資源簡介

八 年級(jí) 數(shù)學(xué) 教案
課 題 1.4角平分線的性質(zhì) 課 型 新授課
課 時(shí) 第二課時(shí) 設(shè)計(jì)者 年 級(jí) 八年級(jí)
教 學(xué) 目 標(biāo) 1.加深對(duì)角平分線的性質(zhì)定理及逆定理的理解，應(yīng)用角平分線的兩個(gè)性質(zhì)解決一些實(shí)際問題. 2.在運(yùn)用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的過程中，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力. 3.培養(yǎng)學(xué)生良好的探究意識(shí)，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).
教學(xué)重點(diǎn) 角平分線的性質(zhì)及其應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 靈活應(yīng)用兩個(gè)性質(zhì)解決問題
教具準(zhǔn)備 課件，直尺.
教學(xué)方法 講授法、探究法、練習(xí)法相結(jié)合。通過講授讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，通過探究活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高解題能力.
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
情境導(dǎo)入 展示問題：S 區(qū)有一個(gè)貿(mào)易市場，在公路與鐵路所成角的平分線上有一點(diǎn) P，要從 P 點(diǎn)建兩條路，一條到公路上，一條到鐵路上。（1）怎樣修建路最短？（2）這兩條路修好后，有什么關(guān)系？ 引導(dǎo)思考：引導(dǎo)學(xué)生回顧角平分線的性質(zhì)，思考如何利用該性質(zhì)解決問題，引出本節(jié)課的主題 — 角平分線的綜合應(yīng)用。 探究新知 1.探究角平分線的綜合應(yīng)用 展示題目：在相關(guān)圖形條件下（具體見 PPT），提問可以添加什么條件使 CM 是∠ACD 的平分線，AM 是∠CAB 的平分線。 學(xué)生思考：讓學(xué)生自主思考，嘗試找出答案。 講解思路：解：可以添加條件 MN = ME（或 MN = MF）。因?yàn)?ME⊥CD，MN⊥CA，所以 M 在∠ACD 的平分線上，即 CM 是∠ACD 的平分線。同理可得 AM 是∠CAB 的平分線。通過這一問題，加深學(xué)生對(duì)角平分線判定的理解。 2.探究三角形三條角平分線交點(diǎn)的性質(zhì) 活動(dòng) 1：讓學(xué)生分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，觀察發(fā)現(xiàn)三條角平分線的交點(diǎn)情況。 活動(dòng) 2：分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺測量每組垂線段的長度，觀察并討論發(fā)現(xiàn)了什么。 證明結(jié)論：在△ABC 中找到一點(diǎn) P，使其到三邊的距離相等。 證明過程：過點(diǎn) P 作 PD⊥AB 于 D，PE⊥BC 于 E，PF⊥AC 于 F。因?yàn)?BM 是∠ABC 的角平分線，點(diǎn) P 在 BM 上，所以 PD = PE。同理可證 PD = PF，所以 PD = PE = PF，即點(diǎn) P 到三邊 AB、BC、CA 的距離相等。 得出結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等。 符號(hào)語言表述：在△ABC 中，若 AD、BE、CF 分別是∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分線，且 AD、BE、CF 相交于點(diǎn) P，則 PD = PE = PF（PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC）。 三、例題解析 展示例題：如圖 1 - 30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分線上任取一點(diǎn) P，作 PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分別為點(diǎn) E，F(xiàn)。試探索 BE + PF 與 PB 的大小關(guān)系。 分析思路：引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用角平分線的性質(zhì)將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形或利用三角形三邊關(guān)系來解決問題。 解答過程：（詳細(xì)解答過程根據(jù)具體解題思路逐步呈現(xiàn)，此處假設(shè)通過在 AB 上截取 AG = AF，連接 PG，證明相關(guān)三角形全等后得到結(jié)論）因?yàn)?AP 是∠DAC 的平分線，PF⊥AC，PE⊥DB，所以 PE = PF。在△PBG 中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，BG + PG > PB，通過全等證明可得 BG = BE，PG = PF，所以 BE + PF > PB 。 課堂小結(jié) 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 五、課堂練習(xí) 練習(xí) 1：如圖，E 是∠AOB 的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA 于點(diǎn) C，ED⊥OB 于點(diǎn) D。求證：（1）∠ECD = ∠EDC；（2）OC = OD 解答提示：（1）利用角平分線性質(zhì)得到 EC = ED，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明∠ECD = ∠EDC；（2）在 Rt△ECO 和 Rt△EDO 中，利用 HL 定理證明全等，從而得出 OC = OD 練習(xí) 2：如圖，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分別平分∠BAD，∠ABE，點(diǎn) C 在線段 DE 上。求證：AB = AD + BE 解答提示：過點(diǎn) C 作 CF⊥AB 于點(diǎn) F，利用角平分線性質(zhì)得到 CF = CD，CF = CE，再通過證明 Rt△CFA≌Rt△CDA 和 Rt△CFB≌Rt△CEB，得出 AF = AD，F(xiàn)B = BE，進(jìn)而證明 AB = AD + BE。 練習(xí) 3：如圖，已知 BD 平分∠ABC，BA = BC，點(diǎn) P 在 BD 上，作 PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為點(diǎn) M，N。求證：PM = PN 解答提示：先利用 SAS 證明△ABD≌△CBD，得出∠ADB = ∠CDB，即 DP 為∠ADC 的平分線，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得出 PM = PN
板書設(shè)計(jì) 1.4角平分線的性質(zhì) 第二課時(shí) 三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等
教學(xué)后記：

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