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專(zhuān)題02 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)下的新定義
【題型歸納目錄】
題型一：曲率與曲率半徑問(wèn)題
題型二：曼哈頓距離與折線距離
題型三：雙曲正余弦函數(shù)問(wèn)題
題型四：凹凸函數(shù)
題型五：二元函數(shù)問(wèn)題
題型六：切線函數(shù)新定義
題型七：非典型新定義函數(shù)
【方法技巧與總結(jié)】
1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題主要分兩類(lèi)：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通常考查考生對(duì)函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸．
2、設(shè)為平面上兩點(diǎn)，則定義為“折線距離”“直角距離”或“曼哈頓距離”，記作．
結(jié)論1：設(shè)點(diǎn)為直線0外一定點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則
結(jié)論2：設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則．
【典型例題】
題型一：曲率與曲率半徑問(wèn)題
【典例1-1】（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）定義：若是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率；已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)處的曲率為；
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根為，…比較與的大小，并證明．
【典例1-2】（2024·浙江溫州·二模）如圖，對(duì)于曲線，存在圓滿(mǎn)足如下條件：
①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；
②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；
③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；
則稱(chēng)圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱(chēng)為曲率半徑．
(1)求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；
(2)求曲線的曲率半徑的最小值；
(3)若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．
【變式1-1】（2024·高三·浙江寧波·期末）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；
(2)求橢圓在處的曲率；
(3)定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．
【變式1-2】（2024·高三·遼寧·期中）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱(chēng)奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．
(1)求曲線在處的曲率的平方；
(2)求余弦曲線曲率的最大值；
題型二：曼哈頓距離與折線距離
【典例2-1】（2024·甘肅蘭州·一模）定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，那么稱(chēng)為A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離．
(1)已知點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)與點(diǎn)，的曼哈頓距離分別為，，求和的最小值；
(2)已知點(diǎn)N是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)N的曼哈頓距離的最小值記為，求的最大值；
(3)已知點(diǎn)，點(diǎn)（k，m，，e是自然對(duì)數(shù)的底），當(dāng)時(shí)，的最大值為，求的最小值．
【典例2-2】（2024·高三·廣西防城港·階段練習(xí)）若設(shè)為曼哈頓擴(kuò)張距離，它由個(gè)絕對(duì)值之和組成，其中為正整數(shù).如：
(1)若，求的取值范圍；
(2)若對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，設(shè)，，且，求的最大值.
【變式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車(chē)幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來(lái)的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過(guò)，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱(chēng)“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則
(1)①點(diǎn)，，求的值．
②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
(2)已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；
(3)設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．
題型三：雙曲正余弦函數(shù)問(wèn)題
【典例3-1】（2024·高三·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）定義：雙曲余弦函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)若函數(shù)在上的最小值為，求正實(shí)數(shù)的值；
(3)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程總有實(shí)根．
【典例3-2】（2024·高三·福建寧德·期末）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類(lèi)似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類(lèi)似的性質(zhì).
(1)類(lèi)比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫(xiě)出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:_____________.（只寫(xiě)出即可，不要求證明）；
(2)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，試比較與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
【變式3-1】（2024·上海寶山·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：，雙曲余弦函數(shù)：，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）解方程：；
（2）寫(xiě)出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類(lèi)似的展開(kāi)式：________，并證明；
（3）無(wú)窮數(shù)列，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.
【變式3-2】（2024·高三·江蘇鹽城·期末）懸鏈線(Catenary)指的是一種曲線，指兩端固定的一條(粗細(xì)與質(zhì)量分布)均勻，柔軟(不能伸長(zhǎng))的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方程是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式為，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為雙曲正弦函數(shù)，令．
(1)若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)已知函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在不同的，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
題型四：凹凸函數(shù)
【典例4-1】（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則稱(chēng)為凸函數(shù).若是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有琴生不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
(1)證明：在上為凹函數(shù)；
(2)設(shè)，且，求的最小值；
(3)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明：.（提示：可設(shè)）
【典例4-2】（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱(chēng)在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).
(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(2)若，判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【變式4-1】（2024·高三·廣東東莞·階段練習(xí)）記，為的導(dǎo)函數(shù).若對(duì)，，則稱(chēng)函數(shù)為D上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)為上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上有極值，求a的取值范圍.
題型五：二元函數(shù)問(wèn)題
【典例5-1】（2024·高三·湖南·階段練習(xí)）設(shè)是有序?qū)崝?shù)對(duì)構(gòu)成的非空集，是實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，按照某種確定的關(guān)系，在中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合到集合的一個(gè)二元函數(shù)，記作，其中稱(chēng)為二元函數(shù)的定義域.
(1)已知，若，求
(2)非零向量，若對(duì)任意的，記，都有，則稱(chēng)在上沿方向單調(diào)遞增.已知.請(qǐng)問(wèn)在上沿向量方向單調(diào)遞增嗎？為什么？
(3)設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿(mǎn)足：
①，都有，
②，使得.
那么，我們稱(chēng)是二元函數(shù)的最小值.求的最大值.
【典例5-2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對(duì)中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)．的值代入到中即為極值．
補(bǔ)充說(shuō)明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)．
(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求的最大值．
(3)①若為實(shí)數(shù)，且，證明：．
②設(shè)，求的最小值．
【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知變量x，y，z，當(dāng)x，y在某范圍D內(nèi)任取一組確定的值時(shí)，若變量z按照一定的規(guī)律f，總有唯一確定的x，y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)變量z為變量x，y的二元函數(shù)，記作．已知二元函數(shù)．
(1)若，求的最小值．
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
題型六：切線函數(shù)新定義
【典例6-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)和的圖象在處的兩條切線和平行，則稱(chēng)為函數(shù)和的“關(guān)聯(lián)切點(diǎn)”．
(1)證明：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，函數(shù)和的“關(guān)聯(lián)切點(diǎn)”有且只有一個(gè)；
(2)若兩條切線和之間的距離為1，證明：（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
【典例6-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足曲線在和處的切線重合，則稱(chēng)，為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”．
(1)直線是否為曲線的“雙重切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；
(3)已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（），證明：．
【變式6-1】（2024·高三·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點(diǎn)，則稱(chēng)為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．
(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)，求證：存在無(wú)窮多條“切線”；
(3)設(shè)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
【變式6-2】（2024·高三·上海·期中）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖像．若過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱(chēng)是函數(shù)的“度點(diǎn)”．
(1)判斷點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)若點(diǎn)是的“度點(diǎn)”，求自然數(shù)的值；
(3)求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．
題型七：非典型新定義函數(shù)
【典例7-1】（2024·高三·廣東佛山·階段練習(xí)）若對(duì)實(shí)數(shù)，函數(shù)、滿(mǎn)足，且，則稱(chēng)為“平滑函數(shù)”，為該函數(shù)的“平滑點(diǎn)”已知，．
(1)若1是平滑函數(shù)的“平滑點(diǎn)”，
（ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（ⅱ）若過(guò)點(diǎn)可作三條不同的直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
(2)判斷是否存在，使得對(duì)任意，函數(shù)存在正的“平滑點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．
【典例7-2】（2024·高三·上海·期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)．當(dāng)時(shí)，若是嚴(yán)格增函數(shù)，則稱(chēng)是一個(gè)“函數(shù)”．
(1)判斷函數(shù)是否為函數(shù)；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；否則，證明你的結(jié)論；
(3)已知，其中，證明：若是上的嚴(yán)格增函數(shù)，則對(duì)任意，都是函數(shù)．
【變式7-1】（2024·高三·上海普陀·階段練習(xí)）給出下列兩個(gè)定義：
I.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋移湓谏鲜强蓪?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱(chēng)該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.
II.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：
①；②，其中為兩個(gè)新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).
我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)稱(chēng)之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱(chēng)之為“自導(dǎo)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說(shuō)明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；
(2)已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；
(3)已知函數(shù).
①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；
②若，且定義，若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【變式7-2】（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．
(2)給定且，對(duì)于兩個(gè)大于1的正實(shí)數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足：，，使得不等式恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間D上的“優(yōu)化分解函數(shù)”．若，函數(shù)為區(qū)間上的“優(yōu)化分解函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2024·高三·江西·階段練習(xí)）記函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若（其中）恒成立，則稱(chēng)在上具有性質(zhì)．
(1)判斷函數(shù)（且）在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．
2．（2024·高三·河南鄭州·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域、值域都是有限集合，，則定義為集合A上的有限完整函數(shù).已知是定義在有限集合上的有限完整函數(shù).
(1)求的最大值；
(2)當(dāng)時(shí)，均有，求滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)；
(3)對(duì)于集合M上的有限完整函數(shù)，定義“閉環(huán)函數(shù)”如下：，對(duì)，且，.若，，，則稱(chēng)為“m階閉環(huán)函數(shù)”.證明：存在一個(gè)閉環(huán)函數(shù)既是3階閉環(huán)函數(shù)，也是4階閉環(huán)函數(shù)（用列表法表示的函數(shù)關(guān)系）.
