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專題03 概率與統計下的新定義
【題型歸納目錄】
題型一：二項式定理新定義
題型二：排列組合新定義
題型三：概率新定義
題型四：統計方法新定義
題型五：信息熵問題
【方法技巧與總結】
解概率與統計下的新定義題，就是要細讀定義關鍵詞，理解本質特征，適時轉化為“熟悉”問題．總之，解決此類問題，取決于已有知識、技能、數學思想的掌握和基本活動經驗的積累，還需要不斷的實踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題．
【典型例題】
題型一：二項式定理新定義
【典例1-1】（2024·湖南衡陽·二模）莫比烏斯函數在數論中有著廣泛的應用．所有大于1的正整數都可以被唯一表示為有限個質數的乘積形式：（為的質因數個數，為質數，），例如：，對應．現對任意，定義莫比烏斯函數
(1)求；
(2)若正整數互質，證明：；
(3)若且，記的所有真因數（除了1和以外的因數）依次為，證明：．
【解析】（1）因為，易知，
所以；
又，因為5的指數，所以；
（2）①若或，因為，所以；
②若，且存在質數，使得或的質因數分解中包含，則的質因數分解中一定也包含，
所以，
③若，且不存在②中的，可設，
其中均為質數，則，
因為互質，所以互不相等，
所以，
綜上可知
（3）由于，所以可設，為偶數，
的所有因數，除了1之外都是中的若干個數的乘積，從個質數中任選個數的乘積一共有種結果，
所以
，
所以．
【典例1-2】（2024·安徽合肥·一模）“數”在量子代數研究中發揮了重要作用.設是非零實數，對任意，定義“數”利用“數”可定義“階乘”和“組合數”，即對任意，
(1)計算：；
(2)證明：對于任意，
(3)證明：對于任意，
【解析】（1）由定義可知，
.
（2）因為，
.
又
,
所以
（3）由定義得：
對任意.
結合（2）可知
即，
也即.
所以，
，
……
.
上述個等式兩邊分別相加得：
.
【變式1-1】（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設棱長為，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，定義隨機變量的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大小（弧度制）；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?
(1)比較三種隨機變量的數學期望大小；（參考數據）
(2)現單獨研究棱長，記（且），其展開式中含項的系數為，含項的系數為.
①若，對成立，求實數，，的值；
②對①中的實數，，用數字歸納法證明：對任意且，都成立.
【解析】（1）如圖所示：
由題意設為正四棱錐的高，為中點，
由于正四棱錐的底面邊長和高都是2，
所以，所以，
由對稱性以及三線合一可知，
若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，
則的所有可能取值為，
且，
所以，
若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，
則的所有可能取值為，
，
代入參考數據，得，
若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，
則的所有可能取值為，
，
所以.
（2）①因為中項的系數為，
一般地，從中的第個因式中取一個，其余因式中取常數即可得到一個項，
而這一項的系數為，，
因為中項的系數為，
一般地，從中的第個因式中各取一個，其余因式中取常數即可得到一個項，
而這一項的系數為，從而，
從而，
，
由題意得，解得；
②用數學歸納法證明：且時，.
當時，，故結論對成立，
假設結論對成立，即，
則
，
所以結論對也成立，
故，對任意成立.
題型二：排列組合新定義
【典例2-1】（2024·高三·北京·階段練習）設為正整數，集合.對于集合中的任意元素和，定義.
(1)當時，若，直接寫出所有使同時成立的的元素；
(2)當時，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同元素.求集合中元素個數的最大值；
(3)給定不小于2的，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，寫出一個集合，使其元素個數最多，并說明理由.
【解析】（1）
滿足條件的 有
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 0
1 1 1 1
又 ，
滿足條件的 有
1 1 0 1
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0
（2）列出集合A的元素
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同元素α，β，d(α，β)≥2
滿足條件的集合B的元素的個數的最大值為4.
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
（3） d(α，β)≥2
B中的元素應該含有奇數個1
若n=2，則含有奇數個1的元素有 個；
若n=3，則含有奇數個1的元素有 個；
若n=4，則含有奇數個1的元素有 個；
若n=5，則含有奇數個1的元素有 個；
當n=3時，
【典例2-2】（2024·高三·浙江·開學考試）一般地，元有序實數對稱為維向量.對于兩個維向量，定義：兩點間距離，利用維向量的運算可以解決許多統計學問題.其中，依據“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個標準點的距離，與哪個標準點的距離最近就歸為哪類.某公司對應聘員工的不同方面能力進行測試，得到業務能力分值 管理能力分值 計算機能力分值 溝通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：
崗位 業務能力分值 管理能力分值 計算機能力分值 溝通能力分值 合計分值
會計（1） 2 1 5 4 12
業務員（2） 5 2 3 5 15
后勤（3） 2 3 5 3 13
管理員（4） 4 5 4 4 17
對應聘者的能力報告進行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設四種能力分值分別對應四維向量的四個坐標.
(1)將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數據，直接寫出這組數據的第三四分位數；
(2)小剛與小明到該公司應聘，已知：只有四個崗位的擬合距離的平方均小于20的應聘者才能被招錄.
（i）小剛測試報告上的四種能力分值為，將這組數據看成四維向量中的一個點，將四種職業的分值要求看成樣本點，分析小剛最適合哪個崗位；
（ii）小明已經被該公司招錄，其測試報告經公司計算得到四種職業的推薦率分別為，試求小明的各項能力分值.
【解析】（1）將四個崗位合計分值從小到大排列得到數據，
又，所以這組數據的第三四分位數為.
（2）（i）由圖表知，會計崗位的樣本點為，則，
業務員崗位的樣本點為，則，
后勤崗位的樣本點為，則，
管理員崗位的樣本點為，則，
所以，故小剛最適合業務員崗位.
（ii）四種職業的推薦率分別為，且，
所以，得到，
又均小于20，所以，且，
故可得到，
設小明業務能力分值、管理能力分值、計算機能力分值、溝通能力分值分別為，且，，
依題有①，
②，
③，
④，
由①③得，
，
整理得：，
故有三組正整數解，
對于第一組解，代入④式有，不成立；
對于第二組解，代入①式有，
解得或，代入②④式均不成立；
對于第三組解，代入②式有，
解得，代入①②③④均成立，故；
故小明業務能力分值、管理能力分值、計算機能力分值、溝通能力分值分別為.
題型三：概率新定義
【典例3-1】（2024·浙江·一模）混管病毒檢測是應對單管病毒檢測效率低下的問題，出現的一個創新病毒檢測策略，混管檢測結果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數，這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數．
(1)證明：；
(2)若，．證明：某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．
【解析】（1）由題意可得滿足二項分布，
由知，，當且僅當時取等號；
（2）記（混管中恰有1例陽性|混管檢測結果為陽性），
（混管中恰有i例陽性）=，，
令，，
則，
當時，，為單調遞減，
當時，，為單調遞增，所以，
且，，
所以當，即，兩邊取自然對數可得，
所以當，時，
所以，
則．
故某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性.
【典例3-2】（2024·遼寧·模擬預測）條件概率與條件期望是現代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對隨機現象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經被廣泛的利用到日常生產生活中.定義：設X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發生的概率．某射擊手進行射擊訓練，每次射擊擊中目標的概率均為p（），射擊進行到擊中目標兩次時停止.設表示第一次擊中目標時的射擊次數，表示第二次擊中目標時的射擊次數．
(1)求，；
(2)求，．
【解析】（1）由題設，，
.
