資源簡(jiǎn)介

專題13全面攻克幾何體的外接球、內(nèi)切球及棱切球相關(guān)難題
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識(shí)梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測(cè) 5
05 核心精講·題型突破 7
題型一：正四面體外接球 7
題型二：對(duì)棱相等的三棱錐外接球 8
題型三：直棱柱外接球 9
題型四：直棱錐外接球 11
題型五：正棱錐與側(cè)棱相等模型 12
題型六：垂面模型 14
題型七：二面角模型 16
題型八：坐標(biāo)法解決外接球問題 17
題型九：多面體外接球 18
題型十：錐體內(nèi)切球 21
重難點(diǎn)突破：棱切球 22
近年來(lái)，高考中對(duì)組合體的考查中，與球相關(guān)的外接和內(nèi)切問題已成為命題的熱點(diǎn)。這類問題在小題中的綜合化趨勢(shì)尤為顯著，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力和精確的計(jì)算能力才能順利解答。從全國(guó)高考命題的情況來(lái)看，這部分內(nèi)容主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，很少出現(xiàn)在大題中。此部分是考試的重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)，其難度屬于中等水平。
考點(diǎn)要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
外接球 掌握求解方法，靈活運(yùn)用。 2022年乙卷第12題，5分 2022年II卷第7題，5分 2022年I卷第8題，5分 2021年甲卷第11題，5分 預(yù)測(cè)2025年高考中，與球相關(guān)的組合體問題多以小題形式呈現(xiàn)，同時(shí)也有可能融入解答題中，作為相對(duì)獨(dú)立的部分。具體來(lái)說(shuō)： （1）這類問題可能會(huì)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，旨在考查學(xué)生的綜合推理能力。 （2）錐體內(nèi)切球與棱切球問題將成為考查的熱點(diǎn)。
內(nèi)切球 理解概念，熟練求解。 2020年III卷第16題，5分
棱切球 理解概念，掌握應(yīng)用。 2023年 I卷第1題，5分
1、補(bǔ)成長(zhǎng)方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
1．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則 ．
2．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是 ．
3．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個(gè)公共點(diǎn)．
4．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（ ）
A． B． C． D．
8．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
9．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型一：正四面體外接球
【典例1-1】已知正四面體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在棱上，且，若點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】小張同學(xué)將一塊棱長(zhǎng)為的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個(gè)正四面體（過(guò)程中橡皮泥無(wú)損失），則該四面體外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
【變式1-1】已知正四面體的外接球的體積為， 則該正四面體的棱長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】已知正四面體的各棱長(zhǎng)均為，各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
1．正四面體的棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn)，以為球心的球面與平面的交線和相切，則球的體積是（ ）
A． B． C． D．
題型二：對(duì)棱相等的三棱錐外接球
【典例2-1】四面體的一組對(duì)棱分別相等，且長(zhǎng)度依次為，，5，則該四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】在四面體中，三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等且依次為，，5則此四面體的外接球的半徑為（ ）
A． B．5 C． D．4
四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類問題．
如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．
【變式2-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
1．在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型三：直棱柱外接球
【典例3-1】將2個(gè)棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱密封在一個(gè)球體內(nèi)，則該球體的體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知直三棱柱中，，，點(diǎn)到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【變式3-1】在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】已知正六棱柱的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
1．已知正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型四：直棱錐外接球
【典例4-1】已知三棱錐中，平面，，，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知三棱錐P-ABC中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過(guò)球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
【變式4-1】已知三棱錐中，平面，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
1．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，若三棱錐（以為頂點(diǎn)）的側(cè)面積為6，則球的表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型五：正棱錐與側(cè)棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
【變式5-1】已知三棱錐，，，，，三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側(cè)面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】已知正三棱錐的高為 ，且各頂點(diǎn)都在同一球面上. 若該球的體積為 ，則三棱錐體積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內(nèi)部或底面上，底面正六邊形邊長(zhǎng)，則其體積的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型六：垂面模型
【典例6-1】如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】在體積為的三棱錐中，，，平面平面，， ，若點(diǎn)，，，都在球的表面上，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．
（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
【變式6-1】在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)、、、都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
1．在體積為12的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型七：二面角模型
【典例7-1】已知四面體 的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，二面角 的平面角為 ，則該球的表面積是
【典例7-2】已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．
（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．
【變式7-1】如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
【變式7-2】已知菱形中，對(duì)角線，將沿著折疊，使得二面角為， ，則三棱錐的外接球的表面積為 .

1．在三棱錐中，已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且.若和的面積之積為，且二面角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為 .
