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專題12 阿波羅尼斯圓和蒙日圓問題
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題型01 阿波羅尼斯圓 1
題型02 蒙日圓 5
題型01 阿波羅尼斯圓
【解題規律·提分快招】
一、阿波羅尼斯圓 1.阿波羅尼斯圓的定義 在平面上給定兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（時點的軌跡是線段的中垂線） 2.阿波羅尼斯圓的證明 設．若（且），則點的軌跡方程是，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓． 證明：由及兩點間距離公式，可得， 化簡可得①， （1）當時，得，此時動點的軌跡是線段的垂直平分線； （2）當時，方程①兩邊都除以得，化為標準形式即為： ，∴點的軌跡方程是以為圓心，半徑為的圓． 圖① 圖② 圖③ 【定理】為兩已知點，分別為線段的定比為的內外分點，則以為直徑的圓上任意點到兩點的距離之比為． 證明：以為例．如圖②，設，，則， ．過作的垂線圓交于兩點，由相交弦定理及勾股定理得，于是． 同時在到兩點距離之比等于的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的， 圓上任意一點到兩點的距離之比恒為．同理可證的情形． 3.阿波羅尼斯圓的相關結論 【結論1】當時，點B在圓內，點A在圓外；當時，點A在圓內，點B在圓外． 【結論2】因，故是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點A，可以作出與之對應的點B，反之亦然． 【結論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為． 【結論4】過點作圓的切線（為切點），則分別為的內、外角平分線． 【結論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內分和外分所得的兩個分點，如圖所示，是的內分點，是的外分點，此時必有平分，平分的外角． 證明：如圖①，由已知可得（且），，又， 平分．由等角的余角相等可得，平分的外角． 【結論6】過點作圓不與重合的弦，則AB平分． 證明：如圖③，連結，由已知（且），又，平分． 平分．
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·浙江金華·階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點分別是拋物線和上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（ ）
A．6 B． C． D．5
2．（24-25高三上·福建福州·期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點、的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，、，點滿足．設點的軌跡為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．軌跡的方程為
B．面積最大值為
C．若，則的最大值為
D．在上存在點，使得
3．（24-25高三上·湖南株洲·期末）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：已知平面內兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）.在平面直角坐標系中，已知，，直線：，直線：，若為，的交點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
4．（24-25高三上·山東煙臺·期末）阿波羅尼斯是古希臘數學家，他研究發現：如果平面內一個動點到兩個定點的距離之比為常數，且，那么這個點的軌跡為圓，這就是著名的阿氏圓.若點到點與點的距離之比為，則（ ）
A．點的軌跡方程為
B．點到直線距離的最小值為
C．點到圓上的點的最大距離為
D．若到直線的距離為的點至少有3個，則
5．（24-25高三上·江蘇連云港·期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷.他發現平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓.已知在平面直角坐標系中，.點滿足，設點的軌跡為曲線，下列結論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率范圍是
C．曲線上的點到直線的最小距離為
D．過點作曲線的一條切線，切點為F，則等于
三、填空題
6．（24-25高三上·福建廈門·期中）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為 ．
7．（23-24高三上·海南海口·期中）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如：平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點和，且該平面內的點滿足，若點的軌跡關于直線對稱，則與之間的關系式為 .
8．（24-25高三上·江蘇泰州·階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯發現：平面上到兩定點的距離之比為常數的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓被稱為阿氏圓.如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足，若點在平面內運動，則點對應的軌跡的面積是 ；為的中點，則三棱錐體積的最小值為 .
四、解答題
9．（24-25高三上·河南洛陽·階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，動點滿足，設動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的軌跡方程；
(2)若直線與曲線交于兩點，求；
(3)若曲線與軸的交點為，直線與曲線交于兩點，直線與直線交于點，證明：點在定直線上．
題型02 蒙日圓
【解題規律·提分快招】
一、蒙日圓 1.蒙日圓的定義 在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1． 證明：設橢圓的方程為，則橢圓兩條互相垂直的切線交點的軌跡是蒙日圓：．①當題設中的兩條互相垂直的切線斜率均存在且不為時，可設（且），過的橢圓的切線方程為，由得， 由其判別式值為，得， 是這個關于的一元二次方程的兩個根，， 由已知點的坐標滿足方程． ②當題設中的兩條互相垂直的切線有斜率不存在或斜率為時，可得點的坐標為或，此時點也在圓上． 綜上所述：橢圓兩條互相垂直的切線交點的軌跡是蒙日圓：． 2.蒙日圓的幾何性質 【結論1】過圓上的動點作橢圓的兩條切線，則． 證明：設點坐標，由，得 ，由其判別式的值為0， 得， ，是這個關于的一元二次方程的兩個根，，，，． 【結論2】設為蒙日圓O：上任一點，過點作橢圓的兩條切線，交橢圓于點為原點，則的斜率乘積為定值． 【結論3】設為蒙日圓O：上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的斜率乘積為定值，且的斜率乘積為定值（垂徑定理的推廣）． 【結論4】過圓上的動點作橢圓的兩條切線，O為原點，則平分橢圓的切點弦． 證明：點坐標，直線斜率，由切點弦公式得到方程，，，由點差法可知，平分，如圖是中點． 【結論5】設為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交蒙日圓O于兩點C，D，則的斜率乘積為定值． 【結論6】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的斜率乘積為定值：． 【結論7】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的最大值為，的最小值為． 【結論8】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，則的最大值為的最小值為．
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·山西太原·階段練習）畫法幾何創始人蒙日發現：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸 短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的離心率為，則橢圓的蒙日圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·湖北·期中）19世紀法國著名數學家加斯帕爾蒙日，創立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東·二模）法國數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的兩條相互垂直切線的交點軌跡為圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓．根據此背景，設為橢圓的一個外切長方形（的四條邊所在直線均與橢圓相切），若在第一象限內的一個頂點縱坐標為2，則的面積為（ ）
A． B．26 C． D．
4．（24-25高三上·天津濱海新·期中）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列說法中，正確的個數為（ ）
①橢圓的離心率為
②到的左焦點的距離的最小值為
③面積的最大值為
④若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
5．（24-25高三上·江西·期中）已知橢圓，我們把圓稱為的蒙日圓，為原點，點在上，延長與的蒙日圓交于點，則（ ）
A．的最大值為 B．若為的中點，則的離心率的最大值為
C．過點不可能作兩條互相垂直的直線都與相切 D．若點在上，則的蒙日圓面積最小為
6．（23-24高三上·廣東廣州·期中）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點，直線的方程為，為橢圓的蒙日圓上一動點，，分別與橢圓相切于A，兩點，為坐標原點，下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的蒙日圓方程為
B．記點A到直線的距離為，則的最小值為0
C．一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為
D．的面積的最大值為
三、填空題
7．（24-25高三上·廣西柳州·階段練習）在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸與虛半軸平方差的算術平方根，這個圓叫雙曲線的蒙日圓.過雙曲線的蒙日圓上一點作的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點，若，則的周長為 .