（2）由題設，；
同（1），，，
所以.
【變式3-1】（2024·福建漳州·一模）在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列，發送每個信號數字之間相互獨立．由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．
(1)記發送信號變量為，接收信號變量為，且滿足，，，求；
(2)當發送信號0時，接收為0的概率為，定義隨機變量的“有效值”為（其中是的所有可能的取值，），發送信號“000”的接收信號為“”，記為，，三個數字之和，求的“有效值”．（，）
【解析】（1）由題意可知：，，
所以.
（2）由題意可知：當發送信號0時，接收為0的概率為，接收為1的概率為，
可知：的可能取值有0，1，2，3，
則，
，
可得的“有效值”
，
即的“有效值”約為0.45.
題型四：統計方法新定義
【典例4-1】（2024·全國·模擬預測）某校20名學生的數學成績和知識競賽成績如下表：
學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
數學成績 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知識競賽成績 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
學生編號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
數學成績 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知識競賽成績 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
計算可得數學成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，．
(1)求這組學生的數學成績和知識競賽成績的樣本相關系數（精確到）．
(2)設，變量和變量的一組樣本數據為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關系數”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數．
（i）記，．證明：．
（ii）用（i）的公式求這組學生的數學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數”（精確到）．
(3)比較（1）和（2）（ii）的計算結果，簡述“斯皮爾曼相關系數”在分析線性相關性時的優勢．
注：參考公式與參考數據．；；．
【解析】（1）
由題意，這組學生數學成績和知識競賽成績的樣本相關系數為
（2）（i）證明：因為和都是1，2，，的一個排列，所以
，
，
從而和的平均數都是．
因此，，
同理可得，
由于，
所以；
（ii）由題目數據，可寫出與的值如下：
同學編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
數學成績排名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
知識競賽成績排名 1 5 3 4 9 8 7 6 10 2
同學編號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
數學成績排名 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
知識競賽成績排名 12 14 13 11 16 15 17 18 19 20
所以，并且．
因此這組學生的數學成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關系數是
（3）答案①：斯皮爾曼相關系數對于異常值不太敏感，如果數據中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關系數比用樣本相關系數更能刻畫某種線性關系；
答案②：斯皮爾曼相關系數刻畫的是樣本數據排名的樣本相關系數，與具體的數值無關，只與排名有關．如果一組數據有異常值，但排名依然符合一定的線性關系，則可以采用斯皮爾曼相關系數刻畫線性關系．
【典例4-2】（2024·全國·模擬預測）冰雪運動是深受學生喜愛的一項戶外運動，為了研究性別與學生是否喜愛冰雪運動之間的關系，從某高校男、女生中各隨機抽取100名進行問卷調查，得到如下列聯表．
喜愛 不喜愛
男生
女生
(1)當時，從樣本中不喜愛冰雪運動的學生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人調研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數為，求的分布列與數學期望．
(2)定義，其中為列聯表中第行第列的實際數據，為列聯表中第行與第列的總頻率之積再乘以列聯表的總額數得到的理論頻數，如，．基于小概率值的檢驗規則：首先提出零假設（變量X，Y相互獨立），然后計算的值，當時，我們推斷不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為X和Y獨立．根據的計算公式，求解下面問題：
①當時，依據小概率值的獨立性檢驗，分析性別與是否喜愛冰雪運動有關？
②當時，依據小概率值的獨立性檢驗，若認為性別與是否喜愛冰雪運動有關，則至少有多少名男生喜愛冰雪運動？
附：
0.1 0.025 0.005
2.706 5.024 7.879
【解析】（1）當時，用分層抽樣的方法抽取的不喜愛冰雪運動的6人中，男生有2人，女生有4人，
由題意可知，的可能取值為1，2，3．
，，，
的分布列為
1 2 3
P
．
（2）①零假設為：性別與是否喜愛冰雪運動獨立，即性別與是否喜愛冰雪運動無關聯．
當時，，，，，
，，，，
．
∵，
∴根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為性別與是否喜愛冰雪運動有關聯，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005．
②，
由題意可知，，整理得．
又，，∴，的最大值為4．
又，∴至少有76名男生喜愛冰雪運動．
【變式4-1】（2024·高三·北京·期末）在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數，為參加測試的總人數．現對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：
題號 1 2 3 4 5
考前預估難度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
測試后，隨機抽取了20名學生的答題數據進行統計，結果如下：
題號 1 2 3 4 5
實測答對人數 16 16 14 14 4
(1)根據題中數據，估計這240名學生中第5題的實測答對人數；
(2)從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數為X，求X的分布列和數學期望；
(3)定義統計量，其中為第題的實測難度，為第題的預估難度．規定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理.
【解析】（1）因為20人中答對第5題的人數為4人，因此第5題的實測難度為，
所以估計240人中有人實測答對第5題．
（2）的可能取值是0，1，2．
；；．
的分布列為：
0 1 2
．
（3）第1題的實測難度為，同理可得：第2題的實測難度為，
第3題的實測難度為，第4題的實測難度為，第5題的實測難度為0.2，
故．
因為 ，
所以，該次測試的難度預估是合理的．
題型五：信息熵問題
【典例5-1】（2024·高三·河北·階段練習）信息熵是信息論之父香農（Shannon）定義的一個重要概念，香農在1948年發表的論文《通信的數學理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數學表達式：設隨機變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.
(1)當時，計算；
(2)若，判斷并證明當增大時，的變化趨勢；
(3)若，隨機變量所有可能的取值為，且，證明：.
【解析】（1）當時，則，所以
（2）隨著的增大而增大.
當，則，
設，則，
因此隨著的增大而增大.
（3）證明：若，隨機變量所有可能的取值為，且.
.
，
因為，故
故，
由于，所以，
所以，所以，
所以.
【典例5-2】（2024·高三·河北·期末）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵 信源熵 平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數據流中的事件 樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發生的事情，當它發生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數的相反數是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數的底.采用概率分布的對數作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德 艾爾伍德 香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農滳.而正是信息熵的發現，使得1871年由英國物理學家詹姆斯 麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量所有取值為，定義的信息熵，（，）.
(1)若，試探索的信息熵關于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此時的信息熵.
【解析】（1）當時，,，
令，，
則，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得最大值，最大值為.
（2）因為，（），
所以（），
故，
而，
于是，
整理得
令，
則，
兩式相減得
因此，
所以.
【變式5-1】（2024·安徽合肥·模擬預測）在一個典型的數字通信系統中，由信源發出攜帶著一定信息量的消息，轉換成適合在信道中傳輸的信號，通過信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實際應用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸的信息失真.在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個取值的隨機變量，分別記作和.條件概率，描述了輸入信號和輸出信號之間統計依賴關系，反映了信道的統計特性.隨機變量的平均信息量定義為：.當時，信道疑義度定義為
(1)設有一非均勻的骰子，若其任一面出現的概率與該面上的點數成正比，試求扔一次骰子向上的面出現的點數的平均信息量；
(2)設某信道的輸入變量與輸出變量均取值0，1.滿足：.試回答以下問題：
①求的值；
②求該信道的信道疑義度的最大值.
