資源簡介

《鴿巢問題（3）》教學設計
一、教學目標
學生能理解并掌握 “鴿巢問題” 的基本原理，能運用該原理解決實際生活中簡單的 “抽屜原理” 問題，如判斷物體顏色、生日分布等情況。
通過觀察、猜測、實驗、推理等活動，經歷 “鴿巢問題” 的探究過程，提高學生的邏輯思維能力和推理能力，培養學生的建模思想。
讓學生感受數學與生活的緊密聯系，體會數學的趣味性和實用性，激發學生學習數學的興趣，培養學生勇于探索和創新的精神 。
二、教學重難點
重點：理解和掌握 “鴿巢問題” 的原理，能運用 “鴿巢問題” 的原理解決實際問題。
難點：能準確地找出 “鴿巢問題” 中的 “鴿巢” 和 “鴿子”，并能靈活運用原理進行推理和計算。
三、教學方法
講授法、討論法、實踐法
四、教學過程
（一）趣味情境導入
教師講述：
“同學們，今天我們來解決一個有趣的生活問題。一天晚上，小紅正要從放襪子的抽屜里取襪子，突然燈熄了。她知道抽屜里放有白色與黃色的襪子各 6 只。現在請大家思考一下，小紅至少要摸出多少只襪子，才能保證拿出一雙相同顏色的襪子呢？” 引導學生獨立思考，并讓學生簡單說一說自己的想法。
引出課題：這其實是一類有趣的數學問題，和我們之前學過的 “鴿巢問題” 密切相關，今天我們就繼續來學習 “鴿巢問題（3）”，進一步探究這類問題的奧秘 。
（二）探索核心問題
提出問題：教師在黑板上寫下問題：
“盒子里有同樣大小的紅球和藍球各 4 個，要想摸出的球一定有 2 個同色的，至少要摸出幾個球？”
學生猜測：讓學生大膽猜測答案，并記錄下不同的猜測結果。有的學生可能認為摸 2 個球就行，有的學生可能認為要摸 3 個球，還有的學生可能認為要摸更多的球。
分析驗證
分析摸 2 個球的情況：
教師引導學生思考，如果只摸 2 個球，會出現哪些情況呢？通過列舉，學生會發現可能出現一個紅球和一個藍球的情況，所以只摸 2 個球不能保證是同色的。
分析摸 5 個球的情況：
教師接著引導學生思考摸 5 個球的情況，讓學生在紙上畫一畫或者在腦海中想象摸球的過程。學生會發現，摸出 5 個球時，不管怎么摸，肯定有 3 個球是同色的，但這不是最少的情況。
分析摸 3 個球的情況：
最后分析摸 3 個球的情況，讓學生實際動手模擬摸球過程（可以用不同顏色的卡片代替球）。學生通過實踐會發現，摸出 3 個球時，能保證有 2 個同色的球。
總結規律：教師引導學生回顧整個分析過程，總結出規律：只要摸出的球數比它們的顏色種數多 1，就能保證至少有兩個球同色。讓學生理解這個規律背后的邏輯，即當摸出的球數超過顏色種類時，必然會出現至少兩個球顏色相同的情況。
（三）知識應用遷移
解決襪子問題：引導學生用剛剛總結出的規律來解決前面提到的小紅摸襪子的問題。讓學生思考，這里的 “顏色種數” 和 “球數” 分別對應什么。學生很快就能發現，襪子有白色和黃色兩種顏色，相當于顏色種數是 2，根據規律，至少要摸出 2+1=3 只襪子，就能保證拿出一雙相同顏色的襪子。
嘗試新問題：教師在黑板上寫下新問題：“盒子里有同樣大小的紅、黃、藍球各 5 個，要想摸出的球一定有 2 個同色的，至少要摸出幾個球？” 讓學生獨立思考并解答。學生根據規律，很快就能算出 3+1=4，即至少要摸出 4 個球。請幾位學生站起來分享自己的思考過程，強化對規律的理解和應用。
（四）生活實例拓展
生日問題
教師提出問題：“向東小學六年級共有 367 名學生，其中六（2）班有 37 名學生。有人說六年級至少有 2 個人在同一天過生日，六（2）班至少有 4 個人在同一個月過生日。他說得對嗎？為什么？”
引導學生分析：一年最多有 365 天（閏年 366 天），可以把 365 天看作 365 個 “抽屜”，367 名學生看作 367 個 “物體”。用 367÷365=1……2，這意味著平均每天有 1 名學生過生日的話，還余 2 名學生，所以至少有 1+1=2 個人在同一天過生日。同理，一年有 12 個月，把 12 個月看作 12 個 “抽屜”，37 名學生看作 37 個 “物體”，37÷12=3……1，所以至少有 3+1=4 個人在同一個月過生日。
總結：讓學生明白，這也是 “鴿巢問題” 在生活中的實際應用，通過將實際問題轉化為數學模型來解決問題。
取球問題：
教師提出問題：“把紅、黃、藍、白 4 種顏色的球各 10 個放到 1 個袋子里。至少取多少個球，可以保證取到兩個顏色相同的球？” 學生根據前面總結的規律，能很快算出 4+1=5 個，教師請學生解釋計算的依據，加深對原理的理解。
（五）深化知識練習
筷子問題