8．（24-25高三上·江西上饒·階段練習）加斯帕爾 蒙日是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓，若直線上存在點，過可作的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是 .
9．（23-24高三上·廣東江門·期中）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點，必在一個與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”，該圓由法國數學家加斯帕爾·蒙日（1746-1818）最先發現.若橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一動點，過和原點作直線與橢圓的蒙日圓相交于，，則 .
四、解答題
10．（24-25高三上·重慶渝中·階段練習）法國著名數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以橢圓的中心為圓心，（為橢圓的長半軸長，為橢圓的短半軸長）為半徑的圓，這個圓被稱為蒙日圓.已知橢圓：，，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的蒙日圓為圓.
(1)求圓的方程；
(2)已知點是橢圓上的任意一點，點為坐標原點，直線與圓相交于、兩點，求證：；
(3)過點作互相垂直的直線、，其中交圓于、兩點，交橢圓于、兩點，求四邊形面積的取值范圍.
一、單選題
1．（24-25高三上·福建廈門·期中）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點和，且該平面內的點P滿足，若點P的軌跡關于直線對稱，則的值為 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高三上·河南南陽·期中）如圖，加斯帕爾·蒙日是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點的軌跡方程為圓，該圓稱為外準圓，也叫蒙日圓．雙曲線的蒙日圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全國·專題練習）古希臘數學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線.用垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面傾斜，可得到橢圓.如圖，現有一個軸截面為等腰的圓錐PO，過點A及線段PB的中點M的某平面截圓錐PO，得到一個橢圓，則該橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
4．（24-25高三上·浙江杭州·期中）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”，他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．面積的最大值為
C．到的左焦點的距離的最小值為
D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
二、多選題
5．（24-25高三上·全國·單元測試）加斯帕爾 蒙日是18-19世紀法國著名的數學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖所示）．當橢圓方程為時，蒙日圓方程為．已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．若為正方形，則的邊長為
C．橢圓的蒙日圓方程為
D．長方形的面積的最大值為14
6．（24-25高三上·福建福州·期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯（約公元前262~前190）發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，已知，，動點滿足，直線，則（ ）
A．直線過定點
B．動點的軌跡方程為
C．動點到直線的距離的最大值為
D．若點的坐標為，則的最小值為
7．（2024·江西宜春·三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A，B之間的距離為a（非零常數），動點M到A，B的距離之比為常數（，且），則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知，點M滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．面積的最大值為12 B．的最大值為72
C．若，則的最小值為10 D．當點M不在x軸上時，MO始終平分
8．（23-24高三下·廣西·階段練習）法國數學家蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓．若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法中正確的是（ ）
A．橢圓的蒙日圓方程為
B．過直線上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為為直角時，直線的斜率為
C．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則
D．若為正方形，則的邊長為
9．（23-24高三下·重慶·階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯發現：用平面截圓錐，可以得到不同的截口曲線.如圖，當平面垂直于圓錐的軸時，截口曲線是一個圓.當平面不垂直于圓錐的軸時，若得到“封閉曲線”，則是橢圓；若平面與圓錐的一條母線平行，得到拋物線（部分）；若平面平行于圓錐的軸，得到雙曲線（部分）.已知以為頂點的圓錐，底面半徑為1，高為，點為底面圓周上一定點，圓錐側面上有一動點滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．點的軌跡為橢圓
B．點可能在以為球心，1為半徑的球外部
C．可能與垂直
D．三棱錐的體積最大值為
10．（24-25高三上·廣西貴港·階段練習）法國數學家加斯帕爾 蒙日是19世紀著名的幾何學家，被稱為“畫法幾何”創始人“微分幾何之父”，他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過圓上的動點作橢圓的兩條切線，交圓于兩點，直線交橢圓于兩點，則下列結論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．若點在橢圓上，且直線的斜率之和為0，則直線的斜率為
C．點到橢圓的左焦點的距離的最小值為
D．面積的最大值為
三、填空題
11．（24-25高三上·安徽黃山·期中）古希臘數學家阿波羅尼斯（約公元前262年—公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作有中這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點，點滿足，則點的軌跡所對應的阿波羅尼斯圓的半徑為 .
12．（2024·新疆喀什·二模）“蒙旦圓”涉及的是幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓．若橢圓的離心率為，則該橢圓的蒙日圓方程為 ．
13．（24-25高三上·山東淄博·期中）加斯帕爾·蒙日是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓，若直線上存在點P，過P可作C的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是 .
14．（2024·西藏拉薩·一模）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點，的距離之比為定值（且）的點的軌跡是一個圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知動點在邊長為6的正方形內（包含邊界）運動，且滿足，則動點的軌跡長度為 .
四、解答題
15．（2024·安徽·三模）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是平面內動點與兩定點的距離的比值是個常數，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；
(2)如圖，過點斜率為的直線與橢圓相交于（點在軸上方）兩點，點是橢圓上異于的兩點，平分平分.
①求的取值范圍；
②將點看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若外接圓的周長為，求直線的方程.
16．（23-24高三上·吉林·階段練習）圓稱為橢圓的蒙日圓.已知橢圓：的離心率為，的蒙日圓方程為.
(1)求的方程；
(2)若為的左焦點，過上的一點作的切線，與的蒙日圓交于，兩點，過作直線與交于，兩點，且，證明：是定值.