【解析】（1）設表示扔一非均勻股子點數，則
1 2 3 4 5 6
扔一次平均得到的信息量為
.
（2）①由全概率公式，得
②由題意，.
所以，
;
其中.
令
.
時時，,
.
【過關測試】
1．（2024·高三·全國·專題練習）定義：為不超過的最大整數部分，如，．甲、乙兩個學生高二的6次數學測試成績（測試時間為90分鐘，滿分100分）如下表所示：
高二成績 第1次考試 第2次考試 第3次考試 第4次考試 第5次考試 第6次考試
甲 68 74 77 84 88 95
乙 71 75 82 84 86 94
進入高三后，由于改進了學習方法，甲、乙這兩個學生的數學測試成績預計有了大的提升．設甲或乙高二的數學測試成績為，若，則甲或乙高三的數學測試成績預計為；若，則甲或乙高三的數學測試成績預計為100．
(1)試預測：在將要進行的高三6次數學測試成績（測試時間為90分鐘，滿分100分）中，甲、乙兩個學生的成績（填入下列表格內）；
高三成績 第1次考試 第2次考試 第3次考試 第4次考試 第5次考試 第6次考試
甲
乙
(2)記高三任意一次數學測試成績估計值為，規定：，記為轉換分為3分；，記為轉換分為4分；，記為轉換分為5分．現從乙的6次數學測試成績中任意抽取2次，求這2次成績的轉換分之和為8分的概率．
【解析】（1）由已知，預測高三6次數學測試成績如下：
高三成績 第1次考試 第2次考試 第3次考試 第4次考試 第5次考試 第6次考試
甲 84 90 93 93 97 100
乙 87 91 91 93 95 100
（2）在乙的高三6次數學測試預測成績中，轉換分為3分的有1次，記為A；
轉換分為4分的有4次，記為；轉換分為5分的有1次，記為．
現從中任意抽取2次，一共有15種結果，它們是：
，
，
其中2次成績的轉換分之和為8分有7種結果，它們是：
，
則所求概率為．
2．（2024·全國·一模）正態分布與指數分布均是用于描述連續型隨機變量的概率分布．對于一個給定的連續型隨機變量，定義其累積分布函數為．已知某系統由一個電源和并聯的，，三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立．
(1)已知電源電壓（單位：）服從正態分布，且的累積分布函數為，求；
(2)在數理統計中，指數分布常用于描述事件發生的時間間隔或等待時間．已知隨機變量（單位：天）表示某高穩定性元件的使用壽命，且服從指數分布，其累積分布函數為.
（?。┰O，證明：；
（ⅱ）若第天元件發生故障，求第天系統正常運行的概率．
附：若隨機變量服從正態分布，則，，．
【解析】（1）由題設得，，
所以
（2）（?。┯深}設得：
，
,
所以．
（ⅱ）由（?。┑茫?br/>所以第天元件，正常工作的概率均為．
為使第天系統仍正常工作，元件，必須至少有一個正常工作，
因此所求概率為．
3．為考查一種新的治療方案是否優于標準治療方案，現從一批患者中隨機抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標準治療方案治療，記其中采用新治療方案與標準治療方案治療受益的患者數分別為和．在治療過程中，用指標衡量患者是否受益：若，則認為指標正常；若，則認為指標偏高；若，則認為指標偏低．若治療后患者的指標正常，則認為患者受益于治療方案，否則認為患者未受益于治療方案．根據歷史數據，受益于標準治療方案的患者比例為0.6．
(1)求和；
(2)統計量是關于樣本的函數，選取合適的統計量可以有效地反映樣本信息．設采用新治療方案治療第位的患者治療后指標的值為，，2，，50，定義函數：
（?。┖喪鲆韵陆y計量所反映的樣本信息，并說明理由．
①；
②；
（ⅱ）為確定新的治療方案是否優于標準治療方案，請在（?。┲械慕y計量中選擇一個合適的統計量，并根據統計量的取值作出統計決策．
【解析】（1）
由題設知服從二項分布，
所以，．
（2）（?。┙y計量反映了未受益于新治療方案的患者數，理由如下：
若患者受益于新治療方案，則其指標的值滿足，
否則，會被統計量計入，且每位未受益于新治療方案的患者恰使得統計量的數值加1．
統計量反映了未受益于新治療方案且指標偏高的患者數量，理由如下：
若患者接受新治療方案后指標偏低或正常，則其指標的值滿足
若指標偏高，則，，會被統計量計入，
且每位未受益于新治療方案且指標偏高的患者恰使得統計量的數值加1．
（ⅱ）由題設知新治療方案優于標準治療方案等價于一次試驗中的觀測值大于的數學期望，
由（?。┲挠^測值，
因此當，即時，認為新治療方案優于標準治療方案；
當，即時，認為新治療方案與標準治療方案相當；
當，即時，認為新治療方案劣于標準治療方案．
4．（2024·高二·四川遂寧·期末）2020年新冠肺炎疫情期間，某區政府為了解本區居民對區政府防疫工作的滿意度，從本區居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分100分），根據調查數據制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評分在的居民有600人．
滿意度評分
滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數；
(2)定義滿意度指數，若，則防疫工作需要進行大調整，否則不需要大調整．根據所學知識判斷該區防疫工作是否帶要進行大調整？（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）
(3)為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評分在，中用分層抽樣的方法抽取6名居民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔任防疫工作的監督員，求這2人中僅有一人對防疫工作的評分在內的概率．
【解析】（1）由頻率分布直方圖得，
即，解得，
設總共調查了人，則，解得.
（2）由頻率分布直方圖知，各段的頻率分別為：，
所以，所以該區防疫工作不需要大的調整.
（3）由，
即不滿意的人數在兩段的人數分別為，
所以每段抽取的人數分別為，
即在第一段的人記作，第二段的人為，
所以抽取兩人的基本事件為：，共有15個，
僅由一人來自的基本事件有：，共有8個，
所以，這2人中僅有一人對防疫工作的評分在內的概率為.
5．（2024·高三·北京·階段練習）設離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)對任意與有相同可能取值的隨機變量，證明：，并指出取等號的充要條件
【解析】（1）不妨設，則.
所以
.
（2）當時，，
記
，
則
，
令，則，
令，則，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
所以，則單調遞增，而，
所以在為負數，在為正數，
則在單調遞減，在單調遞增，
所以的最小值為.
（3）令，則，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減；
所以，即，當且僅當時，等號成立，
則當時，，所以，即，
故，
當且僅當對所有的時等號成立.
