資源簡介

專題12 數列不等式放縮技巧
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 6
05 核心精講·題型突破 12
題型一：先求和后放縮 12
題型二：裂項放縮 18
題型三：等比放縮 24
題型四：型不等式的證明 29
題型五：型不等式的證明 37
題型六：型不等式的證明 44
題型七：型不等式的證明 51
重難點突破：利用遞推關系進行放縮 57
數列放縮技巧是高考數學中的核心考點，尤其在數列與不等式相結合的復雜問題中更為凸顯。當前，這類問題的難度已趨于穩定，保持在中等偏難水平。解題時，關鍵在于對數列通項公式的靈活處理，特別是通過巧妙的變形來接近那些具有明確求和公式的數列類型。在此過程中，向可裂項相消的數列和等比數列靠攏，成為了放縮策略中的高級且有效的手段。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
數列不等式 掌握技巧，提升解題能力 2023年II卷第18題，12分 2022年I卷第17題，10分 2021年乙卷第19題，12分 2021年II卷第17題，10分 2021年浙江卷第20題，15分 預測2025年高考數學試題趨勢，多以解答題形式出現，具體估計為：（1）在導數題目的壓軸環節，第二問極有可能涉及利用導數理論進行數列不等式的證明，此類型問題預計將具備較高的思維難度與解題復雜度，對考生的邏輯推理與數學分析能力提出嚴峻挑戰。（2）至于數列解答題部分，其第二問預計將以中等偏上的難度水平出現，該題預計將融合多個知識點，構成一道綜合性較強的題目，旨在全面考察考生對數列知識的深入理解及靈活運用能力。
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
1．（2023年天津高考數學真題）已知是等差數列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
【解析】（1）由題意可得，解得，
則數列的通項公式為，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由題意可知，當時，，
取，則，即，
當時，，
取，此時，
據此可得，
綜上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
則數列的公比滿足，
當時，，所以，
所以，即，
當時，，所以，
所以數列的通項公式為，
其前項和為：.
2．（2022年新高考全國I卷數學真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
3．（2021年天津高考數學試題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數列；
（ii）證明
【解析】（I）因為是公差為2的等差數列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設等比數列的公比為，
所以，解得（負值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數列是等比數列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
4．（2021年浙江省高考數學試題）已知數列的前n項和為，，且.
（1）求數列的通項；
（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）當時，，
，
當時，由①，
得②，①②得
，
又是首項為，公比為的等比數列，
；
（2）由，得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
時不等式恒成立；
時，，得；
時，，得；
所以.
5．（2020年浙江省高考數學試卷）已知數列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數列{bn}為等比數列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}為等差數列，且公差，證明：．
【解析】（I）依題意，而，即，
由于，所以解得，所以.
所以，故 ，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以.
所以（）.
所以，又，符合，
故.
（II）依題意設，由于，
所以，
故
.
又，而，
故
所以
.
由于，所以，所以.
即， .
題型一：先求和后放縮
【典例1-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知的前n項和為，，且滿足______，現有以下條件：
①；②；③
請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求的前n項和，并證明：．
【解析】（1）若選擇條件①：因為，
當時，，
兩式相減得，
所以當時，當n＝1時符合，
∴；
若選擇條件②：因為，
當時，
兩式相減得，，
∴是首項為2，公比為2的等比數列，
∴；
若選擇條件③：∵，
∴時，，
兩式相減得，
當n＝1時，，可得，，
∴時成立，
∴是首項為2，公比為2的等比數列，
∴；
（2）由（1）可知，
則，
所以，
因為，
所以各項均為正數，
所以，
又因為，
所以．
【典例1-2】已知數列滿足：是公差為6的等差數列，是公差為9的等差數列，且.
(1)證明：是等差數列；
(2)設是方程的根，數列的前項和為，證明：.
【解析】（1）因為是公差為6的等差數列，則，
設，可得，，
又因為是公差為9的等差數列，
則，
可得，即，
且，解得，
即，，可得，
綜上所述：，所以是等差數列.
（2）構建，則是函數的零點
因為，則在上單調遞增，
且，可知有且僅有一個零點，
又因為，
可知數列是以首項，公比為的等比數列，
則，
又因為，可得，
所以.
先求和后放縮方法是一種處理數列不等式問題的有效策略。其核心思路在于，首先通過求和將數列的項合并，簡化問題形式；接著，在求和的基礎上進行適當的放縮，即利用不等式的性質對求和結果進行放大或縮小，從而更便于進行后續的比較和推導。
【變式1-1】已知數列滿足.記.
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和；
(3)若，數列的前項和為，求證：.
【解析】（1）由，得，而，則，
又，因此，
所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列.
（2）由（1）得，，則，
令數列的前項和為，則，
，
兩式相減得，則，
所以.
