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專題06 高等解析幾何背景新定義
【題型歸納目錄】
題型一：特殊空間幾何體新定義
題型二：空間斜坐標(biāo)系新定義
題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義
題型四：空間直線方程
題型五：空間平面方程
題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義
題型七：解析幾何概念新定義
【方法技巧與總結(jié)】
空間立體幾何與解析幾何新定義試題呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)通常為“給出圖形的新定義—探索圖形的新性質(zhì)—運(yùn)用圖形的新性質(zhì)解決問題”，設(shè)問的層次通常為從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般．理解概念重要的不僅是概念如何定義，而且是概念能夠引出哪些性質(zhì)（具有哪些表征）；研究圖形重要的不僅是發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論，而且是采用了怎樣的思想方法．這正是數(shù)學(xué)課程性質(zhì)中的抽象結(jié)構(gòu)思想和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中的核心素養(yǎng)導(dǎo)向的體現(xiàn)．
【典型例題】
題型一：特殊幾何體新定義
【典例1-1】（2024·高三·河北·階段練習(xí)）已知，，，定義一種運(yùn)算：，在平行六面體中，，，.
(1)證明：平行六面體是直四棱柱；
(2)計(jì)算，并求該平行六面體的體積，說明的值與平行六面體體積的關(guān)系.
【解析】（1）證明：由題意，，
∴，，即，，
∵，是平面內(nèi)兩相交直線，∴平面，
∴平行六面體是直四棱柱；
（2），
由題意，，，
，所以，
，，
∴.
∴，
故的值表示以，，為鄰邊的平行六面體的體積.
【典例1-2】（2024·高二·上海徐匯·期中）設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中（，2，…，k，）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且．
(1)求直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；
(2)若直四棱柱在點(diǎn)A處的離散曲率為x，直四棱柱體積為，求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間．
【解析】（1）在直四棱柱中,，底面ABCD為菱形，
由離散曲率的定義知：的離散曲率相等，的離散曲率相等，
所以處的曲率為，而處的曲率為，又，
所以、兩處的曲率和為，
故直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和.
（2）由題設(shè)，處的曲率，故，
所以直四棱柱底面面積為，
故直四棱柱高為1，故體積為，
令，，可得，，即，上遞增；
令，，可得，，即，上遞減；
所以增區(qū)間為，減區(qū)間為，.
【變式1-1】（2024·遼寧沈陽·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.
(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；
(2)若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，設(shè)
（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；
（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值.
【解析】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個(gè)菱形的7個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，
根據(jù)定義其度量值等于減去三個(gè)菱形的內(nèi)角和，
再減去6個(gè)直角梯形中的兩個(gè)非直角內(nèi)角和，
即蜂房曲頂空間的彎曲度為.
（2）（i）如圖所示，連接AC，SH，則，設(shè)點(diǎn)在平面的射影為O，
則，則，
菱形SAHC的面積為，
側(cè)面積，
所以蜂房的表面積為.
（ii），
令得到，
所以在遞增；在遞增.
所以在處取得極小值，也即是最小值.
此時(shí)，在中，令，由余弦定理得，
又頂點(diǎn)的曲率為，
.
題型二：斜坐標(biāo)系新定義
【典例2-1】（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組一一對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．
(1)若，求的斜坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，，建立“空間斜坐標(biāo)系”如下圖所示．

①若，求向量的斜坐標(biāo)；
②若，且，求．
【解析】（1），
的斜坐標(biāo)為．
（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，
則，
①
②由題，
由，知，
由，知：
，
，解得，
則．
【典例2-2】（2024·高二·四川綿陽·階段練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸 軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為，記作．

(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點(diǎn)．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．
①求的斜60°坐標(biāo)；
②若，求與夾角的余弦值．
【解析】（1）由，，
知，，
所以，所以；
（2）設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，
則，，，
①，
.
②因?yàn)椋裕?br/>則，
∵， .
∴，
，
所以與的夾角的余弦值為
【變式2-1】（2024·高二·山東濰坊·期中）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸 軸 軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．
(1)若，，求的斜坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．若，且，求
【解析】（1）由，，知，，
所以，
所以；
（2）設(shè)，，分別為與，，同方向的單位向量，
則，，，
由題，
因?yàn)椋裕?br/>由知
則．
【變式2-2】（2024·高二·江蘇常州·期中）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸 y軸 z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作.
(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.
①若，求向量的斜坐標(biāo)；
②若，且，求.
【解析】（1）由，，知，，
所以，
所以；
（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，
則，
①
②由題，
因?yàn)椋裕?br/>由知
則
題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義
【典例3-1】（2024·高二·北京·期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則
(1)①點(diǎn)，，求的值．
②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
(2)已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；
(3)設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．
【解析】（1）①；
②設(shè)“曼哈頓單位圓”上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即.
（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上所述，的最小值為2.
（3）
如圖，為正方體，邊長(zhǎng)為1，則對(duì)應(yīng)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)，
當(dāng)四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)面上時(shí)，
（i）例如：，此時(shí)；
（ii）例如：，此時(shí)；
當(dāng)四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面時(shí)，
（iii）例如：，此時(shí)；
（iiii）例如：，此時(shí)；
（iiiii）例如：，此時(shí)；
（iiiiii）例如：，此時(shí)；
綜上所述，的最大值為2，例如：，，，.
【典例3-2】（2024·高三·上海青浦·開學(xué)考試）我們稱點(diǎn)P到圖形C上任意一點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)P到圖形C的距離，記作.
（1）求點(diǎn)到拋物線的距離；
（2）設(shè)是長(zhǎng)為2的線段，求點(diǎn)集所表示圖形的面積.
【解析】（1）設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn)，則
，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.
點(diǎn)到拋物線的距離.
（2）設(shè)線段的端點(diǎn)分別為A，B，以直線為x軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則，，點(diǎn)集D由如下曲線圍成：
，，，，
，，，，
∴集合所表示的圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓，∴其面積為.
【變式3-1】（2024·江蘇南通·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，.
(1)求Γ的方程；
(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.
（ⅰ）若M，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求；
（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為.已知，，均存在，證明：.
【解析】（1）
因?yàn)楫?dāng)垂直于軸時(shí)，，而直線與Γ相切，則，解得，
又橢圓的離心率為，則橢圓的半焦距，，
所以的方程為.
（2）（i）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為：，
由消去得：，
由直線與橢圓相切，得，整理得，
于是圓心到直線的距離，
則的面積為，
設(shè)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，由（1）知，，
由，得，則.
對(duì)于線段上任意點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)，則是圓上與最近的點(diǎn)，
當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以.
