資源簡介

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10.3 實際問題與二元一次方程組（第1課時）教學設計
一、內容和內容解析
1.內容
本節課是人教版《義務教育教科書 數學》七年級下冊（以下統稱“教材”）第十章“二元一次方程組”10.3.1 實際問題與二元一次方程組(1)，內容包括：能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題．掌握構建二元一次方程組解決簡單實際問題的基本步驟.
2.內容解析
本節課設置了較簡單的實際探究問題，讓學生在探究如何利用二元一次方程組解決實際問題的過程中，分析問題中的各種數量關系，找出其中的相等關系，引進適當的未知數，列出相應的方程組，檢驗方程組的解是否符合實際意義等，從而進一步提高分析問題和解決問題的能力. 本節課的探究一，通過實際生活中的牛飼料問題，引導學生將實際問題轉化為數學模型，運用二元一次方程組來解決，這不僅是對之前所學知識的深化和應用，更是培養學生數學建模思想和實際問題解決能力的重要載體，也為后續學習更復雜的實際問題和其他數學模型奠定基礎.
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）能夠根據具體的數量關系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題.
（2）掌握構建二元一次方程組解決簡單實際問題的基本步驟．
（3）通過探究實際問題，進一步體會方程組是刻畫現實世界數量關系的有效模型、發展模型觀念．
2.目標解析
（1）學生需要掌握如何從實際問題中提取關鍵信息，梳理出數量關系，并能將實際的數量關系轉化為二元一次方程組. 學生在列出方程組后，要運用已學的代入消元法或加減消元法求解. 求出未知數的值后，要明確其在實際問題中的意義，這才完成了從數學計算到實際應用的轉化，讓學生體會到數學知識在解決實際問題中的實用性.
（2）從飼養牛的實際場景到構建二元一次方程組的過程，體現了數學建模思想. 在這個過程中，學生學會將復雜的現實情境簡化為數學語言，理解數學模型是對現實世界的一種近似刻畫，通過求解模型來解決實際問題，為今后解決更復雜的實際問題提供了一種通用的方法和思路.
方程思想貫穿整個解決問題的過程. 當面對牛飼料問題時，學生通過設未知數，將未知量與已知量通過等式關系聯系起來，形成方程. 在此過程中，學生認識到方程是解決含有未知量問題的有力工具.
（3）在解決牛飼料問題過程中，學生需要從具體的飼養場景中抽象出數學概念和數量關系，這一過程培養了學生的數學抽象素養. 學生能夠摒棄實際情境中的非本質因素，抓住問題的數學本質，將現實問題轉化為數學問題，這是數學抽象素養的重要體現.
求解二元一次方程組需要學生進行一系列的數學運算，在這個過程中，學生要熟練掌握運算規則，準確進行計算，以求出方程組的解. 良好的數學運算素養不僅能保證學生正確地解決數學問題，還能提高學生解決問題的效率.
從分析題目中的數量關系，到列出方程組，再到選擇合適的方法求解方程組，整個過程都離不開邏輯推理. 邏輯推理素養的培養，有助于學生有條理地思考問題，提高分析問題和解決問題的能力，使學生能夠更加理性地面對數學學習和實際生活中的各種問題.
三、教學問題診斷分析
1.提取關鍵信息與構建方程組困難：部分學生在面對實際問題時，可能難以從冗長的文字描述中準確提取關鍵信息，導致不能順利設出未知數并列出方程.這可能是由于學生缺乏對實際問題的分析經驗，不熟悉如何將生活場景轉化為數學語言.
2.求解方程組的運算錯誤：即使學生成功列出了二元一次方程組，在運用代入消元法或加減消元法求解時，也容易出現運算錯誤.這可能是由于學生對運算規則的掌握不夠熟練，缺乏細心和耐心.
3.方程思想應用不靈活：部分學生在尋找等量關系時，只局限于題目中明顯給出的數量組合，而不能通過深入分析挖掘出潛在的等量關系.
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：從實際情境中抽象出數學模型、準確找到等量關系列出二元一次方程組.
四、教學過程設計
（一）情景引入
問題 （2024 深圳）《算法統宗》里有這樣一道題：“我問開店李三公，眾客都來到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少間客房，來了多少房客？
（二）合作探究
探究1 養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675 kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約用飼料940 kg．飼養員李大叔估計每頭大牛1天需飼料18～20 kg，每頭小牛1天需飼料7～8 kg．你能通過計算檢驗他的估計嗎？
分析 設每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x kg和y kg．
解：設每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x kg和y kg．根據兩種情況的飼料用量，找出相等關系，列得方程組
解這個方程組，得．
這就是說，每頭大牛1天約需飼料 20 kg， 每頭小牛1天約需飼料 5 kg．因此，飼養員李大叔對大牛食量的估計 較準確 ，對小牛食量的估計 偏高 ．
（三）典例分析
例1 為了節能減排，一家工廠將照明燈換成了節能燈．A車間購買了3盞甲型節能燈和5盞乙型節能燈，共花費50元；B車間購買了12盞甲型節能燈和4盞乙型節能燈，共花費88元．1盞甲型節能燈和1盞乙型節能燈的售價各是多少元？
解：設1盞甲型節能燈的售價是x元，1盞乙型節能燈的售價是y元.根據題意，列得方程組
解得
答：1盞甲型節能燈的售價是5元，1盞乙型節能燈的售價是7元.
