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專題08 數列中含絕對值與奇偶項的問題
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題型01 含絕對值求和問題 1
題型02 等差、等比數列奇偶項和的性質 4
題型03 含奇偶項的數列求和問題 7
題型01 含絕對值求和問題
【解題規律·提分快招】
1、對于首項小于0而公差大于0的等差數列加絕對值后得到的數列求和,設的前項和為 的前項和為,數列的第項小于0而從第項開始大于或等于0,于是有 2、對于首項大于0而公差小于0的等差數列加絕對值后得到的數列求和,設的前項和為 的前項和為,數列的第項大于0而從第項開始小于或等于0,于是有 。
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024·四川成都·二模）已知數列的前n項和，且的最大值為．
(1)確定常數，并求；
(2)求數列的前15項和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據題意，求得，結合，即可求得數列的通項公式；
（2）由（1）求得，結合，即可求解.
【詳解】（1）解：由數列的前n項和，
根據二次函數的性質，可得當時，取得最大值，
即，解得，所以，
當時，，
當時，（符合上式），
所以數列的通項公式為.
（2）解：由（1）知，可得，
且當且時，可得；當且時，可得，
所以數列的前15項和：．
2．（24-25高三上·內蒙古鄂爾多斯·期末）已知等差數列的前項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）應用等差數列的通項公式及前n項和公式求基本量，進而寫出通項公式；
（2）根據的符號，討論、，結合等差數列前n項和公式求.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，又，，
所以，解得，，
所以.
（2）由（1）知，
當時，，則；
當時，，則，
當時，，
當時，.
綜上，.
3．（24-25高三上·湖北·開學考試）已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)，
(2)，.
【分析】（1）利用得出數列是等比數列，從而可得通項公式；
（2）由已知求得，得出是等差數列，求出其前項和，然后根據絕對值的性質得出數列與的前項和的關系，從而求得結論．
【詳解】（1）由，則當時
兩式相減得，所以.
將代入得，，
所以對于，故是首項為2，公比為2的等比數列，
所以.
（2）.
，
因為當時，當時，
所以當時，，
當時，.
故.
題型02 等差、等比數列奇偶項和的性質
【解題規律·提分快招】
1、等差數列中 ①若項數為偶數，則；；． ②若項數為奇數，則；；． 2、等比數列中，若項數為，則；若項數為，則．
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）設為等差數列的前項和.若公差，且，則的值為（ ）
A．60 B．70 C．75 D．85
【答案】A
【分析】設等差數列的奇數項的和為P，偶數項之和為Q，由等差數列的性質列方程組，可求出P、Q的值，從而可得出結果.
【詳解】設，
因為數列是等差數列，且公差，，
所以，解得，
所以.
故選：A.
2．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知一個項數為偶數的等比數列所有項之和為所有奇數項之和的3倍，前2項之積為8，則（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2
【答案】D
【分析】設數列共有項，設所有奇數項之和為，由題意表求出和，利用求出公比，再結合求出即可.
【詳解】設首項為，公比為，數列共有項，則滿足首項為，公比為，項數為項，設所有奇數項之和為，
因為所有項之和是奇數項之和的3倍，所以，
所以，，
故滿足，解得，
又，
所以.
故選：D
3．（23-24高三上·重慶·期中）已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據等比數列的性質得到奇數項為，偶數項為，得到等比數列的公比q的值，然后用等比數列的前n項和的公式求出n即可．
【詳解】因為等比數列有項，則奇數項有項，偶數項有項，設公比為，
得到奇數項為，
偶數項為，整體代入得，
所以前項的和為，解得.
故選：B
4．（2024·重慶·二模）已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據條件列出關于首項和公差的方程，即可求解.
【詳解】設等差數列的公差為，首項為，
則，所以，
因為，即，則，
等差數列的奇數項是以為首項，為公差的等差數列，等差數列的前30項中奇數項有15項，所以，得，
所以.
