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專題07 坐標法、極化恒等式在平面向量中的應用
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題型01 坐標法 1
題型02 極化恒等式 2
題型03 平面向量中的最值（范圍）問題 4
題型01 坐標法
【解題規律·提分快招】
1、建系的常見技巧 （1）前言 坐標運算能將問題從復雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達成解題的目標。對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當的坐標系，應用坐標法來統一表示向量，達到轉化問題，簡單求解的目的。 （2）技巧 ①涉及到含有垂直的圖形，如長方形、正方形、直角三角形、等邊三角形、直角梯形、菱形的對角線等等； ②雖然沒有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習）已知A，B，C是單位圓上不同的三點，，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·內蒙古赤峰·二模）如圖，邊長為的等邊，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）四邊形是邊長為4的正方形，點是正方形內的一點，且滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2024高三·全國·專題練習）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點， ，則 ；為線段上的動點，為中點，則的最小值為 ．
5．（24-25高三上·青海西寧·期中）已知向量，，滿足，，，.若恒成立，則的最大值為 .
6．（24-25高三上·湖南·階段練習）設為單位向量，向量滿足，則當與的夾角最大時， ．
7．（24-25高三上·天津河東·期末）在等腰梯形中，，是腰的中點，則的值為 ；若是腰上的動點，則的最小值為 ．
題型02 極化恒等式
【解題規律·提分快招】
1、極化恒等式 設a，b是平面內的兩個向量，則有 證明：，①，② 將兩式相減可得，這個等式在數學上我們稱為極化恒等式． ①幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構造平行四邊形，，則，由，得． 即“從平行四邊形一個頂點出發的兩個邊向量的數量積是和對角線長與差對角線長平方差的”． ②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結論的基礎上，若設M為對角線的交點，則由變形為，得， 該等式即是極化恒等式在三角形中的體現，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型． 注：具有三角幾何背景的數學問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數量積可轉化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合．
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·山東日照·期末）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形；在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC（含端點）上的一點，則的范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全國·專題練習）已知正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（24-25高三上·上海·階段練習）已知在中，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任意一點，都有，則是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法確定
二、填空題
4．（24-25高三上·安徽六安·階段練習）已知棱長為2的正方體，點P是其表面上的動點，該正方體內切球的一條直徑是MN，則的取值范圍是 ．
5．（2024·河南·模擬預測）如圖，已知，是圓O的兩條直徑，E是的中點，F是的中點，若，則 .
題型03 平面向量中的最值（范圍）問題
【解題規律·提分快招】
平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合．其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等，解題思路通常有兩種： 一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷； 二是“數化”，即利用平面向量的坐標運算，先把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問題，然后利用函數、不等式、方程有關知識來解決．
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內的一點，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川瀘州·一模）已知平面向量，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．（23-24高三下·山西·期末）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·廣東廣州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對任意實數恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·內蒙古鄂爾多斯·期中）如圖，在平面四邊形中，，點是線段上的一點，且，點是線段上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·湖北武漢·期中）已知為的外接圓圓心，，，則的最大值為（ ）
A．4 B．6 C． D．
7．（24-25高三上·吉林松原·期末）設向量的夾角為，定義：.若平面內互不相等的兩個非零向量滿足：，與的夾角為，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空題
8．（23-24高三下·四川德陽·階段練習）邊長為4的正方形，點在正方形內（含邊界），滿足，當點在線段上時，則的最小值為 .
9．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）A、B、C三點在半徑為1的圓O上運動，且，M是圓O外一點，，則的最大值是 .
10．（24-25高三上·福建三明·階段練習）已知是邊長為的正三角形，點是所在平面內的一點，且滿足，則的最小值是 .
11．（2024·全國·模擬預測）已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為 ．
12．（23-24高三上·全國·階段練習）已知、為單位向量，當與夾角最大時，= .
13．（23-24高三下·浙江·期中）已知平面向量，其中為單位向量．若與的夾角為，記為的最小值，則的最大值是 ．
一、單選題
1．（河南省部分校2024-2025學年高三上學期聯考數學試題）銅錢，古代銅質輔幣，指秦漢以后的各類方孔圓錢，其形狀如圖所示．若圖中正方形的邊長為2，圓的半徑為3，正方形的中心與圓的圓心重合，動點在圓上，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
2．（23-24高三下·河北保定·期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津和平·二模）平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江蘇徐州·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點P在以AB為直徑的半圓上(正方形ABCD內部，含邊界)，則的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
5．（24-25高三上·河北衡水·階段練習）過雙曲線的右支上一點，分別向和作切線，切點分別為，則的最小值為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
6．（2024·湖北黃岡·一模）已知向量，且，則與夾角的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（23-24高三下·湖北·階段練習）若，且為銳角，則實數的取值范圍是 .
