資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
分課時教學設計
《8.1.2三角形的內角和與外角和》教學設計
課型 新授課 復習課 試卷講評課 其他課
教學內容分析 小學階段已經了解了“三角形的內角和等于180°”，教材又將學生熟悉的知識點安排在此處，不是為了讓學生做簡單的回顧，主要的是要讓學生學習用演繹推理的方法證明這個結論.并在這個結論的基礎上推出：直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和；三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角，最后再給出“三角形的外角和等于360°”的結論，作為對后面探索多邊形的外角和定理的鋪墊.這部分內容是讓學生進行演繹推理很好的素材，并且讓學生體會到數學證明的必要性．
學習者分析 本節課是在學生學行線的性質及三角形有關的概念，邊、角之間關系的基礎上，讓學生動手操作，通過剪拼的實驗與操作，提高學生動手能力；經歷三角形內角和外角關系的探究過程，在探究中發展合情推理的能力；使學生學會探索數學問題的歸納法和實驗法等研究方法。
教學目標 1.讓學生在操作活動中，探索并了解三角形的內角和、三角形的外角的兩條性質以及三角形的外角和. 2.利用平行線性質來證明三角形的內角和、三角形的外角的第一個性質以及三角形的外角和. 3.會利用“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”進行有關計算.
教學重點 掌握三角形的內角和、三角形的外角的兩條性質以及三角形的外角和，并能利用三角形內角和、外角和以及外角的兩條性質進行有關計算.
教學難點 在三角形內角和、三角形的外角的兩條性質以及三角形的外角和證明的過程中，涉及到添加輔助線來溝通證明思路的方法.
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：情境導入教師活動1： 如圖 ， 在小學我們曾剪下三角形的兩個內角， 將它們與第三個內角拼在一起， 發現三個內角恰好拼成一個平角， 得出了如下結論： 三角形的內角和等于 . 如果我們不用剪拼辦法，可不可以用說理的辦法說明該結論正確呢？學生活動1： 通過探究活動理解．學生通過已學習的知識經過個人思考、小組合作等方式推導出本課新知.激發學生繼續探究三角形內角和和外角和的興趣。 活動意圖說明： 從實際出發，從學生已有的生活經驗出發.了解“三角形的內角和等于180°”，更主要的是要讓學生學習用演繹推理的方法證明這個結論.環節二：新知探究教師活動2： 1.三角形的內角和定理的推理證明. 如圖，已知 ，分別用，，表示的三個內角，證明. 【解】如圖，延長到，以點為頂點，在的上側作，則(同位角相等，兩直線平行). ， (兩直線平行，內錯角相等). 又， (等量代換). 思考：多種方法說明三角形內角和等于180°的核心是什么？ 總結：1.在這里，為了需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線. 2.為了說明三角形三個內角的和為180°，常將三個角轉化為一個平角，這種轉化思想是數學中常用的方法. 思考：如圖 ， 在直角三角形中， ，與有什么關系 由于三角形的內角和等于，得 . ， 由此可以推出 . 即與互余. 這就是說，直角三角形的兩個銳角互余。 直角三角形可以用符號 “”表示，直角三角 形可以寫成 . 思考：我們已經知道，直角三角形的兩個銳角互余.反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎 有兩個角互余的三角形是直角三角形. 思考：你能說明其理由嗎？ 2.探索三角形的外角及外角和. 如圖， 一個三角形的每一個外角對應一個相鄰的內角和兩個不相鄰的內角. 思考：三角形的外角與內角有什么關系呢 在圖中， 顯然有(外角) +(相鄰的內角) . 思考：那么外角與其他兩個不相鄰的內角又有什么關系呢 依據三角形的內角和等于， 我們有. 由上面兩個式子，可以推出 ， . 因而可以得到你與你的同伴所發現的結論： . 由此可知，三角形的外角有兩條性質： 1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和. 2.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角. 如圖，D是△ABC的邊BC上一點，則有 . () 思考：(1)你能用“三角形的內角和等于180°”來說明三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和嗎 【解】如圖，因為三角形的內角和等于， 所以°. 