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題型01 阿波羅尼斯圓 1
題型02 蒙日圓 13
題型01 阿波羅尼斯圓
【解題規律·提分快招】
一、阿波羅尼斯圓 1.阿波羅尼斯圓的定義 在平面上給定兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是個圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（時點的軌跡是線段的中垂線） 2.阿波羅尼斯圓的證明 設．若（且），則點的軌跡方程是，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓． 證明：由及兩點間距離公式，可得， 化簡可得①， （1）當時，得，此時動點的軌跡是線段的垂直平分線； （2）當時，方程①兩邊都除以得，化為標準形式即為： ，∴點的軌跡方程是以為圓心，半徑為的圓． 圖① 圖② 圖③ 【定理】為兩已知點，分別為線段的定比為的內外分點，則以為直徑的圓上任意點到兩點的距離之比為． 證明：以為例．如圖②，設，，則， ．過作的垂線圓交于兩點，由相交弦定理及勾股定理得，于是． 同時在到兩點距離之比等于的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的， 圓上任意一點到兩點的距離之比恒為．同理可證的情形． 3.阿波羅尼斯圓的相關結論 【結論1】當時，點B在圓內，點A在圓外；當時，點A在圓內，點B在圓外． 【結論2】因，故是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點A，可以作出與之對應的點B，反之亦然． 【結論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為． 【結論4】過點作圓的切線（為切點），則分別為的內、外角平分線． 【結論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內分和外分所得的兩個分點，如圖所示，是的內分點，是的外分點，此時必有平分，平分的外角． 證明：如圖①，由已知可得（且），，又， 平分．由等角的余角相等可得，平分的外角． 【結論6】過點作圓不與重合的弦，則AB平分． 證明：如圖③，連結，由已知（且），又，平分． 平分．
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·浙江金華·階段練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點分別是拋物線和上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（ ）
A．6 B． C． D．5
【答案】B
【分析】將圓用阿氏圓表示，得到，將問題轉化為求最小值問題，利用二次函數求最值即可得到．
【詳解】易知拋物線的焦點， 不在圓E上，
將圓變形為：
即，
，當且僅當三點共線時取等號；
設，則，當且僅當時取等號；
所以，故
所以的最小值為，
故選：B．
【點睛】本題解題的關鍵是借助題目的背景提示，將圓用阿氏圓表示，分別用幾何法和代數法求最值．
2．（24-25高三上·福建福州·期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點、的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，、，點滿足．設點的軌跡為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．軌跡的方程為
B．面積最大值為
C．若，則的最大值為
D．在上存在點，使得
【答案】D
【分析】對于A，通過直接法求出點的軌跡方程即可判斷；對于B，數形結合可判斷；對于C，設
，轉化為直線與曲線有公共點，結合直線與圓的位置關系可判斷；對于D，求出點的軌跡方程，轉化為兩圓的位置關系即可判斷.
【詳解】設，不與、重合，
由、，有，，
，即，化簡得，
所以點的軌跡曲線是以為圓心，半徑的圓，如圖所示，
對于A選項，由曲線的方程為，選項A正確；
對于B選項，由圖可知，當時，點到直線的距離取最大值，
所以，，B對；
對于C選項，設，可得，
由題意可知，直線與圓有公共點，則，
解得，故的最大值為，C對；
對于D選項，設，由得，
化簡得，因為，
所以上不存在點，使得，故D錯誤.
故選：D.
3．（24-25高三上·湖南株洲·期末）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：已知平面內兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）.在平面直角坐標系中，已知，，直線：，直線：，若為，的交點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，則點的軌跡是以為直徑的圓，除去點、點，得到的軌跡方程為， 由阿氏圓性質找到點，將轉化為，問題轉化為求解到兩定點距離之和最小即可.
【詳解】當時，：，：，此時交點為；
當時，由直線：，斜率為，
由直線：，斜率為，，
又：，直線恒過，
：，直線恒過，
若為，的交點，則，
所以點的軌跡是以為直徑的圓，除去點、點.
綜合以上兩種情況，點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，
則圓心為的中點，圓的半徑為，
故的軌跡方程為，即，
又，，易知，在該圓內，
又由題意可知圓上一點滿足，取，
則，滿足.
下面證明任意一點都滿足，即，
，
又，
，
，
又，
，
如圖，當且僅當，，三點共線，且位于，之間時，等號成立，
即的最小值為.
故選：
【點睛】思路點睛：利用阿氏圓的定義取點，構造，轉化線段和結合三角形三邊關系計算即可.
二、多選題
4．（24-25高三上·山東煙臺·期末）阿波羅尼斯是古希臘數學家，他研究發現：如果平面內一個動點到兩個定點的距離之比為常數，且，那么這個點的軌跡為圓，這就是著名的阿氏圓.若點到點與點的距離之比為，則（ ）
A．點的軌跡方程為
B．點到直線距離的最小值為
C．點到圓上的點的最大距離為
D．若到直線的距離為的點至少有3個，則
【答案】ACD
【分析】選項A根據距離比化簡可得；選項B轉化為圓心的直線的距離減半徑可判斷；
選項C轉化為兩圓圓心距加兩個半徑可得；選項D轉化為圓心到直線的距離小于或等于可得.
【詳解】設點坐標為，由題意可得，
化簡可得，故A正確；
在圓上，其圓心坐標為，半徑為，
故點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減半徑，即為
，故B錯誤；
點到圓上的點的最大距離為到的距離加兩個半徑，即為
，故C正確；
若到直線的距離為的點至少有3個，
設圓心到直線的距離為，則，
即，可得，故D正確，
故選：ACD
5．（24-25高三上·江蘇連云港·期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷.他發現平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓.已知在平面直角坐標系中，.點滿足，設點的軌跡為曲線，下列結論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率范圍是
C．曲線上的點到直線的最小距離為
D．過點作曲線的一條切線，切點為F，則等于
【答案】ABD
【分析】設，根據求得曲線的軌跡方程，根據點到直線的距離公式來對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】設，由，得，而，
所以，
整理得，所以A選項正確.
B選項，圓的圓心為，半徑為，
設直線的方程為，
到直線的距離，
，兩邊平方并化簡得，
解得，所以直線的斜率范圍是，B選項正確.
C選項，到直線的距離為，
所以曲線上的點到直線的最小距離為，C選項錯誤.
D選項，，，，
所以，D選項正確.
故選：ABD

【點睛】思路點睛：
通過設定比值來求解軌跡：首先設定兩點之間的距離之比，并將其代入直角坐標系中，推導出曲線的方程. 這一步奠定了解題的基礎.
利用距離公式分析直線與曲線關系：通過設定直線方程并利用點到直線的距離公式，求解出符合條件的斜率范圍，確保直線與曲線存在公共點.
結合幾何關系確定切線條件：利用點和斜率的關系，結合幾何推導，確定切線條件，從而判斷選項的正確性.
