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專題10 立體幾何中球的切接問題
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題型01 外接球模型一：墻角模型 1
題型02 外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型 2
題型03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型 3
題型04 外接球模型四：垂面模型 4
題型05 外接球模型五：正棱錐與側棱相等模型 6
題型06 內切球 8
題型01 外接球模型一：墻角模型
【解題規律·提分快招】
外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝．)，秒殺公式：R2＝．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：
【典例訓練】
一、單選題
1．（云南省昭通市普通高中云南師范大學附屬鎮雄中學教研聯盟2024-2025學年高三上學期聯考檢測數學試題）棱長分別為，，的長方體外接球的表面積為，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西商洛·一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則四棱錐外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·廣西南寧·期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑中，平面ABC，，，，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·廣西河池·階段練習）已知三棱錐的所有棱長均為，球為三棱錐的外接球，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·甘肅白銀·一模）在三棱錐中，兩兩垂直，且該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型02 外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型
【解題規律·提分快招】
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題． 如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．
【典例訓練】
一、填空題
1．（2024·湖北·模擬預測）已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，且，，，則球O的半徑為 .
2．（23-24高三下·重慶榮昌·階段練習）在四面體中，，，.則四面體外接球的表面積為 ．
題型03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型
【解題規律·提分快招】
外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點．一般情況下只作出一個面的垂線，然后設出球心用算術方法或代數方法即可解決問題．有時也作出兩條垂線，交點即為球心．)解決．以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，． 　　　　
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·山西·模擬預測）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，該圓柱的上下底面圓周上的點均在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·廣東河源·期中）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知一個正三棱柱的底面邊長為6，高為4，則該正三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·江蘇淮安·階段練習）如圖，在正三棱柱中，，直線與平面所成角的正切值為，則正三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知直三棱柱中，，，點到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河南·階段練習）將2個棱長均為2的直三棱柱密封在一個球體內，則該球體的體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型04 外接球模型四：垂面模型
【解題規律·提分快招】
外接球模型四： 1、垂面模型是有一條側棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內接于球，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一側面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·新疆烏魯木齊·三模）三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川成都·期中）在體積為的三棱錐中，，，平面平面，， ，若點，，，都在球的表面上，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·廣東·階段練習）在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
4．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（23-24高三下·遼寧葫蘆島·期末）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴 踢的含義，“鞠”最早系外包皮革內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴 踢皮球的活動.已知某鞠（球）的表面上有四個點，滿足平面，若三棱錐體積為，則該“鞠”的體積最小值為 .
6．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球表面積為 .
題型05 外接球模型五：正棱錐與側棱相等模型
【解題規律·提分快招】
1、正棱錐外接球半徑： ． 2、側棱相等模型： 如圖，的射影是的外心 三棱錐的三條側棱相等 三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點． 解題步驟： 第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線； 第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）； 第三步：勾股定理：，解出．
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陜西榆林·三模）已知正三棱錐的側棱與底面邊長的比值為，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐的高為（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024高三·全國·專題練習）已知正三棱錐，點都在半徑為的球面上，若兩兩垂直，則球心到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·山東德州·期中）已知四棱錐的各側棱與底面所成的角都相等，其各個頂點都在球O的球面上，滿足，，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一個球面上，若該球的體積為，則該正四棱錐的側棱與底面所成的角的正弦值為 .
題型06 內切球
【解題規律·提分快招】
內切球思路： 1、等積法思路 以三棱錐P－ABC為例，求其內切球的半徑． 方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和； 第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積； 第二步：設內切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球內接圓錐 如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷． 由圖、圖可知，或，故，所以． 3、球內接圓柱 如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足． 4、球內接圓臺 ，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切點，找球心，構造直角三角形
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·貴州·階段練習）正方體的棱長為2，其內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重慶·模擬預測）已知體積為的圓柱存在內切球．則該內切球的表面積為（）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江蘇南京·階段練習）已知圓錐的母線與底面所成角為，其內切球（球與圓錐底面及側面均相切）的表面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·廣西貴港·階段練習）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規律的立體結構，其所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內切球的表面積的比為（ ）
A． B． C． D．3
5．（23-24高三下·山東·期中）已知正四棱錐的底面邊長為2，高為，則其內切球半徑是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（23-24高三下·廣東深圳·階段練習）已知圓臺存在內切球（與圓臺的上、下底面及側面都相切的球），若圓臺的上、下底面面積之和與它的側面積之比為，設球的體積與圓臺分別為，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內切球表面職與圓錐側面積之和為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
8．（24-25高三上·江西贛州·開學考試）若正三棱柱的內切球體積為，則該正三棱柱的底面邊長為 ．
9．（2024高三·全國·專題練習）已知三棱錐，若，，兩兩垂直，且，，則三棱錐的內切球的表面積為 ．
10．（24-25高三上·廣東深圳·期中）在正方形中，，分別為線段，的中點，連接，，，將，，分別沿，，折起，使，，三點重合，得到三棱錐，則該三棱錐的外接球半徑與內切球半徑的比值為 .
