資源簡介

一元二次方程及其應用
中考考點 考查頻率 新課標要求
一元二次方程的相關概念 ★ 理解一元二次方程的相關概念.
一元二次方程的解法 ★★ 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程； 會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等；
一元二次方程的根與系數的關系 ★★ 了解一元二次方程的根與系數的關系.
一元二次方程的應用 ★★★ 能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.
本考點內容以考查一元二次方程的相關概念、解一元二次方程、根的判別式、根與系數的關系、一元二次方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數結合考查最值問題，年年考查，復習過程中要多注意各基礎考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式等．
一元二次方程運算 判斷一個方程是否是一元二次方程，必須符合三個標準： （1）一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關于未知數的整式． （2）一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數． （3）一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數的最高次數是2．
用配方法解一元二次方程的一般步驟 （1）一化 化二次項系數化為1，方程兩邊都除以二次項系數；． （2）二移 移項，使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數項；． （3）三配 ①配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，方程化為 的形式； ②方程左邊變形為一次二項式的完全平方式，右邊合并為一個常數； （4）四解： ①用直接開平方法解變形后的方程，此時需保證方程右邊是非負數． ②分別解這兩個一元二次方程，求出兩根．
一元二次方程的常用解法 （1）直接開平方法：對于形如（）或（）的方程，直接開平方． （2）配方法：將一元二次方程配方為的形式，再用直接開平方法求解． （3）公式法：一元二次方程的求根公式為（）． （4）因式分解法：將一元二次方程通過分解因式變為的形式，進而得到或來求解．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法選擇 （1）當b=0時，首選直接開平法． （2）當c=0時，首選因式分解法或配方法． （3）當a=1，b≠0，c≠0時，首選配方法或因式分解法． （4）當a≠1，b≠0，c≠0時，首選公式法或因式分解法．
一元二次方程根與系數關系的兩類應用 （1）求含有兩根的代數式的值：設法將所求代數式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數關系得到的值，求出結果． （2）構造以兩數為根的一元二次方程：由已知兩數x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫出方程．
常見的一元二次方程的應用問題 增長率（降低率）問題：第一年產值為a，若以后每年的增長率均為x，則第二年的產值為a（1+x），第三年的產值為 a（1+x）2；若以后每年的降低率均為x，則第二年的產值為 a（1–x），第三年的產值為a（1–x）2． （2）利潤問題：利潤=售價–成本，總利潤=單件的利潤×數量．
【注意】一元二次方程的解法（易錯點）：
（1）當時，利用直接降次法解形如的一元二次方程，開方后不要丟掉負根．
（2）配方時，方程的左右兩邊都加上一次項系數一半的平方，這種做法的前提是二次項系數必須是，這是最容易忘記的．
（3）公式法解一元二次方程的步驟：
①把方程化為一般形式；
②確定、、的值；
③計算的值；
④當時，把、、的值代入一元二次方程的求根公式．
一元二次方程的定義
下列方程中，一元二次方程是　　
A． B． C． D．
1.若方程是關于的一元二次方程，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．為實數
2.關于的方程是一元二次方程，則的值是　　
A． B．3 C．1 D．1或
3.在下列方程中，屬于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
4.若關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
一元二次方程的一般形式
將一元二次方程化成一般式后，二次項系數和一次項系數分別為　　
A．2，9 B．2，7 C．2， D．，
1.關于的一元二次方程的常數項是0，則的值是　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
2.將方程化成的形式，則，，的值分別為　　
3.將方程化為一元二次方程一般式后得　　
4.一元二次方程的一般形式是 　　．
5.將一元二次方程化成一般式后，二次項系數和一次項系數分別為　　
A．2，9 B．2，7 C．2， D．，
一元二次方程的解
（2024四川涼山·中考真題）若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為( )