故選：B
5．（23-24高三上·陜西榆林·階段練習）已知等差數列的項數為其中奇數項之和為 偶數項之和為 則( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據等差數列的性質，知等差數列的奇數項、偶數項分別成等差數列，故奇數項、偶數項的和直接代入等差數列的前項和公式，結合等差中項的性質化簡即可.
【詳解】項數為的中奇數項共有項,
其和為
項數為的中偶數項共有項, 其和為
所以解得
故選: A.
6．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正項等差數列滿足，則（ ）
A．2 B．1012 C．2024 D．4048
【答案】B
【分析】根據等差數列求和公式及下標和性質得到，從而得到，即可得解.
【詳解】因為為等差數列，
所以，
，
所以，
所以，所以，
所以.
故選：B
題型03 含奇偶項的數列求和問題
【解題規律·提分快招】
1、項數問題 ①數列項數是2n項，那么奇數和偶數分別是n項； ②數列項數是2n+1項，那么奇數為n+1項，偶數為n項； ③當項數是n項時，要分n為奇數和n為偶數； 2、常見類型 ①，求的值；則 ②，求的值 （1）n為奇數時，有個奇數項，有個偶數項，則 （2）n為偶數時，有個奇數項，有個偶數項，則 3、其他類型 ①數列中連續兩項和或積的問題：或 ②含有類型
【典例訓練】
一、解答題
1．（24-25高三上·山東·階段練習）已知數列為正項數列，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：構造數列是恒為的常數列，結合可得出數列的通項公式；
解法二：利用累加法結合可求得數列的通項公式；
（2）利用并項求和法結合分組求和法可求得.
【詳解】（1）解法一（構造常數列）：由，且，
可得，
故數列是恒為的常數列，所以，
又因為數列為正項數列，所以.
解法二（累加法）：由題意得：且，
有，，，，
將以上各式相加，得，
將代入上式即得，且當時也成立，所以，
又因為數列為正項數列，所以.
（2）由（1）可得，令，其前項和為，
對任意的，，則，
又因為，
所以.
2．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知數列滿足．
(1)設，求數列的通項公式；
(2)若數列的前項和為，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根據已知可得，驗證是否滿足要求，即可得結果；
（2）根據已知可得，且，討論的奇偶性得關系，應用分組求和及已知列方程求.
【詳解】（1）由①，
當時，②，
①②則，又滿足上式，
所以．
（2）由（1），知，則，故，
所以，且，
若為偶數，，則；
若為奇數，，則；
故，
解得或．
3．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，求數列的前n和．
【答案】
【分析】根據題意，由遞推關系可得，再由累加法以及等比數列的求和公式可得，再由分組求和法，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，則，
兩式相減作差可得，
所以，
即，
累加可得，
又，當時，，所以，
即，設數列的前n和為，
則
.
4．（2024高三上·山東濟南·專題練習）已知數列的前n項和為，，
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據條件，得到當，時，，且有，由等比數列的定義即可證明結果；
（2）由（1）及條件可得，，再利用等比等差數列前項和公式分組求和，即可求解．
【詳解】（1）證明：因為，
所以當，時，，
即
又時，，
所以數列為首項為1，公比為3的等比數列．
（2）由（1）知，所以，
又由，可得，
所以
5．（23-24高三上·江蘇無錫·階段練習）已知數列滿足．
(1)設，寫出；
(2)證明數列為等比數列；
(3)求數列的前項和．
【答案】(1)，，
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據已知的數列遞推關系，分別代入計算的前三項.
（2）通過分析的遞推關系，利用等比數列的定義來證明為等比數列.
（3）先求出的通項公式，再根據與的關系求出.
【詳解】（1）已知，因為，所以.
當時，，即.
當時，.
先求，因為為偶數，.
再求，因為為奇數，，即.
當時，.
先求，因為為偶數，.
再求，因為為奇數，，即.
（2）由可得.
所以.
則. 又.
所以數列是以為首項，為公比的等比數列.
（3）由（2）可知，則.
.
因為，.
所以.
即.
由等比數列求和公式可得.