（ii）因?yàn)榫嬖冢?br/>設(shè)點(diǎn)，且，
設(shè)是集合中到的最近點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，
令點(diǎn)到集合的最近點(diǎn)為，點(diǎn)到集合的最近點(diǎn)為，
因?yàn)槭羌现兴悬c(diǎn)到集合最近點(diǎn)距離的最大值，則，
因?yàn)槭羌现兴悬c(diǎn)到集合最近點(diǎn)距離的最大值，則，
因此，
而在坐標(biāo)平面中，，又點(diǎn)是集合中到點(diǎn)的最近點(diǎn)，則，
所以.
【變式3-2】（2024·高二·山東青島·期中）中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對(duì)稱精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國(guó)人喜愛. 它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結(jié)”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的伯努利雙紐線. 在平面上，我們把與定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個(gè)焦點(diǎn). 數(shù)學(xué)家雅各布 伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究. 已知曲線是一條伯努利雙紐線.
(1)求曲線C的焦點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(2)試判斷曲線C上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O.如果存在，求出A，B坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）方法一：設(shè)焦點(diǎn)，，
曲線與x軸正半軸交于點(diǎn)，
由題意知，
于是，，
因此，；
方法二：設(shè)焦點(diǎn)，，
由題意知，
即，
整理得，于是，.
因此，，；
（2）假設(shè)曲線C上存在兩點(diǎn)A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O，即，
由題意知直線OA，OB斜率均存在，
不妨設(shè)直線OA的方程為，直線OB的方程為，
將直線OA的方程與曲線C聯(lián)立，得，
即.
解得，同理，
因此不可能成立，于是假設(shè)不成立，
即曲線C上不存在兩點(diǎn)A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O.
【變式3-3】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線和點(diǎn)，，記，若，則稱點(diǎn)，被直線l分離，若曲線c與直線l沒有公共點(diǎn)，且曲線c上存在點(diǎn)，被直線l分隔，則稱直線l為曲線c的一條分隔線．
（1）求證：點(diǎn)，被直線分隔；
（2）若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，求證：通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．
【解析】（1）證明：由題得
∴點(diǎn)A，B被直線分隔．
（2）直線與曲線有公共點(diǎn)的充要條件是方程組有解，即．
∵是曲線的分隔線，故它們沒有公共點(diǎn)，即，
當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線，曲線上的點(diǎn)和滿足，即點(diǎn)和被分隔．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是．
（3）證明：設(shè)M的坐標(biāo)為，則曲線E的方程為，即．
對(duì)任意的，不是上述方程的解，即y軸與曲線E沒有公共點(diǎn)．
又曲線E上的點(diǎn)和對(duì)于y軸滿足，
即點(diǎn)和被y軸分隔．∴y軸為曲線E的分隔線．
若過原點(diǎn)的直線不是y軸，設(shè)其為，由得，令，
∵，
∴方程有實(shí)數(shù)解．
即直線與曲線E有公共點(diǎn)，故直線不是曲線E的分隔線．
綜上可得，通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．
題型四：空間直線方程
【典例4-1】（2024·高二·寧夏銀川·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐，，，.
(1)求三棱錐的體積
(2)用求軌跡方程的思想方法，試求在空間直角坐標(biāo)系中，以為方向向量，過點(diǎn)的直線方程
【解析】（1）設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則有，令，則，，所以，
點(diǎn)到平面的距離，即棱錐的高
又，所以，
所以，
所以三棱錐的體積.
（2）取該直線上任意一點(diǎn) (異于點(diǎn))，則，
依題意可得，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，
即，消去參數(shù)可得，
將代入上式，適合此方程，
所以該直線方程為：.
【典例4-2】（2024·高二·浙江臺(tái)州·期末）我們知道，在平面中，給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線．如點(diǎn)在直線l上，為直線l的一個(gè)方向向量，則直線l上任意一點(diǎn)滿足：，化簡(jiǎn)可得，即為直線l的方程．類似地，在空間中，給定一點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量可以唯一確定一個(gè)平面．
(1)若在空間直角坐標(biāo)系中，，請(qǐng)利用平面的法向量求出平面的方程；
(2)試寫出平面（A，B，C不同時(shí)為0）的一個(gè)法向量（無需證明），并證明點(diǎn)到平面的距離為．
【解析】（1）平面中，．
設(shè)平面的法向量為，
所以即，
令則，所以．
設(shè)平面任意一點(diǎn)，
當(dāng)Q不同于P，有；當(dāng)Q與P重合，則有；∴．
∴，化簡(jiǎn)得．
所以平面的方程為．
（2）平面的法向量可取．
證明如下：
設(shè)為平面的任意兩個(gè)點(diǎn)，
則，
兩式相減得即，即，
所以平面的法向量可取．
記，因?yàn)锳，B，C不同時(shí)為0，所以不妨令，
平面上可取點(diǎn)，
∴，
則點(diǎn)H到平面的距離
題型五：空間平面方程
【典例5-1】（2024·高二·上海楊浦·期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們知道ax＋by＋c＝0（a、b不全為0）是直線的一般式方程．而在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們稱ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全為0）為平面的一般式方程．
(1)求由點(diǎn)，，確定的平面的一般式方程；
(2)證明：為平面ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全為0）的一個(gè)法向量；
(3)若平面的一般式方程為ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全為0），為平面外一點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．
【解析】（1）將點(diǎn)，，代入后得：
，不妨令，則，
故平面的一般方程為：，即6x＋4y＋3z－12＝0；
（2）記平面的方程為ax＋by＋cz＋d＝0，在平面上任取一條直線，該直線上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)和，則，，故有；
因?yàn)椋?br/>所以，
故
所以垂直于平面上的任意一條直線，
所以是平面的一個(gè)法向量．
（3）由（2）知：為平面ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全為0）的一個(gè)法向量，
任取平面上一點(diǎn)，則，
點(diǎn)P到平面的距離d是向量在的方向上的投影的模，于是
，
所以點(diǎn)P到平面的距離為．
【典例5-2】（2024·高二·湖南·課時(shí)練習(xí)）閱讀“多知道一點(diǎn)：平面方程”，并解答下列問題：
(1)建立空間直角坐標(biāo)系，已知，，三點(diǎn)，而是空間任意一點(diǎn)，求A，B，C，P四點(diǎn)共面的充要條件．
(2)試求過點(diǎn)，，的平面ABC的方程，其中a，b，c都不等于0．
(3)已知平面有法向量，并且經(jīng)過點(diǎn)，求平面的方程．
(4)已知平面的方程為，證明：是平面的法向量．
(5)①求點(diǎn)到平面的距離；
②求證：點(diǎn)到平面的距離，并將這個(gè)公式與“平面解析幾何初步”中介紹的點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行比較．
【解析】（1）由，，，可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，即，
若平面，即平面，設(shè)，
則，所以，
即四點(diǎn)共面的充要條件為.
（2）過點(diǎn)，，的平面ABC的方程.