3．（2024·黑龍江吉林·二模）設(shè)定義在函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：
①對(duì)于，總有，且，；
②對(duì)于，若，則.
(1)求；
(2)證明：；
(3)證明：當(dāng)時(shí)，.
4．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間值域?yàn)閰^(qū)間，若則稱(chēng)是的縮域函數(shù).
(1)若是區(qū)間的縮域函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)設(shè)為正數(shù)，且若是區(qū)間的縮域函數(shù)，證明：
（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減;
（ii）
5．（2024·高三·上海·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得和都成立，則稱(chēng)直線為函數(shù)與的“分界線”.
(1)若函數(shù)，，，求函數(shù)和的“分界線”；
(2)已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意的，恒成立.
①求實(shí)數(shù)的值；
②設(shè)函數(shù)，試探究函數(shù)與是否存在“分界線” 若存在，請(qǐng)加以證明，并求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
6．（2024·高三·上海·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則稱(chēng)為定義域上的“函數(shù)”．
(1)試判斷，是否為“函數(shù)”，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
(2)若是定義在區(qū)間上的“函數(shù)”求實(shí)數(shù)的取值范圍；
7．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).已知，且的不動(dòng)點(diǎn)的集合為.以和分別表示集合中的最小元素和最大元素.
(1)若，求的元素個(gè)數(shù)及；
(2)當(dāng)恰有一個(gè)元素時(shí)，的取值集合記為.
（i）求；
（ii）若，數(shù)列滿(mǎn)足，，集合，.求證：，.
8．（2024·安徽安慶·二模）取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù)．另外也稱(chēng)是x的整數(shù)部分，稱(chēng)為x的小數(shù)部分．
(1)直接寫(xiě)出和的值；
(2)設(shè)a，，證明：，且，并求在b的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；
(3)對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)a，a能唯一寫(xiě)為，其中為質(zhì)數(shù)，為整數(shù)，且對(duì)任意的，，i，，稱(chēng)該式為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式，例如100的標(biāo)準(zhǔn)分解式為．證明：在的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)（，，）的指數(shù)．
9．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)； 若存在，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)； 依此類(lèi)推，可以定義函數(shù)的 階不動(dòng)點(diǎn). 其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)不動(dòng)點(diǎn)，二階不動(dòng)點(diǎn)也稱(chēng)為穩(wěn)定點(diǎn).
(1)已知，求的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證： “為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；
(3)已知，討論函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).
10．（2024·高三·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)有兩個(gè)集合，如果對(duì)任意，存在唯一的，滿(mǎn)足，那么稱(chēng)是一個(gè)的函數(shù).設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，那么是的函數(shù)，稱(chēng)為和的復(fù)合，記為.如果兩個(gè)的函數(shù)對(duì)任意，都有，則稱(chēng).
(1)對(duì)，分別求一個(gè)，使得對(duì)全體恒成立；
(2)設(shè)集合和的函數(shù)以及的函數(shù).
（i）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿(mǎn)足；
（ii）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿(mǎn)足，并且說(shuō)明如果存在其它的集合滿(mǎn)足存在的函數(shù)以及的函數(shù)，滿(mǎn)足，則存在唯一的的函數(shù)滿(mǎn)足.
11．（2024·上海浦東新·二模）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖象．若過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱(chēng)是函數(shù)的“度點(diǎn)”．
(1)判斷點(diǎn)與點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，不需要說(shuō)明理由；
(2)已知，．證明：點(diǎn)是的0度點(diǎn)；
(3)求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．
12．（2024·高三·上海靜安·期末）如果函數(shù)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件，我們就稱(chēng)為型函數(shù)．
①對(duì)任意的，總有；
② 當(dāng)時(shí)，總有成立．
(1)記，求證：為型函數(shù)；
(2)設(shè)，記，若是型函數(shù)，求的取值范圍；
(3)是否存在型函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，都存在，使得等式成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
13．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，，以及函數(shù)，．若對(duì)任意的，總有，那么稱(chēng)可被“替代”（通常）．
(1)試給出一個(gè)可以“替代”函數(shù)的函數(shù)；
(2)試判斷是否可被直線， “替代”．
14．（2024·高三·上海靜安·階段練習(xí)）記、分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù).若存在滿(mǎn)足且，則稱(chēng)為函數(shù)與的一個(gè)“S點(diǎn)”.
(1)證明:函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”;
(2)若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值
(3)已知函數(shù)，對(duì)任意，判斷是否存在，使得函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.
15．（2024·高三·上海虹口·期末）已知與都是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，都有，則稱(chēng)是的一個(gè)“控制函數(shù)”．
(1)判斷是否為函數(shù)的一個(gè)控制函數(shù)，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解；
(3)設(shè)，函數(shù)是否存在控制函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出的所有控制函數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．（2024·上海長(zhǎng)寧·一模）若函數(shù)與滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，則稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.
(1)若，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由：
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若為嚴(yán)格減函數(shù)，，且函數(shù)的圖像是連續(xù)曲線，求證：是上的嚴(yán)格增函數(shù).
17．（2024·高三·上海·期中）設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù),如果對(duì)任意的,均成立,則稱(chēng)是“平緩函數(shù)”.
(1)若,試判斷是否為“平緩函數(shù)”并說(shuō)明理由;
(2)已知的導(dǎo)函數(shù)存在,判斷下列命題的真假:若是“平緩函數(shù)”,則,并說(shuō)明理由.
(3)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”,且是以為周期的周期函數(shù),證明:對(duì)任意的,均有.
18．（2024·高三·浙江·期中）對(duì)函數(shù)，若，使得成立，則稱(chēng)為關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)若，函數(shù)恒有關(guān)于參數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在兩個(gè)關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，試求參數(shù)的取值范圍.
19．（2024·高三·上海徐匯·期中）若函數(shù)與滿(mǎn)足：對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱(chēng)是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”，
(1)判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的值；
(3)若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
20．（2024·高三·安徽淮南·階段練習(xí)）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，.已知在處的階帕德近似為.注：
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：.
21．（2024·天津·一模）意大利畫(huà)家達(dá)芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么 這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類(lèi)比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：，②倍元關(guān)系：.
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：
(3)（i）證明：當(dāng)時(shí)，；
（ii）證明：.
22．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類(lèi)比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：①，②和角公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．
(1)直接寫(xiě)出，具有的類(lèi)似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；
(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)求的最小值．
23．（2024·高三·山東臨沂·期中）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱(chēng)奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．

(1)求曲線在處的曲率的平方；
(2)求余弦曲線曲率的最大值；
(3)若，判斷在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并寫(xiě)出證明過(guò)理．
24．（2024·全國(guó)·二模）曲線的曲率是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，曲線的曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，若記，則函數(shù)在點(diǎn)處的曲率為.
(1)求證：拋物線（）在處彎曲程度最大；
(2)已知函數(shù)，，，若，曲率為0時(shí)的最小值分別為，，求證：.
25．（2024·高三·山西太原·階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱(chēng)奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．
(1)求曲線在點(diǎn)處的曲率的值；
(2)求正弦曲線曲率的最大值．
26．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱(chēng)為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
27．（2024·高三·四川達(dá)州·階段練習(xí)）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱(chēng)為泰勒公式.設(shè)，，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
28．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
29．（2024·上海奉賢·一模）若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為 “增函數(shù)” ．
(1)求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；
(2)若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，若曲線在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)是“增函數(shù)”．
30．（2024·高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱(chēng)函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．
31．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.現(xiàn)已知.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)求函數(shù)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；
(2)求證：的圖像關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱(chēng)，并求的值.
32．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心．若，請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn).
（1）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心；
（2）計(jì)算.
33．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)拐點(diǎn).已知.
（1）求證：函數(shù)的拐點(diǎn)在直線上；
（2）時(shí)，討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
34．（2024·高三·全國(guó)·階段練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專(zhuān)題02 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)下的新定義
【題型歸納目錄】
題型一：曲率與曲率半徑問(wèn)題
題型二：曼哈頓距離與折線距離
題型三：雙曲正余弦函數(shù)問(wèn)題
題型四：凹凸函數(shù)
題型五：二元函數(shù)問(wèn)題
題型六：切線函數(shù)新定義
題型七：非典型新定義函數(shù)
【方法技巧與總結(jié)】
1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題主要分兩類(lèi)：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通常考查考生對(duì)函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸．
2、設(shè)為平面上兩點(diǎn)，則定義為“折線距離”“直角距離”或“曼哈頓距離”，記作．
結(jié)論1：設(shè)點(diǎn)為直線0外一定點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則
結(jié)論2：設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則．
【典型例題】
題型一：曲率與曲率半徑問(wèn)題
【典例1-1】（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）定義：若是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率；已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)處的曲率為；
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根為，…比較與的大小，并證明．
【解析】（1）由已知，
所以，解得（舍去），
所以；
（2）由（1）得，，
則，
對(duì)任意的，，即恒成立，
令，則，不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，，原不等式化為，
令，
則
，
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，
所以，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為；
（3），證明如下：
由已知方程可化為，
令，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故
，
，
所以存在唯一，使得，
又，，
則
由單調(diào)遞減可得，
所以.