所以.
6．（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習）已知數列的前項和為，且.
(1)證明：是等比數列，并求出的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據與之間的關系可知是以2為首項，2為公比的等比數列，結合等比數列通項公式可得，利用等差數列通項公式分析求解；
（2）根據題意可知：的奇數項為以為首項，4為公比的等比數列；偶數項是以為首項，2為公差的等差數列，利用分組求和結合等差、等比數列求和公式運算求解.
【詳解】（1）當時，，且，所以；
當時，由，得，則
，可得，
即，且，可得，
可知數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
則，可得，
且，可知是以為首項，為公差的等差數列，
所以，即.
（2）由（1）可知，
可知的奇數項為以為首項，4為公比的等比數列；偶數項是以為首項，2為公差的等差數列.
當時，；
當時，；
綜上所述：.
7．（24-25高三上·安徽阜陽·階段練習）已知在數列中，，且滿足.
(1)求證：數列是等比數列.
(2)設數列滿足，求最小實數，使得對一切正整數均成立.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據給定的遞推公式，取倒數變形，結合等比數列定義推理得證.
（2）由（1）求出通項公式，再利用分組求和及裂項相消法求和，并借助單調性求出范圍即可得解.
【詳解】（1）依題意，，由，得，則，
由，得，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）知，數列，
當為奇數時，，當為偶數時，，
因此
，
而數列是遞減數列，則數列是遞增數列，
因此恒成立，又恒成立，則，
所以m的最小值為.
8．（24-25高三上·天津·階段練習）已知等差數列滿足：公差 且恰為等比數列 的前三項．
(1)求數列 與 的通項公式：
(2)若數列 滿足：求數列 前n項和 ;
(3)求的前n項和
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根據題意，由等比中項的性質可得，即可得到等差數列的通項公式，從而可得等比數列的公比，再由等比數列的通項公式，即可得到結果；
（2）根據題意，結合等差數列以及等比數列的求和公式代入計算，由分組求和法，即可得到結果；
（3）根據題意，分為奇數與為偶數討論，結合并項求和法，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）由為等比數列可得，即，
即，解得或（舍），
所以，
又的前三項為，即，即，
公比，所以.
（2）因為，
則
.
（3）因為，即，
設數列的前項和為，
當為奇數時，
；
當為偶數時，
；
綜上所述，.
9．（24-25高三上·天津南開·期末）已知等差數列的前項和為，數列是等比數列，滿足，，，.
(1)求數列和的通項公式；
(2)對任意的正整數，設，求；
(3)若對于數列，在和之間插入個，組成一個新的數列，記數列的前項和為，求.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)2170.
【分析】（1）根據給定條件，利用等差數列性質求出公差，再借助等差數列前項和公式求出公比，進而求出通項公式.
（2）由（1）的結論，分奇偶求出的通項，并結合裂項相消法及錯位相減求出對應前項和，再利用分組求和法求解.
（3）根據給定條件，求出數列的前2025項中數列的項及1的個數，再分組求和即得.
【詳解】（1）在等差數列中，，而，解得，
公差，則；
設等比數列的公比為，，由，得，
即，解得，，
所以數列和的通項公式分別為，.
（2）由（1）得，當為奇數時，，
則；
當為偶數時，，，
，
則，
兩式相減得
，因此，
所以.
（3）依題意，數列：
項為前的總項數為，
數列是遞增的，當時，，
當時，，
因此數列的前項中，有數列的前項，有個，
所以.
【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：
①對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；
②對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；
③對于結構，利用分組求和法；
④對于結構，其中是等差數列，公差為，則，利用裂項相消法求和.
一、填空題
1．（23-24高三下·江西·階段練習）已知等差數列共有項，奇數項之和為60，偶數項之和為54，則 ．
【答案】10
【分析】根據等差數列的求和公式，結合等差數列的性質，即可求解.
【詳解】奇數項有項，偶數項有項，所以奇數項和為，偶數項和為，
故，解得.