（3）設(shè)點(diǎn)時(shí)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嬗蟹ㄏ蛄浚裕矗?br/>即平面的方程為．
（4）設(shè)空間中平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，
由題意可得，
則，
所以，所以是平面的法向量.
（5）①點(diǎn)到平面的距離為；
②如圖所示，設(shè)平面的方程為，
向量為的法向量，平面外一點(diǎn)，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，
則點(diǎn)到平面的距離為，其中為向量與向量的夾角，
則，所以，
而，
由于點(diǎn)在平面上，因此有，
即，
由此可得，所以，
空間中點(diǎn)平面距離公式可看成平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式的推廣.
題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義
【典例6-1】（2024·高三·浙江寧波·期末）已知橢圓C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為（）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），的周長(zhǎng)為8．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱錐的體積，
②若，異面直線和所成角的余弦值；
③是否存在（），使得折疊后的周長(zhǎng)為與折疊前的周長(zhǎng)之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）
由橢圓的定義知：，，
所以的周長(zhǎng)，所以，
又橢圓離心率為，所以，所以，，
由題意，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）①由直線l：與，
由得或，
所以（因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方）以及，
，，
②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，
，．
記異面直線和所成角為，則；
③設(shè)折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，，，
折疊前周長(zhǎng)是8，則折疊后周長(zhǎng)是，
由，，故，
設(shè)方程為，
由，得，
，，
在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（原x軸仍然為x軸，原y軸正半軸為y軸，原y軸負(fù)半軸為z軸）；
，，
所以，（ⅰ）
又，
所以，（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）可得，
因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以，解得，
因?yàn)椋裕?br/>【典例6-2】（2024·高二·山東青島·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描的重要一步.如圖所示，這是一個(gè)用來練習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描的石膏幾何體，它是由一個(gè)圓柱和一個(gè)正三棱錐穿插而成的對(duì)稱組合體.棱和面與圓柱側(cè)而相切，點(diǎn)是棱與圓柱側(cè)而的切點(diǎn).直線分別與面，面交于點(diǎn)，圓柱在面，面上分別截得橢圓.在平面和平面中，橢圓上分別有兩組不重合的兩點(diǎn)和（圖中未畫出）.且滿足關(guān)系.已知三棱錐的外接球表面積為，圓柱的底面直徑為，請(qǐng)問平面，平面上是否分別存在點(diǎn)，使得對(duì)于滿足的直線分別恒過定點(diǎn).若存在，試求和夾角的余弦值：若不存在，請(qǐng)說明理由.
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【變式6-1】（2024·高三·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，為圓柱的一條母線，且.過點(diǎn)且不與圓柱底面平行的平面與平面垂直，軸與交于點(diǎn)，平面截圓柱的側(cè)面得到一條閉合截線，截線與平面的另一交點(diǎn)為.已知該截線為一橢圓，且和分別為其長(zhǎng)軸和短軸，為其中心.為在上底面內(nèi)的射影.記橢圓的離心率為.

(1)求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值.
【解析】（1）設(shè)上下底面圓的半徑為，橢圓短軸，
當(dāng)移至下底面端點(diǎn)時(shí)，，長(zhǎng)軸的最大值，
所以長(zhǎng)軸的取值范圍，則，所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是；
（2）當(dāng)離心率時(shí)，即，得，
則，
即，即點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，
可得,,,,,
則,,,
設(shè)平面的法向量，則，
令，得，，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則.
【變式6-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡(jiǎn)稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，，．
(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；
(2)求證：曲線C是拋物線．
【解析】（1）∵平面AOS截球T的截面圓與直線AO相切于F，
∴，
記P是平面內(nèi)不在直線OA上的點(diǎn)，平面TFP截球T的截面圓與直線FP相切于點(diǎn)F，
∴，
∵平面內(nèi)直線AO，F(xiàn)P相交于點(diǎn)F，
∴TF⊥平面，
∵直線TF平面AOS，
∴平面AOS⊥平面，
∴．連TO，TM，
∴，，
∴球T的半徑且，
∴.
（2）在平面AOS內(nèi)圓錐的另一條母線與球T的切點(diǎn)記為N點(diǎn)
∵，
∴
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過O與TF平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
∵OM，OF與球T相切，
∴，
∴，，
設(shè)交線C上任意點(diǎn)，記圓錐S的母線SP與球T相切于E．
∵PF與球T相切于點(diǎn)F，
∴，，
∴，
即（1），
兩邊平方整理得：（2），
兩邊平方整理得：（3），
易知：（3）（2）（1），
∴交線C在坐標(biāo)平面xOy中方程為，
∴交線C是以F為焦點(diǎn)，O為頂點(diǎn)的拋物線.
題型七：解析幾何概念新定義
【典例7-1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．
(1)求“橢圓”的方程；
(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說明理由；
(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．
【解析】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為，則，
即，即，
所以“橢圓”的方程為；
（2）由方程，得，
因?yàn)椋裕矗?br/>所以或或，
解得，
由方程，得，
即，所以，所以，
所以“橢圓”的范圍為，，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱，
將點(diǎn)代入得，，
即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱；
（3）由題意可設(shè)橢圓的方程為，
將點(diǎn)代入得，解得，
所以橢圓的方程為，，
由題意可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得，
恒成立，
則，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，
所以直線的中垂線的方程為，
同理直線的中垂線的方程為，
設(shè)，則是方程的兩根，
即是方程的兩根，
所以，
又因，
所以，
兩式相比得，所以，
所以，
所以直線與的斜率之積為定值．
【典例7-2】（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；
(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由定義可知，與相切，
則圓的圓心到直線的距離等于1，
則，.
（2）點(diǎn)不在直線族的任意一條直線上，
所以無論取何值時(shí)，無解.
將整理成關(guān)于的一元二次方程，
即.
若該方程無解，則，即.
證明：在上任取一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線斜率為，
于是可以得到在點(diǎn)處的切線方程為：，
即.
今直線族中，
則直線為，
所以該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線，
而對(duì)任意都是拋物線在點(diǎn)處的切線.
所以直線族的包絡(luò)曲線為.
（3）法一：已知，設(shè)，
則，；
由（2）知在點(diǎn)處的切線方程為；
同理在點(diǎn)處的切線方程為；
聯(lián)立可得，所以.
因此，
同理.
所以，，
即，可得，
所以成立.
法二：過分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，如圖所示：
則，因?yàn)椋@然.
又由拋物線定義得，故為線段的中垂線，得到，即.
同理可知，
所以，即.
則.
所以成立.
【過關(guān)測(cè)試】
1．（2024·高三·江蘇·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，若在曲線的方程中，以(λ為非零的正實(shí)數(shù))代替得到曲線的方程，則稱曲線、關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比.
