資源簡介

一次函數的實際應用　
中考考點 考查頻率 新課標要求
一次函數的應用 ★★★ 能用一次函數解決實際問題
一次函數的應用，在中考中多考查一次函數圖象的理解和信息提取，通常以行程類問題為主。出題時也多和方程、不等式結合，一次函數的實際應用的題目在中考中難度不大，關鍵在于函數關系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，從文字、圖像和圖表中獲取信息，建立函數關系式是解題的關鍵.
一次函數的實際應用：
1.一次函數應用問題的求解思路：
①建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質作出解答；
②利用函數并與方程(組)、不等式(組)聯系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產方案的設計問題以及經濟決策、市場經濟等方面的應用。
2.建立函數模型解決實際問題的一般步驟：
①審題，設定實際問題中的變量，明確變量x和y；
②根據等量關系，建立變量與變量之間的函數關系式，如：一次函數的函數關系式；
③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；
④利用函數的性質解決問題；
⑤寫出答案。
3.利用一次函數的圖象解決實際問題的一般步驟：
①觀察圖象，獲取有效信息；
②對獲取的信息進行加工、處理，理清各數量之間的關系；
③選擇適當的數學工具(如函數、方程、不等式等)，通過建模解決問題。
4.求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較．
根據實際問題列一次函數關系式
（2024·全國·中考真題）已知某同學家、體育場、圖書館在同一條直線上下面的圖象反映的過程是：該同學從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館圖中用表示時間，表示該同學離家的距離結合圖象給出下列結論：
體育場離該同學家千米．
該同學在體育場鍛煉了分鐘．
該同學跑步的平均速度是步行平均速度的倍．
若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的倍，則的值是．
其中正確結論的個數是( )
A. B. C. D.
1.如圖，甲從村勻速騎自行車到村，乙從村勻速騎摩托車到村，兩人同時出發，到達目的地后，立即停止運動，甲、乙兩人離村的距離與他自騎車的時間之間的函數關系如圖所示，則下列說法錯誤的是　　
A．、兩村的距離為 B．甲的速度為
C．乙的速度為 D．乙運動到達目的地
2.如圖表示光從空氣進入水中入水前與入水后的光路圖，若按如圖建立坐標系，并設入水與前與入水后光線所在直線的表達式分別為，，則關于與的關系，正確的是　　
A．， B．， C． D．
3.，兩地相距，甲、乙兩人沿同一條路從地到地．甲、乙兩人離開地的距離（單位：與時間（單位：間的關系如圖所示，下列說法錯誤的是　　
A．乙比甲提前出發
B．甲行駛的速度為
C．時，甲、乙兩人相距
D．或時，乙比甲多行駛
4.在全民健身越野比賽中，乙選手勻速跑完全程，甲選手1.5小時后的速度為每小時10千米，甲、乙兩選手的行程（千米）隨時間（時變化的圖象（全程）如圖所示．下列說法：
①起跑后半小時內甲的速度為每小時16千米；
②第1小時兩人都跑了10千米；
③兩人都跑了20千米；
④乙比甲晚到0.3小時．其中正確的個數有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5.甲、乙兩車從城出發勻速行駛至城．在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開城的距離（千米）與甲車行駛的時間（小時）之間的函數關系如圖所示．則下列結論：
①，兩城相距300千米；
②乙車比甲車晚出發1小時，卻早到1小時；