A. B. C. 或 D.
1.已知方程的一個根是1，則的值為　　
A．4 B． C．3 D．
2. 已知是關于的一元二次方程的一個解，則的值為　　
A．0 B． C．1 D．2
3.已知是方程的一個根，則代數式的值應　　
A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
4.若一元二次方程的一根為，則的值為　　
A． B．0 C．1或 D．2或0
5.如果關于的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為　　
A． B．2022 C．2023 D．2024
估算一元二次方程的近似解
小亮根據的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分別代入求值，估算一元二次方程的近似解
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0.84 2.29 3.76 5.25
由此可確定一元二次方程的近似解的范圍正確的是　　
A． B． C． D．
1.根據表格中的信息，估計一元二次方程、、為常數，的一個解的范圍為　　
0 1 2 3 4
0.5 9.5
A． B． C． D．
2.根據如表的對應值，可判斷關于的一元二次方程必有一個根滿足　　
0 0.5 1
1 2.5 3 2.5 1
A． B． C． D．
3.觀察下列表格，估計一元二次方程的正數解在　　
0 1 2 3 4
5 13 23
A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間
解一元二次方程-直接開平方法
一元二次方程的解為 　 　．
1.方程的兩個根是　　
A．， B．， C．， D．，
2.方程的根是 　　．
3.一元二次方程的解為　 　．
4.一元二次方程的根是　 　．
解一元二次方程-配方法
（2024內蒙古赤峰·中考真題）用配方法解方程時，配方后正確的是( )
A. B.
C. D.
1.將方程配方成的形式，下列配方結果正確的是　　
A． B． C． D．
2.一元二次方程配方后是　　
A． B． C． D．
3.方程經過配方后，其結果正確的是　　
A． B． C． D．
4.用配方法解方程時，配方后得到方程是　　
A． B． C． D．
5.用配方法解方程，下列配方結果正確的是　　
A． B． C． D．
解一元二次方程-公式法
方程的解為 　 　．
1.方程的根是　　
A．5 B．0 C．0， D．0，5
2.方程的兩根為　　
A．， B．， C．， D．，
3.一元二次方程的解為 　　．
4.代數式與的值相等，則的值為 　 　．
解一元二次方程-因式分解法
（2024安徽·中考真題）一元二次方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
1.一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
2.解一元二次方程，結果正確的是　　
A．， B．， C．， D．，
3.一元二次方程的解為　　
A． B． C．， D．，
4.方程的兩個根為　　
A．， B．， C．， D．，
5.方程的兩個根是　　
A．， B．， C．， D．，
換元法解一元二次方程
已知、實數且滿足，則的值為　　
A．3 B． C．3或 D．或2
1.若實數，滿足，則的值為　　
A． B．2 C．或2 D．或1
2.已知實數滿足，則代數式的值是　　
A．7 B． C．7或 D．或3
3.已知，則的值為 　　．
4.，則　　
A．4 B．2 C．4或 D．4或2
根的判別式
（2024湖南· 中考真題）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為_______．
1.關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
2.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
3.關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的值可能是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
4.關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是　　
A． B．且 C． D．且
5.若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是　　
A． B．且 C． D．且
根與系數的關系
（2024四川眉山·中考真題）已知方程的兩根分別為，，則的值為 ．
1.已知，是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值等于　　
A．7 B．8 C．9 D．10
2.已知，是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值等于　　
A．4 B．5 C．6 D．7
3.若，是一元二次方程的兩個根，則的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．12
4.已知，是方程的兩個實數根，則的值為　　
A． B． C． D．3
5.設，是關于的方程的兩個實數根，則　　
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
由實際問題抽象出一元二次方程
