資源簡介

一次方程(組)及其應用　
中考考點 考查頻率 新課標要求
一元一次方程 ★ 能解一元一次方程
二元一次方程（組） ★★ 掌握消元法，能解二元一次方程組
一次方程（組） 的應用 ★★★ 利用一次方程求解實際問題
一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數學中因為未知數的最高次數都是一次，且都是整式方程,所以統稱為“一次方程”.中考對于方程的解法及其應用一直都有考查，需要夯實基礎，靈活運用.
1.判斷一個式子是否為方程
（1）只需看兩點：一是等式；二是含有未知數，二者缺一不可．
（2）不看未知數的個數，也不看未知數的次數．
（3）未知數可以是x，也可以是其他字母，如：y，s，t，v等．
（4）若題中有“××是關于**的方程”的條件，則字母**就是未知數，其他字母要當做已知數對待，這種方程也稱為含字母參數的方程．
2.方程的解與解方程
（1）使方程左右兩邊相等的未知數的值可以不止一個，即方程的解可以有多個．
（2）方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的結果，解方程是求解的過程，要區別開．解方程的目的就是求出方程的解．
3.一元一次方程
（1）其中“一元”指只含一個未知數，“一次”指的是未知數的次數都是1．
（2）ax+b=0（a≠0）通常叫做關于x的一元一次方程的標準形式，其中，只有一個未知項ax，一個常數項b，方程右邊是0．
4.解一元一次方程
（1）一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉化．
（2）若方程中有的分母不是整數，可以先把分母化為整數，再根據等式的性質去分母；解一元一次方程的五個步驟不是一成不變的，要根據方程的特點和需要靈活選用；解完方程后，最好把求得的解分別代入原方程的左邊和右邊，看兩邊的值是否相等．
（3）在解類似于“ax+bx=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x=c．使方程逐漸轉化為ax=b的最簡形式體現化歸思想．
（4）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內各項后能消去分母，就先去括號．將ax=b系數化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負．
5.一元一次方程中的參數問題
利用方程的解求方程中字母的值時，若兩個方程中只有一個方程含有字母，則可以先求出不含字母的方程的解，再根據兩個方程的解之間的關系求出另一個方程的解，進而求出字母的值；若兩個方程都含有字母，則可以分別求出這兩個方程的解（用字母參數表示），然后根據兩個方程的解之間的關系列出新的方程，求解即可得到字母的值．
6.利用一元一次方程解決規律探究題
數字中的規律探究題一般是通過觀察與猜想、類比與分析、探索與歸納題目所給的已知條件，發現題目中數字的規律．解決這類題的思路是找到相鄰數字之間的關系，設數列中其中一個數為x，用x表示出相關各數，然后根據題中的相等關系列方程求解．有時設出的未知數不一定是數列中的數，也有可能是正整數n，要根據具體問題而定．
7.列一元一次方程解決實際應用問題
（1）配套問題
配套問題找準要配套物品之間的數量關系，根據它們的等量關系列出方程解答．
①配套問題常見的是“1：n”型，即1個甲種零件和n個乙種零件配成一個物件．但也有“n：m”型（n，m均不為1），后者在尋找相等關系、列方程時更容易出錯．
②在解決配套問題時，為避免倍數乘錯對象，可以先根據題目描述，將配套方式寫成A：B=m：n的形式，然后利用外項之積=內項之積，化為An=Bm的形式．
（2）工程問題
工程問題的主要關系：工作總量=工作時間×工作效率．
①工程問題中的工作總量有兩種情況：一種是具體的數量；另一種是看作總體“1”，此時工作效率=．
②幾個人合作的工作效率等于各個人單獨工作效率之和．
③工作總量=各部分工作量之和．
（3）銷售問題
銷售問題一般涉及打折、進價、原價、售價、利潤、利潤率等基本量及其關系．銷售問題經常用到以下基本等量關系：
①利潤=售價－進價．
②利潤率=．
③售價=進價×（1＋利潤率）．
（4）比賽積分問題
①有些比賽只有勝、負之分，如籃球比賽；有些比賽有勝、負、平之分，如足球比賽中的小組循環賽．
②涉及比賽的關鍵詞：比賽場數、勝場數、平場數、負場數、勝場積分、平場積分、負場積分、總積分等．
③根據比賽積分規則，可得相等關系：某隊的比賽總積分=該隊的勝場積分（+該隊的平場積分）+該隊的負場積分．
④解決比賽積分問題時，首先要找出已知量和未知量以及題中涉及的等量關系，再根據等量關系列出方程．
⑤體育比賽中，每兩個隊之間進行一場比賽的賽制叫做單循環比賽．每兩個隊之間進行兩場比賽的賽制叫做雙循環比賽．
（5）行程問題
行程問題常用的相等關系：路程=速度×時間． 行程問題又分相遇問題、追及問題等．
①相遇問題
A．特點：相向而行
B．等量關系：雙方所走路程之和=全部路程．
C．相遇問題中等量關系的尋找方法
▲從時間考慮：兩人同時出發，相遇時兩人所用時間相等．
▲從路程考慮：沿直線運動時，兩人相向而行，相遇時兩人所走路程之和等于全程；沿圓周運動時，兩人由同一地點相背而行，第一次相遇時兩人所走的路程之和為圓周長．
▲從速度考慮：兩人相向而行，他們的相對速度等于他們的速度之和．
②追及問題中等量關系的尋找方法
▲從時間考慮：若同時出發，追及時兩人所用的時間相等．
▲從路程考慮：沿直線運動時，兩人所走路程之差等于需要趕上的距離；沿圓周運動時，兩人所走路程之差等于一個圓周長（從同時、同向、同一地點出發）．
▲從速度考慮：兩人的相對速度等于他們的速度之差．
8.二元一次方程組
（1）定義：具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．
（2）二元一次方程組的解
一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．
9.二元一次方程組的解法
（1）代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：
①從方程組中任選一個方程，將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來；
②將這個代數式代入另一個方程，消去一個未知數，得到含有一個未知數的一元一次方程；
③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；
④將所求得的這個未知數的值代入原方程組的任一方程中，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解．
（2）加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：
①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數不互為相反數又不相等，就用適當的數去乘方程的兩邊，使 它們中同一個未知數的系數相等或互為相反數；
②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；
③解這個一元一次方程；
④將求出的未知數的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數，從而得到方程組的解．
10.二元一次方程組的實際應用常見題型
（1）工作（或工程）問題：工作量=工作效率×工作時．
（2）利息問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息．
（3）行程問題：路程=速度×時間；其中，相遇問題：s甲+s乙=s總；．