（3）由（2）知，
，
而，所以.
【變式1-2】已知在數列中，，且當時，.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
【解析】（1）當時，，
又，可得，
當時，，則，即，
又，
故數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，故；
（2）由（1）知，
則，
則數列的前項和
，
又，則，
故.
1．設數列的前項和為．若對任意的正整數，總存在正整數，使得，則稱是“數列”．
(1)若，判斷數列是否是“數列”；
(2)設是等差數列，其首項，公差，且是“數列”，
①求的值；
②設為數列的前項和，證明：
【解析】（1）因為，
當時，，
當時，，
又，即也滿足，
綜上可得，
當時存在或使得（即或），
對于任意的正整數，總存在正整數，此時，
綜上可得對于任意的正整數，總存在正整數，此時，
故是“數列”；
（2）①因為是等差數列，其首項，公差，設的前項和為，
故，，
對任意的正整數，總存在正整數，使得，
即，
當時，，此時只需，
當時，，解得，
又，故,又為正整數，故,此時；
當時，，
下面證明恒為正偶數，
當時，，滿足要求，
假設當時，為正偶數，
則當時，，
由于和均為正偶數，故為正偶數，滿足要求，
所以恒為正偶數，證畢，
所以.
②由①可得，所以，
所以
，
因為，
所以單調遞減且，所以，
所以.
題型二：裂項放縮
【典例2-1】已知數列的首項為1，其前項和為，等比數列是首項為1的遞增數列，若．
(1)求數列和的通項公式；
(2)證明：；
(3)求使得成立的最大整數．
【解析】（1）因為，
所以當時，，
作差得，
兩邊同時除以得，
又，所以，得，
所以，故對，
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，
所以，則．
設等比數列的公比為，
因為，所以由，或
又因以數列是遞增數列，所以．
（2）因為，
所以
．
（3）由（1）知，即，令，則，
，
所以當時，，當時，，當時，，
即有，，
又，
故當時，，所以，，
又，
所以，當時，，故使得成立的最大整數為6．
【典例2-2】數列中，，，（）.
(1)試求、的值，使得數列為等比數列；
(2)設數列滿足：，為數列的前n項和，證明：時，.
【解析】（1）若為等比數列，
則存在，使對成立.
由已知，代入上式，
整理得①
∵①式對成立，∴，解得，
∴當，時，數列是公比為2的等比數列；
（2）由（1）得：，，所以，
所以，因為，
所以，
，（1）
現證：（），
當時，
，∴，（2）
根據（1）（2）可知對于，都成立.
放縮方法是一種處理數列求和及不等式證明的技巧。其核心在于將數列的通項進行裂項，即將其拆分為兩部分或多部分，以便更容易地觀察其規律或進行放縮。
在裂項后，我們可以根據不等式的需要，對拆分后的項進行適當的放大或縮小。這種放縮通常基于數列的單調性、有界性或其他已知性質。
裂項放縮方法的關鍵在于準確裂項和合理放縮，它能夠幫助我們簡化問題，揭示數列的內在規律，從而更輕松地證明數列不等式。
【變式2-1】已知正項數列滿足，，且對于任意，滿足．
(1)求出數列的通項公式；
(2)設，證明：數列的前n項和；
(3)設，證明：．
【解析】（1）因為，，，
當時，，計算得，·
由，可得，
兩相減可知，
整理可得，·
所以為定值，定值為，
所以
所以為等差數列，故．
（2）證明:由（1）得，所以，·
，
故
因為·，所以，所以，即
（3）證明：
，·
因為，·
所以
．·
另．
【變式2-2】已知數列的前項和為，，且．
(1)求；
(2)若從數列中刪除中的項，余下的數組成數列．
①求數列的前項和；
②若成等比數列，記數列的前項和為，證明：．
【解析】（1）∵，∴當時，，
兩式相減得，，整理得，即，
∴當時，，滿足此式，
∴.
（2）①由（1）得，，∴，，
∴數列是首項為，公差為的等差數列.
當為奇數時，為偶數，為的整數倍，是數列中的項，
當為偶數時，為奇數，不是數列中的項，
∴數列中的項為數列的偶數項，且，
∴數列是首項為，公差為的等差數列，
∴，
∴，，
∴.
②由①得，，∴，
∵成等比數列，∴，即，
∴，∴，
∴.
1．已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）由，①
當時，，所以，
當時，，②
由①②得，
所以，
當時，上式也成立，
所以；
（2），·
因為，
所以，
當時，，
當時，
，
綜上所述，.
題型三：等比放縮
【典例3-1】已知數列滿足,（）.
(1)記（），證明：數列為等比數列，并求的通項公式；
(2)求數列的前項和；
(3)設（），且數列的前項和為，求證：（）.
