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專題14 阿基米德三角形與橢圓、雙曲線焦點三角形內切圓問題
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題型01 阿基米德三角形 1
題型02 橢圓中焦點三角形的內切圓 5
題型03 雙曲線中焦點三角形的內切圓 7
題型01 阿基米德三角形
【解題規律·提分快招】
一、阿基米德三角形 1、定義：如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊． 2、阿基米德焦點三角形性質（弦AB過焦點F時） 性質1：MF⊥AB；性質2：MA⊥MB；性質3：MN∥x軸；性質4：S△ABM最小值為p 對于點A，B: ①拋物線焦點弦與拋物線的交點 ②由準線上一點向拋物線引兩條切線所對應的切點 對于點M ③過焦點弦的一個端點所作的切線與準線的交點 ④過焦點弦的兩個端點所作兩條切線的交點 滿足以上①③或①④或②③或②④的三個點所組成的三角形即為“底邊過焦點的阿基米德三角形” 3、阿基米德三角形一般性質（弦AB不經過焦點F時） 1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸． 2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內定點，則另一頂點的軌跡為一條直線． 3、若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點． 4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為． 5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為． 6、點的坐標為； 7、底邊所在的直線方程為 8、的面積為． 9、若點的坐標為，則底邊的直線方程為． 10、如圖1，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則. 圖1 11、若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則． 12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）為拋物線的弦，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過焦點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．底邊的直線方程為；
C．是直角三角形；
D．面積的最小值為.
2．（2024·陜西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數學之神”的稱號．拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，稱三角形PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：的焦點為F，過A，B兩點的直線的方程為，關于“阿基米德三角形”△PAB，下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．點P的坐標為
二、多選題
3．（2024·山東·模擬預測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線，阿基米德三角形，弦過的焦點，其中點在第一象限，則下列說法正確的是（ ）
A．點的縱坐標為 B．的準線方程為
C．若，則的斜率為 D．面積的最小值為16
4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形．已知三角形為拋物線的“阿基米德三角形”，線段為拋物線的弦，設線段中點為，下列命題正確的是（ ）
A．軸
B．若過點，則點S在直線上
C．若，則面積的最大值為4
D．若過點，則
5．（2024·湖北黃岡·模擬預測）拋物線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上．設拋物線，弦過焦點為的中點，為坐標原點，為其阿基米德三角形，則（ ）
A．存在點，使得 B．任意點，都有
C．任意點，都有 D．面積的最小值為4
6．（24-25高三上·陜西榆林·期末）若過點可以作拋物線的兩條切線，切點分別是，則稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，以為頂點的“阿基米德三角形”為，則（ ）
A．點的橫坐標為 B．
C． D．面積的最小值為16
三、填空題
7．（24-25高三上·上海·單元測試）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A、B處的兩條切線所圍成的（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經過拋物線的焦點F時，具有以下性質：
①P點必在拋物線的準線上；②；③．
已知直線l：與拋物線交于A、B兩點，若，則拋物線的“阿基米德三角形”的頂點P的坐標為 ．
四、解答題
8．（23-24高三下·重慶·階段練習）過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點是圓上的動點，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點，且．

(1)求拋物線的方程；
(2)利用題給的結論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；
(3)設是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動點（異于A，B兩點），過D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．
題型02 橢圓中焦點三角形的內切圓
【解題規律·提分快招】
焦點三角形雙內切圓模型1 點為橢圓上任意一點，點P為的內心,點G為的重心。 性質1、假設焦點的內切圓半徑為，則. 性質2、 性質3、 性質4、，，， 性質5、 性質6、 性質7、 性質8、 性質9、P的軌跡為 焦點三角形內切圓模型2 點為橢圓上任意一點，點I為旁切圓圓心，A,B,C為切點。 結論：， 焦點三角形雙內切圓模型3 ，k為直線AB的傾斜角
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三上·吉林·期末）已知橢圓方程為，P為橢圓上一點，若，為的內切圓，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·吉林延邊·期中）點P是橢圓上一點，，是橢圓的兩個焦點，且的內切圓半徑為1，當點P在第一象限時，P點的縱坐標為（ ）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高三上·北京·期末）若，是橢圓C：（）的左、右焦點，P為橢圓C上一點（不是頂點），點I為的內心，若的面積是面積的3倍，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是上的一點，的內切圓圓心為，當時，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·全國·專題練習）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，為第一象限內橢圓上一點，的內心為點，則直線與的斜率之積為（ ）
A． B． C． D．
6．（浙江省臺州市2024-2025學年高三上學期期末質量評估數學試題）已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上第一象限的一點，的內心為，若，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·四川成都·期中）已知橢圓的左 右焦點分別為是橢圓在第一象限的任意一點，為的內心，點是坐標原點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·浙江杭州·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為．點P在C上且位于第一象限，圓（與線段的延長線，線段以及x軸均相切，的內切圓為圓．若圓與圓外切，且圓圓的面積之比為9，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
題型03 雙曲線中焦點三角形的內切圓
【解題規律·提分快招】
一、雙曲線焦點三角形內切圓的統一性質 【性質1】如圖，已知為雙曲線的左、右焦點，則的內切圓與軸切于雙曲線的頂點；且當點為雙曲線左支時，切點為左頂點；且當點為雙曲線右支時，切點為右頂點． 【性質2】如圖，雙曲線的標準方程為，為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上異于實軸端點的任意一點，的內切圓圓心為，且圓與三邊相切于點．設，則． 【注】性質2的證明邏輯上同樣是利用“算兩次”構造方程求解．同理可得， 為雙曲線的左支上異于實軸端點的任意一點，．若點為雙曲線的上異于實軸端點的動點， 內心的軌跡為或， 且． 【性質3】如圖，已知為雙曲線的左、右焦點，過右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，若的內切圓圓心分別為，半徑分別為，則（1）在直線上；（2）． 二、雙曲線焦點三角形內切圓的不同模型 單內切圓模型1：點P在右支，①內切圓切于實軸頂點；②，； ③； ④若，則 ⑤若，，則 單內切圓模型2：，，（為直線AB的傾斜角） 單內切圓模型3： 單內切圓模型4： 單內切圓模型5： 雙內切圓模型6：，分別為的內切圓半徑，為直線的傾斜角，直線與右支交于AB兩點。 ① ② ③ ④ ⑤在x=a上 旁切圓模型7：為雙曲線上任意一點。 ① ②P在右支時，Q的軌跡為； ③P在左支時，Q的軌跡為 ④， 焦點三角形內切圓內心與重心模型8：①若GM∥x軸，則；②若GM∥y軸，則;
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·云南麗江·階段練習）已知點為雙曲線右支上一點，，分別為雙曲線的左右焦點，且，為的內心，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）雙曲線的右支上一點在第一象限，，分別為雙曲線的左、右焦點，為的內心，若內切圓的半徑為1，則的面積等于（ ）
A．24 B．12 C． D．
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知第一象限內的點P在雙曲線（，）上，點P關于原點的對稱點為Q，，，是C的左、右焦點，點M是的內心（內切圓圓心），M在x軸上的射影為，記直線的斜率分別為，，且，則C的離心率為（ ）
A．2 B．8 C． D．
4．（23-24高三上·湖北襄陽·期末）已知分別為雙曲線的左 右焦點，為雙曲線的右頂點. 過的直線與雙曲線的右支交于兩點（其中點A在第一象限），設分別為的內心，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山東濟寧·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，根據雙曲線的光學性質可知，過雙曲線上任意一點的切線平分.直線過交雙曲線的右支于A，B兩點，設的內心分別為，若與的面積之比為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．.