故答案為：10
2．（2024高三·全國·專題練習）等比數列共有2n項，其和為240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比 .
【答案】/
【分析】結合題意列方程組分別求出，，再由等比數列的性質求出結果即可.
【詳解】設等比數列的奇數項的和、偶數項的和分別為，.
由題意可得
解得
所以．
故答案為：.
3．（24-25高三上·全國·課堂例題）若等比數列共有奇數項，其首項為1，其偶數項和為170，奇數項和為341，則這個數列的公比為 ，項數為 ．
【答案】 2 9
【分析】利用等比數列奇數項和與偶數項和的關系，及前n項和公式列式計算即可得解.
【詳解】在等比數列中，由，得，解得，
設這個數列共有項，則，解得，所以這個等比數列的項數為9.
故答案為：2；9
4．（24-25高三上·全國·課后作業）已知等比數列共有2n項，其和為，且，則公比 ．
【答案】2
【分析】根據題意可得，結合等比數列的性質運算求解.
【詳解】設，
由題意可知：，解得，
所以．
故答案為：2.
5．（2024高三上·全國·專題練習）已知等差數列的項數為奇數，且奇數項和為，偶數項和為，則數列的中間項為 ；項數為 ．
【答案】
【分析】根據奇數項的和與偶數項的和，可作比得到，由此可得項數和中間項.
【詳解】設等差數列的項數為，
則，
，
，解得：，即等差數列的項數為；
項的數列的中間項為第項，即，
由得：，解得：，即中間項為.
故答案為：；.
6．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，則的前40項和為 .
【答案】
【分析】根據題中遞推式可求得，，即的奇數項為首項為1公差為5的等差數列，偶數項是首項為3公差為5的等差數列，再利用分組并項求和從而可求解.
【詳解】因為，，又，所以，
即，所以數列的奇數項是以1為首項，5為公差的等差數列；
同理，由知，數列的偶數項是以3為首項，5為公差的等差數列．
所以前40項和為．
故答案為：.
二、解答題
7．（2024·全國·模擬預測）已知等差數列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)設的前項和為，求．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）設等差數列的公差為，分別選擇①②③，求得公差的值，結合等差數列的通項公式和前項和公式，即可求解；
（2）由（1）中的通項公式，結合等差數列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，且．
選擇①：（1）因為，所以，解得．
所以，則，
利用二次函數對稱性和開口方向知，關于對稱，
因為，所以當或6時，.
選擇②：因為，可得，
因為，所以，此時，所以，
因為，所以單調遞增，且當時，．
所以當或11時，最小，此時.
選擇③：因為，所以，即，所以，
所以，則，
利用二次函數對稱性和開口方向知，關于對稱，
因為，所以當或6時，.
（2）解：若選擇①或③：由（1）知，當時，，
所以
.
若選擇②：由（1）知，且當時，，且，
所以
.
8．（24-25高三上·河北衡水·開學考試）已知為數列的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由解的方式解出，進而解出；
（2）分類討論去除絕對值解出即可.
【詳解】（1）因為，且，
當時，，
得，
整理得：，
所以為首項是，公差為的等差數列，
所以.
（2）由，所以當時，，當時，；
所以當，，
當時，，
而，
所以.
9．（24-25高三上·全國·自主招生）若表示正整數n的最大奇數因數，記，求.
【答案】
【分析】由表示的最大奇數因數，可歸納得，，，將分組，分成奇數項和偶數項的和，可得，累加法整理即可得到.
【詳解】依題意：，，，，，，，，，，…，
結合的定義可以發現：，，，
當時，
，
于是，，．
，
．
所以．
10．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習）已知數列為等比數列，公比，前項和為，數列為等差數列，且，，．
(1)求數列和的通項公式：
(2)若，，且數列的前項和為，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據等差數列與等比數列的通項公式列方程組，解方程組即可；
（2）根據數列的遞推公式，利用累加法可得奇數項的通項公式，再結合并項求和的方法可得解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由，，
得，即，
解得，或，
又，
所以，
即，；
（2）由（1）得，則，
當為奇數時，，
則，，，，
等式左右分別相加的，
則，
當為偶數時，，
則
.