（4）追及問題：（同地異時）前者走的路程=追者走的路程；（異地同時）前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程．
（5）利潤問題：利潤=賣價-進價；利潤率=×100%．
方程的定義
下列各式中，不是方程的是　　
A． B． C． D．
1.下列所給條件，不能列出方程的是　　
A．某數比它的平方小6 B．某數加上3，再乘以2等于14
C．某數與它的的差 D．某數的3倍與7的和等于29
2.在①；②；③④中方程有　　個．
A．1 B．2 C．3 D．4
3.在下列各式中：
①；②；③；
④；⑤；⑥；⑦．
其中是方程的有　　個．
A．3 B．4 C．5 D．6
4.下列各式中，屬于方程的是　　
A． B． C． D．
5.下列各式中，不是方程的是　　
A． B． C． D．
方程的解
若方程的解為，則的值為　　
A．10 B． C． D．
1.若是方程的解，則的值是　　
A． B．4 C． D．8
2.已知是關于的方程的一個解，則的值是　　
A． B． C． D．
3.方程★，★處被蓋住了一個數字，已知方程的解是，那么★處的數字是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知是方程的解，則的值是　　
A．2 B．3 C．7 D．8
等式的性質
（2024·貴州·中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“”“”“”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡若設“”與“”的質量分別為、，則下列關系式正確的是( )
A. B. C. D.
1.已知，下列等式不一定成立的是　　
A． B． C． D．
2.若，，為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
3.設、、是實數，正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4.下列等式變形中，不正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5.下列變形中，正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
一元一次方程的定義
已知方程是關于的一元一次方程，則的值是_______．
1.若方程是關于的一元一次方程，則_______．
2.已知是關于的一元一次方程，則值為_______．
3.方程是關于的一元一次方程，那么的值是　　
A．0 B．7 C．8 D．10
一元一次方程的解
關于x的方程的解是3，則的值為_______．
1.若關于的方程的解與方程的解互為相反數，則_______．
2.一元一次方程的解為，則_______．
3.若關于的方程的解為，則的值為_______．
4.若是方程的解，則_______．
解一元一次方程
（2024·海南·中考真題）若代數式的值為，則等于( )
A. B. C. D.
1.解方程的第一步應是　　
A．去分母 B．去括號 C．移項 D．合并
2.若的值與互為相反數，則的值為　　
A．1 B． C．3 D．
3.下列解方程過程正確的是　　
A．系數化為1，得
B．解得
C．移項得
D．去括號得
4.代數式的值是5，請問是　　
A． B．6 C．4 D．5
5.關于的一元一次方程的解為_______．
由實際問題抽象出一元一次方程
（2024·福建·中考真題）今年我國國民經濟開局良好，市場銷售穩定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是( )
A. B.
C. D.
1.我國古代數學名著《張丘建算經》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清，醑酒各幾何？”大意是：現有一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清酒，醑酒各幾斗？如果設清酒斗，那么可列方程為　　
A． B．
C． D．
2.《九章算術》中記載了這樣一個數學問題：今有甲發長安，五日至齊；乙發齊，七日至長安．今乙發已先二日，甲仍發長安．問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發，5日到齊國；乙從齊國出發，7日到長安．現乙先出發2日，甲才從長安出發．問多久后甲乙相逢？設乙出發日，甲乙相逢，則可列方程　　
A． B． C． D．
3.《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少輛車？設共有輛車，則　　
A． B． C． D．
4.《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一車，則最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設共有人，則可列方程為　　
A． B． C． D．
5.把一批圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺20本．設這個班有學生名，根據題意列方程正確的是　　
A． B． C． D．
一元一次方程的應用
（2024·山東煙臺·中考真題）周髀算經是中國現存最早的數理天文著作書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖問織幾何？”意思是：現有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數量相同，第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
1.歐拉是18世紀瑞士著名的數學大師，在他所著的《代數學入門》一書中，有這樣一個問題：父親死后，四個兒子按下述方式分了他的財產：老大拿了財產的一半少3000英鎊，老二拿了財產的少1000英鎊；老三拿了恰好是財產的；老四拿了財產的加上600英鎊．問整個財產有多少？每個兒子分了多少？根據題意下列敘述正確的是　　
A．老大分了1000英鎊 B．老二分了2000英鎊
C．老三分了3000英鎊 D．老四分了4000英鎊
2.相傳有個人不講究說話藝術常引起誤會，一天他設宴請客，他看到幾個人沒來，就自言自語：“怎么該來的還不來呢？”客人聽了，心想難道我們是不該來的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分著急，又說：“嗨，不該走的倒走了！”剩下的人一聽，是我們該走啊！又有剩余客人的三分之一離開了，他著急地一拍大腿：“我說的不是他們．”于是剩下的6個人也走了，聰明的你知道最開始來了多少客人嗎？　　
A．16 B．18 C．20 D．22
3.某商場按標價銷售某品牌電器一件可獲利1250元，利潤率為．為了讓利顧客，提高銷量，今年“五一”期間，該商場按同一標價打九折銷售該品牌電器．那么“五一”期間銷售一件該品牌電器可獲得的純利潤為　　
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
4.某班級勞動時，將全班同學分成個小組，若每小組8人，則余下1人；若每小組9人，則有一組少5人．按下列哪個選項重新分組，能使每組人數相同？　　
A．6組 B．7組 C．8組 D．9組
5.“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖，按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側面標記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個搬運工，這時水位恰好到達標記位置，如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，水位也恰好到達標記位置，已知搬運工體重均為120斤，則每塊條形石的重量是　　
