資源簡介

人教版數學五年級上冊《植樹問題》教學設計
教學目標
通過觀察、猜測、動手操作、推理等活動，探究棵數與間隔數的關系，構建植樹問題的數學模型。
經歷構建植樹問題數學模型的過程，滲透“一一對應”的數學思想，培養學生抽象、概括歸納的能力。
在解決生活實際問題的過程中體會數學模型的價值，感受數學與生活的密切聯系。
教學重難點
重點：運用“一一對應”的數學思想發現、理解棵數與間隔數的關系。
難點：構建植樹問題的模型并解決實際問題。
教學流程
一、情境導入
談話引入，讓學生領略家鄉之美，引導學生發現美景背后隱藏著數學秘密。
設計說明
借助學生熟悉的家鄉美景激發他們的學習興趣，讓學生自然成為學習的主人，促使學生在良好的課堂學習環境中感悟數學與生活的密切聯系。
二、新知探究
1.解答開放問題，感知多種可能性
出示：同學們要在全長20米小路的一旁植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？
引導學生梳理題中的數學信息與要求的問題。
思考：你能想出幾種不同的方案？請把自己的想法先畫一畫，再列式算一算。
收集典型作品，反饋交流：它們分別是怎么種的？種了幾棵？
揭示課題。
設計說明
開放性的學習材料能有效激發學生的發散性思維，促使學生自覺從不同角度思考問題。面對學生的不同結果，教師要引導學生重點思考三種情況是否符合題目要求，是否合理。借助直觀圖，學生會發現在實際的“植樹問題”中，因環境不同，會產生三種不同的結果。而這三種結果，正好對應三種不同的問題解決模型。此時自然而然的引出課題。
2.借助圖式互釋，滲透“一一對應”
只種一端
引導學生觀察圖式，要求結合圖說說算式的含義？如20表示什么？5表示什么？算出的4表示什么？
預設1：20表示20米路，5表示每5米路分成一段，4表示小路平均分成4段。
預設2：4表示小路共種了4棵樹。
請認為“4棵”的學生說想法，引導全班學生結合圖與式，理解“捆綁”的含義，并用紅筆標注將每一段小路與樹進行一一對應。
小結：
20米路平均分成4段，一個5米對應著一棵樹，一個5米對應著一棵樹……4個5米就對應了4棵樹。正式每段小路與樹的一一對應關系，就將4段路轉化成了4棵樹。所以最后用“棵”做單位。
兩端都種 兩端都不種
引導：其它兩種情況，你也能一一對應著去觀察嗎？
學生獨立思考，嘗試在學習單上用一一對應的方法標注理解算式的含義。
預設1：兩端都種，小路被分成了4段，每段路對應一棵樹，4段路對應4棵樹，還有再加開頭的那一棵樹就是5棵樹。
追問：為什么要加1？
學生回答后教師圈出那棵無路可對的樹。
預設2：兩端都不種時，3段路對應3棵樹，最后一段路沒有樹對應，所以是3棵。
追問：為什么減1？
引導學生理解：兩端都不種時，4段路本應要對應4棵樹（畫樹），因為最后一個5米沒有樹對應，所以減1。
設計說明
組織學生首先關注“只種一端”的情況，結合圖式與算式思考得數4的含義，充分暴露學生思維，引發學習沖突。接著將圖示表征與算式表征有機結合，引導學生再次觀察思考，促使學生將視野聚焦到棵數與段數之間的關系上，凸顯出一一對應、數形結合的數學思想，同時培養學生用圖分析問題解決問題的意識與習慣，發展學生的幾何直觀能力。在學生充分理解了基本模型之后，再引導學生研究“兩端都種”和“兩端都不種”兩種變式模型，給予學生充分空間思考，讓學生結合圖式，再次運用一一對應的數學思想對“棵數與段數的關系”進行分析，圖式互釋，理解算式20÷5+1第一步的含義及加1的原因。同理適時追問兩端都不種時，為什么還要減1，從而建立基本模型與變式模型間的關系，幫助學生完整認識到“植樹問題“模型的多樣性。
3.歷經對比溝通，初建植樹模型
思考：剛才我們都從“一一對應”的角度觀察，弄清楚了三種情況。請比較它們有什么共同點和不同點。
預設1：都把小路平均分成了4段。
預設2：兩端都種的時候要加1；兩端都不種的時候要減1；只種一端的時候不加也不減。
提煉小結：兩端都種，棵數=段數+1；
只種一端，棵數=段數；
兩端不種，棵數=段數—1
設計說明
教師引導學生對植樹問題的三種情況進行關聯思考，比較它們的異同點從而建立三者之間的聯系，從整體上、本質上理解和構建植樹問題的三種模型，感悟一一對應思想，發展推理意識和模型意識。
4.拓展想象應用，深化“一一對應”思想
引導：其它米數也是這樣嗎？請你畫一畫、算一算。
出示探究要求：
(1)從10米、15米、25米中任選一個或者自己寫一個米數。
(2)在三種植樹中任選一種，先畫一畫、再算一算。
(3)思考：你有什么發現？
學生活動。
搜集作品交流：
這些作品都把一條路平均分成幾段？種了幾棵？說明什么規律？
引導：如果米數更長呢？你又是怎么想的？
出示：
預設1：運用棵數與段數的關系。
預設2：運用“一一對應”的思想。
組織學生運用“一一對應”的思想去想象，n段路對應了n棵樹，再根據兩端種樹情況得出相應結論。
思考：關于植樹問題，現在你有什么新的感受？
發現：小路長度不知道也沒關系，關鍵知道路的段數和兩端種樹情況，就能用一一對應的方法去解決了。
設計說明
學生先用具體數據研究驗證，在此基礎上想象更長距離植樹具有同樣規律，從簡單問題到符號表征，將抽象的數學概念、解題思路和直觀的線段圖結合，讓學生的思維可視化，擴大了模型的外延，拓寬了思維空間，讓數學學習更加嚴謹，讓模型構建更科學。
三、練習拓展
1.尋找生活模型
引導：植樹問題，研究的一定是樹嗎？
出示：“燈柱”，“斑馬線”等圖片。
思考：這里有植樹問題嗎？什么相當于樹？什么相當于間隔？
小結：樹不僅僅是樹。植樹問題的規律可以解決生活種很多類似問題。
2.應用植樹規律
出示問題：
學生獨立思考后全班交流。
出示問題：
鐘聲每響一次延續2秒，停頓3秒后再響第2聲，如此反復。那么，當第4聲鐘聲結束時，一共經過了幾秒？
設計說明
教師先引導學生從生活中尋找模型，讓植樹問題向其它領域拓展。并通過問題“什么相當于樹”“什么相當于路”將生活問題與植樹模型建立聯系，這樣不僅讓學生感受數學的廣泛應用，也能促使學生的思維由單一走向多元，學會用數學眼光觀察世界。隨后設計了三個不同水平的問題，分別是同層水平的長椅花盆問題，拓展水平的鋸木頭問題，挑戰水平的鐘聲問題，從易到難，層層遞進，不僅拓寬學生的思維，還豐富了學生對植樹問題模型的認知。
四、總結收獲
交流：你有哪些收獲？你還想研究有關植樹問題的哪些知識？

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