資源簡介

專題07 三角形中的四心問題與奔馳定理的應用
目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）
題型01 重心 1
題型02 外心 2
題型03 內心 3
題型04 垂心 4
題型05 奔馳定理 6
題型01 重心
【解題規律·提分快招】
一、三角形的重心 1.定義：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點； 2.重心的性質：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1． ②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等． 在平面向量的應用：（1）設點是△所在平面內的一點，則當點是△的重心時，有或（其中為平面內任意一點）； （2）在向量的坐標表示中，若、、、分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為、 、，，則有.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知在中，為的重心，為邊中點，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全國·二模）點是所在平面內兩個不同的點，滿足，則直線經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
3．（2024高三·全國·專題練習）G是的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，則角（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、多選題
4．（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內兩個不同的點，滿足，則（ ）
A．三點共線 B．
C． D．點在的內部
三、填空題
5．（2024·四川南充·模擬預測）已知點是的重心，，，，則 ．
四、解答題
6．（2024·浙江溫州·模擬預測）的角對應邊是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的長.
(2)求的面積.
題型02 外心
【解題規律·提分快招】
一、三角形的外心 1.定義：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等； 2.外心的性質：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點． ②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部． ③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個． 3.外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓． 在平面向量的應用：若點是△的外心，則 或 ；
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模擬預測）已知的外心為，內角的對邊分別為，且．若，則（ ）
A． B．50 C．25 D．
3．（23-24高三下·新疆·階段練習）在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
4．（24-25高三上·遼寧·期中）設的外心為，重心為，并且滿足，則當最大時，的外接圓半徑為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預測）已知為的外心，，則（ ）
A．與不共線 B．與垂直
C． D．
三、填空題
6．（2024·四川涼山·三模）在中，已知，點G為的外心，點O為重心，則 ．
題型03 內心
【解題規律·提分快招】
一、三角形的內心 1.定義：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內心 2.內心的性質：①三角形的內心到三角形三邊的距離相等 ②三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角． 3.內切圓 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形 在平面向量的應用：若點是△的內心，則有
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·山西晉城·階段練習）已知，是橢圓的兩個焦點，M為C的頂點，若的內心和重心重合，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）已知點P在所在平面內，若，則點P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．內心
3．（2024高三·全國·專題練習）若滿足，則O為的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
4．（2025高三·全國·專題練習）設 的內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ， 是 所在平面上的一點， ，則點 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
二、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上不與頂點重合的任意一點，I為的內心，記直線的斜率分別為，若，則橢圓E的離心率為 ．
6．（2024·全國·模擬預測）已知為橢圓上任意一點，為左、右焦點，為的內心，記的面積分別為，則的值為 ．
題型04 垂心
【解題規律·提分快招】
一、三角形的垂心 1.定義：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心； 在平面向量的應用：若是△的垂心，則或
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·廣東汕尾·期末）在中，，點為的垂心，且滿足，，則（ ）
A． B．－1 C． D．
2．（23-24高三下·廣東惠州·期中）已知三棱錐中，若，，兩兩互相垂直，作平面，垂足為，則點是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
3．（2025高三·全國·專題練習）設O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡經過的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
4．（23-24高三下·貴州貴陽·期末）已知點在所在平面內，且，，，則點依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、內心 D．外心、重心、內心
二、多選題
5．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習）在等腰中，已知，若分別為的垂心 外心 重心和內心，則下列四種說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·四川達州·階段練習）拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為為坐標原點，從點發出平行于軸的光線經過拋物線上的點反射后再經過拋物線上另一點，則（ ）
A．存在點使得點.都在以為圓心的圓上
B．存在點使得點是的垂心
C．存在點使得點是的重心
D．點到直線的最短距離為4
三、填空題
7．（23-24高三下·北京東城·階段練習）在三角形中，點是三角形所在平面內一點，的三個內角的對邊分別是，則下列給出的命題：
①若，則點是三角形的垂心；
②若向量，則點的軌跡通過的重心；
③若，則點是三角形的內心；
④若，則點是三角形的內心．
其中正確的命題是： 填寫正確結論的編號
四、解答題
8．（23-24高三下·廣西桂林·階段練習）已知的內角A，，所對的邊分別為，，，，．
(1)求A的大??；
(2)請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件，使存在，并解決問題：
為內一點，的延長線交于點，求的面積．
①為的外心，；
②為的垂心，；
③為的內心，．
題型05 奔馳定理
【解題規律·提分快招】
一、奔馳定理 1.奔馳定理：O是△ABC內一點，且，則 2.奔馳定理推論：O是△ABC所在平面內一點，且，則： ① ② 由于這個定理對應的圖像和奔馳定理的圖標很相似，我們把它稱為奔馳定理. 二、奔馳定理的證明 奔馳定理：是內一點，且，則 已知是內的一點，的面積分別為，，，求證： 法一證明：延長與邊相交于點則 法二證明：延長OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O為△A1B1C1的重心. 三、三角形四心與奔馳定理的關系及證明 ①是的重心：． 證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得 ②是的內心： 證明：，，（為內切圓的半徑），所以 ，再由奔馳定理可得 ③是的外心：． 證明：，由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得，所以（為外接圓的半徑），同理可得，，所以，再由奔馳定理可得 ④是的垂心： 證明：如圖為的垂心，則有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔馳定理可得
【典例訓練】
一、多選題
1．（23-24高三上·河北保定·階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內一點，，，的面積分別為，，，則．設是內一點，的三個內角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若為的外心，則
D．若為的內心，則為直角三角形
2．（23-24高三下·重慶沙坪壩·期末）平面向量中有一個優美的結論，有趣的是，這個結論對應的圖形與“奔馳”轎車的logo非常相似，該結論如下：如圖，已知是內部一點，將，，的面積分別記為，，，則.根據上述結論，下列命題中正確的有（ ）

A．若，則
B．若，則
C．若為的內心，且，則
D．若為的垂心，則
3．（23-24高三上·江西新余·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若M為的垂心，，則
D．若，，M為的外心，則
二、填空題
4．（23-24高三下·湖南·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標志而來，是平面向量中一個非常優美的結論，奔馳定理與三角形的四心（重心 內心 外心 垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內容是：如圖，若是內一點，的面積分別為，則有.已知為的內心，且，若，則的最大值為 .