【解析】（1）
，
又，
所以，數列為以為首項，為公比的等比數列.
由等比數列的通項公式知.
（2）由（1）可知，又，.
設，則，
設，，
，，
故.
（3），
，
所以欲證，只需證，
即證.
設，
，故在上單調遞減，，
時，.
，得證.
【典例3-2】已知數列和滿足，，．
(1)證明：是等比數列；
(2)設，求數列的前項和；
(3)證明：．
【解析】（1）由題意知，，
所以，
即，又，
所以是首項為，公比為的等比數列．
（2）由（1）知，所以，
所以
．
（3）由（1）知，所以．
當為偶數時，．
所以．
當為奇數時，，
而，所以．
綜上可知原命題成立．
等比放縮方法是一種處理數列不等式問題的有效技巧。其核心思想在于，通過觀察數列的項與項之間的關系，發現其等比規律，并利用這一規律對數列的項進行適當的放大或縮小。
在具體應用時，我們可以根據數列的等比性質，選擇一個合適的等比數列作為放縮的基準，然后對原數列的每一項都按照這個等比數列進行放縮。這種方法的關鍵在于準確把握等比數列的性質，以及合理確定放縮的倍數，從而確保放縮后的不等式仍然成立。
【變式3-1】數列是等差數列，數列是等比數列，滿足：，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)數列和的公共項組成的數列記為，求的通項公式；
(3)記數列的前項和為，證明：
【解析】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
由可得，易知，所以，解得；
又可得，可得；
由可得，即；
因此可得，；
所以數列和的通項公式為.
（2）數列和的公共項需滿足，
可得，即是4的整數倍，
可知，由二項式定理可知若是4的倍數，則為正數，即；
所以可得，
即的通項公式為
（3）易知，顯然對于都成立，
所以對于都成立，
即
，
即可得.
【變式3-2】已知數列的前項和為，若，且滿足（）.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）依題意，·可知（），
當時，由，可知，
由，可得兩式相減可知，，即（），
因此時，為公比為2的等比數列，故（），
所以.
（2）由（1）可知，，，當時，，也符合該形式，
因此（），
.
1．已知數列的前n項和為，且．
(1)求；
(2)若，記數列的前n項和為，求證：．
【解析】（1）當時，，解得；
當時，，，則，
因為，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，即；
（2）由（1）知，
依題意，
因為，，則，即；
因為，
所以，
而，
故，即．
綜上所述，．
題型四：型不等式的證明
【典例4-1】已知函數．
(1)若，證明：；
(2)記數列的前項和為．
（i）若，證明：．
（ii）已知函數，若，，，證明：.
【解析】（1）設，當時，，
所以在上為增函數，故當時，，
所以當時，
設，當時，，
所以在上單調遞增，故當時，，
所以當時，
故當時，
因為，當時，，
所以在上為增函數，
因為當時，，且由，
可得，所以，即，
所以
（2）（i）因為，
所以，
則，
所以，
即，
所以
（ii）函數，
因為當時，，
所以當時，，
所以當時，，
因此，
故，即
因為，
所以當時，，
綜上，，所以，
所以，
即.
【典例4-2】數列的前項和為， 滿足 且首項 .
(1)證明：數列為等比數列，并求出數列的通項公式；
(2)令討論（為的導數）與 的大小關系.
【解析】（1）由已知可得時，，
兩式相減得，即，
∴，
當時，，∴，
∵，∴，∴，
故有，∴，
∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，
∴，故.
（2）∵，∴，
∴
，
∴，
①-②得， ，
∴，
∴，
當時，，∴.
當時，，∴.
當時， ，∵，
∴ ，∴ ，
綜上，當時，；
當時，；
當時，.
通項分析法進行放縮
【變式4-1】已知函數在點處的切線與軸重合．
(1)求函數的單調區間與極值；
(2)已知正項數列滿足，，，記數列的前項和為，求證：．
【解析】（1）因為，且，
由題意可得，即，可得，
可知的定義域為，且，
令，解得；令，解得；
可知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以有極大值，無極小值．
（2）由（1）可得，當且僅當時取等號，
可得，當且僅當時取等號，
等價變形為，即，當且僅當時取等號，
代入題干中可得，
則，即，
當時，，即，
且符合上式，所以，，則，
由，令得，即，
所以.
【變式4-2】已知函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若對任意，都有恒成立，求的最大整數值；
(3)對于任意的，證明：．
【解析】（1）當時，，
所以函數定義域為，，
令，則，
所以當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，又即，
所以即在上恒成立，當且僅當時，，
所以在上單調遞增，即的單調遞增區間為，無單調遞減區間.