A．120斤 B．240斤 C．100斤 D．160斤
二元一次方程的定義
如果是二元一次方程，那么，的值分別是　　
A．1，0 B．0，1 C．，2 D．2，
1.下列方程是二元一次方程的是　　
A． B． C． D．
2.已知是關于，的二元一次方程，則的值為　　
A． B． C．16 D．
3.下列各式中是二元一次方程的是　　
A． B． C． D．
4.下列方程是二元一次方程的是　　
A． B． C． D．
二元一次方程的解
已知是方程的解，則的值是　　
A． B．1 C． D．7
1.已知是二元一次方程的一個解，則的值為　　
A． B．1 C． D．2
2.下面4組數值中，哪組是二元一次方程的解　　
A． B． C． D．
3.已知二元一次方程，其中與互為相反數，則，的值為　　
A．， B．， C．， D．，
4.不是下列哪個方程的解　　
A． B． C． D．
二元一次方程組的定義
下列方程組為二元一次方程組的是　　
A． B． C． D．
1.下列方程組中，是二元一次方程組的是　　
A． B．
C． D．
2.下列方程組中是二元一次方程組的是　　
A． B．
C． D．
3.下列方程組中是二元一次方程組的是　　
A． B．
C． D．
4.下列方程組是二元一次方程組的是　　
A． B．
C． D．
二元一次方程組的解
（2023·江蘇無錫·中考真題）下列組數中，不是二元一次方程的解的為( )
A. B. C. D.
1.已知方程組的解滿足，則的值是　　
A． B． C． D．
2.若關于，的二元一次方程組的解為 則關于，的二元一次方程組
的解為　　
A． B． C． D．
3.已知有理數，滿足方程組，則的值為　　
A． B．0 C．1 D．2
4.若關于，的二元一次方程組的解，也是二元一次方程的解，則的值為　
A．2 B．1 C． D．0
5.已知方程組的解滿足，則的值是　　
A． B．2 C． D．
解二元一次方程組
（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關于、的二元一次方程組的解是，則關于、的方程組的解是 ．
1.方程組的解是　　
A． B． C． D．
2.已知，那么的值是　　
A．1 B． C．0 D．2
3.方程組的解是　　
A． B． C． D．
4.方程組的解是　　
A． B． C． D．
5.方程組的解是　　
A． B． C． D．
由實際問題抽象出二元一次方程組
（2024·山東日照·中考真題）我國明代數學家程大位編撰的算法統宗記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托，問索、竿各長幾何？”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短尺，問繩和竿各有多長？”設繩長尺，竿長尺，根據題意得注：“托”和“尺”為古代的長度單位，托尺
A. B.
C. D.
1.現用190張鐵皮制作一批盒子，每張鐵皮可做8個盒身或做22個盒底，而一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子．問用多少張白鐵皮制盒身、多少張白鐵皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．設用張鐵皮做盒身，張鐵皮做盒底，可以使盒身與盒底正好配套，則可列方程是　　
A． B．
C． D．
2.我國古代數學經典著作《九章算術》中有這樣一題，原文是：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”意思是：今有人合伙購物，每人出八錢，會多三錢；每人出七錢，又差四錢．問人數、物價各多少？設人數為人，物價為錢，下列方程組正確的是　　
A． B．
C． D．
3.《九章算術》中記載：“今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉；下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出來的谷子再加六斗，則相當于十捆下等稻子打出來的谷子；有下等稻子五捆，若打出來的谷子再加一斗，則相當于兩捆上等稻子打出來的谷子．問上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？設上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根據題意可列方程組為　　
A． B．
C． D．
4.《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，成書大約在一千五百年前．其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．問人與車各多少？設有人，輛車，可列方程組為　　
A． B．
C． D．
5.中國清代算書《御制數理精蘊》中有這樣一題：“馬六匹、牛五頭，共價四十四兩；馬二匹、牛三頭，共價二十四兩．問馬、牛各價幾何？”設馬每匹兩，牛每頭兩，根據題意可列方程組為　　
A． B．
C． D．
二元一次方程組的應用
（2024·四川綿陽·中考真題）如圖，每只蜻蜓有條腿，對翅膀，每只蟬有條腿，對翅膀現有若干蜻蜓和蟬，共有條腿，對翅膀，則蜻蜓和蟬的只數分別是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
1.《九章算術》中有一道題的條件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依據該條件，3大桶加3小桶共盛　　斛米．（注斛是古代一種容量單位）
A． B． C． D．
2.《九章算術》是中國傳統數學重要的著作，它奠定了中國傳統數學的基本框架．其中《盈不足》卷記載了一道有趣的數學問題：“今有共買物，人出八，贏三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”譯文：“今有人合伙購物，每人出8錢，會多出3錢；每人出7錢，又差4錢．問人數、物價各多少？”在這個問題中，物價錢數為　　
A．49 B．53 C．56 D．59
3.開學前明明、亮亮和小偉去購買學習用品，明明用17元買了1支筆和4個本亮亮用19元買了2支筆和3個本，小偉購買上述價格的筆和本共用了48元，則小偉的購買方案共有（　　）
A．5種 B．4種 C．3種 D．2種
4.小明同學剪紙片：把一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片：從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片：如此下去，若剪了10剪刀后，小明藏起所剪紙片中的一部分，剩下紙片中有4張三角形紙片，5張四邊形紙片，1張五邊形紙片，則關于小明藏起來的紙片的說法正確的是　　
A．1張三角形和1張四邊形 B．1張四邊形和1張五邊形
C．1張七邊形 D．1張九邊形
5.《孫子算經》卷中著名的“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”根據所學知識，計算出雞兔的只數分別是　　
A．雞23只，兔12只 B．雞12只，兔23只
C．雞20只，兔15只 D．雞15只，兔20只一次方程(組)及其應用　
中考考點 考查頻率 新課標要求
一元一次方程 ★ 能解一元一次方程
二元一次方程（組） ★★ 掌握消元法，能解二元一次方程組
一次方程（組） 的應用 ★★★ 利用一次方程求解實際問題
一元一次方程與二元一次方程（組）在初中數學中因為未知數的最高次數都是一次，且都是整式方程,所以統稱為“一次方程”.中考對于方程的解法及其應用一直都有考查，需要夯實基礎，靈活運用.