三、填空題
6．（24-25高三上·福建廈門·期中）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為 ．
【答案】
【分析】首先設出點的坐標，然后列出等式，最后化簡所得的等式可得軌跡方程.
【詳解】由題意可設點，由，，，得，
化簡得，即.
故答案為：.
7．（23-24高三上·海南海口·期中）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如：平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點和，且該平面內的點滿足，若點的軌跡關于直線對稱，則與之間的關系式為 .
【答案】
【分析】根據求曲線方程的求法求出動點的軌跡方程，再結合圓的性質，即可求解.
【詳解】解：設，因為和，且該平面內的點滿足，
∴，
∴，
化簡可得，
∴點的軌跡方程為
∵點的軌跡關于直線對稱，
∴圓心在此直線上，∴.
故答案為：.
8．（24-25高三上·江蘇泰州·階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯發現：平面上到兩定點的距離之比為常數的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓被稱為阿氏圓.如圖，在長方體中，，點在棱上，，動點滿足，若點在平面內運動，則點對應的軌跡的面積是 ；為的中點，則三棱錐體積的最小值為 .
【答案】 ； ．
【分析】以為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，用坐標表示兩點間距離轉化后可得軌跡方程，從而得軌跡求得面積，利用空間向量法求得點到平面的距離，并結合平面上圓的性質求得距離的最小值，從而得棱錐體積最小值．
【詳解】如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，則
，，，，，，，，
在平面內，
設，則由得，
化簡得，
所以點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，面積為，
在長方體中，，，
，
設平面的一個法向量是，
則，取得，
，
到平面的距離為，
滿足，
所以的最小值等于，
從而到平面的距離的最小值為，
∴三棱錐體積的最小值為．
故答案為：；．
【點睛】方法點睛：在涉及到空間兩點間的距離問題時，如果與長方體、正方體有關的圖形時，可以建立空間直角坐標系，利用空間向量法（把平面解析幾何法類比于空間解析幾何法）求空間的距離、角度．把幾何問題用計算方法求解．
四、解答題
9．（24-25高三上·河南洛陽·階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，動點滿足，設動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的軌跡方程；
(2)若直線與曲線交于兩點，求；
(3)若曲線與軸的交點為，直線與曲線交于兩點，直線與直線交于點，證明：點在定直線上．
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用軌跡法，代入兩點間距離公式，即可求解；
（2）代入直線與圓相交的弦長公式，即可求解；
（3）首先直線與圓的方程聯立，并利用坐標表示直線和的方程，并利用韋達定理表示，即可求解交點坐標，
【詳解】（1）設，因為，所以，
即，整理得，
所以曲線的軌跡方程為．
（2）曲線的圓心到直線的距離，
所以．
（3）證明：設．
聯立得，
．
設，所以直線的方程為，直線的方程為．
因為直線與直線交于點，所以
則
，即，解得，
所以點在直線上．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是坐標法的應用，利用韋達定理表示.
題型02 蒙日圓
【解題規律·提分快招】
一、蒙日圓 1.蒙日圓的定義 在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1． 證明：設橢圓的方程為，則橢圓兩條互相垂直的切線交點的軌跡是蒙日圓：．①當題設中的兩條互相垂直的切線斜率均存在且不為時，可設（且），過的橢圓的切線方程為，由得， 由其判別式值為，得， 是這個關于的一元二次方程的兩個根，， 由已知點的坐標滿足方程． ②當題設中的兩條互相垂直的切線有斜率不存在或斜率為時，可得點的坐標為或，此時點也在圓上． 綜上所述：橢圓兩條互相垂直的切線交點的軌跡是蒙日圓：． 2.蒙日圓的幾何性質 【結論1】過圓上的動點作橢圓的兩條切線，則． 證明：設點坐標，由，得 ，由其判別式的值為0， 得， ，是這個關于的一元二次方程的兩個根，，，，． 【結論2】設為蒙日圓O：上任一點，過點作橢圓的兩條切線，交橢圓于點為原點，則的斜率乘積為定值． 【結論3】設為蒙日圓O：上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的斜率乘積為定值，且的斜率乘積為定值（垂徑定理的推廣）． 【結論4】過圓上的動點作橢圓的兩條切線，O為原點，則平分橢圓的切點弦． 證明：點坐標，直線斜率，由切點弦公式得到方程，，，由點差法可知，平分，如圖是中點． 【結論5】設為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交蒙日圓O于兩點C，D，則的斜率乘積為定值． 【結論6】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的斜率乘積為定值：． 【結論7】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為原點，則的最大值為，的最小值為． 【結論8】設為蒙日圓上任一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，則的最大值為的最小值為．
【典例訓練】
一、單選題
1．（24-25高三上·山西太原·階段練習）畫法幾何創始人蒙日發現：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸 短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的離心率為，則橢圓的蒙日圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據離心率公式得到，再利用給定結論求解即可.
【詳解】由題可知，，解得，
則，則圓半徑的平方等于，且圓心為原點，
則圓的方程為.
故選：B.
2．（24-25高三上·湖北·期中）19世紀法國著名數學家加斯帕爾蒙日，創立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先明確蒙日圓的方程是根據橢圓方程得出，對于橢圓，其蒙日圓方程為.本題中先求出橢圓的蒙日圓方程，再根據圓與圓的位置關系，即兩圓有且僅有一個公共點時的情況來求解的值.
【詳解】對于橢圓，其中，，根據蒙日圓方程，
可得蒙日圓方程為，其圓心坐標為，半徑.
圓，其圓心坐標為，半徑.
因為兩圓有且僅有一個公共點，所以兩圓內切或外切.
當兩圓外切時，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和.
兩圓的圓心距，由，即，，兩邊平方得，解得，.
當兩圓內切時，兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值.
由，即，兩邊平方得，（無解）.
所以的值為.
故選：B.
3．（2024·廣東·二模）法國數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的兩條相互垂直切線的交點軌跡為圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓．根據此背景，設為橢圓的一個外切長方形（的四條邊所在直線均與橢圓相切），若在第一象限內的一個頂點縱坐標為2，則的面積為（ ）
A． B．26 C． D．
【答案】C
【分析】根據題意求出橢圓C的蒙日圓方程，求出M在第一象限的頂點P的坐標，設出過P且與橢圓C相切的直線方程，與橢圓聯立，再利用點到直線距離公式即可求解.