題型八：坐標(biāo)法解決外接球問題
【典例8-1】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，若球O的表面積等于，則三棱錐的體積等于（ ）
A．2 B． C． D．
【典例8-2】已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則（ ）
A． B． C． D．
對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng)．坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度．
【變式8-1】在棱長(zhǎng)為4的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球半徑的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【變式8-2】正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
1．如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)，則平面截三棱錐的外接球所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
題型九：多面體外接球
【典例9-1】正多面體是指多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等的多面角.在古希臘時(shí)期人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)正多面體僅有5種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.如圖是一個(gè)正八面體，其每一個(gè)面都是正三角形，六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球與正八面體的體積之比是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為，則該多面體外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
首先，確定球心是關(guān)鍵，可通過(guò)作垂線找交點(diǎn)、建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算或利用特殊多面體的性質(zhì)來(lái)確定。其次，理解并應(yīng)用外接球的性質(zhì)，即外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離相等，這有助于建立數(shù)學(xué)模型。最后，結(jié)合多面體的幾何元素，運(yùn)用空間向量、幾何性質(zhì)或公式法等方法求解外接球的半徑。
【變式9-1】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長(zhǎng)方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)得到如圖2所示的十面體.已知，則十面體外接球的球心到平面的距離是（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖所示的阿基米德多面體有四個(gè)全等的正三角形面和四個(gè)全等的正六邊形面，該多面體是由過(guò)正四面體各棱的三等分點(diǎn)的平面截去四個(gè)小正四面體得到．若該多面體的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，且點(diǎn)到正六邊形面的距離為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
1．在幾何學(xué)中，截角立方體是一種十四面體，由八個(gè)正三角形與六個(gè)正八邊形組成，共有個(gè)面，個(gè)頂點(diǎn)以及條邊，是一種阿基米德立體，屬于半正多面體.下圖是一個(gè)所有棱長(zhǎng)均為的截角立方體，則該截角立方體的外接球的表面積為 .
題型十：錐體內(nèi)切球
【典例10-1】棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的表面積最大為（ ）
A． B． C． D．
【典例10-2】點(diǎn)M、N為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，T為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（ ）
A．1 B． C． D．
等體積法，即
【變式10-1】如今中國(guó)被譽(yù)為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋．高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過(guò)程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先水平．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球相切，同時(shí)與正四面體的三個(gè)面相切．設(shè)，則該模型中5個(gè)球的表面積之和為
【變式10-2】作高為8的正四面體的內(nèi)切球，在這個(gè)球內(nèi)作內(nèi)接正四面體，然后再作新四面體的內(nèi)切球，如此下去，則前個(gè)內(nèi)切球的半徑和為 ．
1．已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
重難點(diǎn)突破：棱切球
【典例11-1】已知四面體中，，，，，球心在該四面體內(nèi)部的球與這個(gè)四面體的各棱均相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】在正四棱臺(tái)中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
（1）若正方體的棱長(zhǎng)為，則棱切球的半徑．
（2）若正四面體棱長(zhǎng)為，則內(nèi)切球半徑，外接球半徑，棱切球半徑．
（3）對(duì)于棱長(zhǎng)為的正棱柱，棱切球半徑為．
【變式11-1】已知正三棱錐 P－ABC 的底面邊長(zhǎng)為 ，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐 P－ABC 的體積為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【變式11-2】已知正三棱柱的側(cè)面積為36，則與三棱柱各棱均相切的球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
1．已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（ ）．
A．1 B． C． D．或
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題13全面攻克幾何體的外接球、內(nèi)切球及棱切球相關(guān)難題
目錄
01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 3
03 知識(shí)梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測(cè) 5
05 核心精講·題型突破 13
題型一：正四面體外接球 13
題型二：對(duì)棱相等的三棱錐外接球 17
題型三：直棱柱外接球 20
題型四：直棱錐外接球 26
題型五：正棱錐與側(cè)棱相等模型 30
題型六：垂面模型 36
題型七：二面角模型 41
題型八：坐標(biāo)法解決外接球問題 47
題型九：多面體外接球 53
題型十：錐體內(nèi)切球 58
重難點(diǎn)突破：棱切球 63
近年來(lái)，高考中對(duì)組合體的考查中，與球相關(guān)的外接和內(nèi)切問題已成為命題的熱點(diǎn)。這類問題在小題中的綜合化趨勢(shì)尤為顯著，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力和精確的計(jì)算能力才能順利解答。從全國(guó)高考命題的情況來(lái)看，這部分內(nèi)容主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，很少出現(xiàn)在大題中。此部分是考試的重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)，其難度屬于中等水平。
考點(diǎn)要求 目標(biāo)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
外接球 掌握求解方法，靈活運(yùn)用。 2022年乙卷第12題，5分 2022年II卷第7題，5分 2022年I卷第8題，5分 2021年甲卷第11題，5分 預(yù)測(cè)2025年高考中，與球相關(guān)的組合體問題多以小題形式呈現(xiàn)，同時(shí)也有可能融入解答題中，作為相對(duì)獨(dú)立的部分。具體來(lái)說(shuō)： （1）這類問題可能會(huì)以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，旨在考查學(xué)生的綜合推理能力。 （2）錐體內(nèi)切球與棱切球問題將成為考查的熱點(diǎn)。
內(nèi)切球 理解概念，熟練求解。 2020年III卷第16題，5分
棱切球 理解概念，掌握應(yīng)用。 2023年 I卷第1題，5分
1、補(bǔ)成長(zhǎng)方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
1．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則 ．
【答案】2
【解析】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，
設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，
則，可得，
設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，
因?yàn)椋矗獾?