6．（2024·四川·模擬預測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，離心率為2，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點，若分別為與的內心，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（23-24高三上·吉林長春·期末）設分別是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，的內心為，則下列結論正確的是（ ）
A．若為正三角形，則雙曲線的離心率為
B．若直線交雙曲線的左支于點，則
C．若為垂足，則
D．的內心一定在直線上
8．（24-25高三上·山東泰安·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，．過的直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限．的內心為，與軸的交點為，記的內切圓的半徑為，的內切圓的半徑為，則下列說法正確的有（ ）
A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為
B．若，且，則雙曲線的離心率為
C．若，，則的取值范圍是
D．若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為
三、填空題
9．（2024·山西晉中·一模）已知點為雙曲線右支上的一點，點，分別為雙曲線的左、右焦點，若M為的內心，且，則雙曲線的離心率為 ．
10．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，過且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點（在第一象限），的重心為，內心為，且軸，則雙曲線的離心率為 ．
一、單選題
1．（2024·廣東茂名·二模）若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內心，連接并延長交于點，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024·江西·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上異于長軸端點的動點，，分別為的重心和內心，則（ ）
A． B． C．2 D．
3．（24-25高三上·黑龍江·期中）若橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓C上一點，且在第一象限，的內心為，直線與直線的斜率分別為、，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·廣東揭陽·階段練習）已知橢圓的方程為分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上在第一象限的一點，為的內心，直線與軸交于點，若，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陜西·一模）已知，分別為雙曲線的左 右焦點，且，點P為雙曲線右支上一點，M為的內心，若成立，則λ的值為（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2024·河北·三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數學發展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（ ）
A．點必在直線上，且以為直徑的圓過點
B．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點
C．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點
D．點必在直線上，且以為直徑的圓過點
二、多選題
7．（23-24高三上·江蘇連云港·期中）拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線圍成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產生了無窮的魅力．設A，B是拋物線上兩個不同的點，以A，B為切點的切線交于P點．若弦AB過，則下列說法正確的有（ ）
A．點P在直線上 B．
C． D．面積的最小值為8
8．（2024高三下·江蘇·專題練習）（多選）如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個不同的點，以A，B為切點的拋物線的切線相交于點P.給出如下結論，其中正確的為（ ）

A．若弦過焦點，則為直角三角形且
B．點P的坐標是
C．的邊所在的直線方程為
D．的邊上的中線與y軸平行（或重合）
9．（23-24高三上·四川樂山·期末）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產生了無窮的魅力．設拋物線（），弦過焦點，為其阿基米德三角形，則下列結論一定成立的是（ ）
A．點在拋物線（）的準線上
B．存在點，使得
C．
D．面積的最小值為
三、填空題
10．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習）已知橢圓：，，為其左、右焦點，為橢圓上任一點，的重心為G，I是內心，且有（其中為實數），橢圓的離心率 .
11．（2024·陜西咸陽·三模）已知，是雙曲線的左，右焦點，點M是雙曲線C在第一象限上一點，設I，G分別為的內心和重心，若IG與y軸平行，則 ．
12．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）焦距為12的雙曲線的左右焦點分別為，，是雙曲線右支上一點，為的內心，交軸于點，若，且，則雙曲線的實軸長為
13．（23-24高三下·江西·階段練習）圓錐曲線C的弦AB與過弦的端點A，B的兩條切線的交點P所圍成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲線C的方程為，弦AB過C的焦點F，設，，，則有，，對于C的阿基米德三角形PAB給出下列結論：①點P在直線上；②；③；④，其中所有正確結論的序號為 ．
14．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，分別是雙曲線的兩個焦點，過上焦點作斜率的直線交雙曲線上支于點,若，的內心分別是，且，則雙曲線的離心率為 .
15．（23-24高三上·江蘇揚州·階段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，右頂點為，過的直線交雙曲線的右支于，兩點（其中點在第一象限內），設，分別為，的內心，則當時， ；內切圓的半徑為 ．
16．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線C：的一條漸近線與直線垂直，記雙曲線C的左、右焦點分別為，且，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點．記和的內心分別為M，N，則M，N的最短距離為 ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題14 阿基米德三角形與橢圓、雙曲線焦點三角形內切圓問題
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題型01 阿基米德三角形 1
題型02 橢圓中焦點三角形的內切圓 15
題型03 雙曲線中焦點三角形的內切圓 23
題型01 阿基米德三角形
【解題規律·提分快招】
一、阿基米德三角形 1、定義：如圖所示，為拋物線的弦，，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊． 2、阿基米德焦點三角形性質（弦AB過焦點F時） 性質1：MF⊥AB；性質2：MA⊥MB；性質3：MN∥x軸；性質4：S△ABM最小值為p 對于點A，B: ①拋物線焦點弦與拋物線的交點 ②由準線上一點向拋物線引兩條切線所對應的切點 對于點M ③過焦點弦的一個端點所作的切線與準線的交點 ④過焦點弦的兩個端點所作兩條切線的交點 滿足以上①③或①④或②③或②④的三個點所組成的三角形即為“底邊過焦點的阿基米德三角形” 3、阿基米德三角形一般性質（弦AB不經過焦點F時） 1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸． 2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內定點，則另一頂點的軌跡為一條直線． 3、若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點． 4、底邊長為的阿基米德三角形的面積的最大值為． 5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積的最小值為． 6、點的坐標為； 7、底邊所在的直線方程為 8、的面積為． 9、若點的坐標為，則底邊的直線方程為． 10、如圖1，若為拋物線弧上的動點，點處的切線與，分別交于點C，D，則. 圖1 11、若為拋物線弧上的動點，拋物線在點處的切線與阿基米德三角形的邊，分別交于點C，D，則． 12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習）為拋物線的弦，，分別過作的拋物線的切線交于點，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過焦點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．
B．底邊的直線方程為；
C．是直角三角形；
D．面積的最小值為.