③乙車出發后2.5小時追上甲車；
④當甲、乙兩車相距50千米時，或．
其中正確的結論有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
一次函數的應用
（2024·陜西·中考真題）實驗表明，在某地，溫度在至的范圍內，一種蟋蟀的平均鳴叫次數可近似看成該地當時溫度的一次函數已知這種蟋蟀在溫度為時，平均鳴叫次；在溫度為時，平均鳴叫次．
求與之間的函數表達式；
當這種蟋蟀平均鳴叫次時，該地當時的溫度約是多少？
1.目前，全球淡水資源日益減少，提倡全社會節約用水．據測試：擰不緊的水龍頭每分鐘滴出100滴水，每滴水約0.05毫升．小康同學洗手后，沒有把水龍頭擰緊，水龍頭以測試的速度滴水，當小康離開分鐘后，水龍頭滴出毫升的水，請寫出與之間的函數關系式是___________．
2.已知一根彈簧在不掛重物時長，在一定的彈性限度內， 每掛重物彈簧伸長． 則該彈簧總長隨所掛物體質量變化的函數關系式為___________．
3.一個彈簧不掛重物時長，掛上重物后伸長的長度與所掛重物的質量成正比，如果掛上的物體后，彈簧伸長，則彈簧總長（單位：關于所掛重物（單位：的函數關系式為___________．（不需要寫出自變量取值范圍）
4.某文具商店文具促銷給出了兩種優惠方案：①買一支鋼筆贈送一本筆記本，多于鋼筆數的筆記本按原價收費；②鋼筆和筆記本均按定價的八折收費．已知每支鋼筆定價為15元，每本筆記本定價為4元．某顧客準備購買x支鋼筆和筆記本本，設選擇第一種方案購買所需費用為元，選擇第二種方案購買所需費用為元．
(1)請分別寫出，與x之間的關系式；
(2)若該顧客準備購買10支鋼筆，且只能選擇其中一種優惠方案，請你通過計算說明選擇哪種方案更為優惠．
一次函數綜合題
（2024·山東省濱州·中考真題）如圖，四邊形四個頂點的坐標分別是，，，，在該平面內找一點，使它到四個頂點的距離之和最小，則點坐標為 ___________．
1.如圖，直線與軸、軸分別相交于，兩點，圓心的坐標為，與軸相切于點．若將沿軸向左移動，當與該直線相交時，橫坐標為整數的點坐標為___________．　
2.如圖，直線與坐標軸分別交于點，，直線與直線關于軸對稱．
（1）求直線的解析式．
（2）若點在的內部，求的取值范圍．
（3）若過點的直線將分成的兩部分的面積比為，直接寫出的解析式．
3.如圖，以、為頂點作等邊，點在第二象限．
（1）求直線所對應的函數表達式．
（2）過點作一條直線交于點，交于點，且．
①求點的坐標與的度數；
②在軸上是否存在這樣的點，使得點到的兩邊所在直線的距離相等？若存在，請直接寫出所以符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
4.如圖，已知直線經過點、點，交軸于點，點是軸上一個動點，過點、作直線．
（1）求直線的表達式；
（2）已知點，當時，求點的坐標；
（3）設點的橫坐標為，點，，，是直線上任意兩個點，若時，有，請直接寫出的取值范圍．
5.如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點、、的長是一元二次方程的兩個實數根，點關于原點的對稱點為點，過點作直線的垂線交于點，交軸于點．
（1）求直線的解析式；
（2）點的坐標為，設的面積為，求與的函數關系式，并寫出自變量的 上取值范圍；
（3）若點在直線上，為坐標平面內任意一點，是否存在以，、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．一次函數的實際應用　
中考考點 考查頻率 新課標要求
一次函數的應用 ★★★ 能用一次函數解決實際問題
一次函數的應用，在中考中多考查一次函數圖象的理解和信息提取，通常以行程類問題為主。出題時也多和方程、不等式結合，一次函數的實際應用的題目在中考中難度不大，關鍵在于函數關系式的建立，主要考查的是理解和分析能力，從文字、圖像和圖表中獲取信息，建立函數關系式是解題的關鍵.