故答案為：2.
2．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設(shè)球的半徑為.
當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，
正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即，故；
分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，
連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.
綜上，.
故答案為：
3．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有 個(gè)公共點(diǎn)．
【答案】12
【解析】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，
由題意可知，為球心，在正方體中，，
即，
則球心到的距離為，
所以球與棱相切，球面與棱只有1個(gè)交點(diǎn)，
同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，
所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.
故答案為：12
4．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．
5．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式
設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，
設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，
則
（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）
即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為
又設(shè)四棱錐的高為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
故選：C
[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式
由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，
(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)
所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.
故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值
由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，
，，單調(diào)遞增， ，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；
方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法．
6．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,
[方法一]：導(dǎo)數(shù)法
設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時(shí)，，時(shí)，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，
當(dāng)時(shí)，得，則
當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，
，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是
7．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，
設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，
設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，
所以，，，
，則，所以，，
又因?yàn)椋裕?br/>所以，，，
因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.
故選：B.
8．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，為等腰直角三角形，，
則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，
設(shè)到平面的距離為，
則，
所以.
故選：A.
9．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】
設(shè)球的半徑為，則，解得：.
設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，
是面積為的等邊三角形，
，解得：，，
球心到平面的距離.
故選：C.
10．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，
得，為等邊三角形，
由正弦定理可得，
，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，
，
球的表面積.
故選：A
題型一：正四面體外接球
【典例1-1】已知正四面體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)在棱上，且，若點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)，使得，連接.
在中，.易知點(diǎn)為等邊的中心，
所以.
易知，所以.
所以，點(diǎn)即為球心，球的半徑為，
表面積為.
故選：D.
【典例1-2】小張同學(xué)將一塊棱長(zhǎng)為的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個(gè)正四面體（過(guò)程中橡皮泥無(wú)損失），則該四面體外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，由題意可得，正方體的體積即為正四面體的體積，
設(shè)正四面體如圖，F(xiàn)為為底面的中心，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，
O為正四面體外接球的球心，則為四面體的高，O在上，
則，則，
即得，所以，
又設(shè)正四面體外接球的半徑R，
則，即，即得，
故外接球體積為.
故選：C．
如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
【變式1-1】已知正四面體的外接球的體積為， 則該正四面體的棱長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)正四面體的外接球半徑為，則， 解得，
將正四面體放入正方體中，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如下圖所示：
則，所以，，故該正四面體的棱長(zhǎng)為.
故選：C.
【變式1-2】已知正四面體的各棱長(zhǎng)均為，各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，是正四面體的高，是外接球球心，設(shè)外接球半徑為，
∵正四面體棱長(zhǎng)為，∴，，，，
由得，
解得，∴．
故選：D．
1．正四面體的棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn)，以為球心的球面與平面的交線和相切，則球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，
取的中點(diǎn)，連接，則，取線段的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，
因?yàn)槠矫妫瑒t平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，
正的外接圓半徑為，，
所以，，
易知球被平面所截的截面圓圓心為點(diǎn)，且，故，
因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，
因?yàn)橐詾榍蛐牡那蛎媾c平面的交線和相切，則切點(diǎn)為點(diǎn)，
則球的半徑為，
因此，球的體積是.
故選：D.
