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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
學(xué) 科 數(shù)學(xué) 年 級(jí) 七年級(jí) 設(shè)計(jì)者
教材版本 華師版 冊(cè)、章 七年級(jí)下冊(cè)第八章
課標(biāo)要求 內(nèi)容要求： （1）理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性。 （2）探索并證明三角形的內(nèi)角和定理。掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 （3）證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。
（4）理解等腰三角形、等邊三角形及直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 （5）了解多邊形的概念及多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角與對(duì)角線；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式。 （6）通過(guò)正多邊形的拼接體會(huì)與思考數(shù)學(xué)知識(shí)在解決現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題中的價(jià)值，從中進(jìn) 步思考與體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的應(yīng)用價(jià)值。
內(nèi)容分析 華師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)的《第八章三角形》是幾何學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要章節(jié)，它不僅承載著對(duì)三角形基礎(chǔ)概念和性質(zhì)的全面介紹，還扮演著連接學(xué)生先前所學(xué)與后續(xù)幾何知識(shí)深入探索的橋梁角色。本章內(nèi)容豐富多彩，深入淺出地引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)三角形的奇妙世界，為他們構(gòu)建一個(gè)系統(tǒng)而堅(jiān)實(shí)的幾何知識(shí)體系。在這一章節(jié)中，由現(xiàn)實(shí)生活的物體抽象出幾何圖形，由地面的瓷磚鋪設(shè)引出最簡(jiǎn)單的多邊形---三角形。 學(xué)生們將首先認(rèn)識(shí)與三角形的基本概念和有關(guān)的邊，包括邊、高、中線以及角平分線，了解三角形的分類等；章節(jié)還深入探討了三角形的角，包括內(nèi)角和外角。學(xué)生將學(xué)習(xí)如何計(jì)算三角形的內(nèi)角和，這一基礎(chǔ)知識(shí)是證明許多三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)。外角的概念及其與相鄰內(nèi)角的關(guān)系，也將被詳盡闡述，幫助學(xué)生從多角度審視三角形的角特征，培養(yǎng)他們的空間想象力和邏輯推理能力。 接著深入探索了三角形的三邊關(guān)系，在小學(xué)階段通過(guò)觀察或度量，了解到“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”這樣一個(gè)事實(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)作三角形的過(guò)程，再次體會(huì)這一結(jié)論，會(huì)運(yùn)用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和推理，進(jìn)而深入理解三角形的穩(wěn)定性及其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用. 本章還拓展到了多邊形的內(nèi)角和與外角和的內(nèi)容，進(jìn)一步豐富了學(xué)生的幾何視野。多邊形作為三角形的延伸，其內(nèi)角和的計(jì)算方法不僅加深了學(xué)生對(duì)幾何圖形內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜幾何圖形打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 更為重要的是，本單元的教學(xué)不僅僅局限于理論知識(shí)的傳授，更注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐操作能力和邏輯推理能力。通過(guò)用正多邊形鋪設(shè)地面活動(dòng)，學(xué)生被鼓勵(lì)親自動(dòng)手，體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程，從而在實(shí)踐中深化對(duì)三角形性質(zhì)的理解。這種“做中學(xué)”的方式，極大地提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度，使他們?cè)谔剿髦邪l(fā)現(xiàn)幾何之美，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新思維。
