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專(zhuān)題13 圓錐曲線二級(jí)結(jié)論秒殺技巧
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題型01 橢圓、雙曲線、拋物線的通徑 1
題型02 橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式 8
題型03 中點(diǎn)弦問(wèn)題秒殺公式 10
題型04 雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為 20
題型05 離心率秒殺公式 24
題型06 拋物線中與焦半徑有關(guān)的秒殺公式 30
題型01 橢圓、雙曲線、拋物線的通徑
【解題規(guī)律·提分快招】
一、通徑的定義 1、焦點(diǎn)弦 過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的直線交圓錐曲線于兩點(diǎn)，則稱(chēng)線段為圓錐曲線的焦點(diǎn)弦. 2、通徑 與圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)軸垂直的焦點(diǎn)弦叫做該圓錐曲線的通徑. 二、通徑的性質(zhì) 【性質(zhì)1】橢圓和雙曲線通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為. 【性質(zhì)2】橢圓和雙曲線的通徑長(zhǎng)為，拋物線的通徑長(zhǎng)為. 性質(zhì)1、性質(zhì)2的證明： ①如圖1，不妨設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)，且在第一象限，把，代入橢圓方程，得到，，，進(jìn)一步可得通徑長(zhǎng).若過(guò)左焦點(diǎn)，同理可得通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為. ②對(duì)于雙曲線，證明過(guò)程同橢圓. ③對(duì)于拋物線，如圖2，把，帶入拋物線方程得到，，通徑.
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·四川雅安·三模）已知過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦被稱(chēng)為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱(chēng)圓的直徑為通徑.已知圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的通徑的上端點(diǎn)就是拋物線通徑的上右端點(diǎn)，可得拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，從而可得答案.
【詳解】因?yàn)閳A的一條直徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，
而拋物線的通徑與軸垂直，
所以圓的這條直徑與軸垂直，
且圓的直徑的上端點(diǎn)就是拋物線通徑的右端點(diǎn)，
因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，
所以該圓與軸垂直的直徑的上端點(diǎn)為，
即拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即.
故選：C
2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別記為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若弦長(zhǎng)|AB|的最小值為3，且的周長(zhǎng)為8，則橢圓的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)最小時(shí)，弦所在直線與軸（長(zhǎng)軸）垂直，此時(shí)弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)（弦邊另一個(gè)焦點(diǎn)）的周長(zhǎng)為，由此求得，得結(jié)論．
【詳解】由題意可知，焦距等于2
故選：B．
3．（24-25高三上·福建寧德·階段練習(xí)）已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)，令橢圓為且，結(jié)合已知有、求橢圓參數(shù)，即可得方程.
【詳解】由題設(shè)，令橢圓為且，其中，
令，則，可得，
由，即，故，
所以，可得（負(fù)值舍），則，
故橢圓方程為.
故選：B
4．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上，滿(mǎn)足，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可知，求解即可
【詳解】由題意可知雙曲線方程為且，
解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：B
5．（23-24高三上·全國(guó)·期中）已知點(diǎn)A，B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出，根據(jù)平行關(guān)系得到方程，得到，從而求出離心率.
【詳解】由已知得：，
將代入橢圓中，，解得，
因?yàn)锳，B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，且，所以，
其中，
由得：，
解得，
由得：，
所以橢圓C的離心率為.
故選：C.
6．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)作與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，過(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，得，焦點(diǎn)到漸近線的距離求出，由求出的值，再由求出的值，可求雙曲線的離心率.
【詳解】設(shè)，則，
過(guò)作與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，不妨設(shè)在第一象限，

由解得，所以．
由雙曲線可得漸近線為，
由對(duì)稱(chēng)性可知，到任一漸近線的距離均相等，不妨求到漸近線的距離，
所以．
因?yàn)椋裕獾茫?br/>由，則，得，所以離心率為．
故選：．
二、填空題
7．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，軸，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)所給條件，可得，再令得，帶入面積公式，計(jì)算即可得解.
【詳解】由，令得，
所以，
所以，.
故答案為：
8．（24-25高三上·陜西渭南·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)得到、通徑，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù).
【詳解】由題設(shè)，且，又，即為等腰直角三角形，

所以，通徑，即，又，故，
所以（負(fù)值舍）.
故答案為：
9．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為雙曲線的右支上一點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)，則雙曲線的兩條漸近線的夾角（銳角）的正切值為 ．
【答案】
【分析】由中位線的性質(zhì)推導(dǎo)出軸，求出，根據(jù)可求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求得雙曲線的兩條漸近線的夾角（銳角）的正切值.
【詳解】如圖，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，且，
又軸，所以，軸，
將代入雙曲線方程可得，可得，
所以，，則，即，所以，．
設(shè)經(jīng)過(guò)第一、三象限的漸近線的傾斜角為，則，則，
所以，，
故兩條漸近線的夾角的正切值為.
故答案為：.
題型02 橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式
【解題規(guī)律·提分快招】
橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對(duì)應(yīng)的張角） 證明：設(shè) ． 雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對(duì)應(yīng)的張角）
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（23-24高三上·北京豐臺(tái)·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上.若，則的面積為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，得到，再由勾股定理得，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，橢圓，可得，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，可得，
又由，可得,
聯(lián)立方程組，可得，
所以的面積為.
故選：B.

2．（24-25高三上·河南駐馬店·期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，且的面積等于8，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】利用三角形面積公式、完全平方公式、關(guān)系式及雙曲線定義即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>即，
由雙曲線定義可得，
所以，即，
又，所以，
所以，解得.

故選：.
3．（23-24高三上·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用點(diǎn)在橢圓上得出定義表達(dá)式，運(yùn)用余弦定理，聯(lián)立求得的值，再運(yùn)用三角形面積公式即得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)，由點(diǎn)在橢圓上可得：①，
由余弦定理可得：，化簡(jiǎn)得：②，
由①式兩邊平方再減去②式，得：，
于是的面積為.
故選：D.