(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后所得曲線的方程；
(2)射線l的方程，如果橢圓經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓，若射線l與橢圓、分別交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程；
(3)對(duì)拋物線，作變換，得拋物線；對(duì)作變換，得拋物線；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線作變換， 得拋物線，…．若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【解析】（1）由條件得，整理得，
所以的方程為．
（2）因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”，
對(duì)作變換，得，
聯(lián)立，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
聯(lián)立，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為；
所以，所以或，
所以或，
因此，橢圓的方程為或．
（3）對(duì)作變換，
得拋物線，得，
又因?yàn)椋裕矗?br/>當(dāng)時(shí)，，
得適用上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
2．（2024·高二·貴州貴陽·期末）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與定點(diǎn)（或的距離和它到定直線（或）的距離之比是常數(shù)，則，化簡(jiǎn)可得，設(shè)，則得到方程，所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，這是從另一個(gè)角度給出了橢圓的定義.這里定點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線；定點(diǎn)是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，直線稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線.
根據(jù)橢圓的這個(gè)定義，我們可以把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.若點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，我們把這個(gè)公式稱為橢圓的焦半徑公式.
結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：
已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是該橢圓上第一象限的點(diǎn)，且軸，若直線是橢圓右準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到直線的距離為8.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)也在橢圓上且的重心為，判斷是否能構(gòu)成等差數(shù)列？如果能，求出該等差數(shù)列的公差，如果不能，說明理由.
【解析】（1）由題意可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
且，得，即，
所以橢圓方程為，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)，，
由（1）可知，，，，
所以，，，
的重心為，則，即，
則，
所以能構(gòu)成等差數(shù)列，
如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，，即，
所以，，
，兩式相減得，
可得，即，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，得，
解得：或，
即，,
或，,
所以分別是或，公差為或.
3．（2024·高三·上海黃浦·開學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)所在直線的方程；
(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針排列.證明：四邊形的面積小于.
【解析】（1）依題意，橢圓的另一焦點(diǎn)為，
因此 ，
于是，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由（1）知，點(diǎn)在橢圓C：上，
依題意，直線l的方程為，整理得，
所以直線的方程為.
（3）由（2）知，直線：，由，解得或，則，，
設(shè)點(diǎn)，，則，兩式相減得，
又，于是，則，有，線段PQ被直線l平分，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，則四邊形的面積，
而，則有，
設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為，則當(dāng)與C相切時(shí)，d取得最大值，
由消去y得，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為，即，解得，
則此時(shí)點(diǎn)P或點(diǎn)Q必有一個(gè)和點(diǎn)重合，不符合條件，從而直線與C不可能相切，
即d小于平行直線和（或）的距離，
所以.
4．（2024·高三·貴州·開學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱A，B為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作．已知橢圓C：上一點(diǎn)．
(1)求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)B所在直線l的方程．
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且，（1）中的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．
①求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
②設(shè)四點(diǎn)，P，，Q在橢圓C上逆時(shí)針排列，證明：四邊形的面積小于．
【解析】（1）設(shè)中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
對(duì)于橢圓C：上的點(diǎn)，由“共軛點(diǎn)對(duì)”的定義，
可知直線l的方程為，即l：．
（2）①聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得解得或，
所以直線l和橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
②設(shè)點(diǎn)，，則，
兩式相減得．
又，所以，所以，
即，線段PQ被直線l平分．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為d，
則四邊形的面積．
由，，得．
設(shè)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為，則當(dāng)與C相切時(shí)，d取得最大值．
由消去y得．
令，解得，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為，即，解得，
則此時(shí)點(diǎn)P或點(diǎn)Q必有一個(gè)和點(diǎn)重合，不符合條件，
故直線與C不可能相切，
即d小于平行直線和（或）的距離．
故.
5．（2024·高二·湖南·階段練習(xí)）已知曲線，當(dāng)變化時(shí)得到一系列的橢圓，我們把它稱為“橢圓群”．
(1)求“2-1橢圓群”中橢圓的離心率；
(2)若“橢圓群”中的兩個(gè)橢圓、對(duì)應(yīng)的t分別為、，且，則稱、為“和諧橢圓對(duì)”．已知、為“和諧橢圓對(duì)”，P是上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線交于A、B兩點(diǎn)，Q為上異于A、B的任意一點(diǎn)，且滿足，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；否則，說明理由．
【解析】（1）由題意可知：“橢圓群”的方程為：，
∴，∴．
（2）由題意得，；，
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，
若，則，
又，所以，
代入中，得，即；
若，同理可得．
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，
由，得，
由可得：，
即：．
∴，
化簡(jiǎn)得：，
由可得：，
即：，
∴，，
，
∴，
因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以，，
整理，得，
又∵，在上，∴，
∴而：，
所以，即．
綜上所述，為定值，且．
6．（2024·高三·上海虹口·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.
(1)設(shè)，若的焦距為2，l過點(diǎn)，求l的方程；
(2)設(shè)，若是上的一點(diǎn)，且，l與交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為的上頂點(diǎn)，求面積的最大值；
(3)設(shè)是l的一個(gè)法向量，M是l上一點(diǎn)，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)N，定義.用a、b、k、m表示，并利用與的大小關(guān)系，提出一個(gè)關(guān)于l與位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.
【解析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)榈慕咕酁?，所以，故，所以左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)閘過點(diǎn)，直線l的斜率為，
所以直線l的方程為；
（2）因?yàn)槭巧系囊稽c(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)可得，
因?yàn)椋裕裕缘姆匠虨椋?br/>因?yàn)橹本€l的斜率為k，在y軸上的截距，所以直線l的方程為，
設(shè)，由對(duì)稱性可得，
因?yàn)榈拿娣e，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以，又，
所以，此時(shí)直線l的斜率為0，
所以面積的最大值為2；
（3）因?yàn)橹本€l的斜率為k，在y軸上的截距為m，所以直線l的方程為，則向量為直線l的一個(gè)法向量，
取，因?yàn)镸是l上一點(diǎn)，故設(shè)，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，，
由已知，，
所以，
提出如下命題：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，
直線l的方程為，若，則直線與橢圓相切，證明如下：
聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)可得，
所以，
方程的判別式，
因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，所以方程組只有一組解，
所以直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線與橢圓相切.
7．（2024·高二·上海青浦·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)、直線，我們稱為點(diǎn)到直線的方向距離.
（1）設(shè)雙曲線上的任意一點(diǎn)到直線，的方向距離分別為，求的值；
（2）設(shè)點(diǎn)、到直線的方向距離分別為，試問是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的都有成立？說明理由；
（3）已知直線和橢圓，設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到直線的方向距離分別為滿足，且直線與軸的交點(diǎn)為、與軸的交點(diǎn)為，試比較的長(zhǎng)與的大小.
