資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
《4.7面積的變化》教學設計
課題 面積的變化 單元 第四單元 學科 數學 年級 六年級
教材分析 面積的變化是本單元的綜合實際課，同時也是本單元的重難點，教材先讓學生從探索長方形邊長和面積比，初步得出面積比是邊長比的平方，然后在探索正方形、三角形和圓等平面圖形的面積比。把三個圖形長度比和面積比的數據整理表格便于比較和交流，從而發現和總結出平面圖形面積比是對應邊長度比的平方，最后教材安排了回顧探索規律的過程，幫助學生梳理獲得知識的經驗，體會探索數學規律的過程。
學習 目標 1.學習目標描述：使學生結合具體的實例，探索并發現平面圖形按比例放大后面積的變化規律。 2.學習內容分析：進一步加深對圖形放大與縮小的含義以及比例意義的理解。 3.學科核心素養分析：使學生在經歷探索規律的過程中，進一步積累觀察、比較、分析、概括、歸納等活動經驗，感悟由特殊到一般的歸納思想，發展數學思維。
重點 發現面積的變化與長度變化的關系。
難點 理解面積擴大的倍數是邊長擴大倍數的平方。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 一、復習引入 1.長方形面積的計算公式是什么？(S=ab) 2.正方形面積的計算公式是什么？(S=a2) 3.三角形面積的計算公式是什么？(S=ah÷2) 4.圓面積的計算公式是什么？(S=πr2) 學生思考，與老師交流。
講授新課 任務一：探究長方形按一定的比放大后面積的變化規律 一、探究新知 1.結合示意圖，探究長方形按比例放大后面積的變化規律。 出示教材的兩個長方形。 說明：大長方形是小長方形按比例放大后得到的。 (1)請同學們分別量出兩個長方形的長和寬，寫出對應的邊長之比。 大長方形與小長方形的比是(　　)∶(　　)，寬的比是(　　)∶(　　)。 (2)一個長方形的長和寬按比例放大后，它的面積發生變化嗎？會發生怎樣的變化呢？這節課我們一起來探究“面積的變化”，板書課題。 2.我們知道了圖中大長方形的長與小長方形的長的比是3:1，寬的比也是3:1。請同學們想一想：大長方形與小長方形面積的比是幾比幾。 3.到底是不是這樣，請同學們以小組為單位，通過計算來驗證。 師小結：大長方形的面積=9×3=27(平方厘米) 小長方形的面積=3×1=3(平方厘米) 所以，大長方形與小長方形面積的比是9:1。 師：看來，圖形放大后，面積擴大的倍數與邊長擴大的倍數是不相同的。它們之間到底有什么關系呢？我們繼續來研究。 生：大長方形與小長方形面積的比是9:1。 小組內交流想法。 學生反饋，說說自己的想法。 學生活動后，集體反饋。 把課堂的主動權交給學生，讓學生在操作、計算、討論、交流中探索規律，掌握自主學習的方法和技能。使學生初步感知長方形按比例放大后面積的變化規律
任務二：探究平面圖形按比例放大后面積的變化規律。 過渡：其他平面圖形按比例放大后，面積的比又會怎樣變化呢？ 出示圖形。 說明：下面的圖形是上面相對應的圖形按比例放大后得到的。 (1)請同學們測量相關的數據進行計算，再填寫在課本第49頁的表格中。 (2)組織討論：比較每個圖形放大后與放大前的長度比和面積比，你能發現什么規律？ (3)全班交流后教師總結：把一個平面圖形按n∶1的比例放大后：放大后與放大前的面積比是n ∶1。 2.拓展延伸 1.啟發學生進一步思考：如果把一個平面圖形按指定的比例縮小，那么縮小前后圖形面積的變化規律又是什么？ 2.長方體、正方體等按比例放大后，體積比和長度會有什么關系？ 先讓學生自己理解，教師再在學生回答的基礎上作出說明。 小組討論。 通過自學和提問，引導學生自主，培養學生的自主學習能力。
課堂練習 基礎題： 1.填空題 (1)一個正方形的邊長擴大3倍，面積就擴大( )倍。 (2)有一個圓，現在的半徑是原來的10倍，現在的面積是原來的( )倍。 2.選擇題 (1)小正方形與大正方形的邊長比是2:3，那么小正方形與大正方形的面積比是（ ）。 A.2:3 B.4:9 C.2:9 D.1:9 (2)小圓半徑與大圓半徑的比為1:3，那么小圓與大圓的面積比是（ ），周長比是（ ）。 A.3:1 B.1:9 C.1:3 D.4:9 3.（1）把一個面積是50平方厘米的三角形按5∶1進行放大，放大后的面積是（ ）平方厘米。 （2）把一個面積是50平方厘米的三角 按1∶5進行縮小，縮小后的面積是（ ）平方厘米。 讓學生在練習、解釋中進一步迸發學習主動性，提升知識的綜合應用能力。本節課一方面有層次地安排了一些有一定思維含量的練習，另一方面練習時沒有預先提示方法或注意點，而是讓學生直接應用已經學會的知識、方法，自己先完成必要的操作，再交流。讓學生根據實際情況獨立思考、解決，再通過交流幫助學生內化知識與方法。這樣做不僅可以發揮學生的學習主動性，還可以有效培養學生應用知識的能力。