題型03 中點(diǎn)弦問(wèn)題秒殺公式
【解題規(guī)律·提分快招】
中點(diǎn)弦問(wèn)題（點(diǎn)差法）秒殺公式 1、若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且與斜率存在時(shí)，則；（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)， 若過(guò)橢圓的中心，為橢圓上異于任意一點(diǎn)，（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)， 下述證明均選擇焦點(diǎn)在軸上的橢圓來(lái)證明，其他情況形式類(lèi)似． 直徑問(wèn)題證明：設(shè)，，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以有． 兩式相減得，所以． 中點(diǎn)弦問(wèn)題證明：設(shè)，，則橢圓兩式相減得 ． 2、雙曲線中焦點(diǎn)在軸上為，焦點(diǎn)在軸上為， 3、設(shè)直線與拋物線相交所得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·廣西玉林·期中）已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)差法即可求解斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程.
【詳解】設(shè),則，
故，
由于的中點(diǎn)為，故，因此,
故直線方程為，即，
經(jīng)檢驗(yàn)，直線與拋物線相交，滿(mǎn)足條件.
故選：C
2．（24-25高三上·重慶銅梁·階段練習(xí)）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作弦，弦恰被點(diǎn)平分，則弦所在直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率.
【詳解】設(shè)點(diǎn)、，
因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，，
若直線軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，
由題意可得，將這兩個(gè)等式作差可得，
即，所以，直線的斜率為.
故選：D.
3．（24-25高三上·四川成都·期末）設(shè)為雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)弦問(wèn)題求出直線斜率，并求出該直線方程，再與雙曲線方程聯(lián)立求出弦長(zhǎng).
【詳解】設(shè)雙曲線上的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則，
則，且，
兩式相減，得，即，
則直線斜率，直線的方程為：，
由，消去，得，解得，
.
故選：B
4．（24-25高三上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由點(diǎn)差法以及直線方程和橫坐標(biāo)聯(lián)立方程組可得.
【詳解】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為，且；
設(shè)，可得，
兩式相減可得；
由直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
可得斜率，且中點(diǎn)坐標(biāo)為；
所以，即；
解得，所以雙曲線的方程是.
故選：D
5．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則該橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依題意可求出直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)差法和題設(shè)條件可推得，結(jié)合，求出的值，即得橢圓方程.
【詳解】
如圖，由題意，點(diǎn)，，直線的斜率為，
因，故，
設(shè)點(diǎn)，則，
兩式相減，可得：（*），
因的中點(diǎn)為，則，且，
代入（*），化簡(jiǎn)可得：①又②，
聯(lián)立① ② ，解得：，故該橢圓的方程為.
故選：B.
6．（24-25高三上·重慶秀山·期末）直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得到，結(jié)合點(diǎn)差法計(jì)算得，進(jìn)而求出離心率.
【詳解】直線的斜率，如圖，

由，得，則直線的斜率，
設(shè)，則，兩式相減得，
于是，而，
因此，解得，
所以橢圓的離心率.
故選：C
7．（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積. 已知橢圓的焦點(diǎn)為，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若弦是圓的一條直徑，則橢圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圓的對(duì)稱(chēng)性可得中點(diǎn)坐標(biāo)，并由兩點(diǎn)連線斜率公式求得；利用點(diǎn)差法可結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)造關(guān)于的方程，結(jié)合可求得，進(jìn)而得到橢圓面積.
【詳解】弦是圓的一條直徑，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
又直線過(guò)點(diǎn)，，
設(shè)，
由得：，即，
又，，，
，又，，，
，，橢圓的面積.
故選：C.
8．（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、C：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于D：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，
可得，
因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對(duì)于選項(xiàng)A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)差法得到，然后逐個(gè)分析判斷，考查計(jì)算能力，屬于較難題.
9．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，且外接圓的面積為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【分析】由外接圓面積求半徑，應(yīng)用正弦定理求中的，結(jié)合已知有，根據(jù)中點(diǎn)弦，應(yīng)用點(diǎn)差法有即可求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).
【詳解】由外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.
∵是以為底邊的等腰三角形，設(shè)，則，
∴，得，
∴或.
不妨設(shè)點(diǎn)在軸下方，
由是以為底邊的等腰三角形，知：或
設(shè)，則
，，
所以，
所以，
因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，為線段的中點(diǎn)，
所以，，
所以，
所以或（此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，舍去）
∵為橢圓的右焦點(diǎn)，
，
∴，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中解決弦的中點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題，經(jīng)常利用點(diǎn)差法解決.
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線恒過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于點(diǎn)A，B，過(guò)線段AB的中點(diǎn)D作直線的垂線，垂足為E，記直線EA，EB，EF的斜率分別為，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將直線與方程聯(lián)立后得到與橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理后結(jié)合題意計(jì)算或者設(shè)出直線與拋物線相交兩點(diǎn)坐標(biāo)，借助三點(diǎn)共線計(jì)算得到為定值，即只需計(jì)算的范圍即可，結(jié)合題意由中點(diǎn)公式計(jì)算即可得.
【詳解】解法一：
因?yàn)橹本€恒過(guò)C的焦點(diǎn)F，所以，
則，拋物線C：，把代入C的方程，
得，設(shè)，，
則，，所以，
所以，，
則，
，所以，由，
得；
解法二：
因?yàn)橹本€恒過(guò)C的焦點(diǎn)F，所以，
則，拋物線C：，
設(shè)，，
由A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線得，得，
又，所以，
由直線AB的斜率為t得，
得，則，所以，
由，得.
故選: B.
題型04 雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【分析】運(yùn)用數(shù)量積的定義,長(zhǎng)度角度全部用表示，構(gòu)造之間的一個(gè)等式,運(yùn)用離心率公式求解即可.
【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)知道，，，
∵，
∴，∴離心率.
故選：D.
2．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式求出，在和中，求出，利用余弦相反構(gòu)造的齊次式，即可得解.
【詳解】，點(diǎn)到漸近線的距離為，即，
因?yàn)椋裕?br/>在中，由余弦定理得：.
在中，由余弦定理得：.
因?yàn)椋裕?br/>所以，又，所以，
所以.
故選：D
3．（24-25高三上·天津南開(kāi)·期末）已知雙曲線的離心率為為的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理可得，從而得解.