【解析】(1)由題設(shè)可知：設(shè)，所以，
所以，
又因?yàn)椋裕?br/>(2) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，因?yàn)椋?br/>，
所以，所以，所以，
故存在滿足條件；
(3)因?yàn)椋裕?br/>所以，所以，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，取等號(hào)時(shí)，
所以，所以.
8．（2024·高二·北京·期中）已知集合，定義上兩點(diǎn)，
的距離.
（1）當(dāng)時(shí)，以下命題正確的有__________（不需證明）：
①若，，則；
②在中，若，則；
③在中，若，則;
（2）當(dāng)時(shí)，證明中任意三點(diǎn)滿足關(guān)系；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，其中，
.求滿足點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明從這個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，
①若，，則，①正確；
②在中，若，則，設(shè)，
所以
而，
，
但不一定成立，②錯(cuò)誤；
③在中，若，在②中的點(diǎn)坐標(biāo)，有，但不一定成立，因此不一定成立，從而不一定成立，③錯(cuò)誤．
空格處填①
（2）證明：設(shè)，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)有
，，
所以．,
（3），
，所以，當(dāng)且僅當(dāng)以上三個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，
又由已知，∴，
又，∴，，
點(diǎn)是以為對(duì)角線的正方體內(nèi)部（含面上）的整數(shù)點(diǎn)，共125個(gè)，．
這125個(gè)點(diǎn)在這五面內(nèi)．
這三個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)面上取不共線的3點(diǎn)，相鄰面上再取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐．則這個(gè)三棱錐的體積最大為，
現(xiàn)在任取11個(gè)點(diǎn)，若有四點(diǎn)共面，則命題已成立，若其中無4點(diǎn)共面，但11個(gè)點(diǎn)分在5個(gè)平面上至少有一個(gè)平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)（顯然不共線），
若這三點(diǎn)在這三個(gè)平面中的一個(gè)上，與這個(gè)面相鄰的兩個(gè)面上如果有一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與平面上的三點(diǎn)這四點(diǎn)可構(gòu)成三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，其體積不超過，否則還有8個(gè)點(diǎn)在平面和上，不合題意，
若這三個(gè)點(diǎn)在平面或上，不妨設(shè)在平面，若在平面在一個(gè)點(diǎn)，則同樣四點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐體積不超過，否則剩下的8個(gè)點(diǎn)在三個(gè)平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一種分布都有四點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐體積不超過，
綜上，任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于.
9．（2024·高二·廣東東莞·期中）（1）在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面的法向量，且平面經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn).求證：.
（2）我們稱（1）中結(jié)論為平面的點(diǎn)法式方程，若平面過點(diǎn)，求平面的點(diǎn)法式方程.
【解析】（1）平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn).
,
為平面的法向量
（2）設(shè)平面的法向量為，
，
則，令則，平面的法向量為
由（1）可知，平面的點(diǎn)法式方程為：即
10．（2024·高一·福建泉州·期末）球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角 邊 面積等問題，其在航海 航空 衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱為球的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對(duì)于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn)，，，過任意兩點(diǎn)的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個(gè)大圓均可交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，如圖1的和；若球面上，，的對(duì)徑點(diǎn)分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球的半徑為，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面 圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為，.記.
（1）請(qǐng)寫出，，的值，并猜測(cè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求(用，，，表示).
【解析】（1），，.
猜測(cè).
（2）
因?yàn)椋?br/>所以，
即.
11．（2024·高一·四川成都·期末）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．
（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；
（2）如圖2，平行六面體中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
【解析】（1）證明：如圖，過射線上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，
作交于點(diǎn)，連接，
則是二面角的平面角．
在中和中分別用余弦定理，得
，
，
兩式相減得，
∴，
兩邊同除以，得．
（2）①由平面平面，知，
∴由（1）得，
∵，，
∴．
②在直線上存在點(diǎn)，使平面．
連結(jié)，延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，
在棱柱中，，，
∴，∴四邊形為平行四邊形，
∴．
在四邊形中，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
∴當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且使時(shí)，平面．
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值．
【解析】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個(gè)菱形的7個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于減去三個(gè)菱形的內(nèi)角和，再減去6個(gè)直角梯形中的兩個(gè)非直角內(nèi)角和，
即蜂房曲頂空間的彎曲度為.
（2）設(shè)底面正六邊形的邊長(zhǎng)為1，
如圖所示，連接AC，SH，則，
設(shè)點(diǎn)在上底面ABCDEF的射影為O，則,
令，則，
菱形SAHC的面積，
的面積為，
令正六棱柱的側(cè)面積為定值時(shí)，
蜂房的表面積為，
，令得到，
經(jīng)研究函數(shù)的單調(diào)性，
得到函數(shù)在處取得極小值，
此時(shí)，
在中，令，
由余弦定理得,
頂點(diǎn)的曲率為，
其余弦值為.
13．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．
（1）如圖1，已知長(zhǎng)方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，點(diǎn)P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求四棱錐P﹣ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值；
（2）圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，然后用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格．區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是哪個(gè)區(qū)域？（確定“區(qū)域α”還是“區(qū)域β”）
【解析】（1）計(jì)∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠QnPQ1＝θ，則離散曲率為1﹣，θ越大離散曲率越小．
P在底面ABCD的投影記為H，通過直觀想象，當(dāng)H點(diǎn)在平面ABCD中逐漸遠(yuǎn)離正方形ABCD的中心，以至于到無窮遠(yuǎn)時(shí)，θ逐漸減小以至于趨近于0．所以當(dāng)H點(diǎn)正好位于正方形ABCD的中心時(shí)，θ最大，離散曲率最小．此時(shí)HA＝HB＝＝PH，所以PA＝PB＝1＝AB，所以∠APB＝60°，θ＝，
離散曲率為1﹣×＝，所以四棱錐P﹣ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值為；
（2）區(qū)域β比區(qū)域α更加平坦，所以θ更大，離散曲率更小．
所以區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是區(qū)域β．
14．（2024·高二·上海浦東新·期末）（1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：，求該正四面體的體積．
【解析】（1）取的三等分點(diǎn)，，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，
過三點(diǎn)，，作平面，過三點(diǎn)，，作平面，
因?yàn)椋云矫嫫矫妫?br/>再過點(diǎn)，分別作平面，與平面平行，那么四個(gè)平面，，，依次相互平行，
由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故，，，為所求平面．
（2）如圖，將此正四面體補(bǔ)形為正方體（如圖），
分別取、、、的中點(diǎn)、、、，
平面與是分別過點(diǎn)、的兩平行平面，若其距離為1，
則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
若，因?yàn)椋?br/>在直角三角形中，，所以，所以，
又正四面體的棱長(zhǎng)為，
所以此正四面體的體積為．
15．（2024·高三·上海徐匯·期末）已知，，，定義一種運(yùn)算：，已知四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，
（1）試計(jì)算的絕對(duì)值的值，并求證面；
（2）求四棱錐的體積，說明的絕對(duì)值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義.