6．（2024·高三·河南·期末）某國家隊要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022年的北京冬季奧運會，他們近期六次訓練成績如下表：
次序（） 1 2 3 4 5 6
甲（秒） 142 140 139 138 141 140
乙（秒） 138 142 137 139 143 141
(1)分別計算甲、乙兩人這六次訓練的平均成績，偏優均差；
(2)若，則稱甲、乙這次訓練的水平相當，現從這六次訓練中隨機抽取3次，求有兩次甲、乙水平相當的概率．
注：若數據中的最優數據為，定義為偏優均差．本題中的最優數據即最短時間．
【解析】（1）由題可知，
，
，
，
．
（2）六次訓練中只有第4，6次甲、乙水平相當，
從六次中任選三次的結果有
，
，
共20種，
其中有兩次甲、乙水平相當的結果有4種，
故所求概率．
7．（2024·全國·模擬預測）某醫科大學科研部門為研究退休人員是否患癡呆癥與上網的關系，隨機調查了市100位退休人員，統計數據如下表所示：
患癡呆癥 不患癡呆癥 合計
上網 16 32 48
不上網 34 18 52
合計 50 50 100
(1)依據的獨立性檢驗，能否認為該市退休人員是否患癡呆癥與上網之間有關聯？
(2)從該市退休人員中任取一位，記事件A為“此人患癡呆癥”，為“此人上網”，則為“此人不患癡呆癥”，定義事件A的強度，在事件發生的條件下A的強度．
（ｉ）證明：；
（ⅱ）利用抽樣的樣本數據，估計的值．
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】（1）
根據列聯表中的數據，得
，
根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認為該市退休人員是否患癡呆癥與上網之間有關聯，
此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．
（2），
所以，
故
．
（ⅱ）由樣本數據可得，
所以，所以估計的值為2．
8．（2024·高三·山西朔州·開學考試）某校20名學生的數學成績和知識競賽成績如下表：
學生編號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
數學成績 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知識競賽成績 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
學生編號i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
數學成績 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知識競賽成績 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
計算可得數學成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，.
(1)求這組學生的數學成績和知識競賽成績的樣本相關系數（精確到0.01）；
(2)設，變量和變量的一組樣本數據為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關系數”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數.
（i）記，.證明：；
（ii）用（i）的公式求得這組學生的數學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數”約為0.91，簡述“斯皮爾曼相關系數”在分析線性相關性時的優勢.
注：參考公式與參考數據.
；；.
【解析】（1）由題意，這組學生數學成績和知識競賽成績的樣本相關系數為
；
（2）（i）證明：因為和都是1，2，，的一個排列，所以
，
，
從而和的平均數都是．
因此，，
同理可得，
由于
，
所以.
（ii）這組學生的數學成績和知識競賽成績的斯皮爾曼相關系數是0.91，
答案①：斯皮爾曼相關系數對于異常值不太敏感，如果數據中有明顯的異常值，那么用斯皮爾曼相關系數比用樣本相關系數更能刻畫某種線性關系；
答案②：斯皮爾曼相關系數刻畫的是樣本數據排名的樣本相關系數，與具體的數值無關，只與排名有關．如果一組數據有異常值，但排名依然符合一定的線性關系，則可以采用斯皮爾曼相關系數刻畫線性關系．
9．（2024·高二·湖北·階段練習）“難度系數”反映試題的難易程度，難度系數越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數”的計算公式為，其中L為難度系數，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷（總分150分），用于對該校高二年級480名學生進行每周測試，測試前根據自己對學生的了解，預估了每套試卷的難度系數，如下表所示：
試卷序號i 1 2 3 4 5
考前預估難度系數 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
測試后，隨機抽取了50名學生的數據進行統計，結果如下：
試卷序號i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
(1)根據試卷2的預估難度系數估計這480名學生第2套試卷的平均分；
(2)試卷的預估難度系數和實測難度系數之間會有偏差，設為第i套試卷的實測難度系數，并定義統計量， 若，則認為試卷的難度系數預估合理，否則認為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數的預估是否合理．
(3)聰聰與明明是學習上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進行“智力競賽”，規則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計0分，先多得2分者為勝方.若在此次競賽中，聰聰選題時聰聰得分的概率為，明明選題時聰聰得分的概率為，各題的結果相互獨立，二人約定從0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率 .
【解析】（1）由題意，
由試卷2的難度系數，
解得平均失分：，
∴這480名學生第2套試卷的平均分為分；
（2）由題意及（1）得，
，，，
，，
則
，
∴這5套試卷難度系數的預估合理
（3）由題意及（1）（2）得，
聰聰先答對第一題：
聰聰沒先答對第一題：
∴聰聰3:1獲勝的概率聰聰3:1獲勝的概率：
10．（2024·高三·四川成都·開學考試）在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標可表示為n維坐標，其中．現有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：
(1)求出n維“立方體”的頂點數；
(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離
①求出X的分布列與期望；
②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．
（已知對于正態分布，P隨X變化關系可表示為）
【解析】（1）對于n維坐標有兩種選擇（）．
故共有種選擇，即個頂點
（2）①對于的隨機變量，在坐標與中有k個坐標值不同，
即，剩下個坐標值滿足．
此時所對應情況數為種．
即
故分布列為：
0 1 2 …
…
數學期望
倒序相加得
即．
②當n足夠大時，．
設正態分布，正態分布曲線為，
由定義知該正態分布期望為，方差為．
設題中分布列所形成的曲線為．
則當與均在處取最大值，若當時，
且，則可認為方差．
I．：當時，有
即．
II．
當n足夠大時，有
當時，
當時，
故．
綜上所述，可以認為．
11．（2024·高二·福建莆田·期末）為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區某種動物進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數據（單位：只）：
發病 沒發病 合計
接種疫苗 8 16 24
沒接種疫苗 17 9 26
合計 25 25 50
(1)能否有95%的把握認為接種該疫苗與預防該疾病有關？
(2)從該地區此動物群中任取一只，記表示此動物發病，表示此動物沒發病，表示此動物接種疫苗，定義事件的優勢，在事件發生的條件下的優勢.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用抽樣的樣本數據，給出，的估計值，并給出的估計值.附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解析】（1）根據聯表可得，
所以有95%的把握認為接種該疫苗與預防該疾病有關.
（2）（ⅰ）由于,
所以，，
故,故得證.
（ⅱ）由二聯表中的數據可得，，所以，
12．（2024·高一·山東濟南·期末）獨立事件是一個非?；A但又十分重要的概念，對于理解和應用概率論和統計學至關重要．它的概念最早可以追湖到17世紀的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬，當時被定義為彼此不相關的事件．19世紀初期，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率乘法公式．對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．
(1)若事件與事件相互獨立，證明：與相互獨立；
(2)甲、乙兩人參加數學節的答題活動，每輪活動由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率．
【解析】（1）證明：已知事件與事件相互獨立，則
因為，且事件與事件互斥
所以
所以
由事件的獨立性定義，與相互獨立；
（2）設分別表示甲在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件
分別表示乙在兩輪活動中答對1道題，答對2道題的事件
根據獨立性假定，得
設“甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題”，則
且與互斥，與，與分別相互獨立
所以
所以甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率時.
13．（2024·高二·浙江臺州·期末）袋中有大小、形狀完全相同的2個紅球，4個白球.采用放回摸球，從袋中摸出一個球，定義T變換為：若摸出的球是白球，把函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來倍，（縱坐標不變）；若摸出的是紅球，將函數圖象上所有的點向下平移1個單位.函數經過1次T變換后的函數記為，經過2次T變換后的函數記為，…，經過n次T變換后的函數記為.現對函數進行連續的T變換.
(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求；
(2)記，求隨機變量的分布列及數學期望.
【解析】（1）第一次從袋子中摸出的是白球，把函數變換為；
第二次從袋子中摸出的是紅球，把函數變換為；
所以.
（2）經過3次T變換后有3種情況，
若摸出的3個球都是白球，則，；
若摸出的3個球為2個白球1個紅球，則，；
若摸出的3個球為1個白球2個紅球，則，；
若摸出的3個球都是紅球，則，.