【詳解】根據(jù)題意，，由，
則，．
由余弦定理可得，
，
所以，
所以．
故選：A
4．（23-24高三上·天津和平·期末）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，且直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，過(guò)作于，根據(jù)已知及雙曲線性質(zhì)有為線段的中垂線，結(jié)合雙曲線定義及關(guān)系得到關(guān)系，即可得離心率.
【詳解】設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，過(guò)作于，
易知，所以為的中位線，
又圖中雙曲線的漸近線方程為，
則，，
則為線段的中點(diǎn)，所以為等腰三角形，即，
又，
即，
，即，，
解得.
故選：B.
5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作斜率為正且與的某條漸近線垂直的直線與雙曲線在第一象限交于，，則的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，過(guò)點(diǎn)作于，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式及雙曲線定義求出的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】令雙曲線的半焦距為，則，
令直線與雙曲線的漸近線垂直的垂足為，
于是，，
過(guò)點(diǎn)作于,則，而為線段的中點(diǎn),
所以
因?yàn)椋裕?br/>由雙曲線定義得，即，解得.
所以該雙曲線的離心率為.
故選：B.
二、填空題
6．（2024·青海海東·模擬預(yù)測(cè)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與C的一條漸近線垂直，垂足為A，且，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】令，由給定條件求出，再在中由余弦定理建立關(guān)系即可求解作答.
【詳解】令，則，而雙曲線的漸近線為，則，
令坐標(biāo)原點(diǎn)為O，有，，，則，
在中，由余弦定理得，整理得，則，
所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為．
故答案為：
題型05 離心率秒殺公式
【解題規(guī)律·提分快招】
1、設(shè)圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交曲線兩點(diǎn)，若，則． 2、已知雙曲線方程為的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn). 情形1.如圖1.若,則 圖1 圖2 如圖2.若，則
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與橢圓交于，若，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)可得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出直線的斜率.
【詳解】
由題意得，，
∴橢圓的離心率為.
設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)焦比定理得，
由得，∴，
∵，∴，
∴，，
∴，即直線的斜率為.
故選：D.
2．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)為F，過(guò)F作傾斜角為的直線交橢圓E于M、N兩點(diǎn)，且（其中），則的值為（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】首先化簡(jiǎn)橢圓方程，與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得，，再利用向量共線的坐標(biāo)表示得，消元后得的值.
【詳解】由題意可知，得，即，
橢圓方程，化簡(jiǎn)為： ，
過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，斜率為的直線為，與橢圓方程聯(lián)立，
，化簡(jiǎn)為：，
設(shè)， ,
， ①
因?yàn)椋c(diǎn)在線段上，即
，即 ②
由①②可知，解得：或
因?yàn)椋?
故選：D
3．（23-24高三下·甘肅·期末）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作斜率為2的直線交于兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)，由，得，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合可得到關(guān)于的式子，化簡(jiǎn)后可求得離心率.
【詳解】設(shè)，由，得，
設(shè)直線的方程為，
由消去，得，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，
所以，
所以，化簡(jiǎn)得，
所以，得，
所以，可得.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查求雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由題意設(shè)出直線的方程為，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)整理利用根與系數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于較難題.
二、填空題
4．（24-25高三上·上海·課后作業(yè)）若斜率為的直線l過(guò)雙曲線的上焦點(diǎn)，與雙曲線的上支交于兩點(diǎn)，，則的值為 ．
【答案】/
【分析】先假設(shè)出直線方程，再代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得，，再結(jié)合有，聯(lián)立解得的值，從而得解．
【詳解】因?yàn)殡p曲線：，所以，
設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程消去得．
設(shè)，
因?yàn)椋遥?br/>所以，．
因?yàn)椋裕?br/>所以，，
兩式聯(lián)立解得（負(fù)值舍去）．
故答案為：.
5．（23-24高三下·安徽蕪湖·期末）已知雙曲線的離心率為，左焦點(diǎn)為．若過(guò)點(diǎn)的直線斜率為，且與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，則的取值范圍為 ；過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則 ．
【答案】 或
【分析】由漸近線的性質(zhì)與離心率定義計(jì)算可得空一；分、在軸同側(cè)與在軸異側(cè)進(jìn)行討論，結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)二倍角公式計(jì)算即可得，即可得離心率.
【詳解】空一：由題意可得，則；
空二：不妨設(shè)漸近線，若、在軸同側(cè)，
則，，
即，解得，則；
若、在軸異側(cè)，則，
，
即，解得，則；
綜上所述，或.
故答案為：；或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二個(gè)空的關(guān)鍵點(diǎn)在于正確使用漸近線方程，由，故可從其傾斜角與斜率的關(guān)系入手建立相應(yīng)等式.
6．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若直線與雙曲線的另一條漸近線交于點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為 .
【答案】/
【分析】由確定與線段的位置關(guān)系，求出到漸近線的距離，接著由的關(guān)系，結(jié)合以及離心率公式即可求解.
【詳解】已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，
雙曲線右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
在中，，，所以，
設(shè)，則，，
因?yàn)椋?br/>所以，所以，所以，
在中，，
所以，即，即，
所以雙曲線的離心率.
故答案為：.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有兩種方法：
①求出，代入公式；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范圍）.
題型06 拋物線中與焦半徑有關(guān)的秒殺公式
【解題規(guī)律·提分快招】
1、拋物線中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式 已知傾斜角為直線的經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則 ①. ②. ③,. 2、過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式 ①拋物線 的焦點(diǎn)為F，是過(guò)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：. ②一般地，如果直線恒過(guò)定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么 . ③若恒過(guò)定點(diǎn). 3、拋物線中以焦半徑焦點(diǎn)弦為直徑的圓相切問(wèn)題 設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ①以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． ②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（23-24高三上·北京東城·期中）直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，若，則弦的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可求得弦的長(zhǎng).
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，
則.
故選：C.
2．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】寫(xiě)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及焦半徑公式計(jì)算求解即可.
【詳解】由已知得，則過(guò)且斜率為1的直線為，設(shè)，
聯(lián)立，消去得，
則，，
，
解得.
故選：A.