一、單選題
1．（23-24高三下·河北張家口·期末）已知三棱錐中，，作平面ABC，垂足為，則為的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
2．（2024高三·全國·專題練習）已知三角形的外心為，，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·北京通州·期中）已知是的重心，過點作一條直線與邊，分別交于點，（點，與所在邊的端點均不重合），設，，則的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．（24-25高三上·湖北·開學考試）在三棱錐中，三個側面與底面所成的角均相等，頂點在內的射影為，則是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心
5．（2024高三·全國·專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，右頂點為，點是右支上一點，點是的重心，若，則點到的兩條漸近線的距離之和為（ ）
A． B． C． D．4
6．（23-24高三下·浙江·期中）設O為的內心，，，，則 （ ）.
A． B． C． D．
7．（2024高三·全國·專題練習）若的三邊為a，b，c，有，則是的（ ）
A．外心 B．內心
C．重心 D．垂心
8．（24-25高三·上?！ふn堂例題）已知，點P是平面ABC外一點，點O是點P在平面ABC上的投影．
①點P到的三個頂點的距離相等；
②點P到的三邊的距離相等且O點在內；
③，，．
當點P分別滿足以上條件時，點O一定是的（ ）
A．外心、垂心、內心； B．垂心、內心、外心；
C．內心、外心、垂心； D．外心、內心、垂心．
9．（23-24高三下·河北·期中）平面向量中有一個非常優美的結論：已知O為內的一點，，，的面積分別為，，，則．因其幾何表示酷似奔馳的標志，所以稱為“奔馳定理”．已知O為的內心，三個角對應的邊分別為a，b，c，已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）若O是的外心，且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高三上·吉林長春·期中）如圖，在等腰直角中，，點是邊上異于端點的一點，光線從點出發經邊反射后又回到點，若光線經過的重心，則的周長等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
12．（23-24高三下·湖北荊州·階段練習）已知內角的對邊分別為，為的重心，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
13．（23-24高三下·江蘇揚州·期中）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（ ）
A．若向量，則的外心為中點
B．若點G為的重心，則
C．若點O為所在平面內一點，且，則
D．若點I為的內心，則
14．（23-24高三下·山東濟寧·開學考試）邊長為1的正三角形的內心為，過的直線與邊交于，則（ ）
A． B．當時，此時
C．的最大值為18 D．的最小值為15
15．（23-24高三下·湖南岳陽·階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是內一點，，，的面積分別為，，，且．設是銳角內的一點，、、分別是的三個內角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，，，則
C．若O為的內心，，則
D．若O為的垂心，，則
三、填空題
16．（24-25高三上·上海靜安·期中）已知在平面上，平面外一點滿足，，，則點在平面上的投影點是的 .（請在“外心”、“內心”、“垂心”中選填一個）
17．（2024高三·全國·專題練習）在銳角中，內角的對邊分別為，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為 .
18．（2024高三·全國·專題練習）請你根據“奔馳定理”對以下命題進行判斷：
①若P是的重心，則有；
②若成立，則P是的內心；
③若，則；
④若P是的外心，，，則；
⑤若的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，O為內的一點且為內心.若，則的最大值為.
則正確的命題有 .（填序號）

四、解答題
19．（23-24高三下·重慶·期末）在中，內角所對的邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，，求邊上的角平分線長；
(3)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.
20．（24-25高三上·廣東·階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為，且.D是AB的中點，點E在線段AC上且，線段CD與線段BE交于點M（如下圖）
(1)求角A的大?。?br/>(2)若，求的值；
(3)若點G是的重心，求線段GM的最小值.
21．（23-24高三下·安徽·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，拋物線：的焦點為F，點，，在拋物線上，直線，，的斜率分別為，，．
(1)若F為的重心，求證：為定值；
(2)若F為的垂心，求證：為定值．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題07 三角形中的四心問題與奔馳定理的應用
目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）
題型01 重心 1
題型02 外心 4
題型03 內心 9
題型04 垂心 14
題型05 奔馳定理 21
題型01 重心
【解題規律·提分快招】
一、三角形的重心 1.定義：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點； 2.重心的性質：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1． ②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等． 在平面向量的應用：（1）設點是△所在平面內的一點，則當點是△的重心時，有或（其中為平面內任意一點）； （2）在向量的坐標表示中，若、、、分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為、 、，，則有.
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知在中，為的重心，為邊中點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運算即可求解.
【詳解】在中，為的重心，為邊中點，
對于A，因為，故A錯誤；
對于B，因為，故B錯誤；
對于C，因為在中，為邊中點，
則，
所以，故C正確；
對于D，若成立，
則，即，則，
又為邊中點，故，這不一定成立，故D錯誤.
故選：C．
2．（2024·全國·二模）點是所在平面內兩個不同的點，滿足，則直線經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】A
【分析】根據向量的運算，并結合數形結合分析，即可判斷.
【詳解】設的中點為點，所以，
則，
若四點共線時，即點都在中線上，所以經過三角形的重心，
若四點不共線時，，且，連結，交于點，
如圖，
，即點是三角形的重心，即經過的重心，
綜上可知，經過的重心.
故選：A
3．（2024高三·全國·專題練習）G是的重心，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，則角（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】D
【分析】根據三角形的重心求得，再利用余弦定理來求得正確答案.