一、單選題
1．（23-24高三下·內蒙古巴彥淖爾·期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，則該四棱錐外接球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·海南海口·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，與交于點，且，，，剪去，將沿翻折，沿翻折，使點與點重合于點，則翻折后的三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·福建福州·期中）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，，，，則此塹堵的外接球半徑是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·福建福州·期中）已知在高為的正四棱錐中，，則正四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·廣東·開學考試）外接球半徑為的正四面體的體積為（ ）
A． B．24 C．32 D．
6．（24-25高三上·天津·階段練習）已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，，，，，平面，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·廣東·階段練習）在四面體中，，且四面體的各個頂點均在球的表面上，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·甘肅武威·期末）已知球O是正三棱錐的外接球，若正三棱錐的高為，底邊，則球心O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·河北衡水·階段練習）已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點，該圓錐內切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·湖北荊州·階段練習）若某圓臺有內切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為，則此圓臺與其內切球的表面積之比為（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空題
11．（24-25高三上·湖北·開學考試）三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球體積等于 .
12．（2024·湖南株洲·一模）若半徑為R的球O是圓柱的內切球，則該球的表面積與該圓柱的側面積之差為 .
13．（2024·陜西西安·模擬預測）三棱錐中，，，，那么該三棱錐外接球的表面積是 ．
14．（23-24高三下·山東棗莊·期中）已知三棱錐V—ABC，滿足，，則該三棱錐的外接球的表面積為 .
15．（23-24高三下·河南·階段練習）直三棱柱 的各頂點都在同一球面上，若 ，則此球的表面積等于 .
16．（2024·陜西漢中·二模）已知三棱錐，點到平面的距離是，則三棱錐的外接球表面積為 ．
17．（23-24高三下·陜西西安·期中）在四面體中，，，，，則該四面體外接球的表面積為 .
18．（24-25高三上·上海·期中）已知一個圓臺有內切球，且兩底面半徑分別為1，4，則該圓臺的表面積為 .
19．（24-25高三上·北京·階段練習）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為 ，體積為 .
20．（24-25高三上·江蘇·階段練習）若正四棱錐的高為8，且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側面積為 .
21．（24-25高三上·浙江杭州·期中）在四邊長均為的菱形ABCD中，沿對角線BD折成二面角為的四面體ABCD，則此四面體的外接球表面積為 .
22．（2024高三下·廣東佛山·競賽）已知三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的內切球的半徑為 .
23．（23-24高三下·廣東江門·階段練習）已知正四面體的內切球的表面積為，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為 ．
24．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐的外接球體積的最大值為

25．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知四面體 的各頂點都在同一球面上，若，二面角 的平面角為 ，則該球的表面積是
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題型01 外接球模型一：墻角模型 1
題型02 外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型 4
題型03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型 6
題型04 外接球模型四：垂面模型 12
題型05 外接球模型五：正棱錐與側棱相等模型 18
題型06 內切球 24
題型01 外接球模型一：墻角模型
【解題規律·提分快招】
外接球模型一：墻角模型是三棱錐有一條側棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構造法(構造長方體)解決．外接球的直徑等于長方體的體對角線長(在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝．)，秒殺公式：R2＝．可求出球的半徑從而解決問題．有以下四種類型：
【典例訓練】
一、單選題
1．（云南省昭通市普通高中云南師范大學附屬鎮雄中學教研聯盟2024-2025學年高三上學期聯考檢測數學試題）棱長分別為，，的長方體外接球的表面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由條件結合球的表面積公式求球的半徑，根據關系長方體體對角線等于其外接球的直徑列方程求.
【詳解】設長方體的外接球的半徑為，
由已知，所以，
又棱長分別為，，的長方體的體對角線長為，
長方體體對角線等于其外接球的直徑，
所以，
所以.
故選：C.
2．（2024·陜西商洛·一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則四棱錐外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正方體的外接球即可求解體對角線得半徑，進而利用體積公式求解.
【詳解】將四棱錐放入正方體中，則四棱錐的外接球與正方體的外接球相同，
設四棱錐外接球的半徑為，則，所以，
故四棱錐外接球的體積．
故選：C
3．（23-24高三下·廣西南寧·期末）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．在鱉臑中，平面ABC，，，，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，可得平面，將鱉臑補全成長方體，進而可求外接球半徑，從而得解.
【詳解】根據題意，平面ABC，平面ABC，所以，
又，平面，所以平面，
將鱉臑補全成長方體，如圖，
則此四面體的外接球的半徑為，
其外接球的表面積為.
故選：B.
4．（23-24高三下·廣西河池·階段練習）已知三棱錐的所有棱長均為，球為三棱錐的外接球，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正方體的外接球來研究正四面體的外接球，只需要把正四面體放入正方體中，如圖分析研究即可得到球的半徑.
【詳解】因為三棱錐的所有棱長均為，故可把已知三棱錐放置在正方體上，如圖所示，

設正方體的棱長為，則，解得，
三棱錐的外接球就是正方體的外接球，故球的半徑，
所以球的體積，
故選：C.
5．（2024·甘肅白銀·一模）在三棱錐中，兩兩垂直，且該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將該三棱柱放入正方體中，借助正方體的外接球求解長度，即可根據體積公式求解.
【詳解】由于兩兩垂直,將該三棱柱放入正方體中，如圖：
故該三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，
故該三棱錐外接球的半徑為.
由，得.
由于平面，所以該三棱錐的體積為.
故選：B
題型02 外接球模型二：三棱錐的三組對棱長分別相等模型
【解題規律·提分快招】
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題． 如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．
【典例訓練】
一、填空題
1．（2024·湖北·模擬預測）已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，且，，，則球O的半徑為 .
【答案】/
【分析】利用三棱錐對棱相等，將三棱錐補全為為長方體，再利用長方體的外接圓直徑為長方體的體對角線即可得解.