【典例1-2】（2024·浙江溫州·二模）如圖，對(duì)于曲線，存在圓滿(mǎn)足如下條件：
①圓與曲線有公共點(diǎn)，且圓心在曲線凹的一側(cè)；
②圓與曲線在點(diǎn)處有相同的切線；
③曲線的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即曲線的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于）；
則稱(chēng)圓為曲線在點(diǎn)處的曲率圓，其半徑稱(chēng)為曲率半徑．
(1)求拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程；
(2)求曲線的曲率半徑的最小值；
(3)若曲線在和處有相同的曲率半徑，求證：．
【解析】（1）
記，設(shè)拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為，其中為曲率半徑．
則，，
故，，即，
所以拋物線在原點(diǎn)的曲率圓的方程為；
（2）設(shè)曲線在的曲率半徑為．則
法一：，
由知，，
所以 ，
故曲線在點(diǎn)處的曲率半徑，
所以，則，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．
法二：，，
所以，而，
所以，解方程可得，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故，曲線在點(diǎn)處的曲率半徑．
（3）法一：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，
故，
由題意知： 令，
則有，
所以，即，故．
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以．
法二：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，
有
令，則有，
則，故 ，
因?yàn)椋裕?br/>所以有，
令，則，即，
故，所以，即；
法三：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑．
故
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故有，
所以，
要證，即證，
即證 將 ，
下證：當(dāng)時(shí)，有，
設(shè)函數(shù)（其中），
則，
故單調(diào)遞增， ，
故，所以．
法四：函數(shù)的圖象在處的曲率半徑，
有，
設(shè)．
則有，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
故有，
所以，
要證，即證，
即證．將，
下證：當(dāng)時(shí)，有，
設(shè)函數(shù)（其中），
則，
故單調(diào)遞增，故 ，
故，所以．
【變式1-1】（2024·高三·浙江寧波·期末）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）
(1)求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；
(2)求橢圓在處的曲率；
(3)定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．
【解析】（1）．
（2），，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，則，則，其中（不妨）
令，在遞減，在遞增，故；
令，
，令，
則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
可得，即，
故有，
則在遞增，
又，，故，
故．
【變式1-2】（2024·高三·遼寧·期中）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱(chēng)奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．
(1)求曲線在處的曲率的平方；
(2)求余弦曲線曲率的最大值；
【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，，
所以，
故.
（2）因?yàn)椋瑒t，，
所以，
則，
令，則，，
設(shè)，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，則最大值為1，
所以的最大值為1．
題型二：曼哈頓距離與折線距離
【典例2-1】（2024·甘肅蘭州·一模）定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，那么稱(chēng)為A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離．
(1)已知點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)與點(diǎn)，的曼哈頓距離分別為，，求和的最小值；
(2)已知點(diǎn)N是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)N的曼哈頓距離的最小值記為，求的最大值；
(3)已知點(diǎn)，點(diǎn)（k，m，，e是自然對(duì)數(shù)的底），當(dāng)時(shí)，的最大值為，求的最小值．
【解析】（1），
則，即的最小值為；
，
則，即的最小值為.
（2）當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，
則當(dāng)時(shí)，
即；
當(dāng)時(shí)，，
即；
所以，又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值為.
（3）令，則，，
，
令，則在區(qū)間內(nèi)成立，
則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，
令，則在區(qū)間內(nèi)成立，
則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，
所以，
所以，
當(dāng)且時(shí)，取最小值，
的最小值
【典例2-2】（2024·高三·廣西防城港·階段練習(xí)）若設(shè)為曼哈頓擴(kuò)張距離，它由個(gè)絕對(duì)值之和組成，其中為正整數(shù).如：
(1)若，求的取值范圍；
(2)若對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，設(shè)，，且，求的最大值.
【解析】（1）依題意，，
當(dāng)時(shí)，，解得，于是，
當(dāng)時(shí)，，于是，
當(dāng)時(shí)，，解得，于是，
所以的取值范圍是.
（2）對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，
而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)柯西不等式得，
則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
【變式2-1】（2024·高三·北京·期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車(chē)幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來(lái)的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過(guò)，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱(chēng)“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則
(1)①點(diǎn)，，求的值．
②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
(2)已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；
(3)設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．
【解析】（1）①；
②設(shè)“曼哈頓單位圓”上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即.
（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上所述，的最小值為2.
（3）
如圖，為正方體，邊長(zhǎng)為1，則對(duì)應(yīng)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)，
當(dāng)四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)面上時(shí)，
（i）例如：，此時(shí)；
（ii）例如：，此時(shí)；
當(dāng)四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面時(shí)，
（iii）例如：，此時(shí)；
（iiii）例如：，此時(shí)；
（iiiii）例如：，此時(shí)；
（iiiiii）例如：，此時(shí)；
綜上所述，的最大值為2，例如：，，，.
題型三：雙曲正余弦函數(shù)問(wèn)題
【典例3-1】（2024·高三·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）定義：雙曲余弦函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)若函數(shù)在上的最小值為，求正實(shí)數(shù)的值；
(3)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程總有實(shí)根．
【解析】（1）依題意有
，
令，則.
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，
當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，
所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
函數(shù)有最小值．
（2）函數(shù)在上的最小值為，
即函數(shù)有最小值．
因?yàn)?br/>令，則，
因?yàn)樽钚≈禐椋裕獾茫?br/>所以正實(shí)數(shù)的值為．
（3）證明：令，定義域?yàn)椋?br/>則，
又，所以是奇函數(shù)，
因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，
所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于1，
所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br/>直線過(guò)定點(diǎn)，
如圖所示：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，直線與函數(shù)的圖象都有交點(diǎn)，
即對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程總有實(shí)根．
【典例3-2】（2024·高三·福建寧德·期末）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類(lèi)似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類(lèi)似的性質(zhì).
(1)類(lèi)比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫(xiě)出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:_____________.（只寫(xiě)出即可，不要求證明）；
(2)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，試比較與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
【解析】（1）.
（2）依題意，，不等式，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
又，于是，，
因此，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，從而，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3），.
依題意，，
，
當(dāng)時(shí)，，，即，
于是，而，因此，
當(dāng)時(shí)，，則，，
即，而，因此，
于是，，所以.
【變式3-1】（2024·上海寶山·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：，雙曲余弦函數(shù)：，（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）解方程：；
（2）寫(xiě)出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類(lèi)似的展開(kāi)式：________，并證明；
（3）無(wú)窮數(shù)列，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題意得：，即，解得：；
（2）
左邊，
右邊，
∴左邊等于右邊，即成立
（3）當(dāng)時(shí)，存在，使得，
由數(shù)學(xué)歸納法證明：，證明如下：
ⅰ）當(dāng)時(shí)，成立，
ⅱ）假設(shè)時(shí)，，則成立.
綜上：.
∴，有，即.
當(dāng)時(shí)，由，函數(shù)的值域?yàn)椋瑢?duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)，存在不為0的實(shí)數(shù)，使得，類(lèi)比余弦二倍角公式，猜測(cè).
證明如下：
.
類(lèi)比時(shí)的數(shù)學(xué)歸納法，由，易證，，…，，…，
∴若，設(shè)，則，解得：或，即，
∴，于是.
綜上：存在實(shí)數(shù)使得成立.
【變式3-2】（2024·高三·江蘇鹽城·期末）懸鏈線(Catenary)指的是一種曲線，指兩端固定的一條(粗細(xì)與質(zhì)量分布)均勻，柔軟(不能伸長(zhǎng))的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方程是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式為，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為雙曲正弦函數(shù)，令．
(1)若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)已知函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在不同的，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以是上的奇函數(shù)，
，即，
故，
所以，所以，
所以，
令在上單調(diào)遞增，，
所以在上單調(diào)遞減，
所以．
（2）任取，且，
則，
所以在上單調(diào)遞增．
又是偶函數(shù)，
所以時(shí)．
所以時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“"，
，且時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
且在上連續(xù)，
所以的取值范圍為，
因?yàn)閷?duì)任意的，總存在不同的，使得成立，
所以
所以，解得，
即的取值范圍為．
題型四：凹凸函數(shù)
【典例4-1】（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱(chēng)為上的凹函數(shù)；若，則稱(chēng)為凸函數(shù).若是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的，有琴生不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
(1)證明：在上為凹函數(shù)；
(2)設(shè)，且，求的最小值；
(3)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明：.（提示：可設(shè)）
【解析】（1）設(shè)，
則
，
所以在上為凹函數(shù).
（2）令，由（1）知在上為凹函數(shù)，所以函數(shù)在上也為凹函數(shù).