3．（2024·河南開(kāi)封·三模）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線在第一象限，第四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線AB的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作橫軸的垂線，垂足分別為，
設(shè)直線AB的傾斜角為，
由題意可設(shè)，
因?yàn)椋詾殁g角，如下圖所示：
由，
因?yàn)椋?br/>所以有，
所以，
在直角三角形中中，，
所以．
故選：C
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)直線傾斜角為，由，及，可求得，當(dāng)點(diǎn)在軸上方，又，求得，，利用對(duì)稱(chēng)性即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由，
所以，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以，所以，
當(dāng)點(diǎn)在軸上，又，
所以，，
所以由對(duì)稱(chēng)性知直線的斜率.
故選：B.
5．（24-25高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知拋物線 過(guò)拋物線的焦點(diǎn) 作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，由韋達(dá)定理得，，故選項(xiàng)AB正確；由，故C正確；由，當(dāng)時(shí)，，即,故D錯(cuò)誤.
【詳解】設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線為：，
聯(lián)立，消去得，
由韋達(dá)定理得，
則，故AB正確；
由，故C正確，
因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，，即,故D錯(cuò)誤.
故選：D.
二、多選題
6．（24-25高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】直線與拋物線聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，由，求得，進(jìn)而求得，即可判斷ABC，求出原點(diǎn)到直線的距離，代入面積公式求解判斷D.
【分析】如圖，，直線的斜率為，則設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，解得：，．
由，得，故A錯(cuò)誤；
由于，則，故C錯(cuò)誤；
同理，故B正確；
因?yàn)橹本€的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，故D正確．
故選：BD．
7．（23-24高三上·江蘇鹽城·期中）已知是拋物線上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．
C．若，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
D．若點(diǎn)為拋物線的兩條切線，則直線的方程為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)可判斷A，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)垂直關(guān)系得，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求解直線方程即可判斷C，根據(jù)切線方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)求解直線方程即可求解D.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€，故的坐標(biāo)為故A正確；
由于當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，由拋物線定義可得，但直線不一定過(guò)焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
若，故，即或（舍去），
因?yàn)橹本€，即，得，故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故C正確；
設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立 ，
所以，故 或，所以方程的根為，
故切線方程中分別為和，故，
，
可得直線，即，故D正確.
故選：ACD.
8．（24-25高三上·陜西·期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得拋物線方程，然后聯(lián)立直線和拋物線方程求得點(diǎn)A和B坐標(biāo)，利用焦半徑公式求得弦長(zhǎng)判斷B，利用面積分割法求面積判斷C，利用兩點(diǎn)式斜率和正切函數(shù)的單調(diào)性判斷A，利用數(shù)量積判斷夾角范圍判斷D.
【詳解】由題意，則拋物線：，準(zhǔn)線方程為，
則直線的方程為，
設(shè)，聯(lián)立方程組得，解得，，
所以點(diǎn)，點(diǎn)，所以，
，故選項(xiàng)BC正確；
又，所以，
故，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br/>所以，
所以為鈍角，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.

9．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切
B．直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，的最小值為6
C．若坐標(biāo)原點(diǎn)為，且，則直線過(guò)定點(diǎn)
D．與拋物線分別相切于兩點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)，若直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上
【答案】ABD
【分析】
對(duì)于A：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對(duì)于B：設(shè)方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；對(duì)于C：設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；對(duì)于D：可知拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，根據(jù)切線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合選項(xiàng)B分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如圖1，設(shè)中點(diǎn)為，分別過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，

則由拋物線的定義可得，，.
因?yàn)橹悬c(diǎn)為，所以有，
所以以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：由拋物線，可得，
由題意可知直線斜率不為，設(shè)方程為，設(shè)，，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，
則恒成立。
可得，，
則，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值6，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：先證拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，
聯(lián)立方程，消去x得，
可知方程組只有一個(gè)解，即直線與拋物線相切，
可知拋物線在點(diǎn)處的切線方程分別為，，
聯(lián)立方程，解得，即點(diǎn)，
結(jié)合選項(xiàng)B可得：，
所以點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，故D正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知直線斜率不為，設(shè)方程為，設(shè)，，，
則，，
若，則，解得或（舍去），
聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，
則，解得，
此時(shí)，符合題意，
所以，則直線過(guò)定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
故選：ABD.
10．（24-25高三上·浙江紹興·期中）拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，，以下說(shuō)法正確的有（ ）
A．以為圓心，為半徑的圓與拋物線僅有1個(gè)交點(diǎn)
B．以為直徑的圓與軸相切
C．當(dāng)軸時(shí)，取到最小值
D．若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)，則一定有
【答案】ABD
【分析】聯(lián)立圓與拋物線方程，根據(jù)解的個(gè)數(shù)判斷A；利用半徑與距離的關(guān)系判斷B；當(dāng)軸，求出的長(zhǎng)判斷C；將轉(zhuǎn)化為判斷D.
【詳解】
對(duì)于A，拋物線的焦點(diǎn)為，
所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，
聯(lián)立，得，即，
因?yàn)椋裕稽c(diǎn)坐標(biāo)為，
所以以為圓心，為半徑的圓與拋物線僅有1個(gè)交點(diǎn),故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，則的中點(diǎn)，，
則以為直徑的圓的半徑為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
所以的中點(diǎn)到軸的距離為，即以為直徑的圓與軸相切，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)過(guò)點(diǎn)直線斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)，
當(dāng)斜率存在時(shí)，直線方程為，聯(lián)立得，
設(shè)，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)軸時(shí)，取到最小值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)，所以， 直線方程為，
聯(lián)立，則，所以，
則
，所以，故D正確；
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)中，轉(zhuǎn)化為.
11．（24-25高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線與C相交于兩點(diǎn)，與C相交于兩點(diǎn)，直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，則（ ）
A．的最小值為4 B．以為直徑的圓與l相切
C．的最小值為32 D．和面積之和最小值為32
【答案】BCD
【分析】設(shè)出直線、，與拋物線聯(lián)立后消去，得到與縱坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理備用，對(duì)A，表示出，計(jì)算即可得；對(duì)B，求出該圓圓心及半徑，借助切線的性質(zhì)判定即可得；對(duì)C，表示出、的長(zhǎng)度后結(jié)合基本不等式即可得；對(duì)D，表示出兩三角形面積之和后，借助坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合基本不等式求解即可得.