【詳解】因為G是的重心，所以有．
又，所以．
設，則有．由余弦定理，可得，所以.
故選：D
二、多選題
4．（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內兩個不同的點，滿足，則（ ）
A．三點共線 B．
C． D．點在的內部
【答案】AC
【分析】根據三角形重心的性質，向量共線的判定及向量的線性運算即可判斷．
【詳解】
，
因為點為的重心，
所以，所以，
所以三點共線，故A正確，B錯誤；
，
因為，
所以，即，故C正確；
因為，
所以點的位置隨著點位置的變化而變化，故點不一定在的內部，故D錯誤；
故選：AC．
三、填空題
5．（2024·四川南充·模擬預測）已知點是的重心，，，，則 ．
【答案】
【分析】根據三角形重心的性質可得，平方后即可求得答案.
【詳解】由于點是的重心，故，
故，
即，
故
，
故答案為：
四、解答題
6．（2024·浙江溫州·模擬預測）的角對應邊是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的長.
(2)求的面積.
【答案】(1)；
(2)18.
【分析】（1）根據給定條件，利用三角形重心的向量表示，結合數量積的運算律求出a 的長.
（2）由（1）的信息，利用三角形面積公式，結合三角形重心的性質計算即得.
【詳解】（1）在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以.
（2）由（1）得，又O是重心，
所以的面積.
題型02 外心
【解題規律·提分快招】
一、三角形的外心 1.定義：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等； 2.外心的性質：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經過三角形的三個頂點． ②銳角三角形的外心在三角形的內部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部． ③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內接三角形卻有無數個． 3.外接圓：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓． 在平面向量的應用：若點是△的外心，則 或 ；
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據三角形外心性質及數量積的幾何意義，可得在方向上的投影向量為，從而求得，再根據余弦定理及基本不等式可求得最值．
【詳解】
由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，
則，故，
又，設，
則
，
當且僅當時等號成立，
由可知，，
故的最大值為．
故選：A．
2．（2024·安徽·模擬預測）已知的外心為，內角的對邊分別為，且．若，則（ ）
A． B．50 C．25 D．
【答案】B
【分析】由題意設，由余弦定理結合可求出，從而可求出的值，求得外接圓半徑，由向量的線性運算、數量積運算化簡求解即可.
【詳解】由已知，令，所以是等腰三角形．
由余弦定理，得．
因為，所以，解得（負值已舍去），
所以．
設的外接圓半徑為，
因為，
所以，所以．
由為等腰三角形知，
所以，即．
所以．
故選：B．
3．（23-24高三下·新疆·階段練習）在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根據外心的性質得到，設，根據數量積的運算律得到，再由數量積的定義及幾何意義求出，從而得解.
【詳解】因為是的外心，為的中點，設的中點為，連接，

所以，，設，
則
，
又是的外心，所以
，
所以.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是根據外接圓的性質將轉化為，再一個就是利用數量積的幾何意義求出.
4．（24-25高三上·遼寧·期中）設的外心為，重心為，并且滿足，則當最大時，的外接圓半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設外接圓半徑為，根據向量數量積的運算律結合重心的性質與二倍角的余弦公式得，再利用導數求出極大值點即可.
【詳解】設外接圓半徑為，
則根據重心向量公式有，
則
，
令，此時，
當時，，此時單調遞增；
當時，，此時單調遞減；
故當最大時，的外接圓半徑為.
故選；D
二、多選題
5．（2024·全國·模擬預測）已知為的外心，，則（ ）
A．與不共線 B．與垂直
C． D．
【答案】BC
【分析】利用向量的線性運算可得，可判斷A；由為的外心，可得與垂直；進而可得與垂直，可判斷B；利用已知可求得，進而可求得可判斷C；由已知可得，兩邊平方可求得.
【詳解】選項A：由得，則與共線，故A錯誤．
選項B：因為為的外心，所以，所以與垂直，
(在中，取的中點，連接，則，所以，

所以)，因為與共線，所以與垂直，故B正確．
選項C：設，則，由得，
所以，故C正確．
選項D：設的外接圓半徑為1，由得，
所以，兩邊同時平方得，
即，所以，故D錯誤．
故選：BC.
三、填空題
6．（2024·四川涼山·三模）在中，已知，點G為的外心，點O為重心，則 ．
【答案】
【分析】設的中點為，根據三角形外心性質，得，由重心性質得，再根據數量積運算即可求解.
【詳解】設的中點為，連接，
由點G為的外心，可得，
由點O為重心，可得，
故
.

故答案為：.
題型03 內心
【解題規律·提分快招】
一、三角形的內心 1.定義：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內心 2.內心的性質：①三角形的內心到三角形三邊的距離相等 ②三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角． 3.內切圓 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形 在平面向量的應用：若點是△的內心，則有
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·山西晉城·階段練習）已知，是橢圓的兩個焦點，M為C的頂點，若的內心和重心重合，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據的內心和重心重合，判斷為等邊三角形，得即可.
【詳解】如圖所示，為橢圓的頂點，
且的內心和重心重合，
所以為等邊三角形，
又因為，
所以，
即.
故選：C.
2．（2024·四川南充·三模）已知點P在所在平面內，若，則點P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．內心
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用數量積的運算律及數量積的定義可得平分，平分，結合三角形內心定義判斷即得.
【詳解】在中，由，得，
即，由，同理得，
顯然，即與不重合，否則，同理，
則，即，，
于是平分，同理平分，
所以點P是的內心.
故選：D
3．（2024高三·全國·專題練習）若滿足，則O為的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】延長交于，延長交于，延長交于，利用共線，得出，得是的平分線，同理都是的內角平分線，從而可得為的內心.
【詳解】延長交于，延長交于，延長交于，
，
又因為，所以，
而共線，則存在實數，使得，
所以.
