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11.2.2 一元一次不等式（第2課時） 教學設計
一、內容和內容解析
1.內容
本節課是人教版《義務教育教科書 數學》七年級下冊（以下統稱“教材”）第十一章“不等式與不等式組”11.2.2 一元一次不等式（2），內容包括：能夠根據具體的數量關系，列出一元一次不等式解決實際問題；掌握列一元一次不等式解決實際問題的基本步驟.
2.內容解析
作為解決實際問題的有力工具，一元一次不等式能幫助學生處理生活中大量涉及不等關系的問題，增強數學應用能力. 列一元一次不等式解決實際問題與列方程解決實際問題有相似之處，同樣需要分析題目中的已知量和未知量，但不同的是，此時挖掘的是不等關系. 學生先前列方程的經驗，在設未知數和分析數量關系環節能為列不等式提供一定思路，但需引導他們轉變思維，關注不等關系的識別.
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：能夠根據具體的數量關系，列出一元一次不等式解決實際問題.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）能夠根據具體的數量關系，列出一元一次不等式解決實際問題.
（2）掌握列一元一次不等式解決實際問題的基本步驟．
（3）通過探究實際問題，進一步體會一元一次不等式的應用價值，發展模型觀念．
2.目標解析
（1）學生需要掌握一元一次不等式及其解法，更要能在實際情境中依據具體數量關系列出并求解不等式. 這意味著學生不僅能準確辨別式子是否為一元一次不等式，按步驟正確解題，還能在實際問題中敏銳捕捉不等關系，完成從實際到數學模型構建及求解的全過程
（2）學生要全程參與列一元一次不等式解決實際問題的探索. 通過對比一元一次方程與一元一次不等式，自主總結類比方法；在求解不等式和解決實際問題時，深入理解轉化過程，學會將現實問題數學化，構建不等式模型并求解，借此提升分析與解決問題的綜合能力.
（3）在解不等式及處理實際問題的過程中，學生要逐漸培養應用意識，提升運算能力. 從生活情境中抽象出不等式模型并解決問題，能增強對數學實用性的認知. 反復運算求解與處理實際問題，有助于提高運算準確性和速度，養成嚴謹認真的學習態度，深刻體會數學對生活實踐的指導價值.
三、教學問題診斷分析
從實際問題抽象數學模型需較強分析理解能力，對部分學生頗具挑戰. 面對實際問題，學生可能難以快速梳理不等關系列出不等式.
1.在實際應用中，學生容易誤解題意，找錯不等關系，列出錯誤的不等式. 因此，課堂上應針對實際應用易錯點增加專項練習，剖析常見錯誤案例，讓學生明確錯誤根源，提升識別與避免錯誤的能力.
2.教學中多引導學生逐步分析題目中的已知、未知量，尋找不等關系列出不等式. 引導學生結合實際問題背景，詳細闡述不等式解的含義，通過具體實例強化理解. 鼓勵學生小組合作交流，共同探討分析解決問題的方法，培養合作與思維能力.
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：從實際情境中抽象出數學模型，準確找到不等關系列出一元一次不等式.
四、教學過程設計
（一）復習引入
問題：同學們，我們是如何利用一元一次方程和二元一次方程組解決實際問題的？你能說說基本的步驟嗎？
（二）典例分析
例2 七年級舉辦古詩詞知識競賽，共有20道題，每一題答對得10分， 答錯或不答都扣5分．如果規定初賽成績超過90分晉級決賽，那么至少要答對多少道題才能成功晉級？
分析：“初賽成績超過90分”是問題中蘊含的不等關系，可以根據這個不等關系列出不等式．
解：設初賽答對了x道題． 根據 “初賽成績超過90分”晉級決賽，列得不等式
10x-5(20-x)＞90．
去括號，得 10x-100+5x＞90．
移項，合并同類項，得 15x＞190．
系數化為1，得 x＞12．
由x應為正整數，可得x至少為13．
答：初賽至少要答對13道題才能成功晉級．
“設”中沒有描述不等關系的詞語，“答”中含有描述不等關系的詞語.
