資源簡介

/ 讓教學(xué)更有效 高效備課 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
10.3 實(shí)際問題與二元一次方程組（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1.內(nèi)容
本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第十章“二元一次方程組”10.3.2 實(shí)際問題與二元一次方程組(2)，內(nèi)容包括：能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系或圖表信息，列出二元一次方程組解決較復(fù)雜的實(shí)際問題；掌握構(gòu)建二元一次方程組解決較復(fù)雜的實(shí)際問題的基本步驟．
2.內(nèi)容解析
本節(jié)課設(shè)置了較復(fù)雜的實(shí)際探究問題，讓學(xué)生在探究如何利用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程中，分析問題中的各種數(shù)量關(guān)系，找出其中的相等關(guān)系，引進(jìn)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，列出相應(yīng)的方程組，檢驗(yàn)方程組的解是否符合實(shí)際意義等，從而進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的能力. 本節(jié)課的探究二，是一個(gè)開放性的問題，存在多種解決方法.通過解答這個(gè)問題，學(xué)生可以體驗(yàn)到同一個(gè)題目有多個(gè)解的情況，學(xué)會(huì)從不同的角度思考問題.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系或圖表信息，列出二元一次方程組解決較復(fù)雜的實(shí)際問題.
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.目標(biāo)
（1）能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系或圖表信息，列出二元一次方程組解決較復(fù)雜的實(shí)際問題.
（2）掌握構(gòu)建二元一次方程組解決較復(fù)雜的實(shí)際問題的基本步驟．
（3）通過探究實(shí)際問題，進(jìn)一步體會(huì)方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型、發(fā)展模型觀念．
2.目標(biāo)解析
（1）面對(duì)較復(fù)雜的實(shí)際問題，如劃分面積問題中，學(xué)生需要分析不同劃分方式下各部分面積與總面積的關(guān)系. 這要求學(xué)生能從復(fù)雜情境中梳理出多個(gè)數(shù)量間的關(guān)系，準(zhǔn)確設(shè)未知數(shù)并列出方程組. 當(dāng)題目以圖表形式呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)生要能從圖表中讀取關(guān)鍵數(shù)據(jù)，通過對(duì)圖表信息的提取和分析，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，解決實(shí)際問題.
（2）在劃分面積問題中，學(xué)生要將實(shí)際的場地劃分簡化為數(shù)學(xué)模型，忽略場地的地理位置、周邊環(huán)境等無關(guān)因素，只關(guān)注形狀、面積等數(shù)學(xué)要素，體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型對(duì)現(xiàn)實(shí)復(fù)雜問題的近似刻畫. 在較復(fù)雜的問題中，學(xué)生要深入挖掘潛在的等量關(guān)系，將這些等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，運(yùn)用方程思想解決問題.
（3）在劃分面積問題中，學(xué)生要從實(shí)際的場地劃分場景中，抽象出形狀、面積等數(shù)學(xué)概念，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示各區(qū)域的邊長、面積等，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際情境中提煉數(shù)學(xué)問題的能力. 面對(duì)復(fù)雜問題中的多種信息，學(xué)生要能整合這些信息，將其抽象為數(shù)學(xué)模型中的各個(gè)要素，提升信息整合和抽象概括能力. 在劃分面積的開放性問題中，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考劃分方式，探索多種解決問題的方法. 如嘗試不同的形狀劃分、不同的邊長比例設(shè)置等，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，打破思維定式.
三、教學(xué)問題診斷分析
1.復(fù)雜數(shù)量關(guān)系梳理困難：在劃分面積問題中，由于學(xué)生缺乏對(duì)復(fù)雜情境下數(shù)量關(guān)系的分析經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致它們面對(duì)多種劃分方式時(shí)，難以梳理清楚各部分面積間復(fù)雜的幾何關(guān)系.
2.圖表信息提取偏差：當(dāng)從圖表中提取信息列方程時(shí)，部分學(xué)生不能準(zhǔn)確解讀圖表數(shù)據(jù)，或者無法從圖表中看出隱藏的信息，反映出學(xué)生對(duì)圖表信息的理解和轉(zhuǎn)化能力不足.
3.方程求解及應(yīng)用錯(cuò)誤：即便成功列出方程，在求解復(fù)雜方程組時(shí)，學(xué)生容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，特別是當(dāng)方程中系數(shù)復(fù)雜或涉及分?jǐn)?shù)、小數(shù)運(yùn)算時(shí). 這說明學(xué)生對(duì)計(jì)算的準(zhǔn)確性和結(jié)果的合理性缺乏足夠重視和檢驗(yàn)?zāi)芰?
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型、準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列出二元一次方程組.
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）復(fù)習(xí)引入
問題 說一說用二元一次方程組解決簡單實(shí)際問題的步驟.
（二）合作探究
探究2 據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2．現(xiàn)要把一塊長200 m、寬100 m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4
分析 劃分方案1：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長方形AEFD和長方形EBCF.此時(shí)設(shè)AE＝x m，EB＝y(tǒng) m，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量分別為a、2a.
解：設(shè)AE＝x m，EB＝y(tǒng) m．根據(jù)問題中
涉及長度、產(chǎn)量的相等關(guān)系，列得方程組
解這個(gè)方程組，得
．
過長方形土地的長邊上離一端 120 m 處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種植 甲 種作物，較小一塊土地種植 乙 種作物．
（三）典例分析
例1 對(duì)于探究2中的問題，如果按照如圖的方式劃分土地，分別在長方形DMNC和MABN土地中種植甲、乙兩種作物，那么AM的長度是多少？
分析 劃分方案2：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長方形DMNC和長方形MABN.此時(shí)設(shè)AM＝x m，MD＝y(tǒng) m，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量分別為a、2a.