因為不共線，所以，，
所以，所以是的平分線，同理都是的內角平分線，
所以為的內心.
故選：B.
4．（2025高三·全國·專題練習）設 的內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ， 是 所在平面上的一點， ，則點 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】C
【分析】條件可轉化為 ， ，結合數量積的定義證明 ， 由此確定的位置.
【詳解】因為 ，
所以 ， ，
即 ， ，
所以 ，
．
所以，，
又，
所以 ， ，
所以 在 的平分線上， 在 的平分線上，
所以點 是 的內心．
故選：C．
二、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上不與頂點重合的任意一點，I為的內心，記直線的斜率分別為，若，則橢圓E的離心率為 ．
【答案】/
【分析】由橢圓的性質結合題意得到，再由橢圓的第二定義得到，解出，然后由等面積法得到，最后利用解出即可.
【詳解】設，設圓與軸相切于點M，N，T，
所以，
所以，
即，又．
由橢圓的第二定義可知，
所以，所以，
由等面積法得到，
所以．
因為，所以，所以，即．
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是能利用橢圓的第二定義得到后再結合橢圓的性質和求出.
6．（2024·全國·模擬預測）已知為橢圓上任意一點，為左、右焦點，為的內心，記的面積分別為，則的值為 ．
【答案】/
【分析】不妨設，且的內切圓半徑為，由，取得，再結合橢圓的定義即可求解．
【詳解】由橢圓，可得，則，所以,
如圖所示，不妨設，且的內切圓半徑為，
可得，
又由，
可得，即，
又由，
所以．
故答案為：

題型04 垂心
【解題規律·提分快招】
一、三角形的垂心 1.定義：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心； 在平面向量的應用：若是△的垂心，則或
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·廣東汕尾·期末）在中，，點為的垂心，且滿足，，則（ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】D
【分析】一方面：根據已知得出，另一方面：由三點共線的推論即可列式求解.
【詳解】由題意可知是以A為頂角的等腰三角形，
如圖所示：，，則，
在直角三角形中，，即.
設，
則，
，
所以，所以.
故選：D.
2．（23-24高三下·廣東惠州·期中）已知三棱錐中，若，，兩兩互相垂直，作平面，垂足為，則點是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】連接并延長，交于點，連接并延長，交于點，所以證明平面，得到，再由線面垂直得到，即可得到平面，從而得到，同理可證，即可得解.
【詳解】如圖，連接并延長，交于點，連接并延長，交于點.
因為，，，平面，
所以平面，平面，所以.
因為平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即，
同理可證，所以是的垂心.
故選：D.
3．（2025高三·全國·專題練習）設O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡經過的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【分析】計算，可得，結合三角形的性質得出答案.
【詳解】，
則，即，
故，即點P的軌跡經過的垂心．
故選：C.
4．（23-24高三下·貴州貴陽·期末）已知點在所在平面內，且，，，則點依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、內心 D．外心、重心、內心
【答案】A
【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定義和性質判定即可.
【詳解】因為，即O到各頂點距離相等，所以O為的外心；
取的中點分別為，連接，
則有，
所以三點共線，三點共線，三點共線，
即N為的重心；
由，即，同理，
所以為垂線的交點，故為的垂心.
故選：A
二、多選題
5．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習）在等腰中，已知，若分別為的垂心 外心 重心和內心，則下列四種說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據三角形各心的性質結合向量的加減法則即可求得.
【詳解】A選項：為垂心，為高線的交點，則，選項A正確．
B選項：，選項B正確；
C選項：，選項C正確；
D選項：，選項D錯誤；
故選：ABC
6．（24-25高三上·四川達州·階段練習）拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線的焦點為為坐標原點，從點發出平行于軸的光線經過拋物線上的點反射后再經過拋物線上另一點，則（ ）
A．存在點使得點.都在以為圓心的圓上
B．存在點使得點是的垂心
C．存在點使得點是的重心
D．點到直線的最短距離為4
【答案】BCD
【分析】根據圓的性質，以及拋物線的對稱性，即可判斷A，根據光學性質，利用點的坐標表示點的坐標，再根據垂心，重心，即可判斷BC，利用坐標表示點到直線的距離，即可判斷D.
【詳解】A.由題意可知，三點共線，根據對稱性可知，若存在點使得點.都在以為圓心的圓上，則為通徑，則,，則以點為圓心的圓的半徑為2，但，所以不存在點使得點.都在以為圓心的圓上，故A錯誤；
B.由，則，，則直線，與拋物線方程聯立，得，
則，所以，則，即，若存在點使得點是的垂心，則，，
，，則，①
，，則，②，且，③，聯立①③，得，
聯立①②，得，則，得成立，故B正確；
C.若存在點使得點是的重心，則，，
得，，即，故C正確；
D.點到直線的最短距離為，當時，即時等號成立，點到直線的最短距離為4，故D正確.
故選：BCD
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是結合光學性質，利用點的坐標表示點的坐標.