【詳解】
如圖，由于三棱錐對棱相等，
將三棱錐補全為為長方體，
從而外接圓直徑為長方體的體對角線，
設長方體的棱長分別為，球的半徑為，
則，
所以，
解得.
故答案為：
2．（23-24高三下·重慶榮昌·階段練習）在四面體中，，，.則四面體外接球的表面積為 ．
【答案】
【分析】將四面體補形成長方體，使得對棱的長度分別為長方體面對角線的長，則長方體的體對角線即為四面體的外接球的直徑，再結合球表面積公式計算即可.
【詳解】由題意知，將四面體補形成長方體，使得對棱的長度分別為長方體面對角線的長，如圖所示，
設長方體的長、寬、高分別為，，，
則，解得，
所以長方體的體對角線長為，
所以外接球的直徑為，即，
所以四面體的外接球的表面積為.
故答案為：.
題型03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型
【解題規律·提分快招】
外接球模型三：直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型，用找球心法(多面體的外接球的球心是過多面體的兩個面的外心且分別垂直這兩個面的直線的交點．一般情況下只作出一個面的垂線，然后設出球心用算術方法或代數方法即可解決問題．有時也作出兩條垂線，交點即為球心．)解決．以直三棱柱為例，模型如下圖，由對稱性可知球心O的位置是△ABC的外心O1與△A1B1C1的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，． 　　　　
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·山西·模擬預測）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，該圓柱的上下底面圓周上的點均在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圓的截面性質與圓柱的結構特征，結合勾股定理求出球的半徑，從而得解.
【詳解】依題意，圓柱的底面半徑為，高為，
因為該圓柱的底面圓周都在球的表面上，設球的半徑為，
則，即，
所以球的表面積為，
故選：B.
2．（24-25高三上·廣東河源·期中）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意條件可知三棱柱是棱長都為的正三棱柱，上下底面中心連線的中點就是球心，即可求解.
【詳解】

由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為．上下底面中心連線的中點就是球心，
如圖，為三棱柱上底面的中心，為球心，易知，，
所以球的半徑滿足，故．
故選：B
3．（24-25高三上·江蘇南通·期中）已知一個正三棱柱的底面邊長為6，高為4，則該正三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據球心距、截面圓半徑、球半徑構成直角三角形，用勾股定理求出外接球的半徑即可求其表面積.
【詳解】根據題意，

底面外接圓半徑設為，則，∴，
外接球半徑設為R，
則，.
故選：C.
4．（24-25高三上·江蘇淮安·階段練習）如圖，在正三棱柱中，，直線與平面所成角的正切值為，則正三棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用線面角的正切求出，再求出正三棱柱的外接球半徑，再得出球的表面積即可.
【詳解】在正三棱柱中，取的中點，連接，如圖，
則，
由平面，平面，得，又，
平面，因此平面，
所以是直線與平面所成的角，
則，由，得，而，
則，，
因此正三棱柱的外接球球心到平面的距離，
而的外接圓半徑，
所以正三棱柱的外接球的半徑，
所以.
故選：D
5．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知直三棱柱中，，，點到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據點到直線的距離可得三棱柱的高，確定外接球球心，結合勾股定理可得外接球半徑與外接球表面積.
【詳解】
過點作于點，連接，
因為三棱柱為直三棱柱，
平面，
又平面，
，
，，平面，且，
平面，
平面，
，
易知，，
，，
，
則，
設外接圓圓心為，外接圓圓心為，
則，即，
且三棱柱外接球球心為中點，
則外接球半徑，
表面積為，
故選：.
6．（24-25高三上·河南·階段練習）將2個棱長均為2的直三棱柱密封在一個球體內，則該球體的體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分將這2個直三棱柱柱合成1個高為4的直三棱柱，或合成1個高為2的直四棱柱，兩種情況，分別求得底面正三角形或菱形的外接圓半徑，利用勾股定理計算出球的半徑，并比較大小，進而計算出球的體積的最小值.
【詳解】
若將這2個直三棱柱合成1個高為4的直三棱柱，
則底面正三角形的外接圓半徑，
所以其外接球的半徑為；
若將這2個直三棱柱合成1個高為2的直四棱柱，
則底面為邊長為2，銳角為的菱形，
則底面菱形的外接圓半徑，
所以其外接球的半徑為．
故該球體的體積的最小值為．
故選：A.
題型04 外接球模型四：垂面模型
【解題規律·提分快招】
外接球模型四： 1、垂面模型是有一條側棱垂直底面的棱錐模型，可補為直棱柱內接于球，由對稱性可知球心O的位置是△CBD的外心O1與△AB2D2的外心O2連線的中點，算出小圓O1的半徑AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一側面垂直底面的棱錐型，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如類型Ⅰ，△ABC與△BCD都是直角三角形，類型Ⅱ，△ABC是等邊三角形，△BCD是直角三角形，類型Ⅲ，△ABC與△BCD都是等邊三角形，解決方法是分別過△ABC與△BCD的外心作該三角形所在平面的垂線，交點O即為球心．類型Ⅳ，△ABC與△BCD都一般三角形，解決方法是過△BCD的外心O1作該三角形所在平面的垂線，用代數方法即可解決問題．設三棱錐A－BCD的高為h，外接球的半徑為R，球心為O．△BCD的外心為O1，O1到BD的距離為d，O與O1的距離為m，則解得R．可用秒殺公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2為兩個面的外接圓的半徑，l為兩個面的交線的長)
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·新疆烏魯木齊·三模）三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圓半徑，再利用為三棱錐的高，為外接球半徑），即可求解．
【詳解】在中，，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
設的外接圓半徑為，
則，所以，
平面，且，
設三棱錐外接球半徑為，
則，即，
所以三棱錐外接球的表面積為．
故選：B．
2．（24-25高三上·四川成都·期中）在體積為的三棱錐中，，，平面平面，， ，若點，，，都在球的表面上，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如圖，取的中點，連接，，根據題中條件確定點為球心，設球半徑為，利用三棱錐的體積求出，最后利用球的體積公式求結論.