題型二：對(duì)棱相等的三棱錐外接球
【典例2-1】四面體的一組對(duì)棱分別相等，且長(zhǎng)度依次為，，5，則該四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】四面體的一組對(duì)棱分別相等，且長(zhǎng)度依次為，，5，
可將其補(bǔ)為一個(gè)三個(gè)面上對(duì)角線分別為，，5的長(zhǎng)方體，如圖所示：
長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，
長(zhǎng)方體的外接球即是四面體的外接球，四面體的外接球的半徑為，
四面體的外接球的表面積為：，
故選：．
【典例2-2】在四面體中，三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等且依次為，，5則此四面體的外接球的半徑為（ ）
A． B．5 C． D．4
【解析】四面體中，三組對(duì)棱棱長(zhǎng)分別相等，
故可將其補(bǔ)充為一個(gè)三個(gè)面上對(duì)角線長(zhǎng)分別為，，5的長(zhǎng)方體，
則其外接球的直徑，
則
故選：．
四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類問題．
如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．
【變式2-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，
可得長(zhǎng)方體的三條對(duì)角線分別為，2，，
即，，，
解得：，，．
外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．
故選：．
【變式2-2】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】三棱錐中，，，，
構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，5，，
則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐外接球的直徑．
設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，，，則，，，
，
三棱錐外接球的直徑為，
三棱錐外接球的表面積為．
故選：．
1．在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：如下圖所示，
將四面體放在長(zhǎng)方體內(nèi)，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、，
則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為長(zhǎng)方體的外接球直徑，設(shè)該長(zhǎng)方體的外接球半徑為，
由勾股定理得，
上述三個(gè)等式全加得，
所以，該四面體的外接球直徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為，
故選：．
題型三：直棱柱外接球
【典例3-1】將2個(gè)棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱密封在一個(gè)球體內(nèi)，則該球體的體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
若將這2個(gè)直三棱柱合成1個(gè)高為4的直三棱柱，
則底面正三角形的外接圓半徑，
所以其外接球的半徑為；
若將這2個(gè)直三棱柱合成1個(gè)高為2的直四棱柱，
則底面為邊長(zhǎng)為2，銳角為的菱形，
則底面菱形的外接圓半徑，
所以其外接球的半徑為．
故該球體的體積的最小值為．
故選：A.
【典例3-2】已知直三棱柱中，，，點(diǎn)到直線的距離為，則三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槿庵鶠橹比庵?br/>平面，
又平面，
，
，，平面，且，
平面，
平面，
，
易知，，
，，
，
則，
設(shè)外接圓圓心為，外接圓圓心為，
則，即，
且三棱柱外接球球心為中點(diǎn)，
則外接球半徑，
表面積為，
故選：.
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
【變式3-1】在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下圖所示：
圓柱的底面圓直徑為，母線長(zhǎng)為，則的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每點(diǎn)的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.
本題中，將直三棱柱放在圓柱中，如下圖所示：
設(shè)，因?yàn)椋瑒t，
則的外接圓直徑為，，
設(shè)，則，可得，
，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，即，
故該三棱柱外接球的表面積，
故選：A.
【變式3-2】已知正六棱柱的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋哉呅蜛BCDEF外接圓的半徑，
所以球O的半徑，故球O的表面積為．
故選：D
1．已知正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)正六棱柱下底面的中心為，其外接球的圓心為點(diǎn)，
則，為等邊三角形，
故，即為其外接球的半徑，
所以，
所以該正六棱柱的外接球的表面積為.
故選：B.
題型四：直棱錐外接球
【典例4-1】已知三棱錐中，平面，，，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，
則的外接圓的半徑，
因?yàn)槠矫妫O(shè)此三棱錐外接球的半徑為，
則，
則三棱錐的外接球的表面積為．
故選：B．
【典例4-2】已知三棱錐P-ABC中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，所以，
取中點(diǎn)，則是的外心，
又，所以點(diǎn)在底面上的射影是的外心，即為，
所以平面，因此外接球球心在上，的外接圓就是球的大圓，
，所以，
，，這就是外接球的半徑，
外接球表面積為，
故選：C．
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過(guò)球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
【變式4-1】已知三棱錐中，平面，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)，底面的外接圓半徑，
又平面，且，則三棱錐的外接球半徑，
所以外接球表面積為.
故選：B
【變式4-2】三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的外接圓圓心為，過(guò)點(diǎn)作底面，
為三棱錐外接球球心，設(shè)該球半徑為，
由平面，則，連接、、，
由是正三角形，，故，
由，，則，
故有，
故該球的表面積.
故選：D.
1．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，若三棱錐（以為頂點(diǎn)）的側(cè)面積為6，則球的表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題知平面，，所以三棱錐的外接球，即為以為同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)方體的外接球，
所以外接球半徑，其中，
令，，則三棱錐（以為頂點(diǎn)）的側(cè)面積為，
所以，
所以，
又因?yàn)椋矗?br/>所以，所以，
又因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)，即時(shí)，，
此時(shí)球的表面積的取得最小值為.