（2024云南·中考真題）兩年前生產千克甲種藥品的成本為元，隨著生產技術的進步，現在生產千克甲種藥品的成本為元．設甲種藥品成本的年平均下降率為，根據題意，下列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
1.某樹主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支總數是43．若設主干長出個支干，則可列方程　　
A． B． C． D．
2.在“雙減政策”的推動下，某初級中學校學生課后作業時長明顯減少．2021年上學期每天作業平均時長為，經過2021年下學期和2022年上學期兩次調整后，2022年下學期平均每天作業時長為．設該校平均每天作業時長這兩學期每期的下降率為，則可列方程為　　
A． B． C． D．
3.我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了這樣的一個問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長與寬和為60步，問長比寬多多少步？若設長比寬多步，則下列符合題意的方程是　　
A． B．
C． D．
4.2023年4月23是第28個世界讀書日，讀書已經成為很多人的一種生活方式，城市書院是讀書的重要場所之一，據統計，某書院對外開放的第一個月進書院600人次，進書院人次逐月增加，到第三個月末累計進書院2850人次，若進書院人次的月平均增長率為，則可列方程為　　
A． B．
C． D．
5.為執行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每盒零售價由16元降為9元，設平均每次降價的百分率是，則根據題意，下列方程正確的是　　
A． B． C． D．
一元二次方程的應用
（2024山東煙臺·中考真題）每年月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”康寧公司新研發了一批便攜式輪椅，計劃在該月銷售根據市場調查，每輛輪椅盈利元時，每天可售出輛單價每降低元，每天可多售出輛公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于元設每輛輪椅降價元，每天的銷售利潤為元．
求與的函數關系式每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大最大利潤為多少元
全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤元，請問這天售出了多少輛輪椅
1.某白酒專賣店銷售一種白酒，這種白酒每瓶的進價為60元，若以每瓶100元的價格出售，每天可售出40瓶．為了促進銷售，店長決定采取適當的降價措施．經市場調查發現，當這種白酒每瓶每降價1元時，每天可多售出2瓶．若為了讓利于消費者，且日銷售利潤要達到1600元，則這種白酒的銷售單價為　　
A．100元 B．80元 C．80元或100元 D．無法確定
2.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是57個，則這種植物每個支干長出的小分支的個數是　　
A．8個 B．7個 C．6個 D．5個
3.某市為了更好的吸引外資，決定改善城市容貌，綠化環境，計劃用兩年時間，綠地面積增加，則這兩年平均每年綠地面積的增長率為　　
A． B． C． D．
4.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設這批椽的數量為株，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
5.某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的1個主干上長出個枝干，每個枝干上再長出個小分支．若在1個主干上的主干、枝干和小分支的數量之和是43個，則等于　　
A．4 B．5 C．6 D．7一元二次方程及其應用
中考考點 考查頻率 新課標要求
一元二次方程的相關概念 ★ 理解一元二次方程的相關概念.
一元二次方程的解法 ★★ 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程； 會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等；
一元二次方程的根與系數的關系 ★★ 了解一元二次方程的根與系數的關系.
一元二次方程的應用 ★★★ 能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性.
本考點內容以考查一元二次方程的相關概念、解一元二次方程、根的判別式、根與系數的關系、一元二次方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數結合考查最值問題，年年考查，復習過程中要多注意各基礎考點的鞏固，特別是解法中公式法的公式等．
一元二次方程運算 判斷一個方程是否是一元二次方程，必須符合三個標準： （1）一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關于未知數的整式． （2）一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數． （3）一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數的最高次數是2．
用配方法解一元二次方程的一般步驟 （1）一化 化二次項系數化為1，方程兩邊都除以二次項系數；． （2）二移 移項，使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數項；． （3）三配 ①配方：方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，方程化為 的形式； ②方程左邊變形為一次二項式的完全平方式，右邊合并為一個常數； （4）四解： ①用直接開平方法解變形后的方程，此時需保證方程右邊是非負數． ②分別解這兩個一元二次方程，求出兩根．