【詳解】由，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，、、、，
則，
聯(lián)立，消去得：，，
有，，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，的中點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，
因，故，
則為直徑的圓以為圓心，為半徑，
而圓心到的距離為，
故以為直徑的圓與相切，即B正確；
對(duì)于C，因，
同理可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；
對(duì)于D，
，
由，則，
同理可得，，
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性及直線的對(duì)稱(chēng)性可得，，
即，可同時(shí)取等，故D正確.
故選：BCD.
一、單選題
1．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理，求，再代入三角形面積公式，即可求解.
【詳解】為橢圓上的一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，，
，，可得，即，，
設(shè)，，則有，，，
，．
的面積．
故選：C．
2．（23-24高三下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A是l上一點(diǎn)，B是直線AF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|BF|＝（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量共線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線為l：y＝－1，
設(shè)A（a，－1），B（m，n），則，，
∵，
∴－2＝－4（n－1），
∴，
∴由拋物線的定義可得
故選：B．
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為的弦有（ ）
A．8條 B．4條 C．2條 D．1條
【答案】B
【分析】結(jié)合雙曲線的通徑、左右頂點(diǎn)的距離與對(duì)稱(chēng)性，分該弦與雙曲線是否交于同一支討論即可得.
【詳解】由，可得其通徑為，
注意到左右頂點(diǎn)的距離為，
所以過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)，可作滿(mǎn)足題意與雙曲線交于兩支的弦有兩條，交于一支的情況不存在，
結(jié)合雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，該雙曲線滿(mǎn)足題意的焦點(diǎn)弦共有4條.
故選：B.
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用點(diǎn)差法即可．
【詳解】由F、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率．
∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為(-2，0)，∴c=2．
設(shè)雙曲線C的方程為，則．
設(shè)，，則，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴雙曲線C的離心率．
故選：B．
5．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在中利用邊與角的關(guān)系可得，從而有，再求出離心率即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以在中，，
所以，
所以，即，
故，則，則，
故，則，
解得（舍去，
故選：C.
6．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，一組斜率的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)斜率的平行直線與橢圓相交于，且中點(diǎn)為，結(jié)合“點(diǎn)差法”，即可求解.
【詳解】設(shè)斜率的平行直線與橢圓相交于，且中點(diǎn)為，
可得.
由，兩式相減得，
整理得，可得，
即這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為.
故選：C.
7．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】法一：設(shè)出的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用焦半徑得到，從而列出方程，求出答案；
法二：寫(xiě)成直線的參數(shù)方程，代入拋物線方程，利用參數(shù)的幾何意義得到方程，求出答案.
【詳解】法一：由題意知，故的方程為，與的方程聯(lián)立，
得，顯然，設(shè)，則，
所以，
又，
所以，
所以.
法二：直線的斜率為2，設(shè)其傾斜角為，則，故，
故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，
整理得，，顯然，
設(shè)該方程的兩根為，則，
，所以.
故選：.
8．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離可得，，，在和中，分別求出和，利用，
運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題可得雙曲線的一條漸近線方程為，，
則，則，
又，故，
在中，，
在中，，
因?yàn)椋瑒t，
即，整理可得，所以.
故選：B
9．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若P恰好是AB的中點(diǎn)，則橢圓C上一點(diǎn)M到F的距離的最大值為（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】將代入橢圓C的方程并結(jié)合已知可得，由點(diǎn)差法結(jié)合已知可得，由此求出，則C上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離的最大值為即可求解
【詳解】將代入橢圓C的方程得，
所以①，
設(shè)，，則，，
兩式相減得，
又，，，
所以②，
解①②得，，
所以，
所以C上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離的最大值為.
故選：D.
10．（2024·河南信陽(yáng)·一模）傾斜角為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與該拋物線交于點(diǎn) ，且以為直徑的圓與直線相切，則（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意確定直線即為拋物線的準(zhǔn)線，確定,設(shè)直線方程為，代入中可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式即可求得答案.
【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，
過(guò)點(diǎn)分別作l的垂線，垂足為,設(shè)的中點(diǎn)為M，作，垂足為N，
則,
即以為直徑的圓與相切，又以為直徑的圓與直線相切，
故直線即為拋物線的準(zhǔn)線，∴,
∴，設(shè)直線方程為，代入中，
∴，即，
設(shè)，∴，
∴，
故選：B.
11．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作傾斜角為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由雙曲線定義結(jié)合題目條件得到，，由直線的傾斜角和余弦定理得到，從而求出離心率.
【詳解】因?yàn)椋杂呻p曲線的定義得，，
又，所以，
因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以．
由余弦定理得，，
即，化簡(jiǎn)得，則，
解得或（舍去）．
故選：D．
12．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作斜率為的直線，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)和長(zhǎng)軸是短軸長(zhǎng)的2倍可設(shè)橢圓方程，再聯(lián)立直線和橢圓方程通過(guò)韋達(dá)定理可求解出斜率，從而求得.
【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以，而，則.
設(shè)，
直線的方程為
代入橢圓方程可得，整理得，
即.
，.
，，
所以，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，
因?yàn)椋?
故選：A.
13．（23-24高三上·山東煙臺(tái)·期末）已知直線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，且與的左 右兩支分別交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由點(diǎn)差法得，由條件知直線的傾斜角為傾斜角的兩倍，代入兩直線的斜率關(guān)系式即可求得的斜率.
【詳解】設(shè),
由均在上，為的中點(diǎn)，
得，則，
∴，
∴，
設(shè)直線的傾斜角為，則，不妨設(shè)為銳角，
∵是以為底邊的等腰三角形，∴直線的傾斜角為，則.
∴，
∴，解得，
∴由對(duì)稱(chēng)性知直線的斜率為.
故選：D
【點(diǎn)睛】中點(diǎn)弦定理：直線與橢圓（雙曲線）交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，則有，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）
此題解答過(guò)程中中點(diǎn)弦定理起了核心作用，通過(guò)中點(diǎn)弦定理建立了與的關(guān)系，另一方面通過(guò)是以為底邊的等腰三角形可能建立兩直線傾斜角的關(guān)系，從而得到所求直線的斜率.
14．（24-25高三上·上海·期中）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)垂直求直線的方程，聯(lián)立直線方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，表示，利用得到的關(guān)系，即可求出雙曲線離心率.