故選：B.
題型五：正棱錐與側(cè)棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)正三棱錐的底面中心為，外接球的球心為，顯然球心在直線上.
設(shè)正三棱錐的高為，外接球的半徑為，
由，可得正三角形的面積為，
所以，解得.
球心到底面的距離為，
由，得，
所以外接球的表面積為.
故選：D.
【典例5-2】已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)的外接圓半徑為，因?yàn)椋?br/>由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，所以，
記的外心為，連接，，，則，
取，的中點(diǎn)分別為，，則，，
又因?yàn)椋傻茫?br/>因?yàn)椋?br/>因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，平面，
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，，
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面，可得，
由題意可得外接球的球心在上，或在的延長(zhǎng)線上，設(shè)外接球的半徑為，
則球心到的距離為，
則有，解得，
所以球的表面積，
故選：A.
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
【變式5-1】已知三棱錐，，，，，三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側(cè)面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋矗瑒t，
可知的外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，
又因?yàn)椋芍c(diǎn)在底面的投影為的外接圓圓心，
可得，
則三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，
可得，解得，
所以外接球的表面積為，
的面積為；
的面積為；
的面積為；
所以三棱錐的側(cè)面積為，
所以三棱錐外接球的表面積與三棱錐的側(cè)面積之比為.
故選：A.
【變式5-2】已知正三棱錐的高為 ，且各頂點(diǎn)都在同一球面上. 若該球的體積為 ，則三棱錐體積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)H為底面三角形的中心，PH為三棱錐的高，設(shè)為h，
由題意得，，解得，
該三棱錐為正三棱錐，,
，，
令 ，
由，可得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在 單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，.
故選：B
1．某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內(nèi)部或底面上，底面正六邊形邊長(zhǎng)，則其體積的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)該正六棱錐的高，側(cè)棱長(zhǎng)為，設(shè)該正六棱錐外接球的半徑為，如圖，
因?yàn)檎忮F外接球的表面積為，
所以有，
因?yàn)橥饨忧虻那蛐脑谡忮F內(nèi)部或底面上，所以，
設(shè)，在正六邊形中，因?yàn)檎呅芜呴L(zhǎng)為，所以，
在中，由余弦定理可知，
在直角三角形中，，
所以有，
由勾股定理可知，
因?yàn)椋裕?br/>因此有4，而，所以，
該正六棱錐的體積，
，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，，
因此該正六棱錐的體積的取值范圍是，
故選：C
題型六：垂面模型
【典例6-1】如圖，在三棱錐中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切危?br/>所以，，
過(guò)點(diǎn)作，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫矫?br/>所以平面，平面，
所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)外接球的半徑為，
則由得，由得，
又因?yàn)椋?br/>所以為等腰直角三角形，
設(shè)球心為，中點(diǎn)為，連接，
則，
所以，
即，解得，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C
【典例6-2】在體積為的三棱錐中，，，平面平面，， ，若點(diǎn)，，，都在球的表面上，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋裕?br/>因此點(diǎn)就是三棱錐的外接球球心，
在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，為垂足，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
設(shè)球半徑為，則，
又，則，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以三棱錐的體積，
所以，所以球的體積為．
故選：C．
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．
（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
【變式6-1】在體積為的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)、、、都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作作，垂足點(diǎn)為，
取線段的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：
因?yàn)椋瑒t，
所以，三棱錐的外接球的球心為中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>平面，則平面，
設(shè)球的半徑為，則，
又，，所以，，，，
所以，，
所以，三棱錐的體積為，
解得，因此，球的表面積為.
故選：A.
【變式6-2】在三棱錐P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱錐P-ABC的外接球，則球O的表面積為（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【解析】在中，，則，中點(diǎn)為的外心，
于是平面，取中點(diǎn)，連接，則，而平面PAB⊥平面ABC，
平面平面，平面，則平面，，
令正的外心為，則為的3等分點(diǎn)，，
又平面，則，而，則四邊形是矩形，
，因此球O的半徑，
所以球O的表面積為.
故選：B
1．在體積為12的三棱錐中，，，平面平面，，，若點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋裕虼它c(diǎn)就是球心，
又，故是等腰直角三角形，所以．
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>所以平面．
設(shè)球半徑為，則，，
又，則，
所以三棱錐的體積，
所以，所以球O的表面積為．
故選：D．
題型七：二面角模型
【典例7-1】已知四面體 的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，二面角 的平面角為 ，則該球的表面積是
【答案】/
【解析】
如圖，取中點(diǎn)，連接，
因，則，且，
又二面角的平面角為 60°，即， 故 是等邊三角形，
分別取 與 的外心，過(guò)分別作兩平面的垂線，兩線相交于點(diǎn)，
則點(diǎn)為四面體的外接球的球心，
由已知可得，
連接，易得，故得，，則，
在中，，
故該球的表面積是.
