資源簡介

/ 讓教學(xué)更有效 高效備課 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
11.1.2不等式的性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第十一章“不等式與不等式組”11.1.2 不等式的性質(zhì)，內(nèi)容包括：掌握不等式的基本事實(shí)和性質(zhì)，會利用不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，并能在數(shù)軸上表示其解集．
2.內(nèi)容解析
不等式的性質(zhì)在初中數(shù)學(xué)知識體系中占據(jù)關(guān)鍵位置，與前后知識緊密相連.從知識的承接來看，學(xué)生此前已學(xué)習(xí)有理數(shù)的大小比較，這為理解不等式的基本事實(shí)奠定了基礎(chǔ).同時，等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)讓學(xué)生熟悉了等式變形規(guī)則，在探究不等式性質(zhì)時，可通過類比等式性質(zhì)，助力學(xué)生快速掌握不等式性質(zhì).
從后續(xù)知識關(guān)聯(lián)而言，不等式性質(zhì)是解各類不等式（如一元一次不等式、一元一次不等式組）的核心依據(jù)，為解決含不等關(guān)系的實(shí)際問題提供理論支撐，也為高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的綜合運(yùn)用筑牢根基.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：掌握不等式的性質(zhì)1，2，3.
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
（1）掌握不等式的基本事實(shí)和性質(zhì)，會利用不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，并能在數(shù)軸上表示其解集.
（2）經(jīng)歷不等式性質(zhì)的探索過程，培養(yǎng)觀察和推理能力、體會類比思想，分類討論思想和數(shù)學(xué)歸納思想．
（3）用不等式的基本性質(zhì)解簡單的不等式，培養(yǎng)應(yīng)用意識，發(fā)展運(yùn)算能力．
2.目標(biāo)解析
（1）學(xué)生需要理解不等式的基本事實(shí)中數(shù)的大小關(guān)系與不等式符號的聯(lián)系.對于不等式的性質(zhì)，不僅要知道文字表述，更要能通過具體例子進(jìn)行驗(yàn)證、運(yùn)用和理解.學(xué)生要能夠根據(jù)給定的不等式，正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行變形，逐步求出使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍.在數(shù)軸上表示解集，學(xué)生要掌握用實(shí)心點(diǎn)或空心點(diǎn)表示端點(diǎn)值，以及根據(jù)不等號方向確定取值范圍在數(shù)軸上的表示方法.
（2）在探索不等式的性質(zhì)時，學(xué)生通過觀察不同的不等式在進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算后，不等號的變化情況，歸納總結(jié)出一般性的性質(zhì)，培養(yǎng)觀察和數(shù)學(xué)歸納能力.學(xué)生在等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)不等式性質(zhì)與等式性質(zhì)有相似之處，但在乘除負(fù)數(shù)時又有不同，在體會類比思想的同時加深對不等式性質(zhì)的理解.分類討論思想在研究不等式兩邊乘（或除以）同一個數(shù)時體現(xiàn)明顯.因?yàn)槌耍ɑ虺裕┱龜?shù)和負(fù)數(shù)時不等號方向變化不同，所以需要分類討論，讓學(xué)生明白不同情況下的處理方式.
（3）學(xué)生要能將實(shí)際問題中的不等關(guān)系抽象為不等式模型，然后運(yùn)用不等式性質(zhì)求解，培養(yǎng)應(yīng)用意識.在解不等式的過程中，學(xué)生要熟練運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等運(yùn)算，逐步提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度，發(fā)展運(yùn)算能力.
三、教學(xué)問題診斷分析
1.學(xué)生對不等式的性質(zhì)理解困難：
不等式的性質(zhì)較為抽象，尤其是涉及到乘除負(fù)數(shù)時不等號方向改變，學(xué)生容易與等式性質(zhì)混淆，難以理解其本質(zhì)原因.因此在教學(xué)過程中，需要通過大量具體數(shù)字的例子，讓學(xué)生自主計算并觀察不等號方向的變化，引導(dǎo)學(xué)生思考變化原因.同時，利用數(shù)軸直觀展示數(shù)的大小變化與不等號方向的關(guān)系，幫助學(xué)生理解.
2.求解不等式解集時出錯：
在運(yùn)用不等式的性質(zhì)求解不等式時，學(xué)生可能會在去分母、系數(shù)化為1的過程中出現(xiàn)運(yùn)算錯誤，或者在處理不等號方向時出錯.因此在教學(xué)過程中，需要加強(qiáng)對運(yùn)算步驟的規(guī)范訓(xùn)練，每一步變形都要讓學(xué)生說明依據(jù).通過小組競賽等形式，讓學(xué)生相互檢查糾錯，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性.對于容易出錯的乘除負(fù)數(shù)改變不等號方向的情況，進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)和強(qiáng)調(diào).