【詳解】如圖，取的中點，連接，，
因為，，所以，
因此點就是三棱錐的外接球球心，
在平面內過點作，為垂足，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
設球半徑為，則，
又，則，
因為，，，
所以，
所以，
所以三棱錐的體積，
所以，所以球的體積為．
故選：C．
3．（24-25高三上·廣東·階段練習）在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【分析】令的外心為，取中點，由已知可得四邊形是矩形，利用球的截面性質求出球半徑即可得解.
【詳解】在中，，則，中點為的外心，
于是平面，取中點，連接，則，而平面PAB⊥平面ABC，
平面平面，平面，則平面，，
令正的外心為，則為的3等分點，，
又平面，則，而，則四邊形是矩形，
，因此球O的半徑，
所以球O的表面積為.
故選：B
4．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設中點為，連接，過點作，進而根據已知條件證明三棱錐的外接球的球心在上，再設外接球的半徑為，球心為，中點為，連接，再根據幾何關系得，進而代入數據計算即可得答案
【詳解】設中點為，連接，
因為是以為斜邊的等腰直角三角形，，
所以，，
過點作，
因為平面平面，平面平面，平面，平面
所以平面，平面，
所以三棱錐的外接球的球心在上，設外接球的半徑為，
則由得，由得，
又因為，
所以為等腰直角三角形，
設球心為，中點為，連接，
則，
所以，
即，解得，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C
二、填空題
5．（23-24高三下·遼寧葫蘆島·期末）足球起源于中國古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴 踢的含義，“鞠”最早系外包皮革內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴 踢皮球的活動.已知某鞠（球）的表面上有四個點，滿足平面，若三棱錐體積為，則該“鞠”的體積最小值為 .
【答案】
【分析】根據三棱錐的外接球的球心到所有頂點距離相等，且都為球半徑，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根據基本不等式即可求解最小值，進而可得球半徑的最小值.
【詳解】
取中點為,過作交于，則,即為中點.
因為平面,所以平面.
因為,所以,
所以，,
所以，是三棱錐外接球球心,為球的半徑.
由,
又,當且僅當,等號成立,此時,
所以球半徑,故,
該“鞠”的體積最小值為
故答案為：.
6．（24-25高三上·黑龍江·階段練習）在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球表面積為 .
【答案】/
【分析】取中點，連接，根據等邊三角形的性質及面面垂直的性質定理得平面，根據直角三角形的性質得的外接圓的圓心為M，所以三棱錐的球心在上，利用勾股定理求解球的半徑，代入球的表面積公式即可求解.
【詳解】取中點，連接，由，得，
由于平面平面，且交線為，平面，故平面，
又，，故為等腰直角三角形，故，
因此外接球的球心在上，且
設球半徑為，則，
解得，故表面積為.
故答案為：
題型05 外接球模型五：正棱錐與側棱相等模型
【解題規律·提分快招】
1、正棱錐外接球半徑： ． 2、側棱相等模型： 如圖，的射影是的外心 三棱錐的三條側棱相等 三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點． 解題步驟： 第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線； 第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）； 第三步：勾股定理：，解出．
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取正三棱錐的底面中心為，設外接球的球心為，先由三棱錐的體積求出正三棱錐的高為，再由勾股定理求出球的半徑，最后求出表面積即可.
【詳解】設正三棱錐的底面中心為，外接球的球心為，顯然球心在直線上.
設正三棱錐的高為，外接球的半徑為，
由，可得正三角形的面積為，
所以，解得.
球心到底面的距離為，
由，得，
所以外接球的表面積為.
故選：D.
2．（2024·陜西榆林·三模）已知正三棱錐的側棱與底面邊長的比值為，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐的高為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據球心到底面的距離、底面三角形的外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理，求得，然后可得棱錐的高.
【詳解】如圖，為等邊三角形，
設為中點，面，，則，
所以，
設三棱錐外接球的半徑為，由正棱錐的性質可知球心為在上，
則，即，所以.
由，解得.
所以三棱錐的高為.
故選：B.

3．（2024高三·全國·專題練習）已知正三棱錐，點都在半徑為的球面上，若兩兩垂直，則球心到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：根據正三棱錐的外接球就是所在正方體的外接球，結合等體積法根據求解即可；
方法二：為等邊三角形的中心，連接，則三棱錐的外接球球心在直線上，連接，設，根據垂徑定理求解即可；
方法三：設正方體的體對角線為，再證明平面，根據幾何關系求解即可.