所以隨機變量X的取值為，
因為一次摸球取得為紅球的概率為，取得白球的概率為，
所以，，
，.
所以求隨機變量的分布列為
所以.
14．（2024·高三·上海寶山·階段練習）已知為正整數，對于給定的函數，定義一個次多項式如下:
(1)當時，求;
(2)當時，求;
(3)當時，求.
【解析】（1）若，則,
所以.
（2）若，則，
因為
,
所以
.
（3）若，則
.
15．（2024·高一·遼寧葫蘆島·期末）通信信號利用BEC信道傳輸，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號與發來的信號完全相同．若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號．傳輸技術有兩種：一種是傳統通信傳輸技術，采用多個信道各自獨立傳輸信號（以兩個信道為例，如圖1）．
另一種是華為公司5G信號現使用的土耳其通訊技術專家Erdal Arikan教授的發明的極化碼技術（以兩個信道為例，如圖2）．傳輸規則如下，信號直接從信道2傳輸；信號在傳輸前先與“異或”運算得到信號，再從信道1傳輸．若信道1與信道2均成功輸出，則兩信號通過“異或”運算進行解碼后，傳至接收端，若信道1輸出失敗信道2輸出成功，則接收端接收到信道2信號，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收端對信號進行自身“異或”運算而解碼后，傳至接收端．
（注：定義“異或”運算：）．假設每個信道傳輸成功的概率均為．
(1)對于傳統傳輸技術，求信號和中至少有一個傳輸成功的概率；
(2)對于Erdal Arikan教授的極化碼技術；
①求接收端成功接收信號的概率；
②若接收端接收到信號才算成功完成一次任務，求利用極化碼技術成功完成一次任務的概率．
【解析】（1）設“信號和中至少有一個傳輸成功”為事件，“信號傳輸成功”為事件“信號傳輸成功”為事件
則
（2）若信道1和信道2都傳輸成功，
由可得被成功接收，概率為；
若信道1傳輸成功，信道2傳輸失敗，
由可得被成功接收，接收失敗，概率為；
若信道2傳輸成功，信道1傳輸失敗，
可得被成功接收，接收失敗，概率為；
若信道1，2都傳輸失敗，
可得接收失敗，概率為；
①接收端成功接收信號的概率為；
②接收端接收到信號的概率為
16．（2024·高三·河南·階段練習）2020年新冠肺炎疫情期間，某區政府為了解本區居民對區政府防疫工作的滿意度，從本區居民中隨機抽取若干居民進行評分(滿分100分)，根據調查數據制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評分在[80，100]的居民有600人
滿意度評分
滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數;
(2)定義滿意度指數=(滿意程度的平均分)/100，若<0.8，則防疫工作需要進行大調整，否則不需要大調整.根據所學知識判斷該區防疫工作是否帶要進行大調整 (同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)
(3)為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評分在[40，50).[50，60)中用分層抽樣的方法抽取6名居民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔任防疫工作的監督員，列出抽取的所有基本事件并求這2人中僅有一人對防疫工作的評分在[40，50)內的概率
【解析】（1）解得.
（2）第一步求平均分
第二步滿意度指數 所以不需要.
（3）第一步求解在[40，50)的總人數 ,在[50，60)中的總人數,共抽取6人，所以在[40，50)的抽2人,記為；在[50，60)中抽4人，記為.所以抽取的所有基本事件有 共15個基本事件，其中僅有一人對防疫工作的評分在[40，50)內的基本事件有8個，所以概率為.
17．（2024·全國·模擬預測）受疫情 網購的影響，實體店的經營難度增大.某商場在開業時采取打折促銷 直播帶貨 增加商品體驗度等多種方式吸引顧客，力求提高商品銷售量.在開業后的前天，某商品第天的日銷售量（單位：件）的統計數據如下表：
時間 1 2 3 4 5
日銷售量/件 100 90 95 80 85
(1)經統計分析，日銷售量y與時間t之間具有線性相關關系，試用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；
(2)定義，其中是實際日銷售量，是預報日銷售量，，2，3，4，5.若，則認為線性回歸方程擬合效果優秀；若，則認為線性回歸方程擬合效果良好；若，則認為線性回歸方程擬合效果很差.試判斷第（1）問所求線性回歸方程的擬合效果.
參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
【解析】（1），，
，，
，，
所求線性回歸方程為.
（2）,，，
同理可得：，，，，
，∴,
，則認為線性回歸方程擬合效果優秀；
∴第（1）問所求線性回歸方程擬合效果優秀.
18．（2024·高三·陜西西安·階段練習）“難度系數”反映試題的難易程度，難度系數越大，題目得分率越高，難度也就越小“難度系數”的計算公式為，其中L為難度系數，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷（總分150分），用于對該校高二年級480名學生進行每周測試，測試前根據自己對學生的了解，預估了每套試卷的難度系數，如下表所示：
試卷序號i 1 2 3 4 5
考前預估難度系數 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
測試后，隨機抽取了50名學生的數據進行統計，結果如下：
試卷序號i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
（1）根據試卷2的難度系數估計這480名學生第2套試卷的平均分；
（2）從抽取的50名學生的5套試卷中隨機抽取2套試卷，求抽取的2套試卷中恰有1套學生的平均分超過96分的概率；
（3）試卷的預估難度系數和實測難度系數之間會有偏差，設為第i套試卷的實測難度系數，并定義統計量， 若，則認為試卷的難度系數預估合理，否則認為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數的預估是否合理．
【解析】（1）由試卷2的難度系數得，
解得平均失分，
所以根據試卷2的難度系數估計這480名學生第2套試卷的平均分為分；
（2）5套試卷中隨機抽取2套試卷，
，共10種情況，
恰有1套學生的平均分超過96分為共6種，
所以恰有1套學生的平均分超過96分的概率為；
（3），
，
，
，
，
則
，
所以這5套試卷難度系數的預估合理．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題03 概率與統計下的新定義
【題型歸納目錄】
題型一：二項式定理新定義
題型二：排列組合新定義
題型三：概率新定義
題型四：統計方法新定義
題型五：信息熵問題
【方法技巧與總結】
解概率與統計下的新定義題，就是要細讀定義關鍵詞，理解本質特征，適時轉化為“熟悉”問題．總之，解決此類問題，取決于已有知識、技能、數學思想的掌握和基本活動經驗的積累，還需要不斷的實踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題．
【典型例題】
題型一：二項式定理新定義
【典例1-1】（2024·湖南衡陽·二模）莫比烏斯函數在數論中有著廣泛的應用．所有大于1的正整數都可以被唯一表示為有限個質數的乘積形式：（為的質因數個數，為質數，），例如：，對應．現對任意，定義莫比烏斯函數
(1)求；
(2)若正整數互質，證明：；
(3)若且，記的所有真因數（除了1和以外的因數）依次為，證明：．
【典例1-2】（2024·安徽合肥·一模）“數”在量子代數研究中發揮了重要作用.設是非零實數，對任意，定義“數”利用“數”可定義“階乘”和“組合數”，即對任意，
(1)計算：；
(2)證明：對于任意，
(3)證明：對于任意，
【變式1-1】（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習）甲、乙、丙三人以正四棱錐和正三棱柱為研究對象，設棱長為，若甲從其中一個底面邊長和高都為2的正四棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構成三角形，定義隨機變量的值為其三角形的面積；若乙從正四棱錐（和甲研究的四棱錐一樣）的8條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?；若丙從正三棱柱的9條棱中任取2條，定義隨機變量的值為這兩條棱的夾角大?。ɑ《戎疲?