8．（2025高三·全國·專題練習）設為單位向量，非零向量，x，y為實數，若的夾角為，則的最大值是 .
9．（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習）已知圓和兩點 ，若圓上至少存在一點，使得，則實數的取值范圍是 .
10．（23-24高三上·遼寧沈陽·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的動點，則的最小值為 .
11．（23-24高三下·遼寧朝陽·階段練習）在中，，，，點P是內一點（含邊界），若，則的最大值為 .
12．（23-24高三下·貴州·期中）在梯形中，，梯形外接圓圓心為，圓上有一個動點，求的取值范圍 ．
13．（2024·廣東·模擬預測）設A，B，C三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為 ．
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題型01 坐標法 1
題型02 極化恒等式 9
題型03 平面向量中的最值（范圍）問題 13
題型01 坐標法
【解題規律·提分快招】
1、建系的常見技巧 （1）前言 坐標運算能將問題從復雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達成解題的目標。對于條件中包含向量夾角與長度的問題，都可以考慮建立適當的坐標系，應用坐標法來統一表示向量，達到轉化問題，簡單求解的目的。 （2）技巧 ①涉及到含有垂直的圖形，如長方形、正方形、直角三角形、等邊三角形、直角梯形、菱形的對角線等等； ②雖然沒有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·四川攀枝花·階段練習）已知A，B，C是單位圓上不同的三點，，則的最小值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，進而有，應用向量數量積的坐標表示得，結合三角函數關系及二次函數的性質求最值.
【詳解】不妨令，，又，則，
所以
，
當時，的最小值為.
故選：C
2．（2024·內蒙古赤峰·二模）如圖，邊長為的等邊，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐標系，可得半圓弧的方程為：，設，根據向量的坐標運算法則算出關于的式子，利用三角換元與正弦函數的性質求解即可．
【詳解】由題意可以所在直線為x軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
結合已知得，，，
半圓弧的方程為：，
設，則，，，
由得：，
解得：，
所以，
因為在上，所以，
又，
則可設，，，
將，代入整理得：
，
由得，
所以，，
故的取值范圍是.
故選：D.
3．（24-25高三上·陜西西安·階段練習）四邊形是邊長為4的正方形，點是正方形內的一點，且滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意建立直角坐標系，設，寫出坐標，可得點的軌跡方程，進而可求出的最大值.
【詳解】根據題意，建立如圖所示的直角坐標系，
設,.
所以,,,,
所以,
因為,
即,
故點在以點為圓心，半徑為的圓周上運動，
所以的最大值為.
故選：D.
二、填空題
4．（2024高三·全國·專題練習）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點， ，則 ；為線段上的動點，為中點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】解法一：以為基底向量，根據向量的線性運算求，即可得，設，求，結合數量積的運算律求的最小值；
解法二：建系標點，根據向量的坐標運算求，即可得，設，求，結合數量積的坐標運算求的最小值.
【詳解】解法一：以為基底向量，根據向量的線性運算求，即可得，設，求，結合數量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據向量的坐標運算求，即可得，設，求，結合數量積的坐標運算求的最小值.
解法一：因為，即，則，
可得，所以；
由題意可知：，
因為為線段上的動點，設，
則，
又因為為中點，則，
可得
，
又因為，可知：當時，取到最小值；
解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，
則，
可得，
因為，則，所以；
因為點在線段上，設，
且為中點，則，
可得，
則，
且，所以當時，取到最小值為；
故答案為：；.
5．（24-25高三上·青海西寧·期中）已知向量，，滿足，，，.若恒成立，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】根據可得，即可建立直角坐標系，根據數量積的坐標運算可得在以為圓心，為半徑的圓上，即可根據共線求解.
【詳解】因為，結合，所以.
建立如圖所示的平面直角坐標系，
使得，.
令，則，，
代入，整理得，
所以點在以為圓心，為半徑的圓上.
因為，點在圓內，所以，
當且僅當點在的延長線上時，等號成立.
若恒成立，則，所以的最大值為.
故答案為：
6．（24-25高三上·湖南·階段練習）設為單位向量，向量滿足，則當與的夾角最大時， ．
【答案】5
【分析】令，，利用余弦定理及向量模長的坐標表示得，即，再由等面積法、向量數量積定義有與的夾角最大，即最小，進而由，即可求值.