由琴生不等式，得，
即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為.
（3）設(shè)，因?yàn)椋裕?br/>要證，只需證，
由琴生不等式，只需證在上為凹函數(shù).
設(shè)，則，
下證，即證，
即證，
化簡(jiǎn)得，
即證
又式顯然成立，
所以成立，在上為凹函數(shù)，
則得證.
【典例4-2】（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱(chēng)在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).
(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；
(2)若，判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】（1）由可得其定義域?yàn)椋遥?br/>所以，
若在上為“凸函數(shù)”可得在恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然符合題意；
當(dāng)時(shí)，需滿(mǎn)足，可得；
綜上可得的取值范圍為；
（2）若，可得，所以，
令，則；
易知在區(qū)間上恒成立，
因此可得在上單調(diào)遞減；
顯然，；
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得存在使得，
因此可知當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞減；
又，顯然在上不存在零點(diǎn)；
而，結(jié)合單調(diào)性可得在上存在一個(gè)零點(diǎn)；
綜上可知，在區(qū)間上僅有1個(gè)零點(diǎn).
【變式4-1】（2024·高三·廣東東莞·階段練習(xí)）記，為的導(dǎo)函數(shù).若對(duì)，，則稱(chēng)函數(shù)為D上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)為上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)在上有極值，求a的取值范圍.
【解析】（1）由，得，，
由于函數(shù)為上的凸函數(shù)，故，
即，令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
故，
故a的取值范圍為；
（2）由，得，
函數(shù)在上有極值，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，
即在上有解，
令，
令，則，
即在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)x無(wú)限趨近于1時(shí)，無(wú)限接近于-1，，
故存在，使得，
且時(shí)，，時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，由于，
故，，
而在時(shí)單調(diào)遞減，故，
故，即a的取值范圍為.
題型五：二元函數(shù)問(wèn)題
【典例5-1】（2024·高三·湖南·階段練習(xí)）設(shè)是有序?qū)崝?shù)對(duì)構(gòu)成的非空集，是實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合中的任意一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，按照某種確定的關(guān)系，在中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合到集合的一個(gè)二元函數(shù)，記作，其中稱(chēng)為二元函數(shù)的定義域.
(1)已知，若，求
(2)非零向量，若對(duì)任意的，記，都有，則稱(chēng)在上沿方向單調(diào)遞增.已知.請(qǐng)問(wèn)在上沿向量方向單調(diào)遞增嗎？為什么？
(3)設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿(mǎn)足：
①，都有，
②，使得.
那么，我們稱(chēng)是二元函數(shù)的最小值.求的最大值.
【解析】（1）由已知有，
則；
（2），
，
又，
，
故在上沿向量方向單調(diào)遞增；
（3）由題意可類(lèi)似的知道的最大值的含義，
，其中，
（或者直接使用柯西不等式，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).）
故，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，（或當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
又，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性易知當(dāng)或2時(shí)，函數(shù)取最大值為.
【典例5-2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對(duì)中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)．的值代入到中即為極值．
補(bǔ)充說(shuō)明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)．
(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求的最大值．
(3)①若為實(shí)數(shù)，且，證明：．
②設(shè)，求的最小值．
【解析】（1）函數(shù)，對(duì)變量求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，.
（2）令，
則，解得或，
于是函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)是，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)極值為函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)極值為函數(shù)，
方程視為關(guān)于x的方程：，則，解得，
視為關(guān)于y的方程：，則，解得，
因此函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖形是封閉的，而，
所以的最大值為.
（3）①由，，設(shè)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以.
②當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以時(shí)，取得最小值4.
【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知變量x，y，z，當(dāng)x，y在某范圍D內(nèi)任取一組確定的值時(shí)，若變量z按照一定的規(guī)律f，總有唯一確定的x，y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)變量z為變量x，y的二元函數(shù)，記作．已知二元函數(shù)．
(1)若，求的最小值．
(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1）依題意得．
∵，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值為9．
（2）．
∵恒成立，∴，
當(dāng)時(shí)，恒成立．
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
題型六：切線函數(shù)新定義
【典例6-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)和的圖象在處的兩條切線和平行，則稱(chēng)為函數(shù)和的“關(guān)聯(lián)切點(diǎn)”．
(1)證明：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，函數(shù)和的“關(guān)聯(lián)切點(diǎn)”有且只有一個(gè)；
(2)若兩條切線和之間的距離為1，證明：（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
【解析】（1），，
則，．
設(shè)為函數(shù)和的一個(gè)“關(guān)聯(lián)切點(diǎn)”，
則，即 ①，
則有，，．
令，，
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
所以當(dāng)a為正實(shí)數(shù)時(shí)，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
即方程有且僅有一個(gè)正根．
所以對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，函數(shù)和的“關(guān)聯(lián)切點(diǎn)”有且只有一個(gè)．
（2）易知，
又，即，
切線，即．
由題意知，化簡(jiǎn)得．
令，，
因?yàn)楹愠闪ⅲ栽谏蠁握{(diào)遞增，
且，，所以．
由①式知，所以．
由的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，
所以，
再由函數(shù)在單調(diào)遞增，
即可得，得證.
【典例6-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足曲線在和處的切線重合，則稱(chēng)，為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”．
(1)直線是否為曲線的“雙重切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；
(3)已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（），證明：．
【解析】（1）
的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，直線的斜率為2，
令，解得，不妨設(shè)切點(diǎn)，
則點(diǎn)處的切線方程為，即，
點(diǎn)處的切線方程為，即，
所以直線是曲線的“雙重切線”.
（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
設(shè)切點(diǎn)，則存在，使得，
則在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，
因此，消去可得，
令，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)的零點(diǎn)為，因此，
所以曲線的“雙重切線”的方程為.
（3）設(shè)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，
由，得，，
由誘導(dǎo)公式及余弦函數(shù)的周期性知，只需考慮，，其中，
由及余弦函數(shù)在上遞增知，，
則，
，
因此，又，，
則，同理，
令，求導(dǎo)得，
則在上單調(diào)遞增，顯然，且，
函數(shù)在上的值域?yàn)椋春瘮?shù)在上存在零點(diǎn)，則有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即.
【變式6-1】（2024·高三·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點(diǎn)，則稱(chēng)為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．
(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)，求證：存在無(wú)窮多條“切線”；
(3)設(shè)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
【解析】（1）記，則，設(shè)切點(diǎn)為，
由切線方程為知，則，解得．
所以切點(diǎn)為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，
將與函數(shù)聯(lián)立，得．
記，則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故是一條“切線”；
（2）因?yàn)椋裕?br/>則點(diǎn)處的切線方程為，
將點(diǎn)處的切線的方程與聯(lián)立得，
記，
則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（此時(shí)，一個(gè)對(duì)應(yīng)一條“切線”），顯然是的零點(diǎn)，
故只要沒(méi)其它零點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故此時(shí)為唯一的極小值點(diǎn)（也是最小值點(diǎn)），而，
故無(wú)其他零點(diǎn)，故直線為“切線”，因?yàn)榈娜我庑裕?br/>故函數(shù)存在無(wú)窮多條“切線”，
（3）因?yàn)椋瑒t，
設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
則點(diǎn)的切線為，與聯(lián)立得：
，
由題意得直線為“切線”，故方程在上有且僅有一解，
則或，
若，則是方程的唯一解（此時(shí)有無(wú)數(shù)條“切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為上的任意值）．
若，則（此時(shí)只有一條“切線”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為）
或（此時(shí)有無(wú)數(shù)條“切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為上的任意值），
綜上，，即證．
【變式6-2】（2024·高三·上海·期中）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖像．若過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱(chēng)是函數(shù)的“度點(diǎn)”．
(1)判斷點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)若點(diǎn)是的“度點(diǎn)”，求自然數(shù)的值；
(3)求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．
【解析】（1）設(shè)，由得在處的切線斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
點(diǎn)代入切線方程，，即，因?yàn)椋裕?
則該切線過(guò)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).
故點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn).
（2）設(shè)，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
該切線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即①.
設(shè)，其中.
則當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上嚴(yán)格遞增.
而，因此當(dāng)時(shí)，，故①恒不成立，即點(diǎn)是的一個(gè)0度點(diǎn)，也即.
（3）對(duì)任意，由得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)，等價(jià)于“關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解”.
設(shè)，等價(jià)于“函數(shù)兩個(gè)不同的零點(diǎn)”.
若，則在R上嚴(yán)格遞增，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不符合要求；
若時(shí)，因?yàn)椋獾糜袃蓚€(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，由或時(shí)，得嚴(yán)格遞增；
而當(dāng)時(shí)，得嚴(yán)格遞減.
故在時(shí)，取得極大值，在時(shí)取得極小值.
故當(dāng)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)或.
若，同理可得有兩個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)或.
綜上所述：的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為或.