【詳解】依題意，直線，都與橢圓，且它們圍成四邊形是矩形，
于是該矩形是橢圓的蒙日圓內接矩形，因此該蒙日圓的圓心為，半徑，
因此該橢圓的蒙日圓方程為，
M為橢圓的一個外切長方形，設其四個頂點分別為P、Q、、，
其中P在第一象限，顯然P與關于原點對稱，Q與關于原點對稱，
而 P點縱坐標為2，則其橫坐標為3，即，顯然M的四條邊所在直線斜率存在且不為0，
設過P且與橢圓C相切的直線為，由消去y并整理，
得，由，
化簡得，解得或，不妨取直線PQ方程為，即，
直線的方程為，即，
O點到直線PQ的距離為，O點到直線的距離為，
所以M的面積為.
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：根據蒙日圓的定義求出蒙日圓的方程，并求出第一象限內的點是解決問題的關鍵.
4．（24-25高三上·天津濱海新·期中）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”、“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列說法中，正確的個數為（ ）
①橢圓的離心率為
②到的左焦點的距離的最小值為
③面積的最大值為
④若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據定義，確定蒙日圓的點結合橢圓離心率計算判斷①；根據定義求得，再求出最大面積判斷③；設出點M的坐標并求出其橫坐標范圍計算判斷②；根據定義確定點A，B的關系，再利用“點差法”計算判斷④.
【詳解】對于①，直線，與橢圓都相切，且這兩條直線垂直，因此其交點在圓上，
即有，則，橢圓的離心率，①正確；
對于③，依題意，點均在圓上，且，因此線段是圓的直徑，
即有，顯然圓上的點到直線距離最大值為圓的半徑，即點到直線距離最大值為，
因此面積的最大值為，③正確；
對于②，令，有，令橢圓的左焦點，有，
則，而，
因此，即，
所以到的左焦點的距離的最小值為，②正確；
對于④，依題意，直線過原點O，即點A，B關于原點O對稱，設，有，
于是得，
又由①知，，得，
所以，④正確，
所以說法正確的有①②③④.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是對橢圓的蒙日圓及橢圓性質應用，及點差法得出斜率積等的應用.
二、多選題
5．（24-25高三上·江西·期中）已知橢圓，我們把圓稱為的蒙日圓，為原點，點在上，延長與的蒙日圓交于點，則（ ）
A．的最大值為 B．若為的中點，則的離心率的最大值為
C．過點不可能作兩條互相垂直的直線都與相切 D．若點在上，則的蒙日圓面積最小為
【答案】AD
【分析】根據圓及橢圓的幾何性質判斷A，根據為的中點建立關于的齊次不等式，從而得到離心率的最值可判斷B，舉反例排除C，利用點在橢圓上與基本不等式“1”的妙用可判斷D.
【詳解】對于A，因為圓的圓心為，半徑為，
又橢圓，所以，
所以，故A正確；
對于B，若為的中點，則，
則，故，B錯誤；
對于C，取，則直線，互相垂直，且都與相切，C錯誤；
對于D，因為點在上，所以，
則，
當且僅當，即時取等號，
所以的蒙日圓面積最小為，D正確.
故選：ABD.
6．（23-24高三上·廣東廣州·期中）畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點，直線的方程為，為橢圓的蒙日圓上一動點，，分別與橢圓相切于A，兩點，為坐標原點，下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的蒙日圓方程為
B．記點A到直線的距離為，則的最小值為0
C．一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為
D．的面積的最大值為
【答案】ABD
【分析】對于A：當斜率不存在時可得點坐標，斜率存在時，將切線方程與橢圓方程聯立，利用和垂直關系可構造等式求得點軌跡；對于B：利用橢圓定義將轉化為，由平面幾何知識可知最小值為點到直線的距離，結合點到直線距離公式可運算求解；對于C：根據矩形為蒙日圓的內接矩形，結合基本不等式運算求解；對于D：推導可得過橢圓外一點的橢圓的切點弦直線方程為，當時，可求得的值；當時，將直線與橢圓方程聯立可得韋達定理的結論，結合弦長公式和點到直線距離公式可化簡得到，換元結合二次函數最值的求法可求得結果.
【詳解】由題意可知：，

對于選項A：當直線一條斜率為，另一條斜率不存在時，則；
當直線斜率均存在時，設，切線方程為：，
聯立方程得：，
由，
整理可得：，則，
又因為，則，即，整理得，
所以點軌跡為；
且也滿足，
所以蒙日圓的方程為，故A正確；
對于選項B，因為為橢圓上的點，則，即
可得，
因為的最小值為點到直線的距離，且，
可知，
所以，故B正確；
對于選項C：因為矩形四條邊均與相切，可知該矩形為蒙日圓的內接矩形，
設矩形的長為，寬為，蒙日圓的半徑，則，
可得，當且僅當時，等號成立，
所以此矩形面積最大值為8，故C錯誤；
對于選項D：設位于橢圓上，下證：在A處的切線方程為，
由，即，可知在直線上，
聯立方程，消去y得，
即，解得，即直線與橢圓相切，
所以在點A處的切線方程為，
同理可知：在點處的切線方程為；
設，則，可知坐標滿足方程，
即切點弦所在直線方程為：；
當時，，此時所在直線方程為：，
可得，；
當時，由得：，
由A知：，可得，
設，則，，
，
又原點到直線的距離，
，
令，則，
可得，當且僅當時，等號成立，
綜上所述：的面積的最大值為，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】關鍵點睛：本題考查圓錐曲線中的新定義問題的求解，解題關鍵是能夠根據蒙日圓的定義，結合點在蒙日圓上，得到蒙日圓的標準方程，從而結合圓的方程來判斷各個選項.
三、填空題
7．（24-25高三上·廣西柳州·階段練習）在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸與虛半軸平方差的算術平方根，這個圓叫雙曲線的蒙日圓.過雙曲線的蒙日圓上一點作的兩條切線，與該蒙日圓分別交于兩點，若，則的周長為 .
【答案】/
【分析】結合雙曲線方程求出與，由蒙日圓定義可得圓的方程，再由切線互相垂直可得為直徑，解直角三角形可得.
【詳解】由雙曲線可知，.
則的蒙日圓圓心為，半徑為，其蒙日圓方程為，
由已知可得，
所以為圓的直徑，所以.
又，所以.
所以的周長為.
故答案為：.