（2）因為對任意，都有恒成立，
所以對任意，恒成立，
即對任意，恒成立，
所以，
所以，
因為在上恒成立，所以在上單調遞增，
又，
所以存在，使得即，
所以當時，即，當時，即，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，令，
則在上恒成立，所以函數在上單調遞增，
又，
所以的最大整數值為3，即的最大整數值為2.
（3）證明：由（1）知在上單調遞增，
則函數，所以，
故，
所以，
累加得，
所以.
1．柯西不等式是數學家柯西在研究數學分析中的“流數”問題時得到的，其形式為：，等號成立條件為或至少有一方全為0．柯西不等式用處很廣，高中階段常用來計算或證明表達式的最值問題．已知數列滿足．
(1)證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）因為，
所以為常數，
又，得到，
所以數列為首項為，公差為的等差數列，
由，得到.
（2）要證，
即證，
即證，
由柯西不等式知，
當且僅當時取等號，
即，
所以只需證明，
由（1）知，
所以只需證明，
即證明，
下面用數學歸納法證明，
（1）當時，不等式左邊，不等式右邊，所以時，不等式成立，
（2）假設時，不等式成立，即成立，
則時，，
令，則在區間上恒成立，
即在區間上單調遞增，所以，
得到，取，得到，
整理得到，即，
所以，
即，不等式仍成立，
由（1）（2）知，對一切，，
所以.
題型五：型不等式的證明
【典例5-1】已知函數，.
（1）判斷函數在上的單調性；
（2）若在上恒成立，求整數m的最大值.
（3）求證：(其中e為自然對數的底數).
【解析】（1）因為，所以，
又因為，所以，，
所以，
即函數在上為減函數.
（2）由在上恒成立，即在上恒成立，
即，
設，
所以，，令，
則，即在為增函數，
又，，
即存在唯一的實數根a，滿足，且，，
當時，，，當時，，，
即函數在為減函數，在為增函數，
則，
故整數m的最大值為3.
（3）由（2）知，，，
令，則，
，
故.
【典例5-2】（2024·遼寧大連·一模）已知函數.
(1)若函數在點處的切線在兩坐標軸上截距相等，求的值；
(2)（i）當時，恒成立，求正整數的最大值；
（ii）記，，且.試比較與的大小并說明理由.
【解析】（1）由已知，定義域為，
∵，
∴，∴切點即，
又∵，
∴由導數的幾何意義，函數在點處的切線斜率為，
∴函數在點處的切線方程為，
整理得，.
若切線在兩坐標軸上截距相等，則
①當切線過原點時，，解得，切線方程為，
②當切線不過原點時，斜線斜率，解得，切線方程為.
∴的值為或.
（2）（i）由（1）知，，令，解得，，
若為正整數，則，
∴當時，，在區間上單調遞減，
當時，，在區間上單調遞增，
∴當時，的極小值，也是最小值為，
若當時，恒成立，則的最小值，
設，則，
當時，，在區間上單調遞減，
∴當時，單調遞減，
又∵，，
∴使的正整數的最大值為，
∴當時，使恒成立的正整數的最大值為.
（ii），理由證明如下：
∵當且時，
∴
（），
又∵，∴，
①當時，，
②當時，
由（i）知，，恒成立，，
∴當時，，，即恒成立，
∴，
∴
，
綜上所述，當且時，，即有.
通項分析法進行放縮
【變式5-1】設數列的前項和為，且，．
(1)證明：數列是等比數列，并求的通項公式；
(2)設，證明：．
【解析】（1）因為，
當時，解得，
當時，
相減得，所以，·
所以是以首項為6，公比為3的等比數列，
即，所以.
（2）由（1）可得，
即證：·
方法一：令．
則，·
因為，所以，
所以單調遞增，即，
即．
方法二：放縮法：，
所以，，，，
相乘得
即
【變式5-2】伯努利不等式又稱貝努力不等式，由著名數學家伯努利發現并提出.·伯努利不等式在證明數列極限、函數的單調性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應用.·伯努利不等式的一種常見形式為：
當，時，，當且僅當或時取等號.
(1)假設某地區現有人口100萬，且人口的年平均增長率為，以此增長率為依據，試判斷6年后該地區人口的估計值是否能超過107萬？
(2)數學上常用表示，，，的乘積，，.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）已知直線與函數的圖象在坐標原點處相切，數列滿足：，，證明：.
【解析】（1）依題意，年后該地區人口的估計值為萬人，
由伯努利不等式可得，
所以年后該地區人口的估計值能超過萬.
（2）（ⅰ）根據伯努利不等式可知，
所以
，
所以.
（ⅱ）由，則，所以，
又直線與函數的圖象在坐標原點處相切，
所以直線的斜率為，且過點，
所以直線的方程為，
所以，則
，
所以，
由（ⅰ）可知，所以，
又因為，
即，
所以，
所以.