題型七：非典型新定義函數(shù)
【典例7-1】（2024·高三·廣東佛山·階段練習(xí)）若對(duì)實(shí)數(shù)，函數(shù)、滿(mǎn)足，且，則稱(chēng)為“平滑函數(shù)”，為該函數(shù)的“平滑點(diǎn)”已知，．
(1)若1是平滑函數(shù)的“平滑點(diǎn)”，
（ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（ⅱ）若過(guò)點(diǎn)可作三條不同的直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
(2)判斷是否存在，使得對(duì)任意，函數(shù)存在正的“平滑點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．
【解析】（1）（ⅰ）由，，
得，，
因?yàn)?是平滑函數(shù)的“平滑點(diǎn)”，則，解得．
（ⅱ）由題意，，
過(guò)點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程：，
故題意等價(jià)于方程：有3個(gè)不同根，
設(shè)，則，
令，得；令，得或，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br/>且當(dāng)時(shí)，，如圖所示
所以．
（2）題意等價(jià)于：是否，使得對(duì)，有解，
消去a，得，，由，可得，
故題意等價(jià)于是否，使得時(shí)，成立，
又∵當(dāng)時(shí)，，
故題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，是否有解，
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，
∴有解，即存在滿(mǎn)足題意的a．
【典例7-2】（2024·高三·上海·期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)．當(dāng)時(shí)，若是嚴(yán)格增函數(shù)，則稱(chēng)是一個(gè)“函數(shù)”．
(1)判斷函數(shù)是否為函數(shù)；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)是函數(shù)？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；否則，證明你的結(jié)論；
(3)已知，其中，證明：若是上的嚴(yán)格增函數(shù)，則對(duì)任意，都是函數(shù)．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，不是嚴(yán)格增函數(shù)，
故不是函數(shù)；
（2）令，
當(dāng)時(shí)，由，得，
令，，
則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
所以，
故此時(shí)，得，從而嚴(yán)格增.
當(dāng)時(shí)，，后者嚴(yán)格增，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
從而上，嚴(yán)格增，
故為所求.
（3），
令，，
若“嚴(yán)格增”等同于（或），
當(dāng)時(shí)，恒成立，故符合要求，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
當(dāng)時(shí)，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
故在與上分別嚴(yán)格增，且當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.故此時(shí)也是R上的嚴(yán)格增函數(shù).
綜上：，
下設(shè).則對(duì)任意，.
令，則.
當(dāng)時(shí)，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).
因，故同上可知，為上的嚴(yán)格增函數(shù)，且.
因而，當(dāng)時(shí)，從而為函數(shù).
【變式7-1】（2024·高三·上海普陀·階段練習(xí)）給出下列兩個(gè)定義：
I.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋移湓谏鲜强蓪?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱(chēng)該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.
II.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：
①；②，其中為兩個(gè)新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).
我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)稱(chēng)之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱(chēng)之為“自導(dǎo)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說(shuō)明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；
(2)已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；
(3)已知函數(shù).
①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；
②若，且定義，若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）對(duì)于函數(shù)，則，
這兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，
所以函數(shù)為“同定義域函數(shù)”，此時(shí)，，
由函數(shù)的定義，對(duì)于，無(wú)法同時(shí)成立，
所以為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，其“自導(dǎo)函數(shù)”為，
對(duì)于函數(shù)，則，
因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是“同定義函數(shù)”.
（2）若成立，，則，
設(shè)，則，所以為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，
又設(shè)，則，所以為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，
但不是常值函數(shù)，所以不是的必要條件；
若成立，則，所以，所以，
所以不成立，所以是的既不充分也不必要條件.
（3）①由題意，，且，
所以，所以；
②由題意，所以且，
令，
可得，且，
因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，且，
所以存在使得，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
（i）當(dāng)時(shí)，即，
所以，
此時(shí)，在上單調(diào)遞增，可得；
（ii）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又由，所以；
（iii）當(dāng)且時(shí)，，
所以函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
若，即時(shí)，極大值點(diǎn)為；
若，即時(shí)，極大值點(diǎn)為，
則為函數(shù)的極大值或，
由當(dāng)時(shí)，，
令，則，
設(shè)，
則，
所以，即單調(diào)遞增，所以，
所以單調(diào)遞增，所以，
綜上可得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【變式7-2】（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．
(2)給定且，對(duì)于兩個(gè)大于1的正實(shí)數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足：，，使得不等式恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間D上的“優(yōu)化分解函數(shù)”．若，函數(shù)為區(qū)間上的“優(yōu)化分解函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，①
令，解得或．當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．②
當(dāng)時(shí)，恒成立，
∴在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴在上恒成立，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，．③
當(dāng)時(shí)，有，
，
得，同理．
∴由的單調(diào)性知，，
從而有，符合題意．④
當(dāng)時(shí)，，
，
由的單調(diào)性知，
∴，與題意不符．
當(dāng)時(shí)，同理可得，，
故由的單調(diào)性知，
得，與題意不符．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2024·高三·江西·階段練習(xí)）記函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，若（其中）恒成立，則稱(chēng)在上具有性質(zhì)．
(1)判斷函數(shù)（且）在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．
【解析】（1）令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不具有性質(zhì)．
（2）因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)樵谔幦〉脴O值，且為奇函數(shù)，
所以在處也取得極值，則，解得，
所以，可得，
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足在處取得極值，
所以，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以，存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)，且的取值范圍是．
（3）因?yàn)椋裕矗?br/>令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br/>所以存在，使，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，
由，有，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)楹愠闪ⅲ裕?br/>因?yàn)榍遥缘淖畲笾禐椋?br/>2．（2024·高三·河南鄭州·階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域、值域都是有限集合，，則定義為集合A上的有限完整函數(shù).已知是定義在有限集合上的有限完整函數(shù).
(1)求的最大值；
(2)當(dāng)時(shí)，均有，求滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)；
(3)對(duì)于集合M上的有限完整函數(shù)，定義“閉環(huán)函數(shù)”如下：，對(duì)，且，.若，，，則稱(chēng)為“m階閉環(huán)函數(shù)”.證明：存在一個(gè)閉環(huán)函數(shù)既是3階閉環(huán)函數(shù)，也是4階閉環(huán)函數(shù)（用列表法表示的函數(shù)關(guān)系）.
【解析】（1）
由題意得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的最大值為140；
（2）由題意知，
從集合M中任取5個(gè)數(shù)，記為，共有中取法，然后剩余的兩個(gè)數(shù)全排列，
故共有個(gè)滿(mǎn)足條件；
（3）證明：以下面表格作為的函數(shù)關(guān)系：
x 1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 6 7 4
，
故為3階閉環(huán)函數(shù)；
又，
故也為4階閉環(huán)函數(shù)，
故原命題得證.
3．（2024·黑龍江吉林·二模）設(shè)定義在函數(shù)滿(mǎn)足下列條件：
①對(duì)于，總有，且，；
②對(duì)于，若，則.
(1)求；
(2)證明：；
(3)證明：當(dāng)時(shí)，.
【解析】（1）因?yàn)閷?duì)于，，所以；
因?yàn)閷?duì)于，若，則，
取，則，故；
綜上，.
（2）對(duì)于，且時(shí)，
有，，
根據(jù)條件②，得，
因?yàn)楦鶕?jù)條件①，得，則，
所以，
即，
所以
.
（3）由（2）知，
設(shè)，且，則，
因?yàn)?br/>，所以，
所以在上為不減函數(shù)，
對(duì)于任意，則必存在正整數(shù)，使得，
所以，
由（2）知，
由（1）知，又，所以，
所以，所以時(shí)，，
因?yàn)闀r(shí)，，且，
所以，即.
4．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間值域?yàn)閰^(qū)間，若則稱(chēng)是的縮域函數(shù).
(1)若是區(qū)間的縮域函數(shù)，求a的取值范圍；
(2)設(shè)為正數(shù)，且若是區(qū)間的縮域函數(shù)，證明：
（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減;
（ii）
【解析】（1）若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則，；
即，解得；
可得，則；
令，則；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.
所以，解得，
下面證明，即，也即；
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
因此可得，所以，
綜上a的取值范圍為
（2）（i）當(dāng)時(shí),若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則，
即，進(jìn)一步，
當(dāng)時(shí)，，即，；
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
（ii）若是區(qū)間的縮域函數(shù)，則；
故有，即；
設(shè)函數(shù)，則；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
因?yàn)闉檎龜?shù)且則，又，
所以在上單調(diào)遞減，所以；
記，設(shè)，且，由的單調(diào)性可知，故；
記，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
故，即；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，即；
由，故，
所以，又因?yàn)椋?br/>故.
5．（2024·高三·上海·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得和都成立，則稱(chēng)直線為函數(shù)與的“分界線”.
(1)若函數(shù)，，，求函數(shù)和的“分界線”；
(2)已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意的，恒成立.
