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第八章 實數
8.3 實數及其簡單運算
（第一課時）
1.理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類。
2.理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系。
1. ________和________統稱為有理數.
整數
分數
2. 填圖.
理數
理數
理數
正整數
正分數
負分數
正有理數
正分數
負整數
在前面的學習中，我們通過引入一類新的數———負數，使數的范圍擴充到有理數.
本章我們認識了像， 這樣的無限不循環小數，它們是有理數嗎？如果不是，我們將再次擴充數的范圍．
探究：把下列有理數寫成小數的形式，你發現了什么
，，， ， ，.
整數可以寫成小數點后是 0 的小數
， ， ，
， ， .
上面的有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式。
事實上，任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式．反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數．
有理數
有限小數或
無限循環小數
通過前兩節的學習，我們知道，很多數的平方 根、立方根是無限不循環小數，例如，， ， 等．
π＝3.14159265…也是無限不循環小數．
無限不循環小數都不是有理數．
無限不循環小數又叫作無理數．
無理數是不能寫成兩個整數之比（分數）的數，它和有理數一樣，都是現實世界中客觀存在的量的反映．
， ， ， ，
，
1.010010001…(兩個1之間依次多一個0)
， ， ， ，
，
-1.010010001…(兩個1之間依次多一個0)
正
無
理
數
負
無
理
數
像有理數一樣，無理數也有正負之分．
常見的無理數的形式:
①開方開不盡的數的方根
②π及化簡后含π的數
③有規律但不循環的小數
我國古人對無理數已經有了很多識．《九章算術》中用 “面”來表示開平方開不盡的數．劉徽在其著作 《九章算術注》中，不僅記錄了包含無理數運算的問題，而且給出了用有限小數無限逼近無理數的算法 “求微數法”．
我們將有理數和無理數統稱為實數，仿照有理數的分類，據此你能給實數分類嗎？
實數
有理數
無理數
正有理數
0
負有理數
正無理數
負無理數
有限小數或無限循環小數
無限不循環小數
　　1．按照定義分類．
我們將有理數和無理數統稱為實數，仿照有理數的分類，據此你能給實數分類嗎？
　　2．按照大小分類．
實數
正實數
負實數
正有理數
負有理數
負無理數
0
正無理數
例：把下列各數分別填入相應的集合內：
， ， ， ， ， ，， ， ，，，0，0.3737737773…(兩個3之間依次多一個7)，
有理數集合
無理數集合
， ， ，， ，0
， ， ，
，， ，0.3737737773…
與有理數可以用數軸上的點表示類似，無理數也可以用數軸上的點表示． 數軸上表示正無理數a的點在數軸的正半軸上，與原點的距離是a個單位長度；表示負無理數 （＞0）的點在數軸的負半軸上，與原點的距離是b個單位長度．
下面，我們以， ， 為例，看一看如何在數軸上表示無理數．
－2
－1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
O'
O
思考：以單位長度為直徑畫一個圓，它的周長等于．如圖所示，從原點開始，將這個圓沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O 到達點O′，點O′對應的數是多少？
從圖中可以看出， OO′的長是這個圓的周長，所以點O′對應的數是．這樣，數軸上的點O′就表示無理數．
以單位長度為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線為半徑畫弧，與正半軸的交點就表示，與負半軸的交點就表示 .
當數的范圍從有理數擴充到實數后，每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個_______．因此實數與數軸上的點是___________的.