【詳解】方法一：因為兩兩垂直，所以正三棱錐的外接球就是所在正方體的外接球．
如圖，外接球的球心即為正方體的中心，正方體的體對角線就是外接球的直徑．
設正方體的棱長為，外接球的半徑為，則，即，
即，，，
．設點到平面的距離為，
由，得，
所以，
所以球心到平面的距離為．
方法二：如圖，為等邊三角形的中心，連接，
則三棱錐的外接球球心在直線上，連接，設，
則，，
，
（或），
在中，，即
（或），解得（舍去），
所以，即球心到平面的距離為．
方法三：因為兩兩垂直，所以正三棱錐為正方體的一部分，
它的外接球就是該正方體的外接球，如圖，外接球的球心即為正方體的中心，
正方體的體對角線就是外接球的直徑，即．
因為，且，故四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，故平面，
同理平面，又，平面，
故平面平面，設體對角線交平面于點，交平面于點，
由正方體的性質知，所以，
又平面，平面，故，，
又平面，，故平面，
又平面，則，同理，又平面，，
故平面，所以球心到平面的距離為．
故選：C．
4．（24-25高三上·山東德州·期中）已知四棱錐的各側棱與底面所成的角都相等，其各個頂點都在球O的球面上，滿足，，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根據側棱與底面所成角相等推出頂點在底面的射影是底面外接圓的圓心，然后利用底面四邊形的條件求出底面外接圓的半徑，再結合四棱錐的棱的長度求出該幾何體外接球的半徑，最后根據球的表面積公式求出表面積即可.
【詳解】因為四棱錐的各側棱與底面所成的角都相等，
所以頂點在底面的射影是底面四邊形外接圓的圓心.
因為，所以△為等腰三角形. 因為，所以，
故△為等邊三角形，則.設底面四邊形外接圓半徑為，
則根據正弦定理得，即，解得.
設線段的中點, 則，
那么由勾股定理可知，所以，
故是等邊三角形的中心，則.
設球的半徑為，根據題意可知球心在射線上，
當球心在線段上時，如圖1所示， 則，即，
解得，此時，不符合題意舍去.
當球心在射線上且在平面的下方時，如圖2所示，，
即，解得，此時符合題意，
故球的半徑，所以根據球體的表面積公式知該四棱錐外接球的表面積為.
故選：B.

【點睛】求解幾何體外接球問題的關鍵是通過找到球體球心的位置確定球體的半徑.
二、填空題
5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一個球面上，若該球的體積為，則該正四棱錐的側棱與底面所成的角的正弦值為 .
【答案】
【分析】根據已知條件求得正四棱錐的底面邊長和高，結合線面角的知識求得正確答案.
【詳解】如圖所示正四棱錐，，則平面.
設正四棱錐外接球的半徑為，則R=2，
設正四棱錐底面邊長為，高為，則①，
由整理得②，
由①②解得，
由于平面，所以正四棱錐的側棱與底面所成的角為，
.
故答案為：
題型06 內切球
【解題規律·提分快招】
內切球思路： 1、等積法思路 以三棱錐P－ABC為例，求其內切球的半徑． 方法：等體積法，三棱錐P－ABC體積等于內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和； 第一步：先求出四個表面的面積和整個錐體體積； 第二步：設內切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球內接圓錐 如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷． 由圖、圖可知，或，故，所以． 3、球內接圓柱 如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足． 4、球內接圓臺 ，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切點，找球心，構造直角三角形
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·貴州·階段練習）正方體的棱長為2，其內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正方體與其內切球的幾何關系得出內切球半徑，再根據球體表面積公式求得結果.
【詳解】分析正方體與其內切球的幾何關系得，內切球直徑與正方體的棱長相等，
即半徑，所以球體表面積為.
故選：C.
2．（2024·重慶·模擬預測）已知體積為的圓柱存在內切球．則該內切球的表面積為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】假設內切球的半徑為，依題意可求出，進而利用球的表面積公式求解即可.
【詳解】設內切球的半徑為，依題意可知圓柱的高和底面直徑均為，
圓柱的體積，解得，
故圓柱內切球的表面積為,
故選：C.
3．（24-25高三上·江蘇南京·階段練習）已知圓錐的母線與底面所成角為，其內切球（球與圓錐底面及側面均相切）的表面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出軸截面，根據直角三角形的知識計算出底面半徑和高，再根據圓錐的體積計算公式即可.
【詳解】作出軸截面如圖所示，為內切球的圓心，為圓錐底面圓的圓心，為切點，由已知條件可知，內切球的表面積等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圓錐的體積.
故選：C
4．（24-25高三上·廣西貴港·階段練習）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規律的立體結構，其所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體 正六面體 正八面體 正十二面體 正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內切球的表面積的比為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】對于正八面體，需要找出其外接球半徑和內切球半徑的關系，再根據球的表面積公式，來計算表面積的比.
【詳解】設正八面體的棱長為a，正八面體的中心到頂點的距離就是外接球半徑R，
∴中心到面的距離就是內切球半徑r,
正八面體的體積，
，解得
根據球的表面積公式，外接球表面積，
內切球表面積；
則外接球與內切球表面積之比
故選：D
5．（23-24高三下·山東·期中）已知正四棱錐的底面邊長為2，高為，則其內切球半徑是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正四棱錐的軸截面，轉化成等腰三角形的內切圓問題，轉化為直角三角形，運用勾股定理解出內切球半徑.
【詳解】
設正四棱錐內切球球心為，其在底面的投影為，則三點共線，內切球半徑為，取中點，中點，則正四棱錐內切球半徑即為的內切圓半徑，
因為底面邊長為，所以，，
因為高為，即，則，
所以，
在中，即，解得，
故選：D.