【答案】D
【分析】由導數的幾何意義，求得可得A處的切線方程，得出直線的方程為和，得到，進而可判定A正確；
點在直線上，進而得到底邊的直線方程，可判定B正確；
設直線，聯立方程組，根據，可判定C正確；
取的中點，化簡得到的面積為，可判定D不正確.
【詳解】如圖：

依題意設，，由方程，可得，則，
由導數的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，
可得A處的切線方程為：，即，
化簡可得，所以直線的方程為，
同理可得：直線BM的方程為，所以，
則，
因為，解得，即，所以A正確；
因點在直線上，
可得，，
即在上，在上，
所以底邊的直線方程為，所以B正確；
設直線，聯立方程組，整理得，
則且，，
因為，所以，
所以是直角三角形，所以C正確；
取的中點，連接，根據拋物線的定義，可得平行軸，
所以
因為，，所以，
，
代入可得，
當時，，所以D不正確.
故選：D.
【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關的最值問題的兩種解法：
（1）數形結合法：根據待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質求解；
（2）構建函數法：先引入變量，構建以待求量為因變量的函數，再求其最值，常用基本不等式或導數法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．
2．（2024·陜西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數學之神”的稱號．拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，稱三角形PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：的焦點為F，過A，B兩點的直線的方程為，關于“阿基米德三角形”△PAB，下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C． D．點P的坐標為
【答案】D
【分析】聯立方程可解得，則，根據導數可得，可判斷，利用點斜式可求得兩條切線方程和，聯立求P，再求，可判斷．
【詳解】聯立方程，消去得：，解得或
即，則，A正確；
∵，即
對于，切線斜率分別為
∴，即，B正確；
在點A的切線方程為，即
同理可得在點B的切線方程為
聯立方程，解得，即P，D不正確；
∵，則，
∴，即，C正確；
故選：D．
二、多選題
3．（2024·山東·模擬預測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線，阿基米德三角形，弦過的焦點，其中點在第一象限，則下列說法正確的是（ ）
A．點的縱坐標為 B．的準線方程為
C．若，則的斜率為 D．面積的最小值為16
【答案】AD
【分析】設，，直線，聯立方程組，求得，，求得，兩點處的切線方程，可求得點判斷A；求得準線方程判斷B；由，可求得，進而可求得，判斷C；，，進而可得，可求的最小值，判斷D.
【詳解】對于A項，設，，直線，
聯立，消去，得，，
所以，，
由，得，則點處的切線：①，
同理點處的切線：②，聯立①②，得，，
所以，點，故A正確；
對于B項，準線方程為，故B錯誤；
對于C項，，得，所以，，故C錯誤；
對于D項，，點到直線的距離為：，
所以，
當時，的面積有最小值16.故D正確.
故選：AD.
4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形．已知三角形為拋物線的“阿基米德三角形”，線段為拋物線的弦，設線段中點為，下列命題正確的是（ ）
A．軸
B．若過點，則點S在直線上
C．若，則面積的最大值為4
D．若過點，則
【答案】BD
【分析】對于A，設，得出過點的切線方程為，同理過點的切線方程為，從而表示出的坐標，由此即可判斷；對于B，設，聯立拋物線，結合韋達定理以及即可判斷；對于C，寫出面積表達式，，故只需先求的最大值；對于D，設，結合韋達定理、向量數量積的坐標表示即可驗算.
【詳解】對于A，設，過點的切線方程為（切線斜率不為0），聯立拋物線方程，
化簡并整理得，，注意到，
所以方程可變形為，
而，所以，
所以過點的切線方程為，結合，可得
過點的切線方程為，同理可得過點的切線方程為，
聯立，結合，解得，
而的中點的坐標為，這表明的縱坐標相等，所以軸或與x軸重合，故A錯誤；
對于B，若過點，可設，聯立，
化簡并整理得，顯然，
由A選項分析可知點的橫坐標，故B正確；
對于C，設，則，
所以，
聯立，化簡并整理得，，
由A選項分析可知，軸，的坐標為，，
面積，
而，當且僅當等號成立，
所以，當且僅當時等號成立，故C錯誤；
對于D，設，聯立，化簡并整理得，
， ，
由A選項分析可知，，
從而，
所以，這表明，故D正確.
故選：BD.
【點睛】關鍵點點睛：判斷C選項的關鍵是得出，以及，由此即可順利得解.
5．（2024·湖北黃岡·模擬預測）拋物線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準線上．設拋物線，弦過焦點為的中點，為坐標原點，為其阿基米德三角形，則（ ）
A．存在點，使得 B．任意點，都有
C．任意點，都有 D．面積的最小值為4
【答案】BCD
【分析】設，設直線為，代入拋物線方程，由韋達定理得，設過的切線方程為，與拋物線方程聯立，利用判別式得，同理得過的切線斜率為，由此求出，可判斷A；分別求得過點A、B的切線為和，可得，進而可證得、并可的面積的最小值從而判斷BCD.
【詳解】設，設直線，
聯立得，則．
設過點的切線為，則
聯立 ,整理可得，
由，可得，
同理可得過點的切線斜率為．
對于A，因為，所以，故A錯誤；
對于B，可得處的切線方程分別為： ，∵，
即；
同理處的切線方程分別為：
由及，
得，
可得，因為，所以，
又因為直線的斜率為，所以，故B正確；
對于C，因為，所以，故C正確；
對于D，，
當時，面積取得最小值為4，故D正確．
故選：BCD．
【點睛】關鍵點點睛：設且，，聯立拋物線應用韋達定理有，求過的切線，進而確定在準線上且，利用面積公式求出最小值.