一一對應
實數
實數
數軸上的點
一一對應
與規定有理數的大小一樣，對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大．
【知識技能類練習】必做題：
1．在實數，，，3.14中，無理數是（　　）
A． B． C． D．3.14
C
【知識技能類練習】必做題：
2．下列說法正確的有 （ ）
①無理數都是實數；
②實數都是無理數；
③無限小數都是有理數；
④帶根號的數都是無理數；
⑤不帶根號的數都是有理數．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
A
【知識技能類練習】必做題：
3．如圖，若數軸上點表示的數為無理數，則該無理數可能是（　?。?br/>A． B． C． D．
D
【知識技能類練習】選做題：
4．把下列各數分別填入所屬的集合中：
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；
⑧；⑨
有理數：{__________________________________________}；
無理數：{_________________________________________ }；
正實數：{_________________________________________ }；
負實數：{_________________________________________ }．
；；0；；；；
；；，
； ；；，
；；
【綜合拓展類練習】
5．在數軸上表示下列各數，并把這些數按從小到大順序進行排列，用“<”連接；，4，，0，（不要求精確表示）
解：
實數
分類
實數的大小比較
與數軸的關系
【知識技能類作業】必做題：
1．下列各數中，是無理數的是（ ）
A．0 B． C． D．
B
【知識技能類作業】必做題：
2．下列說法中，正確的個數是（ ）
①實數包括有理數、無理數和0；
②有理數和數軸上的點一一對應；
③無理數都是無限小數；
④；
⑤平方根與立方根都等于它本身的數為0和1．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
A
【知識技能類作業】必做題：
3．有下列各數：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每兩個3之間依次多一個1）．
(1)屬于整數的有____________________．（填序號）
(2)屬于負分數的有____________________．（填序號）
(3)屬于無理數的有____________________．（填序號）
④⑥
②⑤
③⑦
【知識技能類作業】選做題：
4．請將下列實數寫在數軸上的對應點下方，并把它們按從小到大的順序排列，用“”連接．
．
解：
【綜合拓展類作業】
5．如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬2個單位長度到達點B，點A表示，設點B所表示的數為m．
(1)求m的值；
(2)求的值．
解：（1）∵一只螞蟻從點A沿數軸向右爬2個單位長度到達點B，點A表示，∴；
（2）∵在與的中間，
∴
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同步探究學案
課題 8.3 實數及其簡單運算（第一課時） 單元 第八章 學科 數學 年級 七年級
學習 目標 1.理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類。 2.理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系。
重點 理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類。
難點 對無理數的認識，理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系。
探究過程
導入新課 【引入思考】 在前面的學習中，我們通過引入一類新的數———負數，使數的范圍擴充到有理數. 1. ________和________統稱為有理數. 2. 填圖. 理數 理數 想一想：本章我們認識了像， 這樣的無限不循環小數，它們是有理數嗎？
新知探究 本節課來研究： 本節我們來研究實數的相關內容。 探究：把下列有理數寫成小數的形式，你發現了什么 ，，， ， ，. 提示：整數可以寫成小數點后是 0 的小數 答：， ， ， ， ， . 上面的有理數都可以寫成有限小數或__________的形式。 歸納：事實上，任何一個有理數都可以寫成__________或無限循環小數的形式．反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是__________． 思考1：通過前兩節的學習，我們知道，很多數的平方根、立方根是無限不循環小數，例如，， ， 等．π＝3.14159265…也是無限________小數．無限不循環小數都不是_________．無限不循環小數又叫作____________． 