【詳解】由題意得，，漸近線方程為.
因?yàn)椋灾本€的方程為.
由得，即，
由得，即，
所以，
，
因?yàn)椋裕淼茫?br/>所以雙曲線的離心率.
故選：D.
二、多選題
15．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上有異于原點(diǎn)的，兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，以為切點(diǎn)的拋物線的切線分別記為，，則（ ）
A．若，則三點(diǎn)共線 B．若，則三點(diǎn)共線
C．若，則三點(diǎn)共線 D．若，則三點(diǎn)共線
【答案】BC
【分析】設(shè)方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示，.AB：結(jié)合所給的條件即可判斷；C：分別求出切線、的方程，由斜率之積為可得即可判斷；D：結(jié)合拋物線的定義化簡(jiǎn)計(jì)算即可判斷.
【詳解】設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，
則，，，
所以，
.
選項(xiàng)A：若，則，得，
故直線：，不一定經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，三點(diǎn)不一定共線，故A錯(cuò)誤.
選項(xiàng)B：若，則，得，
故直線：，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，三點(diǎn)共線，故B正確.
選項(xiàng)C：設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為：，即，
與拋物線方程聯(lián)立得，
，即，解得，
所以：，即，
即切線的方程為，同理切線的方程為，
由，得，得，由B知直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，故C正確.
選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br/>則，
整理得，則，故直線：，
不一定經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，三點(diǎn)不一定共線，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
16．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知拋物線（）的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D．若，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先根據(jù)直線斜率得出則為等邊三角形，進(jìn)而得出即可判斷A，根據(jù)平行及中點(diǎn)得出B，應(yīng)用圖形特征判斷C，再根據(jù)弦長(zhǎng)關(guān)系判斷D.
【詳解】如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，M，連接，
設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，則，
因?yàn)橹本€l的斜率為，所以其傾斜角為，

因?yàn)檩S，所以，由拋物線的定義可知，，
則為等邊三角形，所以，則，
所以，得，故A正確；
因?yàn)椋遥詾榈闹悬c(diǎn)，則，故B正確；
因?yàn)椋裕裕蔆正確；
因?yàn)椋裕蔇錯(cuò)誤．
故選：ABC.
17．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，直線過(guò)它的焦點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
B．
C．若，則
D．若以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切，則是該圓的一條直徑
【答案】ABD
【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)題意得到，即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，分別對(duì)直線斜率存在和不存在進(jìn)行討論，即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)焦點(diǎn)弦的公式即可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)D，首先過(guò)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，再結(jié)合拋物線的概念即可判斷D正確.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，
所以，，故A正確.
對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，所以，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
得：，所以.
故B正確.
對(duì)選項(xiàng)C，，故C錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)D，如圖所示：

過(guò)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，
因?yàn)椋?br/>所以，
即：以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故D正確.
故選：ABD
18．（23-24高三上·山西朔州·期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是該拋物線上的任意兩點(diǎn)，則正確的是（ ）
A．若，，則，
B．若直線的方程為,則
C．若，則直線恒過(guò)定點(diǎn)
D．若直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，且兩切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上
【答案】BCD
【分析】聯(lián)立直線方程與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求解A，，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算即可求解C，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式即可求解B，根據(jù)判別式為0求解切線方程，聯(lián)立直線方程即可求解D.
【詳解】設(shè),，,，
由題意可知直線斜率存在，可設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，消去得，
設(shè)，，
，，故A錯(cuò)誤，
，
點(diǎn),不同于原點(diǎn)，，
，，
直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)；故C正確，
若直線的方程為,則，所以，則，故，故B正確，
設(shè)方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，
，解得，
的方程，
同理方程，
聯(lián)立解得交點(diǎn),，
由于直線過(guò)點(diǎn)，故點(diǎn)在直線上，所以，故，故D正確，
故選：BCD
19．（2024·廣西柳州·一模）過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A． B．
C．以為直徑的圓與軸相切 D．
【答案】ACD
【分析】設(shè)直線l的方程為，，，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷B；設(shè)，由可判斷A；比較半徑與圓心到軸的距離即可判斷C；由拋物線的定義表示出，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可判斷D.
【詳解】由題意可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
即，所以，，
，
所以，所以，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，設(shè)直線的方程為，令，所以，
,
所以直線的斜率為，所以，故A正確.
因?yàn)椋砸詾橹睆降膱A的圓心為，半徑為，
所以圓心到軸的距離為，所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；
由拋物線的定義知：，
所以
，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
20．（23-24高三上·上海青浦·階段練習(xí)）雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，，第二象限內(nèi)的一點(diǎn)P在雙曲線上，且，則三角形的面積是 ．
【答案】/
【分析】利用雙曲線的定義表達(dá)式和余弦定理聯(lián)立方程組，可求得的值，代入三角形的面積公式計(jì)算即得.
【詳解】
由可得：，如圖，設(shè)則①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②聯(lián)立，解得：.
則三角形的面積為.
故答案為：.
21．（23-24高三上·江蘇南京·期末）已知橢圓的焦距為，過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，作垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則 ．
【答案】/
【分析】由題意可知，得，然后可求出，從而可求出橢圓方程，再將代入橢圓方程中求出，從而可求得.
【詳解】由題意可知，得，所以，
所以橢圓方程為，
橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，得，
所以.
故答案為：
22．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓M：（）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且與M的長(zhǎng)軸垂直的直線交M于C，D兩點(diǎn).若為直角三角形，則M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 .
【答案】/
【分析】由通徑的求法得出，再由為直角三角形得出，建立方程求出即可得解.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，代入橢圓方程可得，
所以，不妨設(shè)在第一象限，則，
因?yàn)闉橹苯侨切危蓹E圓的對(duì)稱(chēng)性知，，
所以，故，即，
可得，解得或（舍去），
所以橢圓M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
故答案為：
23．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，若斜率為的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】先由得到F為的重心，再利用點(diǎn)差法求得之間的關(guān)系，進(jìn)而求得橢圓的離心率
【詳解】設(shè)，線段PQ的中點(diǎn)為，
由，知F為的重心，故，
即，解得，
又M為線段PQ的中點(diǎn)，則，
又P、Q為橢圓C上兩點(diǎn)，則，
兩式相減得，
所以，
化簡(jiǎn)得，則
解得或（故舍去）
則，則離心率.