三、填空題
7．（23-24高三下·北京東城·階段練習）在三角形中，點是三角形所在平面內一點，的三個內角的對邊分別是，則下列給出的命題：
①若，則點是三角形的垂心；
②若向量，則點的軌跡通過的重心；
③若，則點是三角形的內心；
④若，則點是三角形的內心．
其中正確的命題是： 填寫正確結論的編號
【答案】①②③
【分析】根據向量運算，以及三角形垂心、重心、內心、外心等知識對個命題進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】①由得，，即，
同理可得，，則點是的垂心，①正確；
②在中，以、為鄰邊作平行四邊形，則，
從而，進而一定在的邊的中線上，
由此得到點的軌跡一定過的重心，②正確；

③時，
向量分別表示在邊和上取單位向量和，
它們的差是向量，當，即，
而三角形是等腰三角形，
所以點在的平分線上，同理可得點在的平分線上，
故為的內心，③正確；

④時，
是以、為平行四邊形的一條對角線，
而是該平行四邊形的另一條對角線，時，
表示這個平行四邊形是菱形，即，同理得，
故為的外心，④錯誤．
故答案為：①②③
四、解答題
8．（23-24高三下·廣西桂林·階段練習）已知的內角A，，所對的邊分別為，，，，．
(1)求A的大??；
(2)請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件，使存在，并解決問題：
為內一點，的延長線交于點，求的面積．
①為的外心，；
②為的垂心，；
③為的內心，．
【答案】(1)
(2)選①，不合要求，選②③，面積為
【分析】（1）由余弦定理得到，得到，求出；
（2）選①，為的外心，，由正弦定理得到，與矛盾，舍去；
選②，計算出，故，，根據，得到，利用正切和角公式得到，從而求出，所以，為等邊三角形，求出的面積；
選③，根據和三角形面積公式得到，結合，求出，求出三角形面積.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
又因為，，
所以，整理得．
在中，由余弦定理得，所以，
即，
又因為，所以．
（2）選①，為的外心，；
設的外接圓半徑為，則在中，由正弦定理得
，即，
因為為外心，所以，與矛盾，故不能選①．
選②，為的垂心，；
因為為的垂心，所以，
又，所以在中，，
同理可得，
又因為，所以，
即，
又因為在中，，
所以，因此，
故，為方程兩根，
即，
因為，，所以，
所以為等邊三角形，
所以．
選③，為的內心，，
因為為的內心，所以，
由，得，
因為，所以，即，
由（1）可得，即，所以，
即，又因為，所以，
所以．
題型05 奔馳定理
【解題規律·提分快招】
一、奔馳定理 1.奔馳定理：O是△ABC內一點，且，則 2.奔馳定理推論：O是△ABC所在平面內一點，且，則： ① ② 由于這個定理對應的圖像和奔馳定理的圖標很相似，我們把它稱為奔馳定理. 二、奔馳定理的證明 奔馳定理：是內一點，且，則 已知是內的一點，的面積分別為，，，求證： 法一證明：延長與邊相交于點則 法二證明：延長OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O為△A1B1C1的重心. 三、三角形四心與奔馳定理的關系及證明 ①是的重心：． 證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得 ②是的內心： 證明：，，（為內切圓的半徑），所以 ，再由奔馳定理可得 ③是的外心：． 證明：，由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得，所以（為外接圓的半徑），同理可得，，所以，再由奔馳定理可得 ④是的垂心： 證明：如圖為的垂心，則有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔馳定理可得
【典例訓練】
一、多選題
1．（23-24高三上·河北保定·階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內一點，，，的面積分別為，，，則．設是內一點，的三個內角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若為的外心，則
D．若為的內心，則為直角三角形
【答案】AD
【分析】由奔馳定理可判斷A選項，利用重心結論可判斷B選項；
由外心可知，即可判斷C選項；
由內心可知，滿足勾股定理，D選項正確.
【詳解】對于A，由奔馳定理可得，，
因為，，不共線，所以，故A正確；
對于B，若是的重心，，
因為，所以，即共線，故B錯誤．
對于C，當為的外心時，，
所以，
即，故C錯誤．
對于D，當為的內心時，（為內切圓半徑），
所以，所以，故D正確.
故選：AD.
2．（23-24高三下·重慶沙坪壩·期末）平面向量中有一個優美的結論，有趣的是，這個結論對應的圖形與“奔馳”轎車的logo非常相似，該結論如下：如圖，已知是內部一點，將，，的面積分別記為，，，則.根據上述結論，下列命題中正確的有（ ）

A．若，則
B．若，則
C．若為的內心，且，則
D．若為的垂心，則
【答案】BCD
【分析】對于A，由奔馳定理即可直接判斷；
對于B，結合平面向量的線性運算可得，進而由奔馳定理即可直接判斷；
對于C，由奔馳定理可得，設的內切圓半徑為，結合面積公式可得，進而結合勾股定理即可求解；
對于D，結合為的垂心，可得，，，進而根據平面向量數量積的定義可得，進而求解即可.
【詳解】對于A，由奔馳定理可得，故A錯誤；
對于B，由，即，
整理得，由奔馳定理可得，故B正確；
對于C，由，可得，
設的內切圓半徑為，
則，，，
所以，即,
所以，即，故C正確；
對于D，，，，
因為為的垂心，
所以，，，
又，
，
,
所以，即，
同理可得，
所以，
所以，
由奔馳定理可知D正確.
故選：BCD.
【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于理解題意，由得到，進而結合平面向量的數量積及線性運算求解即可.
3．（23-24高三上·江西新余·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若M為的垂心，，則
D．若，，M為的外心，則
【答案】ABC
【分析】A選項，，作出輔助線，得到三點共線，同理可得M為的重心；B選項，設內切圓半徑為，則，，，代入后得到；C選項，得到，作出輔助線，由面積關系得到線段比，設，，，則，，，結合三角函數得到，，進而求出正切值的比；D選項，設外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值.
【詳解】A選項，因為，所以，
取的中點，則，所以，
故三點共線，且，
同理，取中點，中點，可得三點共線，三點共線，
所以M為的重心，A正確；
B選項，若M為的內心，可設內切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
C選項，若M為的垂心，，
則，
如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點，
又，
，即，
，即，
，即，
設，，，則，，，
因為，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，則，
故，
，則，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正確；
D選項，若，，M為的外心，
則，
設的外接圓半徑為，故，
，
故，，，
所以，D錯誤.
