點的最短運動路線截該正四棱柱，則所得截面的面積為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
5．（24-25高三上·上海靜安·階段練習）在棱長為1的正方體中，E，F分別為棱，的中點，G為棱靠近C點的三等分點，用過點E，F，G的平面截正方體，則截面圖形的周長為 .
題型03 截面切割幾何體體積問題
【典例訓練】
一、填空題
1．（24-25高三·上海·課堂例題）平行于圓錐底面的截面將圓錐分為體積相等的兩部分，則圓錐側面被截面分成上、下兩部分的面積之比為 ．
2．（24-25高三上·江蘇南京·開學考試）與圓柱底面成角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的點到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為 .

3．（23-24高三下·吉林·期末）我國古代數學家祖暅于5世紀末提出了下面的體積計算原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.在正四棱柱中，，E是上一點，于點F，設，，則點E繞旋轉一周所得的圓的面積為 （用d表示）；將空間四邊形繞旋轉一周所得幾何體的體積為 .
題型04 平行、垂直相關的軌跡問題
【解題規律·提分快招】
①平行有關的軌跡問題的解題策略 1.線面平行轉化為面面平行得軌跡; 2.平行時可利用法向量垂直關系求軌跡. ②垂直有關的軌跡問題的解題策略 1.可利用線線線面垂直，轉化為面面垂直，得交線求軌跡; 2.利用空間坐標運算求軌跡; 3.利用垂直關系轉化為平行關系求軌跡.內,進而探究平面內的軌跡問題,使問題更易解決.空間問題平面化也是解決立體幾何題目的一般性思路.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側棱長是，為的中點，是側面內的動點，且平面，則點的軌跡的長度為（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（23-24高三下·甘肅武威·階段練習）如圖所示，在正方體中，E，F分別為，AB上的中點，且，P點是正方形內的動點，若平面，則P點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·福建福州·期末）已知長方體，，，是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（ ）
A．3 B． C． D．2
4．（24-25高三上·北京西城·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方體表面上的動點，且.設動點的軌跡為曲線，則（ ）
A．是平行四邊形，且周長為
B．是平行四邊形，且周長為
C．是等腰梯形，且周長為
D．是等腰梯形，且周長為
5．（2025高三·全國·專題練習）已知正三棱錐的底面的邊長為4，直線AC與平面BCD所成角的余弦值為，動點M在以BC為直徑的球面上，且直線平面MAB，則點M的軌跡長為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·江蘇南京·期末）已知正方體的棱長是2，點是棱的中點，Q是正方體表面上的一動點，，則動點Q的軌跡長度是（ ）
A．3 B．5 C． D．
7．（2024·山東·模擬預測）在直四棱柱中，，，點在側面內，且，則點軌跡的長度為（ ）
A． B． C． D．
題型05 距離、角度相關的軌跡問題
【解題規律·提分快招】
①距離有關的軌跡問題的解題策略 1.距離，可轉化為在一個平面內的距離關系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識求解軌跡； 2.利用空間坐標計算求軌跡. ②角度有關的軌跡問題的解題策略 1.直線與面成定角，可能是圓錐側面; 2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側面; 3.利用空間坐標系計算求軌跡.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·云南保山·二模）已知正方體，Q為上底面所在平面內的動點，當直線與的所成角為45°時，點Q的軌跡為（ ）
A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓
2．（24-25高三上·天津·期中）在棱長為2的正方體中，點P是側面正方形內的動點，點Q是正方形的中心，且PQ與平面所成角的正弦值是，則動點P的軌跡圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱中，，，點P在四邊形內（含邊界）運動，當時，點P的軌跡長度為，則該三棱柱的表面積為（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知正方體的棱長為4，點平面，且，則點M的軌跡的長度為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）如圖，正方體的棱長為3，點P是平面內的動點，M，N分別為，的中點，若直線BP與MN所成的角為，且，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為（ ）

A． B． C． D．
6．（23-24高三上·廣東東莞·期中）在棱長為1的正方體中，是的中點，點在側面所在的平面上運動.現有下列命題：
①若點總保持，則動點的軌跡是直線；
②若點到點A的距離為，則動點的軌跡是圓；
③若點到點與點的距離比為2：1，則動點的軌跡是圓；
④若點到直線與直線的距離比為2：1，則動點的軌跡是橢圓.
其中真命題的個數為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024·四川南充·二模）三棱錐中，，，為內部及邊界上的動點，，則點的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的動點，直線與平面所成角的最大值是，點在底面內，且，則點的軌跡長是（ ）
A． B． C． D．
題型06 翻折相關的軌跡問題
【解題規律·提分快招】
翻折有關的軌跡問題的解題策略 1.翻折過程中尋找不變的垂直的關系求軌跡 2.翻折過程中尋找不變的長度關系求軌跡 3.可以利用空間坐標運算求軌跡
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）如圖，已知在中，，是邊上一點，且，將沿進行翻折，使得點與點重合，若點在平面上的射影在內部及邊界上，則在翻折過程中，動點的軌跡長度為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
2．（23-24高三上·重慶·期中）如圖，已知菱形中，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和為的中點，則在翻折過程中，與的夾角為 ，點的軌跡的長度為 ．
一、單選題
1．（2024高三上·北京·學業考試）小明同學在通用技術課上，制作了一個半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點的三條棱的中點分別記為，如圖1所示，然后截去以為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長為6，則此半正多面體模型的體積為（ ）