因為， 所以. (2)你能否從前面的操作中，得到說明三角形外角性質的另一種方法？ 3.探索三角形的外角和 與三角形的每個內角相鄰的外角分別有兩個，這兩個外角是對頂角. 從與每個內角相鄰的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和. 如圖所示，就是的外角和. 做一做：在圖中， _______，_______， _______. 三式相加可以得到 _______+_______+_______=_______① 而，② 將①與②相比較，你能得出什么結論 概括： 可以得到. 由此可知：三角形的外角和等于360°. 思考：你能由下圖說明這一結論嗎？ 解：因為， 所以，(兩直線平行，同位角相等). 因為， 所以(等量代換).學生活動2： 學生可相互交流，學生自主探究，得出結論 教師巡視，聽取學生的看法、見解，隨時參與討論.理解三角形的外角的兩條性質以及三角形的內角和與外角和.活動意圖說明：引導學生建立模型，鼓勵學生大膽探索，經歷三角形內角和外角關系的探究過程，在探究中發展合情推理的能力.使學生學會探索數學問題的歸納法和實驗法等研究方法.積累解題經驗，提高靈活地運用所學知識解決問題的能力.環節三：例題講解教師活動3： 例1 如圖， 是的邊上的高，， . 求的度數. 解 在中， (直角三角形的兩個銳角互余)， (等式性質) . 又(已知)， (等量代換) . 在中， (三角形的內角和等于 180°)， (等式性質) . 又 (已求)， (已知)， (等量代換) . 例2如圖，是的 邊上一點，，，. 求：(1)的度數； (2)的度數. 【分析】(1)先由三角形外角的性質得出，再由，即可得出的度數；(2)直接根據三角形的內角和定理得出的度數. 【解】(1) 是的外角(已知)， (三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和). 又(已知)， (等量代換). (2)(三角形的內角和等于)， . . (等式的性質).學生活動3： 學生觀察并回答教師規范解答，教師出示練習題組，鞏固例題，學生嘗試練習師巡視，個別指導. 活動意圖說明： 讓學生在一定的數學活動中去體驗、感受數學，掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和；三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角，三角形的外角和等于360°．從而更好地理解知識，讓學生的認知結構得到不斷的完善．
板書設計 8.1 三角形 8.1.2 三角形的內角和與外角和 1.三角形的內角和定理及推理證明. 2.三角形的外角及外角和. 3.探索證明“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”的方法. 4.探索三角形的外角和. 例1 例2
課堂練習 【知識技能類作業】 必做題： 1．將一塊含有角的直角三角板和一把直尺按如圖所示的方式擺放，若，則∠2的度數是（　　） A． B． C． D． 2．小明觀察“抖空竹”時發現，可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：如圖，已知，，則的度數是(　　) A． B． C． D． 3．如圖是某款嬰兒手推車的平面示意圖，若，，，則的度數為（　　） A． B． C． D． 選做題： 4．已知一張三角形紙片（如圖甲），其中．將紙片沿過點的直線折疊，使點落到邊上的點處，折痕為（如圖乙）．再將紙片沿過點的直線折疊，使點恰好與點重合，折痕為（如圖丙）．原三角形紙片中，的大小為（　　） A． B． C． D． 5．把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若，則的度數為　 　． 6．在中，，射線平分，P為邊上一點，，垂足為O，則的度數為　 　． 【綜合拓展類作業】 7．如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線. （1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度數； （2）若△ABC的面積為40，BD＝5，則E到BC邊的距離為多少 答案： 1.B 2.D 3.D 4.C 5．【答案】 【知識點】三角形的外角性質；同位角的概念 6．【答案】或 【知識點】三角形內角和定理；三角形的外角性質 7．【答案】（1）解：∵∠BED是△ABE的角∴∠BED=∠ABE+∠BAD又∴∠ABE=15°∠BAD=40° ∴∠BED=55° （2）△BDE的面積=40×=10，所以E到BC邊的距離 =10÷÷5=8.