【解析】（1）由題意＝48．
，，
∴，即．是平面內(nèi)兩相交直線，
∴平面．
（2）由題意，，
，
，
∴．
∴，
猜想：的絕對(duì)值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．
16．（2024·高二·上海·期末）類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為．已知曲面的方程為．
(1)寫出坐標(biāo)平面的方程（無需說明理由），指出平面截曲面所得交線是什么曲線，說明理由；
(2)已知直線過曲面上一點(diǎn)，以為方向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點(diǎn)均在曲面上）；
(3)已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時(shí)，過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上．設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．
【解析】（1）根據(jù)坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面的方程為，
已知曲面的方程為，
當(dāng)時(shí)，平面截曲面所得交線上的點(diǎn)滿足，
即，
也即在平面上到原點(diǎn)距離為定值1，
從而平面截曲面所得交線是平面上，以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓.
（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，
由，均為直線的方向向量，有，
從而存在實(shí)數(shù)，使得，即，
則，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
于是，
因此點(diǎn)的坐標(biāo)總是滿足曲面的方程，從而直線在曲面上.
（3）直線在曲面上，且過點(diǎn)，
設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，直線的方向向量為，
由，均為直線的方向向量，有，
從而存在實(shí)數(shù)，使得，即，
則，解得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵在曲面上，∴，
整理得，
由題意，對(duì)任意的，有恒成立，
∴，且，
∴，或，
不妨取，則，或，
∴，或，
又直線的方向向量為，
則異面直線與所成角的余弦值均為
17．（2024·高二·湖北黃石·期中）（1）寫出點(diǎn)到直線（不全為零）的距離公式;
（2）當(dāng)不在直線l上，證明到直線距離公式.
（3）在空間解析幾何中，若平面的方程為：（不全為零），點(diǎn)，試寫出點(diǎn)P到面的距離公式（不要求證明）
【解析】（1）；
（2）設(shè)于點(diǎn)Q，
設(shè)，由，以及直線l的斜率為，
可得l的垂線PQ的斜率為，
故垂線PQ的方程為，即
解方程組，
得直線l與PQ的交點(diǎn)坐標(biāo)，即垂足Q的坐標(biāo)為
因此，點(diǎn)到直線的距離為，
當(dāng)，，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，
而，故滿足要求
同理時(shí)，上述公式仍然成立.
（3），理由如下：
點(diǎn)在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，為平面的法向量，
過點(diǎn)作⊥平面，垂足為，則即為點(diǎn)P到平面的距離，
其中，則
，
因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，所以，
故，
故，證畢.
18．（2024·山東日照·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），且的周長(zhǎng)為8．將平面沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，．

(1)當(dāng)時(shí)，
①求證：；
②求平面和平面所成角的余弦值；
(2)是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）①由橢圓定義可知，
所以的周長(zhǎng)，所以，
因?yàn)殡x心率為，故，解得，
則，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，
所以橢圓方程為，
直線，即，
聯(lián)立得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以，
故⊥，折疊后有⊥，
因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵雌矫妗停痪€為，
平面，
所以⊥平面，
因?yàn)槠矫妫浴停?br/>②以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后的軸負(fù)半軸為軸，原軸為軸，原軸正半軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
其中平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，故，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
故平面與平面的夾角的余弦值為；
（2）設(shè)折疊前，折疊后對(duì)應(yīng)的，
設(shè)直線方程為，
將直線與橢圓方程聯(lián)立得，，
則，
在折疊前可知，
折疊后，在空間直角坐標(biāo)系中，，，
由，，
故，
所以①，
分子有理化得，
所以②，
由①②得，
因?yàn)?br/>，
故，
即，
將代入上式得
，
兩邊平方后，整理得，
即，解得，
因?yàn)椋?
19．（2024·高二·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面OABC在xOy平面內(nèi)，且拋物線Q：經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．點(diǎn)B在y軸正半軸上，平面OABC，側(cè)棱OP與底面所成角為．
(1)求m的值；
(2)若是拋物線Q上的動(dòng)點(diǎn)，M是棱OP上的一個(gè)定點(diǎn)，它到平面OABC的距離為，寫出M、N兩點(diǎn)之間的距離，并求的最小值；
(3)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得當(dāng)取得最小值時(shí)，異面直線MN與OB互相垂直？請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）由四棱錐是底面邊長(zhǎng)為的正方形，則，
則，
所以；
（2）因?yàn)槠矫鍻ABC，
所以即為直線與平面所成角的平面角，
即，
因?yàn)辄c(diǎn)到平面OABC的距離為，
則點(diǎn)，
由是拋物線Q上的動(dòng)點(diǎn)，則，即，
則，
令，設(shè)，對(duì)稱軸為直線，
①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
此時(shí)函數(shù)在取得最小值，
即，
此時(shí)，
綜上；
（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與原點(diǎn)重合，
則直線與為相交直線，不符；
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)取最小值時(shí)，，
不妨設(shè)，則，
，
則，
當(dāng)異面直線與垂直時(shí)，，
即，無解，
綜上所述，不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得異面直線與垂直.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題06 高等解析幾何背景新定義
【題型歸納目錄】
題型一：特殊空間幾何體新定義
題型二：空間斜坐標(biāo)系新定義
題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義
題型四：空間直線方程
題型五：空間平面方程
題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義
題型七：解析幾何概念新定義
【方法技巧與總結(jié)】
空間立體幾何與解析幾何新定義試題呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)通常為“給出圖形的新定義—探索圖形的新性質(zhì)—運(yùn)用圖形的新性質(zhì)解決問題”，設(shè)問的層次通常為從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般．理解概念重要的不僅是概念如何定義，而且是概念能夠引出哪些性質(zhì)（具有哪些表征）；研究圖形重要的不僅是發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論，而且是采用了怎樣的思想方法．這正是數(shù)學(xué)課程性質(zhì)中的抽象結(jié)構(gòu)思想和數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中的核心素養(yǎng)導(dǎo)向的體現(xiàn)．
【典型例題】
題型一：特殊幾何體新定義
【典例1-1】（2024·高三·河北·階段練習(xí)）已知，，，定義一種運(yùn)算：，在平行六面體中，，，.
(1)證明：平行六面體是直四棱柱；
(2)計(jì)算，并求該平行六面體的體積，說明的值與平行六面體體積的關(guān)系.
【典例1-2】（2024·高二·上海徐匯·期中）設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中（，2，…，k，）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且．
(1)求直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；
(2)若直四棱柱在點(diǎn)A處的離散曲率為x，直四棱柱體積為，求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間．
【變式1-1】（2024·遼寧沈陽·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為.
(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；
(2)若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，設(shè)
（i）用表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積；
（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值.