①求實(shí)數(shù)的值；
②設(shè)函數(shù)，試探究函數(shù)與是否存在“分界線” 若存在，請(qǐng)加以證明，并求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）
令，
取，則，
進(jìn)而有，即且，
解得，
故函數(shù)和的“分界線”為.
（2）①因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，
所以對(duì)恒成立，
令，∴，
當(dāng)時(shí)，恒成立，從而在上單調(diào)遞減，
又，所當(dāng)時(shí)，與題意矛盾，舍去；
當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解圖，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴.
由題意可知，即，也即，
令，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，從而.
又，所以，此時(shí).
②設(shè)，
則.
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.
∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
∴.
∴函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn).
設(shè)與存在“分界線”且方程為：.
令函數(shù).
（i）由，即在上恒成立，
即在上恒成立，
此時(shí)成立，
∴，故.
（ⅱ）下面再證明：恒成立.
設(shè)，則.
∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.
∴時(shí)，取最大值，則恒成立.
綜上（ⅰ）和（ⅱ）知且，
故函數(shù)與存在分界線為，
此時(shí)，.
6．（2024·高三·上海·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則稱(chēng)為定義域上的“函數(shù)”．
(1)試判斷，是否為“函數(shù)”，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
(2)若是定義在區(qū)間上的“函數(shù)”求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【解析】（1）根據(jù)題意，，可得，故是“函數(shù)”；
（2）因?yàn)闉椤昂瘮?shù)”，所以存在，使，
即，
整理得在有解．
因?yàn)椋裕傻茫?br/>結(jié)合在上恒成立，可得，
綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
7．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則稱(chēng)為的不動(dòng)點(diǎn).已知，且的不動(dòng)點(diǎn)的集合為.以和分別表示集合中的最小元素和最大元素.
(1)若，求的元素個(gè)數(shù)及；
(2)當(dāng)恰有一個(gè)元素時(shí)，的取值集合記為.
（i）求；
（ii）若，數(shù)列滿(mǎn)足，，集合，.求證：，.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?
由得.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，
注意到，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，
又，所以，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，
即在恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，在恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
所以，所以的元素個(gè)數(shù)為，
又因?yàn)椋?
（2）（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，有兩個(gè)元素，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br/>由得.
設(shè)，，則，
設(shè)，則，
①當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
又，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，
即在恰有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)，故恰有兩個(gè)零點(diǎn).
又因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
注意到，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，
且，
又時(shí)，，所以在恰有一個(gè)零點(diǎn)，
從而至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，不符合題意；
所以的取值范圍為，即集合.
（ii）由（i）知，，所以，
此時(shí)，，，由（i）知，在單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，
故若，則，因此，若存在正整數(shù)使得，則，從而，
重復(fù)這一過(guò)程有限次后可得，與矛盾，從而，，
下面我們先證明當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，
所以，所以在單調(diào)遞減，
所以，
即當(dāng)時(shí)，，
從而當(dāng)時(shí)，，
從而，即，
故，即，
由于，，所以，，
故，
故時(shí)，，
所以，故.
解法二：（i）當(dāng)時(shí)，，故是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由，得（*），
要使得恰有一個(gè)元素，即方程有唯一解，因此方程（*）無(wú)實(shí)數(shù)解，
即直線與曲線無(wú)公共點(diǎn).
令，則，令，
則，
所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
令，則，，
則
，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以曲線的大致圖象如圖所示：
由圖可知，，所以的取值范圍為，即集合.
（ii）由（i）知，，所以，
此時(shí)，，
令，則，
令，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
所以在單調(diào)遞增，所以，
故若，則，因此，若存在正整數(shù)使得，則，從而，
重復(fù)這一過(guò)程有限次后可得，與矛盾，從而，.
下面先證明當(dāng)時(shí)，.
令，則，
所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.
所以
，
由于，所以，
故，即，
故，
故時(shí)，.
所以，故.
（ii）解法三：同解法一可得，.
下面我們先證明當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以，即，
從而當(dāng)時(shí)，，
于是，
從而，即，
故，即，
由于，所以，
故，
故時(shí)，.
所以.
故.
8．（2024·安徽安慶·二模）取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù)．另外也稱(chēng)是x的整數(shù)部分，稱(chēng)為x的小數(shù)部分．
(1)直接寫(xiě)出和的值；
(2)設(shè)a，，證明：，且，并求在b的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；
(3)對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù)a，a能唯一寫(xiě)為，其中為質(zhì)數(shù)，為整數(shù)，且對(duì)任意的，，i，，稱(chēng)該式為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式，例如100的標(biāo)準(zhǔn)分解式為．證明：在的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)（，，）的指數(shù)．
【解析】（1）由，故，故，
；
（2）因?yàn)椋仁絻蛇呁瑫r(shí)乘b，得，
因?yàn)閍，b都為整數(shù)，所以也為整數(shù)，
又，所以，所以，即得證，
假設(shè)b，，…，都小于等于a，，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
因?yàn)椋裕詁的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè)；
（3），將2，3，…，n每一個(gè)數(shù)都分解為質(zhì)因數(shù)的乘積．
對(duì)于質(zhì)因數(shù)，利用（2）中結(jié)論，的倍數(shù)中不大于n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，記為，
將這些數(shù)都提取出來(lái)，此時(shí)p的倍數(shù)中還有可以提取出的數(shù)，
注意到的倍數(shù)中不大于n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，記為，將這些數(shù)提取出來(lái)；
同理，的倍數(shù)中不大于n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，記為，
依此這樣進(jìn)行下去，
則質(zhì)因數(shù)的指數(shù)，即得證．
9．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)； 若存在，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)； 依此類(lèi)推，可以定義函數(shù)的 階不動(dòng)點(diǎn). 其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)不動(dòng)點(diǎn)，二階不動(dòng)點(diǎn)也稱(chēng)為穩(wěn)定點(diǎn).
(1)已知，求的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證： “為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；
(3)已知，討論函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù).
【解析】（1）設(shè)，則恒成立，
故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
又，故函數(shù)在R上有唯一零點(diǎn)，
即有唯一不動(dòng)點(diǎn)1；
（2）證明：充分性：設(shè)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則，
則，即為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，充分性成立；
必要性：設(shè)為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，即，
假設(shè)，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
若，則，與矛盾；
若，則，與矛盾；
故必有，即，
即，故為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，
綜上， “為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)”是“為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由（2）知的穩(wěn)定點(diǎn)與的不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)，故只需研究的不動(dòng)點(diǎn)即可；
令，
則，則在上單調(diào)遞減，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮小，且，
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此時(shí)有唯一不動(dòng)點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
當(dāng)x趨向無(wú)窮大時(shí)，趨近于0，此時(shí)，
存在唯一，使得，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)x趨向正無(wú)窮大時(shí)，趨向于負(fù)無(wú)窮大，
設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，
又在時(shí)單調(diào)遞增，
故（i）當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)，方程有一個(gè)解，即有唯一不動(dòng)點(diǎn)；
（ii）當(dāng)shi ，即，
此時(shí)，方程無(wú)解，即無(wú)不動(dòng)點(diǎn)；
（iii）當(dāng)時(shí)，即，
此時(shí)，方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；
綜上，當(dāng)時(shí)或時(shí)，有唯一穩(wěn)定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，無(wú)穩(wěn)定點(diǎn)；
當(dāng)，有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)；
10．（2024·高三·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)有兩個(gè)集合，如果對(duì)任意，存在唯一的，滿(mǎn)足，那么稱(chēng)是一個(gè)的函數(shù).設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，那么是的函數(shù)，稱(chēng)為和的復(fù)合，記為.如果兩個(gè)的函數(shù)對(duì)任意，都有，則稱(chēng).
(1)對(duì)，分別求一個(gè)，使得對(duì)全體恒成立；
(2)設(shè)集合和的函數(shù)以及的函數(shù).
（i）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿(mǎn)足；
（ii）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿(mǎn)足，并且說(shuō)明如果存在其它的集合滿(mǎn)足存在的函數(shù)以及的函數(shù)，滿(mǎn)足，則存在唯一的的函數(shù)滿(mǎn)足.
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>對(duì)全體恒成立；
故對(duì)所有成立.
（2）（i）考慮以及兩個(gè)函數(shù)，
對(duì)任意，因?yàn)椋?br/>所以.
（ii）我們可以繼續(xù)使用（i）的構(gòu)造，
任意取，因?yàn)椋裕?br/>所以，則，
因此存在滿(mǎn)足條件；
如果符合題意，即，
則，
由定義得到；
所以存在唯一的的函數(shù)滿(mǎn)足題意.