6．（24-25高三上·陜西榆林·期末）若過點可以作拋物線的兩條切線，切點分別是，則稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點為，過的直線交于兩點，以為頂點的“阿基米德三角形”為，則（ ）
A．點的橫坐標為 B．
C． D．面積的最小值為16
【答案】ABD
【分析】設出直線的方程，代入拋物線，寫出韋達定理，利用導數求得切線，聯立求交點，可得A的正誤；通過兩直線垂直的斜率性質，可得B、C的正誤，利用圓錐曲線中的弦長公式以及兩點之間距離公式，結合三角形的面積公式，可得D的正誤.
【詳解】對于A，，設，代入，
整理可得，設（不妨設），
則.
由拋物線，整理可得函數，則，
設過點A的切線斜率為，易知，則切線方程為，即，同理可得：過點的切線方程為，
聯立可得，解得，即故；
所以點的橫坐標為，故A正確；
對于B，由A可知：直線，直線，
由，則，即，故B正確；
對于C，由選項A可知，則直線的斜率，
由，則.由選項B可知，
所以，得，即，故C錯誤；
對于D，由C可得：，
，
，
則，當時，取得最小值為16，故D正確；
故選：ABD.
【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉化為若干變量的方程（或函數），從而可求定點、定值、最值問題.
三、填空題
7．（24-25高三上·上海·單元測試）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A、B處的兩條切線所圍成的（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經過拋物線的焦點F時，具有以下性質：
①P點必在拋物線的準線上；②；③．
已知直線l：與拋物線交于A、B兩點，若，則拋物線的“阿基米德三角形”的頂點P的坐標為 ．
【答案】或
【分析】設，將直線方程代入拋物線方程化簡利用根與系數的關系，結合弦長，可求出的值，再由可求出直線的方程，再由P點必在拋物線的準線上可求出點P的坐標.
【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，
設，
由，得，
由，
所以，
所以，解得或，
當時，因為，所以，
所以直線的方程為，
因為P點必在拋物線的準線上，所以，
所以，所以，
當時，因為，所以，
所以直線的方程為，
因為P點必在拋物線的準線上，所以，
所以，所以，
綜上，的頂點P的坐標為或.
故答案為：或
四、解答題
8．（23-24高三下·重慶·階段練習）過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點是圓上的動點，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點，且．

(1)求拋物線的方程；
(2)利用題給的結論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；
(3)設是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動點（異于A，B兩點），過D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據圓的幾何性質可知，據此求出可得解；
（2）求出弦長及點到直線的距離，可得出面積，由點在圓上，可得面積取值范圍，再由“囧邊形”面積與面積關系得解；
（3）求出過點切線方程，聯立可得橫坐標，據此利用橫坐標可得，即可得證.
【詳解】（1）由題意得，，
由，
所以
（2）設，
聯立，，
設方程的兩根為，則，
由，所以，
聯立直線可得，
代入方程中，得，即，
故的面積.
因為在圓上，所以且，
于是，
顯然此式在上單調遞增，故，
也即，因此，
由題干知“囧邊形”面積，所以“囧邊形”面積的取值范圍為.
（3）由（2）知，,
設，過的切線，即，
過點切線交得，同理，
因為，
.
所以，即.
【點睛】關鍵點點睛：聯立直線與拋物線，根據韋達定理及弦長公式得出，再由切線相交得出點坐標，求出三角形面積，再由點在圓上得出面積的范圍是求解“囧邊形”面積范圍的關鍵，第三問中利用直線上線段長度之比可化為橫坐標（或縱坐標）之比是解題的關鍵.
題型02 橢圓中焦點三角形的內切圓
【解題規律·提分快招】
焦點三角形雙內切圓模型1 點為橢圓上任意一點，點P為的內心,點G為的重心。 性質1、假設焦點的內切圓半徑為，則. 性質2、 性質3、 性質4、，，， 性質5、 性質6、 性質7、 性質8、 性質9、P的軌跡為 焦點三角形內切圓模型2 點為橢圓上任意一點，點I為旁切圓圓心，A,B,C為切點。 結論：， 焦點三角形雙內切圓模型3 ，k為直線AB的傾斜角
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三上·吉林·期末）已知橢圓方程為，P為橢圓上一點，若，為的內切圓，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由橢圓定義及圓切線性質，結合直角三角形求內切圓半徑.
【詳解】
由橢圓定義及圓切線性質知：.
故選：B
2．（23-24高三上·吉林延邊·期中）點P是橢圓上一點，，是橢圓的兩個焦點，且的內切圓半徑為1，當點P在第一象限時，P點的縱坐標為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據橢圓方程求出，由橢圓的定義可求出，然后利用等面積法可求出P點的縱坐標.
【詳解】由，得，
所以，
所以，
設的內切圓半徑為，
因為
所以，得.
故選：B
3．（24-25高三上·北京·期末）若，是橢圓C：（）的左、右焦點，P為橢圓C上一點（不是頂點），點I為的內心，若的面積是面積的3倍，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設內切圓半徑為r，根據三角形面積公式，以及三角形內切圓的性質，結合橢圓定義，得到，再由題中條件，列出等式，即可求出結果.
【詳解】設內切圓半徑為r, ，
又因為，又,所以，即，
所以.
故選：B
4．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，點是上的一點，的內切圓圓心為，當時，，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，結合橢圓的定義及圓的切線長定理可得，再借助兩點間距離公式列式求解即得.
【詳解】依題意，，設橢圓的半焦距為，點，
令的內切圓切的切點分別為，
，
聯立解得，則，消去得：，
所以橢圓的離心率.
故選：C
5．（2024高三下·全國·專題練習）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，為第一象限內橢圓上一點，的內心為點，則直線與的斜率之積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設P、I的坐標，根據兩點求距離公式求出，由橢圓的定義求出，根據內切圓的性質求出點I的坐標，結合兩點表示斜率公式化簡計算即可求解.
【詳解】設，，
則，易知，
故，
則由橢圓的定義可得．
設A，，分別為的內切圓與邊，，的切點，
則，根據內切圓的性質知，，，
因此，
得，解得．
在中，，解得，
因此，
故.