一次函數的實際應用：
1.一次函數應用問題的求解思路：
①建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質作出解答；
②利用函數并與方程(組)、不等式(組)聯系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產方案的設計問題以及經濟決策、市場經濟等方面的應用。
2.建立函數模型解決實際問題的一般步驟：
①審題，設定實際問題中的變量，明確變量x和y；
②根據等量關系，建立變量與變量之間的函數關系式，如：一次函數的函數關系式；
③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；
④利用函數的性質解決問題；
⑤寫出答案。
3.利用一次函數的圖象解決實際問題的一般步驟：
①觀察圖象，獲取有效信息；
②對獲取的信息進行加工、處理，理清各數量之間的關系；
③選擇適當的數學工具(如函數、方程、不等式等)，通過建模解決問題。
4.求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：
①可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；
②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較．
根據實際問題列一次函數關系式
（2024·全國·中考真題）已知某同學家、體育場、圖書館在同一條直線上下面的圖象反映的過程是：該同學從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館圖中用表示時間，表示該同學離家的距離結合圖象給出下列結論：
體育場離該同學家千米．
該同學在體育場鍛煉了分鐘．
該同學跑步的平均速度是步行平均速度的倍．
若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的倍，則的值是．
其中正確結論的個數是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：體育場離該同學家千米，故是正確的；
該同學在體育場鍛煉的時間為：分鐘，故是正確的；
該同學跑步的平均速度：步行平均速度，故是錯誤的；
若該同學騎行的平均速度是跑步平均速度的倍，
則：，
解得：，
故是正確的；
故選：．
根據函數的圖象與坐標的關系求解．
本題考查了一次函數的應用，掌握數形結合思想是解題的關鍵．
1.如圖，甲從村勻速騎自行車到村，乙從村勻速騎摩托車到村，兩人同時出發，到達目的地后，立即停止運動，甲、乙兩人離村的距離與他自騎車的時間之間的函數關系如圖所示，則下列說法錯誤的是　　
A．、兩村的距離為 B．甲的速度為
C．乙的速度為 D．乙運動到達目的地
【答案】
【解析】解：觀察圖象可知，
乙、兩村的距離為，故選項說法正確，不符合題意；
甲的速度：，故選項說法正確，不符合題意；
設甲，乙相遇，由圖象可得：，
解得，
則乙的速度：，故選項說法正確，不符合題意；
乙到達目的地的時間為：，故選項錯誤，符合題意．
故選：．
2.如圖表示光從空氣進入水中入水前與入水后的光路圖，若按如圖建立坐標系，并設入水與前與入水后光線所在直線的表達式分別為，，則關于與的關系，正確的是　　
A．， B．， C． D．
【答案】
【解析】解：如圖，在兩個圖象上分別取橫坐標為，的兩個點和，
則，，
，
，
當取橫坐標為正數時，同理可得，
，，
，
故選：．
3.，兩地相距，甲、乙兩人沿同一條路從地到地．甲、乙兩人離開地的距離（單位：與時間（單位：間的關系如圖所示，下列說法錯誤的是　　
A．乙比甲提前出發
B．甲行駛的速度為
C．時，甲、乙兩人相距
D．或時，乙比甲多行駛
【答案】
【解析】解：由圖象可得，乙車比甲車早出發1小時，
故正確；
甲的速度是，
故正確；
乙的速度是，
甲車行走的路程為，
乙車行走的路程為，
后甲、乙相距，
故錯誤；
乙車走了，
甲車還在地沒出發，此時乙比甲多行駛，
乙走了，
此時甲行走的路程為，
乙車比甲車多走了，
故正確．
故選：．
4.在全民健身越野比賽中，乙選手勻速跑完全程，甲選手1.5小時后的速度為每小時10千米，甲、乙兩選手的行程（千米）隨時間（時變化的圖象（全程）如圖所示．下列說法：
①起跑后半小時內甲的速度為每小時16千米；
②第1小時兩人都跑了10千米；
③兩人都跑了20千米；
④乙比甲晚到0.3小時．其中正確的個數有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】
【解析】解：①起跑后半小時內甲的速度為千米小時，故①正確；
②根據函數圖象的交點坐標，可得第1小時兩人都跑了10千米，故②正確；
③根據甲1小時跑，可得2小時跑，故兩人都跑了20千米，故③正確；