1．已知數列滿足，且，．
(1)計算，；
(2)求猜測的通項公式，并證明；
(3)設，問是否存在使不等式對一切且均成立的最大整數，若存在請求出，若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意得：；.
（2）猜想：；
證明：當時，，滿足；
假設當時，成立，
那么當時，，
即當時，成立；
綜上所述：對于任意，成立.
（3）由（2）得：，；
若恒成立，則；
令，
則，
；
，，
即遞增，，，
又為整數，最大整數.
題型六：型不等式的證明
【典例6-1】在各項均為正數的數列中，，，．
(1)證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；
(2)若，記數列的前n項和為．
（i）求；（ii）證明：．
【解析】（1）由題意知，
因此數列是以為首項，以4為公比的等比數列，
于是，．
．
又適合上式，所以．
（2）（i）因為，
所以
．
（ii）因為數列的前n項和為
，
所以只需證明：，
也就是，
令，只需證明，
設函數，，．
所以，即成立，得證．
【典例6-2】已知函數的最小值為0，其中．
(1)求的值；
(2)若對任意的，有成立，求實數的最小值；
(3)證明：．
【解析】（1）由函數，則其定義域為，且.
由，得:，又由，得:，
在單調遞減，在單調遞增，
；
（2）設，
則在恒成立等價于，
注意到，又，
①當時，由得.
在單減，單增，這與式矛盾；
②當時，在恒成立，符合，
的最小值為；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
當時，(1)；
當時，，
，
，
將(1)(2)(3),......,(n)式相加得：
不等式左邊：
；
不等式右邊：
；
所以.
構造函數進行放縮
【變式6-1】已知數列是公比大于0的等比數列，，.數列滿足：（）.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：是等比數列；
(3)證明：.
【解析】（1）設等比數列的公比為，則，
則，所以，
又.
（2）所以，
所以，且，
所以數列是首項為8，公比為的等比數列；
（3）由題意知，，
所以，
所以，
設，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
【變式6-2】已知數列，為數列的前項和，且滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）對任意的，
當時，，兩式相減．
整理得，
當時，，
也滿足，從而．
（2）證明：證法一：因為，
所以，
．
從而；
證法二：因為，
所以，
，證畢.
1．已知函數．
(1)證明：對恒成立；
(2)是否存在，使得成立？請說明理由．
【解析】（1）證明：由，得，，
令，得，
令，得，
，且當且僅當，
所以在上單調遞增，故，且當且僅當，
所以在上也單調遞增，故，且當且僅當，
所以在上仍單調遞增，故；
（2）對于右側：由（1）可知，當時，，即，
故，
所以
，
所以該側不等號始終成立；
對于左側：由（1）可知當時，．
設，，則．
在上有，所以在上單調遞增，故當時，．
此時，
令，
可知，
所以當時，
，
令，注意到，所以可得到一個充分條件，
即，
所以任取，則該側不等式成立，（表示整數部分），
因此，對于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的．
題型七：型不等式的證明
【典例7-1】已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求k的值；
(3)設m為整數，且對于任意正整數n，，求m的最小值.
【解析】（1）當時，，，
所以，所以切線的斜率為，
又因為，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）因為，
當時，，
所以在上單調遞增，
又因為，與不符；
當時，由得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
所以，所以，
設，
則，
由，可得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
所以有唯一解，且.
（3）由（2）知當時，，
當且僅當時，.
所以當且時，，
則.
取（），所以，
所以，，，
所以.
所以
所以
于是對于任意正整數n，，
只需，又因為，所以，
則m的最小值為.
【典例7-2】已知函數．
（1）求的最大值；
（2）設，是曲線的一條切線，證明：曲線上的任意一點都不可能在直線的上方；
（3）求證：（其中為自然對數的底數，）．
【解析】（Ⅰ）的定義域為，，令，得．
當時，，∴在上是增函數，
當時，，∴在上是減函數，
故在處取得最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
設是曲線上的一點，
則在點處的切線方程為，
即，
令
則，
∵，在上是減函數，
∴在處取得最大值，即恒成立，
故曲線上的任意一點不可能在直線的上方．
（3）由（1）知在上恒成立，當且僅當時，等號成立，
故當且時，有，
又因為，所以
所以
構造函數進行放縮
【變式7-1】已知函數．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
(3)求證：（，是自然對數的底數）．
【解析】（1）當時，，
，
由解得，由解得，
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
（2）因當時，不等式恒成立，即恒成立，
設，只需即可，
由，
（i）當時，，
當時，，函數在上單調遞減，
故成立；
（ii）當時，由，因，所以，，
①若，即時，在區間上，，則函數在上單調遞增，在上無最大值，不滿足條件；
②若，即時，函數在上單調遞減，在區間上單調遞增，同樣在上無最大值，不滿足條件；
（iii）當時，由，，，
，故函數在上單調遞減，故成立，
綜上所述，實數的取值范圍是；
（3）據（2）知當時，在上恒成立，
令，
則，
當時，
，.