例2 學校圖書館分兩次購買了相同版本的《西游記》和《水滸傳》供學生借閱. 第一次買了2套《西游記》和3套《水滸傳》，共花費151元；第二次買了4套《西游記》和2套《水滸傳》，共花費178元．每套《西游記》和《水滸傳》的價格分別是多少元？
解：設每套《西游記》和《水滸傳》的價格分別為x元，y元.根據題意，列得方程組
解得
答：每套《西游記》和《水滸傳》的價格分別為29元，31元.
例3 某公司前兩年產生的餐廚垃圾、建筑垃圾的質量都基本沒變，但支付的餐廚垃圾處理費和建筑垃圾清運費的總和由7 020元上升為8 520元， 原因是餐廚垃圾處理費的收費標準由240元/t上調為300元/t，建筑垃圾清運費的收費標準由150元/t上調為180元/t．這家公司去年的餐廚垃圾和建筑垃圾各有多少噸？
解：設這家公司去年的餐廚垃圾為x t，建筑垃圾為y t. 根據題意，列得方程組
解得
答：這家公司去年的餐廚垃圾為8 t，建筑垃圾為34 t.
問題解決 （2024 深圳）《算法統宗》里有這樣一道題：“我問開店李三公，眾客都來到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少間客房，來了多少房客？
解：設李三公家的店有x間客房，來了y個房客.根據題意，列得方程組
解得
答：李三公家的店有8間客房，來了63個房客.
設計意圖：例1例2難度較低，能讓學生快速上手，鞏固基礎知識，如根據簡單數量關系列出方程，增強自信心. 例3難度稍有上升，可引導學生深入思考. 最后，解決引課問題可讓學生前后知識貫通，明確知識的關聯性與應用場景，形成完整知識體系，還能強化本節課重點，攻克難點，提高學生解決實際問題的能力.
（四）鞏固練習
1. 一種商品有大、小盒兩種包裝，3大盒、4小盒共裝108瓶，2大盒、3小盒共裝76瓶．大盒與小盒各裝多少瓶？若設大盒每盒裝x瓶，小盒每盒裝y瓶，則可列方程組得（C）
A． B．
C． D．
2. 學校計劃采購一批白色和彩色無塵粉筆，若購買白色無塵粉筆3盒、彩色無塵粉筆2盒，共需34元；若購買白色無塵粉筆2盒、彩色無塵粉筆3盒，共需36元，通過設適當的未知量可列出方程組若用①﹣②可得x﹣y＝﹣2，下列關于“x﹣y＝﹣2”的意義解釋正確的是（C）
A．每盒白色無塵粉筆比彩色無塵粉筆貴2元
B．白色無塵粉筆比彩色無塵粉筆多買了2盒
C．每盒白色無塵粉筆比彩色無塵粉筆便宜2元
D．白色無塵粉筆比彩色無塵粉筆少買了2盒
3.“踐行垃圾分類 助力“雙碳”目標”主題班會結束后，米樂和琪琪一起收集了一些廢電池，米樂說：“我比你多收集了7節廢電池”琪琪說：“如果你給我8節廢電池，我的廢電池數量就是你的2倍．”如果他們說的都是真的，設米樂收集了x節廢電池，琪琪收集了y節廢電池，根據題意可列方程組為（A）
A． B．
C． D．
4.為增強學生體質，舒緩學習壓力，培養團隊意識，增進班級凝聚力．某校初三年級組織了一場拔河比賽，并為獲得一等獎和二等獎共8個班級購買獎品，共花費600元，其中一等獎獎品每班100元，二等獎獎品每班60元，求獲得一等獎和二等獎的班級分別有多少個？
解：設獲得一等獎和二等獎的班級分別有x個和y個.根據題意，列得方程組
解得
答：獲得一等獎和二等獎的班級分別有3個和5個.
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略.
歸納總結
感受中考
1.（2024 赤峰）用1塊A型鋼板可制成3塊C型鋼板和4塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可制成5塊C型鋼板和2塊D型鋼板．現在需要58塊C型鋼板、40塊D型鋼板，問恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？如果設用A型鋼板x塊，用B型鋼板y塊，則可列方程組為（C）
A． B．
C． D．
2.（2023 益陽）某學校為進一步開展好勞動教育實踐活動，用1580元購進A，B兩種勞動工具共145件，A，B兩種勞動工具每件分別為10元，12元．設購買A，B兩種勞動工具的件數分別為x，y，那么下面列出的方程組中正確的是（A）
A． B．
C． D．
3.（2024 天津）《孫子算經》是我國古代著名的數學典籍，其中有一道題：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩度之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺．問木長多少尺？設木長x尺，繩子長y尺，則可以列出的方程組為（A）
A． B．
C． D．
4.（2024 安徽）鄉村振興戰略實施以來，很多外出人員返鄉創業．某村有部分返鄉青年承包了一些田地，采用新技術種植A，B兩種農作物．種植這兩種農作物每公頃所需人數和投入資金如下表：
農作物品種 每公頃所需人數 每公頃所需投入資金（萬元）
A 4 8
B 3 9
已知農作物種植人員共24位，且每人只參與一種農作物種植，投入資金共60萬元，問A，B這兩種農作物的種植面積各多少公頃？
解：設A種農作物的種植面積是x公頃，B種農作物的種植面積是y公頃，根據題意得：
，
解得：
．
答：A種農作物的種植面積是3公頃，B種農作物的種植面積是4公頃．
設計意圖：在學習完知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力.
（七）小結梳理
（八）布置作業
1.必做題：習題10.3 第1，2，4題.
2.探究性作業：習題10.3 第8題.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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