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：探索并理解不等式的性質(zhì)3.
四、教學(xué)過程設(shè)計
（一）復(fù)習(xí)引入
問題1 直接說出下列不等式的解集.
（1）x+4＞10 （2）2x＜6 （3）
解：（1）x＞6 （2）x＜3 （3）直接得出它的解集比較困難，因此要討論怎樣解不等式.
問題2 解一元一次方程的步驟有哪些？解方程的依據(jù)是什么？
答：解一元一次方程的步驟有：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為一.
解方程的依據(jù)是：等式的性質(zhì).
問題3 你能說說等式有哪些性質(zhì)嗎？
答：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.
等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.
（二）合作探究
關(guān)于不等式的基本事實(shí)
（1）交換不等式兩邊，不等號的方向改變：如果a＞b，那么b＜a.
（2）不等關(guān)系可以傳遞：如果a＞b，b＞c，那么a＞c．
借助數(shù)軸理解這兩個基本事實(shí)
探究1 用 “＞”或 “＜”填空，并觀察不等號的方向是否改變，總結(jié)其中的規(guī)律：
（1）5＞3，　　　　　　　　　（2）-1＜3，
　　 5+2　＞　3+2，　　 　　 -1+4　＜ 3+4，
　　 5+0　＞ 3+0，　　 　　 -1+0　＜ 3+0，
　　 5+(-2)　＞ 3+(-2)；　 -1+(-7)　＜ 3+(-7)．
根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：不等式兩邊加同一個數(shù)，不等號的方向不變．
不等式兩邊減同一個數(shù)，不等號的方向不變．
追問 換一些其他數(shù)，驗(yàn)證這個發(fā)現(xiàn).
不等式的性質(zhì)1
不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．
如果a＞b，那么a±c＞b±c．
探究2 用 “＞”或 “＜”填空，并觀察不等號的方向是否改變，總結(jié)其中的規(guī)律：
（1）6＞2，　　　　　　　　　（2）-2＜3，
　　 6×5　＞　2×5，　　 　　 -2×4　＜ 3×4，
　　 6×(-5)　＜ 2×(-5)；　　 -2×(-0.5)　＞ 3×(-0.5)．
根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：不等式兩邊乘同一個正數(shù)，不等號的方向不變．
不等式兩邊乘同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
不等式兩邊除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變．
不等式兩邊除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
追問 如果不等式兩邊乘0，結(jié)果又如何呢？
不等式的性質(zhì)2
不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或 ＞ ）．
不等式的性質(zhì)3
不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 ＜ ）．
探究3 生活中的不等關(guān)系
a≥b或a≤b形式的不等式，具有與前面所說的不等式的性質(zhì)類似的性質(zhì)．
若a≥b，則①a±c≥b±c； ②ac≥bc（c＞0）； ③ac≤bc（c＜0）.
生活中也有很多不等關(guān)系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示．
如果用v（單位：km/h）表示汽車的速度，則v應(yīng)滿足：80≤v≤100.
（三）典例分析
例2 已知a＞b，比較下列兩個式子的大小，并說明依據(jù)．
（1）a+3與b+3；　　 （2）-2a與-2b．
解：（1）因?yàn)閍＞b，所以 a+3＞b+3（不等式的性質(zhì)1）．
因?yàn)閍＞b，所以-2a＜-2b（不等式的性質(zhì)3）．
例3 利用不等式的性質(zhì)解下列不等式：
（1）x-7＞26； （2）3x＜2x+1； （3）x＞50； （4）-4x＞3．
借助不等式的性質(zhì)，將不等式逐步化為x＞m或x＜m (m為常數(shù)) 的形式.
解:（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊加7，不等號的方向不變，所以
x-7+7＞26+7，
x＞33．
這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖：
（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)1，不等式兩邊減2x，不等號的方向不變，所以
3x-2x＜2x+1-2x，
x＜1．
這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖：
（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)2，不等式兩邊乘，不等號的方向不變，所以
×x＞×50，
x＞75．
這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖：
（4）根據(jù)不等式的性質(zhì)3，不等式兩邊除以-4，不等號的方向改變，所以
＜，
x＜．
這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖：
問題 一輛汽車在高速公路上勻速行駛，6:00時汽車距前方的A地210 km，汽車要在8:00之前駛過A地，且汽車所行駛道路的最高限速是120 km/h，車速應(yīng)滿足什么條件？
解:設(shè)車速是x km/h．從路程上看，就是以x km/h的速度行駛2 h的路程要超過210 km，這個不等關(guān)系可以表示為
2x>210
解得 x>105.