④根據小時內，甲半小時跑，可得1小時跑，故1.5小時跑了，剩余的需要的時間為小時，根據，可得甲比乙晚到0.3小時，故④正確．
故選：．
5.甲、乙兩車從城出發勻速行駛至城．在整個行駛過程中，甲、乙兩車離開城的距離（千米）與甲車行駛的時間（小時）之間的函數關系如圖所示．則下列結論：
①，兩城相距300千米；
②乙車比甲車晚出發1小時，卻早到1小時；
③乙車出發后2.5小時追上甲車；
④當甲、乙兩車相距50千米時，或．
其中正確的結論有　　
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】
【解析】解：由圖象可知、兩城市之間的距離為，
甲行駛的時間為5小時，而乙是在甲出發1小時后出發的，且用時3小時，即比甲早到1小時，
①②正確．
設甲車離開城的距離與的關系式為，
把代入可求得，
，
設乙車離開城的距離與的關系式為，
把和代入可得，
解得，
，
令，可得，解得，
即甲、乙兩直線交點的橫坐標為，
此時乙出發的時間為1.5小時，即乙出發1.5小時追上甲，
③不正確．
令，可得，
即，解得或，
當時，，此時乙車還沒出發，
當時，乙已到達城，，
綜上可知，當的值為或或或時，兩車相距，
④不正確．
故選：．
一次函數的應用
（2024·陜西·中考真題）實驗表明，在某地，溫度在至的范圍內，一種蟋蟀的平均鳴叫次數可近似看成該地當時溫度的一次函數已知這種蟋蟀在溫度為時，平均鳴叫次；在溫度為時，平均鳴叫次．
求與之間的函數表達式；
當這種蟋蟀平均鳴叫次時，該地當時的溫度約是多少？
【答案】解：設與之間的函數表達式為、為常數，且．
將，和，分別代入，
得，
解得，
答：與之間的函數表達式為．
將代入，
得，
解得，
答：該地當時的溫度約是．
【解析】利用待定系數法求解即可；
將代入中求得的與之間的函數表達式，求出對應的值即可．
本題考查一次函數的應用，掌握待定系數法求函數表達式是解題的關鍵．
1.目前，全球淡水資源日益減少，提倡全社會節約用水．據測試：擰不緊的水龍頭每分鐘滴出100滴水，每滴水約0.05毫升．小康同學洗手后，沒有把水龍頭擰緊，水龍頭以測試的速度滴水，當小康離開分鐘后，水龍頭滴出毫升的水，請寫出與之間的函數關系式是．
【解析】解：由題意得：，
即．
故答案為：．
2.已知一根彈簧在不掛重物時長，在一定的彈性限度內， 每掛重物彈簧伸長． 則該彈簧總長隨所掛物體質量變化的函數關系式為．
【解析】解：每掛重物彈簧伸長，
掛上的物體后， 彈簧伸長，
彈簧總長．
故答案為：．
3.一個彈簧不掛重物時長，掛上重物后伸長的長度與所掛重物的質量成正比，如果掛上的物體后，彈簧伸長，則彈簧總長（單位：關于所掛重物（單位：的函數關系式為．　（不需要寫出自變量取值范圍）
【解析】解：彈簧總長（單位：關于所掛重物（單位：的函數關系式為，
故答案為：
4.某文具商店文具促銷給出了兩種優惠方案：①買一支鋼筆贈送一本筆記本，多于鋼筆數的筆記本按原價收費；②鋼筆和筆記本均按定價的八折收費．已知每支鋼筆定價為15元，每本筆記本定價為4元．某顧客準備購買x支鋼筆和筆記本本，設選擇第一種方案購買所需費用為元，選擇第二種方案購買所需費用為元．
(1)請分別寫出，與x之間的關系式；
(2)若該顧客準備購買10支鋼筆，且只能選擇其中一種優惠方案，請你通過計算說明選擇哪種方案更為優惠．
【答案】(1)，
(2)選擇方案②更為優惠，見解析
【解析】（1）解：由題意，得：，；
（2）當時，；
，
選擇方案②更為優惠．
一次函數綜合題
（2024·山東省濱州·中考真題）如圖，四邊形四個頂點的坐標分別是，，，，在該平面內找一點，使它到四個頂點的距離之和最小，則點坐標為 ．
【答案】
【解析】解：連接、，交于點，如圖所示，
兩點之間線段最短，
的最小值就是線段的長，的最小值就是線段的長，
到四個頂點的距離之和最小的點就是點，
設所在直線的解析式為，所在直線的解析式為，
點在直線上，點，在直線上，
，
，
解得，，
直線的解析式為，直線的解析式為，
，
解得，
點的坐標為，
故答案為：
根據兩點之間線段最短，連接和，它們的交點即為所求，然后求出直線和直線的解析式，將它們聯立方程組，求出方程組的解，即可得到點的坐標．
本題考查一次函數的應用、最短路徑問題，解答本題的關鍵是明確題意，找出點所在的位置．
1.如圖，直線與軸、軸分別相交于，兩點，圓心的坐標為，與軸相切于點．若將沿軸向左移動，當與該直線相交時，橫坐標為整數的點坐標為　、、　．
【解析】解：令，則，
解得，
則點坐標為；
令，則，
則點坐標為，
，
，
作與切于、，
連接、，則、，
則在中，，
同理可得，，
則橫坐標為，橫坐標為，
橫坐標的取值范圍為：，
橫坐標為整數的點坐標為、、．
故答案為、、．
2.如圖，直線與坐標軸分別交于點，，直線與直線關于軸對稱．
（1）求直線的解析式．
（2）若點在的內部，求的取值范圍．