提示：無理數是不能寫成兩個整數之比（分數）的數，它和有理數一樣，都是現實世界中客觀存在的量的反映． 思考2：像有理數一樣，無理數也有正負之分．請你列舉出一些正無理數和負無理數。 正無理數： 負無理數： 歸納：常見的無理數的形式: ①開方開不盡的數的方根 ②π及化簡后含π的數 ③有規律但不循環的小數 溯源：我國古人對無理數已經有了很多識．《九章算術》中用 “面”來表示開平方開不盡的數．劉徽在其著作 《九章算術注》中，不僅記錄了包含無理數運算的問題，而且給出了用有限小數無限逼近無理數的算法 “求微數法”． 問題：我們將有理數和無理數統稱為實數，仿照有理數的分類，據此你能給實數分類嗎？ 預設： 1．按照定義分類． 實數 2．按照大小分類． 實數 例：把下列各數分別填入相應的集合內： ， ， ， ， ， ，， ， ，，，0，0.3737737773…(兩個3之間依次多一個7)， 思考3：與有理數可以用數軸上的點表示類似，無理數也可以用數軸上的______表示． 數軸上表示正無理數a的點在數軸的____半軸上，與原點的距離是____個單位長度；表示負無理數 （＞0）的點在數軸的____半軸上，與原點的距離是個單位長度． 下面，我們以， ， 為例，看一看如何在數軸上表示無理數． 思考4：以單位長度為直徑畫一個圓，它的周長等于．如圖所示，從原點開始，將這個圓沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O 到達點O′，點O′對應的數是多少？ 答：從圖中可以看出， OO′的長是這個圓的周長，所以點O′對應的數是．這樣，數軸上的點O′就表示無理數． 動手操作：以單位長度為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線為半徑畫弧，與正半軸的交點就表示，與負半軸的交點就表示 . 注意：當數的范圍從有理數擴充到實數后，每一個實數都可以用數軸上的一個____來表示；反過來，數軸上的每一個____都表示一個實數．因此實數與數軸上的點是________的. 與規定有理數的大小一樣，對于數軸上的任意兩個點，____邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數____．
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．在實數，，，3.14中，無理數是（　　） A． B． C． D．3.14 2．下列說法正確的有 （ ） ①無理數都是實數； ②實數都是無理數； ③無限小數都是有理數； ④帶根號的數都是無理數； ⑤不帶根號的數都是有理數． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．如圖，若數軸上點表示的數為無理數，則該無理數可能是（　?。? A． B． C． D． 選做題： 4．把下列各數分別填入所屬的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 有理數：{_____________________________…}； 無理數：{_____________________________…}； 正實數：{_____________________________…}； 負實數：{_____________________________…}． 【綜合拓展類練習】 5．在數軸上表示下列各數，并把這些數按從小到大順序進行排列，用“<”連接；，4，，0，（不要求精確表示）
課堂小結 說一說：今天這節課，你都有哪些收獲？
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．下列各數中，是無理數的是（ ） A．0 B． C． D． 2．下列說法中，正確的個數是（ ） ①實數包括有理數、無理數和0；②有理數和數軸上的點一一對應；③無理數都是無限小數；④；⑤平方根與立方根都等于它本身的數為0和1． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．有下列各數：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每兩個3之間依次多一個1）． (1)屬于整數的有____________________．（填序號） (2)屬于負分數的有____________________．（填序號） (3)屬于無理數的有____________________．（填序號） 選做題： 4．請將下列實數寫在數軸上的對應點下方，并把它們按從小到大的順序排列，用“”連接． ． 【綜合拓展類作業】 5．如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬2個單位長度到達點B，點A表示，設點B所表示的數為m． (1)求m的值； (2)求的值．
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分課時教學設計
第六課時《8.3 實數及其簡單運算（第一課時）》教學設計
課型 新授課 復習課口 試卷講評課口 其他課口