一元二次方程的常用解法 （1）直接開平方法：對于形如（）或（）的方程，直接開平方． （2）配方法：將一元二次方程配方為的形式，再用直接開平方法求解． （3）公式法：一元二次方程的求根公式為（）． （4）因式分解法：將一元二次方程通過分解因式變為的形式，進而得到或來求解．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法選擇 （1）當b=0時，首選直接開平法． （2）當c=0時，首選因式分解法或配方法． （3）當a=1，b≠0，c≠0時，首選配方法或因式分解法． （4）當a≠1，b≠0，c≠0時，首選公式法或因式分解法．
一元二次方程根與系數關系的兩類應用 （1）求含有兩根的代數式的值：設法將所求代數式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數關系得到的值，求出結果． （2）構造以兩數為根的一元二次方程：由已知兩數x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫出方程．
常見的一元二次方程的應用問題 增長率（降低率）問題：第一年產值為a，若以后每年的增長率均為x，則第二年的產值為a（1+x），第三年的產值為 a（1+x）2；若以后每年的降低率均為x，則第二年的產值為 a（1–x），第三年的產值為a（1–x）2． （2）利潤問題：利潤=售價–成本，總利潤=單件的利潤×數量．
【注意】一元二次方程的解法（易錯點）：
（1）當時，利用直接降次法解形如的一元二次方程，開方后不要丟掉負根．
（2）配方時，方程的左右兩邊都加上一次項系數一半的平方，這種做法的前提是二次項系數必須是，這是最容易忘記的．
（3）公式法解一元二次方程的步驟：
①把方程化為一般形式；
②確定、、的值；
③計算的值；
④當時，把、、的值代入一元二次方程的求根公式．
一元二次方程的定義
下列方程中，一元二次方程是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據一元二次方程的定義（含有一個未知數，并且含有未知數的項的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程）進行判斷即可．
解：．是分式方程，故此選項不符合題意．
．是一元二次方程，故此選項符合題意；
．當時，是一元一次方程，故此選項不符合題意；
．是二元二次方程，故此選項不符合題意；
故選：．
1.若方程是關于的一元二次方程，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．為實數
【答案】B
【解析】根據是一元二次方程的條件：二次項系數不為0，即可確定的取值范圍．
解：根據題意得：．
故選：．
2.關于的方程是一元二次方程，則的值是　　
A． B．3 C．1 D．1或
【答案】C
【解析】根據一元二次方程的定義，即可求解．
解：關于的方程是一元二次方程，
且，
解得．
故選：．
3.在下列方程中，屬于一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據一元二次方程的定義（只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程，叫做一元二次方程）逐項判斷即可得．
解：、是一元二次方程，則此項符合題意；
、含有兩個未知數，不是一元二次方程，則此項不符題意；
、不是整式，不是一元二次方程，則此項不符題意；
、方程整理為，未知數的最高次數是3，不是一元二次方程，則此項不符題意；
故選：．
4.若關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據一元二次方程的定義即可求解．
解：由題意，得，
解得．
故選：．
一元二次方程的一般形式
將一元二次方程化成一般式后，二次項系數和一次項系數分別為　　
A．2，9 B．2，7 C．2， D．，
【答案】
【解析】解：化成一元二次方程一般形式是，則它的二次項系數是2，一次項系數是．
故選：．
1.關于的一元二次方程的常數項是0，則的值是　　
A．1 B．1或2 C．2 D．
【答案】C
【解析】一元二次方程，，是常數且中、、分別是二次項系數、一次項系數、常數項．
解：由題意，得
且，
解得，
故選：．
2.將方程化成的形式，則，，的值分別為　　
A．4，8，25 B．4，2， C．4，8， D．1，2，25
【答案】C
【解析】將原方程化為一般形式，進而可得出，，的值．
解：將原方程化為一般形式得：，
，，．
故選：．
3.將方程化為一元二次方程一般式后得　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程移項把右邊化為0，左邊按照的降冪排列即可．
解：將方程化成一元二次方程的一般形式得．
故選：．
4.一元二次方程的一般形式是 　　．
【答案】．
【解析】先去掉括號，再移項、合并同類項，即可得出答案．
解：，
，
，
故答案為：．
一元二次方程的解
（2024四川涼山·中考真題）若關于的一元二次方程的一個根是，則的值為( )
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】解：關于的一元二次方程的一個根是，
且，
解得：，
故選：．
1.已知方程的一個根是1，則的值為　　
A．4 B． C．3 D．
【答案】根據一元二次方程的解把代入一元二次方程得到還有的一次方程，然后解一次方程即可．