8．（24-25高三上·江西上饒·階段練習）加斯帕爾 蒙日是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓，若直線上存在點，過可作的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先通過橢圓切點在頂點的四條特殊切線可知道蒙日圓的半徑，問題轉化為直線與蒙日圓有交點問題，根據直線與圓的位置關系列式即可求解.
【詳解】對于橢圓，
令，可得，令，可得，
由，可知點在“蒙日圓”上，
所以橢圓的“蒙日圓”的半徑為，
所以“蒙日圓”方程為，
因為點在橢圓的“蒙日圓”上，又因為點在直線上，
所以直線和“蒙日圓”有公共點.
即圓心到直線的距離不大于半徑，
即，所以，則，
所以橢圓離心率，所以，即橢圓離心率的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是對“蒙日圓”定義的理解，能夠利用橢圓的四條特殊切線確定蒙日圓的半徑，將問題轉化為直線與圓有交點的問題.
9．（23-24高三上·廣東江門·期中）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點，必在一個與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”，該圓由法國數學家加斯帕爾·蒙日（1746-1818）最先發現.若橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一動點，過和原點作直線與橢圓的蒙日圓相交于，，則 .
【答案】
【分析】令，利用橢圓的定義可得，再由平面向量的知識可得，從而得到；結合“蒙日圓”的定義可知，由此得到，故得解.
【詳解】因為橢圓，所以，故，，如圖，令，
因為，所以，即，
結合圖象，由平面向量的知識可得，故，
兩式相加得，即，即，
由“蒙日圓”的定義，當我們過橢圓上下左右四個頂點作橢圓的切線時，易知橢圓的“蒙日圓”的直徑為這四條切線所圍成的矩形的對角線，故由勾股定理得，
所以，故，
.
故答案為：.
四、解答題
10．（24-25高三上·重慶渝中·階段練習）法國著名數學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以橢圓的中心為圓心，（為橢圓的長半軸長，為橢圓的短半軸長）為半徑的圓，這個圓被稱為蒙日圓.已知橢圓：，，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的蒙日圓為圓.
(1)求圓的方程；
(2)已知點是橢圓上的任意一點，點為坐標原點，直線與圓相交于、兩點，求證：；
(3)過點作互相垂直的直線、，其中交圓于、兩點，交橢圓于、兩點，求四邊形面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見解析；
(3)
【分析】（1）根據蒙日圓定義及橢圓方程直接得解；
（2）設，根據橢圓方程，焦點坐標直接計算，再由圓的幾何性質計算即可得證；
（3）分類討論，當斜率存在且不為0時，根據可得，分別求出，利用換元法求出的取值范圍即可.
【詳解】（1）橢圓：中，，
所以所求圓的方程為；
（2）如圖，
設，則，
又、，
，
同理，
，
.
（3）①當斜率不存在，斜率為0時，方程為，原點到的距離為，
所以，，
所以四邊形面積；
②當斜率存在，斜率不為0時，設的方程為，
則的方程為即，
則原點到的距離為，
所以，
設、，聯立與的方程，即，
消去得，
由于在橢圓內部，所以直線與必相交且，
所以
，
因為,
所以四邊形面積，
令，則，
故
，
，， 令，則，
則在單調遞減，
當時；當時，，所以.
綜上：.
【點睛】關鍵點點睛：表示出四邊形的面積后，能夠恰當經過兩次換元，轉化為二次函數求最值，是解題的關鍵，對運算能力要求較高.
一、單選題
1．（24-25高三上·福建廈門·期中）公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯結合前人的研究成果，寫出了經典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關于平面軌跡的問題，例如:平面內到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內有兩點和，且該平面內的點P滿足，若點P的軌跡關于直線對稱，則的值為 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】設點，運用直接法求得點P的軌跡方程為：，依題意圓心在已知直線上，代入化簡即得.
【詳解】設點，則由可得，，
兩邊取平方，，
化簡得：，即，
依題意，其圓心在直線上，可得，
故.
故選：B.
2．（23-24高三上·河南南陽·期中）如圖，加斯帕爾·蒙日是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點的軌跡方程為圓，該圓稱為外準圓，也叫蒙日圓．雙曲線的蒙日圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設出過點的切線方程，并與雙曲線方程聯立，利用判別式為零得到關于的方程，方程的根即為，通過韋達定理可得點的軌跡方程，進而可求面積.
【詳解】不妨設，則過點的雙曲線切線方程為，存在且不為零，
聯立，
消去得，
所以，
整理得
可知為關于的方程的兩個根，
且，
即，整理得，
即點的軌跡方程為，
即雙曲線的蒙日圓方程為，半徑為
面積為.
故選：A.
3．（2025高三·全國·專題練習）古希臘數學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線.用垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面傾斜，可得到橢圓.如圖，現有一個軸截面為等腰的圓錐PO，過點A及線段PB的中點M的某平面截圓錐PO，得到一個橢圓，則該橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，橢圓長軸長，取線段AM的中點，連接并延長交AB于點Q，過Q作交底面圓于點E，F，連接PE，PF分別交橢圓于點G，H，則橢圓短軸長，由相似三角形求得，從而可解離心率.
【詳解】如圖，

圓錐的軸截面是等腰直角三角形，于點O，過點A作平面截該圓錐，
不妨設，則，，
所以橢圓長軸長，
取線段AM的中點，連接并延長交AB于點Q，過Q作交底面圓于點E，F，
連接PE，PF分別交橢圓于點G，H，則橢圓短軸長，
由橢圓的對稱性可知，取BQ的中點N，連接MN，
則，，，
因此，即，
顯然Q，N是線段AB的兩個三等分點，即，，
由相交弦定理得，解得，
于是，，
所以橢圓的離心率.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：取線段AM的中點，連接并延長交AB于點Q，過Q作交底面圓于點E，F，連接PE，PF分別交橢圓于點G，H，則橢圓短軸長，構建相似三角形求解.
4．（24-25高三上·浙江杭州·期中）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”，他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．面積的最大值為
C．到的左焦點的距離的最小值為
D．若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
【答案】D
【分析】求橢圓的離心率，根據直線與橢圓的位置關系求參數或范圍、求橢圓中的最值問題，根據題意結合圓，橢圓的知識并結合直線與橢圓位置關系，韋達定理可逐項求解.
