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專題09 楊輝三角與裴波那契數列
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題型01 楊輝三角中的數列問題 1
題型02 裴波那契數列 4
題型01 楊輝三角中的數列問題
【解題規律·提分快招】
1、第二層是自然數列 2、第三層是三角數列 這個數列中的數字始終可以組成一個完美的等邊三角形． 3、每一層的數字之和是一個2倍增長的數列
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·江西景德鎮·三模）如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數字之和構成的數列為等比數列且記該數列前項和為，設，將數列中的整數項依次取出組成新的數列記為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
二、填空題
2．（24-25高三上·天津·階段練習）南宋數學家楊輝為我國古代數學研究做出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列，以高階等差數列中的二階等差數列為例，其特點是從數列的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列.若某個二階等差數列的前4項為1，3，7，13，則該數列的第15項為 ．
3．（23-24高三下·安徽合肥·階段練習）我國南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，記作數列，則 ；若數列的前項和為，則 .
4．（2024·浙江紹興·模擬預測）某數學興趣小組模仿“楊輝三角”構造了類似的數陣，將一行數列中相鄰兩項的乘積插入這兩項之間，形成下一行數列，以此類推不斷得到新的數列.如圖，第一行構造數列1，2：第二行得到數列：第三行得到數列，則第5行從左數起第8個數的值為 ；表示第行所有項的乘積，設，則 .
5．（23-24高三下·重慶璧山·階段練習）將楊輝三角中的每一個數都換成分數，就得到一個如圖所示的分數三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n項和，則 ．

題型02 裴波那契數列
【解題規律·提分快招】
一、斐波那契數列 1、斐波那契數列概念 把這個數列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 稱為斐波那契數列 ，一般記為{Fn}。 2、斐波那契數列的遞推公式 3、斐波那契數列的通項公式 4、斐波那契數列的性質（通項公式an,前n項和Sn） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）斐波那契數列，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多 斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱“兔子數列”，其數值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在數學上，這一數列以如下遞推的方法定義：，，記此數列為，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·陜西寶雞·期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，…；該數列的特點是：前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它前面相鄰兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，若記此數列為，則以下結論中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·甘肅甘南·期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，記為數列的前項和，則下列結論正確的為（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
4．（2024·四川·模擬預測）數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……稱為斐波那契數列，該數列是由意大利數學家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，滿足，（，），則是斐波那契數列的第 項.
5．（23-24高三下·云南昆明·期中）斐波那契數列(Fibonacci sequence)由數學家萊昂納多-斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，又稱為“兔子數列”．斐波那契數列有如下遞推公式：，通項公式為，故又稱黃金分割數列．若且，則中所有元素之和為偶數的概率為 ．(結果用含的代數式表達)
一、單選題
1．（23-24高三下·北京大興·期末）我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了如圖所示的“楊輝三角” ．若將這些數字依次排列構成數列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，則此數列的第項為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·湖南邵陽·期中）如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數依次構成一個數列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則此數列的前20項的和為（ ）
A．350 B．295 C．285 D．230
3．（23-24高三下·河南信陽·期末）意大利數學家斐波那契提出了一個著名的兔子問題，得到了斐波那契數列.數列滿足，.現從數列的前2024項中隨機抽取1項，能被3除余1的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）斐波那契數列因數學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數列”.這一數列如下定義：設為斐波那契數列，，，，其通項公式為，設是的正整數解，則的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習）數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一個數列：1，1，2，3，5，8…，其中從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，，這樣的數列稱為“斐波那契數列”.若，則（ ）
A．175 B．176 C．177 D．178
二、多選題
6．（2024高三·全國·專題練習）(多選)意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，…其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”，記Sn為數列{an}的前n項和，則下列結論正確的是（ ）
A．a8＝21 B．S7＝32
C．＝a2n D．＝a2 022
7．（2024·福建寧德·模擬預測）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第n行從左至右的數字之和記為，如的前項和記為，依次去掉每一行中所有的1構成的新數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，記為，的前項和記為，則下列說法正確的有（ ）
A． B．的前項和
C． D．
8．（23-24高三上·安徽阜陽·階段練習）意大利數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現了這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，…，這個數列的前兩項均是1，從第三項開始，每一項都等于前兩項之和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，并將數列中的各項除以3所得余數按原順序構成的數列記為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·山東·模擬預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數列的特點如下：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，若用表示斐波那契數列的第項，則數列滿足：，.則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
10．（23-24高三下·廣東佛山·階段練習）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1層開始，第層從左到右的數字之和記為，如，，…，則的前9項和 .