【變式7-2】已知函數.
(1)若在上單調遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
【解析】（1）函數，求導得，
由于函數在R上單調遞增，則恒成立，
令，則，
當時，，當時，，不滿足條件；
當時，，在R上單調遞增，
又，即，不滿足條件；
當時，令，得，
則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
于是當時，取得最小值，
于是，即，
令，則，
當時，，單調遞增；時，，單調遞減，
則，由于恒成立，因此，則有，
所以單調遞增時，的值為1.
（2）由（1）知，當時，，即有，當且僅當時取等號，即當時，，
因此當且時，
，
而當時，，
所以，
則，所以，.
1．已知函數，，．令，．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）由，得，∴，
因此，即，
∴為等比數列，公比為，首項為．
故，即；
（2）由（1）知，
要證，即證，
也即證，這只需證，
令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上遞增，在上遞減，
所以，
即，當且僅當時等號成立，
令，得，
∴，
即．
重難點突破：利用遞推關系進行放縮
【典例8-1】（2024·高三·重慶·期末）已知正項數列滿足：
（1）求的范圍，使得恒成立；
（2）若，證明：
（3）若，證明：
【解析】（1）由，得由，即
所以或（舍）
所以時，
（2）證：若，得 現假設（）
構造函數，易知在上單調增
所以
即
由以上歸納可知 5分
（3）由得
所以
構造函數，在上單調遞增
所以
【典例8-2】已知數列滿足：，（）．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）求證：．
【解析】（I） ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
（Ⅲ），所以，累加得右側；另一方面由可得，累加得左側.
由（Ⅱ）得：，
所以，
累加得：
另一方面由可得：原式變形為
所以：
累加得
利用遞推關系進行放縮時，我們首先要明確數列的遞推公式，然后根據這個公式對數列的項進行適當的放大或縮小。關鍵在于保持放縮后的不等式方向不變，同時確保放縮后的數列更容易處理。這種方法能夠幫助我們揭示數列的深層結構，從而更有效地解決數列不等式問題。
【變式8-1】定義數列為“階梯數列”：．
(1)求“階梯數列”中，與的遞推關系；
(2)證明：對，數列為遞減數列；
(3)證明：．
【解析】（1）由階梯數列的形式結構可知.
（2）由，，所以，
，
∴，
同理，
累乘得，
即，
由，，
∴
故對為遞減數列.
（3），
，
又對，
由（2）知，
故，
又，，
所以，
故對，
∴，
∴，
∴，
當時，，
綜上，．
【變式8-2】已知數列滿足，，．
(1)猜想數列的單調性，并證明你的結論；
(2)證明：．
【解析】（1）由及得
由猜想：數列是遞減數列
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，已證命題成立；
（2）假設當n=k時命題成立，即
易知，那么
=，即，也就是說，當n=k+1時命題也成立，結合（1）和（2）知，命題成立．
（2）當n=1時，，結論成立，
當時，易知，
，
．
即.
1．已知數列滿足，.證明：對這一切，有
（1）；
（2）.
【解析】（1）顯然，，.
故
·
·.
所以，.
又，故對一切，有.
（2）顯然，.
由，知
·
·
.
故.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題12 數列不等式放縮技巧
目錄
01考情透視·目標導航 2
02知識導圖·思維引航 3
03 知識梳理·方法技巧 4
04 真題研析·精準預測 6
05 核心精講·題型突破 8
題型一：先求和后放縮 8
題型二：裂項放縮 10
題型三：等比放縮 12
題型四：型不等式的證明 14
題型五：型不等式的證明 16
題型六：型不等式的證明 18
題型七：型不等式的證明 20
重難點突破：利用遞推關系進行放縮 22
數列放縮技巧是高考數學中的核心考點，尤其在數列與不等式相結合的復雜問題中更為凸顯。當前，這類問題的難度已趨于穩定，保持在中等偏難水平。解題時，關鍵在于對數列通項公式的靈活處理，特別是通過巧妙的變形來接近那些具有明確求和公式的數列類型。在此過程中，向可裂項相消的數列和等比數列靠攏，成為了放縮策略中的高級且有效的手段。
考點要求 目標要求 考題統計 考情分析
數列不等式 掌握技巧，提升解題能力 2023年II卷第18題，12分 2022年I卷第17題，10分 2021年乙卷第19題，12分 2021年II卷第17題，10分 2021年浙江卷第20題，15分 預測2025年高考數學試題趨勢，多以解答題形式出現，具體估計為：（1）在導數題目的壓軸環節，第二問極有可能涉及利用導數理論進行數列不等式的證明，此類型問題預計將具備較高的思維難度與解題復雜度，對考生的邏輯推理與數學分析能力提出嚴峻挑戰。（2）至于數列解答題部分，其第二問預計將以中等偏上的難度水平出現，該題預計將融合多個知識點，構成一道綜合性較強的題目，旨在全面考察考生對數列知識的深入理解及靈活運用能力。
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
1．（2023年天津高考數學真題）已知是等差數列，．
(1)求的通項公式和．
(2)設是等比數列，且對任意的，當時，則，
（Ⅰ）當時，求證：；
（Ⅱ）求的通項公式及前項和．
2．（2022年新高考全國I卷數學真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
3．（2021年天津高考數學試題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數列；
（ii）證明
4．（2021年浙江省高考數學試題）已知數列的前n項和為，，且.