【解析】解：把代入得，
解得．
故選：．
2. 已知是關于的一元二次方程的一個解，則的值為　　
A．0 B． C．1 D．2
【答案】
【解析】把方程的解代入方程，可以求出字母系數的值．
解：是方程的解，
，
．
故選：．
3.已知是方程的一個根，則代數式的值應　　
A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
【答案】C
【解析】根據一元二次方程解的意義可得，從而可得，然后把代入式子中進行計算，即可解答．
解：由題意得：，
，
，
，
，
，
代數式的值應在3和4之間，
故選：．
4.若一元二次方程的一根為，則的值為　　
A． B．0 C．1或 D．2或0
【答案】把代入方程計算即可求出的值．
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故選：．
5.如果關于的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為　　
A． B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【解析】由題意知，，則，根據，計算求解即可．
解：由題意知，，
，
．
故選：．
估算一元二次方程的近似解
小亮根據的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分別代入求值，估算一元二次方程的近似解
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0.84 2.29 3.76 5.25
由此可確定一元二次方程的近似解的范圍正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由表格可發現的值和0.84最接近0，再看對應的的值即可得．
解：由表可以看出，當取1.1與1.2之間的某個數時，，即這個數是的一個根．
的一個解的取值范圍為．
故選：．
1.根據表格中的信息，估計一元二次方程、、為常數，的一個解的范圍為　　
0 1 2 3 4
0.5 9.5
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據值即可估算的解．
解：由表格可知：當時，，則，
當時，，則，
關于的一元二次方程的一個解的范圍是，
故選：．
2.根據如表的對應值，可判斷關于的一元二次方程必有一個根滿足　　
0 0.5 1
1 2.5 3 2.5 1
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】觀察表格可知，隨的值逐漸增大，的值先增大、后減小，當和時，方程的值相同，在之間由負到正，故在之間由正到負，即可判斷時，對應的的值在或之間．
解：根據表格可知，時，對應的的值在或之間．
故選：．
3.觀察下列表格，估計一元二次方程的正數解在　　
0 1 2 3 4
5 13 23
A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間
【答案】C
【解析】由表格可發現的值和5最接近0，再看對應的的值即可得到答案．
解：由表可以看出，當取1與2之間的某個數時，，即這個數是的一個根．
的一個解的取值范圍為1和2之間．
故選：．
解一元二次方程-直接開平方法
一元二次方程的解為 　　．
【答案】利用直接開平方法解出方程．
【解析】解：
，，
故答案為：，．
1.方程的兩個根是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】直接開平方法求解即可．
解：，
，
則，
，，
故選：．
2.方程的根是 　　．
【答案】，．
【解析】直接開平方即可得出答案．
解：，
或，
解得，，
故答案為：，．
3.一元二次方程的解為　　．
【答案】，
【解析】根據直接開方法求一元二次方程的步驟先進行開方，得到兩個一元一次方程，再分別求解即可．
解：，
，
，．
故答案為：，．
4.一元二次方程的根是　　．
【答案】先變形為，再兩邊開方得到，然后解兩個一次方程即可．
【解析】解：，
，
所以，．
故答案為，．
解一元二次方程-配方法
（2024內蒙古赤峰·中考真題）用配方法解方程時，配方后正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】略
1.將方程配方成的形式，下列配方結果正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊除以2，接著把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可．
解：，
，
，
．
故選：．
2.一元二次方程配方后是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先把常數項移到方程右側，再把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可．
解：，
，
．
故選：．
3.方程經過配方后，其結果正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用完全平方公式進行配方即可得．
解：，
，
，
故選：．
4.用配方法解方程時，配方后得到方程是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程利用完全平方公式變形即可得到結果．
解：用配方法解方程時，
配方結果為．
故選：．
5.用配方法解方程，下列配方結果正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在本題中，把常數項移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數4的一半的平方．