題型二：斜坐標(biāo)系新定義
【典例2-1】（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系．如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸，軸，軸）正方向上的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組一一對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．
(1)若，求的斜坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，，建立“空間斜坐標(biāo)系”如下圖所示．

①若，求向量的斜坐標(biāo)；
②若，且，求．
【典例2-2】（2024·高二·四川綿陽·階段練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸 軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為，記作．

(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點(diǎn)．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．
①求的斜60°坐標(biāo)；
②若，求與夾角的余弦值．
【變式2-1】（2024·高二·山東濰坊·期中）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜坐標(biāo)系”下向量的斜坐標(biāo)：分別為“斜坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸 軸 軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜坐標(biāo)為，記作．
(1)若，，求的斜坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．若，且，求
【變式2-2】（2024·高二·江蘇常州·期中）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸 y軸 z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作.
(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；
(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.
①若，求向量的斜坐標(biāo)；
②若，且，求.
題型三：結(jié)合解析幾何距離新定義
【典例3-1】（2024·高二·北京·期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則
(1)①點(diǎn)，，求的值．
②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
(2)已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；
(3)設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．
【典例3-2】（2024·高三·上海青浦·開學(xué)考試）我們稱點(diǎn)P到圖形C上任意一點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)P到圖形C的距離，記作.
（1）求點(diǎn)到拋物線的距離；
（2）設(shè)是長(zhǎng)為2的線段，求點(diǎn)集所表示圖形的面積.
【變式3-1】（2024·江蘇南通·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：的離心率為，直線l與Γ相切，與圓O：相交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，.
(1)求Γ的方程；
(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.
（ⅰ）若M，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求；
（ⅱ）若，均存在，記兩者中的較大者為.已知，，均存在，證明：.
【變式3-2】（2024·高二·山東青島·期中）中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對(duì)稱精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國(guó)人喜愛. 它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結(jié)”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的伯努利雙紐線. 在平面上，我們把與定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個(gè)焦點(diǎn). 數(shù)學(xué)家雅各布 伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究. 已知曲線是一條伯努利雙紐線.
(1)求曲線C的焦點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(2)試判斷曲線C上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O.如果存在，求出A，B坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式3-3】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線和點(diǎn)，，記，若，則稱點(diǎn)，被直線l分離，若曲線c與直線l沒有公共點(diǎn)，且曲線c上存在點(diǎn)，被直線l分隔，則稱直線l為曲線c的一條分隔線．
（1）求證：點(diǎn)，被直線分隔；
（2）若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，求證：通過原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．
題型四：空間直線方程
【典例4-1】（2024·高二·寧夏銀川·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，三棱錐，，，.
(1)求三棱錐的體積
(2)用求軌跡方程的思想方法，試求在空間直角坐標(biāo)系中，以為方向向量，過點(diǎn)的直線方程
【典例4-2】（2024·高二·浙江臺(tái)州·期末）我們知道，在平面中，給定一點(diǎn)和一個(gè)方向可以唯一確定一條直線．如點(diǎn)在直線l上，為直線l的一個(gè)方向向量，則直線l上任意一點(diǎn)滿足：，化簡(jiǎn)可得，即為直線l的方程．類似地，在空間中，給定一點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量可以唯一確定一個(gè)平面．
(1)若在空間直角坐標(biāo)系中，，請(qǐng)利用平面的法向量求出平面的方程；
(2)試寫出平面（A，B，C不同時(shí)為0）的一個(gè)法向量（無需證明），并證明點(diǎn)到平面的距離為．
題型五：空間平面方程
【典例5-1】（2024·高二·上海楊浦·期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們知道ax＋by＋c＝0（a、b不全為0）是直線的一般式方程．而在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們稱ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全為0）為平面的一般式方程．
(1)求由點(diǎn)，，確定的平面的一般式方程；
(2)證明：為平面ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全為0）的一個(gè)法向量；
(3)若平面的一般式方程為ax＋by＋cz＋d＝0（a、b、c不全為0），為平面外一點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．
【典例5-2】（2024·高二·湖南·課時(shí)練習(xí)）閱讀“多知道一點(diǎn)：平面方程”，并解答下列問題：
(1)建立空間直角坐標(biāo)系，已知，，三點(diǎn)，而是空間任意一點(diǎn)，求A，B，C，P四點(diǎn)共面的充要條件．
(2)試求過點(diǎn)，，的平面ABC的方程，其中a，b，c都不等于0．
(3)已知平面有法向量，并且經(jīng)過點(diǎn)，求平面的方程．
(4)已知平面的方程為，證明：是平面的法向量．
(5)①求點(diǎn)到平面的距離；
②求證：點(diǎn)到平面的距離，并將這個(gè)公式與“平面解析幾何初步”中介紹的點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行比較．
題型六：立體幾何與解析幾何結(jié)合新定義
【典例6-1】（2024·高三·浙江寧波·期末）已知橢圓C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為（）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），的周長(zhǎng)為8．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱錐的體積，
②若，異面直線和所成角的余弦值；
③是否存在（），使得折疊后的周長(zhǎng)為與折疊前的周長(zhǎng)之比為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【典例6-2】（2024·高二·山東青島·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描的重要一步.如圖所示，這是一個(gè)用來練習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描的石膏幾何體，它是由一個(gè)圓柱和一個(gè)正三棱錐穿插而成的對(duì)稱組合體.棱和面與圓柱側(cè)而相切，點(diǎn)是棱與圓柱側(cè)而的切點(diǎn).直線分別與面，面交于點(diǎn)，圓柱在面，面上分別截得橢圓.在平面和平面中，橢圓上分別有兩組不重合的兩點(diǎn)和（圖中未畫出）.且滿足關(guān)系.已知三棱錐的外接球表面積為，圓柱的底面直徑為，請(qǐng)問平面，平面上是否分別存在點(diǎn)，使得對(duì)于滿足的直線分別恒過定點(diǎn).若存在，試求和夾角的余弦值：若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式6-1】（2024·高三·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，為圓柱的一條母線，且.過點(diǎn)且不與圓柱底面平行的平面與平面垂直，軸與交于點(diǎn)，平面截圓柱的側(cè)面得到一條閉合截線，截線與平面的另一交點(diǎn)為.已知該截線為一橢圓，且和分別為其長(zhǎng)軸和短軸，為其中心.為在上底面內(nèi)的射影.記橢圓的離心率為.

(1)求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值.
【變式6-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡(jiǎn)稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，，．
(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；
(2)求證：曲線C是拋物線．
題型七：解析幾何概念新定義
【典例7-1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．
(1)求“橢圓”的方程；
(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說明理由；
(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．
【典例7-2】（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；
(2)若點(diǎn)不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；
(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請(qǐng)說明理由.