11．（24-25高三·上海·隨堂練習）以下數表的構造思路來源于我國南宋數學家所著的《詳解九章算法》一書中的“楊輝三角”：
該表由若干行數字組成，從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最后一行僅有一個數，則這個數為 ．
12．（2024·全國·模擬預測）意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例，在1202年著的《計算之書》引入“兔子數列”（即斐波那契數列），“兔子數列”滿足，給定前2項均為1的“兔子數列”，記其前項和為，試用含的代數式表示= ．
13．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣的一列數：，該數列的特點是：從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”，則是斐波那契數列中的第 項．
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題型01 楊輝三角中的數列問題 1
題型02 裴波那契數列 6
題型01 楊輝三角中的數列問題
【解題規律·提分快招】
1、第二層是自然數列 2、第三層是三角數列 這個數列中的數字始終可以組成一個完美的等邊三角形． 3、每一層的數字之和是一個2倍增長的數列
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·江西景德鎮·三模）如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數字之和構成的數列為等比數列且記該數列前項和為，設，將數列中的整數項依次取出組成新的數列記為，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據楊輝三角每行的數字特征，結合等比數列求和公式可得，由此可整理得到；根據的整數項可確定數列的奇數項和偶數項的變化規律，結合等差數列通項公式可求得結果.
【詳解】由題意知：第行數字之和構成的數列的通項為，
，；
則數列的整數項為：，
數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列；偶數項是以為首項，為公差的等差數列，
，，.
故選：B.
二、填空題
2．（24-25高三上·天津·階段練習）南宋數學家楊輝為我國古代數學研究做出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列，以高階等差數列中的二階等差數列為例，其特點是從數列的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列.若某個二階等差數列的前4項為1，3，7，13，則該數列的第15項為 ．
【答案】211
【分析】設數列為,根據題意，累加法求出的通項公式，求出.
【詳解】設數列為,根據題意，
則累加可得,
所以，故.
故答案為：.
3．（23-24高三下·安徽合肥·階段練習）我國南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，，記作數列，則 ；若數列的前項和為，則 .
【答案】
【分析】由題意可知是第5行第4個數，故而直接能得到答案；
令每行的序數與該行的項數相等可得第行最后項在數列中的項數為；根據可求得，進而可確定位于第行第個；根據每一行數字和的規律可知，計算可得結果.
【詳解】由題意可知是第5行第4個數，所以；
使得每行的序數與該行的項數相等，則第行最后項在數列中的項數為：
設位于第行，則：，解得：
且第行最后一項在數列中的項數為：，
位于楊輝三角數陣的第行第個
而第一行各項和為，第二行各項和為，第三行各項的和為
依此類推，第行各項的和為
故答案為：4，.
【點睛】本題考查與楊輝三角有關的數列的前項和的求解問題，關鍵是能夠根據楊輝三角的數字特征，確定第項所處的位置，通過對于每一行各項和的規律的總結可將問題轉化為等比數列求和問題.
4．（2024·浙江紹興·模擬預測）某數學興趣小組模仿“楊輝三角”構造了類似的數陣，將一行數列中相鄰兩項的乘積插入這兩項之間，形成下一行數列，以此類推不斷得到新的數列.如圖，第一行構造數列1，2：第二行得到數列：第三行得到數列，則第5行從左數起第8個數的值為 ；表示第行所有項的乘積，設，則 .