【詳解】因為為單位向量，向量滿足，
所以可令，如下圖示，
易知，若，故，
而，即，
所以，又，
所以，要與的夾角最大，即最大，即最小，
由，當且僅當時取等號，
所以當與的夾角最大時，.

故答案為：5
【點睛】關鍵點點睛：利用正余弦定理及向量模長的坐標表示、及數量積的定義確定與的夾角最大，即最小為關鍵.
7．（24-25高三上·天津河東·期末）在等腰梯形中，，是腰的中點，則的值為 ；若是腰上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】作出輔助線，求出各邊長，建立平面直角坐標系，得到，求出，設，，故，求出，故，從而得到最小值.
【詳解】過點作⊥于點，
因為等腰梯形中，，
所以，由勾股定理得，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
故，
是腰的中點，故，
所以，
設，，，
則，故，，
故，
，
故
，
故當時，取得最小值，最小值為.
故答案為：，
題型02 極化恒等式
【解題規律·提分快招】
1、極化恒等式 設a，b是平面內的兩個向量，則有 證明：，①，② 將兩式相減可得，這個等式在數學上我們稱為極化恒等式． ①幾何解釋1（平行四邊形模型）以，為一組鄰邊構造平行四邊形，，則，由，得． 即“從平行四邊形一個頂點出發的兩個邊向量的數量積是和對角線長與差對角線長平方差的”． ②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結論的基礎上，若設M為對角線的交點，則由變形為，得， 該等式即是極化恒等式在三角形中的體現，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型． 注：具有三角幾何背景的數學問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數量積可轉化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合．
【典例訓練】
一、單選題
1．（23-24高三下·山東日照·期末）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形；在如圖所示的勒洛三角形中，已知，P為弧AC（含端點）上的一點，則的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量數量積的運算量，結合即可求解.
【詳解】取中點為，連接，顯然，
所以
.
故選：A
2．（2024高三·全國·專題練習）已知正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根據，結合正六邊形的性質求解的范圍即可.
【詳解】如圖所示，由正六邊形的幾何性質可知，，，，，，均是邊長為4的等邊三角形，
當點位于正六邊形的頂點時，取最大值4，
當點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，
所以．
所以，
即的最小值為8．
故選：D
3．（24-25高三上·上海·階段練習）已知在中，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任意一點，都有，則是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．無法確定
【答案】A
【分析】取的中點，的中點，連接，，根據向量的線性運算計算向量并計算，同理計算，
根據不等關系可得出對于邊上任意一點都有，從而確定，從而得到結果.
【詳解】取的中點，的中點，連接，（如圖所示），

則
，
同理，
因為，所以，
即，所以對于邊上任意一點都有，
因此，
又，為中點，為中點，
所以，所以，
即，所以，即為鈍角三角形.
故選：A．
二、填空題
4．（24-25高三上·安徽六安·階段練習）已知棱長為2的正方體，點P是其表面上的動點，該正方體內切球的一條直徑是MN，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用極化恒等式化為，從而轉化為動點到正方體中心的最大與最小距離問題，從而即可求解.
【詳解】
設內切球的球心為，
由，
已知正方體的棱長為2，所以內切球的直徑，
所以，由于點P是正方體表面上的動點，
可知：，即，
故答案為：.
5．（2024·河南·模擬預測）如圖，已知，是圓O的兩條直徑，E是的中點，F是的中點，若，則 .
【答案】/1.1875
【分析】利用極化恒等式將化簡成含有半徑的式子，即可轉化成的形式，可得結果.
【詳解】設圓的半徑為，
由題意得
，
且
，，
所以，所以.
故答案為：
題型03 平面向量中的最值（范圍）問題
【解題規律·提分快招】
平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現了知識的交匯組合．其基本題型是根據已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數量積、向量夾角、系數的范圍等，解題思路通常有兩種： 一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷； 二是“數化”，即利用平面向量的坐標運算，先把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問題，然后利用函數、不等式、方程有關知識來解決．
【典例訓練】
一、單選題
1．（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面內的一點，若（且），則在上的投影向量的長度的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量共線定理的推論，投影向量的概念，數形結合，即可求解．
【詳解】設，（且），
則（且），
則在線段上，如圖所示，

當與重合時，在上的投影向量的長度取得最大值，最大值為；
當與重合時，在上的投影向量的長度取得最小值，最小值為；
則在上的投影向量的長度的取值范圍是．
故選：B.