因?yàn)槠囁旭偟缆返淖罡呦匏偈?20 km/h，所以車速應(yīng)滿足105例4 如圖，一個長方體形狀的魚缸長10 dm，寬3.5 dm，高7 dm．若魚缸內(nèi)已有水的高度為1 dm，現(xiàn)準(zhǔn)備向魚缸內(nèi)繼續(xù)注水．用V（單位：dm3）表示新注入水的體積，寫出V的取值范圍并在數(shù)軸上表示．
分析 問題中的不等關(guān)系是：已有水的體積與新注入水的體積之和不能超過魚缸的容積．
解：因?yàn)?“已有水的體積＋新注入水的體積V≤魚缸的容積”，所以
10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，
解得 V≤210．
又由于新注入水的體積V不能是負(fù)數(shù)，所以V的取值范圍是0≤V≤210．
在數(shù)軸上表示V的取值范圍如圖所示．
（四）鞏固練習(xí)
1. 已知p＞q，用 “＞”或 “＜”填空，并說明依據(jù)：
（1）p+ ＞ q+； 不等式的性質(zhì)1 （2）p-2 ＞ q-2； 不等式的性質(zhì)1
（3）p+2m ＞ q+2m； 不等式的性質(zhì)1 （4）-5p ＜ -5q； 不等式的性質(zhì)3
（5） ＞ ； 不等式的性質(zhì)2 （6）4p+1 ＜ 4q+1．不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)1
2. 已知m＞3，利用不等式的性質(zhì)寫出下列各式的取值范圍：
（1）m+5；　　 （2）；　　 （3）-2m；　　 （4）3m-4．
解：（1）m+5＞8；不等式的性質(zhì)1　　 （2）＞；不等式的性質(zhì)2　　
（3）-2m＜-6；不等式的性質(zhì)3　　 （4）3m-4＞5．不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)1
3.已知a＞b，用 “＜”或 “＞”填空，并說明依據(jù)：
（1）2a-5 ＞ 2b-5；不等式的性質(zhì)2，不等式的性質(zhì)1.
（2）-3.5b+1 ＞ -3.5a+1．不等式的基本事實(shí)，不等式的性質(zhì)3，不等式的性質(zhì)1.
4. 關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，寫出相應(yīng)的解集．
（1）（2）（3）
解：（1）x≥-2 （2）x<3 （3）-15. 利用不等式的性質(zhì)解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集：
（1）x+5＞-1；　　　 （2）4x＜3x+5；　　　 （3） x ≤ ；　　　 （4）-8x＞10．
6. 某日北京的最低氣溫是19 ℃，最高氣溫是28 ℃，用不等式表示這天的氣溫t（單位：℃）的變化范圍．
解：氣溫t（單位：℃）的變化范圍是197. 如圖是某機(jī)器零件的設(shè)計圖紙 （圖中長度單位：mm），用不等式表示零件長度L的合格尺寸 （L的取值范圍）．
解：零件長度L的合格尺寸是39.98≤L≤40.02.
8. 用不等式表示下列不等關(guān)系，寫出解集并在數(shù)軸上表示解集：
（1）x的3倍大于1； （2）x與3的和不小于7；
（3）y的小于或等于-2； （4）y的2倍小于y與1的差．
設(shè)計意圖：學(xué)完新知識后及時進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知的理解，還可以及時反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時調(diào)整教學(xué)策略.
歸納總結(jié)
思考 比較不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)3，指出它們有什么區(qū)別．再比較不等式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)，它們有什么異同？
答：等式的性質(zhì)有兩條，它們表明了等式兩邊進(jìn)行同樣的加（減）、乘（除）運(yùn)算時，相等關(guān)系不變.
不等式的性質(zhì)有三條，它們表明了不等式兩邊進(jìn)行同樣的加（減）、乘（除）運(yùn)算時，大小關(guān)系有時不變，有時改變. 對于乘法和除法運(yùn)算，不等式的性質(zhì)要分兩種情況論述.
感受中考
1.（2024 長春）不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學(xué)的身高，c表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（A）
A．若a＞b，則a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，則a＞c
C．若a＞b，c＞0，則ac＞bc D．若a＞b，c＞0，則
2.（2024 蘇州）若a＞b﹣1，則下列結(jié)論一定正確的是（D）
A．a(chǎn)+1＜b B．a(chǎn)﹣1＜b C．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)+1＞b
3.（2024 內(nèi)江）不等式3x≥x﹣4的解集是（A）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
4.（2024 湖北）不等式x+1≥2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（A）
A． B．
C． D．
設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)完知識后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力.
（七）小結(jié)梳理
（八）布置作業(yè)
1.必做題：習(xí)題11.1 第4題，第5題，第6題.
2.探究性作業(yè)：習(xí)題11.1 第11題，第12題.
五、教學(xué)反思
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