【答案】 8 365
【分析】空1：直接寫出第5行的數列，即可解決；空2：首先歸納出，進而可以求得數列的通項公式，即可得解得.
【詳解】空1：由題意可得：第5行得到數列，
所以第5行從左數起第8個數的值為8；
空2：根據題意可得：，
，
，
總結可得，
所以，可得.
故答案為：8；365.
【點睛】關鍵點點睛：根據題意列出前幾項，并據此歸納總結一般規律，分析運算.
5．（23-24高三下·重慶璧山·階段練習）將楊輝三角中的每一個數都換成分數，就得到一個如圖所示的分數三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：，令，是的前n項和，則 ．

【答案】
【分析】由題設關系，應用裂項相消法可得，進而可得．
【詳解】由可得：，
所以，
所以
，
所以．
故答案為：．
題型02 裴波那契數列
【解題規律·提分快招】
一、斐波那契數列 1、斐波那契數列概念 把這個數列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 稱為斐波那契數列 ，一般記為{Fn}。 2、斐波那契數列的遞推公式 3、斐波那契數列的通項公式 4、斐波那契數列的性質（通項公式an,前n項和Sn） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）斐波那契數列，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多 斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱“兔子數列”，其數值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在數學上，這一數列以如下遞推的方法定義：，，記此數列為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意得，，，，進而結合遞推關系求解即可.
【詳解】由題意得，，，，
則.
故選：C.
2．（23-24高三上·陜西寶雞·期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，…；該數列的特點是：前兩個數都是1，從第三個數起，每一個數都等于它前面相鄰兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，若記此數列為，則以下結論中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】列舉法判斷AB,根據數列裂項消項求和判斷CD選項．
【詳解】由題意數列前六項為：1,1,2,3,5,8,故AB正確；
由題意
則可得：
，所以選項C正確，D錯誤；
故選：D
3．（24-25高三上·甘肅甘南·期末）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，記為數列的前項和，則下列結論正確的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依題意可得，，，利用遞推公式一一驗證即可.
【詳解】依題意，，，，，，，故A錯誤；
當時，，，
上述三式相加可得，故B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確.
故選：D
二、填空題
4．（2024·四川·模擬預測）數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……稱為斐波那契數列，該數列是由意大利數學家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，滿足，（，），則是斐波那契數列的第 項.
【答案】2025
【分析】由斐波那契數列的遞推關系式可得（，），結合累加法求解即可.
【詳解】由題意知，（，），
所以（，），
所以，，……，，
由累加法可得，
則，
所以是斐波那契數列的第2025項.
故答案為：2025.
5．（23-24高三下·云南昆明·期中）斐波那契數列(Fibonacci sequence)由數學家萊昂納多-斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，又稱為“兔子數列”．斐波那契數列有如下遞推公式：，通項公式為，故又稱黃金分割數列．若且，則中所有元素之和為偶數的概率為 ．(結果用含的代數式表達)
【答案】
【分析】先分析出中的元素有個偶數，個奇數，且集合共有個，再得到中所有元素之和為偶數時，中元素由偶數個奇數和任意個偶數組成，結合二項式系數的性質得到中所有元素之和為偶數時共有個，從而求出概率.
【詳解】由斐波那契數列規律可知，集合中的元素有個偶數，個奇數，
因為且，所以共有個，
當中所有元素之和為偶數時，中元素由偶數個奇數和任意個偶數組成．
選出偶數個奇數有種方法，
選出任意個偶數有種方法，
其中，選出0個奇數和0個偶數時，為空集，不符合要求，
所以中所有元素之和為偶數時共有個，
所以中所有元素之和為偶數的概率為．
故答案為：
一、單選題
1．（23-24高三下·北京大興·期末）我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了如圖所示的“楊輝三角” ．若將這些數字依次排列構成數列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，則此數列的第項為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據“楊輝三角”的性質、等差數列求和公式及組合數判斷即可.