解：把方程的常數項移到等號的右邊，得到
方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到
配方得．
故選：．
解一元二次方程-公式法
方程的解為 　　．
【答案】 ，．
【解析】先化成一元二次方程的一般形式，再利用解一元二次方程公式法進行計算即可解答．
解：，
，
，
，
，
，．
1.方程的根是　　
A．5 B．0 C．0， D．0，5
【答案】D
【解析】利用因式分解法求解即可．
解：方程整理得，
，
或，
故選：．
2.方程的兩根為　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】解此題時應該先化簡、整理，然后根據方程形式用公式法進行解答．
解：方程移項并化簡得，
，，
△
解得，．故選：．
3.一元二次方程的解為 　　．
【答案】 ，．
【解析】先化為一般形式，再用一元二次方程求根公式即可得到答案．
解：，
化為一般形式得：，
△，
，
，，
故答案為：，．
4.代數式與的值相等，則的值為 　　．
【答案】 ，．
【解析】根據題意列出方程，求出方程的解得到的值，經檢驗即可得到的值．
解：根據題意得：，
整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
故答案為：，．
解一元二次方程-因式分解法
（2024安徽·中考真題）一元二次方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】略
1.一元二次方程的解是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】利用因式分解法解答，即可求解．
解：，
，
或，
，．
故選：．
2.解一元二次方程，結果正確的是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】分解因式得出，推出方程，，求出方程的解即可．
解：，
分解因式得：
，，
解得：，，
故選：．
3.一元二次方程的解為　　
A． B． C．， D．，
【答案】C
【解析】先移項，再利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可．
解：，
，
，
或，
所以，．
故選：．
4.方程的兩個根為　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可．
解：，
，
或，
所以，．
故選：．
5.方程的兩個根是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】根據已知方程得出兩個關于的一元一次方程，再進一步求解即可．
解：
，
或，
解得，，
故選：．
換元法解一元二次方程
已知、實數且滿足，則的值為　　
A．3 B． C．3或 D．或2
【答案】A
【解析】設，則原方程化為，利用因式分解法解關于的方程得，，所以或，然后利用確定的值．
解：設，
原方程化為，解得，，
即或，
而，
所以的值為3．
故選：．
1.若實數，滿足，則的值為　　
A． B．2 C．或2 D．或1
【答案】C
【解析】設，方程變形后，計算求出解即可．
解：設，
方程整理得：，
整理得：，即，
解得：或，
則或．
故選：．
2.已知實數滿足，則代數式的值是　　
A．7 B． C．7或 D．或3
【答案】A
【解析】由整體思想，用因式分解法解一元二次方程求出的值就可以求出結論．
解：，
，
或，
或．
當時，，
，
此方程無實數解．
當時，
故選：．
3.已知，則的值為 　　．
【答案】1
【解析】令，將原方程化為，解出，再求得即可．
解：令，將原方程化為，
即，
解得，，
，，
，
故答案為1．
4.，則　　
A．4 B．2 C．4或 D．4或2
【答案】A
【解析】設，原方程轉化為關于的一元二次方程，通過解該方程求得的值，即的值即可．
解：設，由原方程，得，
整理，得，
解得或（舍去），
所以．
故選：．
根的判別式
（2024湖南· 中考真題）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為_______．
【答案】
【解析】解：由題意得：，
解得：
故答案為：
1.關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先整理，再利用一元二次方程根的判別式，即可求解．
解：原方程整理得：，
一元二次方程有兩個不相等的實數根，
△，
即，
解得：，
故選：．
2.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據方程有兩個不相等的實數根，得到根的判別式大于0，求出的范圍即可．
解：關于的一元二次方程即有兩個不相等的實數根，
△，
解得：．
故選：．
3.關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的值可能是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【解析】根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，可得△，解出的取值范圍即可進行判斷．
解：方程有兩個不相等的實數根，
△，
解得，
個選擇中只有符合．
故選：．
4.關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是　　