2．（2024·四川瀘州·一模）已知平面向量，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】由題設分別在以為原點，半徑為的圓上運動，且，數形結合及向量加法的幾何意義確定的范圍，即可得答案.
【詳解】由題設，分別在以為原點，半徑為的圓上運動，且，
所以，若是的中點，則，而，如下圖示，
由圖知，，而，即.
所以的最小值是.
故選：D.
3．（23-24高三下·山西·期末）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意得到，過作的垂線，由在上的投影向量為，求得，又由，得到，結合，即可求解.
【詳解】因為，所以，
又因為O為的外心，所以為直角三角形且，O為斜邊BC的中點，
過作的垂線，垂足為，
因為在上的投影向量為，
所以在上的投影向量為，
又因為，所以，
因為，所以，即的取值范圍為．
故選：D.

4．（23-24高三下·廣東廣州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對任意實數恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】對任意實數恒成立，兩邊平方，轉化為二次函數的恒成立問題，用判別式來解，算出，借助，得到，的最小值轉化為的最小值，最后用絕對值的三角不等式來解即可
【詳解】根據題意，，
，兩邊平方，整理得到，
對任意實數恒成立，則，解得，則.
由于，如上圖，，則
，則的最小值為．
當且僅當終點在同一直線上時取等號.
故選：B．
5．（24-25高三上·內蒙古鄂爾多斯·期中）如圖，在平面四邊形中，，點是線段上的一點，且，點是線段上的一點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據余弦定理求解長度，進而可得，．是等邊三角形，建立直角坐標系，利用向量的坐標運算，結合二次函數的性質即可求解
【詳解】以為原點，所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
連接，在中，由余弦定理得
．所以，
所以．而，所以．
連接，在中，由余弦定理得
．所以，
所以．在中，，
所以三角形是等邊三角形，所以，
所以．設，令，
即，所以，所以，
所以，
所以當時，有最小值為．
故選:B．
6．（24-25高三上·湖北武漢·期中）已知為的外接圓圓心，，，則的最大值為（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】得到，為等邊三角形，，變形得到，當三點共線，即時，取得最大值，最大值為6.
【詳解】因為為的外接圓圓心，，
所以，
因為，所以為等邊三角形，
故，
，
當三點共線，即時，取得最大值，
最大值為.

故選：B
7．（24-25高三上·吉林松原·期末）設向量的夾角為，定義：.若平面內互不相等的兩個非零向量滿足：，與的夾角為，則的最大值為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】設，，則，由題意中，，，外接圓的半徑為1，設，由正弦定理可得，，，則，利用三角恒等變換整理化簡后再由三角函數的性質求解即可.
【詳解】設，，則，
因為，與的夾角為，
所以中，，，如圖所示，
由正弦定理可得外接圓的半徑為1，
則為圓上與不重合的動點.
設（），
由正弦定理可得，，，
則
，
所以當，即時，取得最大值，且最大值為，
故選：B
二、填空題
8．（23-24高三下·四川德陽·階段練習）邊長為4的正方形，點在正方形內（含邊界），滿足，當點在線段上時，則的最小值為 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐標系，求出線段方程，由在線段上可得，利用二次函數值域計算即可得出結果.
【詳解】建立平面直角坐標系如圖所示，根據題意可得：
，，，，
設為，則，，，
因為，
所以，，，，所以，
易知線段方程為：，，，
因為點在上，所以，，，
所以，，，
所以，，，，，
則，
當時取得最小值為.
故答案為：
9．（24-25高三上·河北邢臺·開學考試）A、B、C三點在半徑為1的圓O上運動，且，M是圓O外一點，，則的最大值是 .
【答案】14
【分析】根據圓的幾何性質、向量運算以及絕對值三角不等式，由此求得正確答案.
【詳解】連接，如下圖所示：
因為，則為圓的一條直徑，故為的中點，
所以，，
所以
，
，
當且僅當共線且同向時，等號成立．
故答案為：
10．（24-25高三上·福建三明·階段練習）已知是邊長為的正三角形，點是所在平面內的一點，且滿足，則的最小值是 .
【答案】3
【分析】設的重心為，則，從而得到，點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，數形結合得到最小值.
【詳解】設的重心為，
則，
因為，所以，故，
故點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
又，所以的最小值為.
故答案為：3
11．（2024·全國·模擬預測）已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為 ．
【答案】-1
【分析】先根據向量模長相關不等式得到，解出，設，，夾角為，將兩邊平方，得到，結合，求出，得到答案.