11．（24-25高三上·黑龍江大慶·階段練習）已知數列的前項和為，且滿足.
(1)求證:數列為等比數列;
(2)已知，求數列的前2n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）當n=1時代入求出，當時仿寫作差即可；
（2）將數列的前2n項和轉化為，利用等比數列的求和公式求出，利用錯位相減法求出即可；
【詳解】（1）當n=1時，，解得，
當時，由，可得，
兩式相減得，所以，
又因為，所以是首項為，公比為2的等比數列.
（2）由（1）可知，
所以，
設數列的前項和為，
所以，
即，
令，知，
，，
作差得，化簡，
所以
12．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）已知是正項遞增的等比數列，且，．數列是等差數列，且．
(1)分別求數列和數列的通項公式；
(2)設，求數列前n項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）應用等比數列通項公式建立方程組可解出，利用待定系數法可求出；
（2）應用等比數列求和公式與裂項相消方法可求出.
【詳解】（1）解：設等比數列的公比為q，且有，
由于解得
所以數列的通項公式為．
由于是等差數列，設，
則有，
所以,解得
所以數列的通項公式為．
（2）解：由（1）知，，
所以
．
13．（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習）已知正項數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用，求解通項公式；
（2）利用分組求和，裂項相消，分類討論求解前項和.
【詳解】（1）根據題意可得，是正項數列，，
當時，，解得（舍去），
當時，由得，
兩式相減得，
即，由于，
所以，
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，
所以.
（2）由（1）得
所以①當為偶數時,
,
②當n為奇數時,
所以.
14．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習）設各項非零的數列的前n項和記為，記，且滿足，
(1)求，的值，并求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）依據題意列出關于的方程即可求得的值，依據等差數列的定義去證明數列為等差數列，進而求得的通項公式；
（2）先求得數列的通項公式，再分類討論去求數列的前項和．
【詳解】（1）由題意可知，，且，
解得：或（舍去）,
又當時，，所以有,
化簡得：，則，
所以數列是以為首項，以為公差的等差數列，
所以.
（2）由（1）及題設可知，.
當時，，
當時，.
.
①當是奇數時，
當時，
當時，
，
當時，也適合上式，
即：，且為奇數；
②當是偶數時，
.
即：，且為偶數；
綜上所述；.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題08 數列中含絕對值與奇偶項的問題
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題型01 含絕對值求和問題 1
題型02 等差、等比數列奇偶項和的性質 2
題型03 含奇偶項的數列求和問題 3
題型01 含絕對值求和問題
【解題規律·提分快招】
1、對于首項小于0而公差大于0的等差數列加絕對值后得到的數列求和,設的前項和為 的前項和為,數列的第項小于0而從第項開始大于或等于0,于是有 2、對于首項大于0而公差小于0的等差數列加絕對值后得到的數列求和,設的前項和為 的前項和為,數列的第項大于0而從第項開始小于或等于0,于是有 。
【典例訓練】
一、解答題
1．（2024·四川成都·二模）已知數列的前n項和，且的最大值為．
(1)確定常數，并求；
(2)求數列的前15項和．
2．（24-25高三上·內蒙古鄂爾多斯·期末）已知等差數列的前項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
3．（24-25高三上·湖北·開學考試）已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
題型02 等差、等比數列奇偶項和的性質
【解題規律·提分快招】
1、等差數列中 ①若項數為偶數，則；；． ②若項數為奇數，則；；． 2、等比數列中，若項數為，則；若項數為，則．
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·河北滄州·階段練習）設為等差數列的前項和.若公差，且，則的值為（ ）
A．60 B．70 C．75 D．85
2．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知一個項數為偶數的等比數列所有項之和為所有奇數項之和的3倍，前2項之積為8，則（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2
3．（23-24高三上·重慶·期中）已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024·重慶·二模）已知等差數列的前30項中奇數項的和為，偶數項的和為，且，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·陜西榆林·階段練習）已知等差數列的項數為其中奇數項之和為 偶數項之和為 則( )
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正項等差數列滿足，則（ ）
A．2 B．1012 C．2024 D．4048
題型03 含奇偶項的數列求和問題
【解題規律·提分快招】
1、項數問題 ①數列項數是2n項，那么奇數和偶數分別是n項； ②數列項數是2n+1項，那么奇數為n+1項，偶數為n項； ③當項數是n項時，要分n為奇數和n為偶數； 2、常見類型 ①，求的值；則 ②，求的值 （1）n為奇數時，有個奇數項，有個偶數項，則 （2）n為偶數時，有個奇數項，有個偶數項，則 3、其他類型 ①數列中連續兩項和或積的問題：或 ②含有類型
【典例訓練】
一、解答題
1．（24-25高三上·山東·階段練習）已知數列為正項數列，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前項和.