故答案為：.
【典例7-2】已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
【答案】
【解析】如圖，∵，即，∴.
∴球心在過(guò)的中點(diǎn)與平面垂直的直線上，
同時(shí)也在過(guò)的中心與平面垂直的直線上，.
∴這兩條直線必相交于球心.
∵二面角的大小為，
易知，，
，，
，
∴三棱錐的外接球的半徑為.
∴三棱錐的外接球的體積為.
故答案為：
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．
（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．
【變式7-1】如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】/
【解析】取和的中點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作面于點(diǎn)，
連結(jié)，，,平面,故，
又，則又平面,
故平面，平面，故
則為二面角的補(bǔ)角， ，
因?yàn)椋瑒t，且，
易知，
因?yàn)闉榈妊苯侨切危允堑耐庑?
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則面，易知，
作，易知為矩形，，
設(shè)，，則在中，，
且中，，解得，
所以外接球表面積為.
故答案為：.
【變式7-2】已知菱形中，對(duì)角線，將沿著折疊，使得二面角為， ，則三棱錐的外接球的表面積為 .

【答案】
【解析】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，
則，，
可知即為二面角的平面角，即；
設(shè)，則，
在中，由余弦定理可得：，
即 解得，
即，可得，
所以與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
分別記三角形與的重心為、，
則，；；
因?yàn)榕c都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
所以點(diǎn)是的外心，點(diǎn)是的外心；
記該幾何體的外接球球心為，連接，，
根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，
所以與都是直角三角形，且為公共邊，
所以與全等，因此，
所以；
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面；
又平面，所以，
連接，則外接球半徑為，
所以外接球表面積為.
故答案為：.
1．在三棱錐中，已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且.若和的面積之積為，且二面角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】/
【解析】設(shè)中點(diǎn)為，外接圓圓心為，球心為，因?yàn)椋裕?br/>又是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，結(jié)合題設(shè)有，
所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圓圓心為，
又因?yàn)椋詾槎娼堑钠矫娼牵Y(jié)合已知該角為銳角，
由題意可知，，過(guò)，分別作平面，平面的垂線，相交于一點(diǎn)，
由截面圓的性質(zhì)可知，兩垂線的交點(diǎn)為球心，如圖所示，
所以，，得到，
又易知，，所以，
所以外接球半徑，
所以外接球表面積，
故答案為：.
題型八：坐標(biāo)法解決外接球問題
【典例8-1】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，若球O的表面積等于，則三棱錐的體積等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可知為球的直徑，
設(shè)球的半徑為，則，，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由可得，
則
設(shè)，則到平面的距離為，
由，
可得：，
則三棱錐的體積．
故選：D．
【典例8-2】已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正三棱錐中為等邊三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的重心，所以，
又，，所以，所以，同理可得、
即，，兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，
正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，易得三棱錐的外接球半徑，又，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，所以，
則點(diǎn)到平面的距離，所以.
故選：B
對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng)．坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度．
【變式8-1】在棱長(zhǎng)為4的正方體中，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐外接球半徑的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】連接，取的中點(diǎn)，可知為的外心，
過(guò)作平面的垂線，可知三棱錐外接球的球心在該垂線上，
設(shè)，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)椋矗?br/>整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以三棱錐外接球半徑的最小值為.
故選：C.
【變式8-2】正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的周長(zhǎng)為，由于為定值，即最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，
如圖，將平面展成與平面同一平面，則當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，在展開圖中作，垂足為，，解得：，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，
連結(jié)，因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，又因?yàn)椋遥矫妫矫妫?br/>所以平面，平面，所以，
同理，且，
所以平面，且三棱錐是正三棱錐，所以經(jīng)過(guò)△的中心．
所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心，，，則，
即，
解得：，，所以外接球的表面積.
故選：C.
1．如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)，則平面截三棱錐的外接球所得截面的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋矫?br/>將三棱錐補(bǔ)成正方體，
所以三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心是的中點(diǎn).
設(shè)外接球的半徑為，則，即，
以分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
由，得，令則，
所以平面的一個(gè)法向量.
所以球心到平面的距離為，
設(shè)平面截三棱錐的外接球所得的截面半徑，則，
故該截面的面積為，
故選：C
題型九：多面體外接球
【典例9-1】正多面體是指多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等的多面角.在古希臘時(shí)期人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)正多面體僅有5種，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.如圖是一個(gè)正八面體，其每一個(gè)面都是正三角形，六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球與正八面體的體積之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為2，正八面體的外接球的球心是正方形的中心，
球的半徑，點(diǎn)到平面的距離為，
因此球的體積，正八面體的體積，
所以球與正八面體的體積之比是.