故選：D．
6．（浙江省臺州市2024-2025學年高三上學期期末質量評估數學試題）已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上第一象限的一點，的內心為，若，則橢圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先證明焦半徑公式，然后根據內切圓的性質求得，進一步得，從而，由得離心率，利用求解即可.
【詳解】先證明焦半徑公式，對于橢圓方程：，
由橢圓上任意點及左、右焦點、，
得
；
同理，；
根據橢圓方程知，，即，
故橢圓兩個焦半徑為，，
如圖,設的內切圓與三邊切于點，
由圓的性質可知，
則，
又，所以，所以，又，
則，由得，所以，解得，
所以橢圓的方程為.
故選：D
7．（23-24高三上·四川成都·期中）已知橢圓的左 右焦點分別為是橢圓在第一象限的任意一點，為的內心，點是坐標原點，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用橢圓的定義及內切圓的性質得出的坐標關系，再利用正切的差角公式及基本不等式計算即可.
【詳解】
設，，
設內切圓分別與軸相切于點，
則，，
，
，
又
∴，
易知，
，，
設，，
當且僅當時等號成立，
故選：A
8．（24-25高三上·浙江杭州·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為．點P在C上且位于第一象限，圓（與線段的延長線，線段以及x軸均相切，的內切圓為圓．若圓與圓外切，且圓圓的面積之比為9，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設圓、與軸的切點分別為，，圓心、在的角平分線上，從而切點也在的角平分線上，所以，由切線的性質求得，，由圓面積比得半徑比，然后由相似形得出，的關系式，從而求得離心率．
【詳解】由已知及平面幾何知識可得圓心、在的角平分線上．如圖：

設圓、與軸的切點分別為，，由平面幾何知識可得，直線為兩圓的公切線，
切點也在的角平分線上，所以，
由橢圓的定義知，則，
所以，
所以，
所以，．
又圓與圓的面積之比為9，
所以圓與圓的半徑之比為3，
因為，所以，
即，整理得，故橢圓的離心率．
故選：A．
題型03 雙曲線中焦點三角形的內切圓
【解題規律·提分快招】
一、雙曲線焦點三角形內切圓的統一性質 【性質1】如圖，已知為雙曲線的左、右焦點，則的內切圓與軸切于雙曲線的頂點；且當點為雙曲線左支時，切點為左頂點；且當點為雙曲線右支時，切點為右頂點． 【性質2】如圖，雙曲線的標準方程為，為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上異于實軸端點的任意一點，的內切圓圓心為，且圓與三邊相切于點．設，則． 【注】性質2的證明邏輯上同樣是利用“算兩次”構造方程求解．同理可得， 為雙曲線的左支上異于實軸端點的任意一點，．若點為雙曲線的上異于實軸端點的動點， 內心的軌跡為或， 且． 【性質3】如圖，已知為雙曲線的左、右焦點，過右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，若的內切圓圓心分別為，半徑分別為，則（1）在直線上；（2）． 二、雙曲線焦點三角形內切圓的不同模型 單內切圓模型1：點P在右支，①內切圓切于實軸頂點；②，； ③； ④若，則 ⑤若，，則 單內切圓模型2：，，（為直線AB的傾斜角） 單內切圓模型3： 單內切圓模型4： 單內切圓模型5： 雙內切圓模型6：，分別為的內切圓半徑，為直線的傾斜角，直線與右支交于AB兩點。 ① ② ③ ④ ⑤在x=a上 旁切圓模型7：為雙曲線上任意一點。 ① ②P在右支時，Q的軌跡為； ③P在左支時，Q的軌跡為 ④， 焦點三角形內切圓內心與重心模型8：①若GM∥x軸，則；②若GM∥y軸，則;
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·云南麗江·階段練習）已知點為雙曲線右支上一點，，分別為雙曲線的左右焦點，且，為的內心，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設的內切圓半徑為，由，得到，結合雙曲線的定義，求得，再由，得到，即可求解.
【詳解】設的內切圓半徑為，因為，
所以，可得，
因為點為雙曲線右支上一點，
所以，可得，解得，
又因為，可得，整理得，
即，解得或（舍去）.
故選：C.
2．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）雙曲線的右支上一點在第一象限，，分別為雙曲線的左、右焦點，為的內心，若內切圓的半徑為1，則的面積等于（ ）
A．24 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】根據切線長定理以及雙曲線的定義可判斷軸，進而根據銳角三角函數以及誘導公式可得的長度，即可求解面積.
【詳解】由雙曲線的，，，
設圓與三角形三邊相切于點,
則，
又，
所以，
因此軸，因此,，
,
所以,
因此,故三角形的面積為．
故選：C
3．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知第一象限內的點P在雙曲線（，）上，點P關于原點的對稱點為Q，，，是C的左、右焦點，點M是的內心（內切圓圓心），M在x軸上的射影為，記直線的斜率分別為，，且，則C的離心率為（ ）
A．2 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根據切線性質和雙曲線定義求得，然后由斜率公式和點P在雙曲線上整理化簡，結合已知求解可得.
【詳解】設圓M與，分別切于點A，B，則，，
且
，
所以，點，

設，，則，
所以，，
，
所以，.
故選：A．
【點睛】方法點睛：本題主要考查雙曲線的離心率求解問題.解決圓錐曲線的離心率問題，一般離不開圓錐曲線的定義，如果有角的條件，則常常要用到正余弦定理，如果有三角形的內切圓條件，一般與切線性質或三角形的等面積轉化有關，遇到線段的比值時，經常需要利用相似形轉化.
4．（23-24高三上·湖北襄陽·期末）已知分別為雙曲線的左 右焦點，為雙曲線的右頂點. 過的直線與雙曲線的右支交于兩點（其中點A在第一象限），設分別為的內心，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得，，，再由雙曲線的定義可得，進而可得，設點J的橫坐標，由題意可得橫坐標為a，設直線AB的傾斜角，則可求得，再由的范圍即可求得結果.
【詳解】
由題意知，，
設△的內切圓M分別與、、相切于點、、，
則，，，
由雙曲線的定義知，，即：，
所以，
所以，
設內心M的橫坐標為，則點J的橫坐標為，
則，解得：，
所以軸，則E為直線JM與x軸的交點，
同理可得：△的內心也在直線JM上，
設直線AB的傾斜角為，則
，，
所以，
由題意知，，，所以，
所以，
又因為雙曲線C的漸近線方程為，過的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
5．（2024·山東濟寧·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，根據雙曲線的光學性質可知，過雙曲線上任意一點的切線平分.直線過交雙曲線的右支于A，B兩點，設的內心分別為，若與的面積之比為，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．.