【詳解】由“楊輝三角”可知：第一行個數，第二行個數，...，第行個數，
所以前行共有：個數，當時，，又，
所以第項是第行的第個數字，即為，
故選：D.
2．（23-24高三下·湖南邵陽·期中）如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數依次構成一個數列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則此數列的前20項的和為（ ）
A．350 B．295 C．285 D．230
【答案】C
【分析】利用分組求和法和組合數的性質進行求解即可.
【詳解】記此數列的前20項的和為，則.
故選：C.
3．（23-24高三下·河南信陽·期末）意大利數學家斐波那契提出了一個著名的兔子問題，得到了斐波那契數列.數列滿足，.現從數列的前2024項中隨機抽取1項，能被3除余1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出數列各項的余數，得到余數數列為周期數列，周期為8，從而得到前2024項中被3除余1的有項，得到概率.
【詳解】根據斐波那契數列的定義知，，
被3除的余數依次為1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，
余數數列為周期數列，周期為8，，
所以數列的前2024項中被3除余1的有項，
故所求概率為.
故選：D.
4．（24-25高三上·四川綿陽·階段練習）斐波那契數列因數學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數列”.這一數列如下定義：設為斐波那契數列，，，，其通項公式為，設是的正整數解，則的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】利用給定條件結合對數的性質將化為，結合，得到，根據遞增，得到也是遞增數列，得，即可求解.
【詳解】由題知是的正整數解，
故，取指數得，
同除得，，故，
即，根據是遞增數列可以得到也是遞增數列，
于是原不等式轉化為.
由斐波那契數列可得，，，，
可以得到滿足要求的的最大值為，故A正確.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：
本題關鍵在于利用對數的運算將，
轉化為，結合的表達式得到，
從而求解的最大值.
5．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習）數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一個數列：1，1，2，3，5，8…，其中從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，，這樣的數列稱為“斐波那契數列”.若，則（ ）
A．175 B．176 C．177 D．178
【答案】B
【分析】根據數列的特點，每個數等于它前面兩個數的和，移項得： ，使用累加法求得，然后將中的倍展成和的形式（如）即可求解．
【詳解】由從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，，
由，得 ，
所以，
，
，
，
將這個式子左右兩邊分別相加可得：
，
所以.
所以
.
故選：B．
二、多選題
6．（2024高三·全國·專題練習）(多選)意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：1，1，2，3，5，…其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數列{an}稱為“斐波那契數列”，記Sn為數列{an}的前n項和，則下列結論正確的是（ ）
A．a8＝21 B．S7＝32
C．＝a2n D．＝a2 022
【答案】ACD
【詳解】
A選項顯然正確；B選項S7＝33，所以B選項不正確；因為a4－a2＝a3，a6－a4＝a5，…，a2n－a2n－2＝a2n－1，累加得C選項正確；因為n≥2時，a＝a2·a1，a＝a2·(a3－a1)，a＝a3·(a4－a2)，…，a＝an·(an＋1－an－1)，累加得D選項正確．故選ACD.
7．（2024·福建寧德·模擬預測）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第n行從左至右的數字之和記為，如的前項和記為，依次去掉每一行中所有的1構成的新數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，記為，的前項和記為，則下列說法正確的有（ ）
A． B．的前項和
C． D．
【答案】BCD
【分析】由題意分析出數列為等比數列，再求其前項和，再對各項逐一分析即可．
【詳解】從第一行開始，每一行的數依次對應的二項式系數，
所以，所以為等比數列，，
所以，故A錯誤；
，
故的前項和為，
故B正確；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的項數分別為0，1，2，3…，構成一個等差數列，
項數之和為，則的最大整數為11，此時,
楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，
取的就是第12行中的第3項，，故C正確；
是中去掉22個1，再加上第12行中的第2項和第3項，
所以，故D正確.