故選：A
【典例9-2】“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為，則該多面體外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】將“阿基米德多面體”補(bǔ)全為正方體，如下圖所示：
不妨取兩棱中點(diǎn)為，由題知，
易知，可得，
所以正方體的棱長(zhǎng)為2，該多面體的外接球即為正方體的棱切球，
所以棱切球的直徑為該正方體的面對(duì)角線，長(zhǎng)度為，
因此該多面體的外接球的半徑為，所以其表面積為.
故選：A
首先，確定球心是關(guān)鍵，可通過(guò)作垂線找交點(diǎn)、建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算或利用特殊多面體的性質(zhì)來(lái)確定。其次，理解并應(yīng)用外接球的性質(zhì)，即外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離相等，這有助于建立數(shù)學(xué)模型。最后，結(jié)合多面體的幾何元素，運(yùn)用空間向量、幾何性質(zhì)或公式法等方法求解外接球的半徑。
【變式9-1】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長(zhǎng)方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)得到如圖2所示的十面體.已知，則十面體外接球的球心到平面的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題中數(shù)據(jù)可知，則.
因?yàn)槭骟w是由長(zhǎng)方體的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)得到的，
所以長(zhǎng)方體的外接球就是十面體的外接球.
設(shè)十面體外接球的半徑為R，則，即，
因?yàn)椋?
設(shè)外接圓的半徑為r，則由正弦定理得即，
則該十面體外接球的球心到平面的距離是：
.
故選：B
【變式9-2】阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．如圖所示的阿基米德多面體有四個(gè)全等的正三角形面和四個(gè)全等的正六邊形面，該多面體是由過(guò)正四面體各棱的三等分點(diǎn)的平面截去四個(gè)小正四面體得到．若該多面體的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，且點(diǎn)到正六邊形面的距離為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將題圖中的阿基米德多面體補(bǔ)全，得對(duì)應(yīng)的正四面體，如圖所示，
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，易知點(diǎn)為正四面體的中心，
且點(diǎn)到正六邊形面的距離是正四面體的內(nèi)切球的半徑，
易知正四面體的體積，
正四面體的表面積，
所以正四面體的內(nèi)切球半徑為，
所以，解得，則正六邊形的邊長(zhǎng)為，
則該正六邊形的外接圓半徑為2，所以球的半徑，
故球的體積為，
故選：D．
1．在幾何學(xué)中，截角立方體是一種十四面體，由八個(gè)正三角形與六個(gè)正八邊形組成，共有個(gè)面，個(gè)頂點(diǎn)以及條邊，是一種阿基米德立體，屬于半正多面體.下圖是一個(gè)所有棱長(zhǎng)均為的截角立方體，則該截角立方體的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】如圖，將該截角立方體補(bǔ)全為正方體，
由對(duì)稱性知，該截角立方體的外接球的球心即為正方體的中心，
因?yàn)樵摻亟橇⒎襟w的棱長(zhǎng)為，
所以正方體的棱長(zhǎng)為，
則，，
設(shè)該截角立方體的外接球的半徑為，
則，
所以外接球的表面積.
故答案為：
題型十：錐體內(nèi)切球
【典例10-1】棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的表面積最大為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，由題意知球和正四面體的三個(gè)側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時(shí)半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，為的中心，易知面，為中點(diǎn)，球和球分別與面相切于和.
易得，，，
由，
可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即小球的最大半徑為.
所以小球的表面積最大值為.
故選：A
【典例10-2】點(diǎn)M、N為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，T為棱上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)取最大值時(shí)，（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，正四面體的內(nèi)切球的球心為，頂點(diǎn)在底面的射影為，
顯然在線段上，該正四面體內(nèi)切球的半徑為，
如圖，為正三角形的中心，則，
，
由三棱錐的等體積得，即，
解得，
，
由球的性質(zhì)可知：當(dāng)，與圓相切時(shí)，最大，
如圖所示：，
由圓的切線長(zhǎng)定理可知：，
在中，，
最大時(shí)，最小，因?yàn)椋?br/>所以此時(shí)為的中點(diǎn)，即有，
正四面體的內(nèi)切球的球心為，顯然也是該正四面體的外接球的球心，
所以，
因此，，
，
所以.
故選：C.