（1）求數列的通項；
（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
5．（2020年浙江省高考數學試卷）已知數列{an}，{bn}，{cn}中，．
（Ⅰ）若數列{bn}為等比數列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}為等差數列，且公差，證明：．
題型一：先求和后放縮
【典例1-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）已知的前n項和為，，且滿足______，現有以下條件：
①；②；③
請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求的前n項和，并證明：．
【典例1-2】已知數列滿足：是公差為6的等差數列，是公差為9的等差數列，且.
(1)證明：是等差數列；
(2)設是方程的根，數列的前項和為，證明：.
先求和后放縮方法是一種處理數列不等式問題的有效策略。其核心思路在于，首先通過求和將數列的項合并，簡化問題形式；接著，在求和的基礎上進行適當的放縮，即利用不等式的性質對求和結果進行放大或縮小，從而更便于進行后續的比較和推導。
【變式1-1】已知數列滿足.記.
(1)證明：數列為等比數列；
(2)求數列的前項和；
(3)若，數列的前項和為，求證：.
【變式1-2】已知在數列中，，且當時，.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
1．設數列的前項和為．若對任意的正整數，總存在正整數，使得，則稱是“數列”．
(1)若，判斷數列是否是“數列”；
(2)設是等差數列，其首項，公差，且是“數列”，
①求的值；
②設為數列的前項和，證明：
題型二：裂項放縮
【典例2-1】已知數列的首項為1，其前項和為，等比數列是首項為1的遞增數列，若．
(1)求數列和的通項公式；
(2)證明：；
(3)求使得成立的最大整數．
【典例2-2】數列中，，，（）.
(1)試求、的值，使得數列為等比數列；
(2)設數列滿足：，為數列的前n項和，證明：時，.
放縮方法是一種處理數列求和及不等式證明的技巧。其核心在于將數列的通項進行裂項，即將其拆分為兩部分或多部分，以便更容易地觀察其規律或進行放縮。
在裂項后，我們可以根據不等式的需要，對拆分后的項進行適當的放大或縮小。這種放縮通常基于數列的單調性、有界性或其他已知性質。
裂項放縮方法的關鍵在于準確裂項和合理放縮，它能夠幫助我們簡化問題，揭示數列的內在規律，從而更輕松地證明數列不等式。
【變式2-1】已知正項數列滿足，，且對于任意，滿足．
(1)求出數列的通項公式；
(2)設，證明：數列的前n項和；
(3)設，證明：．
【變式2-2】已知數列的前項和為，，且．
(1)求；
(2)若從數列中刪除中的項，余下的數組成數列．
①求數列的前項和；
②若成等比數列，記數列的前項和為，證明：．
1．已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：.
題型三：等比放縮
【典例3-1】已知數列滿足,（）.
(1)記（），證明：數列為等比數列，并求的通項公式；
(2)求數列的前項和；
(3)設（），且數列的前項和為，求證：（）.
【典例3-2】已知數列和滿足，，．
(1)證明：是等比數列；
(2)設，求數列的前項和；
(3)證明：．
等比放縮方法是一種處理數列不等式問題的有效技巧。其核心思想在于，通過觀察數列的項與項之間的關系，發現其等比規律，并利用這一規律對數列的項進行適當的放大或縮小。
在具體應用時，我們可以根據數列的等比性質，選擇一個合適的等比數列作為放縮的基準，然后對原數列的每一項都按照這個等比數列進行放縮。這種方法的關鍵在于準確把握等比數列的性質，以及合理確定放縮的倍數，從而確保放縮后的不等式仍然成立。
【變式3-1】數列是等差數列，數列是等比數列，滿足：，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)數列和的公共項組成的數列記為，求的通項公式；
(3)記數列的前項和為，證明：
【變式3-2】已知數列的前項和為，若，且滿足（）.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：.
1．已知數列的前n項和為，且．
(1)求；
(2)若，記數列的前n項和為，求證：．
題型四：型不等式的證明
【典例4-1】已知函數．
(1)若，證明：；
(2)記數列的前項和為．
（i）若，證明：．
（ii）已知函數，若，，，證明：.