提高題： 4.在一幅比例尺是1∶200的平面圖上，一個花壇的面積是16平方厘米，求這個花壇的實際占地面積是多少平方米？
拓展題 5.一個零件的橫截面積是3平方厘米，把它畫在圖上，橫截面積是300平方厘米。在這幅零件圖上量得另一個零件的長是20厘米，這個零件的實際長度是多少厘米？
課堂小結 通過本節課的學習，你們有什么收獲？ 學生自由說說。 課堂小結可以幫助學生理清所學知識的層次結構，掌握其外在的形式和內在聯系，形成知識系列及一定的結構框架。
板書 面積的變化 大長方形的面積=9×3=27(平方厘米) 小長方形的面積=3×1=3(平方厘米) 圖形放大后，面積擴大的倍數 是邊長擴大倍數的平方。 利用簡潔的文字呈現本節課的新知，可以幫助學生理解掌握知識，形成完整的知識體系。
作業設計 【知識技能類作業】 1.填空。 （1）大小兩個圓的半徑之比是5:3。它們的直徑之比是（ ），周長之比是（ ），面積之比（ ）。 （2）把一個長5 cm、寬3 cm的長方形按3∶1放大，得到的圖形的面積是（ ）。 2.在一幅比例尺是 的校園平面圖上，學校操場如下圖所示，算一算該長方形操場的實際面積。 選做題 3.把三角形A放大后得到三角形B，再把三角形B縮小后得到三角形C。 觀察三角形A和B，它們的面積有什么變化？面積與邊長是按相同的比變化的嗎？
【綜合實踐類作業】 在第112頁的方格紙上畫一個平行四邊形，按比例放大，算一算放大后與放大前圖形的面積比。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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《比例》單元整體設計
單元主題解讀
課程標準要求分析
《比例》單元是“數與代數”方面的重要內容。《義務教育數學課程標準(2022年版)》在“課程內容”的“第三學段”中提出：
在“內容要求”中指出：“在實際情境中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡單的問題。”
在“學業要求”中指出：“能在具體情境中判斷兩個量的比，會計算比值，理解比值相同的量。”
在“教學提示”中指出：“比和比例教學要合理利用實際生活中的情境，引導學生發現并用字母表達兩個數量之間的倍數關系，例如，通過同樣照片的放大與縮小、食品中原料的成分比等，理解比例的意義，能解決簡單的按比例分配的問題。”
單元教材內容分析
本單元主要安排了7個例題，例1是長方形照片的放大與縮小，例2是讓學生動手畫放大與縮小的圖形，這兩個例題讓學生認識到本單元中圖形的放大與縮小都是按照一定的比例變化的，這為學習比例的意義打下了基礎，例3通過具體情境（如照片放大）引入比例的意義，幫助學生理解比例是兩個比相等的式子。例4進一步講解比例的“項”“內項”和“外項”，并介紹比例的基本性質；第四課時中例5通過具體問題（如求解未知項）講解如何利用比例的基本性質進行解比例，這些例題幫助學生掌握解比例的方法，并應用于實際問題。例6和例7通過具體情境（如地圖比例尺）講解比例尺的意義，包括數值比例尺和線段比例尺。
最后本單元還安排了一節綜合實踐課“面積的變化”，是在教學平面圖形對應邊長度比之后進一步研究圖形的面積比的延伸與拓展內容，教學時，還可以延伸到立體圖形的體積之比，深化學生學習知識的廣度和維度。
學生認知情況
本單元主要組織學生學習比例概念的認識與理解，掌握和應用。學生已有除法、分數和比的基礎作為鋪墊，對進階學習比例的成效有直接的關系。學生已經理解和掌握比的意義和性質，在日常生活中見過圖形的放大和縮小，知道平面圖上有比例尺，但是對比例和比例尺的認識缺乏系統性，這些知識儲備及生活經驗的累積都為學生進一步學習比例知識奠定了基礎。