故選：BCD．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查“楊輝三角”與數列求和問題，解題的關鍵是將數列與“三角數陣”聯系起來，結合二項式系數的性質與等比數列求和公式求解.
8．（23-24高三上·安徽阜陽·階段練習）意大利數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現了這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，…，這個數列的前兩項均是1，從第三項開始，每一項都等于前兩項之和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，并將數列中的各項除以3所得余數按原順序構成的數列記為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據題意，利用數列的性質和裂項相消法判斷AB選項，利用數列的周期性判斷CD選項.
【詳解】A選項：因為，（，），所以（，），
故，，，…，，，累加得，故A正確；
B選項：因為，所以（，），等式兩側同乘，得，
累加得，故B錯誤；
C選項：由題意知，，，，，，，，，，，，，，，，…，
所以數列是最小正周期為8的數列，故，故C正確；
D選項：，故D正確.
故選：ACD.
9．（2024·山東·模擬預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發現有這樣的一列數：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數列的特點如下：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.人們把這樣的一列數組成的數列稱為斐波那契數列，若用表示斐波那契數列的第項，則數列滿足：，.則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】對于A，根據題意求出斐波那契數列的前10項進行判斷，對于B，當時，，，，三式相加判斷，對于C，根據，對依次取1，2，……，2024，得到2024個式子相加進行判斷，對于D，由，得，對依次取1，2，……，2022，然后相加進行判斷.
【詳解】對于A，由題意可知斐波那契數列的前10項為1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
所以，所以A錯誤，
對于B，當時，，，，
所以三式相加得，
所以，所以B正確，
對于C，因為數列滿足：，，
所以，，，……，
，，，
以上2024個等式相加得,
因為，所以，所以C正確，
對于D，因為，，
所以，,
,,
……,
,
所以，所以D正確，
故選：BCD
【點睛】關鍵點點睛：此題考查斐波那契數列的性質，解題的關鍵是理解斐波那契數列中項之間的關系，充分利用分析判斷，考查推理能力和理解能力，屬于較難題.
三、填空題
10．（23-24高三下·廣東佛山·階段練習）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1層開始，第層從左到右的數字之和記為，如，，…，則的前9項和 .
【答案】1022
【分析】由題意，總結得出的表達式，證明其為等比數列，利用等比數列求和公式計算即得.
【詳解】由題意得，因，可得數列是等比數列，
則.
故答案為：1022.
11．（24-25高三·上海·隨堂練習）以下數表的構造思路來源于我國南宋數學家所著的《詳解九章算法》一書中的“楊輝三角”：
該表由若干行數字組成，從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最后一行僅有一個數，則這個數為 ．
【答案】
【分析】結合題意，利用從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，使用數列的知識求解即可.
【詳解】觀察每一行第一個數的規律：
第一行的第一個數為，
第二行的第一個數為，
第三行的第一個數為，
第四行的第一個數為，…，
第n行的第一個數為，
表中一共2018行，
∴第2018行的第一個數即．
故答案為：
12．（2024·全國·模擬預測）意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例，在1202年著的《計算之書》引入“兔子數列”（即斐波那契數列），“兔子數列”滿足，給定前2項均為1的“兔子數列”，記其前項和為，試用含的代數式表示= ．
【答案】
【分析】將題設相鄰項的加法關系變形為減法關系，然后寫出個式子累加即可求得與的關系式.
【詳解】因為，
所以，
所以，所以，
故答案為：.
13．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣的一列數：，該數列的特點是：從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數所組成的數列稱為“斐波那契數列”，則是斐波那契數列中的第 項．
【答案】2025
【分析】根據“斐波那契數列”的遞推關系可得結果.
【詳解】依題意有：
，
所以：，
故答案為：2025.
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