11．（2024·上海浦東新·二模）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一點(diǎn)，曲線是函數(shù)的圖象．若過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的條切線，則稱(chēng)是函數(shù)的“度點(diǎn)”．
(1)判斷點(diǎn)與點(diǎn)是否為函數(shù)的1度點(diǎn)，不需要說(shuō)明理由；
(2)已知，．證明：點(diǎn)是的0度點(diǎn)；
(3)求函數(shù)的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．
【解析】（1）設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
則該切線過(guò)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，即． 故原點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)，
該切線過(guò)點(diǎn)，故，
令，則，令得，令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在處取得極小值，也時(shí)最小值，且，
故無(wú)解，點(diǎn)不是函數(shù)的一個(gè)1度點(diǎn)
（2）設(shè)，，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
則該切線過(guò)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)（*）．
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上嚴(yán)格增．
因此當(dāng)時(shí)，，（*）恒不成立，即點(diǎn)是的一個(gè)0度點(diǎn)．
（3），
對(duì)任意，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
故點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
設(shè)． 則點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
若，則在上嚴(yán)格增，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不合要求．
若，因?yàn)椋?br/>由或時(shí)得嚴(yán)格增；而當(dāng)時(shí)，得嚴(yán)格減．
故在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值．
又因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，在、、上各有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；
當(dāng)時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求；
當(dāng)時(shí)，僅上有一個(gè)零點(diǎn)，也不合要求．
故兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或．
若，同理可得兩個(gè)不同的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)或．
綜上，的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合為或．
12．（2024·高三·上海靜安·期末）如果函數(shù)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件，我們就稱(chēng)為型函數(shù)．
①對(duì)任意的，總有；
② 當(dāng)時(shí)，總有成立．
(1)記，求證：為型函數(shù)；
(2)設(shè)，記，若是型函數(shù)，求的取值范圍；
(3)是否存在型函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，都存在，使得等式成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，時(shí)，
，，
則，
，，
，為型函數(shù).
（2）當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)，，時(shí)，
，，
由，得，
即，即，
即，
令，
則對(duì)稱(chēng)軸，
所以在上的最小值為，只要，則，
因?yàn)椋?br/>所以．
（3）存在，舉例1：．
理由如下：當(dāng)時(shí)，符合；
當(dāng)，，時(shí)，
，，
，，
故，
，即，
即是型函數(shù)，且對(duì)任意的，存在，使得等式成立；
舉例2：；
理由如下：當(dāng)時(shí)，，符合，
當(dāng)，，時(shí)，
，，
，
，
即，即是型函數(shù)，
且對(duì)任意的，都存在，使得等式成立.
由此可知存在型函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，都存在，使得等式成立.
13．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，，以及函數(shù)，．若對(duì)任意的，總有，那么稱(chēng)可被“替代”（通常）．
(1)試給出一個(gè)可以“替代”函數(shù)的函數(shù)；
(2)試判斷是否可被直線， “替代”．
【解析】（1），根據(jù)定義，
可解得，
因而就是滿(mǎn)足不等式的一個(gè)函數(shù)；
（2），
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
，即
可以被直線， “替代”.
14．（2024·高三·上海靜安·階段練習(xí)）記、分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù).若存在滿(mǎn)足且，則稱(chēng)為函數(shù)與的一個(gè)“S點(diǎn)”.
(1)證明:函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”;
(2)若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值
(3)已知函數(shù)，對(duì)任意，判斷是否存在，使得函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.
【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，，
假設(shè)存在函數(shù)與存在“S點(diǎn)”
即存在滿(mǎn)足，方程組無(wú)解，
所以函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”.
（2）因?yàn)榕c，則與，
設(shè)“S點(diǎn)”為，滿(mǎn)足，解得，
所以.
（3）因?yàn)椋?br/>所以，，
由，，顯然，
假設(shè)，得，解得，
由，得，得，
令，
設(shè)，
則，，得，又的圖象在上不間斷，則在上有零點(diǎn)，
則在上有零點(diǎn)，則存在，使與在區(qū)間內(nèi)存在“S”點(diǎn).
15．（2024·高三·上海虹口·期末）已知與都是定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，都有，則稱(chēng)是的一個(gè)“控制函數(shù)”．
(1)判斷是否為函數(shù)的一個(gè)控制函數(shù)，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解；
(3)設(shè)，函數(shù)是否存在控制函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出的所有控制函數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）對(duì)任意，則，且，
故是函數(shù)的一個(gè)控制函數(shù)；
（2）因?yàn)椋瑒t，
則，
，，
設(shè)，
在上，在上，
則在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
最大值，
，，，，，
，，
則，
，即，
同理，，
，即
綜上：，
，在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br/>則在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解.
（3）①先證引理:對(duì)任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上恒有實(shí)數(shù)解.這等價(jià)于
，由（2）知結(jié)論成立.
②(證控制函數(shù)的唯一性)假設(shè)存在“控制函數(shù)”，由上述引理知，
對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，
都存在使得.(*)
下證：.
若存在使得，考慮到是值域?yàn)榈膰?yán)格增函數(shù)，
故存在使得.由(*)知存在使得，
于是有，由的單調(diào)性知，矛盾.
故對(duì)任意都有
同理可證，對(duì)任意都有，從而.
③(證控制函數(shù)的存在性)最后驗(yàn)證，是的一個(gè)“控制函數(shù)”.
對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都存在使得，
而由的單調(diào)性知，即.
綜上，函數(shù)存在唯一的控制函數(shù).
16．（2024·上海長(zhǎng)寧·一模）若函數(shù)與滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，則稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”.
(1)若，判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由：
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若為嚴(yán)格減函數(shù)，，且函數(shù)的圖像是連續(xù)曲線，求證：是上的嚴(yán)格增函數(shù).
【解析】（1）因?yàn)椋蕦?duì)任意的都有．
又因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)的“約束函數(shù)”，
則對(duì)任意，都有，
取，可得恒成立，
即對(duì)任意的成立，故是偶函數(shù)；
（2）因?yàn)槭巧系膰?yán)格增函數(shù)，則是上的嚴(yán)格增函數(shù)，
設(shè)，則，
進(jìn)而，
可得，，
所以，，
設(shè)，，
則與均為上的嚴(yán)格增函數(shù)，
因?yàn)椋愠闪ⅲ?br/>對(duì)于恒成立，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，解得得，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）設(shè)，因?yàn)槭菄?yán)格減函數(shù)，所以，即，
而，所以，
所以對(duì)任意，都有，
①首先證明：當(dāng)時(shí)，，
假設(shè)存在，且，
設(shè)，則，，
所以存在，使得，
得，與結(jié)論對(duì)任意，矛盾，
所以不存在，使得，
同理可得：也不存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)，.
②再證明：當(dāng)時(shí)，，
假設(shè)存在，使得，則，
設(shè)，則，，
所以存在，使得，
得，與結(jié)論對(duì)任意，矛盾，
所以假設(shè)不成立，即對(duì)任意，都有
所以是上的嚴(yán)格增函數(shù).
17．（2024·高三·上海·期中）設(shè)是定義域?yàn)榈暮瘮?shù),如果對(duì)任意的,均成立,則稱(chēng)是“平緩函數(shù)”.
(1)若,試判斷是否為“平緩函數(shù)”并說(shuō)明理由;
(2)已知的導(dǎo)函數(shù)存在,判斷下列命題的真假:若是“平緩函數(shù)”,則,并說(shuō)明理由.
(3)若函數(shù)是“平緩函數(shù)”,且是以為周期的周期函數(shù),證明:對(duì)任意的,均有.
【解析】（1）令,因?yàn)?則,,不滿(mǎn)足對(duì)任意的,均成立,故不是“平緩函數(shù)”.
（2）命題為真命題.
因?yàn)?
不妨令,
因?yàn)槭恰捌骄徍瘮?shù)”,
則,
所以,
故命題為真命題.
（3）因?yàn)槭且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù),不妨設(shè),
當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)是“平緩函數(shù)”,
則;
當(dāng)時(shí),不妨設(shè),則,
因?yàn)槭且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù),
則,
因?yàn)楹瘮?shù)是“平緩函數(shù)”,
所以
,
所以對(duì)任意的,均有,
因?yàn)槭且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù),
所以對(duì)任意的,均有.
18．（2024·高三·浙江·期中）對(duì)函數(shù)，若，使得成立，則稱(chēng)為關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)若，函數(shù)恒有關(guān)于參數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在兩個(gè)關(guān)于參數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，試求參數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，
令，可得，即
解得或，
所以的不動(dòng)點(diǎn)為或，
（2）由題意可知，對(duì)，關(guān)于的方程，
即恒有兩個(gè)不等實(shí)根，從而恒成立
即關(guān)于的不等式恒成立，從而恒成立
解得
（3）方法一：由題意可得方程關(guān)于的方程，
即在上恒有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，須滿(mǎn)足
，解得
方法二：，即在上恒有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，則直線與函數(shù)在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
且，，結(jié)合的圖象可知
19．（2024·高三·上海徐匯·期中）若函數(shù)與滿(mǎn)足：對(duì)任意的，總存在唯一的，使成立，則稱(chēng)是在區(qū)間上的“階伴隨函數(shù)”；當(dāng)時(shí)，則稱(chēng)為區(qū)間上的“階自伴函數(shù)”，
(1)判斷是否為區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”？并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，求的值；
(3)若是在區(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）時(shí)，，
此時(shí)不存在，使得，
故根據(jù)“2階自伴函數(shù)”的定義可知，
不是區(qū)間上的“2階自伴函數(shù)”.