6．（23-24高三下·廣東深圳·階段練習）已知圓臺存在內切球（與圓臺的上、下底面及側面都相切的球），若圓臺的上、下底面面積之和與它的側面積之比為，設球的體積與圓臺分別為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，結合圓臺軸截面等腰梯形的內切圓是球的截面大圓，探討圓臺兩底半徑與母線的關系，再利用圓臺側面積公式及圓臺、球的體積公式求解即得．
【詳解】設圓臺的上、下底面半徑分別為，，母線長為，高為，內切球的半徑為，
顯然圓臺軸截面等腰梯形的內切圓是球的截面大圓，則，，
由，整理得，而，解得，，
因此圓臺的高，，
則圓臺的體積，
內切球的體積，所以．
故選： C
7．（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內切球表面職與圓錐側面積之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和高，再由三角形面積相等求出圓錐內切球半徑，然后由球的表面積公式和圓錐的側面積公式求出結果即可.
【詳解】因為三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，
所以為圓錐底面圓的內接正三角形，且邊長，
由正弦定理可得底面圓的半徑，
所以圓錐的高，
如圖，圓錐軸截面三角形的內切圓半徑即為圓錐內切球半徑，
軸截面三角形面積為，
所以內切球半徑，
內切球的表面積為，
圓錐的側面積為，
所以其和為，
故選：C.
二、填空題
8．（24-25高三上·江西贛州·開學考試）若正三棱柱的內切球體積為，則該正三棱柱的底面邊長為 ．
【答案】
【分析】根據球的體積公式可得內切球的半徑，根據正三棱柱結構特征可知即為底面正三角形內切圓半徑，從而即可得解.
【詳解】解：設正三棱柱的內切球的半徑為，
則有，
解得，
設正三棱柱的底面邊長為，
則正三棱柱的底面三角形的內切圓半徑即為正三棱柱內切球半徑，
又正三棱柱的底面三角形的內切圓半徑，
所以，
解得.
故答案為：
9．（2024高三·全國·專題練習）已知三棱錐，若，，兩兩垂直，且，，則三棱錐的內切球的表面積為 ．
【答案】
【分析】利用三棱錐內切球球心與各頂點相連將原三棱錐分成4個三棱錐，借助等體積法可求內切球的半徑，從而可求表面積.
【詳解】由題意，設三棱錐的內切球的半徑為，球心為，
則由等體積得，
即，
解得．故內切球的表面積為．
故答案為：.
10．（24-25高三上·廣東深圳·期中）在正方形中，，分別為線段，的中點，連接，，，將，，分別沿，，折起，使，，三點重合，得到三棱錐，則該三棱錐的外接球半徑與內切球半徑的比值為 .
【答案】
【分析】利用補為長方體法來求這個三棱錐的外接球半徑，利用等體積法來求內切球半徑，最后求比值即可.
【詳解】因為在正方形中，，，，
所以折起后，，兩兩互相垂直，
故該三棱錐的外接球，即以，，為棱的長方體的外接球.
設正方形的邊長為2，則，，，
故，則.
設內切球球心為，由，三棱錐的表面積，
，所以，
則有.

故答案為：.
一、單選題
1．（23-24高三下·內蒙古巴彥淖爾·期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，則該四棱錐外接球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將四棱錐補形為長方體，則長方體的外接球即為該四棱錐的外接球，又長方體的體對角線即為外接球的直徑，求出外接球的半徑，即可求出其表面積.
【詳解】因為在四棱錐中，底面是矩形，平面，
如圖將四棱錐補形為長方體，則長方體的外接球即為該四棱錐的外接球，
又，設長方體外接球的半徑為，則，
所以外接球的表面積.
故選：A

2．（2024·海南海口·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，與交于點，且，，，剪去，將沿翻折，沿翻折，使點與點重合于點，則翻折后的三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，可得兩兩垂直，再補形成長方體，借助長方體求出球的表面積.
【詳解】依題意，在三棱錐中，，
因此三棱錐可以補形成以為共點三條棱的長方體，
該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，設球半徑為，
則，
所以三棱錐外接球的表面積為.
故選：C
3．（23-24高三下·福建福州·期中）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，，，，則此塹堵的外接球半徑是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出即為外接圓的直徑，設此塹堵的外接球半徑為，則，即可求出.
【詳解】因為，，，則，
則外接圓的直徑為，
設此塹堵的外接球半徑為，則，
即，所以.
故選：C
4．（24-25高三上·福建福州·期中）已知在高為的正四棱錐中，，則正四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先計算出外接球的半徑，從而計算出外接球的表面積.
【詳解】設正方形的中心為，連接，則外接球的球心在上，
，設外接球的半徑為，則，
解得，所以外接球的表面積為.
故選：A
5．（24-25高三上·廣東·開學考試）外接球半徑為的正四面體的體積為（ ）
A． B．24 C．32 D．
【答案】A
【分析】設出正四面體棱長，通過作輔助線表示出四面體的高，解直角三角形表示外接球半徑，由已知外接球半徑為可得棱長，再由三棱錐體積公式可得.
【詳解】如圖，設正四面體的下底面中心為，連接，則平面，
連接并延長，交于，設此正四面體的棱長為x，則，
，，即四面體的高．
設四面體外接球的球心為，連接，外接球半徑為，
則，化簡得，由，
得，即正四面體棱長為，
所以正四面體的體積.
故選：A.