等體積法，即
【變式10-1】如今中國(guó)被譽(yù)為“基建狂魔”，可謂逢山開路，遇水架橋．高速公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過(guò)程中研制出的用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先水平．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球相切，同時(shí)與正四面體的三個(gè)面相切．設(shè)，則該模型中5個(gè)球的表面積之和為
【答案】
【解析】如圖所示，
設(shè)為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長(zhǎng)為3，高為，的中點(diǎn)為，
連接，，，，，，
由
則，
正四面體的高.
因?yàn)椋裕?br/>所以；
設(shè)小球的半徑為，小球也可看作一個(gè)小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高，同理；
故該模型中5個(gè)球的表面積之和為.
故答案為：.
【變式10-2】作高為8的正四面體的內(nèi)切球，在這個(gè)球內(nèi)作內(nèi)接正四面體，然后再作新四面體的內(nèi)切球，如此下去，則前個(gè)內(nèi)切球的半徑和為 ．
【答案】
【解析】對(duì)于邊長(zhǎng)為的正四面體，
設(shè)正四面體的外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，高為，
令為正三角形的中心，為正四面體的中心，
則，且平面，
可知，
因?yàn)椋遥?br/>即，解得，
可知，
設(shè)第個(gè)內(nèi)切球的半徑為，第個(gè)外接球的半徑為，
則，，可得，
可知是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，
所以前個(gè)內(nèi)切球的半徑和為.
故答案為：.
1．已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球，然后再放入一個(gè)球，使得球與球及三棱錐的三個(gè)側(cè)面都相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取三棱錐過(guò)內(nèi)切球球心的截面，如圖所示：
依題意得，
底面的外接圓半徑為，解得；
點(diǎn)到平面的距離為，
所以，
所以，
設(shè)球的半徑為，
所以，
則，得，
設(shè)球的半徑為，則，又，得，
所以球的表面積為．
故選：A．
重難點(diǎn)突破：棱切球
【典例11-1】已知四面體中，，，，，球心在該四面體內(nèi)部的球與這個(gè)四面體的各棱均相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，是的中心，
根據(jù)對(duì)稱性，球心在上，球與、的切點(diǎn)分別為，，
且，，為球的半徑．
由勾股定理易得，由正弦定理可求得，
由勾股定理可求得．
∵，均為球的切線，∴，
∵與相似，∴，
即，∴，
∴球的體積為．
故選：B．
【典例11-2】在正四棱臺(tái)中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)棱臺(tái)上下底面的中心為,連接，
則，
所以棱臺(tái)的高,
設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點(diǎn)處，
設(shè)中點(diǎn)為，連接,
所以，解得，
所以球的表面積為，
故選：C
（1）若正方體的棱長(zhǎng)為，則棱切球的半徑．
（2）若正四面體棱長(zhǎng)為，則內(nèi)切球半徑，外接球半徑，棱切球半徑．
（3）對(duì)于棱長(zhǎng)為的正棱柱，棱切球半徑為．
【變式11-1】已知正三棱錐 P－ABC 的底面邊長(zhǎng)為 ，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐 P－ABC 的體積為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因?yàn)榍蚺c該正三棱錐的各棱均相切，
所以該球的球心在過(guò)截面圓圓心且與平面垂直的直線上，
又因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，
所以底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為，
又因?yàn)榍虻陌霃剑矗?br/>所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點(diǎn)O，
如圖，過(guò)球心O作PA的垂線交PA于H，則H為棱切球在PA上的垂足，
所以，
又因?yàn)椋?
因?yàn)椋裕?br/>又由題意可知，平面，所以，
所以
所以，
所以.
故選：A.
【變式11-2】已知正三棱柱的側(cè)面積為36，則與三棱柱各棱均相切的球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)上下底面的中心分別為，由對(duì)稱性可知，
球的球心為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，
連接并延長(zhǎng)，交于，連接，則，
設(shè)，則，
，
而，聯(lián)立兩式，解得，則球的半徑為，
則其表面積為，故B正確.
故選：B.
1．已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（ ）．
A．1 B． C． D．或
【答案】B
【解析】過(guò)點(diǎn)P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，則球心O在線段或其延長(zhǎng)線上，
為正的中心，則，．
設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉截平面ABC所得的截面面積為，
所以截面圓的半徑為，所以，．
過(guò)O作PA的垂線，垂足為D，則，
∽，所以．
①當(dāng)點(diǎn)O在線段上時(shí)，，即，
則，且，解得；
②當(dāng)點(diǎn)O在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，即，
則，且，解得或，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)O，重合，此時(shí)點(diǎn)O不在線段的延長(zhǎng)線上，故舍去；當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)D不在棱PA上，不符合題意．
綜合①②可知，，
故選：B．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