（3）若過點的直線將分成的兩部分的面積比為，直接寫出的解析式．
【答案】（1）直線的解析式為；
（2）當點在的內部時，的取值范圍是；
（3）直線的解析式為或．
（2）當點在直線上時，，當點在直線上時，，即可得當點在的內部時，的取值范圍是；
（3）求出；分兩種情況：①設直線交于，，過作于，求得，，即得直線解析式為；②設直線交于，，過作于，同理可得直線解析式為．
【解析】解：（1）在中，令得，令得，
，，
直線與直線關于軸對稱，
點與點關于軸對稱，
，
設直線的解析式為，把點和點的坐標代入得：
，
解得，
直線的解析式為；
（2）當點在直線上時，，
解得，
當點在直線上時，，
解得，
當點在的內部時，的取值范圍是；
（3），，，
；
①設直線交于，，過作于，如圖：
，
，
，
在中，令得，
，，
設直線解析式為，
，
解得，
直線解析式為；
②設直線交于，，過作于，如圖：
同理可得，
，
在中，令得，
，，
設直線解析式為，
，
解得，
直線解析式為；
綜上所述，直線的解析式為或．
3.如圖，以、為頂點作等邊，點在第二象限．
（1）求直線所對應的函數表達式．
（2）過點作一條直線交于點，交于點，且．
①求點的坐標與的度數；
②在軸上是否存在這樣的點，使得點到的兩邊所在直線的距離相等？若存在，請直接寫出所以符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）直線解析式為；
（2）①點的坐標為，，的度數為；
②在軸上存在點，使得點到的兩邊所在直線的距離相等，的坐標為或．
【解析】解：（1）過作于，如圖：
、，
，
是等邊三角形，
，，
，，
，
，，
設直線解析式為，將，，代入得：
，
解得，
直線解析式為；
（2）①過作交于，過作于，如圖：
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
，
，，
設直線解析式為，把，，代入得：
，
解得，
直線解析式為，
聯立，解得，
，；
，
，
，
，
，
；
點的坐標為，，的度數為；
②在軸上存在點，使得點到的兩邊所在直線的距離相等，理由如下：
當在軸下方時，過作于，設交軸于，如圖：
到的兩邊所在直線的距離相等，
是的角平分線，
，
，
是等腰直角三角形，
點的坐標為，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
當在軸上方時，過作于，延長交軸于，如圖：
到的兩邊所在直線的距離相等，
是的角平分線，
，
，
是等腰直角三角形，
點的坐標為，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
綜上所述，的坐標為或．
4.如圖，已知直線經過點、點，交軸于點，點是軸上一個動點，過點、作直線．
（1）求直線的表達式；
（2）已知點，當時，求點的坐標；
（3）設點的橫坐標為，點，，，是直線上任意兩個點，若時，有，請直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）直線的表達式為；
（2）的坐標或；
（3）．
【解析】解：（1）設直線的解析式為，
、點在直線上，
，解之得，，
直線的表達式為；
（2）直線交軸于，，
，，
過點作軸于，
，，，
，，
設點，
，
或，
的坐標或；
（3）如圖，過點作于，
時，有，
直線的圖象從左向右成下降趨勢，
．
5.如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點、、的長是一元二次方程的兩個實數根，點關于原點的對稱點為點，過點作直線的垂線交于點，交軸于點．
（1）求直線的解析式；
（2）點的坐標為，設的面積為，求與的函數關系式，并寫出自變量的 上取值范圍；
（3）若點在直線上，為坐標平面內任意一點，是否存在以，、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在；或，．
【解析】解：（1）解方程，
可得：，，
、的長是一元二次方程的兩個實數根，
、，
，，，
關于原點對稱，
設過，、，
，
解得：，
；
（2）由（1）知，
過點作直線；的垂線交于點，交軸于點．
直線為：，
令，則，
解得：，
，
聯立得方程組：
解得：，
，，
的坐標為，
，
，
即；
（3）存在；
分3種情況：①、為對角線，四邊形為矩形時：
在直線上 設，
過作軸交直線于點，
，解得，
此時，
，
再過點作軸的垂線，過作的垂線，兩線交于，
，
；
②、為對角線，四邊形是矩形時：
，
、重合，
，，
，，
、點關于原點成中心對稱，
也應該關于原點成中心對稱，
，，
③當，此時、重合，、、、無法構成矩形，
綜上所述：或，．

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