(1)比較三種隨機變量的數學期望大?。唬▍⒖紨祿?br/>(2)現單獨研究棱長，記（且），其展開式中含項的系數為，含項的系數為.
①若，對成立，求實數，，的值；
②對①中的實數，，用數字歸納法證明：對任意且，都成立.
題型二：排列組合新定義
【典例2-1】（2024·高三·北京·階段練習）設為正整數，集合.對于集合中的任意元素和，定義.
(1)當時，若，直接寫出所有使同時成立的的元素；
(2)當時，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同元素.求集合中元素個數的最大值；
(3)給定不小于2的，設是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，寫出一個集合，使其元素個數最多，并說明理由.
【典例2-2】（2024·高三·浙江·開學考試）一般地，元有序實數對稱為維向量.對于兩個維向量，定義：兩點間距離，利用維向量的運算可以解決許多統計學問題.其中，依據“距離”分類是一種常用的分類方法：計算向量與每個標準點的距離，與哪個標準點的距離最近就歸為哪類.某公司對應聘員工的不同方面能力進行測試，得到業務能力分值 管理能力分值 計算機能力分值 溝通能力分值（分值代表要求度，1分最低，5分最高）并形成測試報告.不同崗位的具體要求見下表：
崗位 業務能力分值 管理能力分值 計算機能力分值 溝通能力分值 合計分值
會計（1） 2 1 5 4 12
業務員（2） 5 2 3 5 15
后勤（3） 2 3 5 3 13
管理員（4） 4 5 4 4 17
對應聘者的能力報告進行四維距離計算，可得到其最適合的崗位.設四種能力分值分別對應四維向量的四個坐標.
(1)將這四個崗位合計分值從小到大排列得到一組數據，直接寫出這組數據的第三四分位數；
(2)小剛與小明到該公司應聘，已知：只有四個崗位的擬合距離的平方均小于20的應聘者才能被招錄.
（i）小剛測試報告上的四種能力分值為，將這組數據看成四維向量中的一個點，將四種職業的分值要求看成樣本點，分析小剛最適合哪個崗位；
（ii）小明已經被該公司招錄，其測試報告經公司計算得到四種職業的推薦率分別為，試求小明的各項能力分值.
題型三：概率新定義
【典例3-1】（2024·浙江·一模）混管病毒檢測是應對單管病毒檢測效率低下的問題，出現的一個創新病毒檢測策略，混管檢測結果為陰性，則參與該混管檢測的所有人均為陰性，混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中至少有一人為陽性．假設一組樣本有N個人，每個人患病毒的概率相互獨立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測，定義成本函數，這里X指該組樣本N個人中患病毒的人數．
(1)證明：；
(2)若，．證明：某混管檢測結果為陽性，則參與該混管檢測的人中大概率恰有一人為陽性．
【典例3-2】（2024·遼寧·模擬預測）條件概率與條件期望是現代概率體系中的重要概念.近年來，隨著人們對隨機現象的不斷觀察和研究，條件概率和條件期望已經被廣泛的利用到日常生產生活中.定義：設X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發生的概率．某射擊手進行射擊訓練，每次射擊擊中目標的概率均為p（），射擊進行到擊中目標兩次時停止.設表示第一次擊中目標時的射擊次數，表示第二次擊中目標時的射擊次數．
(1)求，；
(2)求，．
【變式3-1】（2024·福建漳州·一模）在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列，發送每個信號數字之間相互獨立．由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．
(1)記發送信號變量為，接收信號變量為，且滿足，，，求；
(2)當發送信號0時，接收為0的概率為，定義隨機變量的“有效值”為（其中是的所有可能的取值，），發送信號“000”的接收信號為“”，記為，，三個數字之和，求的“有效值”．（，）
題型四：統計方法新定義
【典例4-1】（2024·全國·模擬預測）某校20名學生的數學成績和知識競賽成績如下表：
學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
數學成績 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知識競賽成績 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
學生編號 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
數學成績 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知識競賽成績 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
計算可得數學成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，．
(1)求這組學生的數學成績和知識競賽成績的樣本相關系數（精確到）．
(2)設，變量和變量的一組樣本數據為，其中兩兩不相同，兩兩不相同．記在中的排名是第位，在中的排名是第位，．定義變量和變量的“斯皮爾曼相關系數”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數．
（i）記，．證明：．
（ii）用（i）的公式求這組學生的數學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數”（精確到）．
(3)比較（1）和（2）（ii）的計算結果，簡述“斯皮爾曼相關系數”在分析線性相關性時的優勢．
注：參考公式與參考數據．；；．
【典例4-2】（2024·全國·模擬預測）冰雪運動是深受學生喜愛的一項戶外運動，為了研究性別與學生是否喜愛冰雪運動之間的關系，從某高校男、女生中各隨機抽取100名進行問卷調查，得到如下列聯表．
喜愛 不喜愛
男生
女生
(1)當時，從樣本中不喜愛冰雪運動的學生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人調研不喜愛的原因，記這3人中女生的人數為，求的分布列與數學期望．
(2)定義，其中為列聯表中第行第列的實際數據，為列聯表中第行與第列的總頻率之積再乘以列聯表的總額數得到的理論頻數，如，．基于小概率值的檢驗規則：首先提出零假設（變量X，Y相互獨立），然后計算的值，當時，我們推斷不成立，即認為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為X和Y獨立．根據的計算公式，求解下面問題：
①當時，依據小概率值的獨立性檢驗，分析性別與是否喜愛冰雪運動有關？
②當時，依據小概率值的獨立性檢驗，若認為性別與是否喜愛冰雪運動有關，則至少有多少名男生喜愛冰雪運動？
附：
0.1 0.025 0.005
2.706 5.024 7.879
【變式4-1】（2024·高三·北京·期末）在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度，為答對該題的人數，為參加測試的總人數．現對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客觀題．測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如下表所示：
題號 1 2 3 4 5
考前預估難度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
測試后，隨機抽取了20名學生的答題數據進行統計，結果如下：
題號 1 2 3 4 5
實測答對人數 16 16 14 14 4
(1)根據題中數據，估計這240名學生中第5題的實測答對人數；
(2)從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數為X，求X的分布列和數學期望；
(3)定義統計量，其中為第題的實測難度，為第題的預估難度．規定：若，則稱該次測試的難度預估合理，否則為不合理．判斷本次測試的難度預估是否合理.
題型五：信息熵問題
【典例5-1】（2024·高三·河北·階段練習）信息熵是信息論之父香農（Shannon）定義的一個重要概念，香農在1948年發表的論文《通信的數學理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數學表達式：設隨機變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.
(1)當時，計算；
(2)若，判斷并證明當增大時，的變化趨勢；
(3)若，隨機變量所有可能的取值為，且，證明：.