解：設(shè)AM＝x m，MD＝y(tǒng) m．根據(jù)題意，列得方程組
解這個(gè)方程組，得
．
答：AM的長度是40 m．
例2 如圖，3×3的格子內(nèi)填寫了一些數(shù)和代數(shù)式．為了使格子的各行、各列及對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和均相等，x，y各應(yīng)取什么值？
解：根據(jù)題意，列得方程組
解得
答：x的值為-1，y的值為1.
例3 某地為打造運(yùn)河風(fēng)光帶，雇用A，B兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一段長為180 m的河道的清理任務(wù)．已知A工程隊(duì)每天清理12 m，B工程隊(duì)每天清理8 m，兩個(gè)工程隊(duì)工作天數(shù)之和為20天，A，B工程隊(duì)分別清理了多長的河道？
解：設(shè)A工程隊(duì)清理x m河道，B工程隊(duì)清理y m河道.根據(jù)題意，列得方程組
解得
答：A工程隊(duì)清理60 m河道，B工程隊(duì)清理120 m河道.
設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置開放性的問題，能極大地激發(fā)學(xué)生的思維活力.從知識(shí)掌握角度，學(xué)生能通過不同劃分方式，深化對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，將抽象知識(shí)具象化.在思維拓展上，能促使學(xué)生突破常規(guī)，學(xué)會(huì)從多元視角分析，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.同時(shí)，在探討多種解法時(shí)，還能提升學(xué)生的合作交流能力，使其在交流碰撞中完善思路，對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用達(dá)到新高度.
（四）鞏固練習(xí)
1. 如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個(gè)大長方形，大長方形的寬為60cm，每塊小長方形地磚的長和寬分別是多少？如果設(shè)每塊小長方形地磚的長和寬分別是x cm和y cm，則下列哪個(gè)方程組是錯(cuò)誤的？（D）
A． B．
C． D．
2. 如圖，ABCD為一長條形紙帶，AB∥CD，將ABCD沿EF折疊，A，D兩點(diǎn)分別與A′，D′對(duì)應(yīng)，若，設(shè)∠CFD′＝x°，∠CFE＝y(tǒng)°，根據(jù)題意可得（D）
A． B．
C． D．
3.為打造集休閑娛樂、健身運(yùn)動(dòng)、觀光旅游、體驗(yàn)自然等于一體的多功能活動(dòng)區(qū)域．深圳灣公園海濱步道現(xiàn)有一段長350米的河邊道路需整治，任務(wù)由A，B兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成，A工程隊(duì)每天整治15米，B工程隊(duì)每天整治10米，共用時(shí)30天．
根據(jù)題意，甲、乙兩位同學(xué)分別列出了如下不完整的方程組：
甲： 乙：
從甲、乙兩位同學(xué)所列方程組中任選一組，補(bǔ)全以下解題過程，并利用此方程組求出A，B兩個(gè)工程隊(duì)分別整治河邊道路多少米．
解：選擇的方程組為 　 　．（填“甲”或“乙”）
設(shè)x為 　 　．y為 　 　．
解：若選擇的方程組為甲，
則x為A工程隊(duì)工作的天數(shù)，y為B工程隊(duì)工作的天數(shù)；
若選擇的方程組為乙，
則x為A工程隊(duì)整治的河道長度，y為B工程隊(duì)整治的河道長度．
故答案為：甲，A工程隊(duì)工作的天數(shù)，B工程隊(duì)工作的天數(shù)；（或乙，A工程隊(duì)整治的河道長度，B工程隊(duì)整治的河道長度）．
若補(bǔ)全甲的方程組：，
解此方程組得，
∴15x＝150，10y＝200，
答：A，B兩個(gè)工程隊(duì)分別整治河邊道路150米和200米．
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略.
歸納總結(jié)
感受中考
1.（2023 西藏）列方程（組）解應(yīng)用題
如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．
（1）求一塊長方形墻磚的長和寬；
（2）求電視背景墻的面積．
解：（1）設(shè)一塊長方形墻磚的長為x m，寬為y m．
依題意得：，解得：，
答：一塊長方形墻磚的長為1.2 m，寬為0.3 m．
（2）求電視背景墻的面積為：2×1.2×1.5＝3.6（m2）．
答：電視背景墻的面積為3.6m2．
2.（2024 河南）為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號(hào)召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動(dòng)，并準(zhǔn)備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為50g，營養(yǎng)成分表如下．
若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？
解：設(shè)選用A種食品x包，B種食品y包，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：應(yīng)選用A種食品4包，B種食品2包.
3.（2023 寧波）茶葉作為浙江省農(nóng)業(yè)十大主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)之一，是助力鄉(xiāng)村振興的民生產(chǎn)業(yè)．某村有土地60公頃，計(jì)劃將其中10%的土地種植蔬菜，其余的土地開辟為茶園和種植糧食，已知茶園的面積比種糧食面積的2倍少3公頃，問茶園和種糧食的面積各多少公頃？設(shè)茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，可列方程組為（B）
A． B．
C． D．
設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力.
（七）小結(jié)梳理
（八）布置作業(yè)
1.必做題：習(xí)題10.3 第5、6題.
2.探究性作業(yè)：習(xí)題10.3 第9題.
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