1.判斷一個式子是否為方程
（1）只需看兩點：一是等式；二是含有未知數，二者缺一不可．
（2）不看未知數的個數，也不看未知數的次數．
（3）未知數可以是x，也可以是其他字母，如：y，s，t，v等．
（4）若題中有“××是關于**的方程”的條件，則字母**就是未知數，其他字母要當做已知數對待，這種方程也稱為含字母參數的方程．
2.方程的解與解方程
（1）使方程左右兩邊相等的未知數的值可以不止一個，即方程的解可以有多個．
（2）方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的結果，解方程是求解的過程，要區別開．解方程的目的就是求出方程的解．
3.一元一次方程
（1）其中“一元”指只含一個未知數，“一次”指的是未知數的次數都是1．
（2）ax+b=0（a≠0）通常叫做關于x的一元一次方程的標準形式，其中，只有一個未知項ax，一個常數項b，方程右邊是0．
4.解一元一次方程
（1）一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉化．
（2）若方程中有的分母不是整數，可以先把分母化為整數，再根據等式的性質去分母；解一元一次方程的五個步驟不是一成不變的，要根據方程的特點和需要靈活選用；解完方程后，最好把求得的解分別代入原方程的左邊和右邊，看兩邊的值是否相等．
（3）在解類似于“ax+bx=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x=c．使方程逐漸轉化為ax=b的最簡形式體現化歸思想．
（4）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內各項后能消去分母，就先去括號．將ax=b系數化為1時，要準確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分數時；二要準確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負．
5.一元一次方程中的參數問題
利用方程的解求方程中字母的值時，若兩個方程中只有一個方程含有字母，則可以先求出不含字母的方程的解，再根據兩個方程的解之間的關系求出另一個方程的解，進而求出字母的值；若兩個方程都含有字母，則可以分別求出這兩個方程的解（用字母參數表示），然后根據兩個方程的解之間的關系列出新的方程，求解即可得到字母的值．
6.利用一元一次方程解決規律探究題
數字中的規律探究題一般是通過觀察與猜想、類比與分析、探索與歸納題目所給的已知條件，發現題目中數字的規律．解決這類題的思路是找到相鄰數字之間的關系，設數列中其中一個數為x，用x表示出相關各數，然后根據題中的相等關系列方程求解．有時設出的未知數不一定是數列中的數，也有可能是正整數n，要根據具體問題而定．
7.列一元一次方程解決實際應用問題
（1）配套問題
配套問題找準要配套物品之間的數量關系，根據它們的等量關系列出方程解答．
①配套問題常見的是“1：n”型，即1個甲種零件和n個乙種零件配成一個物件．但也有“n：m”型（n，m均不為1），后者在尋找相等關系、列方程時更容易出錯．
②在解決配套問題時，為避免倍數乘錯對象，可以先根據題目描述，將配套方式寫成A：B=m：n的形式，然后利用外項之積=內項之積，化為An=Bm的形式．
（2）工程問題
工程問題的主要關系：工作總量=工作時間×工作效率．
①工程問題中的工作總量有兩種情況：一種是具體的數量；另一種是看作總體“1”，此時工作效率=．
②幾個人合作的工作效率等于各個人單獨工作效率之和．
③工作總量=各部分工作量之和．
（3）銷售問題
銷售問題一般涉及打折、進價、原價、售價、利潤、利潤率等基本量及其關系．銷售問題經常用到以下基本等量關系：
①利潤=售價－進價．
②利潤率=．
③售價=進價×（1＋利潤率）．
（4）比賽積分問題
①有些比賽只有勝、負之分，如籃球比賽；有些比賽有勝、負、平之分，如足球比賽中的小組循環賽．
②涉及比賽的關鍵詞：比賽場數、勝場數、平場數、負場數、勝場積分、平場積分、負場積分、總積分等．
③根據比賽積分規則，可得相等關系：某隊的比賽總積分=該隊的勝場積分（+該隊的平場積分）+該隊的負場積分．
④解決比賽積分問題時，首先要找出已知量和未知量以及題中涉及的等量關系，再根據等量關系列出方程．
⑤體育比賽中，每兩個隊之間進行一場比賽的賽制叫做單循環比賽．每兩個隊之間進行兩場比賽的賽制叫做雙循環比賽．
（5）行程問題
行程問題常用的相等關系：路程=速度×時間． 行程問題又分相遇問題、追及問題等．
①相遇問題
A．特點：相向而行
B．等量關系：雙方所走路程之和=全部路程．
C．相遇問題中等量關系的尋找方法
▲從時間考慮：兩人同時出發，相遇時兩人所用時間相等．
▲從路程考慮：沿直線運動時，兩人相向而行，相遇時兩人所走路程之和等于全程；沿圓周運動時，兩人由同一地點相背而行，第一次相遇時兩人所走的路程之和為圓周長．
▲從速度考慮：兩人相向而行，他們的相對速度等于他們的速度之和．
②追及問題中等量關系的尋找方法
▲從時間考慮：若同時出發，追及時兩人所用的時間相等．
▲從路程考慮：沿直線運動時，兩人所走路程之差等于需要趕上的距離；沿圓周運動時，兩人所走路程之差等于一個圓周長（從同時、同向、同一地點出發）．
▲從速度考慮：兩人的相對速度等于他們的速度之差．
8.二元一次方程組
（1）定義：具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．
（2）二元一次方程組的解
一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．
9.二元一次方程組的解法
（1）代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：
①從方程組中任選一個方程，將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來；
②將這個代數式代入另一個方程，消去一個未知數，得到含有一個未知數的一元一次方程；
③解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；
④將所求得的這個未知數的值代入原方程組的任一方程中，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解．
（2）加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：
①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數不互為相反數又不相等，就用適當的數去乘方程的兩邊，使 它們中同一個未知數的系數相等或互為相反數；
②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；
③解這個一元一次方程；
④將求出的未知數的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數，從而得到方程組的解．
10.二元一次方程組的實際應用常見題型
（1）工作（或工程）問題：工作量=工作效率×工作時．
（2）利息問題：利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息．