例3 某市去年萬元地區生產總值能耗為0.320 t標準煤，如果計劃使今年萬元地區生產總值能耗比去年的下降率不小于5%，那么這個市今年萬元地區生產總值能耗至多為多少？
萬元地區生產總值能耗是指每萬元地區生產總值所消費的能源總量 （折算為標準煤），其下降率是衡量一個地區節能減排成效的重要指標．
分析 “今年萬元地區生產總值能耗比去年的下降率不小于5%”是問題中蘊含的不等關系，即
解：設這個市今年萬元地區生產總值能耗為x t標準煤.根據題意，列得不等式
去分母，得 0.320-x≥0.320×5%．
移項，合并同類項，得 -x≥-0.304．
系數化為1，得 x≤0.304．
答：這個市今年萬元地區生產總值能耗至多為0.304 t標準煤．
例4 甲、乙兩超市以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案：在甲超市累計購物超過100元后，超出100元的部分按九折收費；在乙超市累計購物超過50元后，超出50元的部分按九五折收費．顧客到哪家超市購物花費較少？
分析：在甲超市購物超過100元后享受優惠，在乙超市購物超過50元后享受優惠．因此，需要分三種情況討論：
（1）累計購物不超過50元；
（2）累計購物超過50元而不超過100元；
（3）累計購物超過100元．
解：設累計購物花費x元．
（1）當累計購物不超過50元，即x≤50時，在甲、乙兩超市購物都不享受優惠，而兩家超市以同樣價格出售同樣的商品，因此到兩超市購物花費相同．
（2）當累計購物超過50元而不超過100元，即50＜x≤100時，在甲超市購物不享受優惠，但在乙超市購物能享受優惠，因此到乙超市購物花費較少．
（3）當累計購物超過100元，即x＞100時，在甲、乙兩超市購物都能享受優惠．
① 若到甲超市購物花費較少，則
100+0.9(x-100)＜50+0.95(x-50)． 解得x＞150．
即x＞150時，到甲超市購物花費較少．
② 若到乙超市購物花費較少，則
100+0.9(x-100)＞50+0.95(x-50)．解得x＜150．
即100＜x＜150時，到乙超市購物花費較少．
③ 若到兩超市購物花費相同，則
100+0.9(x-100)＝50+0.95(x-50)． 解得x＝150．
即x＝150時，到甲、乙兩超市購物花費相同．
答：當累計購物花費不超過50元或等于150元時，到兩家超市購物花費相同；當累計購物超過50元而不到150元時，到乙超市購物花費較少；當累計購物超過150元時，到甲超市購物花費較少．
（三）鞏固練習
1. 某工程隊計劃在10天內修路6 km．施工前2天修完1.2 km后，計劃發生變化，準備至少提前2天完成修路任務，以后幾天內平均每天至少要修路多少？
解：設該工程隊以后幾天內平均每天修路x km.根據題意，列得不等式
(10-2-2)x≥6-1.2．
解得 x≥0.8．
答：該工程隊以后幾天內平均每天至少要修路0.8 km．
2. 一家商店以每輛340元的進價購入一批自行車共150輛，并以每輛450元的價格銷售．兩個月后，自行車的銷售額已超過這批自行車進貨的總費用，這時至少已售出多少輛自行車？
解：設這時已售出x輛自行車.根據題意，列得不等式
450x＞340×150．
解得 x＞113．
由x應為正整數，可得x至少為114.
答：這時至少已售出114輛自行車．
3.一批蘋果的進價是8.55元/kg，銷售中估計有5%的蘋果正常損耗．商家把售價至少定為多少，才能避免虧本？
解：設蘋果的售價是x元/kg.根據題意，列得不等式
(1-5%)x≥8.55．
解得 x≥9．
答：商家把售價至少定為9元/kg.
4.學校打算購買某款筆記本和中性筆作為獎品，獎勵給在繪畫比賽中獲獎的學生．筆記本的價格為16元/個，中性筆的價格為4元/支．如果學校一共要購買100件獎品，總費用不能超過900元，那么學校最多能買多少個筆記本？
解：設學校購買x個筆記本.根據題意，列得不等式
16x+4(100-x)≤900．
解得 x≤41．
由x應為正整數，可得x最大為41.
