資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
《正比例》教學設計
課題 正比例 單元 第四單元 學科 數學 年級 六年級
教材分析 教科書密切聯系學生已有的生活經驗和學習經驗，設計了系列情境，引導學生研究兩個變量之間的關系，從變化中看到“不變”，經歷從具體情境中抽象出正比例的過程。通過對具體問題的討論，使學生初步理解正比例的意義，會根據正比例的特征，判斷一些變量關系是否成正比例，體會正比例在生活中的廣泛存在。
學習 目標 學習目標描述：結合“正方形的周長與邊長，正方形的面積與邊長，路程、時間與速度”等情境，經歷正比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”，認識正比例。 學習內容分析：能根據正比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成正比例，能舉出生活中成正比例的實例，感受正比例在生活中的廣泛應用。 學科核心素養分析：經歷比較、分析、歸納等數學活動，提高分析比較、歸納概括能力，初步體會函數思想。
重點 經歷正比例意義的建構過程，能從變化中看到不變，認識正比例。
難點 能根據正比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成正比例。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 師：李阿姨駕車去中國最美的鄉村——婺源游玩。 他從“小橋流水人家”景區到“臥龍谷”景區行駛的路程和耗油量的情況如下表： 從上表中，你發現耗油量與路程之間的變化關系是怎樣的呢？ 學生欣賞美景。 學生觀察表格說說他的發現。 利用學生熟悉的生活中的情境，激發學生的學習興趣和參與動機，讓學生體驗學習數學的樂趣。
講授新課 任務一：認識正比例。 課件出示： 師：下面是正方形的周長與邊長、面積與邊長的變化情況。把表格填寫完整，并說說你分別發現了什么？ 小組合作要求： 師：正方形的邊長和周長發生變化了嗎？它們是怎樣變化的？ 師：正方形的邊長和面積發生變化了嗎？它們是怎樣變化的？ 師：從表中你分別發現了什么規律？誰能說說你的發現。 師：正方形的周長與邊長的變化規律和正方形的面積與邊長之間的變化規律相同嗎？你能不能通過計算比值發現它們的規律？ 教師根據學生的回答小結： 師小結：通過計算，我們發現：周長總是邊長的4倍，而面積與邊長的倍數關系不斷發生變化。所以它們的變化規律不同。我們再來看一看汽車在行駛過程中的變量。 師：一輛汽車以90千米/時的速度行駛，行駛的路程與時間如下，請把下表填寫完整。誰能說一說你的答案。 師：觀察并思考：當時間發生變化時，路程怎樣變化？變化有什么規律？ 師：你能計算出路程和時間的比值嗎？ 師：同學，你真棒！根據計算的結果，你發現了什么？ 師：根據我們的發現，你能再說說路程和時間的變化規律嗎？ 師講解：根據我們的發現，時間和路程是兩個相關聯的量： =速度（一定） 像這樣，路程和時間兩個量，時間變化，所行駛的路程也隨著變化，而且路程與時間的比值（也就是速度）一定，我們就說路程和時間成正比例。 師：現在你能判斷正方形的周長與邊長、面積與邊長成正比例嗎？ 師：怎樣判斷兩個量能否組成正比例？ 教師根據學生回答小結： 先獨立填表格，然后組內交流討論。 生：正方形的邊長和周長都在變化，邊長增加，周長隨著邊長的增加而增加。 生：正方形的邊長和面積都在發生變化，面積隨著邊長的增加而增加。 生：正方形的周長和面積都是隨著邊長的變化而變化的。 學生自主計算。 生：路程=速度×時間，所以5時的路程是450千米，6時的路程是540千米，7時的路程是630千米，8時的路程是720千米。 生：當時間變化時，路程也隨著變化，路程隨著時間的增加而增加。 生： 生：路程和時間的比值是一定的，都是90。 生：時間是1，路程是90，時間是2，路程是180，時間是3，路程是270，時間是4，路程是360，可以看出時間擴大，路程隨著擴大，時間縮小，路程隨著縮小。路程隨著時間的變化而變化。 生：正方形的周長與邊長的比值一定，它們成正比例；正方形的面積與邊長的比值不一定，它們不成正比例。 學生說出自己的想法。 讓學生通過獨立思考、合作探究這一學習過程理解知識，學會思考，懂得交流，從中獲得情感體驗，實現了以原有的知識經驗為基礎，主動地建構知識，獲得數學思想方法的過程。