6．（24-25高三上·天津·階段練習）已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，，，，，平面，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，求出外接圓半徑，球心到平面的距離，再利用球的截面圓性質計算即可.
【詳解】在三棱錐中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面，
則球心到平面的距離為，在中，由余弦定理得：
，
因此外接圓半徑，球的半徑，
所以球O的表面積.
故選：C
7．（24-25高三上·廣東·階段練習）在四面體中，，且四面體的各個頂點均在球的表面上，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中點為，根據已知條件證為的外心，且平面，進而確定外接球球心的位置，并求出半徑，即可得球的體積.
【詳解】如圖，取的中點為，由，則，
連接，又，故，故為的外心，
由題設，易得，所以，即，
又，且、平面，所以平面，
所以球心在上，設球的半徑為，
在中，，即，解得，
所以球的體積為．
故選：C

8．（24-25高三上·甘肅武威·期末）已知球O是正三棱錐的外接球，若正三棱錐的高為，底邊，則球心O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設正三棱錐的底面中心為M，D為BC的中點，連接AD，顯然球心O在直線PM上，由可得外接球半徑，從而得解.
【詳解】設正三棱錐的底面中心為M，D為BC的中點，連接AD，
顯然球心O在直線PM上，設球O的半徑為R，因為，
所以球心O到底面ABC的距離為，，
由，得，，
所以球心O到平面ABC的距離為．
故選：A
9．（24-25高三上·河北衡水·階段練習）已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點，該圓錐內切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】研究圓錐與內切球的軸截面，由題可得內切球半徑，在軸截面中解直角三角形分別求出圓錐的高與底面半徑即可.
【詳解】如圖所示，設內切球與相切于點，因為，所以，
由內切球的表面積為，可得球的半徑，
在直角中得，則圓錐的高為，
在直角中得，即圓錐的底面半徑為3，
所以該圓錐的體積．
故選：A．
10．（24-25高三上·湖北荊州·階段練習）若某圓臺有內切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的正弦值為，則此圓臺與其內切球的表面積之比為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根據圓臺的內切球的性質以及線面夾角可得，且，以及內切球的半徑，再結合圓臺和球的面積公式運算求解.
【詳解】設上底面半徑為，下底面半徑為，
如圖，取圓臺的軸截面，作，垂足為，
設內切球與梯形兩腰分別切于點，
可知，，
由題意可知：母線與底面所成角為，
則，可得，
即，，可得，
可知內切球的半徑，
可得，，
所以.
故選：C.
二、填空題
11．（24-25高三上·湖北·開學考試）三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球體積等于 .
【答案】
【分析】將三棱錐補成長方體，求長方體外接球的體積即可.
【詳解】如圖：

將三棱錐補成長方體，則三棱錐的外接球和長方體的外接球是一致的.
設長方體外接球半徑為，則：，所以
所以三棱錐的外接球體積為：.
故答案為：
12．（2024·湖南株洲·一模）若半徑為R的球O是圓柱的內切球，則該球的表面積與該圓柱的側面積之差為 .
【答案】
【分析】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為，計算該球的表面積與該圓柱的側面積即可得.
【詳解】由題意可得該圓柱的高，底面半徑為，
故該圓柱的側面積,
該球的表面積,
則.
故答案為：.
13．（2024·陜西西安·模擬預測）三棱錐中，，，，那么該三棱錐外接球的表面積是 ．
【答案】
【分析】根據題意得到三棱錐的對棱相等，可知該三棱錐可置于一個長方體中，再求長方體外接球的表面積即可得.
【詳解】由題意，該三棱錐的對棱相等，可知該三棱錐可置于一個長方體中，如圖所示：
記該長方體的棱長為，則，
即，所以外接球半徑為，
．
故答案為：.
14．（23-24高三下·山東棗莊·期中）已知三棱錐V—ABC，滿足，，則該三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【分析】在長方體中構造滿足條件的三棱錐，通過求解長方體外接球半徑即可求得三棱錐外接球半徑，進而求得結果.
【詳解】根據三棱錐對棱相等的特點，在長方體中構造三棱錐如下所示：
設該長方體長寬高分別為，由題可知：，
故可得，又該長方體外接球半徑，也為該三棱錐外接球半徑，
故該三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：.
15．（23-24高三下·河南·階段練習）直三棱柱 的各頂點都在同一球面上，若 ，則此球的表面積等于 .
【答案】/
【分析】由余弦定理求得，根據正弦定理求出的外接圓半徑，結合勾股定理和球的表面積公式計算即可求解.
【詳解】在中，由余弦定理得，
由，得，設的外接圓半徑為r，
由正弦定理得，則，
設三棱柱的外接球半徑為R，則，
所以球O的表面積.
故答案為：
16．（2024·陜西漢中·二模）已知三棱錐，點到平面的距離是，則三棱錐的外接球表面積為 ．
【答案】
【分析】根據題意求得外接圓的半徑，再利用勾股定理證得平面，從而利用側棱垂直于底面的三棱錐的外接球的性質即可得解.
【詳解】記為的中點，連接，
由題意知，且，
所以外接圓的直徑為，且，即半徑，
過作平面，因為平面，則，
又點到平面的距離是，即，而，
所以，同理，
又，所以是同一個點，所以平面，
設三棱錐的外接球的半徑為，
則，
則三棱錐的外接球表面積為.
故答案為：
17．（23-24高三下·陜西西安·期中）在四面體中，，，，，則該四面體外接球的表面積為 .