【詳解】，故，
因為，所以，又，
所以，解得：，
不妨設，，夾角為，則，
兩邊平方得：，
即，解得：，
因為，所以，
故，夾角的余弦的最小值為-1.
故答案為：-1
12．（23-24高三上·全國·階段練習）已知、為單位向量，當與夾角最大時，= .
【答案】/0.5
【分析】方法一：利用向量夾角公式，結合換元法及求二次函數最值分析求解即可得；
方法二：畫圖分析即可.
【詳解】方法一：設的夾角為，
則
，
令，則，
當取最小值時，兩向量與夾角最大，
所以當，即時，兩向量與夾角最大，
此時.
故答案為：.
方法二：由圖所示：
可知與夾角最大為，所以，
故答案為：.
13．（23-24高三下·浙江·期中）已知平面向量，其中為單位向量．若與的夾角為，記為的最小值，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】根據，可得四點共圓，即可共線得，結合圖形即可求解最值.
【詳解】令，，，
為單位向量．，則，
由于與的夾角為，所以，
，故不妨取，，四點共圓情況，,
外接圓的直徑為，在優弧上，
，表示起點為，終點在直線上的向量，
由于
，
到的距離為，
設到的最大距離為
由于為的最小值，則當時最小，
故的最大值為，此時過圓心且
故答案為：．
一、單選題
1．（河南省部分校2024-2025學年高三上學期聯考數學試題）銅錢，古代銅質輔幣，指秦漢以后的各類方孔圓錢，其形狀如圖所示．若圖中正方形的邊長為2，圓的半徑為3，正方形的中心與圓的圓心重合，動點在圓上，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】B
【分析】取的中點，連接，由向量的加法和數量積結合圖形運算即可；
【詳解】
取的中點，連接（圖略），則
．
因為正方形的邊長為2，圓的半徑為3，正方形的中心與圓的圓心重合，
所以，所以．
故選：B.
2．（23-24高三下·河北保定·期中）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求外接圓半徑，將置于圓中，利用圖形線段關系得到，結合數量積的運算律及已知求得，進而求最值．
【詳解】由題設，外接圓的半徑，如下圖，
由，則，令，且，
又，，
所以，
則，
當，即時，有最小值.
故選：D
3．（2024·天津和平·二模）平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，得，，，四點共圓，從而判斷點的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點），根據數量積的幾何意義，得出結論．
【詳解】由，，，
可得，故，
又，所以，
以為直徑作圓，則，，，四點共圓，
如圖所示，故點的軌跡是以為弦，圓周角為的劣弧（不含，兩點），
則，
又表示在上的投影，
由圖可知，，，
故（此時點在劣弧的中點位置），
即的最小值為．
故選：D．
【點睛】關鍵點點睛：①由，得到，，，四點在以為直徑的圓上，
②看作是在上的投影,結合圖形特征可得投影的取值范圍.
4．（23-24高三下·江蘇徐州·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點P在以AB為直徑的半圓上(正方形ABCD內部，含邊界)，則的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標系，求出的坐標，再由平面向呈的坐標運算結合三角函數的有界性計算即可求得.
【詳解】如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立平面直角坐標系，
則，
則以AB為直徑的半圓為，
因為動點P在以AB為直徑的半圓上，所以，
所以，
所以
，
因為，所以，
所以，即的取值范圍為.
故選：B

5．（24-25高三上·河北衡水·階段練習）過雙曲線的右支上一點，分別向和作切線，切點分別為，則的最小值為（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
【分析】根據圓的方程確定圓心和半徑，且雙曲線左右焦點為兩圓圓心，連接，應用勾股定理及雙曲線定義及已知確定相關線段和差最值，即可求結果.
【詳解】由題設中圓心，半徑，
中圓心，半徑，
根據雙曲線方程知其左右焦點為，連接，
所以，
所以
，
，
當且僅當為雙曲線右頂點時等號成立，
故的最小值為30.
故選：C.
6．（2024·湖北黃岡·一模）已知向量，且，則與夾角的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到的夾角為，設，，故，設，由得到，設，設夾角為，表達出，換元后得到，由對勾函數性質得到其值域，從而確定，得到夾角最大值.
【詳解】因為，所以，解得，故，
設，，則，
設，則，
則，即，
設，
設夾角為，則，
令，則，
則，令，則，
則，
其中在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，取得最小值，最小值為，
當或3時，取得最大值，最大值為1，
故，
由于在上單調遞減，故，
與夾角的最大值為.