故選：ABC
【點睛】結論點睛：點為所在平面內的點，且，則點為的重心，
點為所在平面內的點，且，則點為的垂心，
點為所在平面內的點，且，則點為的外心，
點為所在平面內的點，且，則點為的內心，
二、填空題
4．（23-24高三下·湖南·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標志而來，是平面向量中一個非常優美的結論，奔馳定理與三角形的四心（重心 內心 外心 垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內容是：如圖，若是內一點，的面積分別為，則有.已知為的內心，且，若，則的最大值為 .
【答案】
【分析】利用為的內心，再結合奔馳定理可得，再由已知條件轉化可得，利用平面向量基本定理可知，從而得到，再由，可得，利用均值不等式可得，最后可得.
【詳解】因為的內心到該三角形三邊的距離相等，則，
由可得，所以，
又，
則，所以，
兩式相加可得，化簡可得，
又，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，當且僅當時等號成立，
所以.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用奔馳定理得到，再結合余弦定理和基本不等式即可得到，最后即可得到的最大值.
一、單選題
1．（23-24高三下·河北張家口·期末）已知三棱錐中，，作平面ABC，垂足為，則為的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用線面垂直的判定性質推理即可得解.
【詳解】連接，由平面，平面，得，又，
平面，則平面，又平面，
因此，同理，所以為的垂心.
故選：D
2．（2024高三·全國·專題練習）已知三角形的外心為，，，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】得為斜邊的中點，過點作，垂足為，在上的投影向量為，再由、共線可得答案.
【詳解】因為，所以，所以是直角三角形．
又為的外心，所以為斜邊的中點，所以．
如圖，過點作，垂足為，
故在上的投影向量為，
又，
，
故，因此在上的投影向量為.
故選：D．
3．（24-25高三上·北京通州·期中）已知是的重心，過點作一條直線與邊，分別交于點，（點，與所在邊的端點均不重合），設，，則的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由平面向量的基本定理得到的等式，再用基本不等式求得最小值.
【詳解】如圖：
取中點，則，，
，
∵三點共線，∴，即，
∴，
當且僅當時，取等號；
故選：B
4．（24-25高三上·湖北·開學考試）在三棱錐中，三個側面與底面所成的角均相等，頂點在內的射影為，則是的（ ）
A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心
【答案】C
【分析】根據三垂線定理可得平面的夾角，結合題意得，即可根據銳角三解函數得，由內心的性質即可求解.
【詳解】若三個側面與底面所成的角相等，則分別作三個側面三角形的斜高，
由三垂線定理，得，，，
則、、分別是三側面與底面所成角的平面角，
，
，，，
，
是的內心．
故選：C．
5．（2024高三·全國·專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，右頂點為，點是右支上一點，點是的重心，若，則點到的兩條漸近線的距離之和為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由重心性質結合可得的橫坐標，即可得的橫坐標，從而可得的坐標，再借助點到直線的距離公式計算即可得解.
【詳解】如圖，由已知可得點的坐標為，設點，
因為點是的重心，由可得點的橫坐標，則，
將代入雙曲線方程可得，解得，
則點的坐標為或，
由雙曲線的對稱性，可知點的兩個坐標到漸近線的距離之和相同，
取點，由雙曲線方程可得漸近線方程為，
則點到雙曲線兩條漸近線的距離之和為．
故選：B.
6．（23-24高三下·浙江·期中）設O為的內心，，，，則 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中點，連，則為內切圓的半徑，利用面積關系求出，得，再根據得，由平面向量基本定理求出可得答案.
【詳解】取的中點，連，
因為，，所以，，
所以的內心在線段上，為內切圓的半徑，
因為，
所以，
所以，得，
所以，
所以，
又，所以，
又已知，所以，
所以.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：利用面積關系求出內切圓半徑,進而得到是本題解題關鍵.
7．（2024高三·全國·專題練習）若的三邊為a，b，c，有，則是的（ ）
A．外心 B．內心
C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】在，上分別取點，，使得，，以，為鄰邊作平行四邊形，即可得到四邊形是菱形，再根據平面向量線性運算法則及共線定理得到，，三點共線，即可得到在的平分線上，同理說明可得在其它兩角的平分線上，即可判斷.
【詳解】在，上分別取點，，使得，，則．
以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，

則四邊形是菱形，且．
為的平分線． ，
，
即，
．
，，三點共線，即在的平分線上，
同理可得在其它兩角的平分線上，
是的內心．
故選：B．
8．（24-25高三·上海·課堂例題）已知，點P是平面ABC外一點，點O是點P在平面ABC上的投影．
①點P到的三個頂點的距離相等；
②點P到的三邊的距離相等且O點在內；
③，，．
當點P分別滿足以上條件時，點O一定是的（ ）
A．外心、垂心、內心； B．垂心、內心、外心；
C．內心、外心、垂心； D．外心、內心、垂心．
【答案】D
【分析】對于①，利用推出，即得點是的外心；對于②，由通過證明線面垂直推得，，再證，推得點在的平分線上，同理即得點是的內心；對于③，利用線線垂直證得線面垂直，繼而又得線線垂直，再證線面垂直，得線線垂直，即得垂心.
【詳解】
當點P滿足條件①時，如圖1，平面，因是平面內的直線，故，
又，則，故得，即點是的外心；
當點P滿足條件②時，如圖2，因平面，平面，則，
因平面，故得平面，因平面，則，
同理可得，因，可得，即點在的平分線上，
同理，點也在的平分線上,故點是的內心；

當點P滿足條件③時，如圖3，因，，平面，故平面，
因平面，則，因平面，平面，則，
又平面，故平面，又平面，則，
同理得，即點O一定是的垂心.
故選：D.
9．（23-24高三下·河北·期中）平面向量中有一個非常優美的結論：已知O為內的一點，，，的面積分別為，，，則．因其幾何表示酷似奔馳的標志，所以稱為“奔馳定理”．已知O為的內心，三個角對應的邊分別為a，b，c，已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據三邊，先求出角B的余弦值,再由內心可得到，進而由“奔馳定理”得到，在對向量進行線性運算即可.