答：學校最多能買41個筆記本．
5.一家水果店花費10 000元購進了大櫻桃和小櫻桃各200 kg，計劃分別以39元/kg和29元/kg的價格銷售，但大櫻桃在運輸中損耗了20%．若小櫻桃的售價不變，為了使獲得的總利潤不低于預期利潤的90%，大櫻桃的售價至少要定為每千克多少元？
解：設大櫻桃的售價應定為x元/kg.根據題意，列得不等式
200×(1-20%)x+200×29-10 000≥(200×39+200×29-10 000)×90%．
解得 x≥46.5．
答：大櫻桃的售價至少要定為每千克46.5元．
6.一條食品包裝生產線完成智能化升級后，每個月生產的無菌紙盒包裝飲料的數量是原來月均產量的1.7倍．升級后，這條生產線8個月生產的無菌紙盒包裝飲料的數量比原來12個月的生產量至少多1 000萬盒，這條生產線原來平均每月的產量至少是多少萬盒？
解：設這條生產線原來平均每月的產量是x萬盒.根據題意，列得不等式
8×1.7x-12x≥1 000．
解得 x≥625．
答：這條生產線原來平均每月的產量至少是625萬盒．
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略.
（四）歸納總結
感受中考
1.（2024 山西）為加強校園消防安全，學校計劃購買某種型號的水基滅火器和干粉滅火器共50個．其中水基滅火器的單價為540元/個，干粉滅火器的單價為380元/個．若學校購買這兩種滅火器的總價不超過21000元，則最多可購買這種型號的水基滅火器多少個？
解：設可購買這種型號的水基滅火器x個，則購買干粉滅火器（50﹣x）個，根據題意得：
540x+380（50﹣x）≤21000，
解得： x≤12.5，
∵x為整數，
∴x取最大值為12，
答：最多可購買這種型號的水基滅火器12個．
2.（2024 哈爾濱）春浩中學在校本課程的實施過程中，計劃組織學生編織大、小兩種中國結．若編織2個大號中國結和4個小號中國結需用繩20米；若編織1個大號中國結和3個小號中國結需用繩13米．
（1）求編織1個大號中國結和1個小號中國結各需用繩多少米；
（2）春浩中學決定編織以上兩種中國結共50個，這兩種中國結所用繩長不超過165米，那么該中學最多編織多少個大號中國結？
解：（1）設編織1個大號中國結需用繩x米，編織1個小號中國結需用繩y米，由題意得：
，
解得： ，
答：編織1個大號中國結需用繩4米，編織1個小號中國結需用繩3米；
（2）該中學編織m個大號中國結，則編織（50﹣m）個小號中國結， 由題意得：
4m+3（50﹣m）≤165，
解得： m≤15，
答：該中學最多編織15個大號中國結．
3.（2024 成都）推進中國式現代化，必須堅持不懈夯實農業基礎，推進鄉村全面振興．某合作社著力發展鄉村水果網絡銷售，在水果收獲的季節，該合作社用17 500元從農戶處購進A，B兩種水果共1 500kg進行銷售，其中A種水果收購單價10元/kg，B種水果收購單價15元/kg．
（1）求A，B兩種水果各購進多少千克；
（2）已知A種水果運輸和倉儲過程中質量損失4%，若合作社計劃A種水果至少要獲得20%的利潤，不計其他費用，求A種水果的最低銷售單價．
解：（1）設A種水果購進x千克，B種水果購進y千克，根據題意得：
，
解得： ．
答：A種水果購進1000千克，B種水果購進500千克；
（2）設A種水果的銷售單價為m元/千克，根據題意得：
1000×（1﹣4%）m﹣10×1000≥10×1000×20%，
解得： m≥12.5，
∴m的最小值為12.5．
答：A種水果的最低銷售單價為12.5元/千克．
設計意圖：在學習完知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力.
（六）小結梳理
（七）布置作業
1.必做題：習題11.2 第5，6題.
2.探究性作業：習題11.2 第10題.
五、教學反思
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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