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/ 讓教學(xué)更有效 高效備課 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
10.4三元一次方程組的解法 教學(xué)設(shè)計
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》七年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第十章“二元一次方程組”10.4三元一次方程組的解法，內(nèi)容包括：了解三元一次方程組的概念，會用消元法解簡單三元一次方程組，能運用三元一次方程組解決簡單實際問題．
2.內(nèi)容解析
本節(jié)是選學(xué)內(nèi)容，教材在已學(xué)二元一次方程組的基礎(chǔ)上，通過類比二元一次方程組及二元一次方程組的解的概念，給出三元一次方程組及其解的概念. 三元一次方程組的解法是在學(xué)生掌握了二元一次方程組的解法的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)的，通過三元一次方程組的解法，繼續(xù)讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中消元和化歸的思想，同時，進一步讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生進一步經(jīng)歷和體驗消元、轉(zhuǎn)化的思想方法，并對一次方程組及其解法有一個完整的認識.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：用代入消元法或加減消元法解三元一次方程組.
二、目標和目標解析
1.目標
（1） 了解三元一次方程組的概念，會用消元法解簡單三元一次方程組，能運用三元一次方程組解決簡單實際問題，進一步發(fā)展運算能力和應(yīng)用意識.
（2）進一步體會“消元”和“轉(zhuǎn)化”思想在解三元一次方程組中的作用，提高分析問題和解決問題的能力.
（3） 通過探索、嘗試、比較等活動去發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，激發(fā)求知欲望和學(xué)習(xí)興趣.
2.目標解析
（1）清晰認識三元一次方程組的概念. 理解其與二元一次方程組在未知數(shù)個數(shù)和方程結(jié)構(gòu)上的差異. 明確三元一次方程組的解是一組能同時使三個方程成立的有序?qū)崝?shù). 熟練掌握加減消元法和代入消元法. 通過兩次消元，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，接著求解二元一次方程組，整個過程注重培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)慕忸}邏輯和運算能力. 在三元一次方程組的實際應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并求解的能力.
（2）消元思想的核心是化歸，通過逐步減少未知數(shù)的個數(shù)，將復(fù)雜的三元一次方程組問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的二元一次方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解. 這種轉(zhuǎn)化過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解決問題的基本策略，讓學(xué)生學(xué)會將未知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜問題簡單化. 在實際解題中，引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的系數(shù)特征，合理選擇消元的順序和方法，以達到簡化計算，提升思維的靈活性和敏捷性的目的.
（3）通過三元一次方程組的學(xué)習(xí)，著重培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力. 運算能力上，要求學(xué)生精確運算，優(yōu)化算法以提升運算效率；模型思想上，引導(dǎo)學(xué)生從實際問題抽象建模并驗證求解，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度；邏輯推理上，借助演繹與歸納推理，訓(xùn)練學(xué)生有條理思考和總結(jié)規(guī)律的能力；創(chuàng)新意識上，鼓勵解法創(chuàng)新和問題拓展，激發(fā)學(xué)生的探索精神；應(yīng)用意識上，通過生活實際，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的實用價值，提升解決問題的實踐能力.
三、教學(xué)問題診斷分析
通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)會解一元一次方程和二元一次方程組，知道解二元一次方程組的基本思路是消元，能利用代入消元法和加減消元法將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，并能列二元一次方程組解決一些實際問題. 這些為學(xué)生學(xué)習(xí)三元一次方程組奠定了知識基礎(chǔ).
三元一次方程組的解法比二元一次方程組的解法計算量大，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中容易感到厭煩，可能不會完全積極投入到課堂的學(xué)習(xí)中.
七年級學(xué)生處于形象思維向抽象思維過渡的階段，具有較強的好奇心和求知欲，對于新的數(shù)學(xué)知識充滿興趣. 但同時，他們的注意力容易分散，需要教師通過生動有趣的教學(xué)方法來吸引他們的注意力；在這個階段，學(xué)生的邏輯思維能力逐漸增強，但還不夠成熟；他們能夠進行簡單的推理和分析，但對于復(fù)雜的問題可能會感到困難.
1. 由于本節(jié)內(nèi)容為選學(xué)內(nèi)容，因此對這部分內(nèi)容不作硬性要求，可以彈性處理. 對學(xué)習(xí)基礎(chǔ)比較好的學(xué)生，這一拓展要求是可以在教師的引導(dǎo)下實現(xiàn)的. 在教學(xué)時，注意控制題目的難度.
2. 由于三元一次方程組相關(guān)知識與二元一次方程組類似，所以可結(jié)合實例運用類比法學(xué)習(xí)三元一次方程組的有關(guān)概念，然后利用消元思想解三元一次方程組.
3. 盡管三元一次方程組與二元一次方程組的解法有許多類似之處，但三元一次方程組復(fù)雜得多，所以在教學(xué)的過程中，重點處理好與二元一次方程組解法中不同的環(huán)節(jié)，在比較的過程中學(xué)習(xí)新知識，使學(xué)生對消元思想有更深層次的認識.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：根據(jù)方程組的特點選擇最佳的消元方法.