教學內容分析 本節課主要內容是無理數和實數的概念，實數與數軸上的點的一一對應關系。是在有理數的基礎上學習實數的知識，很多內容可以類比有理數的有關內容得出，本節課把點的坐標擴展到實數范圍，并建立點與實數的一一對應關系，為以后的學習函數、函數的圖象、函數與方程和不等式的關系等知識打下基礎。
學習者分析 無理數是從現實世界中抽象出來的一種數，其嚴格的數學定義非常高深，再加上初中生對無理數幾乎沒有任何感性認識，甚至對無理數是否真正存在還有質疑，因此認識無理數就成了初中數學學習中的一個難點，為了突破這一難點，應從學生熟悉的有理數入手，通過與有理數對照的方法引入無理數的概念，進而揭示出有理數和無理數的聯系和區別。
教學目標 1.經歷無理數的探究過程，理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類。 2.理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系。 3.體會“數形結合”的數學思想，通過了解數系擴充，體會數系擴充對人類發展的作用。 4.通過解決問題的過程，培養學生合作交流意識與探究精神。
教學重點 理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類。
教學難點 對無理數的認識，理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系。
學習活動設計
教師活動學生活動環節一：學習目標教師活動1： 師出示學習目標： 1.理解無理數的概念，會判斷一個數是否為無理數，能把實數進行分類。 2.理解實數與數軸的關系，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系。學生活動1： 學生齊聲讀本課的學習目標活動意圖說明： 明確本節課的學習目標，使教師的教和學生的學有效結合在一起，激發學生的學習動力，提高學生課堂參與的興趣與積極性。環節二：新知導入教師活動2： 在前面的學習中，我們通過引入一類新的數———負數，使數的范圍擴充到有理數. 1. ________和________統稱為有理數. 答案：整數，分數 2. 填圖. 理數 答案：正整數，正分數，負分數 理數 答案：正有理數，正分數，負分數 引言：本章我們認識了像， 這樣的無限不循環小數，它們是有理數嗎？如果不是，我們將再次擴充數的范圍．學生活動2： 學生獨立思考并舉手回答?；顒右鈭D說明： 復習舊知，喚起學生已有的知識經驗，通過引言，激發學生的學習興趣和求知欲，為新知識的學習做好鋪墊.環節三：新知講解教師活動3： 探究：把下列有理數寫成小數的形式，你發現了什么 ，，， ， ，. 指出：整數可以寫成小數點后是 0 的小數 預設：， ， ， ， ， . 上面的有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式。 歸納：事實上，任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式．反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數． 講解1：通過前兩節的學習，我們知道，很多數的平方 根、立方根是無限不循環小數，例如，， ， 等． π＝3.14159265…也是無限不循環小數． 無限不循環小數都不是有理數． 無限不循環小數又叫作無理數． 強調：無理數是不能寫成兩個整數之比（分數）的數，它和有理數一樣，都是現實世界中客觀存在的量的反映． 講解2：像有理數一樣，無理數也有正負之分． 舉例： 正無理數 ， ， ， ， ， 1.010010001…(兩個1之間依次多一個0) 負無理數 ， ， ， ， ， -1.010010001…(兩個1之間依次多一個0) 歸納：常見的無理數的形式: ①開方開不盡的數的方根 ②π及化簡后含π的數 ③有規律但不循環的小數 溯源：我國古人對無理數已經有了很多識．《九章算術》中用 “面”來表示開平方開不盡的數．劉徽在其著作 《九章算術注》中，不僅記錄了包含無理數運算的問題，而且給出了用有限小數無限逼近無理數的算法 “求微數法”． 問題：我們將有理數和無理數統稱為實數，仿照有理數的分類，據此你能給實數分類嗎？ 預設： 1．按照定義分類． 實數 2．按照大小分類． 實數 例：把下列各數分別填入相應的集合內： ， ， ， ， ， ，， ， ，，，0，0.3737737773…(兩個3之間依次多一個7)， 答案：有理數有：， ， ，， ，0 無理數有：， ， ， ，， ，0.3737737773… 講解2：與有理數可以用數軸上的點表示類似，無理數也可以用數軸上的點表示． 數軸上表示正無理數a的點在數軸的正半軸上，與原點的距離是a個單位長度；表示負無理數 （＞0）的點在數軸的負半軸上，與原點的距離是b個單位長度． 下面，我們以， ， 為例，看一看如何在數軸上表示無理數． 思考：以單位長度為直徑畫一個圓，它的周長等于．如圖所示，從原點開始，將這個圓沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O 到達點O′，點O′對應的數是多少？ 