學(xué)情分析 經(jīng)過(guò)前期系統(tǒng)學(xué)習(xí)，學(xué)生已構(gòu)建起幾何知識(shí)的基礎(chǔ)框架，具體表現(xiàn)為： 在平面圖形認(rèn)知方面，學(xué)生已系統(tǒng)掌握直線、射線、線段的本質(zhì)特征：直線具有雙向無(wú)限延伸性，射線呈現(xiàn)單向無(wú)限延伸性，線段則是具有確定長(zhǎng)度的有限圖形。這些基礎(chǔ)幾何元素的認(rèn)知，為后續(xù)三角形知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定了重要基礎(chǔ)。在角的概念體系構(gòu)建上，學(xué)生已從直觀的角度測(cè)量進(jìn)階到對(duì)角的性質(zhì)研究，能夠理解角平分線、鄰補(bǔ)角、互補(bǔ)角等概念的內(nèi)涵與外延。 幾何操作技能方面，學(xué)生已具備使用直尺、圓規(guī)進(jìn)行基礎(chǔ)作圖的能力，能夠規(guī)范繪制直線、射線、線段及角等基本圖形。這種操作能力不僅是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)技能，更是培養(yǎng)空間想象能力和幾何直觀素養(yǎng)的重要載體。在實(shí)際操作過(guò)程中，學(xué)生需要將圖形性質(zhì)與操作步驟進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，這對(duì)其數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性提出了明確要求。 數(shù)學(xué)能力儲(chǔ)備方面，學(xué)生已具備代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理的雙重能力支撐。在代數(shù)領(lǐng)域，他們能夠熟練進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算和代數(shù)式變形，這種運(yùn)算能力為解決三角形相關(guān)的數(shù)值問(wèn)題提供了有力工具。在邏輯推理方面，學(xué)生能夠運(yùn)用歸納、類比等合情推理方法發(fā)現(xiàn)幾何規(guī)律，同時(shí)也初步掌握了從已知條件出發(fā)進(jìn)行演繹推理的能力，這種思維能力為三角形性質(zhì)的探究和證明奠定了重要基礎(chǔ)。
單元目標(biāo) （一）教學(xué)目標(biāo) ①理解三角形的內(nèi)角、邊、主要線段及多邊形的內(nèi)角的概念；了解三角形的分類的方法；掌握三角形的三邊關(guān)系的知識(shí)并會(huì)合理應(yīng)用其解決問(wèn)題；了解三角形的穩(wěn)定性；探索并掌握三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)，以及多邊形的內(nèi)角和與外角和，在有關(guān)的計(jì)算中能正確的使用解決問(wèn)題。 ②經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知過(guò)程培養(yǎng)觀察歸納推理等能力；通過(guò)畫(huà)圖找規(guī)律度量推理證明等活動(dòng)體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣和成就感；學(xué)會(huì)運(yùn)用信息技術(shù)手段輔助兒何學(xué)習(xí)提高學(xué)習(xí)效率和興趣。 ③感受多邊形知識(shí)在日常生活中的應(yīng)用價(jià)值，欣賞正多邊形密鋪的數(shù)學(xué)美感，感悟幾何規(guī)律的普適性，體會(huì)三角形的穩(wěn)定性在生活中的應(yīng)用，思考其中的數(shù)學(xué)規(guī)律在三角形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí)形成的意義與作用。 （二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：三角形的有關(guān)概念及三角形的分類，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用與幾何作圖，三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)的推導(dǎo)及應(yīng)用；多邊形內(nèi)角和與外角和公式的探究與計(jì)算；正多邊形密鋪的條件分析與圖案設(shè)計(jì)。 難點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系的動(dòng)態(tài)理解與實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化；多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過(guò)程；外角性質(zhì)在復(fù)雜圖形中的靈活運(yùn)用；密鋪問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模與跨學(xué)科應(yīng)用。
單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架及課時(shí)安排 （一）單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架 （二）課時(shí)安排 課時(shí)編號(hào)單元主要內(nèi)容課時(shí)數(shù)8.1.1 認(rèn)識(shí)三角形28.1.2三角形的內(nèi)角和與外角和18.1.3 三角形的三邊關(guān)系18.2.1多邊形的內(nèi)角和18.2.2多邊形的外角和18.3.1用相同的正多邊形鋪設(shè)地面18.3.2用多種正多邊形鋪設(shè)地面 1小結(jié)與評(píng)價(jià)單元小結(jié)1