【典例5-2】（2024·高三·河北·期末）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵 信源熵 平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數據流中的事件 樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發生的事情，當它發生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數的相反數是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數的底.采用概率分布的對數作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德 艾爾伍德 香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農滳.而正是信息熵的發現，使得1871年由英國物理學家詹姆斯 麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量所有取值為，定義的信息熵，（，）.
(1)若，試探索的信息熵關于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此時的信息熵.
【變式5-1】（2024·安徽合肥·模擬預測）在一個典型的數字通信系統中，由信源發出攜帶著一定信息量的消息，轉換成適合在信道中傳輸的信號，通過信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實際應用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸的信息失真.在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個取值的隨機變量，分別記作和.條件概率，描述了輸入信號和輸出信號之間統計依賴關系，反映了信道的統計特性.隨機變量的平均信息量定義為：.當時，信道疑義度定義為
(1)設有一非均勻的骰子，若其任一面出現的概率與該面上的點數成正比，試求扔一次骰子向上的面出現的點數的平均信息量；
(2)設某信道的輸入變量與輸出變量均取值0，1.滿足：.試回答以下問題：
①求的值；
②求該信道的信道疑義度的最大值.
【過關測試】
1．（2024·高三·全國·專題練習）定義：為不超過的最大整數部分，如，．甲、乙兩個學生高二的6次數學測試成績（測試時間為90分鐘，滿分100分）如下表所示：
高二成績 第1次考試 第2次考試 第3次考試 第4次考試 第5次考試 第6次考試
甲 68 74 77 84 88 95
乙 71 75 82 84 86 94
進入高三后，由于改進了學習方法，甲、乙這兩個學生的數學測試成績預計有了大的提升．設甲或乙高二的數學測試成績為，若，則甲或乙高三的數學測試成績預計為；若，則甲或乙高三的數學測試成績預計為100．
(1)試預測：在將要進行的高三6次數學測試成績（測試時間為90分鐘，滿分100分）中，甲、乙兩個學生的成績（填入下列表格內）；
高三成績 第1次考試 第2次考試 第3次考試 第4次考試 第5次考試 第6次考試
甲
乙
(2)記高三任意一次數學測試成績估計值為，規定：，記為轉換分為3分；，記為轉換分為4分；，記為轉換分為5分．現從乙的6次數學測試成績中任意抽取2次，求這2次成績的轉換分之和為8分的概率．
2．（2024·全國·一模）正態分布與指數分布均是用于描述連續型隨機變量的概率分布．對于一個給定的連續型隨機變量，定義其累積分布函數為．已知某系統由一個電源和并聯的，，三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立．
(1)已知電源電壓（單位：）服從正態分布，且的累積分布函數為，求；
(2)在數理統計中，指數分布常用于描述事件發生的時間間隔或等待時間．已知隨機變量（單位：天）表示某高穩定性元件的使用壽命，且服從指數分布，其累積分布函數為.
（?。┰O，證明：；
（ⅱ）若第天元件發生故障，求第天系統正常運行的概率．
附：若隨機變量服從正態分布，則，，．
3．為考查一種新的治療方案是否優于標準治療方案，現從一批患者中隨機抽取100名患者，均分為兩組，分別采用新治療方案與標準治療方案治療，記其中采用新治療方案與標準治療方案治療受益的患者數分別為和．在治療過程中，用指標衡量患者是否受益：若，則認為指標正常；若，則認為指標偏高；若，則認為指標偏低．若治療后患者的指標正常，則認為患者受益于治療方案，否則認為患者未受益于治療方案．根據歷史數據，受益于標準治療方案的患者比例為0.6．
(1)求和；
(2)統計量是關于樣本的函數，選取合適的統計量可以有效地反映樣本信息．設采用新治療方案治療第位的患者治療后指標的值為，，2，，50，定義函數：
（?。┖喪鲆韵陆y計量所反映的樣本信息，并說明理由．
①；
②；
（ⅱ）為確定新的治療方案是否優于標準治療方案，請在（?。┲械慕y計量中選擇一個合適的統計量，并根據統計量的取值作出統計決策．
4．（2024·高二·四川遂寧·期末）2020年新冠肺炎疫情期間，某區政府為了解本區居民對區政府防疫工作的滿意度，從本區居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分100分），根據調查數據制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評分在的居民有600人．
滿意度評分
滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數；
(2)定義滿意度指數，若，則防疫工作需要進行大調整，否則不需要大調整．根據所學知識判斷該區防疫工作是否帶要進行大調整？（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）
(3)為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評分在，中用分層抽樣的方法抽取6名居民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔任防疫工作的監督員，求這2人中僅有一人對防疫工作的評分在內的概率．
5．（2024·高三·北京·階段練習）設離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)對任意與有相同可能取值的隨機變量，證明：，并指出取等號的充要條件
6．（2024·高三·河南·期末）某國家隊要從男子短道速滑1500米的兩名種子選手甲、乙中選派一人參加2022年的北京冬季奧運會，他們近期六次訓練成績如下表：
次序（） 1 2 3 4 5 6
甲（秒） 142 140 139 138 141 140
乙（秒） 138 142 137 139 143 141
(1)分別計算甲、乙兩人這六次訓練的平均成績，偏優均差；
(2)若，則稱甲、乙這次訓練的水平相當，現從這六次訓練中隨機抽取3次，求有兩次甲、乙水平相當的概率．
注：若數據中的最優數據為，定義為偏優均差．本題中的最優數據即最短時間．
7．（2024·全國·模擬預測）某醫科大學科研部門為研究退休人員是否患癡呆癥與上網的關系，隨機調查了市100位退休人員，統計數據如下表所示：
患癡呆癥 不患癡呆癥 合計
上網 16 32 48
不上網 34 18 52
合計 50 50 100
(1)依據的獨立性檢驗，能否認為該市退休人員是否患癡呆癥與上網之間有關聯？
(2)從該市退休人員中任取一位，記事件A為“此人患癡呆癥”，為“此人上網”，則為“此人不患癡呆癥”，定義事件A的強度，在事件發生的條件下A的強度．
（ｉ）證明：；
（ⅱ）利用抽樣的樣本數據，估計的值．
附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
8．（2024·高三·山西朔州·開學考試）某校20名學生的數學成績和知識競賽成績如下表：
學生編號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
數學成績 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知識競賽成績 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270
學生編號i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
數學成績 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知識競賽成績 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
計算可得數學成績的平均值是，知識競賽成績的平均值是，并且，，.
(1)求這組學生的數學成績和知識競賽成績的樣本相關系數（精確到0.01）；
(2)設，變量和變量的一組樣本數據為，其中兩兩不相同，兩兩不相同.記在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定義變量和變量的“斯皮爾曼相關系數”（記為）為變量的排名和變量的排名的樣本相關系數.
（i）記，.證明：；
（ii）用（i）的公式求得這組學生的數學成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關系數”約為0.91，簡述“斯皮爾曼相關系數”在分析線性相關性時的優勢.
注：參考公式與參考數據.
；；.