四、教學(xué)過程設(shè)計
（一）復(fù)習(xí)引入
（二）合作探究
問題 在一次足球聯(lián)賽中，一支球隊共參加了22場比賽，積47分，且勝的場數(shù)比負的場數(shù)的4倍多2．按照足球聯(lián)賽的積分規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，那么這支球隊勝、平、負各多少場？
分析 設(shè)這個球隊勝、平、負的場數(shù)分別為x，y，z，根據(jù)題意，列得方程組
這個方程組含有三個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組．
探究 怎樣解這個三元一次方程組？
分析 把③分別代入①②并化簡，得到二元一次方程組
解這個二元一次方程組，可以求出y和z，進而可以求出x．
解：把③分別代入①②并化簡，得到二元一次方程組
⑤-④得： 7z=21
解得： z=3.
將z=3代入③中，得： x=14.
將z=3代入④中，得： y=5.
所以這個三元一次方程組的解為
.
追問 你還能用其他方法解這個三元一次方程組嗎？
（三）典例分析
例1 解三元一次方程組.
分析 方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一個只含x，z的方程，與方程①組成一個二元一次方程組．
解：②×3+③，得：11x+10z＝35． ④
①與④組成方程組：
解這個方程組，得：
把x＝5，z＝-2代入②，得
2×5+3y-2＝9，
y＝．
因此，這個方程組的解為
追問 你還有其他解法嗎？試一試，并與這種解法進行比較．
例2 在等式y(tǒng)＝ax2+bx+c中，當x＝-1時，y＝0；當x＝2時，y＝3；當x＝5時，y＝60.求a，b，c的值．
分析 把a，b，c看作三個未知數(shù)，分別把已知的x，y值代入原等式， 就可以得到一個三元一次方程組．
解：根據(jù)題意，列得三元一次方程組
②－①，得： a＋b＝1. ④
③－①，得： 4a＋b＝10. ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
解這個方程組，得
把a＝3，b＝-2代入①，得
c＝-5．
因此a，b，c的值分別為3，-2，-5．
例3 一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)的和為14，百位上的數(shù)的2倍減去十位上的數(shù)的差是個位上的數(shù)的．如果把這個三位數(shù)個位上的數(shù)與百位上的數(shù)交換位置，那么所得的新數(shù)比原數(shù)小99．求這個三位數(shù)．
分析 把這個三位數(shù)各位上的數(shù)看成三個未知數(shù)，則根據(jù)題目中的三個相等關(guān)系，可以列三元一次方程組．
解：設(shè)這個三位數(shù)百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個位上的數(shù)為z． 根據(jù)題意，列得三元一次方程組
解這個方程組，得
因此這個三位數(shù)是473．
（四）鞏固練習(xí)
1. 解下列三元一次方程組：
解：（1）由②得：y＝z+3． ④
把④代入①中，得：x-2z=-3. ⑤
③⑤組成方程組：
解這個方程組，得：
把z＝12.5代入④，得
y＝15.5．
因此，這個方程組的解為
.
解：（2）②×2-③得：5x+27z=34．④
①④組成方程組
解這個方程組，得：
把x=5，z＝代入③，得
y＝-2．
因此，這個方程組的解為
.
解：（3）①+②-③得：y＝1．
把y＝1代入①中，得：x=2.
把y＝1代入②中，得：z=3.
因此，這個方程組的解為：
.
追問 同學(xué)們還有其他解法嗎？
解：（4）①+②得：5x+2y＝16. ④
②+③得：3x+4y=18. ⑤
④⑤組成方程組：
解這個方程組，得：
.
把x=2，y=3代入③，得
z＝1．
因此，這個方程組的解為
.
2.甲、乙、丙三個數(shù)的和是35，甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5，乙數(shù)的等于丙數(shù)的. 求這三個數(shù)．
解：設(shè)甲、乙、丙三個數(shù)分別為x，y，z.根據(jù)題意，列得方程組
解得
答：甲、乙、丙三個數(shù)分別為10，15，10.
3.在等式z＝ax＋by＋c中，當x＝1，y＝2時，z＝8；當x＝2，y＝1時，z＝5；當x＝-1，y＝-1時，z＝4．求a，b，c的值．
解：根據(jù)題意，列得方程組
解得
答：a，b，c的值分別為-1，2，5.
設(shè)計意圖：學(xué)完新知識后及時進行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強化學(xué)生對新知的記憶，加深學(xué)生對新知的理解，還可以及時反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學(xué)策略.
歸納總結(jié)
（六）小結(jié)梳理
（七）布置作業(yè)
1.必做題：習(xí)題10.4 第1，3題.
2.探究性作業(yè)：習(xí)題10.4 第5題.
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