單元目標擬定
1.使學生初步理解圖形的放大和縮小，能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小，初步體會圖形的相似，進一步發展空間觀念。
2.使學生聯系圖形的放大和縮小理解比例的意義，認識比例的“項”以及“內項”和“外項”；理解并掌握比例的基本性質，會應用比例的基本性質解比例。
3.使學生結合實例，初步理解比例尺的意義和作用，會求平面圖的比例尺，能看懂線段比例尺，能按給定的比例尺求相應的圖上距離或實際距離。
4.使學生在認識比例，應用比例的過程中，進一步體會不同領域數學內容的內在聯系，增強用數和圖形描述現實問題的意識和能力，豐富解決問題的策略，發展對數學的積極情感。
三、關鍵內容確定
（一）教學重點
1.學生能夠通過觀察現實世界中的現象，識別并抽象出比例關系，理解比例在生活中的廣泛應用。學生能夠發現不同情境中的正比例和反比例關系，理解其背后的數學原理。
2.理解并掌握比例的基本性質，即兩個外項的積等于兩個內項的積，這是解決比例問題的關鍵。
3.學生能夠通過觀察現實世界中的現象，識別并抽象出比例關系，理解比例在生活中的廣泛應用。
（二）教學難點
1.理解比例性質的深層含義：學生需要深入理解比例性質的數學本質，而不僅僅是機械的記憶公式。這要求教師在教學中通過豐富的實例和直觀的操作，幫助學生建立對比例性質的直觀感知。
2.將比例知識應用于復雜情境：注重培養學生的綜合應用能力和創新意識，通過設計具有挑戰性的學習任務，引導學生探索比例知識在復雜情境中的應用。
四、單元整合框架及說明
整合指導思想定位：
會用數學的眼光觀察現實世界
會用數學的思維思考現實世界
會用數學的語言表達現實世界
這是數學課程的核心素養內涵。《數學課程標準》指出：“每一堂課都應該以學生為中心，以探究為手段，積極發展學生的求異思維，以培養學生各種能力為目的，最終讓學生形成一種新型的數學思想，養成數學能力，體驗數學與生活的關系。”
本單元教材的具體編排結構：
本單元教科書編寫的基本特點主要體現在以下幾個方面：*.
教材的教學安排把圖形的放大和縮小與認識比例結合起來教學，幫助學生在現實情境中領悟比例的意義和作用。“放大和縮小”與“比例”分屬兩個不同的學習領域，但“放大和縮小”是圖形的各部分線段按相同的比發生變化，這種變化能直觀形象地顯示比例的本質內涵。為此在教學比例的意義之前，先介紹用電腦把一幅長方形畫放大的過程，直觀地顯示放大前后的圖形“形狀沒有變，大小變了”，進而使學生在此基礎上，了解比例的意義。這樣安排既突出體現了數學知識間的相互作用，有利于學生形象思維與抽象思維的協同發展，也能為以后學習成正比例的量、成反比例的量，以及圖形的相似等知識打下堅實的基礎。
教材的編寫重視不同數學知識的綜合應用，讓學生感受數學知識的內在聯系，不斷提高解決實際問題的能力。認識比例的意義時，先讓學生認識圖形的放大和縮小，再讓學生經歷按指定的比把一個簡單的圖形放大和縮小的操作過程，借助圖形的直觀變化，幫助學生初步感知比例的內涵。這樣的安排，對于溝通數學知識間的聯系，幫助學生形成更加完整、合理的認知結構，提高解決問題的能力，無疑是具有促進作用的。
3.為學生提供充分的探索與交流的空間。單元末安排的實踐與綜合應用《面積的變化》，一方面讓學生通過測量和計算，探索發現平面圖形按一定的比例放大后面積的變化規律；另一方面，讓學生應用發現的規律，解決求平面圖上建筑或設施的實際占地面積的問題。這樣的活動不僅能使學生在活動中獲得數學知識、發展數學思考，而且有利于學生感受數學探索的樂趣，增強主動探索的意識。
單元課時規劃
單元劃分依據 □課程標準 教材章節 □知識結構
課程內容模塊 數與代數 圖形與幾何 □統計與概率 綜合與實踐
單元數量 1
單元主題 單元名稱 主要內容 課時
數與代數 比例 圖形的放大與縮小 1
比例的意義 1
比例的基本性質 1
解比例 1
比例尺 1
比例尺的應用 1
面積的變化 1
重點滲透的數學思想方法 抽象 符號化 □分類 □集合 □對應 演繹 歸納 類比 轉化 數形結合 □極限 模型 方程 □函數 □統計 分析 綜合 □比較 假設 □其他
課時 學習目標 評價形式 評價標準