【典例4-2】數列的前項和為， 滿足 且首項 .
(1)證明：數列為等比數列，并求出數列的通項公式；
(2)令討論（為的導數）與 的大小關系.
通項分析法進行放縮
【變式4-1】已知函數在點處的切線與軸重合．
(1)求函數的單調區間與極值；
(2)已知正項數列滿足，，，記數列的前項和為，求證：．
【變式4-2】已知函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若對任意，都有恒成立，求的最大整數值；
(3)對于任意的，證明：．
1．柯西不等式是數學家柯西在研究數學分析中的“流數”問題時得到的，其形式為：，等號成立條件為或至少有一方全為0．柯西不等式用處很廣，高中階段常用來計算或證明表達式的最值問題．已知數列滿足．
(1)證明：數列為等差數列，并求數列的通項公式；
(2)證明：．
題型五：型不等式的證明
【典例5-1】已知函數，.
（1）判斷函數在上的單調性；
（2）若在上恒成立，求整數m的最大值.
（3）求證：(其中e為自然對數的底數).
【典例5-2】（2024·遼寧大連·一模）已知函數.
(1)若函數在點處的切線在兩坐標軸上截距相等，求的值；
(2)（i）當時，恒成立，求正整數的最大值；
（ii）記，，且.試比較與的大小并說明理由.
通項分析法進行放縮
【變式5-1】設數列的前項和為，且，．
(1)證明：數列是等比數列，并求的通項公式；
(2)設，證明：．
【變式5-2】伯努利不等式又稱貝努力不等式，由著名數學家伯努利發現并提出.·伯努利不等式在證明數列極限、函數的單調性以及在其他不等式的證明等方面都有著極其廣泛的應用.·伯努利不等式的一種常見形式為：
當，時，，當且僅當或時取等號.
(1)假設某地區現有人口100萬，且人口的年平均增長率為，以此增長率為依據，試判斷6年后該地區人口的估計值是否能超過107萬？
(2)數學上常用表示，，，的乘積，，.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）已知直線與函數的圖象在坐標原點處相切，數列滿足：，，證明：.
1．已知數列滿足，且，．
(1)計算，；
(2)求猜測的通項公式，并證明；
(3)設，問是否存在使不等式對一切且均成立的最大整數，若存在請求出，若不存在，請說明理由．
題型六：型不等式的證明
【典例6-1】在各項均為正數的數列中，，，．
(1)證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；
(2)若，記數列的前n項和為．
（i）求；（ii）證明：．
【典例6-2】已知函數的最小值為0，其中．
(1)求的值；
(2)若對任意的，有成立，求實數的最小值；
(3)證明：．
構造函數進行放縮
【變式6-1】已知數列是公比大于0的等比數列，，.數列滿足：（）.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：是等比數列；
(3)證明：.
【變式6-2】已知數列，為數列的前項和，且滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
1．已知函數．
(1)證明：對恒成立；
(2)是否存在，使得成立？請說明理由．
題型七：型不等式的證明
【典例7-1】已知函數.
(1)當時，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求k的值；
(3)設m為整數，且對于任意正整數n，，求m的最小值.
【典例7-2】已知函數．
（1）求的最大值；
（2）設，是曲線的一條切線，證明：曲線上的任意一點都不可能在直線的上方；
（3）求證：（其中為自然對數的底數，）．
構造函數進行放縮
【變式7-1】已知函數．
(1)當時，求函數的單調區間；
(2)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
(3)求證：（，是自然對數的底數）．
【變式7-2】已知函數.
(1)若在上單調遞增，求的值；
(2)證明：（且）.
1．已知函數，，．令，．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：．
重難點突破：利用遞推關系進行放縮
【典例8-1】（2024·高三·重慶·期末）已知正項數列滿足：
（1）求的范圍，使得恒成立；
（2）若，證明：
（3）若，證明：
【典例8-2】已知數列滿足：，（）．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）求證：．
利用遞推關系進行放縮時，我們首先要明確數列的遞推公式，然后根據這個公式對數列的項進行適當的放大或縮小。關鍵在于保持放縮后的不等式方向不變，同時確保放縮后的數列更容易處理。這種方法能夠幫助我們揭示數列的深層結構，從而更有效地解決數列不等式問題。
【變式8-1】定義數列為“階梯數列”：．
(1)求“階梯數列”中，與的遞推關系；
(2)證明：對，數列為遞減數列；
(3)證明：．
【變式8-2】已知數列滿足，，．
(1)猜想數列的單調性，并證明你的結論；
(2)證明：．
1．已知數列滿足，.證明：對這一切，有
（1）；
（2）.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