（3）行程問題：路程=速度×時間；其中，相遇問題：s甲+s乙=s總；．
（4）追及問題：（同地異時）前者走的路程=追者走的路程；（異地同時）前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程．
（5）利潤問題：利潤=賣價-進價；利潤率=×100%．
方程的定義
下列各式中，不是方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：根據方程的定義可知，、、都是方程，不是方程，
故選：．
1.下列所給條件，不能列出方程的是　　
A．某數比它的平方小6 B．某數加上3，再乘以2等于14
C．某數與它的的差 D．某數的3倍與7的和等于29
【答案】
【解析】解：設某數為，
、，是方程，故本選項錯誤；
、，是方程，故本選項錯誤；
、，不是方程，故本選項正確；
、，是方程，故本選項錯誤．
故選：．
2.在①；②；③④中方程有　　個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】解：①，沒有“”，不是方程；
②，沒有未知數，不是方程；
③，是方程；
④，是方程．
故選：．
3.在下列各式中：
①；②；③；
④；⑤；⑥；⑦．
其中是方程的有　　個．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【解析】解：①，是方程；
②，是方程；
③，是代數式，不是方程；
④，是不等式，不是方程；
⑤，是不等式，不是方程；
⑥，是等式，不是方程；
⑦，是方程；
所以是方程的有①②⑦共3個．
故選：．
4.下列各式中，屬于方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：、不含未知數，不是方程，不符合題意；
、不是等式，故不是方程，不符合題意；
、不是等式，故不是方程，不符合題意；
、是含有未知數的等式，是方程，符合題意．
故選：．
方程的解
若方程的解為，則的值為　　
A．10 B． C． D．
【答案】
【解析】解：依題意，得
，即，
解得，．
故選：．
1.若是方程的解，則的值是　　
A． B．4 C． D．8
【解析】解：
把代入方程
可得：，
解得：，
故選：．
2.已知是關于的方程的一個解，則的值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：．
故選：．
3.方程★，★處被蓋住了一個數字，已知方程的解是，那么★處的數字是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：將代入方程，得：★，
解得：★，
即★處的數字是1，
故選：．
4.已知是方程的解，則的值是　　
A．2 B．3 C．7 D．8
【答案】
【解析】解：把 代入方程，
得：，
解得：，
故選：．
等式的性質
（2024·貴州·中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“”“”“”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡若設“”與“”的質量分別為、，則下列關系式正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本題考查等式的性質，掌握等式的個基本性質是解題的關鍵．
設“”的質量為，根據甲、乙兩個天平，分別列等式，再根據等式的基本性質將消去得到與的關系式即可．
【解答】
解：設“”的質量為．
根據甲天平，得；
根據乙天平，得．
根據等式的基本性質，將的兩邊同時減，得；
根據等式的基本性質，將的兩邊同時減，得；
根據等式的基本性質，將的兩邊同時乘以，得，
．
故選：．
1.已知，下列等式不一定成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
故不符合題意，
，
，
故不符合題意；
，
，
故不符合題意；
，
當時不成立，故符合題意，
故選：．
2.若，，為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
，
．
故選：．
3.設、、是實數，正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】
【解析】解：．若，則，故該選項錯誤，不符合題意；
．若，則，故該選項正確，符合題意；
．若且，則，故該選項錯誤，不符合題意；
．若，則，故該選項錯誤，不符合題意；
故選：．
4.下列等式變形中，不正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】
【解析】解：．，，故本選項不符合題意；
．，，，故本選項符合題意；
．，，故本選項不符合題意；
．，，故本選項不符合題意；
故選：．
5.下列變形中，正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】
【解析】解：．若，則，故錯誤，本選項不符合題意；
．若，則，故錯誤，本選項不符合題意；
．當時，若，則，故錯誤，本選項不符合題意；
．若，則，故正確，本選項符合題意．
故選：．
一元一次方程的定義
已知方程是關于的一元一次方程，則的值是_______．
【答案】．
【解析】解：由一元一次方程的特點得，
解得：．
故答案為：．
1.若方程是關于的一元一次方程，則_______．　　．
【答案】2023．
【解析】解：方程是關于的一元一次方程，
，
解得：，
．
故答案為：2023．
2.已知是關于的一元一次方程，則值為_______．
【答案】．
【解析】解：根據一元一次方程的定義得到且，
由原方程，得解得，
，
，
解得．
故答案為：．
3.方程是關于的一元一次方程，那么的值是　　
A．0 B．7 C．8 D．10
【答案】
【解析】解：方程是關于的一元一次方程，
且，
解得：，
故選：．
一元一次方程的解
關于的方程的解是3，則的值為_______．
【解析】解：根據題意將代入得：，
解得：．
故填：4．
1.若關于的方程的解與方程的解互為相反數，則　　．
【解析】解：方程，
移項合并得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故答案為：
2.一元一次方程的解為，則　　．
【答案】1．
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案為：1．
3.若關于的方程的解為，則的值為　　．
【解析】解：關于的方程的解為，
，
解得：．
故答案為：．
4.若是方程的解，則　　．
【解析】解：根據題意，得
，
解得，．
故答案為：．
解一元一次方程
（2024·海南·中考真題）若代數式的值為，則等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根據題意得，，
解得，
故選：．
由題意列出方程，然后通過移項、合并同類項即可求解．
本題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關鍵．
1.解方程的第一步應是　　
A．去分母 B．去括號 C．移項 D．合并
【解析】解：解方程的第一步應是去括號，
故選：．
2.若的值與互為相反數，則的值為　　
A．1 B． C．3 D．
【答案】
【解析】解：由題意，得，
解得；