9．（2024·高二·湖北·階段練習）“難度系數”反映試題的難易程度，難度系數越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數”的計算公式為，其中L為難度系數，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷（總分150分），用于對該校高二年級480名學生進行每周測試，測試前根據自己對學生的了解，預估了每套試卷的難度系數，如下表所示：
試卷序號i 1 2 3 4 5
考前預估難度系數 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
測試后，隨機抽取了50名學生的數據進行統計，結果如下：
試卷序號i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
(1)根據試卷2的預估難度系數估計這480名學生第2套試卷的平均分；
(2)試卷的預估難度系數和實測難度系數之間會有偏差，設為第i套試卷的實測難度系數，并定義統計量， 若，則認為試卷的難度系數預估合理，否則認為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數的預估是否合理．
(3)聰聰與明明是學習上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進行“智力競賽”，規則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計0分，先多得2分者為勝方.若在此次競賽中，聰聰選題時聰聰得分的概率為，明明選題時聰聰得分的概率為，各題的結果相互獨立，二人約定從0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率 .
10．（2024·高三·四川成都·開學考試）在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標表示，其中．而在n維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的項點坐標可表示為n維坐標，其中．現有如下定義：在n維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點與坐標差的絕對值之和，即為．回答下列問題：
(1)求出n維“立方體”的頂點數；
(2)在n維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離
①求出X的分布列與期望；
②證明：在n足夠大時，隨機變量X的方差小于．
（已知對于正態分布，P隨X變化關系可表示為）
11．（2024·高二·福建莆田·期末）為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區某種動物進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數據（單位：只）：
發病 沒發病 合計
接種疫苗 8 16 24
沒接種疫苗 17 9 26
合計 25 25 50
(1)能否有95%的把握認為接種該疫苗與預防該疾病有關？
(2)從該地區此動物群中任取一只，記表示此動物發病，表示此動物沒發病，表示此動物接種疫苗，定義事件的優勢，在事件發生的條件下的優勢.
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用抽樣的樣本數據，給出，的估計值，并給出的估計值.附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
12．（2024·高一·山東濟南·期末）獨立事件是一個非?；A但又十分重要的概念，對于理解和應用概率論和統計學至關重要．它的概念最早可以追湖到17世紀的布萊茲·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬，當時被定義為彼此不相關的事件．19世紀初期，皮埃爾·西蒙·拉普拉斯在他的《概率的分析理論》中給出了相互獨立事件的概率乘法公式．對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．
(1)若事件與事件相互獨立，證明：與相互獨立；
(2)甲、乙兩人參加數學節的答題活動，每輪活動由甲、乙各答一題，已知甲每輪答對的概率為，乙每輪答對的概率為．在每輪活動中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響，求甲乙兩人在兩輪活動中答對3道題的概率．
13．（2024·高二·浙江臺州·期末）袋中有大小、形狀完全相同的2個紅球，4個白球.采用放回摸球，從袋中摸出一個球，定義T變換為：若摸出的球是白球，把函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來倍，（縱坐標不變）；若摸出的是紅球，將函數圖象上所有的點向下平移1個單位.函數經過1次T變換后的函數記為，經過2次T變換后的函數記為，…，經過n次T變換后的函數記為.現對函數進行連續的T變換.
(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是紅球，求；
(2)記，求隨機變量的分布列及數學期望.
14．（2024·高三·上海寶山·階段練習）已知為正整數，對于給定的函數，定義一個次多項式如下:
(1)當時，求;
(2)當時，求;
(3)當時，求.
15．（2024·高一·遼寧葫蘆島·期末）通信信號利用BEC信道傳輸，若BEC信道傳輸成功，則接收端收到的信號與發來的信號完全相同．若BEC信道傳輸失敗，則接收端收不到任何信號．傳輸技術有兩種：一種是傳統通信傳輸技術，采用多個信道各自獨立傳輸信號（以兩個信道為例，如圖1）．
另一種是華為公司5G信號現使用的土耳其通訊技術專家Erdal Arikan教授的發明的極化碼技術（以兩個信道為例，如圖2）．傳輸規則如下，信號直接從信道2傳輸；信號在傳輸前先與“異或”運算得到信號，再從信道1傳輸．若信道1與信道2均成功輸出，則兩信號通過“異或”運算進行解碼后，傳至接收端，若信道1輸出失敗信道2輸出成功，則接收端接收到信道2信號，若信道1輸出成功信道2輸出失敗，則接收端對信號進行自身“異或”運算而解碼后，傳至接收端．
（注：定義“異或”運算：）．假設每個信道傳輸成功的概率均為．
(1)對于傳統傳輸技術，求信號和中至少有一個傳輸成功的概率；
(2)對于Erdal Arikan教授的極化碼技術；
①求接收端成功接收信號的概率；
②若接收端接收到信號才算成功完成一次任務，求利用極化碼技術成功完成一次任務的概率．
16．（2024·高三·河南·階段練習）2020年新冠肺炎疫情期間，某區政府為了解本區居民對區政府防疫工作的滿意度，從本區居民中隨機抽取若干居民進行評分(滿分100分)，根據調查數據制成如下表格和頻率分布直方圖，已知評分在[80，100]的居民有600人
滿意度評分
滿意度等級 不滿意 基本滿意 滿意 非常滿意
(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調查的總人數;
(2)定義滿意度指數=(滿意程度的平均分)/100，若<0.8，則防疫工作需要進行大調整，否則不需要大調整.根據所學知識判斷該區防疫工作是否帶要進行大調整 (同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)
(3)為了解部分居民不滿意的原因，從不滿意的居民評分在[40，50).[50，60)中用分層抽樣的方法抽取6名居民，傾聽他們的意見，并從6人中抽取2人擔任防疫工作的監督員，列出抽取的所有基本事件并求這2人中僅有一人對防疫工作的評分在[40，50)內的概率
17．（2024·全國·模擬預測）受疫情 網購的影響，實體店的經營難度增大.某商場在開業時采取打折促銷 直播帶貨 增加商品體驗度等多種方式吸引顧客，力求提高商品銷售量.在開業后的前天，某商品第天的日銷售量（單位：件）的統計數據如下表：
時間 1 2 3 4 5
日銷售量/件 100 90 95 80 85
(1)經統計分析，日銷售量y與時間t之間具有線性相關關系，試用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；
(2)定義，其中是實際日銷售量，是預報日銷售量，，2，3，4，5.若，則認為線性回歸方程擬合效果優秀；若，則認為線性回歸方程擬合效果良好；若，則認為線性回歸方程擬合效果很差.試判斷第（1）問所求線性回歸方程的擬合效果.
參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
18．（2024·高三·陜西西安·階段練習）“難度系數”反映試題的難易程度，難度系數越大，題目得分率越高，難度也就越小“難度系數”的計算公式為，其中L為難度系數，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷（總分150分），用于對該校高二年級480名學生進行每周測試，測試前根據自己對學生的了解，預估了每套試卷的難度系數，如下表所示：
試卷序號i 1 2 3 4 5
考前預估難度系數 0.7 0.64 0.6 0.6 0.55
測試后，隨機抽取了50名學生的數據進行統計，結果如下：
試卷序號i 1 2 3 4 5
平均分/分 102 99 93 93 87
（1）根據試卷2的難度系數估計這480名學生第2套試卷的平均分；
（2）從抽取的50名學生的5套試卷中隨機抽取2套試卷，求抽取的2套試卷中恰有1套學生的平均分超過96分的概率；
（3）試卷的預估難度系數和實測難度系數之間會有偏差，設為第i套試卷的實測難度系數，并定義統計量， 若，則認為試卷的難度系數預估合理，否則認為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數的預估是否合理．
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