故答案為：
24．（23-24高三上·云南臨滄·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是 ．
【答案】/
【分析】
利用雙曲線通徑長(zhǎng)和與漸近線交點(diǎn)情況可得,,由和關(guān)系可求得，，由此可求得離心率．
【詳解】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，
直線
為雙曲線的通徑，則
由得，則，
由得，則
由得：
即
所以，
所以離心率
故答案為：
25．（23-24高三上·河北邯鄲·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的斜率為 .
【答案】或
【分析】由A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線可得，再將A，B兩點(diǎn)代入橢圓得到對(duì)應(yīng)關(guān)系式，最后消去求出，進(jìn)而得到直線的斜率.
【詳解】設(shè)，，因?yàn)椋?br/>又A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，所以，
所以，所以，.
又，在橢圓上，
所以，所以，
即，
所以，所以，
所以，又，所以，所以，
由，解得，
當(dāng)時(shí)，直線l的斜率；
當(dāng)時(shí)，直線l的斜率，所以直線l的斜率為或.
26．（2024·安徽·一模）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在直線上，且線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則橢圓的離心率是 .
【答案】
【分析】利用點(diǎn)差法證明二級(jí)結(jié)論，再結(jié)合，則兩式相比可得，即，代入即可求出離心率.
【詳解】設(shè)，其中，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，
記坐標(biāo)原點(diǎn)為，直線的斜率分別為，易知三條直線斜率均存在，
又，兩式相減整理可得，
即，又，所以?xún)墒较啾瓤傻茫?br/>即，代入，整理可得，
所以離心率.
故答案為：.
27．（23-24高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是離心率為的雙曲線上的三點(diǎn), 直線的斜率分別是點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別是.若則
【答案】3
【分析】設(shè)點(diǎn)，作差，計(jì)算得出結(jié)合離心率為，求得同理求得代入問(wèn)題計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為 所以
不妨設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以
兩式相減,得,
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以, ,
所以 即所以
同理
因?yàn)樗?br/>故答案為：3.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專(zhuān)題13 圓錐曲線二級(jí)結(jié)論秒殺技巧
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題型01 橢圓、雙曲線、拋物線的通徑 1
題型02 橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式 3
題型03 中點(diǎn)弦問(wèn)題秒殺公式 4
題型04 雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為 6
題型05 離心率秒殺公式 7
題型06 拋物線中與焦半徑有關(guān)的秒殺公式 9
題型01 橢圓、雙曲線、拋物線的通徑
【解題規(guī)律·提分快招】
一、通徑的定義 1、焦點(diǎn)弦 過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的直線交圓錐曲線于兩點(diǎn)，則稱(chēng)線段為圓錐曲線的焦點(diǎn)弦. 2、通徑 與圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)軸垂直的焦點(diǎn)弦叫做該圓錐曲線的通徑. 二、通徑的性質(zhì) 【性質(zhì)1】橢圓和雙曲線通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為. 【性質(zhì)2】橢圓和雙曲線的通徑長(zhǎng)為，拋物線的通徑長(zhǎng)為. 性質(zhì)1、性質(zhì)2的證明： ①如圖1，不妨設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)，且在第一象限，把，代入橢圓方程，得到，，，進(jìn)一步可得通徑長(zhǎng).若過(guò)左焦點(diǎn)，同理可得通徑的端點(diǎn)坐標(biāo)為. ②對(duì)于雙曲線，證明過(guò)程同橢圓. ③對(duì)于拋物線，如圖2，把，帶入拋物線方程得到，，通徑.
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·四川雅安·三模）已知過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦被稱(chēng)為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱(chēng)圓的直徑為通徑.已知圓的一條直徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個(gè)正方形的一組鄰邊，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別記為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).若弦長(zhǎng)|AB|的最小值為3，且的周長(zhǎng)為8，則橢圓的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．（24-25高三上·福建寧德·階段練習(xí)）已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線上，滿(mǎn)足，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·全國(guó)·期中）已知點(diǎn)A，B分別是橢圓的右、上頂點(diǎn)，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)作與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，過(guò)作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空題
7．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，軸，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，則 .
8．（24-25高三上·陜西渭南·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則 .
9．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為雙曲線的右支上一點(diǎn)．若線段的中點(diǎn)，則雙曲線的兩條漸近線的夾角（銳角）的正切值為 ．
題型02 橢圓、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式
【解題規(guī)律·提分快招】
橢圓焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對(duì)應(yīng)的張角） 證明：設(shè) ． 雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積為（為焦距對(duì)應(yīng)的張角）
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（23-24高三上·北京豐臺(tái)·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上.若，則的面積為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
2．（24-25高三上·河南駐馬店·期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，且的面積等于8，則（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（23-24高三上·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
題型03 中點(diǎn)弦問(wèn)題秒殺公式
【解題規(guī)律·提分快招】
中點(diǎn)弦問(wèn)題（點(diǎn)差法）秒殺公式 1、若橢圓與直線交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，且與斜率存在時(shí)，則；（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)， 若過(guò)橢圓的中心，為橢圓上異于任意一點(diǎn)，（焦點(diǎn)在x軸上時(shí)），當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)， 下述證明均選擇焦點(diǎn)在軸上的橢圓來(lái)證明，其他情況形式類(lèi)似． 直徑問(wèn)題證明：設(shè)，，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以有． 兩式相減得，所以． 中點(diǎn)弦問(wèn)題證明：設(shè)，，則橢圓兩式相減得 ． 2、雙曲線中焦點(diǎn)在軸上為，焦點(diǎn)在軸上為， 3、設(shè)直線與拋物線相交所得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·廣西玉林·期中）已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·重慶銅梁·階段練習(xí)）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作弦，弦恰被點(diǎn)平分，則弦所在直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·四川成都·期末）設(shè)為雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則該橢圓的方程為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·重慶秀山·期末）直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積. 已知橢圓的焦點(diǎn)為，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若弦是圓的一條直徑，則橢圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陜西寶雞·一模）設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，且外接圓的面積為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A． B． C．4 D．6
10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線恒過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于點(diǎn)A，B，過(guò)線段AB的中點(diǎn)D作直線的垂線，垂足為E，記直線EA，EB，EF的斜率分別為，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型04 雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．3 C．2 D．
2．（2024·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)）已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·天津南開(kāi)·期末）已知雙曲線的離心率為為的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A． B．2 C． D．
4．（23-24高三上·天津和平·期末）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，且直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)作斜率為正且與的某條漸近線垂直的直線與雙曲線在第一象限交于，，則的離心率為（ ）.