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1.已知三角形一個內角的度數為70°，則x+y的值為(　　) A.180 B.110 C.100 D.70 2.在△ABC中，∠A=10°，∠B=60°，則△ABC的形狀是(　　) A.鈍角三角形　　　B.直角三角形 C.銳角三角形　　 D.等邊三角形 3.物理課上，小明研究一個小木塊沿斜坡向下滑動時的運動狀態，如圖，∠C=90°，∠B=13°，小木塊(△DEF)在AB上，且EF∥AC，則∠DFE的度數為(　　) A.13° B.77°　 C.87° D.63° 選做題： 4.如果將一副三角板按如圖所示的方式疊放，那么∠α的度數是(　　) A.75° B.100° C.105° D.135° 5.如圖，AD平分∠BAC，∠B=35°，∠ADC=82°，則∠C=　　　　°. 6.如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E，若∠B=36°，∠E=24°，則∠BAC=　　　　°. 【綜合拓展類作業】 7.實驗證明平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等. 閱讀以上材料并解決下列問題. (1)如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射.若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1=50°，求∠2及∠3的度數. 解：易知∠1=∠4，∠5=∠6，∴∠7=180°-∠1-∠4=　　　　，∵m∥n， ∴∠2+∠7=180°，∴∠2=180°-∠7=　　　　，∴∠5=∠6=　　　　，根據三角形內角和為180°，知∠3=180°-∠4-∠5=　　　　. 在(1)中，①若∠1=55°，則∠3=　　　　;②若∠1=40°，則 ∠3=　　　　. (3)由(1)(2)，請你猜想：當兩平面鏡a、b的夾角∠3為多少度時，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行 請你寫出推理過程. 答案： 1.B　由題圖可知，x+y=180-70=110.故選B. 2.A　∵∠A=10°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-10°-60°=110°，∴△ABC是鈍角三角形.故選A. 3.B　∵∠C=90°，∠B=13°，∴∠A=180°-∠C-∠B=77°，∵EF∥AC，∴∠DFE=∠A=77°.故選B. 4.C　解法一：如圖，由題意可得∠1=30°，則∠2=45°-∠1=45°-30°=15°，∴∠α=90°+∠2=105°.故選C. 解法二：如上圖，∵∠1=30°，∴∠3=180°-(30°+45°)=105°， ∴∠α=∠3=105°.故選C. 5.51 解析　∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠BAD=∠ADC-∠B=82°-35°=47°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=94°， ∴∠C=180°-∠B-∠BAC=51°. 6.84 解析　∵∠B=36°，∠E=24°，∴∠ECD=∠B+∠E=36°+24°=60°. ∵CE為∠ACD的平分線，∴∠ACD=2∠ECD=120°.又∵∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠BAC=∠ACD-∠B=120°-36°=84°. 7.解析　(1)80°;100°;40°;90°. (2)①∵∠1=55°，∴∠4=∠1=55°，∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-110°=70°.∵m∥n，∴∠2=180°-∠7=180°-70°=110°.∵∠5=∠6，∴∠5=(180°-∠2)=×70°=35°.又∵∠3+∠4+∠5=180°， ∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-55°-35°=90°. ②∵∠1=40°，∴∠4=∠1=40°，∴∠7=180°-(∠1+∠4)=180°-80°=100°.∵m∥n，∴∠2=180°-∠7=180°-100°=80°.∵∠5=∠6，∴∠5=(180°-∠2)=×100°=50°.又∵∠3+∠4+∠5=180°， ∴∠3=180°-∠4-∠5=180°-40°-50°=90°. (3)根據平面鏡反射光線的規律可知，∠1=∠4，∠5=∠6，∵m∥n，∴∠2+∠7=180°，∵∠1+∠4+∠7=180°，∠2+∠5+∠6=180°，∴2(∠5+∠4)+(∠2+∠7)=360°，∴∠5+∠4=×(360°-180°)=90°.∵∠3+∠4+∠5=180°，∴∠3=180°-(∠4+∠5)=180°-90°=90°， ∴當∠3=90°時，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行.
教學反思 三角形的內角和外角的性質反映了三角形的內角和外角是互相聯系與制約的，我們可以用它來求三角形的內角或外角.解題時，有時還需添加輔助線，有時結合代數，用方程來解比較方便.
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