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【解析】由關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，知△且，解之可得答案．
解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
△且，
解得且，
故選：．
5.若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是　　
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【解析】根據判別式的意義得出△，然后解不等式即可得出答案．
解：根據題意得△，
解得．
故選：．
根與系數的關系
（2024四川眉山·中考真題）已知方程的兩根分別為，，則的值為 ．
【答案】
【解析】本題考查一元二次方程的根與系數的關系，若一元二次方程的兩根分別為，，則，，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．
先根據根與系數的關系得到，，然后把化簡為然后整體代入即可．
【詳解】解：方程的兩根分別為，，
，，
．
故答案為：．
1.已知，是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值等于　　
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】根據根與系數的關系可得，，將變形為，再前面括號中的用替換得，最后將，的值代入計算即可求解．
解：，是一元二次方程的兩個實數根，
，，
，
．
故選：．
2.已知，是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值等于　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】由一元二次方程根與系數的關系，可得，根據一元二次方程根的定義得，由，整體代入求解即可．
解：，是一元二次方程的兩個實數根，
，，
，
故選：．
3.若，是一元二次方程的兩個根，則的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】B
【解析】根據一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程解的定義，可得，，再代入，即可求解．
解：，是一元二次方程的兩個根，
，，
，
．
故選：．
4.已知，是方程的兩個實數根，則的值為　　
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】根據根與系數的關系可得出，，和方程根的意義得，即可得出結論．
解：，是方程的兩個實數根，
，，，
，
．
故選：．
5.設，是關于的方程的兩個實數根，則　　
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】把所求代數式化成，再利用方程根的定義及根與系數的關系可求得答案．
解：，是關于的方程的兩個實數根，
，，
，
，故選：．
由實際問題抽象出一元二次方程
（2024云南·中考真題）兩年前生產千克甲種藥品的成本為元，隨著生產技術的進步，現在生產千克甲種藥品的成本為元．設甲種藥品成本的年平均下降率為，根據題意，下列方程正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：甲種藥品成本的年平均下降率為，
根據題意可得，
故選：．
1.某樹主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支總數是43．若設主干長出個支干，則可列方程　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設主干長出個支干，則長出個小分支，根據主干、支干和小分支總數是43，即可列出關于的一元二次方程．
解：設主干長出個支干，則長出個小分支，
根據題意得：．
故選：．
2.在“雙減政策”的推動下，某初級中學校學生課后作業時長明顯減少．2021年上學期每天作業平均時長為，經過2021年下學期和2022年上學期兩次調整后，2022年下學期平均每天作業時長為．設該校平均每天作業時長這兩學期每期的下降率為，則可列方程為　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用2022年下學期平均每天作業時長年上學期每天作業平均時長該校平均每天作業時長這兩學期每期的下降率），即可得出關于的一元二次方程，此題得解．
解：根據題意得．
故選：．
3.我國南宋數學家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了這樣的一個問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長與寬和為60步，問長比寬多多少步？若設長比寬多步，則下列符合題意的方程是　　
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根據長與寬之間的關系，可得出長為步，寬為步，利用矩形的面積計算公式，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．
解：長與寬和為60步，長比寬多步，
長為步，寬為步．
依題意得：．
故選：．
4.2023年4月23是第28個世界讀書日，讀書已經成為很多人的一種生活方式，城市書院是讀書的重要場所之一，據統計，某書院對外開放的第一個月進書院600人次，進書院人次逐月增加，到第三個月末累計進書院2850人次，若進書院人次的月平均增長率為，則可列方程為　　