【詳解】A：依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線則這兩條垂線的交點在上，
因為，所以橢圓的離心率，故A正確；
B：因為點，，都在上，且，為的直徑，
所以面積的最大值為，故B正確；
C：設，的左焦點為，連接，
所以，
又，當時，的最小值為，
則到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；
D：由直線經過坐標原點，易得點A，關于原點對稱，
設，，則，得，，
又，兩式相減得，，
所以，故D錯誤.
故選：D
【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：
（1）幾何轉化代數法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質來解決；
（2）函數取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數，再求這個函數的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；單調性法；三角換元法；導數法等，要特別注意自變量的取值范圍.
二、多選題
5．（24-25高三上·全國·單元測試）加斯帕爾 蒙日是18-19世紀法國著名的數學家，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖所示）．當橢圓方程為時，蒙日圓方程為．已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．若為正方形，則的邊長為
C．橢圓的蒙日圓方程為
D．長方形的面積的最大值為14
【答案】ACD
【分析】根據橢圓方程可求得離心率，知A正確；根據蒙日圓方程定義可知C正確；結合長方形的對角線長和基本不等式可求得B錯誤D正確.
【詳解】對于A，由橢圓的方程知，則，
橢圓的離心率，A正確；
對于C，由A知，橢圓對應的蒙日圓方程為，C正確；
對于B，由C可知，正方形是圓的內接正方形，正方形對角線長為圓的直徑，
正方形的邊長為，B錯誤；
對于D，設長方形的長和寬分別為長方形的對角線長為橢圓對應蒙日圓的直徑，
長方形的面積（當且僅當時取等號），
即長方形的面積的最大值為14，D正確．
故選：ACD．
6．（24-25高三上·福建福州·期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯（約公元前262~前190）發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，已知，，動點滿足，直線，則（ ）
A．直線過定點
B．動點的軌跡方程為
C．動點到直線的距離的最大值為
D．若點的坐標為，則的最小值為
【答案】ABD
【分析】選項A：利用直線過定點求解即可，選項B：設動點，然后根據條件列出，然后整理得到阿氏圓的方程，
選項C:易知最大值為.選項D：分析可知當且僅當為線段與圓的交點時取最小值.
【詳解】對A,直線，，所以直線過定點，A正確；
對B，設，因為動點滿足 ，所以 ，
整理可得，
即，所以動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
動點的軌跡方程為圓，B正確；
對于 C，當直線與垂直時, 動點到直線的距離最大，
且最大值為，C錯誤；
對于D，由，得，所以，
又因為點在圓內，點在圓外，
所以，
當且僅當為線段與圓的交點時取等號.
故選：ABD
7．（2024·江西宜春·三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A，B之間的距離為a（非零常數），動點M到A，B的距離之比為常數（，且），則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標系中，已知，點M滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．面積的最大值為12 B．的最大值為72
C．若，則的最小值為10 D．當點M不在x軸上時，MO始終平分
【答案】ABD
【分析】設點，由條件可得點M的軌跡方程，即可判斷A，由向量數量積的運算律代入計算，即可判斷B，由點與圓的位置關系，即可判斷C，由角平分線定理即可判斷D
【詳解】對于A，設點，由，得，
化為，所以點M的軌跡是以點為圓心、4為半徑的圓，
所以面積的最大值為，故A正確；
對于B，設線段AB的中點為N，，
當點M的坐標為時取等號，故的最大值為72，故B正確；
對于C，顯然點在圓外，點在圓內，，當B，M，Q三點共線且點M在線段BQ之間時，，故C錯誤；
對于D，由，，有，當點M不在x軸上時，
由三角形內角平分線分線段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分線，故D正確．
故選：ABD．
8．（23-24高三下·廣西·階段練習）法國數學家蒙日在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓．若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法中正確的是（ ）
A．橢圓的蒙日圓方程為
B．過直線上一點作橢圓的兩條切線，切點分別為為直角時，直線的斜率為
C．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則
D．若為正方形，則的邊長為
【答案】ACD
【分析】根據給定條件，結合蒙日圓的特征求出蒙日圓的方程判斷A；求出直線與蒙日圓的交點坐標計算判斷B；由兩圓相切求出判斷C；求出蒙日圓的內接正方形邊長判斷D.
【詳解】對于A，橢圓的蒙日圓方程為，A正確；
對于B，依題意，點是直線與蒙日圓的交點，則，解得或，
直線的斜率為或0，B錯誤；
對于C，圓的圓心為，半徑為2，顯然點在圓外，
而圓的半徑為3，由兩圓只有一個公共點，得，解得，C正確；
對于D，由矩形的四邊均與橢圓相切，得是圓的內接矩形，
當為正方形時，該正方形邊長為，D正確.
故選：ACD
9．（23-24高三下·重慶·階段練習）古希臘數學家阿波羅尼斯發現：用平面截圓錐，可以得到不同的截口曲線.如圖，當平面垂直于圓錐的軸時，截口曲線是一個圓.當平面不垂直于圓錐的軸時，若得到“封閉曲線”，則是橢圓；若平面與圓錐的一條母線平行，得到拋物線（部分）；若平面平行于圓錐的軸，得到雙曲線（部分）.已知以為頂點的圓錐，底面半徑為1，高為，點為底面圓周上一定點，圓錐側面上有一動點滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．點的軌跡為橢圓
B．點可能在以為球心，1為半徑的球外部
C．可能與垂直
D．三棱錐的體積最大值為
【答案】ACD
【分析】作出中垂面結合橢圓特征判斷A，根據球的截面和的軌跡判斷B，根據結合范圍判斷C，根據等體積法求解判斷D.
【詳解】由于，則在線段的中垂面上，連接交圓錐于點，
由于，，所以，故為等邊三角形，
取中點為連接，則，則在線段的中垂面上，
由于不垂直于，所以形成的是橢圓，故A正確，
以為球心，1為半徑的球被平面（平面為線段的中垂面）所截得的截面為以為直徑的圓，
而的軌跡為以為長軸的橢圓，由于圓的面積大于橢圓面積，
所以不會離開橢圓，故在球內或球面上，故B錯誤，
若要，由于，所以只需要,
當在處，此時取最小值1，當在處，此時取最大值2，由于連續變化，
故能夠找到點，使得，故C正確，
（為到平面的距離），
由題意的軌跡橢圓的短軸為，，
因為圓錐軸截面頂角的一半為，截面與圓錐軸的夾角為，所以該橢圓的離心率為，所以，
故三棱錐的體積最大值為，故D正確.
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：本題考查圓錐的截面問題，解答本題的關鍵是充分利用圓錐的性質根據題意求解，考查空間想象能力和計算能力，屬于較難題.