4.1《圖形的放大與縮小》 目標： 初步理解圖形的放大與縮小，會利用方格紙把一個簡單圖形按指定的比放大或縮小；感受圖形的放大、縮小在日常生活中的應用，體會圖形的相似性，進一步積累圖形運動的經驗，發展空間觀念。 任務一：認識圖形的放大與縮小 右邊長方形畫是左邊長方形畫放大后的圖，放大后的圖與原來的圖形有什么關系呢？仔細觀察兩幅圖的長有什么關系？寬有什么關系？ → 任務二：畫出放大或縮小后的圖形 這里有一個長方形，它的長和寬是多少格？ 按 3∶1 放大是什么意思？ → 1.理解圖形放大與縮小的概念。 2. 能夠利用方格紙按指定的比將簡單圖形放大或縮小，正確計算放大或縮小后圖形的對應邊長。
4.2《比例的意義》 目標： 理解比例的意義，知道比例各部分的名稱；能根據比例的意義，正確判斷兩個比能否組成比例。 任務一：比例的意義 寫出照片放大后與放大前長的比和寬的比，這兩個比也能組成比例嗎？→ 任務二：判斷成比例的方法。 判斷兩個比能不能組成比例，關鍵是看什么？如果不能一眼看出兩個比的比值是不是相等的，怎么辦？→ 能夠準確描述比例的定義，識別比例中的內項和外項。 通過計算比值或化簡比來判斷兩個比是否相等，從而判斷它們能否組成比例。
4.3《比例的基本性質》 目標： 認識比例的“項”以及“內項”和“外項”。理解并掌握比例的基本性質，會應用比例的基本性質正確判斷兩個比能否組成比例。 任務一：認識比例的各個部分 說一說題中是把三角形按什么樣的比縮小的？→ 任務二：比例的基本性質 在比例的兩個內項和兩個外項之中，它們兩者之間存在著一種奇妙的關系，你想揭穿這個秘密嗎？ → 任務三：判斷成比例的方法 判斷每組的兩個比能否組成比例。如果能組成比例，把組成的比例寫出來？→ 能夠從具體的實例中抽象出比例的概念，并概括出比例的基本性質。 2.能夠正確計算比例中內項和外項的積，并判斷比例是否成立。 3.能夠靈活運用比例的基本性質解決問題，包括將比例關系轉化為等式進行求解。
《4.4解比例》 目標：掌握解比例的方法，能夠正確地應用比例的基本性質解比例。進一步理解比例的意義，能利用比例的知識解決實際問題。 任務一：認識解比例 現在只知道放大后照片的長是13.5厘米，寬是多少厘米呢？你能解決這個問題嗎？→ 任務二：檢驗 檢驗x＝9是不是6∶4 = 13.5∶x的解。→ 任務三：解分式比例的方法 解比例： 提問：這題的比例與例題有什么不同？→ 1.能準確理解“解比例”的含義，能正確運用比例的基本性質（兩個內項的積等于兩個外項的積）來解比例。 2.能準確地將比例式轉化為等式，并通過解方程求出未知項。
《4.5比例尺》 目標：理解比例尺并能正確地求出平面圖的比例尺，能進行線段比例尺和數值比例尺的互化。能夠運用比例知識，根據比例尺求圖上距離或實際距離。 任務一：認識比例尺 你能分別寫出草坪長、寬的圖上距離和實際距離的比嗎？→ 任務二：探究比例尺的分類 提問：你知道上面的比例尺表示的具體意義嗎？→ 1.能否準確描述比例尺的定義。 2.能正確識別和使用數值比例尺和線段比例尺，并能將兩者進行互化。 3.能將比例尺的知識應用于實際問題。
《4.6比例尺的應用》 目標： 使學生理解比例尺的意義，掌握比例尺的表示方法（數字比例尺、線段比例尺），學會根據比例尺計算圖上距離和實際距離。通過觀察、操作、交流等活動，經歷比例尺產生和應用的過程，提高學生解決實際問題的能力，培養學生的探究意識、合作意識、創新意識。 任務一：求實際距離 明確題意，找出明華小學到少年宮距離的線段，說出題目告訴了什么，要求什么？→ 任務二：求圖上距離 算出學校到醫院的圖上距離。 討論怎樣把醫院的位置在圖上表示出來。→ 1.能夠運用比例尺解決實際問題。 2.將比例尺的知識與其他數學知識（如比、比例、分數等）進行綜合運用。
《4.7面積的變化》 目標： 使學生結合具體的實例，探索并發現平面圖形按比例放大后面積的變化規律，進一步加深對圖形放大與縮小的含義以及比例意義的理解。 任務一：探究長方形按一定的比放大后面積的變化規律 一個長方形的長和寬按比例放大后，它的面積發生變化嗎？會發生怎樣的變化呢？→ 任務二：探究平面圖形按比例放大后面積的變化規律。 其他平面圖形按比例放大后，面積的比又會怎樣變化呢？→ 1.能夠理解并掌握平面圖形（如長方形、正方形、三角形、圓）按比例放大或縮小后面積的變化規律。 2.能夠正確計算圖形放大或縮小后的面積，并驗證面積變化規律。
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