【答案】C
【分析】利用切線長定理求得直線的方程，再借助雙曲線的切線方程求出點的橫坐標，結合面積關系求解即得.
【詳解】令圓切分別為點，則，
，令點，而，
因此，解得，又，則點橫坐標為，同理點橫坐標為，
即直線的方程為，設，依題意，直線的方程分別為：
，，聯立消去得：，
整理得，令直線的方程為，
于是，即點的橫坐標為，
因此，所以雙曲線的離心率.
故選：C
【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：
①定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；
②齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.
6．（2024·四川·模擬預測）已知雙曲線的左 右焦點分別為，離心率為2，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點，若分別為與的內心，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出雙曲線的解析式，根據與的內心求出的關系式和點的橫坐標，設出直線的傾斜角，得到的表達式，即可求出的取值范圍
【詳解】由題意，
在中，根據焦點到漸近線的距可得，離心率為2，
∴，解得：，
∴
∴雙曲線的方程為.

記的內切圓在邊，，上的切點分別為，
則，橫坐標相等，，，
由，即，
得，即，
記的橫坐標為，則，
于是，得，
同理內心的橫坐標也為，故軸.
設直線的傾斜角為，則，（Q為坐標原點），
在中，
，
由于直線與的右支交于兩點，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，
∴，即，
∴的范圍是.
故選：D.
【點睛】本題考查雙曲線的定義與幾何性質、三角恒等變換，考查推理論證能力、運算求解能力、數形結合思想，以及角度的取值范圍，具有極強的綜合性.
二、多選題
7．（23-24高三上·吉林長春·期末）設分別是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，的內心為，則下列結論正確的是（ ）
A．若為正三角形，則雙曲線的離心率為
B．若直線交雙曲線的左支于點，則
C．若為垂足，則
D．的內心一定在直線上
【答案】ABC
【分析】A：利用等邊三角形性質以及雙曲線定義得到關系式，則離心率可知；B：利用雙曲線的對稱性以及三角形的全等關系進行證明；C：根據角平分線的性質結合雙曲線的定義求解出；D：利用切線性質以及雙曲線的定義進行求解.
【詳解】對于A：若為正三角形，則軸，
由得，所以，
由等邊三角形性質可知：，所以，
所以，所以，所以，故A正確；
對于B：由雙曲線的對稱性可知，如下圖，
又因為，所以與全等，
所以，所以，故B正確；
對于C：延長交延長線于，如下圖所示，
由角平分線的性質可知，且，
所以與全等，所以，所以為中點，
又因為為中點，所以，故C正確；
對于D：設三個切點為，連接，如下圖，
由切線性質可知：，
設，因為，
所以，所以，
所以的內心一定在直線上，故D錯誤；
故選：ABC.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查雙曲線性質的綜合運用，涉及離心率、雙曲線的對稱性、焦點三角形的內切圓相關問題，對學生的分析與計算能力要求較高，難度較大.其中CD選項在分析時，不僅要考慮內切圓的性質，同時需要考慮雙曲線的定義，二者結合解決問題.
8．（24-25高三上·山東泰安·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，．過的直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限．的內心為，與軸的交點為，記的內切圓的半徑為，的內切圓的半徑為，則下列說法正確的有（ ）
A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為
B．若，且，則雙曲線的離心率為
C．若，，則的取值范圍是
D．若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為
【答案】BD
【分析】根據漸近線斜率與夾角的關系可判斷A錯誤；根據雙曲線定義以及勾股定理計算可判斷B正確；由內切圓性質可得所在直線方程為，根據直線的傾斜角范圍與漸近線關系可得，即C錯誤；利用三角形相似以及余弦定理計算可得D正確.
【詳解】對于A，若雙曲線漸近線的夾角為，則或，
故可得或，即A錯誤；
對于B，設，則由以及雙曲線定義可得，
故，則
又，即可得，
因此，解得，
又，即，
可得，即，
故雙曲線的離心率為，即B正確；
對于C，如下圖所示：
令的內切圓切分別為，
則，
所以，
令點，而，因此，解得；
又，則點的橫坐標為，
同理可得的橫坐標也為，即所在直線方程為；
設直線的傾斜角為，則，
在中，，
在中，，
又，可得漸近線斜率為，且，
因為均在右支上，故，即，
因此，可知C錯誤；
對于D，由可得,
故，而，可得，
又直線的斜率為，所以，
由余弦定理可得，解得，
即則雙曲線的離心率為，可得D正確.
故選：BD
【點睛】關鍵點點睛：在求解焦點三角形內切圓問題時，要利用雙曲線定義以及切線長性質得出內切圓圓心的橫坐標為雙曲線的頂點坐標，再利用內心性質可求出半徑.
三、填空題
9．（2024·山西晉中·一模）已知點為雙曲線右支上的一點，點，分別為雙曲線的左、右焦點，若M為的內心，且，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】
【分析】設出內切圓半徑，由三角形面積等式，結合雙曲線定義可得關系，進而求出離心率.
【詳解】設內切圓半徑為，由題意知，
所以，
即，由點為雙曲線右支上的一點，
則，
故雙曲線的離心率.
故答案為：.
10．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，過且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點（在第一象限），的重心為，內心為，且軸，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】3
【分析】設內切圓在軸上的切點為，根據切線的性質及雙曲線的定義求得，由條件及重心的性質得，進而得的坐標，由的斜率為得的關系，從而得出離心率.
【詳解】設雙曲線的焦距為．
因為的內心為，所以設內切圓在軸上的切點為，與的切點分別為，
所以，
即，所以．
因為的重心為軸，所以．
又在上，且，所以．
又在雙曲線上，所以．所以．
所以，整理，得，即，
化簡，得，解得或（舍去）．
所以雙曲線的離心率為3．
故答案為：3.
一、單選題
1．（2024·廣東茂名·二模）若橢圓的離心率為，兩個焦點分別為，，為橢圓上異于頂點的任意一點，點是的內心，連接并延長交于點，則（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根據三角形面積公式、三角形內切圓的性質，結合橢圓的定義、離心率公式進行求解即可.