【詳解】因為，，，
所以，
因為O為的內心，設，由題意，
則，
同理可得
所以根據“奔馳定理”有，
所以，
即，
所以，
．
故選：A．
10．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）若O是的外心，且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用數量積的定義將向量全部轉化為三角形邊角的關系，結合基本不等式求解.
【詳解】設
由，
可得,
化簡得，
若O是的外心，O是三邊中垂線的交點，得
代入上式得，
所以，
根據題意知，是三角形外接圓的半徑，
可得
所以
因為所以，
所以,當且僅當時取等號，
所以當且僅當時取最值.
故選：B.
11．（24-25高三上·吉林長春·期中）如圖，在等腰直角中，，點是邊上異于端點的一點，光線從點出發經邊反射后又回到點，若光線經過的重心，則的周長等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】建立如圖所求的直角坐標系，得，設，求出關于直線的對稱點的坐標，關于軸對稱點的坐標，由反射性質四點共線，求得直線方程，由在直線上可求得，然后計算即可．
【詳解】建立如圖所求的直角坐標系，得，
則直線方程為，
且的重心為，即，
設，關于直線的對稱為，
則，解得，則，
易知關于軸的對稱點為，
根據光線反射原理知四點共線，
所以直線的方程為，，即，
又直線過，
所以，解得或（舍去），
所以，,,
所以.
故選：A．
【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線方程的應用，解題關鍵是利用對稱性，把的三邊轉化為到同一條直線上，利用直線方程求得點位置，然后得路程的最小值．
二、多選題
12．（23-24高三下·湖北荊州·階段練習）已知內角的對邊分別為，為的重心，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
【答案】BCD
【分析】利用重心性質及向量線性運算得，即可判斷A，此式平方后結合基本不等式，向量的數量積的定義可求得的最大值，直接判斷B，再結合三角形面積公式、余弦定理判斷CD．
【詳解】
對于A，是的重心，延長交于點，則是中點，
，A錯誤；
對于B，由，得，所以
，
又，即
所以，所以，當且僅當時等號成立，B正確；
對于C，，當且僅當時等號成立，
，，C正確；
對于D，由，得
，
所以
，，當且僅當時等號成立，所以的最小值是，D正確.
故選：BCD.
13．（23-24高三下·江蘇揚州·期中）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是（ ）
A．若向量，則的外心為中點
B．若點G為的重心，則
C．若點O為所在平面內一點，且，則
D．若點I為的內心，則
【答案】ABD
【分析】利用向量坐標運算及模的坐標表示計算判斷A；利用三角形重心定理計算判斷B；利用數量積運算律計算判斷C；利用三角形內角平分線性質推理計算判斷D作答.
【詳解】對于A，，，，判斷出是等腰直角三角形，所以A正確；
對于B，點G為的重心，如圖，延長交BC于E，則E是BC中點，則，因此，，B正確；
對于C，由得：，即，
點O在邊BC的高所在直線上，顯然，C不正確；
對于D，I為的內心，如圖，延長交BC于D，顯然分別平分，則有，，，，
，
同理，，
所以，D正確.

故選：ABD.
【點睛】方法點睛：用平面向量求解平面幾何問題的解答策略：
1、首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關系用向量進行表示,然后選擇適當的基底向量,將相關的向量表示為基底向量的線性組合,把問題轉化為基向量的運算問題；
2、再將向量的運算的結果還原為幾何關系,應用向量相關的知識,可巧妙地解決三角形四心所具備的一些特定的性質,同時也應熟記應用三角形四心的幾何特征及應用向量的運算公式,若不含圖形,可直接運用相應的運算法則求解；
3、若含有圖形,可將它們轉化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線的性質等,把未知向量用已知向量進行表示.
14．（23-24高三下·山東濟寧·開學考試）邊長為1的正三角形的內心為，過的直線與邊交于，則（ ）
A． B．當時，此時
C．的最大值為18 D．的最小值為15
【答案】BCD
【分析】對于A：設，，根據三點共線結合向量分析判斷；對于B：根據題意求，即可得結果；對于CD：設，利用正弦定理可得，，代入整理可得，即可判斷最值.
【詳解】連接AO并延長，交BC于D，則D是BC的中點，
設，，，，可知，
則，，
可得，，
因為P，O，Q三點共線，則，且，
可得，則，即，
可得，即，
所以，故A錯誤；
對于選項B：當時，可知為中位線，
則，所以，故B正確；
對于選項CD：設，則．
在中，，，，
由正弦定理得：，
即，可得，
在中，，
由正弦定理得：，
即，可得
則，
因為，則，可得，
當時，取到最大值18，故C正確；
當或時，取到最小值15，故D正確；
故選：BCD.
【點睛】關鍵點點睛：對于圖形中的范圍問題，常常利用正、余弦定理進行邊角轉化，結合三角函數相關知識求最值.
15．（23-24高三下·湖南岳陽·階段練習）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是內一點，，，的面積分別為，，，且．設是銳角內的一點，、、分別是的三個內角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，，，則
C．若O為的內心，，則
D．若O為的垂心，，則
【答案】ACD
【分析】利用“奔馳定理”可判斷A選項；求出，結合“奔馳定理”可判斷B選項；利用“奔馳定理”可得出的值，結合勾股定理可判斷C選項；對D，由垂心性質及向量數量積的垂直表示可得，結合奔馳定理結合三角形面積公式，可得，如圖所示分別為垂足，可設，，即可由幾何關系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求.
【詳解】對于A選項，因為，
由“奔馳定理”可知，A對；
對于B選項，由 ，，可知，
又，所以，
由可得，，，
所以，B錯；
對于C選項，若為的內心，，則，
又（為內切圓半徑），
所以，，故，C對；
對D，若O為的垂心，則，，
又，
同理，
又，則，
且
如圖，分別為垂足，
設，，則，
又，故，
由，解得，
由，
故，D對.