教師提出問題：“把紅、藍、黃 3 種顏色的筷子各 3 根混在一起。如果讓你閉上眼睛，從中最少拿出幾根才能保證一定有 2 根同色的筷子？如果要保證有 2 雙不同色的筷子（指一雙筷子為其中一種顏色，另一雙筷子為另一種顏色）呢？”
解決第一問：引導學生思考，顏色種數是 3，根據規律，最少拿出 3+1=4 根就能保證一定有 2 根同色的筷子。
解決第二問：對于保證有 2 雙不同色的筷子的情況，教師引導學生進行推理。先假設最不利的情況，即先把一種顏色的 3 根筷子全部拿出，然后再拿 2 根筷子，這 2 根筷子可能是另外兩種顏色各 1 根，此時再拿 1 根筷子，無論這根筷子是什么顏色，都能保證有 2 雙不同色的筷子，所以一共需要 3+2+1=6 根。
自然數問題
教師提出問題：“任意給出 3 個不同的自然數，其中一定有 2 個數的和是偶數，請說明理由。”
引導學生分析：讓學生回顧自然數的分類，自然數只有偶數和奇數。然后引導學生分情況討論：情況一，1 個奇數 2 個偶數，因為偶數 + 偶數 = 偶數；情況二，2 個奇數 1 個偶數，因為奇數 + 奇數 = 偶數；情況三，3 個奇數，奇數 + 奇數 = 偶數；情況四，3 個偶數，偶數 + 偶數 = 偶數。所以任意給出 3 個不同的自然數，其中一定有 2 個數的和是偶數。
總結：通過這個問題，讓學生進一步體會邏輯推理在解決數學問題中的重要性，同時也加深對 “鴿巢問題” 原理的理解。
（六）鞏固知識練習
選擇題練習
教師在黑板上寫下題目：“（1）有 9 個山地自行車代表隊參加比賽，每個代表隊有 6 人，至少抽（ ）人，才能保證有 2 人來自同一代表隊。A.7 B.10 C.19” 引導學生分析，把 9 個代表隊看作 9 個 “抽屜”，要保證有 2 人來自同一代表隊，最不利的情況是先從每個代表隊抽 1 人，共抽 9 人，再抽 1 人，無論這個人來自哪個代表隊，都能保證有 2 人來自同一代表隊，所以 9+1=10 人，答案選 B。
接著寫下第二題：“（2）有紅、黃、藍三色珠子各 8 個，要保證拿出的珠子有 5 個顏色相同，至少要拿出（ ）個珠子。A.9 B.13 C.16” 引導學生思考，最不利的情況是每種顏色都拿出 4 個，共拿出 4×3=12 個，再拿 1 個珠子，無論這個珠子是什么顏色，都能保證有 5 個顏色相同，所以 12+1=13 個，答案選 B。
手套問題練習
教師提出問題：“箱子里有黑、白兩種顏色的手套各 16 只。（同色的可以配 1 雙手套）
至少摸出多少只，可以配 1 雙手套？
至少摸出多少只，可以配 2 雙手套？
至少摸出多少只，一定有一雙黑色手套？”
解決第一問：引導學生根據前面總結的規律，顏色種數是 2，所以 2+1=3 只，至少摸出 3 只可以配 1 雙手套。
解決第二問：對于配 2 雙手套的情況，最不利的情況是先摸出 3 只配成 1 雙，然后再摸 1 只，這只手套可能和已有的 1 雙同色，再摸 1 只，無論這只手套是什么顏色，都能再配成 1 雙，所以 3+1+1=5 只，至少摸出 5 只可以配 2 雙手套。
解決第三問：對于一定有一雙黑色手套的情況，最不利的情況是先把 16 只白色手套全部摸出，再摸 2 只手套，就一定能保證有一雙黑色手套，所以 16+2=18 只，至少摸出 18 只一定有一雙黑色手套。
（七）課堂總結歸納
學生分享收獲：教師引導學生回顧本節課的學習內容，讓學生說一說自己在本節課中的收獲。學生可能會說學會了用 “鴿巢問題” 的原理解決生活中的問題，理解了摸球、生日、取物等問題背后的數學邏輯，還學會了通過假設最不利的情況來思考問題等。
教師總結強調：教師對學生的分享進行總結和補充，再次強調 “鴿巢問題” 的核心原理，即只要物體數比抽屜數多 1，就能保證至少有一個抽屜里有 2 個或更多的物體。同時，提醒學生在解決實際問題時，要準確找出 “抽屜” 和 “物體”，并注意運用最不利原則進行分析。鼓勵學生在今后的生活中，多觀察、多思考，發現更多可以用 “鴿巢問題” 解決的實際問題。
五、教學反思
在本節課的教學中，通過生活中的實際問題導入，激發了學生的學習興趣，讓學生感受到數學與生活的緊密聯系。在探究過程中，引導學生通過猜測、分析、驗證等活動，自主總結出 “鴿巢問題” 的規律，培養了學生的邏輯思維能力和推理能力。在練習環節，通過多樣化的題目，讓學生進一步鞏固了所學知識，提高了學生運用知識解決實際問題的能力。但在教學過程中，部分學生在理解較復雜的 “鴿巢問題” 時仍存在困難，在今后的教學中，應加強對這部分學生的輔導，設計更多有針對性的練習，幫助學生更好地掌握 “鴿巢問題”。

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