故選：．
3.下列解方程過程正確的是　　
A．系數化為1，得
B．解得
C．移項得
D．去括號得
【答案】
【解析】解：、系數化為1，得，故本選項不合題意；
、解得，正確，故本選項符合題意；
、移項得，故本選項不合題意；
、去括號得，故本選項不合題意；
故選：．
4.代數式的值是5，請問是　　
A． B．6 C．4 D．5
【答案】
【解析】解：由題意得，．
．
故選：．
5.關于的一元一次方程的解為 　　．
【答案】．
【解析】解：去分母得：，
移項得：．
故答案為：．
由實際問題抽象出一元一次方程
（2024·福建·中考真題）今年我國國民經濟開局良好，市場銷售穩定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】略
1.我國古代數學名著《張丘建算經》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清，醑酒各幾何？”大意是：現有一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清酒，醑酒各幾斗？如果設清酒斗，那么可列方程為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：設清酒斗，則醑酒斗，
由題意可得：，
故選：．
2.《九章算術》中記載了這樣一個數學問題：今有甲發長安，五日至齊；乙發齊，七日至長安．今乙發已先二日，甲仍發長安．問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發，5日到齊國；乙從齊國出發，7日到長安．現乙先出發2日，甲才從長安出發．問多久后甲乙相逢？設乙出發日，甲乙相逢，則可列方程　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：設乙出發日，甲乙相逢，則甲出發日，故可列方程為：
．
故選：．
3.《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少輛車？設共有輛車，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：由題意可得，
，
故選：．
4.《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一車，則最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設共有人，則可列方程為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：依題意，得：．
故選：．
5.如果是二元一次方程，那么，的值分別是　　
A．1，0 B．0，1 C．，2 D．2，
一元一次方程的應用
（2024·山東煙臺·中考真題）周髀算經是中國現存最早的數理天文著作書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖問織幾何？”意思是：現有一個不擅長織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數量相同，第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？( )
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】C
【解析】解：設每天減少尺布，
第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，
，
解得：，
尺，
故選：．
設每天減少尺布，因為第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，可得，解得的值即得每天減少多少尺布，將天織的布相加可得天一共織了多少布．
本題考查了一元一次方程的應用，關鍵是根據題意列方程求解．
1.歐拉是18世紀瑞士著名的數學大師，在他所著的《代數學入門》一書中，有這樣一個問題：父親死后，四個兒子按下述方式分了他的財產：老大拿了財產的一半少3000英鎊，老二拿了財產的少1000英鎊；老三拿了恰好是財產的；老四拿了財產的加上600英鎊．問整個財產有多少？每個兒子分了多少？根據題意下列敘述正確的是　　
A．老大分了1000英鎊 B．老二分了2000英鎊
C．老三分了3000英鎊 D．老四分了4000英鎊
【答案】
【解析】解：設整個財產是英鎊，則老大分了英鎊，老二分了英鎊，老三分了英鎊，老四分了英鎊，
根據題意得：，
解得：，
，，，，
老大、老二、老三、老四每人分了3000英鎊．
故選：．
2.相傳有個人不講究說話藝術常引起誤會，一天他設宴請客，他看到幾個人沒來，就自言自語：“怎么該來的還不來呢？”客人聽了，心想難道我們是不該來的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分著急，又說：“嗨，不該走的倒走了！”剩下的人一聽，是我們該走啊！又有剩余客人的三分之一離開了，他著急地一拍大腿：“我說的不是他們．”于是剩下的6個人也走了，聰明的你知道最開始來了多少客人嗎？　　
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】
【解析】解：設開始來了位客人，根據題意得
解得：
答：開始來的客人一共是18位．
故選：．
3.某商場按標價銷售某品牌電器一件可獲利1250元，利潤率為．為了讓利顧客，提高銷量，今年“五一”期間，該商場按同一標價打九折銷售該品牌電器．那么“五一”期間銷售一件該品牌電器可獲得的純利潤為　　
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
【答案】
【解析】解：設某品牌電器的進價為元，則標價為元，
根據題意得：，
解得：，
，
“五一”期間銷售一件該品牌電器可獲得的純利潤為875元．
故選：．
4.某班級勞動時，將全班同學分成個小組，若每小組8人，則余下1人；若每小組9人，則有一組少5人．按下列哪個選項重新分組，能使每組人數相同？　　
A．6組 B．7組 C．8組 D．9組
【答案】
【解析】解：由題意得：，
解得：，
則全班人數為：（人，
要使每組人數相同，則每小組7人，即可分成（組．
故選：．
5.“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖，按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側面標記水位，再將象牽出，然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個搬運工，這時水位恰好到達標記位置，如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個搬運工，水位也恰好到達標記位置，已知搬運工體重均為120斤，則每塊條形石的重量是　　
A．120斤 B．240斤 C．100斤 D．160斤
【答案】
【解析】解：設每塊條形石的重量是斤，
根據題意得：，
解得：，
每塊條形石的重量是240斤．
故選：．
二元一次方程的定義
如果是二元一次方程，那么，的值分別是　　
A．1，0 B．0，1 C．，2 D．2，
【答案】
【解析】解：是二元一次方程，
，
解得，．
