資源簡介

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10.3 實際問題與二元一次方程組（第3課時）（教學設計）
一、內容和內容解析
1.內容
本節課是人教版《義務教育教科書 數學》七年級下冊（以下統稱“教材”）第十章“二元一次方程組”10.3.3 實際問題與二元一次方程組(3)，內容包括：能夠根據題目較復雜的背景信息，列出二元一次方程組解決綜合性的實際問題；掌握構建二元一次方程組解決綜合性的實際問題的基本步驟．
2.內容解析
本節課設置了復雜的實際探究問題，讓學生在探究如何利用二元一次方程組解決實際問題的過程中，分析問題中的各種數量關系，找出其中的相等關系，引進適當的未知數，列出相應的方程組，檢驗方程組的解是否符合實際意義等，從而進一步提高分析問題和解決問題的能力. 本節課的探究三，問題情境的背景信息比較復雜，學生需要對問題背景，包含的等量關系和要求的量進行描述，通過間接設未知數，構建方程組從而解決問題.
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：能夠根據題目較復雜的背景信息，列出二元一次方程組解決綜合性的實際問題.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）能夠根據題目較復雜的背景信息，列出二元一次方程組解決綜合性的實際問題.
（2）掌握構建二元一次方程組解決綜合性的實際問題的基本步驟．
（3）通過探究實際問題，進一步體會方程組是刻畫現實世界數量關系的有效模型、發展模型觀念．
2.目標解析
（1）在紡織廠運輸問題中，學生需從繁雜的背景信息里梳理出關鍵元素. 同時，還需挖掘隱藏信息，如運輸貨物量與費用之間的關系. 這要求學生對費用、運輸量等數量關系有清晰理解，能從復雜背景中提取關鍵信息并轉化為數學表達. 解決綜合性實際問題的步驟：全面審題，合理設未知數，準確列方程組，正確解方程組，嚴謹檢驗，完整作答.
（2）從紡織廠復雜的運輸實際場景構建數學模型，學生要聚焦于運輸費用、運輸量、運輸方式等關鍵因素，將實際的運輸過程簡化為數學語言，用方程來描述它們之間的數量關系，理解數學模型是解決實際問題的有力工具. 通過解決本題，學生學會將構建的運輸費用數學模型應用到其他類似運輸情境中，并且在面對不同的運輸問題時，能夠根據具體情況對模型進行調整和優化，進一步提升學生的數學建模能力.
（3）面對復雜的運輸背景信息，學生要整合各種信息，將其抽象為數學模型中的各個要素. 如把不同運輸方式的費用、運輸量等信息整合起來，用方程組進行抽象表達，提升學生對多元信息的整合和抽象概括能力，進一步發展數學抽象的核心素養.
三、教學問題診斷分析
1.信息提取與整理困難：運輸問題背景復雜，學生難以從大量文字中精準提取關鍵信息. 如在探究三中，面對公路、鐵路運輸費用及可能存在的運輸量關系等信息，部分學生可能會遺漏重要數據，或者混淆不同運輸方式對應的費用和運輸量，導致后續設未知數和列方程受阻. 這反映出學生在面對復雜情境時，信息篩選和整理能力不足，缺乏系統分析問題的經驗.
2.方程組求解與結果應用失誤：當成功列出方程組后，學生在運用代入消元法或加減消元法求解時，容易出現運算錯誤. 特別是當方程中系數較為復雜，涉及分數、小數運算時，錯誤率會顯著增加. 這反映出學生對計算準確性和結果合理性的重視程度不夠.
3.單位換算概念模糊：運輸問題往往涉及多種單位，學生可能對不同單位之間的換算關系理解不清晰，導致計算出錯.
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：從實際情境中抽象出數學模型、準確找到等量關系列出二元一次方程組.