【過關(guān)測(cè)試】
1．（2024·高三·江蘇·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，若在曲線的方程中，以(λ為非零的正實(shí)數(shù))代替得到曲線的方程，則稱曲線、關(guān)于原點(diǎn)“伸縮”，變換稱為“伸縮變換”，λ稱為伸縮比.
(1)已知曲線的方程為，伸縮比，求關(guān)于原點(diǎn)“伸縮變換”后所得曲線的方程；
(2)射線l的方程，如果橢圓經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓，若射線l與橢圓、分別交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程；
(3)對(duì)拋物線，作變換，得拋物線；對(duì)作變換，得拋物線；如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線作變換， 得拋物線，…．若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
2．（2024·高二·貴州貴陽·期末）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與定點(diǎn)（或的距離和它到定直線（或）的距離之比是常數(shù)，則，化簡(jiǎn)可得，設(shè)，則得到方程，所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，這是從另一個(gè)角度給出了橢圓的定義.這里定點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線；定點(diǎn)是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，直線稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線.
根據(jù)橢圓的這個(gè)定義，我們可以把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.若點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，我們把這個(gè)公式稱為橢圓的焦半徑公式.
結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：
已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是該橢圓上第一象限的點(diǎn)，且軸，若直線是橢圓右準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到直線的距離為8.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)也在橢圓上且的重心為，判斷是否能構(gòu)成等差數(shù)列？如果能，求出該等差數(shù)列的公差，如果不能，說明理由.
3．（2024·高三·上海黃浦·開學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且橢圓過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)所在直線的方程；
(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，（2）中的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針排列.證明：四邊形的面積小于.
4．（2024·高三·貴州·開學(xué)考試）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱A，B為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作．已知橢圓C：上一點(diǎn)．
(1)求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)B所在直線l的方程．
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且，（1）中的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．
①求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
②設(shè)四點(diǎn)，P，，Q在橢圓C上逆時(shí)針排列，證明：四邊形的面積小于．
5．（2024·高二·湖南·階段練習(xí)）已知曲線，當(dāng)變化時(shí)得到一系列的橢圓，我們把它稱為“橢圓群”．
(1)求“2-1橢圓群”中橢圓的離心率；
(2)若“橢圓群”中的兩個(gè)橢圓、對(duì)應(yīng)的t分別為、，且，則稱、為“和諧橢圓對(duì)”．已知、為“和諧橢圓對(duì)”，P是上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線交于A、B兩點(diǎn)，Q為上異于A、B的任意一點(diǎn)，且滿足，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；否則，說明理由．
6．（2024·高三·上海虹口·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.
(1)設(shè)，若的焦距為2，l過點(diǎn)，求l的方程；
(2)設(shè)，若是上的一點(diǎn)，且，l與交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為的上頂點(diǎn)，求面積的最大值；
(3)設(shè)是l的一個(gè)法向量，M是l上一點(diǎn)，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)N，定義.用a、b、k、m表示，并利用與的大小關(guān)系，提出一個(gè)關(guān)于l與位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.
7．（2024·高二·上海青浦·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)、直線，我們稱為點(diǎn)到直線的方向距離.
（1）設(shè)雙曲線上的任意一點(diǎn)到直線，的方向距離分別為，求的值；
（2）設(shè)點(diǎn)、到直線的方向距離分別為，試問是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的都有成立？說明理由；
（3）已知直線和橢圓，設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到直線的方向距離分別為滿足，且直線與軸的交點(diǎn)為、與軸的交點(diǎn)為，試比較的長(zhǎng)與的大小.
8．（2024·高二·北京·期中）已知集合，定義上兩點(diǎn)，
的距離.
（1）當(dāng)時(shí)，以下命題正確的有__________（不需證明）：
①若，，則；
②在中，若，則；
③在中，若，則;
（2）當(dāng)時(shí)，證明中任意三點(diǎn)滿足關(guān)系；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，其中，
.求滿足點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明從這個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或者以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于.
9．（2024·高二·廣東東莞·期中）（1）在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面的法向量，且平面經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn).求證：.
（2）我們稱（1）中結(jié)論為平面的點(diǎn)法式方程，若平面過點(diǎn)，求平面的點(diǎn)法式方程.
10．（2024·高一·福建泉州·期末）球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角 邊 面積等問題，其在航海 航空 衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱為球的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對(duì)于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn)，，，過任意兩點(diǎn)的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個(gè)大圓均可交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，如圖1的和；若球面上，，的對(duì)徑點(diǎn)分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球的半徑為，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面 圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為，.記.
（1）請(qǐng)寫出，，的值，并猜測(cè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求(用，，，表示).
11．（2024·高一·四川成都·期末）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．
（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；
（2）如圖2，平行六面體中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值．
13．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．
（1）如圖1，已知長(zhǎng)方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，點(diǎn)P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求四棱錐P﹣ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值；
（2）圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，然后用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格．區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是哪個(gè)區(qū)域？（確定“區(qū)域α”還是“區(qū)域β”）
14．（2024·高二·上海浦東新·期末）（1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：，求該正四面體的體積．
15．（2024·高三·上海徐匯·期末）已知，，，定義一種運(yùn)算：，已知四棱錐中，底面是一個(gè)平行四邊形，，，
（1）試計(jì)算的絕對(duì)值的值，并求證面；
（2）求四棱錐的體積，說明的絕對(duì)值的值與四棱錐體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算的絕對(duì)值的幾何意義.
16．（2024·高二·上海·期末）類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為．已知曲面的方程為．
(1)寫出坐標(biāo)平面的方程（無需說明理由），指出平面截曲面所得交線是什么曲線，說明理由；
(2)已知直線過曲面上一點(diǎn)，以為方向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點(diǎn)均在曲面上）；
(3)已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時(shí)，過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上．設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．
17．（2024·高二·湖北黃石·期中）（1）寫出點(diǎn)到直線（不全為零）的距離公式;
（2）當(dāng)不在直線l上，證明到直線距離公式.
（3）在空間解析幾何中，若平面的方程為：（不全為零），點(diǎn)，試寫出點(diǎn)P到面的距離公式（不要求證明）
18．（2024·山東日照·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），且的周長(zhǎng)為8．將平面沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，．

(1)當(dāng)時(shí)，
①求證：；
②求平面和平面所成角的余弦值；
(2)是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
19．（2024·高二·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面OABC在xOy平面內(nèi)，且拋物線Q：經(jīng)過O、A、C三點(diǎn)．點(diǎn)B在y軸正半軸上，平面OABC，側(cè)棱OP與底面所成角為．
(1)求m的值；
(2)若是拋物線Q上的動(dòng)點(diǎn)，M是棱OP上的一個(gè)定點(diǎn)，它到平面OABC的距離為，寫出M、N兩點(diǎn)之間的距離，并求的最小值；
(3)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得當(dāng)取得最小值時(shí)，異面直線MN與OB互相垂直？請(qǐng)說明理由．
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