2．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知數列滿足．
(1)設，求數列的通項公式；
(2)若數列的前項和為，且，求的值．
3．（2024高三·全國·專題練習）已知數列中，，求數列的前n和．
4．（2024高三上·山東濟南·專題練習）已知數列的前n項和為，，
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和.
5．（23-24高三上·江蘇無錫·階段練習）已知數列滿足．
(1)設，寫出；
(2)證明數列為等比數列；
(3)求數列的前項和．
6．（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習）已知數列的前項和為，且.
(1)證明：是等比數列，并求出的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
7．（24-25高三上·安徽阜陽·階段練習）已知在數列中，，且滿足.
(1)求證：數列是等比數列.
(2)設數列滿足，求最小實數，使得對一切正整數均成立.
8．（24-25高三上·天津·階段練習）已知等差數列滿足：公差 且恰為等比數列 的前三項．
(1)求數列 與 的通項公式：
(2)若數列 滿足：求數列 前n項和 ;
(3)求的前n項和
9．（24-25高三上·天津南開·期末）已知等差數列的前項和為，數列是等比數列，滿足，，，.
(1)求數列和的通項公式；
(2)對任意的正整數，設，求；
(3)若對于數列，在和之間插入個，組成一個新的數列，記數列的前項和為，求.
一、填空題
1．（23-24高三下·江西·階段練習）已知等差數列共有項，奇數項之和為60，偶數項之和為54，則 ．
2．（2024高三·全國·專題練習）等比數列共有2n項，其和為240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比 .
3．（24-25高三上·全國·課堂例題）若等比數列共有奇數項，其首項為1，其偶數項和為170，奇數項和為341，則這個數列的公比為 ，項數為 ．
4．（24-25高三上·全國·課后作業）已知等比數列共有2n項，其和為，且，則公比 ．
5．（2024高三上·全國·專題練習）已知等差數列的項數為奇數，且奇數項和為，偶數項和為，則數列的中間項為 ；項數為 ．
6．（2024高三·全國·專題練習）已知數列滿足，，則的前40項和為 .
二、解答題
7．（2024·全國·模擬預測）已知等差數列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)設的前項和為，求．
8．（24-25高三上·河北衡水·開學考試）已知為數列的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
9．（24-25高三上·全國·自主招生）若表示正整數n的最大奇數因數，記，求.
10．（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習）已知數列為等比數列，公比，前項和為，數列為等差數列，且，，．
(1)求數列和的通項公式：
(2)若，，且數列的前項和為，求．
11．（24-25高三上·黑龍江大慶·階段練習）已知數列的前項和為，且滿足.
(1)求證:數列為等比數列;
(2)已知，求數列的前2n項和.
12．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）已知是正項遞增的等比數列，且，．數列是等差數列，且．
(1)分別求數列和數列的通項公式；
(2)設，求數列前n項和．
13．（24-25高三上·遼寧沈陽·階段練習）已知正項數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
14．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習）設各項非零的數列的前n項和記為，記，且滿足，
(1)求，的值，并求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
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