故選：．
1.下列方程是二元一次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．，符合二元一次方程的定義，故本選項符合題意；
．是一元一次方程，故本選項不符合題意；
．是一元二次方程，故本選項不符合題意；
．是分式方程，故本選項不符合題意．
故選：．
2.已知是關于，的二元一次方程，則的值為　　
A． B． C．16 D．
【答案】
【解析】解：方程是關于，的二元一次方程，
且，
解得：，，
，
故選：．
3.下列各式中是二元一次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．方程是二元一次方程，選項符合題意；
．方程是二元二次方程，選項不符合題意；
．多項式不是方程，選項不符合題意；
．方程是分式方程，選項不符合題意．
故選：．
4.下列方程是二元一次方程的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：是一元一次方程，不符合題意．
含有兩個未知數，且未知數的次數為1，是二元一次方程，符合題意．
不是整式方程，不符合題意．
是二元二次方程，不符合題意．
故選：．
二元一次方程的解
已知是方程的解，則的值是　　
A． B．1 C． D．7
【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故選：．
1.已知是二元一次方程的一個解，則的值為　　
A． B．1 C． D．2
【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故選：．
2.下面4組數值中，哪組是二元一次方程的解　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：．把代入方程，左邊右邊，所以不是方程的解；
．把代入方程，左邊右邊，所以是方程的解；
．把代入方程，左邊右邊，所以不是方程的解；
．把代入方程，左邊右邊，所以不是方程的解．
故選：．
3.已知二元一次方程，其中與互為相反數，則，的值為　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【解析】解：由題意得，即，
代入，得．
故選：．
4.不是下列哪個方程的解　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：經代入計算，可知能使方程、、成立，
不能使成立，
不是的解．
故選：．
二元一次方程組的定義
下列方程組為二元一次方程組的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，第2個方程中的次數是2，此選項不符合題意；
，此方程符合二元一次方程組的定義，此選項符合題意；
，此選項第2個方程不是整式方程，此選項不符合題意；
，此方程含有3個未知數，此選項不符合題意；
故選：．
1.下列方程組中，是二元一次方程組的是　　
A． B．
C． D．
【解析】解：、第二個方程不是整式方程，不符合題意；
、整個方程組含有3個未知數，不符合題意；
、符合題意；
、最高次項的次數是2，不符合題意；
故選：．
2.下列方程組中是二元一次方程組的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：、第一個方程中的是二次的，故此選項錯誤；
、第二個方程有，不是整式方程，故此選項錯誤；
、含有3個未知數，故此選項錯誤；
、符合二元一次方程組定義，故此選項正確．
故選：．
3.下列方程組中是二元一次方程組的是　　
A． B．
C． D．
【解析】解：、是分式方程，故該選項錯誤．
、符合二元一次方程組的定義；
、有三個未知數，是三元一次方程組，故該選項錯誤．
、第二個方程的二次的，故該選項錯誤．
故選：．
4.下列方程組是二元一次方程組的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：、有3個未知數，不是二元一次方程組，故不符合題意；
、有2個未知數，但是最高次數是2，不是二元一次方程組，故不符合題意；
、有兩個未知數，方程的次數是1次，所以是二元一次方程組，故符合題意；
、有兩個未知數，第二個方程不是整式方程，不是二元一次方程組，故不符合題意．
故選：．
二元一次方程組的解
（2023·江蘇無錫·中考真題）下列組數中，不是二元一次方程的解的為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】略
1.已知方程組的解滿足，則的值是　　
A． B． C． D．
【解析】解：，
①②得，
，
，
．
故選：．
2.若關于，的二元一次方程組的解為 則關于，的二元一次方程組
的解為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：關于，的二元一次方程組的解為，
關于，的二元一次方程組中，，，
解得：，，
則該方程組的解為：，
故選：．
3.已知有理數，滿足方程組，則的值為　　
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【解析】解：，
由①②得：，
化簡得：，
故選：．
4.若關于，的二元一次方程組的解，也是二元一次方程的解，則的值為　　
A．2 B．1 C． D．0
【答案】
【解析】解：解原方程組得，
，
將其代入方程得，
，
解得，
故選：．
5.已知方程組的解滿足，則的值是　　
A． B．2 C． D．
【答案】
【解析】解：，
②①得，
，
，
解得．
故選：．
解二元一次方程組
（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關于、的二元一次方程組的解是，則關于、的方程組的解是 ．
【答案】
【解析】【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把，代入，得到，整體代入中，得到方程組，加減消元法解方程組即可．
【詳解】解：把代入，得：
，即：
，得：，
方程組有解，
，
，
把代入，得：，解得：；
方程組的解集為：；
故答案為：．
1.方程組的解是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
原方程組的解為，故正確．
故選：．
2.已知，那么的值是　　
A．1 B． C．0 D．2
【答案】
【解析】解：方程組
（1）（2）得：．
故選：．
3.方程組的解是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程組的解是．
故選：．
4.方程組的解是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
①②得，
，
將代入②得，
，
方程組的解為，
故選：．
5.方程組的解是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
則方程組的解為．
故選：．
由實際問題抽象出二元一次方程組
（2024·山東日照·中考真題）我國明代數學家程大位編撰的算法統宗記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托，問索、竿各長幾何？”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短尺，問繩和竿各有多長？”設繩長尺，竿長尺，根據題意得注：“托”和“尺”為古代的長度單位，托尺
