資源簡介

平行四邊形/判定
教學目標
1．掌握平行四邊形的判定定理及應用．
2．會綜合運用平行四邊形的判定定理和性質定理來解決問題．
3．會根據條件來畫出平行四邊形．
4．培養用類比、逆向聯想及運動的思維方法來研究問題．
教學重點和難點
重點是平行四邊形的判定定理及應用；
難點是平行四邊形的判定定理與性質定理的靈活應用．
教學過程設計
一、用類比、逆向思維的方式探索平行四邊形的判定方法
1．復習平行四邊形的主要性質，
角：（c）兩組對角相等．（性質3）（等價命題：兩組鄰角互補）
對角線：（d）對角線互相平分．（性質4）
2．逆向思維：怎樣判定一個四邊形是平行四邊形？
（1）學生容易由定義得出：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（判定方法一）．也就是說，定義既是平行四邊形的一個性質，又是它的一個判定方法．
（2）觀察判定方法一與性質1的關系，尋找逆命題的特征：
①由兩個獨立條件和一個結論組成；
②兩個獨立條件屬于同類條件（即都分別屬于：（a）對邊的位置關系，（b）對邊的數量關系，（c）對角的數量關系或（d）對角線關系的條件，簡稱為同類條件）；
③逆命題正確．
（3）類比聯想，猜想其他性質的逆命題也能判定平行四邊形，構造逆命題如下：
①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（猜想1）；
②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（猜想2）；
③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（猜想3）．
（4）證明猜想，得到平行四邊形的判定定理1，2，3．
教師引導學生根據平行四邊形的定義以及平行線的性質、三角形全等的知識對以上猜想
進行證明．
注意利用新證定理簡化后來讀定理的證明過程及選擇簡捷方法．
3．進一步探求用兩個獨立的非同類條件判定平行四邊形的方法．（這部分內容的設計意
圖和處理方法詳見設計說明部分）
（1）教師解釋“兩個獨立的非同類條件”的含義，指從平行四邊形四方面的性質（a），（b），(c）和（d）中各選取一個條件組合作為判定方法的題設部分，如一組對邊平行((a）對邊的位置關系）與一組對邊相等((b）對邊的數量關系）．
（2）根據學生實際，讓學生利用上述方法得出有關平行四邊形判定方法的部分常用（或全部）猜想．（教師也可用判斷題的形式讓學生思考，從而降低難度）
猜想一：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
猜想二：一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形．
猜想三：一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形．
猜想四：一組對邊平行且一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形．（其他猜想見設計說明中的補充內容）
（3）證明猜想成立或舉例說明某猜想不成立．
以上猜想中正確的是猜想一和四，猜想二和三的反例圖形分別見圖
4-21（a），（b）．
如圖4－21（a），在四邊形ABCD中， AD //BC， AB＝DC，但四邊形ABCD不是平行四邊形；在圖4-21（b）中， AB＝AC＝DE，∠B=∠C＝∠D，但四邊形 ABED不是平行四邊形．
（4）將正確的命題中作用較大的猜想一作為判定定理4使用，其余的命題讓學生熟悉結論和研究方法．
（5）總結。平行四邊形共有五種判定方法，根據題目條件從中靈活選用方法來解決問題．
二、判定定理的鞏固練習
1．利用平行四邊形的判定定理及性質定理進行證明．
例1已知：如圖 4－22，E和F是ABCD對角錢AC上兩點，AE＝CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
分析：可使用五種判定方法來證明這個結論，其中“添加對角線構造使用判定定理3的條件”的證明方法最為簡捷．
說明：引導學生從條件、結論兩方面對題目進行再思考．
（1）在此基礎上，還可證出什么結論？用到什么方法？如還可證BEDF,DEBF, ∠BED=∠BFD等.總結方法：利用平行四邊形的性質——判定——性質可解決較復雜的幾何題目.