10．（24-25高三上·廣西貴港·階段練習）法國數學家加斯帕爾 蒙日是19世紀著名的幾何學家，被稱為“畫法幾何”創始人“微分幾何之父”，他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過圓上的動點作橢圓的兩條切線，交圓于兩點，直線交橢圓于兩點，則下列結論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．若點在橢圓上，且直線的斜率之和為0，則直線的斜率為
C．點到橢圓的左焦點的距離的最小值為
D．面積的最大值為
【答案】AB
【分析】過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，即可得到交點在圓上，從而求出離心率，即可判斷A；依題意可得直線經過坐標原點，則點，關于原點對稱，設，由斜率公式求出、即可判斷B；設，橢圓的左焦點為，連接，表示出，再由的范圍，求出的最小值，即可判斷C；依題意可得為圓的直徑，則，再由面積公式即可判斷D.
【詳解】對于A，依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，
則這兩條垂線的交點在圓上，
所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；
對于B，由可知，又過點，所以，解得，
所以橢圓方程為，
因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，
所以直線經過坐標原點，易得點，關于原點對稱，
設，則，，，，
所以，所以，
又，，所以，故B正確；
對于C，設，橢圓的左焦點為，連接，
因為，即，
所以，
又，所以，
所以則到左焦點的距離的最小值為，故C不正確；
對于D，因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，
設點到的距離為，則，
所以面積，故D不正確；
故選：AB
【點睛】關鍵點點睛：C選項關鍵是結合的范圍，D選項關鍵是推導出.
三、填空題
11．（24-25高三上·安徽黃山·期中）古希臘數學家阿波羅尼斯（約公元前262年—公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作有中這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點，點滿足，則點的軌跡所對應的阿波羅尼斯圓的半徑為 .
【答案】
【分析】設，由已知可得，化簡即可得結果.
【詳解】設，因為，
化簡得到圓，是以為圓心，為半徑的圓．
故答案為：.
12．（2024·新疆喀什·二模）“蒙旦圓”涉及的是幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓．若橢圓的離心率為，則該橢圓的蒙日圓方程為 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，求出，再求出橢圓在頂點處的切線交點坐標即可求出蒙日圓方程.
【詳解】由橢圓的離心率為，得，解得，
橢圓在頂點處的切線分別為，它們交于點，
顯然點在橢圓的蒙日圓上，因此，
所以橢圓的蒙日圓方程為.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：利用蒙日圓的定義，求出橢圓的兩條切線的一個交點坐標是解題之關鍵.
13．（24-25高三上·山東淄博·期中）加斯帕爾·蒙日是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓，若直線上存在點P，過P可作C的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先通過橢圓切點在頂點的四條特殊切線可知道蒙日圓的半徑，問題轉化為直線與蒙日圓有交點問題，根據直線與圓的位置關系列式即可求解.
【詳解】由橢圓方程可知蒙日圓半徑為，
所以蒙日圓方程為，
因為點在橢圓的蒙日圓上，又因為點在直線上，
所以直線和蒙日圓有公共點.
即圓心到直線的距離不大于半徑，
即，所以，
所以橢圓離心率，所以.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是對“蒙日圓”定義的理解，能夠利用橢圓的四條特殊切線確定蒙日圓的半徑，將問題轉化為直線與圓有交點的問題.
14．（2024·西藏拉薩·一模）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點，的距離之比為定值（且）的點的軌跡是一個圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知動點在邊長為6的正方形內（包含邊界）運動，且滿足，則動點的軌跡長度為 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐標系，利用距離關系求得點的軌跡，求出圓心角，然后利用弧長公式求解即可.
【詳解】如圖，以為原點，，所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，
則，，設，因為，即，
整理得.所以動點的軌跡為以為圓心4為半徑的圓的一部分.
設圓與線段交于點，與線段交于點，
因為在中，，，所以，
所以，所以點的軌跡長度為.
故答案為：
四、解答題
15．（2024·安徽·三模）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是平面內動點與兩定點的距離的比值是個常數，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；
(2)如圖，過點斜率為的直線與橢圓相交于（點在軸上方）兩點，點是橢圓上異于的兩點，平分平分.
①求的取值范圍；
②將點看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若外接圓的周長為，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程；
方法2，利用定義整理得，再根據條件列式求得橢圓方程；
方法3，利用定義進行整理，由為常數，求得系數，得到橢圓方程；
（2）①令直線的方程為：，與橢圓方程聯立，設.則，再令，即，代入韋達定理得，可求的范圍；
②由①知，，由阿波羅尼斯圓定義知，在以為定點的阿波羅尼斯圓上，設該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，則有，進而可得，利用面積可求m,進而可求直線的方程.
【詳解】（1）方法1：令，且，解得，
，橢圓的方程為.
方法2：設，由題意（常數），
整理得：，
故，又，解得：.
，橢圓的方程為.
方法3：設，則.
由題意.
為常數，，又，解得：，故，
橢圓的方程為.
（2）①由角平分線定理知：，以下求的值，
令直線的方程為：，
（該方程的恒成立），
設.則，
再令，即，代入韋達定理得
，
由知，，
，
又，故，
，即.
②由①知，，由阿波羅尼斯圓定義知，在以為定點的阿波羅尼斯圓上，
設該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個交點為，則有，
而，同理，
由①知，，
，
由式
，
由圓周長公式：，
，
，
直線的方程為.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查軌跡問題，考查直線與橢圓的位置關系，以及外接圓，新定義的綜合應用，屬于難題，本題的關鍵是讀懂題意，并根據幾何關系進行消參，轉化與化歸，是本題的關鍵也是難點.
16．（23-24高三上·吉林·階段練習）圓稱為橢圓的蒙日圓.已知橢圓：的離心率為，的蒙日圓方程為.
(1)求的方程；
(2)若為的左焦點，過上的一點作的切線，與的蒙日圓交于，兩點，過作直線與交于，兩點，且，證明：是定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）依題意，利用待定系數法即可得解；
（2）分類討論，的斜率取值情況，聯立直線與橢圓方程，利用弦長公式求得，從而得證.
【詳解】（1）依題意，得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）當，的斜率等于0時，，，
所以；
當，的斜率不等于0時，設：，則：，
由，得，
令，得.
設到的距離為，則，
得，
由，得，
易知，設，，則，
則，
故.
綜上，是定值.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
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