【詳解】
如圖，連接，，設到軸距離為，到軸距離為，
則
設△內切圓的半徑為，則，
∴
不妨設，則，
∴，
因為橢圓的離心率為，
∴，
故選：A.
2．（2024·江西·模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上異于長軸端點的動點，，分別為的重心和內心，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據題意，由橢圓的定義，結合平面向量數量積的運算，即可得到結果.
【詳解】
由橢圓可得，，
如圖，設的內切圓與三邊分別相切與，，，
，分別為的重心和內心．
則，，，
所以，
所以
故選：D
3．（24-25高三上·黑龍江·期中）若橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓C上一點，且在第一象限，的內心為，直線與直線的斜率分別為、，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設的坐標，根據兩點求距離公式求出，由橢圓的定義求出，根據內切圓的性質求出點I的坐標，結合兩點表示斜率公式化簡計算即可求解.
【詳解】設，，則，
易知，，由橢圓焦半徑公式可得，，
設分別為的內切圓與邊，，的切點，則，
根據內切圓的性質知，，，
因此，
即，解得.
在中，，解得，
因此，所以.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：考查橢圓的定義和方程、性質，考查三角形的內切圓的性質，同時考查直線的斜率公式的運用，考查分析問題，解決問題的能力.
4．（23-24高三上·廣東揭陽·階段練習）已知橢圓的方程為分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上在第一象限的一點，為的內心，直線與軸交于點，若，則該橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據內心的幾何特點，結合橢圓定義和已知條件，求得，即可求得結果．
【詳解】橢圓中，點為其左、右焦點，設橢圓半焦距為c，連接，
由是的內心，得，分別是和的角平分線，
為的角平分線，則到直線，的距離相等，
于是，同理可得，，
由比例關系性質得，
由，得，所以橢圓的離心率.
故選：B
5．（2024·陜西·一模）已知，分別為雙曲線的左 右焦點，且，點P為雙曲線右支上一點，M為的內心，若成立，則λ的值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據，可得，從而可求得離心率，設的內切圓半徑為，根據，可得，再根據雙曲線的定義即可得解.
【詳解】因為，所以，即，
所以，所以離心率，
設的內切圓半徑為，
則，
又，
所以，
即，
所以，
所以.
故選：B.
【點睛】根據，得出是解決本題的關鍵所在.
6．（2024·河北·三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數學發展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（ ）
A．點必在直線上，且以為直徑的圓過點
B．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點
C．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點
D．點必在直線上，且以為直徑的圓過點
【答案】D
【分析】
結合導數幾何意義可證得過拋物線上一點的切線方程為，由此可確定在處的切線方程，進而結合點坐標得到直線方程，代入可知點必過直線；結合韋達定理可得，知，由此可得結論.
【詳解】設為拋物線上一點，
當時，由得：，在處的切線方程為：，
即，；
同理可得：當時，在處的切線方程切線方程為；
經檢驗，當，時，切線方程為，滿足，
過拋物線上一點的切線方程為：；
設，
則拋物線在處的切線方程為和，，
點滿足直線方程：，又直線過焦點，
，解得：，點必在直線上；AC錯誤；
由題意知：，，
，，；
設直線方程為：，
由得：，，，即，
以為直徑的圓過點；B錯誤，D正確.
故選：D.
二、多選題
7．（23-24高三上·江蘇連云港·期中）拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線圍成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產生了無窮的魅力．設A，B是拋物線上兩個不同的點，以A，B為切點的切線交于P點．若弦AB過，則下列說法正確的有（ ）
A．點P在直線上 B．
C． D．面積的最小值為8
【答案】ABC
【分析】設出直線的方程，代入拋物線，寫出韋達定理，利用導數求得切線，聯立求交點，可得A的正誤；通過兩直線垂直的斜率性質，可得B、C的正誤，利用圓錐曲線中的弦長公式以及兩點之間距離公式，結合三角形的面積公式，可得D的正誤.
【詳解】對于A，由直線過點，且與拋物線交于兩點，則可設直線，
將代入，整理可得，
設，則，
由拋物線，整理可得函數，則，
過點的切線斜率為，易知，則切線方程為，即，同理可得：過點的切線方程為，
聯立可得，解得，則，故點在定直線上，故A正確；
對于B，由A可知：直線，直線，
由，則，故B正確；
對于C，由A可知，則直線的斜率，由，則，故C正確；
對于D，由C可得：，
，
，
則，當時，取得最小值為，故D錯誤；
故選：ABC.
8．（2024高三下·江蘇·專題練習）（多選）如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個不同的點，以A，B為切點的拋物線的切線相交于點P.給出如下結論，其中正確的為（ ）

A．若弦過焦點，則為直角三角形且
B．點P的坐標是
C．的邊所在的直線方程為
D．的邊上的中線與y軸平行（或重合）
【答案】ACD
【分析】設，由導數的幾何意義得切線斜率，利用焦點弦性質得，A正確；寫出切線方程，聯立求出點坐標，得B錯誤；用兩點坐標表示出，寫出直線方程，并化簡可得C正確；設為拋物線弦的中點，立即得D正確.
【詳解】由題意設，
由，得，則，
所以，
若弦過焦點，顯然直線斜率存在，設所在直線為，聯立，
得，
則，
所以，
所以，故A正確；
以點A為切點的切線方程為，以點B為切點的切線方程為，
聯立消去y得，
將代入，
得，
所以，故B錯誤；
設N為拋物線弦的中點，N的橫坐標為，因此直線平行于y軸(或與y軸重合)，即平行于拋物線的對稱軸(或與對稱軸重合)，故D正確；
設直線的斜率為，
故直線的方程為，
化簡得，故C正確.
故選：ACD.
9．（23-24高三上·四川樂山·期末）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質產生了無窮的魅力．設拋物線（），弦過焦點，為其阿基米德三角形，則下列結論一定成立的是（ ）
A．點在拋物線（）的準線上
B．存在點，使得
C．
D．面積的最小值為
【答案】ACD
【分析】設，聯立直線和拋物線，利用韋達定理得到，設出過和過的切線方程，利用已知得到，，即可判斷選項A，再由結合相似，即可判斷選項C，再由向量間的轉化和運算即可判斷選項B，結合特殊情況即可判斷選項D.