（2）根據運動、類比、特殊化的思維方法，猜想對此題可作怎樣的推廣？
類比例1條件，利用運動變化的觀點，讓E和F在對角線AC上運動到一些特殊位置，猜想還可得出同樣結論如圖4-23，但其中的猜想無法證明．
缺圖4-23
猜想一如圖 4-23（a），在ABCD中， E，F為AC上兩點，∠ABE＝∠CDF．求證：四邊形BEDF為平行四邊形．
猜想二如圖4－23（b），在ABCD中，E，F為AC上兩點，BE//DF．求證：四邊形BEDF為平行四邊形．
猜想三如圖 4-23（c），在ABCD中， E，F為AC上兩點， BE＝DF．求證：四邊形 BEDF為平行四邊形．
猜想四如圖4－23（d），在ABCD中，E,F分別是AC上兩點，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求證:四邊形BEDF為平行四邊形
例2已知：如圖 4－24（a），在ABCD中，E，F分別是邊AD，BC的中點．求證：EB=DF．
說明：
（1）分析證明思路，所要證明的兩條線段恰為四邊形EBFD的一組對邊，由圖中它們所在的位置來看，可首先判定四邊形BEDF為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質來解決．培養學生思維的層次：使用已知平行四邊形的性質——判定新平行四邊形——使用新平行四邊形的性質得出結論．
（2）引導學生適當改變題目的條件、結論，對命題加以引伸和推廣．
推廣一（對結論引伸）已知：如圖4-42（b），在ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，
BE交AF于G，EC交DF于H．求證：
（1）四邊形EGFH為平行四邊形；
（2）四邊形EGHD為平行四邊形．
思考：怎樣用運動、類比及特殊到一般的方法來改變命題的條件，將命題加以推廣？
推廣二已知：如圖 4-24（c），在ABCD中，E， F為AD，BC上兩點，AE＝CF．求證：EB＝DF．
推廣三已知：如圖 4-24（ d），在ABCD中， E， F為 AD，BC上兩點，∠ABE＝∠ CDF．
求證：EB＝ DF．
推廣四已知：如圖4-24（e），在ABCD中，E，F分別為AD，BC上兩點，BE和DF分
別平分∠ABC和∠ADC．求證:EB＝ DF．
推廣五已知：如圖4-24（f），在ABCD中，E，F分別為AD，BC上兩點，AE⊥BC于
E， CF⊥AD于F．求證：BE＝DF．
2．畫出符合條件的平行四邊形．
例 3畫ABCD，使∠B＝45°， AB＝2cm， BC＝3cm．
分析：
（1）畫平行四邊形的關鍵是先由條件確定平行四邊形中三個頂點所組成的三角形，例如，此題可根據“兩鄰邊及一夾角”先確定△ABC．
（2）可根據平行四邊形的五種判定方法來確定平行四邊形的第四個頂點．但其中根據判定定理1作圖較為復雜，一般不常用．
讓學生畫圖，并寫出畫法．
練習課本第140頁第1，2題，第142頁第1，2，3題．
四、師生共同歸納小結
1．平行四邊形的判定方法有哪些？應從邊、角、對角線三方面來進行總結，并指出：性質定理的逆命題如果正確，常常作為判定定理來使用．
2．怎樣來畫符合條件的平行四邊形？
3．學習了哪些研究問題的思想方法？
五、作業
課本第144頁第7～14題，B組1，2，4題．
補充題：
1．如圖 4-25，在ABCD中， AE＝CF， BG＝DH．求證： AH，BE，CG,DF圍成的四邊形
MNPQ為平行四邊形．
2．如圖4-26，在ABCD中，E，F，G和H分別是各邊中點．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．
3．如圖4－27，在ABCD中，AC，BD交于O點，AE⊥BD于E,CG⊥BD于G,BH⊥
AC于H，DF⊥AC于F．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．
課堂教學設計說明
本教學設計需2課時完成．
1．由平行四邊形的定義及性質定理逆向探索它的判定方法，是以后經常用到的思考方
法．因此，教師應讓學生明確建立這種意識，并盡量獨立完成這個過程．
2．從分類的角度來看，用非同類條件判定平行四邊形的猜想，還有以下幾種，教師可根情況選用．
猜想五：一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形．
猜想六：一組對邊相等，對角線交點平分其中某一條對角線的四邊形是平行四邊形
．
猜想七：一組對角相等，連該對角的兩頂點的對角線平分另一條對角線的四邊形是平邊形．
猜想八：一組對角相等，連該對角的兩頂點的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形．
其中猜想六，八是假命題，猜想五，七是真命題，可由學生課下加以證明，其中猜想七的證明需要用到圓的知識．
猜想六，八的反例圖形分別是圖428（a），（b）．
缺圖4-28
如圖 4－28（a），AE⊥l,CF⊥l,AE=CF,BE=DF,OE=OF,則四邊形ABCD中，AB=DC，AO=OC，但四邊形ABCD不是平行四邊形。
如圖4-28（b），菱形ABCD中，E為對角線AC上一點，則四邊形ABED中，∠ABE=∠ADE，BO=OD.但四邊形ABCD不是平行四邊形.
3．課本上的例1，例2的內涵很豐富，教師可根據時間的安排及學生的實際，逐步培養他們用類比、運動等思維方式推廣命題的能力，以一題多變的方式讓學生能用運動、聯系的觀點看待問題．
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