達(dá)成評(píng)價(jià) 課題課時(shí)目標(biāo)達(dá)成評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)任務(wù)8.1.1 認(rèn)識(shí)三角形1. 了解三角形基本元素（邊、內(nèi)角、外角）及中線、高線、角平分線概念 2. 掌握三角形按角、按邊分類方法 3. 明確等腰、等邊三角形概念及關(guān)系1. 準(zhǔn)確識(shí)別三角形元素，區(qū)分特殊線段 2. 正確對(duì)三角形分類，說(shuō)明等腰與等邊關(guān)系 3. 清晰表述等腰、等邊三角形概念活動(dòng)一：結(jié)合課本圖 8.1.1，標(biāo)注三角形邊、內(nèi)角、外角，模仿課本例題畫(huà)出中線、高線、角平分線 活動(dòng)二：對(duì)課本中給出的三角形圖形（如銳角三角形、等腰三角形），按課本分類標(biāo)準(zhǔn)完成按角、按邊分類練習(xí) 活動(dòng)三：對(duì)比課本定義，辨析 “等邊三角形是特殊等腰三角形”，完成概念判斷題8.1.2三角形的內(nèi)角和與外角和1. 探究并證明三角形內(nèi)角和定理，運(yùn)用定理計(jì)算角度 2. 掌握外角性質(zhì)，解決角度推導(dǎo)問(wèn)題 3. 理解三角形外角和為 360°1. 完成內(nèi)角和證明，準(zhǔn)確計(jì)算角度 2. 正確運(yùn)用外角性質(zhì)推導(dǎo)角度 3. 說(shuō)明外角和推導(dǎo)過(guò)程活動(dòng)一：仿照課本 “探究”，剪拼三角形內(nèi)角驗(yàn)證內(nèi)角和 180°，完成課本類似習(xí)題（已知兩內(nèi)角求第三角） 活動(dòng)二：分析課本圖 8.1.10，運(yùn)用外角性質(zhì)解決課本例題式角度推導(dǎo)（如已知外角和一不相鄰內(nèi)角，求另一內(nèi)角） 活動(dòng)三：小組合作，按課本思路推導(dǎo)三角形外角和，如分別計(jì)算三個(gè)外角并求和驗(yàn)證 360°8.1.3 三角形的三邊關(guān)系1. 掌握三角形三邊關(guān)系定理 2. 運(yùn)用定理判斷線段能否構(gòu)成三角形 3. 解決已知兩邊求第三邊范圍問(wèn)題1. 準(zhǔn)確表述三邊關(guān)系定理 2. 正確判斷線段能否構(gòu)成三角形 3. 求解第三邊范圍活動(dòng)一：用課本 “做一做” 的線段長(zhǎng)度（如 2cm、3cm、5cm）拼三角形，歸納三邊關(guān)系 活動(dòng)二：完成課本練習(xí)，判斷給定線段（如 3、4、8）能否構(gòu)成三角形 活動(dòng)三：解決課本類似問(wèn)題，如已知兩邊為 6 和 10，求第三邊取值范圍8.2.1多邊形的內(nèi)角和1. 推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和公式 2. 運(yùn)用公式計(jì)算內(nèi)角和、邊數(shù)等 3. 理解轉(zhuǎn)化思想1. 闡述公式推導(dǎo)過(guò)程 2. 正確計(jì)算內(nèi)角和、求邊數(shù) 3. 體會(huì)轉(zhuǎn)化思想活動(dòng)一：參照課本，從四邊形引對(duì)角線轉(zhuǎn)化為三角形，推導(dǎo)五邊形、六邊形內(nèi)角和，歸納 n 邊形公式 活動(dòng)二：完成課本習(xí)題，如求正七邊形內(nèi)角和，已知內(nèi)角和為 1440° 求邊數(shù) 活動(dòng)三：分享課本中 “多邊形轉(zhuǎn)化為三角形” 的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用實(shí)例8.2.2多邊形的外角和1. 掌握多邊形外角和為 360° 2. 運(yùn)用定理計(jì)算邊數(shù)、外角度數(shù) 3. 區(qū)分內(nèi)角和與外角和應(yīng)用1. 說(shuō)明外角和推導(dǎo)過(guò)程
2. 用定理求邊數(shù)、外角度數(shù)
3. 正確選擇定理解題活動(dòng)一：仿照課本，從三角形、四邊形外角和推導(dǎo)，得出多邊形外角和定理
活動(dòng)二：解決課本習(xí)題，如求正十二邊形每個(gè)外角度數(shù)，已知每個(gè)外角為 60° 求邊數(shù)
活動(dòng)三：對(duì)比課本內(nèi)角和與外角和例題，選擇合適定理解答綜合題8.3.1用相同的正多邊形鋪設(shè)地面1. 理解正多邊形密鋪條件 2. 判斷正多邊形能否單獨(dú)密鋪 3. 掌握正三角形等密鋪原理1. 說(shuō)明密鋪條件 2. 準(zhǔn)確判斷密鋪情況 3. 解釋密鋪原理活動(dòng)一：按課本 “做一做”，用正三角形、正方形紙片嘗試密鋪，分析內(nèi)角是否為 360° 約數(shù)
活動(dòng)二：判斷課本提及的正多邊形（如正五邊形、正六邊形）能否單獨(dú)密鋪，結(jié)合課本內(nèi)容說(shuō)明理由
活動(dòng)三：解釋課本中 “正六邊形能密鋪” 的角度原理8.3.2用多種正多邊形鋪設(shè)地面 1. 探究組合密鋪條件 2. 找出組合密鋪方案 3. 理解角度匹配原理1. 說(shuō)明組合密鋪條件
2. 列舉組合方案
3. 解釋角度匹配活動(dòng)一：分析課本圖 8.3.3，計(jì)算正三角形與正方形組合的角度和（60°×3 + 90°×2 = 360°） 活動(dòng)二：嘗試課本式組合（如正三角形與正六邊形），記錄密鋪方案 活動(dòng)三：小組合作設(shè)計(jì)課本風(fēng)格的多種正多邊形密鋪方案，說(shuō)明角度匹配過(guò)程單元小結(jié)與評(píng)價(jià)1. 梳理知識(shí)體系
2. 綜合運(yùn)用知識(shí)解題
3. 反思數(shù)學(xué)思想1、通過(guò)對(duì)本單元知識(shí)點(diǎn)的小結(jié)與回顧，讓學(xué)生形成知識(shí)體系. 2、通過(guò)解決本章重點(diǎn)例題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提升應(yīng)用意識(shí).活動(dòng)一：參照課本章節(jié)結(jié)構(gòu)，繪制包含三角形概念、性質(zhì)，多邊形公式等內(nèi)容的思維導(dǎo)圖
活動(dòng)二：完成課本復(fù)習(xí)題，如綜合三角形三邊關(guān)系、內(nèi)角和，多邊形外角和的題目
活動(dòng)三：結(jié)合課本例題，分享轉(zhuǎn)化思想、分類討論在本章的應(yīng)用案例
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