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先分別表示出第二個月和第三個月的進館人次，再根據第一個月的進館人次加第二和第三個月的進館人次等于2850，列方程即可．
解：設進館人次的月平均增長率為，則由題意得：
．
故選：．
5.為執行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每盒零售價由16元降為9元，設平均每次降價的百分率是，則根據題意，下列方程正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設該藥品平均每次降價的百分率為，根據降價后的價格降價前的價格降價的百分率），則第一次降價后的價格是，第二次后的價格是，據此即可列方程求解．
解：根據題意得：，
故選：．
一元二次方程的應用
（2024山東煙臺·中考真題）每年月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好生活”康寧公司新研發了一批便攜式輪椅，計劃在該月銷售根據市場調查，每輛輪椅盈利元時，每天可售出輛單價每降低元，每天可多售出輛公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每輛輪椅的利潤不低于元設每輛輪椅降價元，每天的銷售利潤為元．
求與的函數關系式每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大最大利潤為多少元
全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤元，請問這天售出了多少輛輪椅
【答案】
．
．
，
．
當時，利潤最大，最大利潤為：元．
與的函數關系式為：；每輛輪椅降價元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為元；
．
解得：不合題意，舍去，．
售出輪椅的輛數為：輛．
即這天售出了輛輪椅．
【解析】本題主要考查了二次函數的應用和一元二次方程的應用．
根據單價每降低元，每天可多售出輛．可得單價每降低元，每天可多售出輛，那么單價每降低元，每天可多售出輛．銷售利潤每輛輪椅的銷售利潤原銷售量增加的銷售量，把得到的函數關系式整理為頂點式，進而根據每輛輪椅的利潤不低于元得到自變量的取值范圍，代入到函數關系式可得最大利潤；
取，代入中得到的函數關系式，求得合適的的解即可．
1.某白酒專賣店銷售一種白酒，這種白酒每瓶的進價為60元，若以每瓶100元的價格出售，每天可售出40瓶．為了促進銷售，店長決定采取適當的降價措施．經市場調查發現，當這種白酒每瓶每降價1元時，每天可多售出2瓶．若為了讓利于消費者，且日銷售利潤要達到1600元，則這種白酒的銷售單價為　　
A．100元 B．80元 C．80元或100元 D．無法確定
【答案】B
【解析】設這種白酒的銷售單價為元，則每瓶白酒的銷售利潤為元，根據日銷售利潤要達到1600元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
解：設這種白酒的銷售單價為元，則每瓶白酒的銷售利潤為元，
由題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
即這種白酒的銷售單價為80元，
故選：．
2.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是57個，則這種植物每個支干長出的小分支的個數是　　
A．8個 B．7個 C．6個 D．5個
【答案】B
【解析】由題意設每個支干長出的小分支的數目是個，則主干長出支干的數目為個，小分支的總數量為個，根據主干、支干和小分支的總數是57個，列出方程，求得的值即可．
解：設每個支干長出的小分支的數目是個，
根據題意列方程得：，
即，
解得：或（不合題意，舍去）；
，
即這種植物每個支干長出的小分支的個數是7個，故正確．
故選：．
3.某市為了更好的吸引外資，決定改善城市容貌，綠化環境，計劃用兩年時間，綠地面積增加，則這兩年平均每年綠地面積的增長率為　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】本題可設這兩年平均每年的增長率為，因為經過兩年時間，讓市區綠地面積增加，則有，解這個方程即可求出答案．
解：設這兩年平均每年的綠地增長率為，
根據題意得，
解得（舍去），．即這兩年平均每年綠地面積的增長率為．
故選：．
4.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設這批椽的數量為株，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，列出一元二次方程，解方程即可．
解：根據題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去）．
即這批椽的數量為46株．
故選：．
5.某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的1個主干上長出個枝干，每個枝干上再長出個小分支．若在1個主干上的主干、枝干和小分支的數量之和是43個，則等于　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】根據在1個主干上的主干、枝干和小分支的數量之和是43個，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．
解：依題意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
故選：．

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