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：利用向量數量積定義、運算律和垂心性質得到向量模的比例，結合三角形面積公式和奔馳定理判斷結論即可.
三、填空題
16．（24-25高三上·上海靜安·期中）已知在平面上，平面外一點滿足，，，則點在平面上的投影點是的 .（請在“外心”、“內心”、“垂心”中選填一個）
【答案】垂心
【分析】根據給定條件，利用線面垂直的判定與性質推理判斷.
【詳解】連接，由，，平面，
得平面，而平面，則，又平面，
則，又平面，因此平面，
而平面，則，同理，
所以點是的垂心.
故答案為：垂心
17．（2024高三·全國·專題練習）在銳角中，內角的對邊分別為，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為 .
【答案】
【分析】由向量數量積及三角形外心的定義可知，，然后化簡已知等式，得到的值.
【詳解】由題意可知，
同理可得，
，
，
，由正弦定理,
，
.
故答案為：
18．（2024高三·全國·專題練習）請你根據“奔馳定理”對以下命題進行判斷：
①若P是的重心，則有；
②若成立，則P是的內心；
③若，則；
④若P是的外心，，，則；
⑤若的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，O為內的一點且為內心.若，則的最大值為.
則正確的命題有 .（填序號）

【答案】①②④⑤
【分析】根據已知可推得，根據“奔馳定理”即可得出①；記點P到AB，BC，CA的距離分別為，，，根據“奔馳定理”得出，進而結合已知即可得出②；根據平面向量基本定理表示出，根據“奔馳定理”化簡，結合，不共線，即可推得③錯誤；根據已知得出，換元為三角函數，根據輔助角公式化簡即可得出④；根據已知推得.然后根據余弦定理，結合基本不等式，即可得出范圍.
【詳解】對于①：如圖所示，因為D，E，F分別為CA，AB，BC的中點，
所以，，，
同理可得，，
所以，
又因為，
所以，故①正確；
對于②：記點P到AB，BC，CA的距離分別為，，，
則，，，
因為，則，
即.
又因為，
所以，所以點P是的內心，故②正確；
對于③：因為，
所以，，，
所以
，
化簡得，
又因為，不共線，
所以，即，
所以，，故③錯誤；
對于④：因為P是的外心，，
所以，，.
因為，
則，
化簡得 .
由題意知m，n不同時為正.記，，
則，
因為，
所以，即，
所以，故④正確；
對于⑤：∵O為的內心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，，
∴.
∵(當且僅當時取等號)，
∴，∴，
∴(當且僅當時取等號)，
∴的最大值為，故⑤正確.
故答案為：①②④⑤.
四、解答題
19．（23-24高三下·重慶·期末）在中，內角所對的邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，，求邊上的角平分線長；
(3)若為銳角三角形，點為的垂心，，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根據平方關系及正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由等面積法計算可得；
（3）延長交于，延長交于，設，，分別求出、，再根據三角恒等變換化一，結合正切函數的性質即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以，
由正弦定理得，
則，
因為，所以；
（2）因為，，，
即，解得，
設邊上的角平分線長為，
則，即，
即，解得，即邊上的角平分線長為；
（3）延長交于，延長交于，
設，，所以，
在中，
在中，，所以，
在中，同理可得，
所以
，
因為，所以，所以，所以，
即的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理實現“邊化角”；
（2）利用余弦定理實現“角化邊”.
求三角形有關代數式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：
（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式來求解；
（2）利用正弦定理，轉化為關于某個角的三角函數，利用函數思想求解.
20．（24-25高三上·廣東·階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為，且.D是AB的中點，點E在線段AC上且，線段CD與線段BE交于點M（如下圖）
(1)求角A的大?。?br/>(2)若，求的值；
(3)若點G是的重心，求線段GM的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），結合面積公式和余弦定理，化簡得到，求出，；
（2）由三點共線得到，，從而得到方程組，求出，得到答案；
（3）法一：由重心定義得到，進而求出，根據三角形面積公式得到， 兩邊平方，結合基本不等式求出；
法二：由（2）得，故，M為CD中點，，由三角形面積公式得到，在中，有余弦定理和基本不等式得到，故.
【詳解】（1）因為，
所以.
所以，
所以，故，
又，所以，
所以；
（2）由題意，，
由D、M、C三點共線得，即，
故，
所以，
同理由B、M、E三點共線可得，
∴，
∴
（3）法一；由重心定義得，
∴，
∴，
∴
，當且僅當時，等號成立，
∴，
當且僅當時取等號.
∴線段GM的最小值為；
法二：由（2）得，，
故，故M為CD中點，
又重心G為CD三等分點，故，
∵，
∴在中，，
當且僅當時取等號，故，
∴.
即線段GM的最小值為.
21．（23-24高三下·安徽·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，拋物線：的焦點為F，點，，在拋物線上，直線，，的斜率分別為，，．
(1)若F為的重心，求證：為定值；
(2)若F為的垂心，求證：為定值．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求得，，的表達式，再利用三角形重心的性質即可求得為定值0；．
（2）利用，，的表達式，結合三角形垂心的性質即可求得為定值．
【詳解】（1）拋物線：的焦點F的坐標為，
因為F為的重心，所以，①．
因為②，同理可得③，④，
由①②③④可得，
故．
（2）若F為的垂心，則，，，
所以，，，
即，⑤
，⑥
，⑦．
由⑤⑥可得，
進一步化簡可得，⑧．
由⑦可得，⑨
由⑧⑨可得，⑩
由⑧⑩可得，
結合⑨，，
可得，
即，
則，
即，
故（定值）．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