任務二：判斷兩個量是否成正比例的方法。 師：圓的面積與半徑成正比例嗎？你是怎么想的？與同伴交流。 教師根據學生的回答小結： 師：樂樂和爸爸的年齡變化情況如下，把表填寫完整。 師：他們的年齡成正比例嗎？為什么？ 教師根據學生的回答小結： 師：兩個變量是否成正比例，關鍵是它們的比值是否一定。 師：你能分別舉一個成正比例和一個不成正比例的例子，與同伴交流。 師：同學，你知道怎樣判斷兩個變量成正比例了嗎？ 學生組內交流討論。 生：樂樂8歲，爸爸34歲；樂樂9歲，爸爸35歲；樂樂10歲，爸爸36歲；樂樂11歲，爸爸37歲。 生：圓的半徑與周長成正比例。因為圓的周長：半徑=π，比值一定。 一本書看的頁數與未看的頁數不成正比例，因為看的頁數+未看的頁數=書的總頁數。 生：比值一定時，兩個變量成正比例。 生：我們通常用列表的方法來判斷。用列表的方法要分三步：一是通過列舉并用表格表示相關的兩個變量之間的數值對應關系，二是計算兩個變量每一對數值的比值，三是根據上述比值是否不變來判斷這兩個變量是否成正比例。 在思考中，學生根據正比例的意義，判斷兩個量是否成正比例，使學生感受到知識之間的相互聯系，提高學生學習數學的興趣。
課堂練習 基礎題： 1.學校科學小組在同一時間、同一地點進行觀察實驗，測得竹竿的高與竿影的長如下表。 （1）說一說竿影的長與竹竿的高的變化關系。 （2）寫出竿影的長與竹竿的高的比，你有什么發現？ （3）竹竿的高與竿影的長是不是成正比例？說明理由。 2.根據下表中底是6cm的平行四邊形的面積與高相對應的數據，判斷它們是不是成正比例，并說明理由。 學生獨立完成，然后組內交流討論。 習題設計有針對性，有層次性，不僅能鞏固本節課所學知識，還能提高學生解決問題的能力。
提高題： 3.判斷下面各題中的兩個量是否成正比例，并說明理由。 每袋大米的質量一定，大米的總質量和袋數。 一個人的身高和年齡。 寬不變，長方形的周長與長。
拓展題 4. 買郵票的數量/枚應付金額/元10.821.6345678
把表填完整，你從中發現了什么？應付金額與所買郵票的數量成正比例嗎？
課堂小結 通過本節課的學習，你們有什么收獲？ 學生自由說說。 課堂小結可以幫助學生理清所學知識的層次結構，掌握其外在的形式和內在聯系，形成知識系列及一定的結構框架。
板書 正比例 路程÷時間=單價（一定） 正方形的周長÷邊長=4（一定） 兩種相關聯的量，以重量擴大（或縮小），另一種量也隨著擴大（或縮小），并且這兩種量的比值（也就是商）一定，這兩種量就成正比例。 利用簡潔的文字呈現本節課的重難點，可以幫助學生理解掌握知識，形成完整的知識體系。
作業設計 【知識技能類作業】 1.趙阿姨購買蘋果的質量和應付的錢數如下表。 （1）趙阿姨應付的錢數隨著購買蘋果的質量的增加而( ）。 （2）計算比值：14:2=( ), 21:3=( )，28:4=( ), 35:5=( )，42:6=( )。 發現：應付的錢數和購買蘋果的質量的比值( )一定，所以它們成( )比例。 2.判斷下面各題中的兩個量是否成正比例，并說明理由。 （1）車輪的周長一定，所行路程與車輪轉的圈數。 （2）兩個數的和一定，加數和另一個加數
【綜合實踐類作業】 3.下面是一根木料鋸的次數、鋸成的段數與所需的時間之間的關系分析表 （1）表中的哪兩個量成正比例？說明理由。 （2）若將這根木料鋸成8段，需要多少分？
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《正比例與反比例》單元整體設計
一、單元主題解讀
（一）課程標準要求分析
《正比例與反比例 》單元是數與代數第三學段“數與代數”中的重要內容。
《課程標準》在“內容要求”提出了：
通過具體情境，認識成正比的量(如=5)；能探索規律或變化趨勢(如y=5x)。
《課程標準》在“學業要求”中指出：
能在具體情境中描述成正比的量 =(k≠0)，能找出生活中成正比的量的實例；能根據給出的成正比關系的數據在方格紙上畫圖了解y=kx(k≠0)的形式，能根據其中一個量的值計算另一個量的值。
單元教材內容分析
主要包含正比例和反比例的相關知識。
學生認知情況
本單元是在學生已經學習了比和比例等知識的基礎上進行學習的。
二、單元目標擬定
1.結合具體情境，體會生活中存在著大量互相依賴的變量，體會數學與生活的聯系；在具體情境中，嘗試用自己的語言描述兩個變量之間的關系，知道列表或畫圖都是表示變量之間關系常用的方法。
2.結合豐富的實例，經歷正比例、反比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”從而認識正比例和反比例；能根據正比例和反比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成正比例或反比例；能舉出生活中成正比例和成反比例量的實例。
3.初步了解正比例的圖象是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的圖象。
三、關鍵內容確定
（一）教學重點