預設：從圖中可以看出， OO′的長是這個圓的周長，所以點O′對應的數是．這樣，數軸上的點O′就表示無理數． 操作：以單位長度為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線為半徑畫弧，與正半軸的交點就表示，與負半軸的交點就表示 . 指出：當數的范圍從有理數擴充到實數后，每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數．因此實數與數軸上的點是一一對應的. 與規定有理數的大小一樣，對于數軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大． 學生活動3： 學生認真思考、動手操作、小組合作探究、交流，然后聽老師講解活動意圖說明： 通過學生的討論和交流，理解無理數的概念并類比有理數分類方法對實數進行分類，并通過具體操作體會無理數也可以在數軸上表示出來，理解實數和數軸上的點一一對應的關系。環節四：課堂小結教師活動4： 問題：本節課你都學習到了哪些知識？ 教師通過學生的回答，進行歸納 學生活動4： 學生積極回顧本節課學習到的知識活動意圖說明： 通過學生自己回顧、總結、梳理所學的知識，將所學的知識與以前學過的知識進行緊密聯系，完善認知結構和知識體系。
板書設計 課題：8.3 實數及其簡單運算（第一課時） 一、無理數 二、實數及其分類 三、實數與數軸 實數的大小比較教師板演區學生展示區
課堂練習 【知識技能類練習】 必做題： 1．在實數，，，3.14中，無理數是（　?。?A． B． C． D．3.14 答案：C 2．下列說法正確的有 （ ） ①無理數都是實數； ②實數都是無理數； ③無限小數都是有理數； ④帶根號的數都是無理數； ⑤不帶根號的數都是有理數． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案：A 3．如圖，若數軸上點表示的數為無理數，則該無理數可能是（　?。? A． B． C． D． 答案：D 選做題： 4．把下列各數分別填入所屬的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 有理數：{_____________________________…}； 無理數：{_____________________________…}； 正實數：{_____________________________…}； 負實數：{_____________________________…}． 解：∵，，， 有理數：{；；0；；；；}； 無理數：{；；，}； 正實數：{； ；；，}； 負實數：{；； }． 【綜合拓展類練習】 5．在數軸上表示下列各數，并把這些數按從小到大順序進行排列，用“<”連接；，4，，0，（不要求精確表示） 解：， 如圖， 故．
作業設計 【知識技能類作業】 必做題： 1．下列各數中，是無理數的是（ ） A．0 B． C． D． 答案：B 2．下列說法中，正確的個數是（ ） ①實數包括有理數、無理數和0；②有理數和數軸上的點一一對應；③無理數都是無限小數；④；⑤平方根與立方根都等于它本身的數為0和1． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案：A 3．有下列各數：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦（每兩個3之間依次多一個1）． (1)屬于整數的有____________________．（填序號） (2)屬于負分數的有____________________．（填序號） (3)屬于無理數的有____________________．（填序號） 解：（1）∵，， ∴整數的有④⑥． （2）∵，， ∴負分數的有②⑤． （3）∵，， ∴無理數的有③⑦． 選做題： 4．請將下列實數寫在數軸上的對應點下方，并把它們按從小到大的順序排列，用“”連接． ． 解：各實數寫在數軸上，如圖所示： 把它們按從小到大的順序排列：． 【綜合拓展類作業】 5．如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬2個單位長度到達點B，點A表示，設點B所表示的數為m． (1)求m的值； (2)求的值． 解：（1）∵一只螞蟻從點A沿數軸向右爬2個單位長度到達點B，點A表示， ∴； （2）∵在與的中間， ∴．
教學反思 在本課教學中，先通過梳理有理數知識，類比其研究思路明確實數學習方法，把有理數與有限、無限循環小數統一，對照有理數引出無理數，揭示二者區別，幫助學生理解實數定義。隨著無理數引入，數的范圍擴至實數，類比有理數分類方式對實數分類。接著類比用數軸表示有理數，借助特定圖形在數軸找到表示π、和的點，點明實數與數軸點一一對應，以及借助數軸比較兩個實數的大小。 在教學中，精心設計問題情境，引導學生剖析概念，促使學生從被動變主動，激發學習熱情，培養自主學習能力。采用獨立思考與小組討論結合的方式解決實際問題，培養學生的數學素養。
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