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：若用繩去量竿，則繩比竿長尺，
；
若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短尺，
．
根據題意得可列出方程組．
故選：．
根據“若用繩去量竿，則繩比竿長尺；若將繩對折后再去量竿，則繩比竿短尺”，即可列出關于，的二元一次方程組，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
1.現用190張鐵皮制作一批盒子，每張鐵皮可做8個盒身或做22個盒底，而一個盒身和兩個盒底配成一個完整的盒子．問用多少張白鐵皮制盒身、多少張白鐵皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．設用張鐵皮做盒身，張鐵皮做盒底，可以使盒身與盒底正好配套，則可列方程是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：設張鐵皮制盒身，張鐵皮制盒底，由題意得
．
故選：．
2.我國古代數學經典著作《九章算術》中有這樣一題，原文是：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”意思是：今有人合伙購物，每人出八錢，會多三錢；每人出七錢，又差四錢．問人數、物價各多少？設人數為人，物價為錢，下列方程組正確的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：每人出八錢，會多三錢，
；
每人出七錢，又差四錢，
．
根據題意可列方程組．
故選：．
3.《九章算術》中記載：“今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉；下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出來的谷子再加六斗，則相當于十捆下等稻子打出來的谷子；有下等稻子五捆，若打出來的谷子再加一斗，則相當于兩捆上等稻子打出來的谷子．問上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？設上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根據題意可列方程組為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：設上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，
根據題意可列方程組為：．
故選：．
4.《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，成書大約在一千五百年前．其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．問人與車各多少？設有人，輛車，可列方程組為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：設有人，輛車，根據題意可得：
，
故選：．
5.中國清代算書《御制數理精蘊》中有這樣一題：“馬六匹、牛五頭，共價四十四兩；馬二匹、牛三頭，共價二十四兩．問馬、牛各價幾何？”設馬每匹兩，牛每頭兩，根據題意可列方程組為　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】解：馬六匹、牛五頭，共價四十四兩，
；
馬二匹、牛三頭，共價二十四兩，
．
根據題意可列方程組．
故選：．
二元一次方程組的應用
（2024·四川綿陽·中考真題）如圖，每只蜻蜓有條腿，對翅膀，每只蟬有條腿，對翅膀現有若干蜻蜓和蟬，共有條腿，對翅膀，則蜻蜓和蟬的只數分別是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】解：設蜻蜓是只，蟬是只，
由題意得：，
解得：，
故選：．
設蜻蜓是只，蟬是只，根據現有若干蜻蜓和蟬，共有條腿，對翅膀，列出二元一次方程組，解方程組即可．
本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
1.《九章算術》中有一道題的條件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小兩種盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依據該條件，3大桶加3小桶共盛　　斛米．（注斛是古代一種容量單位）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解：設一個大桶盛酒斛，一個小桶盛酒斛，
根據題意得：，即．
，即．
故答案為：．
2.《九章算術》是中國傳統數學重要的著作，它奠定了中國傳統數學的基本框架．其中《盈不足》卷記載了一道有趣的數學問題：“今有共買物，人出八，贏三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”譯文：“今有人合伙購物，每人出8錢，會多出3錢；每人出7錢，又差4錢．問人數、物價各多少？”在這個問題中，物價錢數為　　
A．49 B．53 C．56 D．59
【答案】
【解析】解：設合伙購物的人有人，物價為錢，
根據題意得：，
解得：，
物價為53錢．
故選：．
3.開學前明明、亮亮和小偉去購買學習用品，明明用17元買了1支筆和4個本亮亮用19元買了2支筆和3個本，小偉購買上述價格的筆和本共用了48元，則小偉的購買方案共有（　　）
A．5種 B．4種 C．3種 D．2種
【答案】C
【解析】解：設1支筆的價格為x元，一個本的價格為y元．
根據題意得：．
解得：．
設小偉購買了a支筆，b個本．
根據題意得：5a+3b＝4．
當a＝3時，b＝11．
當a＝6時，b＝6．
當a＝9時，b＝1
故選：C．
4.小明同學剪紙片：把一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片：從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片：如此下去，若剪了10剪刀后，小明藏起所剪紙片中的一部分，剩下紙片中有4張三角形紙片，5張四邊形紙片，1張五邊形紙片，則關于小明藏起來的紙片的說法正確的是　　
A．1張三角形和1張四邊形 B．1張四邊形和1張五邊形
C．1張七邊形 D．1張九邊形
【答案】
【解析】解：設小明藏起來的紙片是邊形．
，
解得，
答：小明藏起來的紙片是七邊形．
故選：．
5.《孫子算經》卷中著名的“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”根據所學知識，計算出雞兔的只數分別是　　
A．雞23只，兔12只 B．雞12只，兔23只
C．雞20只，兔15只 D．雞15只，兔20只
【答案】
【解析】解：設雞、免各有，只，則
，解得．
故選：．

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