理解正、反比例的意義，初步了解正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的圖
教學難點
會判斷兩種量是否成正、反比例關系；會利用正比例關系圖象解決簡單的問題；能用多種方法解決有關正、反比例的實際問題。
四、單元整合框架及說明
整合指導思想定位：
會用數學的眼光觀察現實世界
會用數學的思維思考現實世界
會用數學的語言表達現實世界
這是數學課程的核心素養內涵。運用正比例與反比例的相關知識，分析、解決實際問題，并在經歷問題解決的過程中，積累和豐富解決問題的經驗策略，提高解決問題的能力。體會正比例反比例與其他知識之間的聯系，綜合運用多種知識，靈活解決實際問題。
從具體編排來說，
本單元教科書編寫的基本思路主要體現在以下幾個方面：
1.提供具體情境，引導學生體會生活中存在大量互相依存的變量，拓寬知識學習的背景。函數是刻畫變量之間相互關系的重要模型，體會函數思想需要豐富的情境，學生需要結合具體的情境感受生活中存在著很多變量，并體會到有的變量之間是存在一定關系的，如一個變量隨另一個變量的變化而變化等。
2.經歷知識的形成過程，引導學生從變化中看到“不變”，理解正比例和反比例的意義；正比例和反比例在生活中有著廣泛應用，但是對于六年級的小學生來說很難自己從生活現象中抽象出數學關系。
3.充分利用直觀圖象，數形結合，幫助學生進一步認識正比例。教科書安排了“畫一畫”的活動，讓學生先填表判斷“看電影的人數與所付票費”是否成正比例，再將這組數據用“描點法”畫在方格紙上，引導學生發現描出的點正好在一條直線上，了解正比例圖象的特點。然后，引導學生讀懂圖，理解正比例圖象上的點所表示的實際意義，并利用直線上的點的特征進行分析推斷，借助圖象直觀進一步認識成正比例的兩個量的變化規律。
五、單元課時規劃
單元劃分依據 □課程標準 教材章節 □知識結構
課程內容模塊 數與代數 □圖形與幾何 統計與概率 □綜合與實踐
單元數量 4
單元主題 單元名稱 主要內容 課時
數與代數 正比例與反比例 變化的量 1
正比例 1
畫一畫 1
反比列 1
重點滲透的數學思想方法 抽象 符號化 分類 集合 對應 演繹 歸納 類比 轉化 數形結合 □極限 模型 □方程 函數 □統計 分析 綜合 比較 □假設 □其他
課時 學習目標 評價形式 評價標準
變化的量 目標：結合具體的數學情境認識“變化的量”，并通過描述活動，了解其中一個變量是怎樣隨著另一個變量而變化的，知道列表與畫圖都是表示變量關系的常用的方法，積累表征變量的數學活動經驗。 任務一：學習相關聯的量。 1.通過學習活動認識“變化的量”，并通過描述活動，了解其中一個變量是怎樣隨著另一個變量而變化的，知道列表與畫圖都是表示變量關系的常用的方法，積累表征變量的數學活動經驗。
正比例 目標：結合“正方形的周長與邊長，正方形的面積與邊長，路程、時間與速度”等情境，經歷正比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”，認識正比例。 能根據正比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成正比例，能舉出生活中成正比例的實例，感受正比例在生活中的廣泛應用。 任務一：認識正比例。 任務二：判斷兩個量是否成正比例的方法。 1.通過小組合作探究活動建構正比例意義，能從變化中看到“不變”，認識正比例。 2.通過學習活動能根據正比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成正比例。
畫一畫 目標：初步認識正比例圖象，體會“正比例圖象是一條直線”的特點，深化對正比例的認識。 會在方格紙上描出成正比例的量所對應的點，理解正比例圖象上的點所表示的意義。 任務一：正比例圖像。 1.通過小組合作探究活動，初步認識正比例圖象，體會“正比例圖象是一條直線”的特點，會在方格紙上描出成正比例的量所對應的點，理解正比例圖象上的點所表示的意義。
反比例 目標：經歷反比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”認識反比例。能根據反比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成反比例，能舉出生活中成反比例的實例，感受反比例在生活中的廣泛應用。 任務一：反比例的意義。 任務二：判斷兩個量是否成反比例的方法。 1.通過學習活動，建構反比例意義，能從變化中看到“不變”認識反比例。 1.通過學習活動，能根據反比例的意義，判斷兩個相關聯的量是不是成反比例，能舉出生活中成反比例的實例。
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