（2）由函數(shù)為區(qū)間上的“1階自伴函數(shù)”，
所以，且對(duì)任意，
總存在唯一的，使得成立，即成立，
則，所以，
所以，解得；
（3）由函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br/>因?yàn)槭窃趨^(qū)間上的“2階伴隨函數(shù)”，則對(duì)任意的，總存在唯一的時(shí)，使得成立，
所以，即在區(qū)間上的值域必定包含區(qū)間，且的值域在對(duì)應(yīng)的自變量是唯一的.
又因?yàn)楹瘮?shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，
解得；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，
解得；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得；
④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得；
綜上，a的取值范圍是.
20．（2024·高三·安徽淮南·階段練習(xí)）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，.已知在處的階帕德近似為.注：
(1)求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求證：.
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br/>，則，，
由題意知，，，所以，解得，.
（2）由（1）知，即證，
令，則且，即證時(shí)，
記，，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，即，即成立，
當(dāng)時(shí)，即，即成立，
綜上可得時(shí)，
所以成立，即成立.
21．（2024·天津·一模）意大利畫(huà)家達(dá)芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么 這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類(lèi)比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：，②倍元關(guān)系：.
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍：
(3)（i）證明：當(dāng)時(shí)，；
（ii）證明：.
【解析】（1），則
所以，可得在處的切線斜率為
（2）令，
則，
下面證明：對(duì)任意恒成立,
先證明：對(duì)任意.證明如下：設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，
繼續(xù)證明：對(duì)任意.
證明如下：令，則，
因此在上單調(diào)遞增；所以，故
當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，解得；
當(dāng)時(shí)，對(duì)，
都有，對(duì)，都有，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則對(duì)，都有成立，不符合題意，舍去.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）（i），令，則所以在上單調(diào)遞增，所以
所以當(dāng)時(shí)，成立；
（ii）下面證明：當(dāng)時(shí)，成立，
令，則
由前問(wèn)解答過(guò)程，對(duì)任意成立，所以
所以在上單調(diào)遞增，所以
所以當(dāng)時(shí)，成立
令且，可得，
即，
由題意，令且，可得，因?yàn)?br/>所以，
由①當(dāng)時(shí)，，所以令且，可得
所以，
由前面解答過(guò)程得，對(duì)任意成立，
令且，可得，
所以，
又且，所以，
所以所以可得
，
即可得.
22．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類(lèi)比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：①，②和角公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．
(1)直接寫(xiě)出，具有的類(lèi)似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；
(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)求的最小值．
【解析】（1）平方關(guān)系：；
和角公式：；
導(dǎo)數(shù)：．
理由如下：平方關(guān)系，
；
，
和角公式：
故；
導(dǎo)數(shù)：，；
（2）構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，
i．當(dāng)時(shí)，由可知，
故，故單調(diào)遞增，
此時(shí)，故對(duì)任意，恒成立，滿(mǎn)足題意；
ii．當(dāng)時(shí)，令，，
則，可知單調(diào)遞增，
由與可知，存在唯一，使得，
故當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
故對(duì)任意，，即，矛盾；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（3），，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，則，
令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br/>即為偶函數(shù)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值0.
23．（2024·高三·山東臨沂·期中）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱(chēng)奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．

(1)求曲線在處的曲率的平方；
(2)求余弦曲線曲率的最大值；
(3)若，判斷在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并寫(xiě)出證明過(guò)理．
【解析】（1）
，，，
所以，
.
（2），，，
所以，
，
令，則，，
設(shè)，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，遞減，所以．最大值為1，
所以的最大值為1．
（3）在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
證明：，所以，
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t，，
，在單調(diào)遞增．
又，．在上有一個(gè)零點(diǎn)，
②設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
又，
恒成立，
在上無(wú)零點(diǎn)．
③當(dāng)時(shí)，，，
∴在上單調(diào)遞減，
又，．
在上必存在一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．
24．（2024·全國(guó)·二模）曲線的曲率是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，曲線的曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，若記，則函數(shù)在點(diǎn)處的曲率為.
(1)求證：拋物線（）在處彎曲程度最大；
(2)已知函數(shù)，，，若，曲率為0時(shí)的最小值分別為，，求證：.
【解析】（1）由題意，，，則，
又，故當(dāng)最小時(shí)最大，
此時(shí)，即拋物線（）在處彎曲程度最大.
（2）由題意，，，，.
若，曲率為0，則，即，分別化簡(jiǎn)可得，.
令，則令有.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且.
又，故有兩解，設(shè)為，，又，故.
由可設(shè)，，故，，化簡(jiǎn)可得，則.
要證：，
即證.
令，則，
故在上單調(diào)遞增，故，即得證.
25．（2024·高三·山西太原·階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱(chēng)奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率．
(1)求曲線在點(diǎn)處的曲率的值；
(2)求正弦曲線曲率的最大值．
【解析】（1）由得，，
故，
所以曲線在點(diǎn)處的曲率；
（2）由題意得，
故，
令，則，
令，則，
故在上單調(diào)遞減，
則，即的最大值為1，
由題意知曲線在點(diǎn)處的曲率，即，
故的最大值為1.
26．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱(chēng)為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），則
，設(shè)，
由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因此，是的極小值點(diǎn).
下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí)，.
因此，在上單調(diào)遞減.
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
27．（2024·高三·四川達(dá)州·階段練習(xí)）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱(chēng)為泰勒公式.設(shè)，，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題.
(1)證明：；
(2)設(shè)，證明：；
【解析】（1）設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得，
由①②得，
所以
，
即.
28．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；
(2)計(jì)算：；
(3)證明：，.
【解析】（1）設(shè)，
由于，
所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無(wú)窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價(jià)于，
即證，
記，則，
所以，
即有對(duì)任意，均有，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，證畢!
29．（2024·上海奉賢·一模）若函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)為 “增函數(shù)” ．
(1)求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；
(2)若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，若曲線在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)是“增函數(shù)”．
【解析】（1）
取，則，因?yàn)椋?br/>故函數(shù)不是“增函數(shù)”；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)是“增函數(shù)”，故任意的，，
有恒成立，
即恒成立 ，
所以恒成立，
又，，故，則，
則，即；
（3）記，
根據(jù)題意，得，
可得方程的一個(gè)解，
令，
則，令，
則， 故在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
又因?yàn)椋试诤愠闪ⅲ剩?br/>故在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以是唯一解，
又，此時(shí)在處的切線方程即為，
故成立；
設(shè)，其中，
，由在上是嚴(yán)格增函數(shù)以及，
得，
即 ，
所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，
因?yàn)椋瑒t,故，即得證.
30．（2024·高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱(chēng)函數(shù)為“恒切函數(shù)”．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：．
【解析】（1）函數(shù),
,
當(dāng)時(shí)， ，
，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故有極小值，無(wú)極大值.
（2），
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，,，
,且為增函數(shù)，
時(shí)，，在單調(diào)遞增；
時(shí)，，在單調(diào)遞減；
綜上得：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是“恒切函數(shù)”，
且,
設(shè)函數(shù)與直線切點(diǎn),則,
故，即，，，
，所以是方程的根，
設(shè)，,
,
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
且,
，，
是方程的根，
所以或,
或
故.
31．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.現(xiàn)已知.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
(1)求函數(shù)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；
(2)求證：的圖像關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱(chēng)，并求的值.
【解析】（1）∵，，∴令，
得.
有，∴“拐點(diǎn)”A為.
（2）證明：設(shè)，是圖像上任意一點(diǎn)，則.
，是關(guān)于“拐點(diǎn)”的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.
把點(diǎn)坐標(biāo)代入得左邊，
右邊，∴左邊＝右邊.
∴點(diǎn)在的圖像上.
∴關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱(chēng).
由對(duì)稱(chēng)性可得
.
32．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心．若，請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn).
（1）求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心；
（2）計(jì)算.
【解析】（1），
令，即，
解得，
，
由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為.
（2）由（1）知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，
所以，
即，
故，
所以.
33．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)拐點(diǎn).已知.
（1）求證：函數(shù)的拐點(diǎn)在直線上；
（2）時(shí)，討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【解析】（1），
，
，
，．
而．
點(diǎn)，在直線上．
（2）令，得，
作出函數(shù)，與函數(shù)的草圖如下所示：
由圖可知，
當(dāng)或時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)．
34．（2024·高三·全國(guó)·階段練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?br/>∴，
令，解得，
則對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)為，故對(duì)稱(chēng)中心為，
所以，
所以，，…
則.
（2）∵，，
即，
又，
∴在上恒成立.
令.
∴.
∵，
令，得或（舍去）.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴.
∴，
即的取值范圍為.
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