A．108 B．162 C．180 D．189
2．（24-25高三上·河南南陽·階段練習）已知正方體棱長為2，E為棱的中點，則經過三點的正方體的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·河南三門峽·期末）在正四棱柱中，，分別是的中點，則平面截該四棱柱所得截面的周長為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·福建漳州·階段練習）在正四棱錐中，．用一個平行于底面的平面去截該正四棱錐，得到幾何體，則幾何體的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·上海普陀·階段練習）如圖，在棱長為2的正方體中，E、F分別是棱，的中點，M為底面上的動點，若直線平面，則線段的長度的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
6．（24-25高三上·重慶·期末）已知正方體，E，F，G分別為棱AB，，的中點，若平面EFG截該正方體的截面面積為，點P為平面EFG上動點，則使的點P軌跡的長度為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·北京·階段練習）如圖， 在四棱錐中， 底面 是邊長為3的正方形，平面，點為底面上的動點， 到的距離記為，若，則點在底面正方形內的軌跡的長度為（ ）
A．2 B． C． D．
8．（24-25高三上·北京·期末）在正方體中，點Q為底面（含邊界）上的動點，滿足平面平面，則點的軌跡為（ ）
A．一段圓弧 B．一段拋物線
C．一段橢圓 D．一條線段
9．（24-25高三上·湖北·階段練習）點P是正方體的表面及其圍成的空間內一點，已知正方體的棱長為2，若，與平面所成的角為30°，則點P的軌跡的形狀是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
10．（24-25高三上·福建廈門·階段練習）在棱長為的正方體中，分別為的中點，點在正方體表面上運動，且滿足，點軌跡的長度是（ ）.
A． B． C． D．
二、多選題
11．（24-25高三上·重慶·階段練習）如圖，若正方體的棱長為2，點是正方體在側面上的一個動點（含邊界），點是棱的中點，則下列結論正確的是（ ）
A．平面截該正方體的截面面積為
B．若，則點的軌跡是以為半徑的半圓弧
C．若為的中點，則三棱錐的體積為1
D．若，則的最大值為
12．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）如圖，正方體的棱長為2，分別是棱上的中點，點為平面內的動點，則下列命題正確的有（ ）
A．若與所成的角為，則點的軌跡是橢圓
B．若點到直線與到直線的距離相等，則點的軌跡是拋物線
C．若與所成的角為，則點的軌跡是雙曲線
D．以為球心，為半徑的球面與平面相交所得曲線的面積為
13．（24-25高三上·吉林松原·階段練習）如圖，棱長為2的正方體中，為的中點，動點在平面內的軌跡為曲線.下列結論正確的是（ ）
A．當時，是一個點
B．當平面時，是一條線段
C．當直線與平面所成的角為時，是圓
D．當直線與平面所成的角為時，是雙曲線
14．（23-24高三下·山東日照·期末）已知正方體的棱長為1，M，P分別為，AB的中點，點N滿足，設平面截正方體所得截面為，其面積為S，設該截面將正方體分成兩部分的體積分別為，，則下列判斷正確的是（ ）
A．截面可能為五邊形 B．當時，
C．存在，使得 D．的最大值為
15．（23-24高三下·浙江·開學考試）如圖，已知棱長為2的正方體，點是棱的中點，過點作正方體的截面，關于下列判斷正確的是（ ）
A．截面的形狀可能是正三角形
B．截面的形狀可能是直角梯形
C．此截面可以將正方體體積分成1：3
D．若截面的形狀是六邊形，則其周長為定值
16．（23-24高三上·四川成都·階段練習）如圖，已知矩形為中點，為線段（端點除外）上某一點．沿直線沿翻折成，則下列結論正確的是（ ）

A．翻折過程中，動點在圓弧上運動
B．翻折過程中，動點在平面的射影的軌跡為一段圓弧
C．翻折過程中，二面角的平面角記為，直線與平面所成角記為，則．
D．當平面平面時，在平面內過點作為垂足，則的范圍為
三、填空題
17．（23-24高三下·安徽·期末）在正方體中，分別是的中點，，則過點的平面截該正方體所得的截面周長為 ．
18．（24-25高三上·天津河北·階段練習）已知棱長為1 的正方體ABCD-A B C D ，若點P在正方體內部且滿足 則點 P到AB的距離為 ; 正方體ABCD-A B C D ，Q是平面ABCD 內一動點，若A Q與A D所成角為 則動點Q 的軌跡是 (寫曲線名稱)
19．（2024高三·全國·專題練習）已知在直三棱柱中，，，，，分別是，上的點，且，現沿平面將該三棱柱截成兩部分，則幾何體的體積為 ．
20．（23-24高三下·河南·期末）如圖所示，在直三棱柱中，，平面過棱的中點且與平行，若截該三棱柱所得的截面為等腰梯形，則該截面的面積為 ．
21．（24-25高三上·上海·期末）已知正方體的棱長為，，為體對角線的三等分點，動點在三角形內，且三角形的面積 ，則點的軌跡長度為 .
22．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）正方體的棱長為5，點在棱上，且，點是正方體下底面內（含邊界）的動點，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為25，則動點到點的最小值是 .
23．（23-24高三上·四川內江·期中）如圖，已知菱形中，，，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和，為的中點，則在翻折過程中，點的軌跡的長度為 .

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