四、教學過程設計
（一）情景引入
視頻播放：五種交通運輸方式差異
（二）合作探究
探究3 如圖，絲路紡織廠與 A，B兩地由公路、鐵路相連．這家紡織廠從A地購進一批長絨棉運回工廠， 制成紡織面料運往B地．已知長絨棉的進價為3.08萬元/t， 紡織面料的出廠價為4.25萬元/t，公路運價為0.5元/(t·km) ，鐵路運價為0.2元/(t·km)，且這兩次運輸共支出公路運費5 200元，鐵路運費16 640．那么這批紡織面料的銷售額比原料費 （原料費只計長絨棉的價格）與運輸費的和多多少元？
分析 設購買x t長絨棉， 制成y t紡織面料．根據題中數量關系填表．
題目所求的是 42500y-(30800x+5200+16640) ，為此需先解出 x 與 y ． 由上表，列得方程組
解這個方程組，得
因此，這批紡織面料的銷售額比原料費與運輸費的和多 1 258 160 元．
（三）典例分析
例1 某運輸公司有大小兩種型號的貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5 t，5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨35 t．3輛大貨車與5輛小貨車一次可以運貨多少噸？
解：設1輛大貨車一次可以運貨x t，1輛小貨車一次可以運貨y t.根據題意，列得方程組
解得
所以3x+5y=24.5.
答：3輛大貨車與5輛小貨車一次可以運貨24.5噸.
例2 七年級的地質興趣小組到一座山頂進行田野調查．上山之前，20名成員各買了一張纜車票，共花費1180元．纜車票價如右表所示，他們購買了往返票和單程票各多少張？
解：設他們購買的往返票和單程票分別為x張，y張.根據題意，列得方程組
解得
答：他們購買的往返票和單程票分別為8張，12張.
例3 甲地到乙地由一段上坡路與一段平路組成，一位自行車越野賽運動員在兩地之間進行騎行訓練．如果他保持上坡的速度為30 km/h，平路的速度為40 km/h，下坡的速度為50 km/h，那么他從甲地騎到乙地需54 min，從乙地騎到甲地需42 min. 甲地到乙地全程是多少千米？
解：設甲地到乙地上坡路為x km，平路為y km，則乙地到甲地下坡路為x km，平路為y km.根據題意，列得方程組
解得
所以x+y=31.
答：甲地到乙地全程是31千米.
設計意圖：不同類型的實際問題能促使學生從多元角度思考，鍛煉邏輯思維，全面提升思維的靈活性與敏捷性.
（四）鞏固練習
1. 甲乙兩人在相距18千米的兩地，若同時出發相向而行，經2小時相遇；若同向而行，且甲比乙先出發1小時，那么在乙出發后經4小時甲追上乙，求甲、乙兩人的速度．設甲的速度為x千米/小時，乙的速度為y千米/小時，則可列方程組為（A）
A． B．
C． D．
2. 某中學七年級（1）班去體育用品商店買一些籃球和排球，供班上同學進行體育鍛煉時使用，共買了2個籃球和6個排球，花570元，并且每個排球比籃球便宜25元．求籃球和排球的單價各是多少；
解：設籃球單價為每個x元，排球單價為每個y元，由題意可得
，
解方程組得
，
答：籃球每個90元，排球每個65元.
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略.
歸納總結
感受中考
1.（2024 山西）當下電子產品更新換代速度加快，廢舊智能手機數量不斷增加．科學處理廢舊智能手機，既可減少環境污染，還可回收其中的可利用資源．據研究，從每噸廢舊智能手機中能提煉出的白銀比黃金多760克．已知從2.5噸廢舊智能手機中提煉出的黃金，與從0.6噸廢舊智能手機中提煉出的白銀克數相等．求從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金與白銀各多少克．
解：設從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金x克，白銀y克，根據題意得：
，
解得：
，
答：從每噸廢舊智能手機中能提煉出黃金240克，白銀1000克．
2.（2022 安徽）某地區2020年進出口總額為520億元，2021年進出口總額比2020年有所增加，其中進口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進出口總額＝進口額+出口額．
（1）設2020年進口額為x億元，出口額為y億元，請用含x，y的代數式填表：
年份 進口額/億元 出口額/億元 進出口總額/億元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y 1.25x+1.3y　
（2）已知2021年進出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進口額和出口額分別是多少億元？
解：（1）由表格可得，2021年進出口總額為：1.25x+1.3y，
（2）由題意可得，
，
解得
，
∴1.25x＝400，1.3y＝260，
答：2021年進口額是400億元，出口額是260億元．
設計意圖：在學習完知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力.
（七）小結梳理
（八）布置作業
1.必做題：習題10.3 第7題.
2.探究性作業：本章數學活動2 輪胎換位問題.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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