【詳解】設，
設直線：，
聯立得，
則，
設過點的切線為，
聯立得，
由，可得，
同理可得過點的切線斜率為，
所以處切線方程分別為，
聯立可得，故A正確；
又即，，
所以，，
所以，，
即，C正確；
又，
所以，
，
所以
，B錯；
由上述知，，
又因為直線斜率為，
所以，
設準線與軸的交點為，
則面積，
當軸時，最短（最短為），
也最短（最短為），
此時面積取最小值，D正確.

故選：ACD
【點睛】方法點睛：涉及方法有：（1）直線與拋物線相切問題；（2）焦點弦問題的計算能力；（3）數形結合思想.
三、填空題
10．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習）已知橢圓：，，為其左、右焦點，為橢圓上任一點，的重心為G，I是內心，且有（其中為實數），橢圓的離心率 .
【答案】/0.5
【分析】設，求出重心的坐標，利用中面積等積法可求出的關系，即可得橢圓離心率.
【詳解】設為的重心，點坐標為，
∵，∴IG∥x軸或 IG兩點重合， ∴I的縱坐標為，
在中，，
，
又∵I為△F1PF2的內心，∴I的縱坐標 即知內切圓半徑，
內心I把分為三個底分別為的三邊，高為內切圓半徑的小三角形，
，
即，，
∴橢圓C的離心率
故答案為:
【點睛】
11．（2024·陜西咸陽·三模）已知，是雙曲線的左，右焦點，點M是雙曲線C在第一象限上一點，設I，G分別為的內心和重心，若IG與y軸平行，則 ．
【答案】68
【分析】由題意，結合圖形，根據內切圓的性質和雙曲線的定義可得、，進而求得，則，由重心的定義有，求出，求得，利用平面向量數量積的坐標表示計算即可求解.
【詳解】由題意知.
如圖，為的內切圓，切點分別為A、B、C，設，
則，由雙曲線的定義知，
，即，
又，所以，
得，即.
又的重心G與內心I的連線平行與y軸，即軸于點A，
所以.
因為，所以，
代入雙曲線方程，得，解得，即，
又，所以，
所以.
故答案為：68.
12．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）焦距為12的雙曲線的左右焦點分別為，，是雙曲線右支上一點，為的內心，交軸于點，若，且，則雙曲線的實軸長為
【答案】8
【分析】設，則，內切圓半徑為，根據三角形面積的兩種表達得到方程，求出，結合雙曲線定義得到，因為，表達出，，由正弦定理得到，得到方程，求出，得到焦距.
【詳解】由題意得，設，
因為，所以，
因為為的內心，所以內切圓半徑為，
則，
又，
故，解得，
根據雙曲線定義可知，，
解得，
因為，所以，
因為，所以，
因為平分，所以，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
所以，即，解得，
故焦距為.

故答案為：8
13．（23-24高三下·江西·階段練習）圓錐曲線C的弦AB與過弦的端點A，B的兩條切線的交點P所圍成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲線C的方程為，弦AB過C的焦點F，設，，，則有，，對于C的阿基米德三角形PAB給出下列結論：①點P在直線上；②；③；④，其中所有正確結論的序號為 ．
【答案】①④
【分析】
由已知可設直線的方程為，聯立方程組，結合設而不求法依次判斷各命題即可.
【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，
過點，斜率不存在的直線與拋物線只有一個交點，不符合已知條件，
故可設直線方程為，
聯立，消得，，
方程的判別式，
所以，
所以，
因為，，
所以，，
因為，所以點P在直線上，命題①正確；
，命題②錯誤；
，命題③錯誤；
因為，
所以，
，
所以，命題④正確；
故答案為：①④.
【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；
(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
14．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，分別是雙曲線的兩個焦點，過上焦點作斜率的直線交雙曲線上支于點,若，的內心分別是，且，則雙曲線的離心率為 .
【答案】
【分析】設邊邊上的切點分別為，根據內心的性質得到軸，設直線的傾斜角為，在和中得到的值，進而得到，再將直線方程和雙曲線方程聯立，利用弦長公式列等式求解即可.
【詳解】如圖所示，在中，設邊邊上的切點分別為，
則縱坐標相等，且，
由雙曲線的性質可得，
設，則，解得，所以，
同理可得內心的縱坐標也為，則軸，
設直線的傾斜角為，則，，，
由解得，
又因為，所以，
所以，
設雙曲線方程為，，，，，
則直線為，即，
聯立得，
則，，則
所以
，
所以，即，
所以，解得，
故答案為：
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
15．（23-24高三上·江蘇揚州·階段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，右頂點為，過的直線交雙曲線的右支于，兩點（其中點在第一象限內），設，分別為，的內心，則當時， ；內切圓的半徑為 ．
【答案】 / /
【分析】利用雙曲線定義和勾股定理即可求得，利用雙曲線定義以及內切圓切線長相等，可知內切圓的半徑即可求得結果.
【詳解】由雙曲線方程知，如下圖所示：
由，則，
故，
而，所以，
故，
解得，所以，
若為內切圓圓心且可知，以直角邊切點和為頂點的四邊形為正方形，
結合雙曲線定義內切圓半徑
所以；
即內切圓的半徑為；
故答案為：，；
【點睛】方法點睛：在求解雙曲線中焦點三角形內切圓半徑時，經常利用雙曲線定義以及切線長相等，代入數值計算即可求得結果.
16．（2024·全國·模擬預測）已知雙曲線C：的一條漸近線與直線垂直，記雙曲線C的左、右焦點分別為，且，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點．記和的內心分別為M，N，則M，N的最短距離為 ．
【答案】
【分析】由題意求出雙曲線方程，結合內切圓性質推出的橫坐標，說明軸，設直線AB的傾斜角為，結合三角函數知識推出，結合雙曲線性質確定范圍，即可求得答案.
【詳解】由題意知，,解得,∴雙曲線C的方程為：．
記的內切圓在邊上的切點分別為R，S，T，
則，
由，即，得，
即．
記點M的橫坐標為，則，于是，解得．
同理，求得的內心N的橫坐標也為，即點M，N的橫坐標相等，
則有軸，
設直線AB的傾斜角為，則，則,
在中，
．
由于直線AB只與雙曲線的右支相交，且一條漸近線的斜率為，傾斜角為60°，
所以，即，當且僅當時，等號成立，
所以，所以M，N的最短距離為,
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵在于推出內心的橫坐標，從而說明，設直線AB的傾斜角為，進而表示出，結合三角函數的性質，即可求解.
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