故選：A
【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：
①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行求解；
②數化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數，不等式，方程的有關知識進行求解.
二、填空題
7．（23-24高三下·湖北·階段練習）若，且為銳角，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】把為銳角轉化為與的夾角為銳角，然后利用數量積列不等式組求解即可.
【詳解】因為為銳角，所以與的夾角為銳角，
又，所以，
解得且.
故答案為：.
8．（2025高三·全國·專題練習）設為單位向量，非零向量，x，y為實數，若的夾角為，則的最大值是 .
【答案】2
【分析】求出，進而求出，將轉化為以為未知量的函數問題，求出最大值即可.
【詳解】因為，的夾角為，
所以，則，
當時，，
當時，，
當時，取最大值，，
綜上：的最大值是2.
故答案為：2
9．（24-25高三上·陜西咸陽·階段練習）已知圓和兩點 ，若圓上至少存在一點，使得，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據題意可知，圓與圓的位置關系為相交 內切或內含，利用圓心距和兩圓半徑之間的關系即可求得.
【詳解】圓的圓心，半徑為，
由，得，而、，
則點在以線段為直徑的圓內，又點在圓上，
因此圓與圓相交或內切或內含，即，又，
于是，解得，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：
10．（23-24高三上·遼寧沈陽·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的動點，則的最小值為 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐標系，設出點坐標，利用數量積的坐標運算結合二次函數的最值求解即可．
【詳解】等腰梯形ABCD中，，，，
故梯形的高為，
根據題意，以為坐標原點，射線為軸正半軸建立直角坐標系，如圖所示，
則，，設，其中，
，
則，
則，
則當時，取得最小值27，
則的最小值．
故答案為：．
11．（23-24高三下·遼寧朝陽·階段練習）在中，，，，點P是內一點（含邊界），若，則的最大值為 .
【答案】/
【分析】建立如圖平面直角坐標系，根據向量的坐標運算可得，當直線與直線相交時最大，即可求解.
【詳解】以A原點，以所在直線為軸，建立如圖平面直角坐標系，
由，得，
設，
因為，
所以，得，
所以，又直線的方程為，
由，解得，此時最大，
所以.
故答案為：
12．（23-24高三下·貴州·期中）在梯形中，，梯形外接圓圓心為，圓上有一個動點，求的取值范圍 ．
【答案】
【分析】根據單位向量的概念與數量積的定義，求出，結合在梯形中，，和圓內接四邊形對角互補，可得梯形為等腰梯形，且中點為梯形的外接圓圓心，再建立平面直角坐標系進行求解即可.
【詳解】

由，得，則，
又在梯形中，，則，
結合圓內接四邊形對角互補可得，所以梯形是等腰梯形．
又，取中點，可得，，
即為梯形外接圓圓心，
所以，梯形外接圓以為圓心，2為半徑的圓.
以所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖：
設是角的終邊，又因為點在圓上，所以，即
又，，
，
由，則，故．
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是確定梯形外接圓的圓心所在位置，主要考查了圓內接四邊形的性質，平面向量的數量積的定義與運算性質，以及角的終邊與圓交點的坐標表示，屬于較難題.
13．（2024·廣東·模擬預測）設A，B，C三點在棱長為2的正方體的表面上，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】法一：可初步確定點所在的平面，作，在這個面的射影，，利用把空間向量問題轉化為平面向量問題，結合向量數量積的性質和基本不等式求最小值.
法二：建立空間直角坐標系，不妨假設A在平面中，設，，，和分別是點，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解.
【詳解】法一：如圖：

不防設點在正方體的下底面內，，在正方體的表面的任何位置，它們在下底面的射影分別為，.
則，.所以，，.
所以
（當與方向相反時取“”）.
又（當且僅當時取“”）.
分析兩個“”成立的條件，可知為中點時，有最小值.
此時（當為下底面的面對角線時取“”）.
所以，
（當位于下底面中心，，在下底面的射影是下底面的面對角線端點時取“”）.
法二：將正方體置于空間直角坐標系中，且A在平面中，點和點的連線是一條體對角線．

設，，，
和分別是點，在平面上的投影．
可得，，，
則
，
因為，
當且僅當點C為的中點時，等號成立，
可得，
所以，當，，且時等號成立．
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用，把空間向量的數量積轉化成平面向量的數量積，“降維”是解決該題的關鍵思想.
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