A． B． C． D．
二、填空題
6．（2024·青海海東·模擬預(yù)測(cè)）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與C的一條漸近線垂直，垂足為A，且，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為 ．
題型05 離心率秒殺公式
【解題規(guī)律·提分快招】
1、設(shè)圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交曲線兩點(diǎn)，若，則． 2、已知雙曲線方程為的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn). 情形1.如圖1.若,則 圖1 圖2 如圖2.若，則
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與橢圓交于，若，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)為F，過(guò)F作傾斜角為的直線交橢圓E于M、N兩點(diǎn)，且（其中），則的值為（ ）
A．2 B． C． D．3
3．（23-24高三下·甘肅·期末）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作斜率為2的直線交于兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空題
4．（24-25高三上·上海·課后作業(yè)）若斜率為的直線l過(guò)雙曲線的上焦點(diǎn)，與雙曲線的上支交于兩點(diǎn)，，則的值為 ．
5．（23-24高三下·安徽蕪湖·期末）已知雙曲線的離心率為，左焦點(diǎn)為．若過(guò)點(diǎn)的直線斜率為，且與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，則的取值范圍為 ；過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則 ．
6．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若直線與雙曲線的另一條漸近線交于點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為 .
題型06 拋物線中與焦半徑有關(guān)的秒殺公式
【解題規(guī)律·提分快招】
1、拋物線中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式 已知傾斜角為直線的經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則 ①. ②. ③,. 2、過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式 ①拋物線 的焦點(diǎn)為F，是過(guò)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：. ②一般地，如果直線恒過(guò)定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么 . ③若恒過(guò)定點(diǎn). 3、拋物線中以焦半徑焦點(diǎn)弦為直徑的圓相切問(wèn)題 設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ①以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切． ②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.
【典例訓(xùn)練】
一、單選題
1．（23-24高三上·北京東城·期中）直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，若，則弦的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·河南開(kāi)封·三模）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線在第一象限，第四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線AB的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知拋物線 過(guò)拋物線的焦點(diǎn) 作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是 （ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
6．（24-25高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·江蘇鹽城·期中）已知是拋物線上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．
C．若，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
D．若點(diǎn)為拋物線的兩條切線，則直線的方程為
8．（24-25高三上·陜西·期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切
B．直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，的最小值為6
C．若坐標(biāo)原點(diǎn)為，且，則直線過(guò)定點(diǎn)
D．與拋物線分別相切于兩點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)，若直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上
10．（24-25高三上·浙江紹興·期中）拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于，，以下說(shuō)法正確的有（ ）
A．以為圓心，為半徑的圓與拋物線僅有1個(gè)交點(diǎn)
B．以為直徑的圓與軸相切
C．當(dāng)軸時(shí)，取到最小值
D．若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)，則一定有
11．（24-25高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線與C相交于兩點(diǎn)，與C相交于兩點(diǎn)，直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，則（ ）
A．的最小值為4 B．以為直徑的圓與l相切
C．的最小值為32 D．和面積之和最小值為32
一、單選題
1．（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，，為焦點(diǎn)，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．16
2．（23-24高三下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A是l上一點(diǎn)，B是直線AF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|BF|＝（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為的弦有（ ）
A．8條 B．4條 C．2條 D．1條
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為( )
A． B． C． D．
5．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，一組斜率的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與交于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
9．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若P恰好是AB的中點(diǎn)，則橢圓C上一點(diǎn)M到F的距離的最大值為（ ）
A．6 B． C． D．
10．（2024·河南信陽(yáng)·一模）傾斜角為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與該拋物線交于點(diǎn) ，且以為直徑的圓與直線相切，則（ ）
A．4 B． C． D．
11．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作傾斜角為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
12．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作斜率為的直線，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·山東煙臺(tái)·期末）已知直線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，且與的左 右兩支分別交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高三上·上海·期中）過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）

A．2 B． C． D．
二、多選題
15．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上有異于原點(diǎn)的，兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，以為切點(diǎn)的拋物線的切線分別記為，，則（ ）
A．若，則三點(diǎn)共線 B．若，則三點(diǎn)共線
C．若，則三點(diǎn)共線 D．若，則三點(diǎn)共線
16．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（多選）已知拋物線（）的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D．若，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
17．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4，直線過(guò)它的焦點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
B．
C．若，則
D．若以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切，則是該圓的一條直徑
18．（23-24高三上·山西朔州·期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是該拋物線上的任意兩點(diǎn)，則正確的是（ ）
A．若，，則，
B．若直線的方程為,則
C．若，則直線恒過(guò)定點(diǎn)
D．若直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，且兩切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上
19．（2024·廣西柳州·一模）過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和原點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A． B．
C．以為直徑的圓與軸相切 D．
三、填空題
20．（23-24高三上·上海青浦·階段練習(xí)）雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，，第二象限內(nèi)的一點(diǎn)P在雙曲線上，且，則三角形的面積是 ．
21．（23-24高三上·江蘇南京·期末）已知橢圓的焦距為，過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，作垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則 ．
22．（24-25高三上·江西·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓M：（）的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且與M的長(zhǎng)軸垂直的直線交M于C，D兩點(diǎn).若為直角三角形，則M的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 .
23．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，若斜率為的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則橢圓的離心率為 .
24．（23-24高三上·云南臨滄·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是 ．
25．（23-24高三上·河北邯鄲·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的斜率為 .
26．（2024·安徽·一模）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在直線上，且線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則橢圓的離心率是 .
27．（23-24高三上·陜西榆林·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是離心率為的雙曲線上的三點(diǎn), 直線的斜率分別是點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別是.若則
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