【答案】
【分析】首先求出，利用勾股定理逆定理得到，設的中點為，根據直角三角形的性質性質得到，即為外接球的球心，即為外接球的半徑，從而求出球的表面積.
【詳解】如圖所示：
由，，可知.
因為，，所以，即.
設的中點為，則，
所以為四面體外接球的球心，四面體的外接球半徑，
所以外接球表面積.
故答案為：
18．（24-25高三上·上海·期中）已知一個圓臺有內切球，且兩底面半徑分別為1，4，則該圓臺的表面積為 .
【答案】
【分析】借助于軸截面，根據內切圓的性質分析可知圓臺的母線長為，進而可求表面積.
【詳解】如圖所示，等腰梯形為圓臺軸截面，
內接圓與梯形切于點，其中分別為上、下底面圓心，
則梯形的腰長，即圓臺的母線長為，
所以該圓臺的表面積為.
故答案為：.
19．（24-25高三上·北京·階段練習）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為 ，體積為 .
【答案】
【分析】利用正棱柱外接球的性質，結合正弦定理與勾股定理，球的表面積與體積公式即可得解.
【詳解】根據題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，
上下底面中心連線的中點就是球心，如圖：
則的外接圓的半徑為，
所以其外接球的半徑為，
所以球的表面積為；
體積為.
故答案為：；
20．（24-25高三上·江蘇·階段練習）若正四棱錐的高為8，且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側面積為 .
【答案】
【分析】設正四棱錐的頂點在底面的投影為，由題意結合勾股定理計算可得該正四棱柱底面邊長與側棱長，再計算出側面的高后，結合側面積公式計算即可得解.
【詳解】如圖所示，設P在底面的投影為，易知正四棱錐的外接球球心在PG上，
由題意球的半徑為，，
所以，，
則，故中，邊的高為，
所以該正四棱錐的側面積為
故答案為：
21．（24-25高三上·浙江杭州·期中）在四邊長均為的菱形ABCD中，沿對角線BD折成二面角為的四面體ABCD，則此四面體的外接球表面積為 .
【答案】
【分析】設兩三角形外心分別為,球心為，取中點，得，從而可求得，再根據勾股定理即可求得外接球的半徑，從而可求表面積.
【詳解】如圖所示，設兩三角形外心分別為,球心為，
則平面，平面，取中點，
則，所以二面角的平面角為，即，
所以，
在中，，所以，
又，所以球的半徑為，
故球的表面積為.

故答案為：.
22．（2024高三下·廣東佛山·競賽）已知三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的內切球的半徑為 .
【答案】
【分析】內切球的半徑可利用等體積法進行求解.
【詳解】設該三棱錐的體積為，表面積為，內切球的半徑為，球心為，
則，且，則，
∵三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，
∴，
∴，
又，∴，
∴,
又，，
，
∴，
∴由，得，因此.
故答案為：.
23．（23-24高三下·廣東江門·階段練習）已知正四面體的內切球的表面積為，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為 ．
【答案】
【分析】由內切球的表面積求出內切球的半徑，過點A作平面BCD，連接BH并延長交CD于點E，且點E為CD中點，連接，記內切球球心為O，過O作，設正四面體邊長為，然后結合正四面體的性質可求出，從而可求出截面的面積.
【詳解】解：由內切球的表面積，得內切球半徑
如圖，過點A作平面BCD，則點H為等邊的中心
連接BH并延長交CD于點E，且點E為CD中點，連接，
記內切球球心為O，過O作，設正四面體邊長為，
則，
所以，
又因為，所以，
由，得，即，解得
因為過棱AB和球心O，所以即為所求截面
且.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：此題考查正四面體與其外接球問題，考查球的表面積公式，解題的關鍵是根據正四面體的性質找出外接球的球心，考查空間想象能力和計算能力，屬于中檔題.
24．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐的外接球體積的最大值為

【答案】
【分析】先確定球心的位置，結合勾股定理，得出半徑的最大值，進而可求外接球的體積的最大值.
【詳解】因為，，
所以的外接圓的圓心為的中點，且，
取的中點，連接，則，所以平面；
設三棱錐的外接球的球心為，則在上，
設，，球半徑為，
因為，所以，
則所以，
因為，所以，因為，
所以，即外接球半徑的最大值為，
所以三棱錐的外接球的體積的最大值為.
故答案為：

【點睛】關鍵點睛：對于外接球問題，一般處理方式為優先確定球心，后由圖形得到關于半徑的方程.
25．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知四面體 的各頂點都在同一球面上，若，二面角 的平面角為 ，則該球的表面積是
【答案】/
【分析】取中點，連接，推得，即得 是等邊三角形，分別取 與 的外心，過分別作兩平面的垂線，兩線相交于點，可得點為四面體的外接球的球心，分別求出，即可求得外接球半徑即得.
【詳解】
如圖，取中點，連接，
因，則，且，
又二面角的平面角為 60°，即， 故 是等邊三角形，
分別取 與 的外心，過分別作兩平面的垂線，兩線相交于點，
則點為四面體的外接球的球心，
由已知可得，
連接，易得，故得，，則，
在中，，
故該球的表面積是.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：本題主要考查三棱錐的外接球的半徑求法問題，屬于難題.
解題思路在于：先找到二面角的平面角，推得正三角形，分別取 與 的外心，過分別作兩平面的垂線，兩線相交于點 ，即外接球球心，結合圖形即可求得外接球半徑.
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